🔌 Aula 04 - Circuitos de Primeira Ordem (RC e RL) - Resposta Natural e Resposta ao Degrau

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao término desta aula, o engenheiro eletricista dominará com rigor:

1. A formulação das Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Lineares de 1ª Ordem para redes dinâmicas contendo resistores e um único elemento armazenador de energia equivalente ($C$ ou $L$).
2. A dedução analítica da Resposta Natural ($x_n(t)$) em circuitos RC e RL sem fontes externas, compreendendo o processo de dissipação por efeito Joule da energia previamente acumulada.
3. O cálculo da Resposta ao Degrau ($x_f(t)$) excitada por fontes contínuas independentes, decompondo a resposta temporal completa em parcelas transitória e de regime permanente estacionário.
4. O domínio da Fórmula Universal de Transitórios de Primeira Ordem ($x(t)=x(\infty )+[x(0^{+})-x(\infty )]e^{-t/\tau }$), aplicando o protocolo de análise em três instantes ($t=0^{-}$, $t=0^{+}$ e $t\to \infty$).
5. O significado físico e geométrico da Constante de Tempo ($\tau$): calcular $\tau =R_{th}C$ e $\tau =L/R_{th}$ através da resistência equivalente de Thévenin e aplicar o critério prático de acomodação de $5\tau$.

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🗺️ Mapa Conceitual de Transitórios de Primeira Ordem

Diagrama Arquitetural de Circuitos RC e RL

O diagrama abaixo apresenta a estrutura comparativa dos circuitos RC e RL, as curvas exponenciais canônicas de carga/descarga, a fórmula geral unificada de primeira ordem e a evolução percentual da constante de tempo $\tau$.

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Transitórios em Circuitos RLC e Polos no Plano $s$

Experimente em tempo real a evolução da resposta ao degrau ($v_C(t)$ e $i_L(t)$), o decaimento exponencial pela constante de Neper $\alpha$, as envoltórias $\pm e^{-\alpha t}$ e o deslocamento das raízes características no plano complexo $s=\sigma +j\omega$: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_circuitos_rlc_transitorios_plano_s.html]])

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1. Fundamentos Matemáticos e Físicos dos Circuitos de 1ª Ordem

Um circuito elétrico é classificado como de primeira ordem quando sua dinâmica temporal é governada por uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem com coeficientes constantes.

Fisicamente, essa condição ocorre em qualquer circuito linear que possua apenas um único elemento armazenador de energia (um capacitor ou um indutor), ou uma rede que possa ser simplificada para um único capacitor equivalente ($C_{eq}$) ou indutor equivalente ($L_{eq}$) associado a resistores e fontes independentes e dependentes.

1.1 Forma Canônica da EDO de Primeira Ordem

A equação diferencial padrão que descreve uma variável de estado $x(t)$ (onde $x(t)$ representa a tensão no capacitor $v_C(t)$ ou a corrente no indutor $i_L(t)$) tem a forma:

$$\boxed{\frac{dx(t)}{dt}+\frac{1}{\tau }x(t)=f(t)}$$

onde:

• $\tau$ é a Constante de Tempo intrínseca da rede, com dimensão física de tempo no Sistema Internacional (segundos, $\text{s}$).
• $f(t)$ é o termo de forçamento externo gerado pelas fontes de excitação do circuito.

1.2 Teorema da Decomposição da Resposta Completa

Pela teoria das equações diferenciais lineares ordinárias, a solução geral completa $x(t)$ é a superposição de duas componentes fundamentais:

$$\boxed{x(t)=x_{\text{natural}}(t)+x_{\text{forc¸ada}}(t)=x_{\text{transitoˊria}}(t)+x_{\text{permanente}}(t)}$$

1. Resposta Natural ($x_n(t)$ ou Solução Homogênea): É a resposta obtida desligando-se todas as fontes independentes ($f(t)=0$). Ela depende exclusivamente da energia inicial armazenada no capacitor ou indutor no instante da comutação e da topologia passiva da rede. Em circuitos puramente passivos com resistências positivas, $x_n(t)\to 0$ quando $t\to \infty$.
2. Resposta Forçada ($x_f(t)$ ou Solução Particular): É a resposta imposta exclusivamente pelas fontes externas de excitação, persistindo após o amortecimento da parcela natural transitória. Para excitações por corrente contínua (degrau constante), $x_f(t)=x(\infty )$ é uma constante que representa o novo estado de regime permanente.

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2. Resposta Natural de Circuitos RC e RL (Descarregamento)

2.1 O Circuito RC sem Fontes Externas

Considere um circuito composto por um capacitor $C$ previamente carregado com uma tensão inicial $V_0$ ($v_C(0)=V_0$), conectado em paralelo com um resistor $R$ no instante $t=0$:

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) no nó superior:

$$i_C(t)+i_R(t)=0$$

Substituindo as equações constitutivas dos bipolos ($i_C=C\frac{d{v}_C}{dt}$ e $i_R=\frac{v_C}{R}$):

$$C\frac{d{v}_C(t)}{dt}+\frac{v_C(t)}{R}=0⟹\frac{d{v}_C(t)}{dt}+\frac{1}{RC}{v}_C(t)=0$$

Resolvendo a equação homogênea por separação de variáveis:

$$\frac{d{v}_C}{v_C}=-\frac{1}{RC}dt⟹{\int }_{V_0}^{v_C(t)}\frac{dv}{v}=-\frac{1}{RC}{\int }_0^{t}dt$$ $$\ln \left(\frac{v_C(t)}{V_0}\right)=-\frac{t}{RC}⟹\boxed{v_C(t)=V_0\cdot e^{-t/\tau }}(t\ge 0)$$

onde a constante de tempo do circuito RC é:

$$\boxed{\tau =R\cdot C}[\text{segundos}]$$

Corrente e Potência de Descarga

A corrente que circula no resistor durante a descarga do capacitor é:

$$i_R(t)=\frac{v_C(t)}{R}=\frac{V_0}{R}{e}^{-t/\tau }$$

A potência instantânea dissipada pelo resistor é:

$$p_R(t)=R[i_R(t){]}^2=R{\left(\frac{V_0}{R}{e}^{-t/\tau }\right)}^2=\frac{V_0^2}{R}{e}^{-2t/\tau }$$

A energia total dissipada no resistor durante todo o processo de descarregamento ($t=0$ até $t\to \infty$) é:

$$W_R={\int }_0^{\infty }{p}_R(t)dt=\frac{V_0^2}{R}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/\tau }dt=\frac{V_0^2}{R}{\left[-\frac{\tau }{2}{e}^{-2t/\tau }\right]}_0^{\infty }=\frac{V_0^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}$$

Como $\tau =RC$:

$$\boxed{W_R=\frac{V_0^2}{R}\frac{RC}{2}=\frac{1}{2}C{V}_0^2}$$

Princípio de Conservação da Energia

Toda a energia eletrostática inicialmente acumulada no capacitor ($\frac{1}{2}C{V}_0^2$) é convertida integralmente em calor no resistor por efeito Joule ao longo do transitório natural, independentemente do valor da resistência $R$. O valor de $R$ afeta unicamente a taxa temporal de decaimento ($\tau$), mas nunca a quantidade total de energia dissipada.

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2.2 O Circuito RL sem Fontes Externas

Considere um indutor $L$ conduzindo uma corrente inicial $I_0$ ($i_L(0)=I_0$), conectado a um resistor $R$ no instante $t=0$:

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKV) na malha única:

$$v_L(t)+v_R(t)=0$$

Substituindo as relações constitutivas ($v_L=L\frac{d{i}_L}{dt}$ e $v_R=R{i}_L$):

$$L\frac{d{i}_L(t)}{dt}+R\cdot i_L(t)=0⟹\frac{d{i}_L(t)}{dt}+\frac{R}{L}{i}_L(t)=0$$

Integrando por separação de variáveis a partir da condição inicial $I_0$:

$${\int }_{I_0}^{i_L(t)}\frac{di}{i}=-\frac{R}{L}{\int }_0^{t}dt⟹\ln \left(\frac{i_L(t)}{I_0}\right)=-\frac{R}{L}t$$ $$\boxed{i_L(t)=I_0\cdot e^{-t/\tau }}(t\ge 0)$$

onde a constante de tempo do circuito RL é:

$$\boxed{\tau =\frac{L}{R}}[\text{segundos}]$$

Tensão Induzida e Energia Dissipada

A tensão nos terminais do indutor durante a extinção do campo magnético é:

$$v_L(t)=L\frac{d{i}_L}{dt}=L\left(-\frac{I_0}{\tau }{e}^{-t/\tau }\right)=-R{I}_0{e}^{-t/\tau }$$

A energia total dissipada no resistor durante a extinção é:

$$W_R={\int }_0^{\infty }R[i_L(t){]}^{2}dt=R{I}_0^2{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/\tau }dt=R{I}_0^2\left(\frac{\tau }{2}\right)=R{I}_0^2\left(\frac{L}{2R}\right)=\boxed{\frac{1}{2}L{I}_0^2}$$

A totalidade da energia magnética inicialmente armazenada no indutor é convertida em calor no resistor.

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3. Resposta ao Degrau em Circuitos RC e RL

A resposta ao degrau analisa a dinâmica do circuito quando subitamente energizado por uma fonte independente contínua de tensão ($V_{s}u(t)$) ou de corrente ($I_{s}u(t)$).

3.1 Resposta ao Degrau do Circuito RC Série

Para um circuito RC alimentado por uma fonte constante $V_s$ a partir de $t=0$, com tensão inicial no capacitor $v_C(0^{+})=V_0$:

A LKV na malha impõe:

$$R{i}_C(t)+v_C(t)=V_s⟹RC\frac{d{v}_C}{dt}+v_C=V_s⟹\frac{d{v}_C}{dt}+\frac{1}{\tau }{v}_C=\frac{V_s}{\tau }$$

A solução geral desta EDO linear não-homogênea é dada pela soma da solução homogênea com a particular:

• Solução particular (regime permanente estacionário para $t\to \infty$): $v_{C,\text{part}}=V_s$.
• Solução homogênea: $v_{C,\text{hom}}=A{e}^{-t/\tau }$.

Logo:

$$v_C(t)=V_s+A{e}^{-t/\tau }$$

Determinando a constante de integração $A$ através da condição inicial em $t=0^{+}$:

$$v_C(0^{+})=V_0⟹V_0=V_s+A⟹A=V_0-V_s$$

Portanto, a solução completa é:

$$\boxed{v_C(t)=V_s+(V_0-V_s)e^{-t/\tau }}(t\ge 0)$$

Se o capacitor estiver inicialmente totalmente descarregado ($V_0=0\text{ V}$):

$$\boxed{v_C(t)=V_s(1-e^{-t/\tau })}(t\ge 0)$$

A corrente no capacitor é dada pela derivada:

$$\boxed{i_C(t)=C\frac{d{v}_C}{dt}=\frac{V_s-V_0}{R}{e}^{-t/\tau }}(t\ge 0)$$

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3.2 Resposta ao Degrau do Circuito RL Série

Para um indutor $L$ conectado a uma fonte $V_s$ através de um resistor $R$ a partir de $t=0$, com corrente inicial $i_L(0^{+})=I_0$:

A LKV na malha resulta em:

$$L\frac{d{i}_L}{dt}+R{i}_L=V_s⟹\frac{d{i}_L}{dt}+\frac{1}{\tau }{i}_L=\frac{V_s/R}{\tau }$$

onde $\tau =L/R$ e a corrente final de regime permanente é $I_{\infty }=\frac{V_s}{R}$.

A solução geral é:

$$i_L(t)=I_{\infty }+(I_0-I_{\infty })e^{-t/\tau }$$

Para um indutor inicialmente desenergizado ($I_0=0\text{ A}$):

$$\boxed{i_L(t)=\frac{V_s}{R}(1-e^{-t/\tau })}(t\ge 0)$$

A tensão transitória desenvolvida nos terminais do indutor é:

$$\boxed{v_L(t)=L\frac{d{i}_L}{dt}=(V_s-R{I}_0)e^{-t/\tau }}(t\ge 0)$$

Se $I_0=0$, no instante da comutação $v_L(0^{+})=V_s$ (o indutor absorve toda a tensão da fonte como circuito aberto), decaindo exponencialmente até anular-se em regime permanente ($v_L(\infty )=0\text{ V}$, curto-circuito).

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4. A Fórmula Universal de Transitórios de Primeira Ordem

Para evitar a resolução manual da equação diferencial a cada novo circuito, utiliza-se a Fórmula Geral Universal para qualquer grandeza $x(t)$ (tensão ou corrente em qualquer elemento):

$$\boxed{x(t)=x(\infty )+\left[x(0^{+})-x(\infty )\right]e^{-t/\tau }}(t\ge 0)$$

4.1 Protocolo Sistemático em Três Instantes

A aplicação rigorosa desta fórmula exige a análise sequencial de três estados topológicos do circuito:

Instante 1: O Passado Imediato ($t=0^{-}$)

• Assume-se que o circuito estava na configuração anterior à chave há tempo suficiente para atingir o regime permanente CC.
• Substitui-se todo capacitor por circuito aberto e todo indutor por curto-circuito.
• Calculam-se as variáveis de estado: $v_C(0^{-})\text{e}{i}_L(0^{-})$

Instante 2: O Presente Imediato ($t=0^{+}$)

• Aplica-se a propriedade fundamental da continuidade física das variáveis de estado: $\boxed{v_C(0^{+})=v_C(0^{-})}\text{e}\boxed{i_L(0^{+})=i_L(0^{-})}$
• Se o objetivo for calcular a resposta transitória de outra grandeza não-reativa (como a corrente em um resistor $i_R(0^{+})$ ou a tensão em um indutor $v_L(0^{+})$), desenha-se o circuito em $t=0^{+}$ substituindo:
  • Cada capacitor por uma fonte ideal de tensão independente de valor $V_0=v_C(0^{+})$.
  • Cada indutor por uma fonte ideal de corrente independente de valor $I_0=i_L(0^{+})$.
• Resolve-se essa rede puramente resistiva estática para determinar $x(0^{+})$.

Instante 3: O Futuro Assintótico ($t\to \infty$)

• Com a chave na sua posição definitiva para $t>0$, assume-se que um tempo infinito decorreu.
• Substitui-se novamente os capacitores por circuitos abertos e os indutores por curtos-circuitos.
• Resolve-se o circuito resistivo resultante para calcular o valor final de regime permanente $x(\infty )$.

Instante 4: Cálculo da Constante de Tempo Equivalente ($\tau$)

• Desconectam-se os terminais do elemento reativo da rede.
• Desativam-se todas as fontes independentes da rede remanescente ($V_{\text{indep}}=0\to \text{curto}$, $I_{\text{indep}}=0\to \text{aberto}$), mantendo ativas eventuais fontes dependentes.
• Calcula-se a resistência equivalente de Thévenin ($R_{th}$) vista diretamente a partir dos dois terminais do elemento reativo.
• Determina-se a constante de tempo: $\boxed{\tau =R_{th}\cdot C}(\text{Circuito RC})\text{ou}\boxed{\tau =\frac{L}{R_{th}}}(\text{Circuito RL})$

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5. Análise da Constante de Tempo $\tau$ e Critério de Acomodação

5.1 Significado Geométrico e Derivada na Origem

Diferenciando a função de carga $v_C(t)=V_s(1-e^{-t/\tau })$ em $t=0$:

$${\frac{d{v}_C}{dt}|}_{t=0}={\frac{V_s}{\tau }{e}^{-t/\tau }|}_{t=0}=\frac{V_s}{\tau }$$

A equação da reta tangente traçada na origem é $y(t)=\frac{V_s}{\tau }t$.
Igualando essa reta ao valor assintótico final $y(t)=V_s$:

$$\frac{V_s}{\tau }t=V_s⟹\boxed{t=\tau }$$

Interpretação Geométrica de $\tau$

A constante de tempo $\tau$ é o tempo que a variável levaria para atingir $100\%$ do seu valor final caso mantivesse constante a sua taxa inicial de variação temporal verificada no instante da comutação.

5.2 Tabela de Evolução Temporal da Resposta Transitória

A tabela a seguir apresenta os fatores de decaimento ($e^{-t/\tau }$) e de subida ($1-e^{-t/\tau }$) para múltiplos inteiros de $\tau$:

Instante ($t$)	Fator de Decaimento ($e^{-t/\tau }$)	Fator de Subida ($1-e^{-t/\tau }$)	Estado Operacional de Engenharia
$0$	$1,0000$ ($100,0\%$)	$0,0000$ ($0,0\%$)	Instante do chaveamento ($t=0^{+}$).
$1\tau$	$0,3679$ ($36,8\%$)	$0,6321$ ($63,2\%$)	Constante de tempo: transição de $63,2\%$.
$2\tau$	$0,1353$ ($13,5\%$)	$0,8647$ ($86,5\%$)	Mais de $86\%$ completado.
$3\tau$	$0,0498$ ($5,0\%$)	$0,9502$ ($95,0\%$)	Apenas $5\%$ de erro residual.
$4\tau$	$0,0183$ ($1,8\%$)	$0,9817$ ($98,2\%$)	Menos de $2\%$ de erro.
$5\tau$	$0,0067$ ($0,7\%$)	$0,9933$ ($99,3\%$)	Regime Permanente Estabelecido!

Critério de Engenharia para Regime Permanente ( $5\tau$)

Em projetos práticos de engenharia elétrica e telecomunicações, adota-se universalmente que o transitório de primeira ordem está plenamente extinto após decorridos: $\boxed{t_{\text{estacionaˊrio}}\ge 5\tau }$ Neste ponto, o erro residual em relação ao valor assintótico é menor que $0,7\%$, situando-se abaixo da tolerância usual da maioria dos componentes passivos de precisão (geralmente $\pm 1\%$ a $\pm 5\%$).

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6. Exercícios Práticos Resolvidos Passo a Passo (Mão na Massa)

🏋️ Mão na Massa 01: Circuito RC com Chaveamento e Corrente Reversa

Enunciado: No circuito da figura, a chave permanece fechada na posição $A$ por um longo tempo. Em $t=0$, a chave é comutada instantaneamente para a posição $B$.

• Posição $A$: Conecta uma fonte contínua de $24\text{ V}$ em série com um resistor $R_1=6\Omega$ ao capacitor $C=20\mu \text{F}$.
• Posição $B$: Conecta o capacitor carregado a uma malha contendo dois resistores em série $R_2=4\Omega$ e $R_3=8\Omega$. Determine:

1. A tensão inicial do capacitor $v_C(0^{+})$.
2. A constante de tempo $\tau$ para $t\ge 0$.
3. A expressão analítica da tensão $v_C(t)$ para $t\ge 0$.
4. A corrente $i_3(t)$ que atravessa o resistor $R_3$ em $t=0^{+}$ e no instante $t=0,24\text{ ms}$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Condição Inicial em $t=0^{-}$ Para $t<0$, o capacitor esteve conectado à fonte de $24\text{ V}$ e atingiu o regime permanente (circuito aberto). Não há corrente circulando por $R_1$:

$$v_C(0^{-})=24\text{ V}$$

Pela continuidade da tensão no capacitor:

$$\boxed{v_C(0^{+})=v_C(0^{-})=24\text{ V}}$$

Passo 2: Configuração da Rede para $t\ge 0$ e Cálculo de $\tau$ Na posição $B$, a fonte de $24\text{ V}$ é desconectada. O capacitor fica conectado à combinação série de $R_2$ e $R_3$:

$$R_{eq}=R_2+R_3=4\Omega +8\Omega =12\Omega$$

A constante de tempo da descarga é:

$$\tau =R_{eq}\cdot C=12\Omega \times (20\times 10^{-6}\text{ F})=240\times 10^{-6}\text{ s}=0,24\text{ ms}=240\mu \text{s}$$

Passo 3: Expressão da Tensão $v_C(t)$ Como não há fontes ativas na malha $B$, o regime permanente final é nulo ($v_C(\infty )=0\text{ V}$). Pela fórmula de descarga natural:

$$v_C(t)=v_C(0^{+})\cdot e^{-t/\tau }=24\cdot e^{-t/(0,24\times 10^{-3})}⟹\boxed{v_C(t)=24e^{-4166,67t}\text{ V}}(t\ge 0)$$

Passo 4: Corrente $i_3(t)$ no Resistor $R_3$ A corrente de descarga da malha única é orientada de modo a descarregar o capacitor:

$$i_3(t)=\frac{v_C(t)}{R_2+R_3}=\frac{24e^{-t/\tau }}{12}=2\cdot e^{-t/\tau }\text{ A}$$

No instante inicial $t=0^{+}$:

$$i_3(0^{+})=2e^0=2\text{ A}$$

No instante $t=0,24\text{ ms}=1\tau$:

$$i_3(\tau )=2\cdot e^{-1}=2\times 0,36788=0,7358\text{ A}\approx 735,8\text{ mA}$$

$\boxed{v_C(0^{+})=24\text{ V},\tau =0,24\text{ ms},i_3(0^{+})=2\text{ A},i_3(1\tau )\approx 735,8\text{ mA}}$

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🏋️ Mão na Massa 02: Circuito RL com Sobretensão de Chaveamento

Enunciado: Um indutor de $L=2\text{ H}$ está conectado em série com um resistor $R_1=10\Omega$ a uma fonte contínua de corrente de $I_s=5\text{ A}$. Em paralelo com esse ramo RL há um interruptor inicialmente fechado que desvia toda a corrente da fonte (o ramo RL esteve desenergizado por longo tempo). Em $t=0$, o interruptor é aberto, forçando a corrente da fonte a entrar no ramo RL.

1. Determine a corrente inicial $i_L(0^{+})$ e a corrente final $i_L(\infty )$.
2. Calcule a constante de tempo do circuito.
3. Obtenha a expressão temporal de $i_L(t)$ e da tensão nos terminais do indutor $v_L(t)$ para $t\ge 0$.
4. Determine o valor da tensão no indutor no instante exato do chaveamento $t=0^{+}$ e em $t=1\text{ s}$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Determinação das Condições de Contorno

• Para $t<0$, o interruptor em curto mantinha o indutor totalmente desenergizado: $i_L(0^{-})=0\text{ A}$ Pela continuidade da corrente no indutor: $\boxed{i_L(0^{+})=i_L(0^{-})=0\text{ A}}$
• Para $t\to \infty$, o indutor comporta-se como um curto-circuito em regime permanente CC, conduzindo a totalidade da corrente da fonte: $\boxed{i_L(\infty )=I_s=5\text{ A}}$

Passo 2: Cálculo da Constante de Tempo A resistência vista pelo indutor com a fonte de corrente em circuito aberto é simplesmente $R_1=10\Omega$:

$$\tau =\frac{L}{R_1}=\frac{2\text{ H}}{10\Omega }=0,2\text{ s}$$

Passo 3: Aplicação da Fórmula Universal para $i_L(t)$

$$i_L(t)=i_L(\infty )+[i_L(0^{+})-i_L(\infty )]e^{-t/\tau }=5+[0-5]e^{-t/0,2}$$ $$\boxed{i_L(t)=5(1-e^{-5t})\text{ A}}(t\ge 0)$$

Passo 4: Expressão da Tensão no Indutor $v_L(t)$

$$v_L(t)=L\frac{d{i}_L(t)}{dt}=2\cdot \frac{d}{dt}\left[5-5e^{-5t}\right]=2\cdot \left(-5\times (-5)e^{-5t}\right)=2\cdot (25e^{-5t})$$ $$\boxed{v_L(t)=50e^{-5t}\text{ V}}(t\ge 0)$$

Passo 5: Valores Notáveis de Tensão

• Em $t=0^{+}$: $v_L(0^{+})=50e^0=50\text{ V}$ Interpretação Física: Como o indutor bloqueia a passagem instantânea de corrente ($i_L(0^{+})=0$), a corrente de $5\text{ A}$ da fonte é forçada a passar por $R_1$, mas como estão em série, a fonte ideal de corrente eleva instantaneamente sua tensão terminal para gerar a taxa $\frac{di}{dt}$, induzindo $50\text{ V}$ em $L$.
• Em $t=1\text{ s}$ ($t=5\tau$): $v_L(1\text{ s})=50e^{-5(1)}=50\times 0,006738=0,337\text{ V}\approx 0\text{ V}$ Confirmando a acomodação assintótica em curto-circuito.

$\boxed{i_L(t)=5(1-e^{-5t})\text{ A},v_L(0^{+})=50\text{ V},v_L(1\text{ s})\approx 0,34\text{ V}}$

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🏋️ Mão na Massa 03: Ponte Resistiva com Determinação de $R_{th}$

Enunciado: Um capacitor de $C=50\mu \text{F}$ está conectado entre os nós centrais de uma ponte resistiva de Wheatstone desbalanceada. Os quatro resistores da ponte são: $R_1=20\Omega$, $R_2=30\Omega$, $R_3=60\Omega$ e $R_4=40\Omega$. A ponte é excitada por uma fonte independente de tensão de $100\text{ V}$. Calcule a constante de tempo $\tau$ do transitório de carga desse capacitor.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Metodologia de Redução A dinâmica do circuito RC depende exclusivamente da capacitância $C$ e da Resistência Equivalente de Thévenin ($R_{th}$) vista diretamente a partir dos dois terminais onde o capacitor está conectado.

Passo 2: Desativação da Fonte de Excitação Para determinar $R_{th}$, desativa-se a fonte de tensão independente de $100\text{ V}$, substituindo-a por um curto-circuito.

Passo 3: Associação de Resistores Vista pelos Terminais do Capacitor Com a fonte em curto, os dois nós de alimentação da ponte tornam-se o mesmo nó.

• No braço esquerdo, os resistores $R_1$ e $R_3$ passam a estar em paralelo: $R_A=\frac{R_1\cdot R_3}{R_1+R_3}=\frac{20\times 60}{20+60}=\frac{1200}{80}=15\Omega$
• No braço direito, os resistores $R_2$ e $R_4$ passam a estar em paralelo: $R_B=\frac{R_2\cdot R_4}{R_2+R_4}=\frac{30\times 40}{30+40}=\frac{1200}{70}=\frac{120}{7}\Omega \approx 17,14\Omega$
• Em relação aos terminais do capacitor, esses dois blocos paralelos encontram-se conectados em série: $R_{th}=R_A+R_B=15+\frac{120}{7}=\frac{105+120}{7}=\frac{225}{7}\Omega \approx 32,14\Omega$

Passo 4: Cálculo da Constante de Tempo

$$\tau =R_{th}\cdot C=\left(\frac{225}{7}\Omega \right)\times (50\times 10^{-6}\text{ F})=\frac{11250\times 10^{-6}}{7}\approx 1,607\times 10^{-3}\text{ s}=1,61\text{ ms}$$

$\boxed{R_{th}=32,14\Omega ,\tau \approx 1,61\text{ ms}}$

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🏋️ Mão na Massa 04: Resposta a um Pulso Retangular de Duração Finita

Enunciado: Um circuito RL com $R=50\Omega$ e $L=100\text{ mH}$ é excitado por um pulso retangular de tensão de amplitude $V_0=10\text{ V}$ e largura temporal $T=2\text{ ms}$ ($v_s(t)=10[u(t)-u(t-2\text{ ms})]\text{ V}$). O indutor está inicialmente desenergizado ($i_L(0)=0$).

1. Determine a constante de tempo do circuito.
2. Calcule a corrente $i_L(t)$ no final do pulso ($t=2\text{ ms}$).
3. Obtenha a expressão analítica da corrente para $t\ge 2\text{ ms}$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Constante de Tempo

$$\tau =\frac{L}{R}=\frac{100\times 10^{-3}\text{ H}}{50\Omega }=2\times 10^{-3}\text{ s}=2\text{ ms}$$

Observe que a duração do pulso coincide exatamente com uma constante de tempo: $T=1\tau =2\text{ ms}$.

Passo 2: Regime de Subida ($0\le t\le 2\text{ ms}$) Durante o pulso, a fonte aplica $10\text{ V}$:

• $i_L(0^{+})=0\text{ A}$
• $i_L(\infty )=\frac{V_0}{R}=\frac{10\text{ V}}{50\Omega }=0,2\text{ A}$ Pela resposta ao degrau:

$$i_L(t)=0,2(1-e^{-t/0,002})\text{ A}(0\le t\le 2\text{ ms})$$

No instante $t=2\text{ ms}=1\tau$:

$$i_L(2\text{ ms})=0,2(1-e^{-1})=0,2\times (1-0,36788)=0,2\times 0,63212=0,1264\text{ A}=126,4\text{ mA}$$

Passo 3: Regime de Extinção ($t\ge 2\text{ ms}$) Para $t\ge 2\text{ ms}$, a tensão da fonte cai para zero ($v_s=0\text{ V}$).

• O indutor possui a corrente inicial adquirida: $I_0^{\prime }=i_L(2\text{ ms})=0,1264\text{ A}$.
• O novo valor final para onde a corrente decai é $i_L(\infty )=0\text{ A}$. Definindo uma nova variável temporal deslocada $t^{\prime }=t-2\text{ ms}$:

$$i_L(t)=I_0^{\prime }\cdot e^{-(t-2\text{ ms})/\tau }=0,1264\cdot e^{-(t-0,002)/0,002}\text{ A}(t\ge 2\text{ ms})$$

$\boxed{i_L(2\text{ ms})=126,4\text{ mA},i_L(t\ge 2\text{ ms})=0,1264e^{-500(t-0,002)}\text{ A}}$

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7. Questões de Concursos e Exames Oficiais com Gabarito Comentado

📝 Questão 01 — IBADE - 2020 - Resposta Natural de Circuito RC

Órgão: Prefeitura / Engenharia Elétrica
Enunciado: No circuito abaixo, um capacitor de $C=20\mu \text{F}$ possui tensão inicial $v_C(0)=12\text{ V}$. Em $t=0$, ele é conectado a dois resistores em série $R_2=4\Omega$ e $R_3=6\Omega$. A expressão da corrente de descarga $i(t)$ que percorre o circuito para $t\ge 0$ é:

• A) $1,2e^{-5000t}\text{ A}$
• B) $0,6e^{-6000t}\text{ A}$
• C) $12e^{-5000t}\text{ A}$
• D) $3e^{-5000t}\text{ A}$
• E) $1,2e^{-500t}\text{ A}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($1,2e^{-5000t}\text{ A}$)
• Resolução Formal:
  1. Resistência total de descarga: $R_{eq}=R_2+R_3=4\Omega +6\Omega =10\Omega$
  2. Constante de tempo: $\tau =R_{eq}\cdot C=10\Omega \times (20\times 10^{-6}\text{ F})=200\times 10^{-6}\text{ s}=0,2\text{ ms}=2\times 10^{-4}\text{ s}$
  3. Fator inverso da constante de tempo: $\frac{1}{\tau }=\frac{1}{2\times 10^{-4}}=\frac{10000}{2}=5000{\text{ s}}^{-1}$
  4. Corrente de descarga: $i(t)=\frac{v_C(0)}{R_{eq}}{e}^{-t/\tau }=\frac{12\text{ V}}{10\Omega }{e}^{-5000t}=1,2e^{-5000t}\text{ A}$ Alternativa A correta.

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📝 Questão 02 — FGV - 2016 - Resposta ao Degrau em Circuito RC

Órgão: CODEBA / Engenheiro Eletricista
Enunciado: Um circuito elétrico é composto por uma fonte contínua ideal de $V_s=271,8\text{ V}$ que alimenta, por uma chave inicialmente aberta fechada em $t=0$, um circuito RC série com $R=1\text{ k}\Omega$ e capacitor inicialmente descarregado. Sabendo que o número neperiano vale aproximadamente $e\approx 2,718$, o valor da corrente elétrica no circuito no instante $t=\tau$ (uma constante de tempo) é de:

• A) $0,10\text{ A}$
• B) $0,25\text{ A}$
• C) $0,50\text{ A}$
• D) $0,70\text{ A}$
• E) $0,85\text{ A}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($0,10\text{ A}$)
• Resolução Formal:
  1. A corrente no circuito RC série com capacitor inicialmente descarregado é dada por: $i(t)=\frac{V_s}{R}{e}^{-t/\tau }$
  2. No instante $t=\tau$: $i(\tau )=\frac{V_s}{R}{e}^{-\tau /\tau }=\frac{V_s}{R}\cdot \frac{1}{e}$
  3. Substituindo os valores numéricos fornecidos no enunciado: $i(\tau )=\frac{271,8\text{ V}}{1000\Omega }\cdot \frac{1}{2,718}=0,2718\times \frac{1}{2,718}=0,10\text{ A}$ Alternativa A correta.

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📝 Questão 03 — FGV - 2017 - Resposta ao Degrau RC com $t=\tau$

Órgão: MPE-BA / Analista Técnico - Engenharia Elétrica
Enunciado: Um circuito composto de uma fonte CC de $90,6\text{ V}$ alimenta, por meio de uma chave fechada em $t=0$, um circuito RC série com capacitor inicialmente descarregado e resistor de $R=10\text{ k}\Omega$. Adotando $e\approx 2,718$, o valor da corrente elétrica no circuito no instante $t=\tau$ é de aproximadamente:

• A) $3,33\text{ mA}$
• B) $6,66\text{ mA}$
• C) $7,33\text{ mA}$
• D) $8,33\text{ mA}$
• E) $9,66\text{ mA}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($3,33\text{ mA}$)
• Resolução Formal:
  1. Expressão da corrente transitória: $i(\tau )=\frac{V_s}{R\cdot e}$
  2. Substituindo os valores: $i(\tau )=\frac{90,6\text{ V}}{10000\Omega \times 2,718}=\frac{90,6}{27180}=\frac{90,6}{27,18\times 10^3}=\frac{10}{3}\times 10^{-3}\text{ A}\approx 3,333\text{ mA}$ Alternativa A correta.

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8. Resumo Técnico Comparativo de Bancada

Parâmetro de Projeto	Circuito RC (Capacitivo)	Circuito RL (Indutivo)
Variável de Estado Fundamental	Tensão no capacitor: $v_C(t)$	Corrente no indutor: $i_L(t)$
Regra de Continuidade	$v_C(0^{+})=v_C(0^{-})$	$i_L(0^{+})=i_L(0^{-})$
Constante de Tempo ($\tau$)	$\tau =R_{th}\cdot C$	$\tau =\frac{L}{R_{th}}$
Resposta Natural (Descarga)	$v_C(t)=V_0{e}^{-t/\tau }$	$i_L(t)=I_0{e}^{-t/\tau }$
Resposta ao Degrau ($x(0)=0$)	$v_C(t)=V_s(1-e^{-t/\tau })$	$i_L(t)=\frac{V_s}{R}(1-e^{-t/\tau })$
Fórmula Universal	$x(t)=x(\infty )+[x(0^{+})-x(\infty )]e^{-t/\tau }$	$x(t)=x(\infty )+[x(0^{+})-x(\infty )]e^{-t/\tau }$
Tempo de Acomodação Estacionária	$t_{ss}\ge 5\tau$ (atinge $99,3\%$ de regime)	$t_{ss}\ge 5\tau$ (atinge $99,3\%$ de regime)
Risco Típico de Chaveamento	Picos de alta corrente em $t=0^{+}$ se $R\to 0$	Picos de sobretensão destrutiva em $t=0^{+}$ se $R\to \infty$

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9. Referências Bibliográficas

1. SADIKU, Matthew N. O.; ALEXANDER, Charles K. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2013. (Capítulo 7: Circuitos de Primeira Ordem).
2. BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. (Capítulo 10 e 11: Resposta Transitória RC e RL).
3. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016. (Capítulo 7: Resposta Natural e ao Degrau de Circuitos RL e RC).
4. DORPH, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução aos Circuitos Elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
5. Apostila do Curso: Circuitos RL e RC - Módulos 1, 2 e 3.