🔌 Aula 01 - Grandezas Fundamentais, Leis de Kirchhoff (LKC e LKV) e Circuitos Resistivos

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Visão Geral e Contexto de Engenharia

Esta aula inaugural estabelece a base axiomática de toda a Engenharia Elétrica moderna: a Teoria de Circuitos a Parâmetros Concentrados. Partindo da hipótese de que as dimensões físicas dos componentes são ordens de grandeza inferiores ao comprimento de onda dos sinais elétricos ($\lambda \gg d$), os fenômenos espaciais contínuos governados pelas Equações de Maxwell condensam-se em grandezas elétricas escalares bem definidas: tensão, corrente, potência e energia.

Serão formalizadas a Convenção Passiva de Sinais, o fundamental Teorema de Tellegen (conservação universal de potências), a Lei de Ohm e as imutáveis Leis de Kirchhoff: a Lei das Correntes (LKC), reflexo da conservação da carga, e a Lei das Tensões (LKV), reflexo da conservação da energia. Em seguida, analisa-se a redução sistemática de bipolos resistivos, os teoremas dos divisores de tensão e corrente, as transformações Estrela-Triângulo ($\text{Y}\text{-}\Delta$) e a condição de equilíbrio da Ponte de Wheatstone, concluindo com as resoluções integrais e comentadas das questões e atividades oficiais de fixação.

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Diagrama Técnico Unificado dos Fundamentos Circuiteis
2. 2. Grandezas Fundamentais, Convenção Passiva e Teorema de Tellegen
3. 3. A Lei de Ohm e a Física dos Elementos Resistivos
4. 4. Fontes Ideais, Fontes Reais e Fontes Dependentes (Controladas)
5. 5. As Leis Fundamentais de Kirchhoff (LKC e LKV)
6. 6. Redução de Bipolos Resistivos e Divisores de Tensão e Corrente
7. 7. Transformações Estrela-Triângulo (Y-Δ) e Ponte de Wheatstone
8. 8. Resolução Passo a Passo: Atividades Mão na Massa da Apostila 01
9. 9. Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação de Concursos da Apostila 01)
10. 10. Referências Bibliográficas Normativas

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1. Diagrama Técnico Unificado dos Fundamentos Circuiteis

O diagrama vetorial oficial a seguir ilustra a convenção de sinais, a conservação universal de potências (Teorema de Tellegen), as formulações topológicas da LKC nos nós e LKV nas malhas, e as fórmulas de divisores com graus de liberdade topológicos:

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2. Grandezas Fundamentais, Convenção Passiva e Teorema de Tellegen

2.1 Carga Elétrica e Corrente ($i$)

A carga elétrica ($q$) é uma propriedade intrínseca da matéria subatômica, quantizada em múltiplos da carga elementar ($e\approx 1,602\times 10^{-19}\text{ C}$). A unidade SI é o Coulomb ($\text{C}$).

A corrente elétrica ($i$) expressa a taxa temporal instantânea de transferência de carga através de uma seção transversal de um condutor: $i(t)=\frac{dq(t)}{dt}[\text{Ampeˋre - A}]\left(1\text{ A}=1\text{ C/s}\right)$

Integrando ambos os membros entre um instante inicial $t_0$ e o instante atual $t$, obtém-se a carga líquida transportada: $q(t)={\int }_{t_0}^{t}i(\tau )d\tau +q(t_0)$

Sentido Convencional da Corrente

Por convenção universal histórica estabelecida por Benjamin Franklin, o sentido da corrente positiva é o sentido do fluxo de portadores de carga positiva (do maior potencial para o menor potencial). Em condutores metálicos, os portadores móveis reais são elétrons livres (cargas negativas), cujo deslocamento físico ocorre em sentido oposto ao vetor densidade de corrente $\mathbf{J}$.

2.2 Diferença de Potencial ou Tensão ($v$)

A tensão elétrica ($v_{ab}$) entre dois pontos $a$ e $b$ é o trabalho ($w$) realizado pelo campo eletrostático por unidade de carga para transportar uma carga de teste infinitesimale $dq$ do ponto $a$ até o ponto $b$: $v_{ab}=\frac{dw}{dq}[\text{Volt - V}]\left(1\text{ V}=1\text{ J/C}=1\text{ N}\cdot \text{m/C}\right)$

Em termos de potencial eletrostático absoluto: $v_{ab}={\varphi }_a-{\varphi }_b=-v_{ba}$

Se $v_{ab}>0$, o potencial do terminal $a$ é estritamente superior ao do terminal $b$. Logo, uma carga positiva que se desloca de $a$ para $b$ perde energia potencial eletrostática, fornecendo energia ao elemento de circuito interligado.

2.3 Potência Instantânea ($p$) e Convenção Passiva de Sinais

A potência instantânea ($p$) é a taxa com que a energia é transferida, absorvida ou fornecida por um elemento em um instante $t$: $p(t)=\frac{dw}{dt}=\frac{dw}{dq}\cdot \frac{dq}{dt}=v(t)\cdot i(t)[\text{Watt - W}]\left(1\text{ W}=1\text{ J/s}\right)$

Para equacionar circuitos sem ambiguidades, adota-se a Convenção Passiva de Sinais:

• Elemento Passivo (Absorvedor de Potência): A corrente entra pelo terminal identificado como positivo ($+$) da tensão. A potência é positiva: $\boxed{p=+v\cdot i>0⟹\text{Elemento absorve/dissipa poteˆncia}}$
• Elemento Ativo (Fornecedor/Gerador de Potência): A corrente sai pelo terminal positivo ($+$) da tensão (ou entra pelo terminal negativo $-$). A potência calculada na convenção passiva resulta negativa: $\boxed{p=-v\cdot i<0⟹\text{Elemento fornece energia ao circuito}}$

flowchart LR
    subgraph Absorvedor ["Bipolo Absorvedor (Passivo)"]
        direction LR
        inA["Terminal (+)"] -->|i(t)| elemA["Bipolo"]
        elemA --> outA["Terminal (-)"]
        style elemA fill:#181825,stroke:#a6e3a1,stroke-width:2px
    end

    subgraph Fornecedor ["Bipolo Fornecedor (Ativo)"]
        direction LR
        inB["Terminal (+)"] <--|i(t)| elemB["Fonte"]
        elemB <-- outB["Terminal (-)"]
        style elemB fill:#181825,stroke:#f38ba8,stroke-width:2px
    end

2.4 Teorema de Tellegen e Conservação Universal de Energia

O Teorema de Tellegen é um dos resultados mais profundos e gerais da teoria eletrotécnica:

Em qualquer rede de circuito concentrado constituída por $B$ ramos orientados, que satisfaça as Leis de Kirchhoff (LKC e LKV), a soma algébrica das potências instantâneas de todos os ramos é identicamente nula: $\boxed{\sum _{k=1}^B{p}_k(t)=\sum _{k=1}^B{v}_k(t)\cdot i_k(t)=0}$

O Teorema de Tellegen independe da natureza constitutiva dos elementos dos ramos. Ele é válido para:

• Elementos lineares ou não lineares (diodos, tiristores, transistores);
• Elementos invariantes ou variantes no tempo;
• Elementos passivos ou ativos;
• Circuitos em corrente contínua (CC) ou corrente alternada (CA).

Como corolário direto, a potência total instantânea gerada pelas fontes ativas é rigorosamente idêntica à soma das potências absorvidas e dissipadas por todos os receptores da rede: $\sum P_{\text{fornecida}}=\sum P_{\text{absorvida}}$

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3. A Lei de Ohm e a Física dos Elementos Resistivos

3.1 Resistência Elétrica e Condutância

A resistência elétrica ($R$) mede a oposição microscópica que um material condutor impõe ao fluxo ordenado de elétrons livres, decorrente do espalhamento por colisões com a rede cristalina atômica.

A Lei de Ohm afirma que, para uma ampla classe de materiais isotrópicos a temperatura constante, a tensão nos terminais do resistor é diretamente proporcional à corrente elétrica: $\boxed{v(t)=R\cdot i(t)}$ Onde $R$ é a resistência, medida em Ohms ($\Omega =\text{V/A}$).

Alternativamente, define-se a condutância ($G$) como a capacidade de conduzir corrente: $\boxed{i(t)=G\cdot v(t)\text{com}G=\frac{1}{R}}$ A unidade de condutância no SI é o Siemens ($\text{S}={\Omega }^{-1}$).

3.2 Resistência Física e Fatores Construtivos (2ª Lei de Ohm)

Para um condutor homogêneo de comprimento longitudinal $L$, área de seção transversal constante $S$ e resistividade volumétrica $\rho$ do material: $R=\rho \cdot \frac{L}{S}=\frac{L}{\sigma \cdot S}$ Onde:

• $\rho$ é a resistividade elétrica $[\Omega \cdot \text{m}]$;
• $\sigma =1/\rho$ é a condutividade elétrica $[\text{S/m}]$;
• Para o cobre eletrolítico padrão a $20^{\circ }\text{C}$: ${\rho }_{\text{Cu}}\approx 1,72\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$;
• Para o alumínio: ${\rho }_{\text{Al}}\approx 2,82\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$.

A variação térmica da resistência na faixa operacional de engenharia é dada linearmente por: $R(T)=R_0\left[1+{\alpha }_0(T-T_0)\right]$ Onde ${\alpha }_0$ é o coeficiente de temperatura $[{\text{K}}^{-1}]$ (para o cobre, ${\alpha }_{20}\approx +0,00393{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$).

3.3 Efeito Joule e Dissipação Térmica

Como o resistor obedece à convenção passiva ($v$ e $i$ com polaridade concordante), a potência dissipada por efeito Joule é expressa por três formulações analíticas equivalentes: $\boxed{P=v\cdot i=R\cdot i^2=\frac{v^2}{R}=G\cdot v^2}$ Como $R\ge 0$, temos invariavelmente $P\ge 0$. O resistor dissipa energia elétrica de forma irreversível na forma de calor térmico, nunca armazenando nem gerando energia.

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4. Fontes Ideais, Fontes Reais e Fontes Dependentes (Controladas)

Os circuitos elétricos são energizados por elementos ativos classificados topologicamente em fontes independentes e fontes dependentes:

4.1 Fontes Independentes Ideais

• Fonte Ideal de Tensão: Bipolo ativo que impõe em seus terminais uma tensão especificada $v_s(t)$, totalmente independente da corrente $i(t)$ que flui através dela. Sua resistência interna é nula ($R_{\text{int}}=0$).
• Fonte Ideal de Corrente: Bipolo ativo que injeta no ramo uma corrente especificada $i_s(t)$, totalmente independente da tensão $v(t)$ que surge entre seus terminais. Sua resistência interna é infinita ($R_{\text{int}}=\infty$).

4.2 Fontes Reais e Modelos Lineares

Fontes físicas reais sofrem quedas internas de potencial ou desvios de corrente à medida que a carga solicitada aumenta:

• Fonte Real de Tensão: Modelada por uma fonte ideal de tensão $V_s$ em série com uma resistência interna $R_s$: $v_{\text{terminal}}=V_s-R_s\cdot i_L$
• Fonte Real de Corrente: Modelada por uma fonte ideal de corrente $I_s$ em paralelo com uma resistência interna $R_p$: $i_{\text{terminal}}=I_s-\frac{v_L}{R_p}$

4.3 Fontes Dependentes ou Controladas

Fontes dependentes possuem sua variável de saída ($v$ ou $i$) governada por uma tensão ou corrente em outro ponto do circuito. São fundamentais para modelar transistores (BJT, MOSFET), amplificadores operacionais e transformadores:

Tipo de Fonte Controlada	Sigla	Equação Constitutiva	Ganho / Parâmetro	Unidade
Tensão Controlada por Tensão	VCVS	$v_s=\mu \cdot v_x$	$\mu$ (Ganho de Tensão)	Adimensional $[\text{V/V}]$
Tensão Controlada por Corrente	CCVS	$v_s=r_m\cdot i_x$	$r_m$ (Transresistência)	Ohm $[\Omega =\text{V/A}]$
Corrente Controlada por Tensão	VCCS	$i_s=g_m\cdot v_x$	$g_m$ (Transcondutância)	Siemens $[\text{S}=\text{A/V}]$
Corrente Controlada por Corrente	CCCS	$i_s=\beta \cdot i_x$	$\beta$ (Ganho de Corrente)	Adimensional $[\text{A/A}]$

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5. As Leis Fundamentais de Kirchhoff (LKC e LKV)

As duas Leis de Kirchhoff, formuladas por Gustav Kirchhoff em 1845, estabelecem as restrições topológicas que governam as interconexões dos elementos de uma rede elétrica:

5.1 Definições Topológicas Prévias

• Nó: Ponto de conexão física entre dois ou mais ramos do circuito.
• Nó Essencial: Ponto de interconexão entre três ou mais ramos.
• Ramo: Segmento de circuito que contém um único bipolo (resistor, fonte, indutor, etc.) e conecta dois nós.
• Malha (ou Janela Plana): Percurso fechado (laço) que não contém nenhum outro percurso fechado em seu interior.
• Laço: Qualquer caminho fechado formado por uma sequência de ramos conectados que começa e termina no mesmo nó sem repetir nós intermediários.

5.2 Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC)

Enunciado: A soma algébrica de todas as correntes que entram em qualquer nó (ou superfície fechada gaussiana de circuito) em qualquer instante de tempo é identicamente nula: $\boxed{\sum _{k=1}^N{i}_k(t)=0⟺\sum i_{\text{entrando}}=\sum i_{\text{saindo}}}$

Fundamentação Física: A LKC decorre da Conservação da Carga Elétrica expressa pela Equação da Continuidade de Maxwell: $\nabla \cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$ Na hipótese de circuitos concentrados, os nós são pontos geométricos infinitesimais desprovidos de capacitância dispersa ($\partial \rho /\partial t=0$). Consequentemente, cargas elétricas não podem acumular-se em um nó: toda taxa de carga que converge para o nó deve instantaneamente divergir através dos demais ramos.

5.3 Lei de Kirchhoff das Tensões (LKV)

Enunciado: A soma algébrica de todas as diferenças de potencial ao longo de qualquer percurso fechado (laço ou malha) percorrido em um sentido pré-determinado é identicamente nula: $\boxed{\sum _{k=1}^M{v}_k(t)=0⟺\sum v_{\text{elevac¸o˜es}}=\sum v_{\text{quedas}}}$

Fundamentação Física: A LKV decorre do caráter conservativo do campo eletrostático expresso pela Lei de Faraday em regime de variação magnética concentrada: ${\oint }_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{\partial }{\partial t}{\iint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0$ Na teoria de circuitos concentrados, assume-se que todo fluxo magnético variável está rigidamente confinado ao interior de componentes específicos (como núcleos de indutores ou transformadores), de forma que no espaço exterior aos bipolos o campo elétrico é conservativo ($\nabla \times \mathbf{E}=0$). O trabalho realizado ao deslocar uma unidade de carga ao longo de uma trajetória fechada completa que retorna ao ponto de partida é rigorosamente nulo.

5.4 Independência das Equações Topológicas

Para uma rede elétrica planar conexa com $b$ ramos e $n$ nós essenciais:

• O número de equações linearmente independentes de LKC é: $N_{\text{LKC}}=n-1$ (Um nó qualquer é arbitrado como nó de referência ou terra de potencial zero).
• O número de equações linearmente independentes de LKV (número de malhas fundamentais) é dado pela relação de Euler para grafos planares: $N_{\text{LKV}}=b-(n-1)=b-n+1$
• A soma total de equações topológicas independentes é exatamente: $N_{\text{total}}=N_{\text{LKC}}+N_{\text{LKV}}=(n-1)+[b-(n-1)]=b$ Que, combinada com as $b$ relações constitutivas de cada ramo ($v_k=f(i_k)$), resulta em um sistema de $2b$ equações lineares para determinar unicamente todas as $b$ tensões e $b$ correntes da rede.

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6. Redução de Bipolos Resistivos e Divisores de Tensão e Corrente

6.1 Associação de Resistores em Série

Dois ou mais resistores estão conectados em série se conduzem rigorosamente a mesma corrente elétrica ($i$), compartilhando exclusivamente um nó comum sem ramificação intermediária.

Aplicando a LKV na malha em série: $v_{\text{total}}=v_1+v_2+\cdots +v_n=R_{1}i+R_{2}i+\cdots +R_{n}i=\left({\sum }_{k=1}^n{R}_k\right)i$ Portanto, a resistência equivalente série ($R_{eq,s}$) é dada pela soma direta: $\boxed{R_{eq,s}=\sum _{k=1}^n{R}_k=R_1+R_2+\cdots +R_n}$

6.2 O Princípio do Divisor de Tensão

Substituindo $i=v_{\text{total}}/R_{eq,s}$ na expressão da tensão sobre o $k$-ésimo resistor: $\boxed{v_k=v_{\text{total}}\cdot \left(\frac{R_k}{R_{eq,s}}\right)=v_{\text{total}}\cdot \left(\frac{R_k}{{\sum }_{j=1}^n{R}_j}\right)}$

Para o caso clássico de dois resistores em série ($R_1$ e $R_2$): $v_1=v_{\text{total}}\frac{R_1}{R_1+R_2}{v}_2=v_{\text{total}}\frac{R_2}{R_1+R_2}$

Efeito de Carga no Divisor de Tensão

Ao conectar uma carga externa com resistência $R_L$ em paralelo com o resistor $R_2$ de um divisor, a resistência equivalente do ramo inferior reduz-se para $R_2^{\prime }=R_2\parallel R_L=\frac{R_2{R}_L}{R_2+R_L}$. Como consequência, a tensão real $v_L$ na carga sofre uma atenuação em relação à tensão de circuito aberto: $v_L=v_{\text{total}}\frac{R_2\parallel R_L}{R_1+(R_2\parallel R_L)}<v_2^{\text{vazio}}$ Para que o efeito de carga seja desprezível ($v_L\approx v_2^{\text{vazio}}$ com erro $<1\%$), projeta-se o circuito de modo que a impedância da carga seja pelo menos 100 vezes superior à do divisor: $R_L\ge 100\cdot R_2$.

6.3 Associação de Resistores em Paralelo

Dois ou mais resistores estão conectados em paralelo se estão submetidos rigorosamente à mesma diferença de potencial ($v$), compartilhando o mesmo par de nós.

Pela LKC aplicada ao nó de entrada: $i_{\text{total}}=i_1+i_2+\cdots +i_n=G_{1}v+G_{2}v+\cdots +G_{n}v=\left({\sum }_{k=1}^n{G}_k\right)v$ A condutância equivalente é a soma das condutâncias: $\boxed{G_{eq,p}=\sum _{k=1}^n{G}_k⟺\frac{1}{R_{eq,p}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{R_k}}$

Para o caso particular de dois resistores em paralelo ($R_1$ e $R_2$): $\boxed{R_{eq,p}=R_1\parallel R_2=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}}$ A resistência equivalente em paralelo é estritamente menor do que o menor resistor individual associado.

6.4 O Princípio do Divisor de Corrente

A corrente no $k$-ésimo resistor em paralelo é: $i_k=G_k\cdot v=i_{\text{total}}\cdot \left(\frac{G_k}{G_{eq,p}}\right)$

Para o circuito com dois ramos em paralelo ($R_1$ e $R_2$): $\boxed{i_1=i_{\text{total}}\cdot \left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)i_2=i_{\text{total}}\cdot \left(\frac{R_1}{R_1+R_2}\right)}$ A corrente divide-se em proporção inversa às resistências: o ramo de menor resistência conduz a maior parcela da corrente total.

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7. Transformações Estrela-Triângulo (Y-Δ) e Ponte de Wheatstone

7.1 Fórmulas de Transformação Delta-Estrela ($\Delta \to \text{Y}$)

Redes em ponte e malhas não planares frequentemente contêm conexões em Triângulo ($\Delta$) ou Estrela ($\text{Y}$) que não podem ser resolvidas por associações puras em série ou paralelo.

Para que as duas configurações sejam eletricamente indistinguíveis externamente (mesma matriz de impedâncias de entrada entre os três terminais $A,B,C$):

De Triângulo ($\Delta$) para Estrela ($\text{Y}$): O resistor conectado a cada terminal é o produto dos dois resistores adjacentes do $\Delta$ dividido pela soma total dos resistores do $\Delta$: $\boxed{R_1=\frac{R_b\cdot R_c}{R_a+R_b+R_c}{R}_2=\frac{R_a\cdot R_c}{R_a+R_b+R_c}{R}_3=\frac{R_a\cdot R_b}{R_a+R_b+R_c}}$

De Estrela ($\text{Y}$) para Triângulo ($\Delta$): O resistor oposto a cada terminal no $\Delta$ é a soma de todos os produtos duplos dos resistores de $\text{Y}$ dividida pelo resistor de $\text{Y}$ conectado ao terminal oposto: $\boxed{R_a=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_1}{R}_b=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_2}{R}_c=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}}$

Se os três resistores forem idênticos ($R_{\Delta }$ ou $R_Y$): $R_Y=\frac{R_{\Delta }}{3}⟺R_{\Delta }=3\cdot R_Y$

7.2 Análise Nodal Rigorosa da Ponte de Wheatstone

A Ponte de Wheatstone é o circuito de medição de precisão mais utilizado para determinar resistências desconhecidas, extensometria (strain gauges) e termometria de resistência (PT100).

graph TD
    subgraph Topologia ["Topologia da Ponte de Wheatstone"]
        nodeTop["Nó Superior (Alimentação V_s)"]
        nodeA["Nó Detector A"]
        nodeB["Nó Detector B"]
        nodeGND["Nó Inferior (Referência GND = 0V)"]
        
        nodeTop -->|"R1"| nodeA
        nodeTop -->|"R3"| nodeB
        nodeA -->|"R2"| nodeGND
        nodeB -->|"Rx"| nodeGND
        nodeA -.-|"Galvanômetro V_AB"| nodeB
    end

Os potenciais nos nós $A$ e $B$ em relação ao terra são estabelecidos pelos dois divisores de tensão independentes: $V_A=V_s\cdot \left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)V_B=V_s\cdot \left(\frac{R_x}{R_3+R_x}\right)$

A tensão diferencial medida pelo detector entre os nós $A$ e $B$ é: $V_{AB}=V_A-V_B=V_s\left[\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_x}{R_3+R_x}\right]$

A condição de equilíbrio nulo da ponte ocorre quando a corrente no galvanômetro cessa ($V_{AB}=0⟹V_A=V_B$): $\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{R_x}{R_3+R_x}⟹R_2(R_3+R_x)=R_x(R_1+R_2)$ $R_2{R}_3+R_2{R}_x=R_x{R}_1+R_2{R}_x⟹R_2{R}_3=R_1{R}_x$ Isolando a resistência incógnita $R_x$: $\boxed{R_x=R_3\cdot \left(\frac{R_2}{R_1}\right)⟺R_1\cdot R_x=R_2\cdot R_3}$

Teorema do Produto Cruzado de Wheatstone

Uma ponte de quatro braços resistivos está em equilíbrio galvânico estrito se, e somente se, o produto das resistências dos braços opostos for rigorosamente igual. Nesta condição, a medição é imune a flutuações na tensão da fonte de alimentação $V_s$.

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8. Resolução Passo a Passo: Atividades Mão na Massa da Apostila 01

Abaixo apresentam-se as resoluções integrais de todas as atividades do caderno oficial de exercícios do Módulo 1 da apostila:

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Atividade 1 (Apostila 01, Módulo 1 — Eletrodoméstico Resistivo)

Enunciado

Uma torradeira elétrica é composta de um resistor cuja função é transformar energia elétrica em energia térmica (efeito Joule). Considerando que a torradeira possui uma resistência de $R=16\Omega$ e é ligada a uma rede com tensão eficaz de $V=127\text{ V}$, determine:

1. A corrente drenada por esse eletrodoméstico;

2. A potência elétrica dissipada por ele.

• (A) $5,95\text{ A}$ e $900\text{ W}$
• (B) $8\text{ A}$ e $1\text{ kW}$
• (C) $7\text{ A}$ e $900\text{ W}$
• (D) $7,94\text{ A}$ e $1\text{ kW}$
• (E) $6,94\text{ A}$ e $1\text{ kW}$

Resolução Passo a Passo e Fundamentação

1. Cálculo da Corrente Elétrica pela Lei de Ohm: $I=\frac{V}{R}=\frac{127\text{ V}}{16\Omega }=7,9375\text{ A}\approx \boxed{7,94\text{ A}}$

2. Cálculo da Potência Dissipada por Efeito Joule: $P=V\cdot I=127\text{ V}\times 7,9375\text{ A}=1008,06\text{ W}\approx \boxed{1\text{ kW}}$ Alternativamente, conferindo por $P=V^2/R$: $P=\frac{127^2}{16}=\frac{16129}{16}=1008,06\text{ W}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($7,94\text{ A}$ e $1\text{ kW}$).

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Atividade 2 (Apostila 01, Módulo 1 — Circuito Malha Simples com Duas Fontes)

Enunciado

Para um circuito de malha única em série composto por uma fonte de tensão contínua $V_1=12\text{ V}$, um resistor $R_1=4\Omega$, uma segunda fonte $V_2=4\text{ V}$ conectada em oposição e um resistor $R_2=2\Omega$, determine a corrente total do circuito e as quedas de tensão em cada resistor.

Resolução Passo a Passo e Fundamentação

1. Aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões (LKV): Arbitrando a corrente $i$ no sentido horário e percorrendo a malha fechada a partir do polo negativo de $V_1$: $-V_1+V_{R1}+V_2+V_{R2}=0$ Substituindo a Lei de Ohm ($V_R=R\cdot i$): $-12+4\cdot i+4+2\cdot i=0$ $(4+2)\cdot i=12-4⟹6\cdot i=8\text{ V}$ $\boxed{i=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\text{ A}\approx 1,333\text{ A}}$

2. Tensões nos Resistores: $V_{R1}=R_1\cdot i=4\times \frac{4}{3}=\frac{16}{3}\text{ V}\approx 5,33\text{ V}$ $V_{R2}=R_2\cdot i=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}\text{ V}\approx 2,67\text{ V}$

3. Verificação de Tellegen:

   • Fonte $V_1$ fornece: $P_1=12\times \frac{4}{3}=16\text{ W}$
   • Fonte $V_2$ absorve (sendo recarregada): $P_2=4\times \frac{4}{3}=5,33\text{ W}$
   • Resistores dissipam: $P_R=5,33\text{ W}+2,67\text{ W}=10,67\text{ W}$
   • Total absorvido: $5,33+10,67=16\text{ W}$ (Conservação perfeita!).

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Atividade 3 (Apostila 01, Módulo 1 — Circuito Série com Três Resistores)

Enunciado

Um circuito em série é alimentado por uma fonte de $V_s=30\text{ V}$ e possui três resistores associados: $R_1=2\text{ k}\Omega$, $R_2=5\text{ k}\Omega$ e $R_3=8\text{ k}\Omega$. Determine:

1. A resistência equivalente total do circuito;
2. A corrente total $I_t$;
3. A potência total dissipada;
4. A potência dissipada especificamente no resistor de $8\text{ k}\Omega$;
5. As tensões individuais em cada resistor.

Resolução Passo a Passo e Fundamentação

1. Resistência Total: $R_{\text{total}}=R_1+R_2+R_3=2000+5000+8000=\boxed{15\text{ k}\Omega }$

2. Corrente Total do Circuito: $I_t=\frac{V_s}{R_{\text{total}}}=\frac{30\text{ V}}{15000\Omega }=0,002\text{ A}=\boxed{2\text{ mA}}$

3. Potência Total Dissipada: $P_{\text{total}}=V_s\cdot I_t=30\text{ V}\times 2\text{ mA}=\boxed{60\text{ mW}}$

4. Potência Dissipada no Resistor $R_3=8\text{ k}\Omega$: $P_{R3}=R_3\cdot I_t^2=8000\times (0,002{)}^2=8000\times 4\times 10^{-6}=\boxed{32\text{ mW}}$

5. Tensões Individuais (Divisor de Tensão): $V_1=R_1\cdot I_t=2000\times 0,002=\boxed{4\text{ V}}$ $V_2=R_2\cdot I_t=5000\times 0,002=\boxed{10\text{ V}}$ $V_3=R_3\cdot I_t=8000\times 0,002=\boxed{16\text{ V}}$ Verificação LKV: $4\text{ V}+10\text{ V}+16\text{ V}=30\text{ V}=V_s$.

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Atividade 4 (Apostila 01, Módulo 1 — Circuito com Fonte Dependente CCVS)

Enunciado

No circuito contendo uma fonte independente de $V_s=20\text{ V}$, um resistor $R_1=5\Omega$ percorrido pela corrente de controle $i_o$, uma fonte de tensão dependente controlada por corrente de valor $v_{\text{dep}}=2i_o$, e um resistor de carga $R_2=3\Omega$, determine a corrente $i_o$, a tensão da fonte dependente e a potência dissipada nos resistores.

Resolução Passo a Passo e Fundamentação

1. Aplicação da LKV no Laço Fechado: Percorrendo no sentido da corrente $i_o$: $-V_s+R_1{i}_o+v_{\text{dep}}+R_2{i}_o=0$ Substituindo a relação da fonte controlada $v_{\text{dep}}=2i_o$: $-20+5i_o+2i_o+3i_o=0$ $(5+2+3)i_o=20⟹10i_o=20$ $\boxed{i_o=2\text{ A}}$

2. Tensão da Fonte Dependente: $v_{\text{dep}}=2\cdot i_o=2\times 2=\boxed{4\text{ V}}$

3. Balanço de Potências:

   • Fonte independente fornece: $P_{\text{fonte}}=20\text{ V}\times 2\text{ A}=40\text{ W}$
   • Fonte dependente absorve: $P_{\text{dep}}=4\text{ V}\times 2\text{ A}=8\text{ W}$
   • Resistor $R_1$ dissipa: $P_{R1}=5\times 2^2=20\text{ W}$
   • Resistor $R_2$ dissipa: $P_{R2}=3\times 2^2=12\text{ W}$
   • Soma dissipada/absorvida: $8+20+12=40\text{ W}$ (Conservação exata de Tellegen!).

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9. Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação de Concursos da Apostila 01)

Apresentam-se a seguir as Questões de Fixação de concursos públicos extraídas da apostila do Módulo 1, resolvidas com demonstração analítica:

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Questão 1 (Apostila 01, Módulo 1 — Concurso FCC 2013 / Análise Topológica de LKC no Nó)

Considerando a representação de correntes adotada no circuito e aplicando a Lei de Kirchhoff para correntes (LKC) para o nó $A$, onde convergem os ramos com correntes $i_1$, $i_2$, $i_3$, $i_4$ e $i_5$, tem-se que a expressão analítica do nó é:

• (A) $i_1+i_2+i_3+i_4+i_5=0$
• (B) $i_1-i_2+i_3-i_4+i_5=0$
• (C) $i_1+i_3+i_5=i_2-i_4$
• (D) $i_1+i_2-i_3=i_4+i_5$
• (E) $i_1+i_2+i_4=i_3+i_5$

Resolução Passo a Passo e Fundamentação

1. Identificação dos Sentidos de Corrente na Topologia: Pela convenção do diagrama da questão (Figura 9 da apostila):
   • As correntes que entram no nó $A$ são: $i_1$, $i_2$ e $i_4$.
   • As correntes que saem do nó $A$ são: $i_3$ e $i_5$.
2. Aplicação Direta da Lei das Correntes de Kirchhoff: Pelo princípio da conservação da carga elétrica, o somatório das correntes incidentes é rigorosamente igual ao somatório das correntes emergentes: $\sum i_{\text{entrando}}=\sum i_{\text{saindo}}⟹\boxed{i_1+i_2+i_4=i_3+i_5}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa E.

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Questão 2 (Apostila 01, Módulo 1 — Concurso PC-PI 2018 / Circuito DC com Múltiplas Baterias)

Considere um circuito formado por duas baterias ideais de força eletromotriz $E_1=3\text{ V}$ e $E_2=3\text{ V}$, e dois resistores $R_1=6\Omega$ e $R_2=6\Omega$, interligados em uma rede de dois nós e três ramos em paralelo, onde o ramo central contém a bateria $E_2$ e o resistor $R_2$. As correntes que passam pelos resistores $R_1$ e $R_2$ são, respectivamente:

• (A) $0,5\text{ A}$ e $0,5\text{ A}$
• (B) $0,5\text{ A}$ e $0\text{ A}$
• (C) $1,0\text{ A}$ e $0,5\text{ A}$
• (D) $0\text{ A}$ e $1,0\text{ A}$
• (E) $0,25\text{ A}$ e $0,75\text{ A}$

Resolução Passo a Passo e Fundamentação

1. Análise de Potenciais Nodais: Adotando o nó inferior como referência de terra ($V_0=0\text{ V}$):

   • O ramo esquerdo contém a bateria $E_1=3\text{ V}$ conectada diretamente entre o terra e o nó superior. Logo, o potencial do nó superior fica rigidamente fixado em: $V_A=E_1=3,0\text{ V}$

2. Cálculo da Corrente no Resistor $R_1$: O resistor $R_1=6\Omega$ está submetido à diferença de potencial entre o nó superior ($3\text{ V}$) e o terra ($0\text{ V}$): $I_{R1}=\frac{V_A-0}{R_1}=\frac{3\text{ V}}{6\Omega }=\boxed{0,5\text{ A}}$

3. Cálculo da Corrente no Resistor $R_2$: O ramo central contém a bateria $E_2=3\text{ V}$ voltada com polaridade positiva para o nó superior e o resistor $R_2=6\Omega$ em série. A diferença de potencial sobre o resistor $R_2$ é dada pela LKV no ramo: $V_{R2}=V_A-E_2=3\text{ V}-3\text{ V}=0\text{ V}$ Aplicando a Lei de Ohm: $I_{R2}=\frac{V_{R2}}{R_2}=\frac{0\text{ V}}{6\Omega }=\boxed{0\text{ A}}$

4. Conclusão: Como a tensão imposta pela bateria $E_1$ no nó comum anula exatamente a força eletromotriz $E_2$, não há gradiente de potencial sobre $R_2$, cessando a corrente no segundo resistor.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($0,5\text{ A}$ e $0\text{ A}$).

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10. Referências Bibliográficas Normativas

• SADIKU, Matthew N. O.; ALEXANDER, Charles K. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
• NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
• BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
• HAYT, William H.; KEMMERLY, Jack E.; DURBIN, Steven M. Análise de Circuitos em Engenharia. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
• MARKUS, Otávio. Circuitos Elétricos: Corrente Contínua e Corrente Alternada — Teoria e Exercícios. 9. ed. São Paulo: Érica, 2011.