🔌 Aula 03 - Elementos Armazenadores de Energia - Indutores e Capacitores em Regime CC

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao término desta aula, o engenheiro eletricista dominará plenamente:

1. As relações constitutivas integro-diferenciais do indutor ($v=L\frac{di}{dt}$) e do capacitor ($i=C\frac{dv}{dt}$), compreendendo suas raízes na Lei da Indução de Faraday e na Lei de Gauss.
2. As propriedades de continuidade temporal das variáveis de estado: demonstrar matematicamente por que a corrente no indutor $i_L(t)$ e a tensão no capacitor $v_C(t)$ não podem sofrer variações descontínuas instantâneas em redes excitadas por fontes de energia finita.
3. A dedução analítica da energia acumulada: derivar as expressões $w_L=\frac{1}{2}L{i}_L^2$ e $w_C=\frac{1}{2}C{v}_C^2$ através da integração da potência instantânea.
4. As regras de associação dual de bipolos reativos: simplificar malhas complexas série, paralelo e mistas contendo múltiplos indutores e capacitores.
5. A análise em regime permanente sob corrente contínua (CC): modelar indutores como curtos-circuitos ideais e capacitores como circuitos abertos ideais para $t\to \infty$, calculando o estado estacionário de tensões, correntes e energias armazenadas.
6. A formulação analítica via Funções de Singularidade: expressar matematicamente sinais canônicos de chaveamento (Degrau Unitário, Impulso de Dirac e Rampa) e decompor formas de onda arbitrárias.

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🗺️ Mapa Conceitual dos Elementos Armazenadores e Singularidades

Diagrama Arquitetural de Armazenamento Dinâmico

O infográfico abaixo resume a dualidade física e matemática entre o Indutor (armazenamento no campo magnético) e o Capacitor (armazenamento no campo elétrico), suas regras de equivalência e a cadeia operacional das funções de singularidade.

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1. O Elemento Indutor e o Campo Magnético

O indutor é um bipolo passivo linear projetado especificamente para armazenar energia sob a forma de um campo magnético induzido pela circulação de corrente elétrica.

1.1 Fundamentos Físicos e Relação Constitutiva

Fisicamente, um indutor consiste em um condutor elétrico enrolado em forma de espiras helicoidais (solenoide ou toroide) em torno de um núcleo magnético de permeabilidade $\mu$.

Pela Lei de Ampère, a passagem de uma corrente $i(t)$ pelas $N$ espiras produz um fluxo magnético concatenado total $\lambda (t)=N\Phi (t)$. Em meios magnéticos lineares e não-saturados, esse fluxo é diretamente proporcional à corrente:

$$\lambda (t)=L\cdot i(t)$$

onde $L$ é a indutância própria do elemento, expressa no Sistema Internacional em Henrys ($\text{H}$), equivalente a $\text{V}\cdot \text{s}/\text{A}$ ou $\text{Wb}/\text{A}$. Para um solenoide ideal de comprimento $l$, seção reta transversal $A$ e permeabilidade $\mu ={\mu }_r{\mu }_0$:

$$\boxed{L=\frac{\mu N^{2}A}{l}}$$

Pela Lei da Indução de Faraday-Lenz, a taxa temporal de variação do fluxo magnético induz nos terminais do indutor uma força contra-eletromotriz. Adotando a convenção de sinal para elementos passivos (a corrente entra pelo terminal positivo da tensão):

$$\boxed{v(t)=L\frac{di(t)}{dt}}$$

Isolando a corrente por integração direta no domínio do tempo entre um instante inicial $t_0$ e um instante genérico $t$:

$$\boxed{i(t)=\frac{1}{L}{\int }_{t_0}^{t}v(\tau )d\tau +i(t_0)}$$

onde $i(t_0)$ representa a condição inicial da corrente estabelecida no indutor (memória magnética do componente).

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1.2 Dedução da Energia Armazenada no Campo Magnético

A potência instantânea $p(t)$ entregue ao indutor é:

$$p(t)=v(t)\cdot i(t)=\left(L\frac{di(t)}{dt}\right)\cdot i(t)=L\cdot i(t)\frac{di(t)}{dt}$$

A energia total acumulada $w_L(t)$ desde $t=-\infty$ (assumindo $i(-\infty )=0$) até um instante $t$ é a integral temporal da potência:

$$w_L(t)={\int }_{-\infty }^{t}p(\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{t}L\cdot i(\tau )\frac{di(\tau )}{d\tau }d\tau$$

Mudando a variável de integração de tempo $\tau$ para corrente $i$:

$$w_L(t)=L{\int }_0^{i(t)}idi=L{\left[\frac{i^2}{2}\right]}_0^{i(t)}$$ $$\boxed{w_L(t)=\frac{1}{2}L[i(t){]}^2}[\text{Joules}]$$

Como $L>0$ e $[i(t){]}^2\ge 0$, a energia magnética armazenada é estritamente não-negativa ($w_L\ge 0$). O indutor ideal é um componente passivo não-dissipativo: ele armazena energia transferida pelo circuito e pode devolvê-la integralmente, sem consumir potência média líquida em regime periódico.

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1.3 Propriedade da Continuidade da Corrente e Comportamento CC

Teorema da Continuidade da Corrente no Indutor

Em qualquer circuito físico onde as tensões permaneçam finitas, a corrente através de um indutor não pode variar descontinuamente: $i_L(t_0^{+})=i_L(t_0^{-})$ Demonstração Analítica: Se a corrente sofresse um salto finito instantâneo em $t=t_0$, a sua derivada temporal conteria uma singularidade do tipo impulso de Dirac: $\frac{d{i}_L}{dt}=\Delta I\cdot \delta (t-t_0)⟹v_L(t_0)=L\cdot \Delta I\cdot \delta (t-t_0)\to \infty$ Como tensões infinitas violam as restrições físicas de conservação de energia e rigidez dielétrica, a corrente deve ser uma função contínua do tempo.

Implicação Prática: A tentativa de interrupção mecânica brusca da corrente em uma carga altamente indutiva (abertura de relés ou contatores sem diodo de roda livre) gera um pico de sobretensão destrutivo ($v_L\to \infty$), deflagrando arcos elétricos e perfuração de isolamento.

Comportamento em Regime Permanente sob Corrente Contínua (CC)

Após um chaveamento, à medida que o tempo evolui ($t\to \infty$), o circuito atinge o regime permanente estacionário onde todas as grandezas tornam-se constantes no tempo. Logo:

$$\frac{d{i}_L}{dt}=0⟹v_L=L\cdot 0=0\text{ V}$$

Como a diferença de potencial entre os terminais é nula para qualquer corrente que o atravesse, o indutor comporta-se em regime permanente CC como um curto-circuito ideal.

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2. O Elemento Capacitor e o Campo Elétrico

O capacitor é o bipolo passivo dual do indutor, construído para acumular cargas elétricas estáticas e armazenar energia no campo eletrostático estabelecido em seu interior.

2.1 Fundamentos Físicos e Relação Constitutiva

Um capacitor elementar é constituído por duas placas condutoras de área $A$, separadas por uma distância $d$ preenchida por um material isolante (dielétrico) de permissividade elétrica $\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0$.

A aplicação de uma diferença de potencial $v(t)$ entre as placas provoca o acúmulo de cargas elétricas de sinais opostos $+q$ e $-q$ nas superfícies condutoras:

$$q(t)=C\cdot v(t)$$

A constante de proporcionalidade $C$ é a capacitância, expressa no Sistema Internacional em Farads ($\text{F}$), equivalente a $\text{Coulombs}/\text{Volt}$ ($\text{C}/\text{V}$). Para placas planas e paralelas:

$$\boxed{C=\frac{\epsilon A}{d}}$$

Como a corrente elétrica é a taxa temporal de fluxo de carga ($i=dq/dt$), diferenciando a relação constitutiva obtém-se:

$$\boxed{i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}}$$

Invertendo a equação diferencial por integração temporal no intervalo $[t_0,t]$:

$$\boxed{v(t)=\frac{1}{C}{\int }_{t_0}^{t}i(\tau )d\tau +v(t_0)}$$

onde $v(t_0)$ é a condição inicial de tensão sobre as placas (memória de carga eletrostática do componente).

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2.2 Dedução da Energia Armazenada no Campo Eletrostático

A potência instantânea $p(t)$ entregue ao capacitor é dada por:

$$p(t)=v(t)\cdot i(t)=v(t)\cdot \left(C\frac{dv(t)}{dt}\right)=C\cdot v(t)\frac{dv(t)}{dt}$$

A energia total eletrostática $w_C(t)$ acumulada desde $t=-\infty$ (assumindo $v(-\infty )=0$) é:

$$w_C(t)={\int }_{-\infty }^{t}p(\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{t}C\cdot v(\tau )\frac{dv(\tau )}{d\tau }d\tau$$

Integrando em relação à variável de tensão $v$:

$$w_C(t)=C{\int }_0^{v(t)}vdv=C{\left[\frac{v^2}{2}\right]}_0^{v(t)}$$ $$\boxed{w_C(t)=\frac{1}{2}C[v(t){]}^2}[\text{Joules}]$$

Como $C>0$ e $[v(t){]}^2\ge 0$, o capacitor armazena energia puramente não-negativa ($w_C\ge 0$) e devolve-a ao circuito sem perdas térmicas internas no modelo ideal.

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2.3 Propriedade da Continuidade da Tensão e Comportamento CC

Teorema da Continuidade da Tensão no Capacitor

Em qualquer circuito físico onde as correntes de excitação permaneçam limitadas (não-impulsivas), a tensão nos terminais de um capacitor não pode variar descontinuamente: $v_C(t_0^{+})=v_C(t_0^{-})$ Demonstração Analítica: Uma transição abrupta em $v_C(t)$ em $t=t_0$ acarretaria: $\frac{d{v}_C}{dt}=\Delta V\cdot \delta (t-t_0)⟹i_C(t_0)=C\cdot \Delta V\cdot \delta (t-t_0)\to \infty$ Como uma fonte física não pode fornecer potência infinita instantânea, a tensão no capacitor é obrigatoriamente uma função contínua do tempo.

Comportamento em Regime Permanente sob Corrente Contínua (CC)

No regime estacionário de corrente contínua ($t\to \infty$), todas as tensões tornam-se constantes. Portanto:

$$\frac{d{v}_C}{dt}=0⟹i_C=C\cdot 0=0\text{ A}$$

Como nenhuma corrente flui através do capacitor em regime constante, o capacitor comporta-se em regime permanente CC como um circuito aberto ideal.

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3. Teoria Dual de Associações de Bipolos Reativos

A dualidade entre grandezas magnéticas e eletrostáticas se reflete de maneira inversa nas fórmulas de associação de indutores e capacitores.

3.1 Associação de Indutores

• Indutores em Série: Conectados em cascata compartilhando a mesma corrente $i(t)$. Pela LKV: $v_{\text{total}}(t)=v_1+v_2+\cdots +v_n=L_1\frac{di}{dt}+L_2\frac{di}{dt}+\cdots +L_n\frac{di}{dt}=\left({\sum }_{k=1}^n{L}_k\right)\frac{di}{dt}$ $\boxed{L_{eq,\text{seˊrie}}=\sum _{k=1}^n{L}_k}$

• Indutores em Paralelo: Conectados entre os mesmos nós sob a mesma tensão $v(t)$. Pela LKC: $i_{\text{total}}(t)=i_1+i_2+\cdots +i_n⟹\frac{1}{L_{eq}}\int vdt=\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{L_k}\right)\int vdt$ $\boxed{\frac{1}{L_{eq,\text{paralelo}}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{L_k}}$ Para dois indutores em paralelo: $\boxed{L_{eq}=\frac{L_1\cdot L_2}{L_1+L_2}}$

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3.2 Associação de Capacitores

• Capacitores em Paralelo: Compartilham a mesma tensão $v(t)$. As correntes se somam pela LKC: $i_{\text{total}}(t)=i_1+i_2+\cdots +i_n=C_1\frac{dv}{dt}+C_2\frac{dv}{dt}+\cdots +C_n\frac{dv}{dt}=\left({\sum }_{k=1}^n{C}_k\right)\frac{dv}{dt}$ $\boxed{C_{eq,\text{paralelo}}=\sum _{k=1}^n{C}_k}$

• Capacitores em Série: Compartilham a mesma corrente $i(t)$. As tensões se somam pela LKV: $v_{\text{total}}(t)=v_1+v_2+\cdots +v_n⟹\frac{1}{C_{eq}}\int idt=\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{C_k}\right)\int idt$ $\boxed{\frac{1}{C_{eq,\text{seˊrie}}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{C_k}}$ Para dois capacitores em série: $\boxed{C_{eq}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}}$

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3.3 Tabela Comparativa Universal de Bipolos Passivos

Característica / Bipolo	Resistor ($R$)	Indutor ($L$)	Capacitor ($C$)
Relação $v-i$ Direta	$v(t)=R\cdot i(t)$	$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$	$v(t)=\frac{1}{C}\int idt+v_0$
Relação $i-v$ Inversa	$i(t)=G\cdot v(t)$	$i(t)=\frac{1}{L}\int vdt+i_0$	$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$
Energia Armazenada	Nula (dissipa calor: $P=R{i}^2$)	Magnética: $w_L=\frac{1}{2}L{i}^2$	Elétrica: $w_C=\frac{1}{2}C{v}^2$
Regime Permanente CC	Permanece $R$ inalterado	Curto-Circuito ($v_L=0$)	Circuito Aberto ($i_C=0$)
Variável de Estado Contínua	Nenhuma (varia instantâneo)	Corrente: $i_L(0^{+})=i_L(0^{-})$	Tensão: $v_C(0^{+})=v_C(0^{-})$
Associação em Série	Soma: $R_{eq}=\sum R_k$	Soma: $L_{eq}=\sum L_k$	Harmônica: $\frac{1}{C_{eq}}=\sum \frac{1}{C_k}$
Associação em Paralelo	Harmônica: $\frac{1}{R_{eq}}=\sum \frac{1}{R_k}$	Harmônica: $\frac{1}{L_{eq}}=\sum \frac{1}{L_k}$	Soma: $C_{eq}=\sum C_k$

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4. Funções de Singularidade em Engenharia Elétrica

As funções de singularidade (descontinuidades canônicas) são ferramentas matemáticas indispensáveis para modelar operações de abertura e fechamento de interruptores, pulsos lógicos e transitórios atmosféricos.

4.1 A Função Degrau Unitário $u(t-t_0)$

A função degrau de Heaviside deslocada para o instante $t_0$ é definida por:

$$u(t-t_0)=\{\begin{array}{ll}0,& t<t_0\\ 1,& t>t_0\end{array}$$

Em $t=t_0$, a função é indefinida ou convencionada como $1/2$. Ela representa a aplicação instantânea de uma excitação contínua constante a partir do instante $t_0$.

Aplicação em Janelamento Temporal (Pulso Retangular)

Um pulso de tensão de amplitude $V_0$, com início em $t=t_1$ e término em $t=t_2$ ($t_2>t_1$), é sintetizado subtraindo-se dois degraus:

$$v(t)=V_0[u(t-t_1)-u(t-t_2)]$$

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4.2 A Função Impulso Unitário $\delta (t-t_0)$ (Delta de Dirac)

O impulso unitário é a derivada distribucional da função degrau unitário:

$$\delta (t-t_0)=\frac{d}{dt}u(t-t_0)$$

Possui as seguintes propriedades matemáticas fundamentais:

1. Nulidade fora da origem: $\delta (t-t_0)=0$ para todo $t\ne t_0$.
2. Integral de Área Unitária: $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_0)dt=1$$
3. Propriedade da Filtragem (Sifting Property): $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot \delta (t-t_0)dt=f(t_0)$$

Na engenharia de circuitos, uma fonte de tensão impulsiva $v(t)={\Lambda }_0\delta (t)$ é a única entidade teórica capaz de provocar uma variação desfeita instantânea de corrente em um indutor:

$$\Delta i_L=\frac{1}{L}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}{\Lambda }_0\delta (t)dt=\frac{{\Lambda }_0}{L}$$

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4.3 A Função Rampa Unitária $r(t-t_0)$

A função rampa unitária é a integral da função degrau unitário:

$$r(t-t_0)={\int }_{-\infty }^{t}u(\tau -t_0)d\tau =(t-t_0)\cdot u(t-t_0)=\{\begin{array}{ll}0,& t<t_0\\ t-t_0,& t\ge t_0\end{array}$$

Ela modela fontes de teste que aumentam linearmente com taxa constante (como circuitos de varredura dente-de-serra em osciloscópios e modulação PWM).

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5. Metodologia de Análise em Regime Permanente CC

Para analisar circuitos complexos contendo resistores, fontes contínuas independentes/dependentes, capacitores e indutores operando há muito tempo sob mesma configuração ($t\to \infty$):

1. Substituição dos Indutores: Substitui-se cada indutor por um curto-circuito ($v_L=0$). O condutor agora conduz a corrente contínua de regime estacionário $i_L(\infty )$.
2. Substituição dos Capacitores: Substitui-se cada capacitor por um circuito aberto ($i_C=0$). Os nós antes ocupados pelo capacitor agora sustentam a tensão de regime estacionário $v_C(\infty )$.
3. Resolução da Rede Resistiva: Utilizam-se as técnicas canônicas (Análise Nodal, Análise de Malhas, Thévenin ou Divisores de Tensão/Corrente) para encontrar as variáveis de interesse $v_C(\infty )$ e $i_L(\infty )$.
4. Cálculo da Energia Acumulada Estática: $W_{L,\infty }=\frac{1}{2}L[i_L(\infty ){]}^2\text{e}{W}_{C,\infty }=\frac{1}{2}C[v_C(\infty ){]}^2$

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6. Exercícios Práticos Resolvidos Passo a Passo (Mão na Massa)

🏋️ Mão na Massa 01: Associação Mista de Indutores e Cálculo Dinâmico

Enunciado: Três indutores de indutâncias $L_1=30\text{ H}$, $L_2=20\text{ H}$ e $L_3=30\text{ H}$ estão dispostos da seguinte forma: $L_2$ e $L_3$ estão associados em série, e esse conjunto em série é colocado em paralelo com $L_1$. Um quarto indutor $L_4=17,5\text{ H}$ está em série com o bloco equivalente anterior.

1. Calcule a indutância equivalente total vista pelos terminais de entrada ($L_{eq}$).
2. Se a corrente que entra pelo conjunto for dada por uma rampa linear $i(t)=4t\text{ A}$ (para $t\ge 0$), determine a expressão da tensão $v(t)$ nos terminais do circuito e a energia total magnética armazenada no instante $t=2\text{ s}$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Associação em série de $L_2$ e $L_3$

$$L_{23}=L_2+L_3=20\text{ H}+30\text{ H}=50\text{ H}$$

Passo 2: Associação em paralelo de $L_{23}$ com $L_1$

$$L_p=\frac{L_1\cdot L_{23}}{L_1+L_{23}}=\frac{30\times 50}{30+50}=\frac{1500}{80}=18,75\text{ H}$$

Passo 3: Associação em série com $L_4$

$$L_{eq}=L_p+L_4=18,75\text{ H}+17,5\text{ H}=36,25\text{ H}$$

$\boxed{L_{eq}=36,25\text{ H}}$

Passo 4: Cálculo da Tensão Terminal Dinâmica Pela equação constitutiva:

$$v(t)=L_{eq}\frac{di(t)}{dt}=36,25\cdot \frac{d}{dt}(4t)=36,25\times 4=145\text{ V}(\forall t>0)$$

A tensão gerada nos terminais do conjunto é uma constante de $145\text{ V}$.

Passo 5: Energia Magnética em $t=2\text{ s}$ Corrente no instante $t=2\text{ s}$:

$$i(2)=4(2)=8\text{ A}$$

Energia armazenada:

$$w_L(2)=\frac{1}{2}{L}_{eq}[i(2){]}^2=\frac{1}{2}\times 36,25\times (8{)}^2=\frac{1}{2}\times 36,25\times 64=36,25\times 32=1160\text{ J}$$

$\boxed{v(t)=145\text{ V},w_L(2\text{ s})=1160\text{ J}}$

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🏋️ Mão na Massa 02: Associação Mista de Capacitores e Distribuição de Carga

Enunciado: Três capacitores idênticos $C_1=C_2=C_3=100\mu \text{F}$ estão conectados tal que $C_1$ e $C_2$ estão ligados em série, e essa combinação série é ligada em paralelo com $C_3$. Aplica-se aos terminais dessa rede uma tensão contínua de $60\text{ V}$.

1. Determine a capacitância equivalente total $C_{eq}$.
2. Calcule a carga acumulada em cada capacitor ($q_1,q_2,q_3$).
3. Calcule a energia total eletrostática armazenada na rede.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Capacitância Equivalente do Ramo Série ($C_1$ e $C_2$)

$$C_{12}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}=\frac{100\times 100}{100+100}=\frac{10000}{200}=50\mu \text{F}$$

Passo 2: Capacitância Equivalente Total ($C_{12}$ em paralelo com $C_3$)

$$C_{eq}=C_{12}+C_3=50\mu \text{F}+100\mu \text{F}=150\mu \text{F}$$

$\boxed{C_{eq}=150\mu \text{F}}$

Passo 3: Distribuição de Cargas e Tensões A tensão total de $60\text{ V}$ aparece integralmente sobre o ramo de $C_3$:

$$v_3=60\text{ V}⟹q_3=C_3\cdot v_3=(100\mu \text{F})\times 60\text{ V}=6000\mu \text{C}=6\text{ mC}$$

No ramo série ($C_1$ e $C_2$), os dois capacitores são iguais, logo a tensão divide-se igualmente:

$$v_1=v_2=\frac{60\text{ V}}{2}=30\text{ V}$$

A carga de cada capacitor em série é a mesma:

$$q_1=C_1\cdot v_1=(100\mu \text{F})\times 30\text{ V}=3000\mu \text{C}=3\text{ mC}$$ $$q_2=C_2\cdot v_2=(100\mu \text{F})\times 30\text{ V}=3000\mu \text{C}=3\text{ mC}$$

Verificação da Carga Total: $q_{\text{total}}=C_{eq}\cdot V=150\mu \text{F}\times 60\text{ V}=9000\mu \text{C}=q_3+q_{\text{seˊrie}}=6000+3000=9000\mu \text{C}$. (Consistente!).

Passo 4: Energia Eletrostática Total Armazenada

$$w_{\text{total}}=\frac{1}{2}{C}_{eq}{V}^2=\frac{1}{2}\times (150\times 10^{-6}\text{ F})\times (60\text{ V}{)}^2$$ $$w_{\text{total}}=75\times 10^{-6}\times 3600=0,27\text{ J}=270\text{ mJ}$$

$\boxed{C_{eq}=150\mu \text{F},q_1=q_2=3\text{ mC},q_3=6\text{ mC},w_{\text{total}}=270\text{ mJ}}$

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🏋️ Mão na Massa 03: Análise Completa de Circuito CC em Regime Permanente

Enunciado: O circuito abaixo é alimentado por uma fonte independente de tensão contínua de $40\text{ V}$. Em série com a fonte há um resistor $R_1=4\Omega$. Em seguida, o circuito se ramifica em dois ramos paralelos:

• Ramo 1: Resistor $R_2=6\Omega$ em série com um indutor $L=2\text{ H}$.
• Ramo 2: Resistor $R_3=12\Omega$ em paralelo com um capacitor $C=5\mu \text{F}$. Determine, no regime permanente estacionário ($t\to \infty$):

1. A corrente fornecida pela fonte de $40\text{ V}$.
2. A corrente no indutor $i_L(\infty )$ e a tensão no capacitor $v_C(\infty )$.
3. A energia magnética armazenada em $L$ e a energia elétrica armazenada em $C$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Substituição pelo Circuito Equivalente CC Em regime permanente sob excitação CC ($t\to \infty$):

• O indutor $L=2\text{ H}$ torna-se um curto-circuito ($v_L=0$). O Ramo 1 passa a ser puramente resistivo com $R_2=6\Omega$.
• O capacitor $C=5\mu \text{F}$ torna-se um circuito aberto ($i_C=0$). O Ramo 2 passa a ser composto unicamente pelo resistor $R_3=12\Omega$.

Passo 2: Resistência Equivalente Total Vista pela Fonte Os ramos paralelos possuem resistores $R_2=6\Omega$ e $R_3=12\Omega$:

$$R_p=\frac{R_2\cdot R_3}{R_2+R_3}=\frac{6\times 12}{6+12}=\frac{72}{18}=4\Omega$$

A resistência total equivalente do circuito é:

$$R_{\text{total}}=R_1+R_p=4\Omega +4\Omega =8\Omega$$

Passo 3: Corrente Total Fornecida pela Fonte ($i_{\text{fonte}}$)

$$i_{\text{fonte}}=\frac{V_s}{R_{\text{total}}}=\frac{40\text{ V}}{8\Omega }=5\text{ A}$$

Passo 4: Tensão no Nó Central de Paralelo ($v_p$)

$$v_p=R_p\cdot i_{\text{fonte}}=4\Omega \times 5\text{ A}=20\text{ V}$$

Como o capacitor está em paralelo direto com $R_3$:

$$\boxed{v_C(\infty )=v_p=20\text{ V}}$$

Passo 5: Corrente no Indutor ($i_L$) Como o indutor está em série com $R_2$ submetido à tensão $v_p$:

$$\boxed{i_L(\infty )=\frac{v_p}{R_2}=\frac{20\text{ V}}{6\Omega }=\frac{10}{3}\text{ A}\approx 3,33\text{ A}}$$

Passo 6: Cálculo das Energias Armazenadas

• Energia Magnética em $L$: $w_L=\frac{1}{2}L[i_L(\infty ){]}^2=\frac{1}{2}\times 2\text{ H}\times {\left(\frac{10}{3}\right)}^2=\frac{100}{9}\approx 11,11\text{ J}$
• Energia Elétrica em $C$: $w_C=\frac{1}{2}C[v_C(\infty ){]}^2=\frac{1}{2}\times (5\times 10^{-6}\text{ F})\times (20\text{ V}{)}^2=2,5\times 10^{-6}\times 400=10^{-3}\text{ J}=1\text{ mJ}$

$\boxed{i_L(\infty )=3,33\text{ A},v_C(\infty )=20\text{ V},w_L=11,11\text{ J},w_C=1\text{ mJ}}$

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🏋️ Mão na Massa 04: Síntese de Pulso Trapezoidal com Funções de Singularidade

Enunciado: Um transiente de comutação gera nos terminais de um indutor de $L=500\text{ mH}$ uma forma de onda de tensão $v(t)$ que inicia em zero, sobe linearmente de $0\text{ V}$ até $10\text{ V}$ no intervalo de $0$ a $2\text{ s}$, permanece constante em $10\text{ V}$ de $t=2\text{ s}$ até $t=5\text{ s}$, e decresce linearmente até zero entre $t=5\text{ s}$ e $t=7\text{ s}$, mantendo-se em zero para $t\ge 7\text{ s}$.

1. Escreva a equação analítica de $v(t)$ utilizando funções degrau unitário e rampa unitária.
2. Determine a corrente $i(t)$ no indutor no instante $t=5\text{ s}$, assumindo corrente inicial nula em $t=0$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Determinação das Taxas de Variação (Inclinações)

• Tramo 1 ($0\le t\le 2$): Rampa ascendente de inclinação $m_1=\frac{10-0}{2-0}=5\text{ V/s}$.
• Tramo 2 ($2\le t\le 5$): Tensão constante, inclinação $m_2=0$. Variação de inclinação em $t=2$: $\Delta m=0-5=-5\text{ V/s}$.
• Tramo 3 ($5\le t\le 7$): Rampa descendente de inclinação $m_3=\frac{0-10}{7-5}=-5\text{ V/s}$. Variação de inclinação em $t=5$: $\Delta m=-5-0=-5\text{ V/s}$.
• Tramo 4 ($t\ge 7$): Tensão constante nula, inclinação $m_4=0$. Variação de inclinação em $t=7$: $\Delta m=0-(-5)=+5\text{ V/s}$.

Passo 2: Expressão em Termos de Rampas Unitárias $r(t)$

$$\boxed{v(t)=5r(t)-5r(t-2)-5r(t-5)+5r(t-7)}$$

Passo 3: Determinação da Corrente no Indutor em $t=5\text{ s}$ Pela integral da tensão:

$$i(5)=\frac{1}{L}{\int }_0^{5}v(\tau )d\tau +i(0)$$

Como $L=0,5\text{ H}$ e $i(0)=0$, a integral ${\int }_0^{5}v(\tau )d\tau$ é geometricamente a área sob a curva de tensão entre $t=0$ e $t=5\text{ s}$:

• Área do triângulo ($0$ a $2\text{ s}$): $A_1=\frac{\text{base}\times \text{altura}}{2}=\frac{2\times 10}{2}=10\text{ V}\cdot \text{s}$
• Área do retângulo ($2$ a $5\text{ s}$): $A_2=\text{base}\times \text{altura}=(5-2)\times 10=3\times 10=30\text{ V}\cdot \text{s}$ Área total acumulada:

$${\text{Aˊrea}}_{[0,5]}=10+30=40\text{ V}\cdot \text{s}$$

Substituindo na equação da corrente:

$$i(5)=\frac{1}{0,5}\times 40=2\times 40=80\text{ A}$$

$\boxed{i(5\text{ s})=80\text{ A}}$

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7. Questões de Concursos e Exames Oficiais com Gabarito Comentado

📝 Questão 01 — SEDUC - 2016 - Associação de Capacitores

Órgão: Secretaria de Educação / Professor de Eletrotécnica
Enunciado: Um conjunto de três capacitores idênticos $C_1=C_2=C_3=100\mu \text{F}$ é montado de modo que dois capacitores estão ligados em série entre si, e essa combinação série está em paralelo com o terceiro capacitor. A capacitância total equivalente dessa montagem é igual a:

• A) $16,6\mu \text{F}$
• B) $66,6\mu \text{F}$
• C) $200\mu \text{F}$
• D) $150\mu \text{F}$
• E) $300\mu \text{F}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($150\mu \text{F}$)
• Resolução Formal:
  1. A associação em série de dois capacitores de $100\mu \text{F}$ resulta em: $C_{\text{seˊrie}}=\frac{100\times 100}{100+100}=\frac{10000}{200}=50\mu \text{F}$
  2. A associação desse ramo de $50\mu \text{F}$ em paralelo com o terceiro capacitor de $100\mu \text{F}$ soma diretamente as capacitâncias: $C_{eq}=C_{\text{seˊrie}}+C_3=50\mu \text{F}+100\mu \text{F}=150\mu \text{F}$ Alternativa D correta.

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📝 Questão 02 — GHC-RS - 2018 - Física do Capacitor e Dielétricos

Órgão: Grupo Hospitalar Conceição / Engenharia Elétrica
Enunciado: O capacitor é um dispositivo elétrico formado por duas placas condutoras de metal separadas por um material isolante chamado dielétrico. Sobre ele, analise as considerações que se seguem:

• I. O capacitor armazena energia elétrica sob a forma de um campo elétrico localizado no interior do dielétrico.
• II. O capacitor fora de um circuito energizado não pode reter carga ou diferença de potencial residual.
• III. Capacitância é a propriedade de armazenamento de carga elétrica por unidade de diferença de potencial.
• IV. A capacitância é dada matematicamente pela expressão $C=V/Q$, e sua unidade é o farad (F).

Estão corretas apenas as afirmativas:

• A) I e II
• B) I e III
• C) I e IV
• D) II e III
• E) III e IV

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (Apenas I e III)
• Análise Crítica:
  • Item I (VERDADEIRO): As cargas acumuladas nas placas induzem um campo eletrostático no dielétrico, onde a energia potencial eletrostática $w=\frac{1}{2}C{V}^2$ fica concentrada.
  • Item II (FALSO): Capacitores reais retêm cargas elétricas por longos períodos após serem desconectados de fontes ativas devido à altíssima resistência do dielétrico, apresentando risco severo de choque elétrico em bancadas de manutenção (exigindo resistores de sangria / bleeder resistors).
  • Item III (VERDADEIRO): Capacitância é definida fisicamente como a razão entre a carga armazenada e a tensão desenvolvida ($C=Q/V$).
  • Item IV (FALSO): A expressão matemática canônica é $C=Q/V$ (carga dividida pela tensão), e não $V/Q$ (que corresponderia ao elastor ou elastância).

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📝 Questão 03 — CESPE / CEBRASPE - Petrobras - Engenheiro de Equipamentos

Enunciado: Em um circuito CC contendo fontes independentes ideais, resistores, indutores e capacitores em regime permanente estacionário, é correto afirmar que:

• A) Todos os indutores apresentam impedância infinita e comportam-se como circuito aberto.
• B) Todos os capacitores drenam a corrente de curto-circuito de Norton do circuito.
• C) A tensão sobre os indutores é estritamente nula e a corrente através dos capacitores é nula.
• D) A energia total acumulada no circuito depende exclusivamente das derivadas temporais das tensões nodais.
• E) O circuito dissipa potência reativa no resistor de amortecimento.

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C
• Justificativa: Em regime contínuo estacionário ($t\to \infty$), todas as derivadas temporais cessam ($\frac{di}{dt}=0$ e $\frac{dv}{dt}=0$). Pela relação constitutiva $v_L=L\frac{d{i}_L}{dt}=0\text{ V}$ (tensão nula no indutor, curto-circuito) e $i_C=C\frac{d{v}_C}{dt}=0\text{ A}$ (corrente nula no capacitor, circuito aberto). A alternativa C é a formulação física exata.

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8. Resumo Técnico Comparativo de Bancada

Propriedade de Engenharia	Indutor ($L$)	Capacitor ($C$)
Elemento Físico	Espiras condutoras com núcleo magnético	Placas condutoras com meio dielétrico
Grandeza Primária Integrada	Fluxo magnético: $\lambda =L\cdot i$	Carga eletrostática: $q=C\cdot v$
Comportamento em Regime CC	Curto-circuito ($v_L=0\text{ V}$)	Circuito aberto ($i_C=0\text{ A}$)
Condição de Contorno em $t=0^{+}$	$i_L(0^{+})=i_L(0^{-})$	$v_C(0^{+})=v_C(0^{-})$
Comportamento em Chaveamento Súbito	Comporta-se como fonte de corrente $I_0$	Comporta-se como fonte de tensão $V_0$
Equação da Energia	$w_L=\frac{1}{2}L{i}_L^2$	$w_C=\frac{1}{2}C{v}_C^2$
Associação em Série	$L_{eq}=L_1+L_2+\dots$	$C_{eq}=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$
Associação em Paralelo	$L_{eq}=\frac{L_1{L}_2}{L_1+L_2}$	$C_{eq}=C_1+C_2+\dots$

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9. Referências Bibliográficas

1. SADIKU, Matthew N. O.; ALEXANDER, Charles K. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2013. (Capítulo 6: Capacitores e Indutores).
2. BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. (Capítulos 10 e 11: Capacitores e Indutores).
3. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016. (Capítulo 6: Indutância, Capacitância e Indutância Mútua).
4. EDMINISTER, Joseph A.; NAHVI, Mahmood. Circuitos Elétricos. Coleção Schaum. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
5. Apostila do Curso: Indutores e Capacitores - Módulos 1, 2 e 3.