Aula 03: Corrente Contínua, Densidade de Corrente, Resistência, Lei de Ohm e Circuitos CC

Visão Geral & Objetivos Pedagógicos

Esta aula estabelece a transição formal da Eletrostática para a Eletrodinâmica Estacionária. Analisamos o movimento ordenado de portadores de carga em condutores ôhmicos a partir do modelo microscópico de Drude, deduzimos o vetor densidade de corrente $\vec{J}$ e a forma pontual da Lei de Ohm ($\vec{J}=\sigma \vec{E}$). A partir de integrais de linha e superfície dos campos elétricos e densidades de fluxo, deduzimos a resistência macroscópica em geometrias axiais, radiais e esféricas. Por fim, exploramos a força eletromotriz ($\text{fem}$), o balanço energético via Efeito Joule, o Teorema da Máxima Transferência de Potência e a fundamentação eletromagnética das Leis de Kirchhoff.

---

1. Mapa Conceitual da Eletrodinâmica Estacionária

O diagrama técnico abaixo resume a hierarquia entre os postulados microscópicos de transporte, a resistência geométrica distribuída, o balanço de potência em geradores reais e as leis circuitais de conservação.

---

2. Fundamentos Microscópicos da Condução: Modelo de Drude

Em um condutor metálico isolado e em equilíbrio eletrostático, os elétrons de condução movem-se com velocidades térmicas da ordem de $v_{\text{th}}\approx 10^5\text{ a }10^6\text{ m/s}$ em trajetórias caóticas e isotrópicas. A velocidade vetorial média de translação é rigorosamente nula ($⟨\vec{v}⟩=0$).

Quando um campo elétrico interno $\vec{E}$ é sustentado por uma diferença de potencial externa, os elétrons livres (de massa $m$ e carga $q=-e$) experimentam uma força aceleradora ${\vec{F}}_e=-e\vec{E}$. Essa aceleração compete com colisões inelásticas sucessivas contra a rede cristalina de íons positivos da matriz metálica.

2.1 Dedução da Velocidade de Deriva e do Vetor Densidade de Corrente

Seja $\tau$ o tempo médio de colisão livre (tempo médio entre dois choques sucessivos de um elétron com a rede cristalina). Entre duas colisões, a aceleração média do portador é:

$\vec{a}=\frac{{\vec{F}}_e}{m}=-\frac{e\vec{E}}{m}$

Imediatamente após uma colisão, o choque aleatório reinicia isotropicamente a velocidade térmica. Portanto, a velocidade média de deriva (ou velocidade de arraste) ${\vec{v}}_d$ adquirida pelos elétrons no regime estacionário é dada por:

${\vec{v}}_d=\vec{a}\tau =-\left(\frac{e\tau }{m}\right)\vec{E}=-{\mu }_e\vec{E}$

Onde ${\mu }_e=\frac{e\tau }{m}$ é a mobilidade eletrônica do material condutor (${\text{m}}^2/(\text{V}\cdot \text{s})$).

Considere agora um condutor com densidade volumétrica de $n$ portadores livres por unidade de volume ($\text{eleˊtrons}/{\text{m}}^3$). Em um intervalo infinitesimal de tempo $dt$, todos os portadores contidos no volume oblíquo $d\mathcal{V}=({\vec{v}}_{d}dt)\cdot d\vec{A}$ atravessam um elemento diferencial de área orientada $d\vec{A}$.

A carga diferencial total que cruza essa área é:

$dq=n\cdot q\cdot d\mathcal{V}=nq({\vec{v}}_d\cdot d\vec{A})dt$

Definimos a corrente elétrica escalar $I$ como a taxa temporal de transporte de carga líquida:

$I=\frac{dq}{dt}={\iint }_S(nq{\vec{v}}_d)\cdot d\vec{A}$

Por definição vetorial, o vetor densidade de corrente $\vec{J}$ ($\text{A}/{\text{m}}^2$) é o fluxo de carga por unidade de área perpendicular:

$\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$

Substituindo a expressão microscópica da velocidade de deriva ${\vec{v}}_d=-\left(\frac{e\tau }{m}\right)\vec{E}$ para elétrons com carga $q=-e$:

$\vec{J}=n(-e)\left(-\frac{e\tau }{m}\vec{E}\right)=\left(\frac{n{e}^2\tau }{m}\right)\vec{E}$

Definindo a condutividade elétrica microscópica $\sigma$ ($\text{S/m}$ ou ${\Omega }^{-1}\cdot {\text{m}}^{-1}$):

$\boxed{\vec{J}=\sigma \vec{E}}\text{onde}\sigma =\frac{n{e}^2\tau }{m}$

Esta é a Forma Microscópica (ou Diferencial) da Lei de Ohm. A resistividade elétrica $\rho$ ($\Omega \cdot \text{m}$) é definida como o inverso multiplicativo da condutividade:

$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{m}{n{e}^2\tau }$

Escalas de Grandeza no Cobre Eletrolítico

No cobre recozido ($n\approx 8,5\times 10^{28}{\text{ eleˊtrons/m}}^3$), ao circular uma densidade de corrente industrial típica de $J=3\times 10^6{\text{ A/m}}^2$ ($3{\text{ A/mm}}^2$): $v_d=\frac{J}{ne}=\frac{3\times 10^6}{(8,5\times 10^{28})(1,6\times 10^{-19})}\approx 2,2\times 10^{-4}\text{ m/s}=0,22\text{ mm/s}$ Os elétrons demoram mais de uma hora para percorrer 1 metro de fio. O sinal elétrico e a transferência de potência, contudo, propagam-se via vetor de Poynting pelo campo eletromagnético externo com a velocidade da luz no meio circundante ($v=c/\sqrt{{\epsilon }_r}$).

---

3. A Equação da Continuidade e a Eletrodinâmica Estacionária

A conservação universal da carga elétrica estabelece que a taxa de variação da carga líquida $Q_{\text{int}}$ contida no interior de um volume arbitrário fechado $\mathcal{V}$ delimitado pela superfície gaussiana fechada $S$ deve ser rigorosamente igual ao fluxo líquido de corrente que cruza a fronteira para fora:

$I_{\text{saıˊda}}={\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}=-\frac{d{Q}_{\text{int}}}{dt}=-\frac{d}{dt}{\iiint }_{\mathcal{V}}{\rho }_{v}d\mathcal{V}$

Aplicando o Teorema da Divergência de Gauss ao fluxo do vetor densidade de corrente:

${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}={\iiint }_{\mathcal{V}}(\nabla \cdot \vec{J})d\mathcal{V}$

Igualando os integrandos para um volume infinitesimal arbitrário:

$\boxed{\nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial {\rho }_v}{\partial t}}$

Esta é a Equação da Continuidade, um postulado fundamental do eletromagnetismo.

3.1 Regime Permanente Estacionário (Circuitos CC)

Em circuitos de corrente contínua estabilizada, a densidade volumétrica de cargas em qualquer ponto geométrico não varia com o tempo:

$\frac{\partial {\rho }_v}{\partial t}=0⟹\boxed{\nabla \cdot \vec{J}=0}$

O vetor densidade de corrente $\vec{J}$ torna-se um campo puramente solenoidal (divergência nula). As linhas de corrente formam trajetórias contínuas e fechadas sem acúmulo de carga, fundamentando a Primeira Lei de Kirchhoff em escala infinitesimal.

---

4. Dedução da Resistência Elétrica e Integração em Geometrias Arbitrárias

A resistência elétrica macroscópica $R$ de um corpo condutor conectado a dois terminais equipotenciais $a$ e $b$ com diferença de potencial $V=V_a-V_b$ e corrente total conduzida $I$ é definida por:

$R=\frac{V}{I}=\frac{{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}}{{\iint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}}=\frac{{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}}{{\iint }_S\sigma \vec{E}\cdot d\vec{A}}$

4.1 Fio Condutor Cilíndrico Retilíneo Uniforme

Para um fio cilíndrico reto de comprimento $L$, seção transversal constante $A$ e condutividade homogênea $\sigma =1/\rho$:

• O campo elétrico é paralelo ao eixo axial: $E=V/L$.
• A densidade de corrente é uniforme: $J=I/A=\sigma E$.

Substituindo diretamente:

$\frac{I}{A}=\sigma \frac{V}{L}⟹V=\left(\frac{L}{\sigma A}\right)I=\left(\frac{\rho L}{A}\right)I$

$\boxed{R=\rho \frac{L}{A}}$

Esta é a Segunda Lei de Ohm clássica.

4.2 Resistor Cilíndrico Oco com Condução Radial (Isolação de Cabo Coaxial)

Considere um cilindro oco de comprimento $L$ e resistividade homogênea $\rho$, delimitado por um raio interno $a$ e raio externo $b$. Aplica-se uma tensão $V$ entre a casca interna e a casca externa, estabelecendo uma corrente radial $I$.

A área de condução perpendicular à corrente na coordenada radial $r$ é a área lateral do cilindro:

$A(r)=2\pi rL$

Um elemento diferencial de resistência entre os raios $r$ e $r+dr$ tem comprimento $dl=dr$:

$dR=\rho \frac{dr}{A(r)}=\frac{\rho }{2\pi L}\frac{dr}{r}$

Integrando da superfície interna $r=a$ até a externa $r=b$:

$R={\int }_a^b\frac{\rho }{2\pi L}\frac{dr}{r}=\frac{\rho }{2\pi L}[\ln (r){]}_a^b$

$\boxed{R_{\text{radial, cil}}=\frac{\rho }{2\pi L}\ln \left(\frac{b}{a}\right)}$

Relação de Dualidade Eletrostática-Eletrodinâmica

Observe que a capacitância de um cabo coaxial de mesmas dimensões é $C=\frac{2\pi \epsilon L}{\ln (b/a)}$. Multiplicando a resistência de fuga pela capacitância do mesmo dielétrico condutor: $R\cdot C=\left(\frac{\rho }{2\pi L}\ln \left(\frac{b}{a}\right)\right)\left(\frac{2\pi \epsilon L}{\ln \left(\frac{b}{a}\right)}\right)=\rho \epsilon =\frac{\epsilon }{\sigma }$ Essa constante de relaxação dielétrica ${\tau }_r=\frac{\epsilon }{\sigma }$ independe da geometria!

4.3 Resistor Esférico Oco com Condução Radial (Eletrodo de Aterramento)

Para duas cascas esféricas concêntricas de raios $a$ e $b$ ($b>a$) preenchidas com material de resistividade $\rho$: A área da casca à distância radial $r$ é $A(r)=4\pi r^2$. O diferencial de resistência radial é:

$dR=\rho \frac{dr}{4\pi r^2}$

Integrando de $a$ até $b$:

$R=\frac{\rho }{4\pi }{\int }_a^b{r}^{-2}dr=\frac{\rho }{4\pi }{\left[-\frac{1}{r}\right]}_a^b=\frac{\rho }{4\pi }\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$

$\boxed{R_{\text{esf}}=\frac{\rho }{4\pi }\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)}$

Quando o raio externo tende ao infinito ($b\to \infty$), obtemos a resistência de dispersão de um eletrodo esférico isolado no solo:

$R=\frac{\rho }{4\pi a}$

Para um hemisfério enterrado no plano do solo (onde o ângulo sólido é $2\pi$ esterradianos):

$R_{\text{aterramento, hemi}}=\frac{\rho }{2\pi a}$

4.4 Coeficiente Térmico de Resistividade

A resistividade elétrica varia com a temperatura devido ao aumento da agitação térmica dos átomos da rede cristalina, reduzindo o tempo livre médio de colisão $\tau$. Para variações moderadas de temperatura:

$\rho (T)={\rho }_0[1+\alpha (T-T_0)]$

Onde:

• ${\rho }_0$ é a resistividade na temperatura de referência $T_0$ (geralmente $20^{\circ }\text{C}$).
• $\alpha$ é o coeficiente térmico de temperatura (${\text{K}}^{-1}$ ou ${}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$).
  • Para metais nobres e ligas condutoras (cobre, alumínio): $\alpha >0$ (PTC — a resistência cresce com o calor).
  • Para semicondutores intrínsecos e termistores NTC: $\alpha <0$ (o calor ioniza novos pares elétron-lacuna, aumentando $n$ exponencialmente).

---

5. Força Eletromotriz, Baterias Reais e Potência

Um campo puramente eletrostático é conservativo: sua integral de linha ao longo de qualquer percurso fechado é identicamente nula ($\oint {\vec{E}}_e\cdot d\vec{l}=0$). Consequentemente, cargas elétricas em um circuito fechado não poderiam manter uma circulação contínua alimentadas apenas por forças eletrostáticas; a energia dissipada por atrito colisional nos resistores cessaria o fluxo rapidamente.

Para manter uma corrente permanente $I$, é obrigatória a existência de um dispositivo capaz de realizar trabalho contra as forças eletrostáticas, bombeando cargas do potencial mais baixo para o mais alto: a fonte de força eletromotriz ($\text{fem}$).

5.1 Definição Rigorosa de Força Eletromotriz ($\mathcal{E}$)

No interior da bateria ou gerador químico, atua um campo não conservativo ${\vec{E}}_{\text{nc}}$ (de natureza química, térmica ou eletromecânica). A $\text{fem}$ $\mathcal{E}$ é definida como o trabalho por unidade de carga realizado por essas forças não eletrostáticas em uma volta completa pelo circuito fechado:

$\mathcal{E}=\oint {\vec{E}}_{\text{nc}}\cdot d\vec{l}$

5.2 Modelo Circuital do Gerador Real

Uma fonte real possui uma resistência interna distribuída $r_{\text{int}}$, advinda da resistência dos eletrólitos e contatos internos. A tensão terminal disponível nos bornes $A$ (positivo) e $B$ (negativo) ao fornecer corrente $I$ para uma carga externa é:

$\boxed{V_{AB}=\mathcal{E}-r_{\text{int}}I}$

• Tensão de Circuito Aberto ($I=0$): $V_{AB}=\mathcal{E}$.
• Corrente de Curto-Circuito ($V_{AB}=0$): $I_{cc}=\frac{\mathcal{E}}{r_{\text{int}}}$.

5.3 Balanço Energético e Efeito Joule

Multiplicando a equação do gerador pela corrente do circuito $I$:

$V_{AB}I=\mathcal{E}I-r_{\text{int}}{I}^2⟹\mathcal{E}I=V_{AB}I+r_{\text{int}}{I}^2$

• $P_{\text{total}}=\mathcal{E}I$: Taxa de conversão de energia química em elétrica no gerador.
• $P_{\text{perda}}=r_{\text{int}}{I}^2$: Taxa de dissipação térmica interna por Efeito Joule.
• $P_{\text{util}}=V_{AB}I$: Potência elétrica efetiva entregue ao circuito de carga externo.

O rendimento elétrico do gerador é:

$\eta =\frac{P_{\text{util}}}{P_{\text{total}}}=\frac{V_{AB}}{\mathcal{E}}=1-\frac{r_{\text{int}}I}{\mathcal{E}}$

5.4 Dedução do Teorema da Máxima Transferência de Potência

Considere uma carga puramente resistiva $R_L$ conectada a um gerador real de fem $\mathcal{E}$ e resistência interna $r_{\text{int}}$.

A corrente circulante é $I=\frac{\mathcal{E}}{R_L+r_{\text{int}}}$. A potência dissipada na carga é:

$P_L(R_L)=R_L{I}^2=R_L\frac{{\mathcal{E}}^2}{(R_L+r_{\text{int}}{)}^2}$

Para encontrar o valor de $R_L$ que maximiza a potência útil fornecida, derivamos $P_L$ em relação a $R_L$ e igualamos a zero:

$\frac{d{P}_L}{d{R}_L}={\mathcal{E}}^2\frac{1\cdot (R_L+r_{\text{int}}{)}^2-R_L\cdot 2(R_L+r_{\text{int}})}{(R_L+r_{\text{int}}{)}^4}=0$

$(R_L+r_{\text{int}}{)}^2-2R_L(R_L+r_{\text{int}})=0$

Dividindo por $(R_L+r_{\text{int}})\ne 0$:

$R_L+r_{\text{int}}-2R_L=0⟹\boxed{R_L=r_{\text{int}}}$

Substituindo a condição $R_L=r_{\text{int}}$ na equação da potência:

$\boxed{P_{L,\max }=\frac{{\mathcal{E}}^2}{4r_{\text{int}}}}$

Rendimento na Condição de Máxima Transferência

Quando $R_L=r_{\text{int}}$, o rendimento do gerador é de exatamente: $\eta =\frac{R_L}{R_L+r_{\text{int}}}=\frac{r_{\text{int}}}{2r_{\text{int}}}=50\%$ Metade da energia produzida é perdida na resistência interna da fonte. Este regime é adotado em telecomunicações e processamento de sinais para casamento de impedâncias (máxima transmissão de sinal), mas é rigidamente evitado em sistemas de potência de alta energia, onde se busca rendimentos superiores a 95% ($r_{\text{int}}\ll R_L$).

---

6. As Leis de Kirchhoff e Topologia Circuital

As equações circuitais de Gustav Kirchhoff (1845) constituem aproximações concentradas (lumped element model) das equações diferenciais de Maxwell para frequências onde o comprimento de onda do campo eletromagnético é muito maior que as dimensões geométricas do circuito ($\lambda \gg d$).

6.1 Primeira Regra de Kirchhoff: Lei dos Nós (LKC)

Integre a equação da continuidade no regime estacionário ($\nabla \cdot \vec{J}=0$) sobre uma superfície fechada $S$ que envolve um nó circuital de volume infinitesimal $\mathcal{V}$:

${\iiint }_{\mathcal{V}}(\nabla \cdot \vec{J})d\mathcal{V}={\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}=0$

Como a corrente que atravessa cada condutor conectado ao nó é dada por $I_k={\iint }_{A_k}\vec{J}\cdot d\vec{A}$, temos:

$\boxed{\sum _{k=1}^N{I}_k=0\text{ou}\sum I_{\text{entram}}=\sum I_{\text{saem}}}$

Significado Físico: Conservação estrita da carga elétrica. Em regime estacionário, um nó circuital não acumula carga líquida.

6.2 Segunda Regra de Kirchhoff: Lei das Malhas (LKT)

No regime eletrostático ou estacionário, a taxa temporal de variação do fluxo magnético é nula ($\partial \vec{B}/\partial t=0$). Pela Lei de Faraday-Maxwell:

$\nabla \times \vec{E}=0$

Integrando ao longo de uma curva fechada orientada $C$ (uma malha do circuito):

${\oint }_C\vec{E}\cdot d\vec{l}={\iint }_S(\nabla \times \vec{E})\cdot d\vec{A}=0$

Separando o campo elétrico resultante em parcelas dissipativas (resistores) e fontes de fem:

$\boxed{\sum _{k=1}^M\Delta V_k=0\text{ou}\sum \mathcal{E}=\sum R_k{I}_k}$

Significado Físico: Conservação da energia eletrostática. O potencial elétrico é uma função unívoca de ponto; o trabalho realizado para deslocar uma carga de teste ao longo de um caminho fechado retornando ao ponto de partida é rigorosamente nulo.

---

7. Exercícios Oficiais Resolvidos Passo a Passo

Questão 1 (Mão na Massa Oficial — Condução e Resistor Cilíndrico Radial)

Enunciado dos Cadernos Oficiais: Considere um cilindro de comprimento $L=20\text{ cm}$, constituído de material condutor com resistividade homogênea constante $\rho =3,0\times 10^{-2}\Omega \cdot \text{m}$, oco, com raio interno $a=1,0\text{ cm}$ e raio externo $b=5,0\text{ cm}$. Se uma diferença de potencial elétrico for estabelecida entre as cascas interna e externa, uma corrente elétrica fluirá radialmente.

1. Determine a expressão analítica da resistência elétrica desse resistor cilíndrico oco.
2. Calcule o valor numérico exato da resistência elétrica $R$.
3. Se aplicarmos uma ddp $V=12\text{ V}$, determine a densidade de corrente $\vec{J}(r)$ em função da distância radial $r$.

Resolução Passo a Passo:

1. Dedução Geométrica: A corrente flui radialmente, cruzando áreas concêntricas de raio $r$ dadas por $A(r)=2\pi rL$. O elemento de resistência é: $dR=\rho \frac{dr}{2\pi rL}$ Integrando de $r=a$ até $r=b$: $R={\int }_a^b\frac{\rho }{2\pi L}\frac{dr}{r}=\frac{\rho }{2\pi L}\ln \left(\frac{b}{a}\right)$

2. Cálculo Numérico: Dados:

   • $\rho =3,0\times 10^{-2}\Omega \cdot \text{m}$
   • $L=0,20\text{ m}$
   • $a=0,01\text{ m}$
   • $b=0,05\text{ m}⟹\frac{b}{a}=5$
   • $\ln (5)\approx 1,6094$

   $R=\frac{3,0\times 10^{-2}}{2\cdot \pi \cdot 0,20}\cdot 1,6094=\frac{0,04828}{1,2566}\approx 0,03842\Omega =38,42\text{ m}\Omega$

3. Cálculo do Campo e Densidade de Corrente: A corrente total que flui radialmente sob $V=12\text{ V}$ é: $I=\frac{V}{R}=\frac{12}{0,03842}\approx 312,34\text{ A}$ A densidade de corrente $\vec{J}(r)$ à distância $r$ é: $\vec{J}(r)=\frac{I}{2\pi rL}\hat{r}=\frac{312,34}{2\pi (0,20)r}\hat{r}=\frac{248,55}{r}\hat{r}\left(\frac{\text{A}}{{\text{m}}^2}\right)$ Note que a densidade decai hiperbolicamente com $1/r$, respeitando a conservação do fluxo de corrente total.

---

Questão 2 (Mão na Massa Oficial — Análise de Circuito CC com Múltiplas Malhas e Potência)

Enunciado dos Cadernos Oficiais: No circuito CC resistivo de duas malhas ilustrado, temos duas baterias com ${\mathcal{E}}_1=12\text{ V}$ e ${\mathcal{E}}_2=12\text{ V}$ conectadas a três resistores: $R_1=4\Omega$, $R_2=6\Omega$ no ramo central comum, e $R_3=3\Omega$. Determine:

1. As correntes $I_1$, $I_2$ e $I_3$ em cada ramo.
2. A potência individual gerada por cada bateria.
3. A potência dissipada no resistor central $R_2$ de $6\Omega$.

Resolução Passo a Passo:

1. Aplicação das Leis de Kirchhoff:

   • Nó Superior: $I_2=I_1+I_3$
   • Malha Esquerda (sentido horário): ${\mathcal{E}}_1-R_1{I}_1-R_2{I}_2=0⟹12-4I_1-6(I_1+I_3)=0$ $10I_1+6I_3=12⟹5I_1+3I_3=6\text{— (Equac¸a˜o I)}$
   • Malha Direita (sentido anti-horário): ${\mathcal{E}}_2-R_3{I}_3-R_2{I}_2=0⟹12-3I_3-6(I_1+I_3)=0$ $6I_1+9I_3=12⟹2I_1+3I_3=4\text{— (Equac¸a˜o II)}$

2. Resolução do Sistema Linear: Subtraindo a Equação II da Equação I: $(5I_1+3I_3)-(2I_1+3I_3)=6-4$ $3I_1=2⟹{\mathbf{I}}_1=\frac{2}{3}\text{ A}\approx 0,667\text{ A}$

   Substituindo $I_1$ na Equação II: $2\left(\frac{2}{3}\right)+3I_3=4⟹\frac{4}{3}+3I_3=4⟹3I_3=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ ${\mathbf{I}}_3=\frac{8}{9}\text{ A}\approx 0,889\text{ A}$

   A corrente total no ramo comum $R_2$ é: $I_2=I_1+I_3=\frac{2}{3}+\frac{8}{9}=\frac{6+8}{9}=\frac{14}{9}\text{ A}\approx 1,556\text{ A}$

3. Cálculo das Potências:

   • Bateria 1: $P_{\text{bat1}}={\mathcal{E}}_1{I}_1=12\times \frac{2}{3}=8,0\text{ W}$
   • Bateria 2: $P_{\text{bat2}}={\mathcal{E}}_2{I}_3=12\times \frac{8}{9}=10,67\text{ W}$
   • Potência Total Gerada: $P_{\text{total, gerada}}=8,0+10,67=18,67\text{ W}$
   • Potência Dissipada em $R_2$ ($6\Omega$): $P_{R2}=R_2{I}_2^2=6\times {\left(\frac{14}{9}\right)}^2=6\times \frac{196}{81}=\frac{392}{27}\approx 14,52\text{ W}$
   • Verificação das Perdas em $R_1$ e $R_3$: $P_{R1}=4\times (2/3{)}^2=4\times (4/9)=16/9\approx 1,78\text{ W}$ $P_{R3}=3\times (8/9{)}^2=3\times (64/81)=64/27\approx 2,37\text{ W}$ $P_{\text{dissipada, total}}=14,52+1,78+2,37=18,67\text{ W}$ O Teorema de Tellegen ($\sum P_{\text{fornecida}}=\sum P_{\text{dissipada}}$) é estritamente satisfeito!

---

Questão 3 (Concurso Público — Petrobras / Engenharia Elétrica)

Enunciado: Uma bateria de acumuladores possui uma força eletromotriz de $\mathcal{E}=48\text{ V}$ e uma resistência interna não nula $r$. Ao conectar aos seus terminais um resistor de carga $R_1=10\Omega$, a tensão medida nos bornes cai para $V_1=40\text{ V}$.

1. Determine a resistência interna $r$ da bateria.
2. Calcule o valor da corrente de curto-circuito $I_{cc}$.
3. Para qual valor de resistência de carga conectada a esta bateria a potência transferida será máxima, e qual é o valor dessa potência máxima?

Resolução Passo a Passo:

1. Determinação da Resistência Interna $r$: Com a carga $R_1=10\Omega$ e tensão $V_1=40\text{ V}$, a corrente do circuito é: $I_1=\frac{V_1}{R_1}=\frac{40}{10}=4\text{ A}$ Pela equação do gerador real: $V_1=\mathcal{E}-r{I}_1⟹40=48-r(4)⟹4r=8⟹\mathbf{r}=2\mathbf{\Omega }$

2. Corrente de Curto-Circuito ($I_{cc}$): $I_{cc}=\frac{\mathcal{E}}{r}=\frac{48}{2}=24\text{ A}$

3. Máxima Transferência de Potência: Pelo Teorema da Máxima Transferência de Potência: $R_L=r⟹{\mathbf{R}}_{\mathbf{L}}=2\mathbf{\Omega }$ A potência máxima dissipada na carga sob essa condição é: $P_{\max }=\frac{{\mathcal{E}}^2}{4r}=\frac{48^2}{4\times 2}=\frac{2304}{8}=288\text{ W}$

---

Questão 4 (Concurso Público — CESPE / CEBRASPE — Perito Engenheiro Eletricista)

Enunciado: Em relação às grandezas de condução elétrica, julgue o item subsequente: “Em um meio condutor ôhmico, homogêneo e isotrópico de condutividade $\sigma$, a equação diferencial que rege o potencial eletrostático $V$ em uma região livre de fontes de corrente sob regime permanente de corrente contínua é a Equação de Laplace ${\nabla }^{2}V=0$.”

Resolução e Justificativa Física:

Item CORRETO. Demonstração: Pela Lei de Ohm microscópica em meio isotrópico e homogêneo: $\vec{J}=\sigma \vec{E}$ No regime estacionário de corrente contínua, a equação da continuidade impõe: $\nabla \cdot \vec{J}=0⟹\nabla \cdot (\sigma \vec{E})=0$ Sendo o meio homogêneo, $\sigma$ é uma constante escalar escalar que pode sair do operador diferencial: $\sigma (\nabla \cdot \vec{E})=0⟹\nabla \cdot \vec{E}=0$ Sabendo que no regime eletrostático/estacionário $\vec{E}=-\nabla V$, substituímos: $\nabla \cdot (-\nabla V)=0⟹\boxed{{\nabla }^{2}V=0}$ Portanto, a distribuição de potencial elétrico em condutores ôhmicos homogêneos em regime contínuo satisfaz a Equação de Laplace.

---

8. Resumo Estruturado & Fórmulas de Bolso

Grandeza / Relação	Expressão Matemática	Unidade (SI)	Significado Físico / Aplicação
Vetor Densidade de Corrente	$\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$	${\text{A/m}}^2$	Fluxo microscópico de cargas por unidade de área.
Lei de Ohm Diferencial	$\vec{J}=\sigma \vec{E}=\frac{1}{\rho }\vec{E}$	${\text{A/m}}^2$	Resposta linear dos materiais condutores ao campo.
Equação da Continuidade	$\nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial {\rho }_v}{\partial t}$	${\text{A/m}}^3$	Conservação universal da carga elétrica.
Regime Permanente CC	$\nabla \cdot \vec{J}=0⟹{\nabla }^{2}V=0$	—	Divergência nula do campo de fluxo estacionário.
Resistência Linear	$R=\rho \frac{L}{A}$	$\Omega$	Fio cilíndrico reto uniforme.
Resistência Radial Cilíndrica	$R=\frac{\rho }{2\pi L}\ln (b/a)$	$\Omega$	Dielétrico condutor em cabo coaxial de raios $a,b$.
Resistência Radial Esférica	$R=\frac{\rho }{4\pi }\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$	$\Omega$	Casca esférica ou eletrodo esférico de aterramento.
Equação do Gerador Real	$V_{AB}=\mathcal{E}-r_{\text{int}}I$	$\text{V}$	Tensão útil nos terminais de uma fonte real.
Máxima Transferência	$R_L=r_{\text{int}}⟹P_{\max }=\frac{{\mathcal{E}}^2}{4r_{\text{int}}}$	$\text{W}$	Condição ótima de potência (rendimento $\eta =50\%$).
Leis de Kirchhoff	$\sum I_{\text{noˊ}}=0$ ; $\sum \Delta V_{\text{malha}}=0$	$\text{A}$ / $\text{V}$	Conservação de carga e energia em modelos concentrados.

---

9. Próximos Passos & Navegação

• ⬅️ Aula Anterior: Aula 02 - Lei de Gauss, Superfícies Gaussianas, Potencial Eletrostático e Energia
• ➡️ Próxima Aula: Aula 04 - Magnetostática, Força Magnética de Lorentz, Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère
• 📚 MOC Central: 01 Eletricidade e Magnetismo