🔬 Aula 01 - Análise em Regime Permanente Senoidal, Fasores, Impedância e Admitância

Navegação Rápida & Integração Curricular

📍 Disciplina: 03 Laboratório de Circuitos Elétricos | ⚡ Área: 03 Teoria Eletromagnética e Circuitos | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Circuitos de corrente alternada ⬅️ Aula Anterior: 00 - Início da Disciplina | ➡️ Próxima Aula: 02 - Potência em CA e Sistemas Trifásicos

---

🎯 Objetivos de Aprendizagem e Competências de Engenharia

1. Domínio Matemático Fasorial: Mapear sinais senoidais no tempo $v(t)=V_m\cos (\omega t+\varphi )$ para o plano complexo $\mathbb{C}$ através da identidade de Euler, transformando equações integro-diferenciais lineares em equações puramente algébricas.
2. Modelagem de Parâmetros Passivos: Calcular e relacionar analiticamente a impedância $\mathbf{Z}=R+jX$ e a admitância $\mathbf{Y}=G+jB$ para resistores puros, indutores ideais e capacitores em regime permanente senoidal.
3. Prática de Bancada e Instrumentação: Operar geradores de sinais arbitrários, multímetros True-RMS e osciloscópios digitais de duplo canal para medição direta de amplitude, período, frequência e defasagem temporal ($\Delta t$) e por Figuras de Lissajous (modo X-Y).
4. Resolução Sistemática de Redes em CA: Aplicar as Leis de Kirchhoff Fasoriais (LKC e LKT), divisores de tensão e corrente, e os teoremas de Thévenin e Norton no domínio da frequência.
5. Mitigação de Riscos de Laboratório: Compreender o perigo do curto-circuito de terra através das garras jacaré das pontas de prova osciloscópicas e o uso adequado de pontas diferenciais isoladas.

---

🖼️ Visão Sinóptica: Diagrama Conceitual de Bancada

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Fasores CA, Triângulo de Potências e Oscilograma $p(t)$

Experimente em tempo real a defasagem angular $\phi$ entre os fasores de tensão $\dot{V}$ e corrente $\dot{I}$, a decomposição vetorial da corrente capacitiva ${\dot{I}}_C$ adiantada em $90^{\circ }$ e as formas de onda instantâneas $v(t)$, $i(t)$ e $p(t)$ em $60\text{ Hz}/120\text{ Hz}$: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_potencia_ca_triangulo_correcao_fp.html]])

---

1. Fundamentação Teórica: A Transformada Fasorial

1.1 Da Senoide Temporal ao Vetor Girante

No estudo de circuitos elétricos alimentados por fontes de corrente alternada (CA) em regime permanente, as tensões e correntes são funções senoidais periódicas no tempo descritas genericamente por: $v(t)=V_m\cos (\omega t+{\varphi }_v)=\sqrt{2}{V}_{\text{rms}}\cos (\omega t+{\varphi }_v)$ $i(t)=I_m\cos (\omega t+{\varphi }_i)=\sqrt{2}{I}_{\text{rms}}\cos (\omega t+{\varphi }_i)$ onde:

• $V_m,I_m$: valores de pico (amplitude máxima);
• $V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2},I_{\text{rms}}=I_m/\sqrt{2}$: valores eficazes (Root Mean Square - RMS);
• $\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$: frequência angular em radianos por segundo ($\text{rad/s}$);
• $f$: frequência em Hertz ($\text{Hz}$), com período $T=1/f$ em segundos;
• ${\varphi }_v,{\varphi }_i$: fases iniciais no instante $t=0$.

A representação fasorial fundamenta-se na Fórmula de Euler, que expressa números complexos na forma polar e exponencial: $e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta ⟹\cos \theta =\text{Re}\{e^{j\theta }\}$

Aplicando ao sinal senoidal de tensão: $v(t)=\text{Re}\{V_m{e}^{j(\omega t+{\varphi }_v)}\}=\text{Re}\{V_m{e}^{j{\varphi }_v}{e}^{j\omega t}\}$

O termo $V_m{e}^{j{\varphi }_v}$ independe do tempo e concentra toda a informação de amplitude e fase inicial do sinal. Define-se o Fasor de Pico (${\mathbf{V}}_m$) e o Fasor Eficaz ($\mathbf{V}$) como: ${\mathbf{V}}_m=V_m{e}^{j{\varphi }_v}=V_m\angle {\varphi }_v$ $\mathbf{V}={\mathbf{V}}_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}{e}^{j{\varphi }_v}=V_{\text{rms}}\angle {\varphi }_v$

1.2 A Álgebra dos Operadores Diferenciais no Domínio Fasorial

A grande potência do método fasorial de Charles Proteus Steinmetz reside na simplificação das operações de derivação e integração temporal. Supondo sinais em regime permanente senoidal: $\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}\text{Re}\{{\mathbf{V}}_m{e}^{j\omega t}\}=\text{Re}\{j\omega {\mathbf{V}}_m{e}^{j\omega t}\}⟺j\omega \mathbf{V}$ $\int v(t)dt=\text{Re}\left\{\frac{{\mathbf{V}}_m}{j\omega }{e}^{j\omega t}\right\}⟺\frac{1}{j\omega }\mathbf{V}=-\frac{j}{\omega }\mathbf{V}$

Assim, qualquer equação integro-diferencial que modela um circuito RLC transforma-se instantaneamente em uma equação algébrica linear no domínio complexo: $L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt=v(t)⟺\left(j\omega L+R+\frac{1}{j\omega C}\right)\mathbf{I}=\mathbf{V}$

---

2. Elementos Passivos: Impedância e Admitância Complexas

2.1 A Impedância Complexa ($\mathbf{Z}$)

Generalizando a Lei de Ohm para regime senoidal, define-se a Impedância Complexa ($\mathbf{Z}$) como a razão entre o fasor de tensão e o fasor de corrente: $\mathbf{Z}\triangleq \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=R+jX=|\mathbf{Z}|\angle {\theta }_z$ onde:

• $R=\text{Re}\{\mathbf{Z}\}\ge 0$: Resistência ôhmica ($\Omega$);
• $X=\text{Im}\{\mathbf{Z}\}$: Reatância ($\Omega$). Se $X>0$, a reatância é indutiva ($X_L$); se $X<0$, a reatância é capacitiva ($X_C$);
• $|\mathbf{Z}|=\sqrt{R^2+X^2}$: Módulo da impedância;
• ${\theta }_z=\arctan \left(\frac{X}{R}\right)={\varphi }_v-{\varphi }_i$: Ângulo de fase da impedância.

Elemento	Relação Temporal $v(t)\leftrightarrow i(t)$	Modelo Fasorial $\mathbf{V}\leftrightarrow \mathbf{I}$	Impedância $\mathbf{Z}$	Defasagem ${\theta }_z$
Resistor ($R$)	$v(t)=Ri(t)$	$\mathbf{V}=R\mathbf{I}$	${\mathbf{Z}}_R=R\angle 0^{\circ }$	$0^{\circ }$ (em fase)
Indutor ($L$)	$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$	$\mathbf{V}=j\omega L\mathbf{I}$	${\mathbf{Z}}_L=j\omega L=\omega L\angle +90^{\circ }$	$+90^{\circ }$ ($i$ atrasada de $v$)
Capacitor ($C$)	$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$	$\mathbf{V}=\frac{1}{j\omega C}\mathbf{I}$	${\mathbf{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{\omega C}\angle -90^{\circ }$	$-90^{\circ }$ ($i$ adiantada de $v$)

2.2 A Admitância Complexa ($\mathbf{Y}$)

A Admitância ($\mathbf{Y}$) é o inverso multiplicativo da impedância, medido em Siemens ($\text{S}$): $\mathbf{Y}\triangleq \frac{1}{\mathbf{Z}}=\frac{\mathbf{I}}{\mathbf{V}}=G+jB=|\mathbf{Y}|\angle {\theta }_y$ onde:

• $G$: Condutância ($\text{S}$);
• $B$: Susceptância ($\text{S}$);
• ${\theta }_y=-{\theta }_z$.

Expandindo algebricamente $1/(R+jX)$: $\mathbf{Y}=\frac{1}{R+jX}\cdot \frac{R-jX}{R-jX}=\frac{R}{R^2+X^2}-j\frac{X}{R^2+X^2}$ $\boxed{G=\frac{R}{R^2+X^2},B=-\frac{X}{R^2+X^2}}$

Cuidado com o Sinal da Susceptância

Ao contrário da reatância indutiva que é positiva ($X_L=+\omega L$), a susceptância indutiva é negativa ($B_L=-1/(\omega L)$). Por outro lado, para um capacitor, $X_C=-1/(\omega C)$ e $B_C=+\omega C$.

---

3. Prática Experimental em Laboratório de Circuitos

3.1 Equipamentos de Bancada e Configurações Essenciais

A bancada de testes de corrente alternada compreende:

1. Gerador de Funções (Arbitrary Function Generator - AFG): Fonte de excitação senoidal com ajuste fino de amplitude ($V_{\text{pp}}$, $V_{\text{rms}}$), frequência ($f$), offset CC e impedância interna de saída (tipicamente $50\Omega$).
2. Osciloscópio Digital (DSO - Digital Storage Oscilloscope):
   • Canal 1 (CH1): Monitoramento da tensão total de excitação $v(t)$.
   • Canal 2 (CH2): Monitoramento da tensão sobre um componente específico ou sobre um resistor de amostragem de corrente (shunt).
3. Ponta de Prova Atenuada ($10\times$): Aumenta a impedância de entrada do osciloscópio de $1\text{ M}\Omega \parallel 20\text{ pF}$ para $10\text{ M}\Omega \parallel 2\text{ pF}$, reduzindo drasticamente o efeito de carga sobre circuitos de alta impedância e frequências elevadas.

3.2 O Perigo Crítico de Bancada: O Terra Comum do Osciloscópio

Alerta de Segurança e Integridade do Equipamento

Em osciloscópios convencionais de bancada, a carcaça metálica do chassi e a garra jacaré de terra de todos os canais de entrada (CH1, CH2, CH3, CH4) estão internamente curto-circuitadas entre si e conectadas eletricamente ao pino terra da tomada da rede elétrica (PE - Protective Earth).

Se o operador conectar a garra jacaré do CH1 no nó de referência do gerador e a garra jacaré do CH2 em um nó intermediário energizado do circuito, criará um curto-circuito franco através do cabo de aterramento do osciloscópio! Isso destrói componentes, queima trilhas da placa e pode fundir as pontas de prova.

Procedimentos Corretos:

1. Todas as garras jacaré de terra devem ser conectadas estritamente ao mesmo ponto de referência elétrico do circuito (o terra da fonte).
2. Para medir a tensão flutuante sobre um componente sem terra comum, utiliza-se o Modo Diferencial Matemático: CH1 no terminal positivo do componente, CH2 no terminal negativo, ambas as garras de terra no referencial geral, e ativa-se no osciloscópio a função $\text{MATH}=\text{CH1}-\text{CH2}$.
3. Utilização de Pontas de Prova Diferenciais Ativas Isoladas.

3.3 Métodos Laboratoriais de Medição de Defasagem Angular ($\theta$)

Método 1: Medição no Domínio do Tempo ($\Delta t$)

Exibe-se simultaneamente no osciloscópio as duas formas de onda senoidais nos canais CH1 e CH2:

1. Mede-se o período completo $T$ da onda (tempo entre dois cruzamentos consecutivos por zero no mesmo sentido, subida ou descida).
2. Posicionam-se os cursores verticais de tempo nos cruzamentos por zero ($v=0$) de cada uma das duas ondas e mede-se a diferença de tempo $\Delta t$.
3. O ângulo de defasagem $\Delta \varphi$ em graus é calculado por proporção direta: $\boxed{\Delta \varphi =\left(\frac{\Delta t}{T}\right)\times 360^{\circ }=\omega \Delta t\times \left(\frac{180^{\circ }}{\pi }\right)}$

• Se a onda de corrente cruza o zero depois da tensão, a corrente está atrasada ($\theta >0$, circuito indutivo).
• Se a corrente cruza o zero antes, está adiantada ($\theta <0$, circuito capacitivo).

Método 2: Figuras de Lissajous (Modo X-Y)

Comuta-se a base de tempo do osciloscópio do modo convencional Y-t para o modo gráfico X-Y, aplicando a tensão de referência no canal X ($x(t)=X_m\sin (\omega t)$) e o sinal sob teste no canal Y ($y(t)=Y_m\sin (\omega t+\theta )$). A trajetória desenhada pelo feixe eletrônico na tela é uma elipse. Medem-se dois parâmetros verticais:

• $y_0$: valor da interseção vertical da elipse com o eixo Y central (quando $x=0$);
• $Y_m$: valor máximo da amplitude vertical da elipse.

A dedução trigonométrica revela: Para $x(t)=0⟹\omega t=0⟹y(0)=Y_m\sin (\theta )=y_0$. Logo: $\boxed{\sin \theta =\frac{y_0}{Y_m}⟹\theta =\arcsin \left(\frac{y_0}{Y_m}\right)}$

• Se o eixo principal da elipse localiza-se nos quadrantes 1 e 3 (inclinação positiva), $\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }]$ ou $[270^{\circ },360^{\circ }]$.
• Se o eixo localiza-se nos quadrantes 2 e 4 (inclinação negativa), $\theta \in [90^{\circ },180^{\circ }]$.
• Se a figura for uma reta inclinada a $45^{\circ }$, os sinais estão em fase ($\theta =0^{\circ }$).
• Se a figura for um círculo perfeito (para $X_m=Y_m$), a defasagem é exatamente de $90^{\circ }$.

---

4. Teoremas de Circuitos e Métodos de Análise em CA

4.1 Leis de Kirchhoff Fasoriais

1. Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC): A soma algébrica dos fasores de corrente que entram em qualquer nó é identicamente nula: ${\sum }_{k=1}^N{\mathbf{I}}_k=0$
2. Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT): A soma algébrica dos fasores de queda e elevação de tensão ao longo de qualquer malha fechada é nula: ${\sum }_{k=1}^M{\mathbf{V}}_k=0$

4.2 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente Fasoriais

• Divisor de Tensão em Série: A tensão fasorial no elemento de impedância ${\mathbf{Z}}_k$ em uma associação em série alimentada por ${\mathbf{V}}_{\text{tot}}$ é: ${\mathbf{V}}_k={\mathbf{V}}_{\text{tot}}\frac{{\mathbf{Z}}_k}{\sum {\mathbf{Z}}_i}$
• Divisor de Corrente em Paralelo: Para duas impedâncias ${\mathbf{Z}}_1$ e ${\mathbf{Z}}_2$ em paralelo alimentadas pela corrente total ${\mathbf{I}}_{\text{tot}}$: ${\mathbf{I}}_1={\mathbf{I}}_{\text{tot}}\frac{{\mathbf{Z}}_2}{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}={\mathbf{I}}_{\text{tot}}\frac{{\mathbf{Y}}_1}{{\mathbf{Y}}_1+{\mathbf{Y}}_2}$

4.3 Teorema de Thévenin e Norton em CA

Qualquer rede linear bilateral de corrente alternada vista de dois terminais $A-B$ pode ser substituída por:

• Equivalente de Thévenin: Uma fonte de tensão fasorial ${\mathbf{V}}_{\text{th}}$ em série com uma impedância ${\mathbf{Z}}_{\text{th}}$.
  • ${\mathbf{V}}_{\text{th}}={\mathbf{V}}_{oc}$ (tensão fasorial de circuito aberto entre $A$ e $B$).
  • ${\mathbf{Z}}_{\text{th}}$: impedância equivalente vista dos terminais com todas as fontes independentes desativadas (fontes de tensão em curto-circuito, fontes de corrente em circuito aberto).
• Equivalente de Norton: Uma fonte de corrente fasorial ${\mathbf{I}}_N$ em paralelo com uma impedância ${\mathbf{Z}}_N$ (ou admitância ${\mathbf{Y}}_N$):
  • ${\mathbf{I}}_N={\mathbf{I}}_{sc}=\frac{{\mathbf{V}}_{\text{th}}}{{\mathbf{Z}}_{\text{th}}}$ (corrente de curto-circuito fasorial).
  • ${\mathbf{Z}}_N={\mathbf{Z}}_{\text{th}}⟺{\mathbf{Y}}_N=\frac{1}{{\mathbf{Z}}_{\text{th}}}$.

---

5. Simulação Computacional com SPICE / LTspice

A validação de ensaios de bancada é conduzida com programas de simulação SPICE através das seguintes diretivas:

• Fonte de Tensão Senoidal: V1 N_in 0 SINE(0 10 1k) (tensão de offset 0V, amplitude de pico 10V, frequência 1 kHz).
• Fonte Fasorial CA: V1 N_in 0 AC 10 0 (amplitude CA de 10V eficaz ou pico, fase $0^{\circ }$).
• Diretiva de Análise em Regime Permanente CA:
  • .ac lin 1 1k 1k (calcula a resposta fasorial exatamente na frequência de 1 kHz).
  • .ac dec 100 10 100k (varredura em frequência de 10 Hz a 100 kHz com 100 pontos por década para traçado da curva de impedância).
• Diretiva de Análise no Tempo:
  • .tran 0 5m 0 1u (simulação transitória e de regime de 0 a 5 milissegundos com passo de 1 microssegundo).

---

6. Exercícios Resolvidos Passo a Passo e Questões de Fixação

Questão 01 (Oficial - Caderno Didático EnsineMe / UFRJ)

Enunciado: Em um circuito eletrônico alimentado em corrente alternada, a impedância equivalente vista pela fonte é dada por $\mathbf{Z}=1+j2\Omega$. Sabendo que a fonte impõe uma tensão fasorial de $\mathbf{U}=10\angle 0^{\circ }\text{ V}$, determine: a) A corrente complexa $\mathbf{I}$ na forma retangular e polar. b) O módulo da impedância $|\mathbf{Z}|$, a resistência $R$ e a reatância $X$. c) A defasagem angular e a natureza da carga (indutiva ou capacitiva).

Resolução Detalhada: a) Pela Lei de Ohm fasorial: $\mathbf{I}=\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{Z}}=\frac{10}{1+j2}$ Multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado complexo do denominador ($1-j2$): $\mathbf{I}=\frac{10(1-j2)}{(1+j2)(1-j2)}=\frac{10-j20}{1^2-(j2{)}^2}=\frac{10-j20}{1-(-4)}=\frac{10-j20}{5}=\boxed{2-j4\text{ A}}$ Convertendo para a forma polar: $|\mathbf{I}|=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,472\text{ A}$ ${\theta }_i=\arctan \left(\frac{-4}{2}\right)=\arctan (-2)\approx -63,43^{\circ }$ Logo: $\boxed{\mathbf{I}=4,472\angle -63,43^{\circ }\text{ A}}$

b) Da impedância $\mathbf{Z}=1+j2\Omega$:

• Resistência: $R=1\Omega$;
• Reatância: $X=+2\Omega$ (positiva, logo reatância indutiva $X_L$);
• Módulo: $|\mathbf{Z}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\approx 2,236\Omega$.

c) A defasagem é dada pelo ângulo da impedância: ${\theta }_z=\arctan \left(\frac{2}{1}\right)\approx +63,43^{\circ }$ Como ${\theta }_z>0$, a corrente $\mathbf{I}$ está atrasada de $63,43^{\circ }$ em relação à tensão $\mathbf{U}$, confirmando o caráter indutivo da carga.

---

Questão 02 (Oficial - Caderno Didático EnsineMe / UFRJ)

Enunciado: Um estudante de engenharia estuda duas tensões senoidais no laboratório utilizando o osciloscópio digital de duplo canal. Os canais CH1 e CH2 exibem os sinais: $v_1(t)=5\sin (\omega t+10^{\circ })\text{ V},v_2(t)=10\sin (\omega t-30^{\circ })\text{ V}$ Determine a defasagem angular $\Delta \varphi$ entre $v_2(t)$ e $v_1(t)$, indicando qual onda está adiantada, e calcule o tempo de retardo $\Delta t$ caso a frequência do gerador seja fixada em $f=1\text{ kHz}$.

Resolução Detalhada:

1. A defasagem angular entre $v_2$ e $v_1$ é: $\Delta \varphi ={\varphi }_2-{\varphi }_1=-30^{\circ }-(+10^{\circ })=\boxed{-40^{\circ }}$ Isso significa que a tensão $v_2(t)$ está atrasada de $40^{\circ }$ em relação a $v_1(t)$ (ou $v_1(t)$ está adiantada de $40^{\circ }$ em relação a $v_2(t)$).

2. Cálculo do retardo temporal $\Delta t$ para $f=1000\text{ Hz}$: O período da onda é: $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1000\text{ Hz}}=1\text{ ms}=1000\mu \text{s}$ Como $360^{\circ }$ correspondem a $T=1\text{ ms}$: $\Delta t=T\times \frac{|\Delta \varphi |}{360^{\circ }}=10^{-3}\times \frac{40^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{10^{-3}}{9}\approx 0,111\text{ ms}=\boxed{111,1\mu \text{s}}$ Na tela do osciloscópio, o estudante posicionará os cursores verticais nos cruzamentos ascendentes por zero e constatará um espaçamento horizontal de $111,1\mu \text{s}$.

---

Questão 03 (Oficial - Aplicação Industrial / Cargas em Paralelo)

Enunciado: Uma instalação industrial é alimentada por uma fonte senoidal de $120{\text{ V}}_{\text{rms}}$ em $60\text{ Hz}$. Em paralelo aos terminais da fonte, conectam-se uma carga resistiva pura de $R=10\Omega$ e um banco de capacitores de capacitância $C=1\text{ mF}$ ($1000\mu \text{F}$). Adotando a tensão da fonte como referência de fase ($\mathbf{V}=120\angle 0^{\circ }\text{ V}$), determine: a) A reatância capacitiva $X_C$ do banco. b) A corrente fasorial na resistência (${\mathbf{I}}_R$) e no capacitor (${\mathbf{I}}_C$). c) A corrente total fornecida pelo gerador (${\mathbf{I}}_{\text{tot}}$) na forma retangular e polar. d) O diagrama fasorial e o fator de potência total visto pela rede.

Resolução Detalhada: a) Cálculo da reatância capacitiva $X_C$: $\omega =2\pi f=2\pi \times 60\approx 376,99\text{ rad/s}$ $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{376,99\times 1\times 10^{-3}}=\frac{1}{0,37699}\approx \boxed{2,6526\Omega }$ A impedância do capacitor é ${\mathbf{Z}}_C=-j2,6526\Omega =2,6526\angle -90^{\circ }\Omega$.

b) Correntes fasoriais nos ramos em paralelo:

• No resistor: ${\mathbf{I}}_R=\frac{\mathbf{V}}{R}=\frac{120\angle 0^{\circ }}{10}=\boxed{12\angle 0^{\circ }\text{ A}=12\text{ A}}$
• No capacitor: ${\mathbf{I}}_C=\frac{\mathbf{V}}{{\mathbf{Z}}_C}=\frac{120\angle 0^{\circ }}{2,6526\angle -90^{\circ }}=45,239\angle +90^{\circ }\text{ A}=\boxed{j45,239\text{ A}}$

c) Corrente total fasorial pela LKC: ${\mathbf{I}}_{\text{tot}}={\mathbf{I}}_R+{\mathbf{I}}_C=\boxed{12+j45,239\text{ A}}$ Módulo de ${\mathbf{I}}_{\text{tot}}$: $|{\mathbf{I}}_{\text{tot}}|=\sqrt{12^2+(45,239{)}^2}=\sqrt{144+2046,57}=\sqrt{2190,57}\approx \boxed{46,80\text{ A}}$ Fase de ${\mathbf{I}}_{\text{tot}}$: $\theta =\arctan \left(\frac{45,239}{12}\right)=\arctan (3,77)\approx \boxed{+75,15^{\circ }}$ Logo: ${\mathbf{I}}_{\text{tot}}=46,80\angle +75,15^{\circ }\text{ A}$

d) O fator de potência é: $\text{FP}=\cos (75,15^{\circ })\approx 0,256\text{(adiantado / capacitivo)}$

---

Questão 04 (Petrobras - Engenharia Elétrica / Análise Nodal CA)

Enunciado: No circuito CA em regime permanente senoidal com $\omega =5\text{ rad/s}$, tem-se uma fonte de tensão $v(t)=2\cos (5t)\text{ V}$ conectada em série com um indutor de $L=1\text{ H}$ até o nó $A$. Do nó $A$ para o nó de referência há um capacitor de $C=0,1\text{ F}$. Do nó $A$ para o nó $B$ há um resistor $R_1=2\Omega$. Do nó $B$ para o terra há um resistor $R_2=2\Omega$, e uma fonte de corrente $i(t)=\cos (5t-30^{\circ })\text{ A}$ injeta corrente no nó $B$. Determine a tensão fasorial no nó $A$ (${\mathbf{V}}_A$).

Resolução Detalhada:

1. Transformação para o domínio da frequência ($\omega =5\text{ rad/s}$):

• Fonte de tensão: ${\mathbf{V}}_s=2\angle 0^{\circ }\text{ V}$;
• Fonte de corrente: ${\mathbf{I}}_s=1\angle -30^{\circ }\text{ A}=1(\cos 30^{\circ }-j\sin 30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}-j0,5\approx 0,866-j0,5\text{ A}$;
• Indutor: ${\mathbf{Z}}_L=j\omega L=j(5)(1)=+j5\Omega$;
• Capacitor: ${\mathbf{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j(5)(0,1)}=\frac{1}{j0,5}=-j2\Omega$;
• Resistores: $R_1=2\Omega$, $R_2=2\Omega$.

2. Formulação nodal nos nós $A$ e $B$:

• Nó $A$: $\frac{{\mathbf{V}}_A-{\mathbf{V}}_s}{{\mathbf{Z}}_L}+\frac{{\mathbf{V}}_A}{{\mathbf{Z}}_C}+\frac{{\mathbf{V}}_A-{\mathbf{V}}_B}{R_1}=0$ $\frac{{\mathbf{V}}_A-2}{j5}+\frac{{\mathbf{V}}_A}{-j2}+\frac{{\mathbf{V}}_A-{\mathbf{V}}_B}{2}=0$ Multiplicando toda a equação por $10$: $-j2({\mathbf{V}}_A-2)+j5{\mathbf{V}}_A+5({\mathbf{V}}_A-{\mathbf{V}}_B)=0$ $-j2{\mathbf{V}}_A+j4+j5{\mathbf{V}}_A+5{\mathbf{V}}_A-5{\mathbf{V}}_B=0$ $(5+j3){\mathbf{V}}_A-5{\mathbf{V}}_B=-j4\text{— [Equac¸a˜o 1]}$

• Nó $B$: $\frac{{\mathbf{V}}_B-{\mathbf{V}}_A}{R_1}+\frac{{\mathbf{V}}_B}{R_2}-{\mathbf{I}}_s=0⟹\frac{{\mathbf{V}}_B-{\mathbf{V}}_A}{2}+\frac{{\mathbf{V}}_B}{2}={\mathbf{I}}_s$ $-\frac{1}{2}{\mathbf{V}}_A+{\mathbf{V}}_B={\mathbf{I}}_s⟹{\mathbf{V}}_B={\mathbf{I}}_s+0,5{\mathbf{V}}_A\text{— [Equac¸a˜o 2]}$

3. Substituindo a Equação 2 na Equação 1: $(5+j3){\mathbf{V}}_A-5(0,866-j0,5+0,5{\mathbf{V}}_A)=-j4$ $(5+j3){\mathbf{V}}_A-4,33+j2,5-2,5{\mathbf{V}}_A=-j4$ $(2,5+j3){\mathbf{V}}_A=4,33-j6,5$

4. Isolando ${\mathbf{V}}_A$: $2,5+j3=\sqrt{2,5^2+3^2}\angle \arctan (3/2,5)=\sqrt{6,25+9}\angle \arctan (1,2)=\sqrt{15,25}\angle 50,19^{\circ }\approx 3,905\angle 50,19^{\circ }$ $4,33-j6,5=\sqrt{4,33^2+6,5^2}\angle \arctan (-6,5/4,33)=\sqrt{18,75+42,25}\angle \arctan (-1,5)=\sqrt{61}\angle -56,31^{\circ }\approx 7,810\angle -56,31^{\circ }$ ${\mathbf{V}}_A=\frac{7,810\angle -56,31^{\circ }}{3,905\angle 50,19^{\circ }}=\boxed{2,00\angle -106,5^{\circ }\text{ V}}$

No domínio do tempo: $v_A(t)=2,00\cos (5t-106,5^{\circ })\text{ V}$

---

Questão 05 (Concurso Marinha CP-CEM / Equivalente de Thévenin CA)

Enunciado: Em uma ponte de impedâncias operando a $\omega =1000\text{ rad/s}$, determine a impedância de Thévenin ${\mathbf{Z}}_{\text{th}}$ e a tensão de circuito aberto ${\mathbf{V}}_{\text{th}}$ entre os terminais $A$ e $B$ de uma rede composta por uma fonte de excitação ${\mathbf{V}}_g=100\angle 0^{\circ }\text{ V}$ que alimenta dois ramos paralelos:

• Ramo 1: Resistor $R_1=50\Omega$ em série com capacitor $C_1=20\mu \text{F}$ (terminal $A$ entre $R_1$ e $C_1$).
• Ramo 2: Resistor $R_2=40\Omega$ em série com indutor $L_2=40\text{ mH}$ (terminal $B$ entre $R_2$ e $L_2$).

Resolução Detalhada:

1. Reatâncias a $\omega =1000\text{ rad/s}$:

• Reatância capacitiva: $X_{C1}=\frac{1}{\omega C_1}=\frac{1}{1000\times 20\times 10^{-6}}=50\Omega ⟹{\mathbf{Z}}_{C1}=-j50\Omega$.
• Reatância indutiva: $X_{L2}=\omega L_2=1000\times 0,040=40\Omega ⟹{\mathbf{Z}}_{L2}=+j40\Omega$.

2. Tensão fasorial de circuito aberto (${\mathbf{V}}_{\text{th}}={\mathbf{V}}_A-{\mathbf{V}}_B$):

• Pelo divisor de tensão no Ramo 1: ${\mathbf{V}}_A={\mathbf{V}}_g\frac{{\mathbf{Z}}_{C1}}{R_1+{\mathbf{Z}}_{C1}}=100\frac{-j50}{50-j50}=100\frac{-j}{1-j}=100\frac{-j(1+j)}{2}=100\frac{1-j}{2}=50-j50\text{ V}$
• Pelo divisor de tensão no Ramo 2: ${\mathbf{V}}_B={\mathbf{V}}_g\frac{{\mathbf{Z}}_{L2}}{R_2+{\mathbf{Z}}_{L2}}=100\frac{j40}{40+j40}=100\frac{j}{1+j}=100\frac{j(1-j)}{2}=100\frac{1+j}{2}=50+j50\text{ V}$
• Tensão de Thévenin ${\mathbf{V}}_{\text{th}}$: ${\mathbf{V}}_{\text{th}}={\mathbf{V}}_A-{\mathbf{V}}_B=(50-j50)-(50+j50)=\boxed{-j100\text{ V}=100\angle -90^{\circ }\text{ V}}$

3. Impedância de Thévenin (${\mathbf{Z}}_{\text{th}}$): Desativando a fonte ${\mathbf{V}}_g$ (curto-circuito entre seus terminais), os ramos conectam-se em paralelo em relação ao terra: ${\mathbf{Z}}_A=R_1\parallel {\mathbf{Z}}_{C1}=\frac{50\times (-j50)}{50-j50}=\frac{-j2500}{50(1-j)}=\frac{-j50(1+j)}{2}=\frac{50-j50}{2}=25-j25\Omega$ ${\mathbf{Z}}_B=R_2\parallel {\mathbf{Z}}_{L2}=\frac{40\times (j40)}{40+j40}=\frac{j1600}{40(1+j)}=\frac{j40(1-j)}{2}=\frac{40+j40}{2}=20+j20\Omega$ Como a tensão é medida entre $A$ e $B$: ${\mathbf{Z}}_{\text{th}}={\mathbf{Z}}_A+{\mathbf{Z}}_B=(25-j25)+(20+j20)=\boxed{45-j5\Omega }$

---

Questão 06 (Medição de Lissajous em Bancada)

Enunciado: Em um ensaio de bancada para determinação da defasagem em um circuito RLC, o osciloscópio é configurado no modo X-Y. A figura obtida é uma elipse com centro na origem. Verifica-se que a elipse intercepta o eixo vertical no ponto $y_0=3,2\text{ diviso˜es}$ e atinge amplitude máxima vertical de $Y_m=5,0\text{ diviso˜es}$. Sabendo que o eixo maior da elipse está contido no 1º e 3º quadrantes, calcule: a) A defasagem angular $\theta$ entre a tensão e a corrente. b) Sendo a corrente adiantada em relação à tensão, classifique o circuito.

Resolução Detalhada: a) Pela equação de Lissajous: $\sin \theta =\frac{y_0}{Y_m}=\frac{3,2}{5,0}=0,64$ Como a elipse possui inclinação positiva (1º e 3º quadrantes), $\theta$ situa-se no primeiro quadrante: $\theta =\arcsin (0,64)\approx \boxed{39,79^{\circ }}$ b) Se a corrente está adiantada em relação à tensão de $39,79^{\circ }$, a impedância do circuito apresenta ângulo ${\theta }_z={\varphi }_v-{\varphi }_i=-39,79^{\circ }<0$. Logo, a reatância capacitiva supera a reatância indutiva ($X_C>X_L$), classificando o circuito como predominantemente capacitivo.

---

Questão 07 (Máxima Transferência de Potência em CA)

Enunciado: Um gerador de bancada apresenta tensão de circuito aberto ${\mathbf{V}}_{\text{th}}=20\angle 0^{\circ }{\text{ V}}_{\text{rms}}$ e impedância interna ${\mathbf{Z}}_{\text{th}}=50+j30\Omega$. a) Determine qual deve ser a impedância da carga conectada (${\mathbf{Z}}_L=R_L+j{X}_L$) para que receba a máxima potência ativa média possível. b) Calcule o valor numérico dessa máxima potência ativa absorvida ($P_{\text{maˊx}}$).

Resolução Detalhada: a) Pelo Teorema da Máxima Transferência de Potência em CA, para uma impedância de carga arbitrária e irrestrita, a transferência máxima ocorre quando a impedância da carga é o conjugado complexo da impedância de Thévenin da fonte: ${\mathbf{Z}}_L={\mathbf{Z}}_{\text{th}}^{\ast }=(50+j30{)}^{\ast }=\boxed{50-j30\Omega }$ Fisicamente, a reatância da carga ($X_L=-30\Omega$, capacitiva) anula exatamente a reatância indutiva da fonte ($X_{\text{th}}=+30\Omega$), colocando o circuito em ressonância e tornando a impedância total do laço puramente resistiva ($Z_{\text{tot}}=R_{\text{th}}+R_L=100\Omega$).

b) Corrente no circuito sob condição ótima: $\mathbf{I}=\frac{{\mathbf{V}}_{\text{th}}}{{\mathbf{Z}}_{\text{th}}+{\mathbf{Z}}_L}=\frac{20\angle 0^{\circ }}{(50+j30)+(50-j30)}=\frac{20}{100}=0,20\angle 0^{\circ }{\text{ A}}_{\text{rms}}$ A potência ativa absorvida na carga é dissipada exclusivamente em seu resistor $R_L=50\Omega$: $P_{\text{maˊx}}=|\mathbf{I}{|}^2{R}_L=(0,20{)}^2\times 50=0,04\times 50=\boxed{2,00\text{ W}}$ Demonstração pela fórmula compacta: $P_{\text{maˊx}}=\frac{|{\mathbf{V}}_{\text{th}}{|}^2}{4R_{\text{th}}}=\frac{20^2}{4\times 50}=\frac{400}{200}=\boxed{2,00\text{ W}}$

---

Questão 08 (Análise de Malhas Fasorial com Fontes Dependentes)

Enunciado: Em um amplificador operacional ou circuito equivalente com transistor operando em alta frequência, tem-se duas malhas acopladas:

• Malha 1: Fonte ${\mathbf{V}}_s=10\angle 0^{\circ }\text{ V}$, resistor $R_1=4\Omega$ e indutor ${\mathbf{Z}}_{L1}=j2\Omega$. A corrente de malha é ${\mathbf{I}}_1$.
• Malha 2: Fonte de tensão dependente controlada por corrente $2{\mathbf{I}}_1$ em série com capacitor ${\mathbf{Z}}_{C2}=-j5\Omega$ e resistor de carga $R_2=6\Omega$. A corrente de malha é ${\mathbf{I}}_2$. Calcule as correntes fasoriais de malha ${\mathbf{I}}_1$ e ${\mathbf{I}}_2$.

Resolução Detalhada:

1. Equação da Malha 1: ${\mathbf{V}}_s-R_1{\mathbf{I}}_1-{\mathbf{Z}}_{L1}{\mathbf{I}}_1=0⟹(4+j2){\mathbf{I}}_1=10$ ${\mathbf{I}}_1=\frac{10}{4+j2}=\frac{10(4-j2)}{4^2+2^2}=\frac{40-j20}{20}=\boxed{2-j1\text{ A}=2,236\angle -26,57^{\circ }\text{ A}}$

2. Equação da Malha 2: $-2{\mathbf{I}}_1-{\mathbf{Z}}_{C2}{\mathbf{I}}_2-R_2{\mathbf{I}}_2=0⟹(R_2+{\mathbf{Z}}_{C2}){\mathbf{I}}_2=-2{\mathbf{I}}_1$ $(6-j5){\mathbf{I}}_2=-2(2-j1)=-4+j2$ ${\mathbf{I}}_2=\frac{-4+j2}{6-j5}=\frac{(-4+j2)(6+j5)}{6^2+5^2}=\frac{-24-j20+j12+j^{2}10}{36+25}=\frac{-24-10-j8}{61}=\frac{-34-j8}{61}$ ${\mathbf{I}}_2\approx \boxed{-0,557-j0,131\text{ A}=0,572\angle -166,77^{\circ }\text{ A}}$

---

7. Roteiro Prático de Laboratório: Procedimento de Ensaio

Roteiro Experimental: Ensaio de Regime Senoidal em Circuito RLC Série

1. Montagem do Circuito:
   • Conectar em série: Resistor $R=100\Omega$ (precisão 1%), Indutor $L=10extmH$, Capacitor $C=100extnF$.
   • Conectar o Gerador de Funções nos terminais da associação série ($V_{extin}=2,00ext{V}_{extrms}$, senoidal puro).
2. Calibração do Gerador de Sinais:
   • Ajustar a frequência inicial para $f=1,00extkHz$.
   • Verificar a amplitude eficaz real no multímetro digital True-RMS.
3. Conexão das Pontas de Prova do Osciloscópio:
   • Canal CH1: Terminal positivo do gerador de funções ($V_{extin}$). Garra de referência no terra comum do gerador.
   • Canal CH2: Sobre os terminais do resistor $R$ ($V_R$, proporcional à corrente de malha $I=V_R/R$).
   • ⚠️ ATENÇÃO: Conectar a garra de terra do CH2 estritamente no nó de terra comum do gerador para evitar curto-circuito de malha pela carcaça.
4. Medição Fasorial e Defasagem Temporal:
   • Registrar na tela do osciloscópio: $V_{extin(pico)}$, $V_{R(extpico)}$ e a defasagem temporal $\Delta t$ entre as passagens por zero.
   • Calcular a corrente eficaz: $I_{extrms}=V_{R,extrms}/100\Omega$.
   • Calcular o ângulo de defasagem angular experimental: heta_{ ext{medido}} = 360^\circ imes \left(rac{\Delta t}{T} ight).
5. Varredura em Frequência e Determinação da Ressonância:
   • Repetir o protocolo de medições para os pontos: $f\in [500extHz,1extkHz,2extkHz,5extkHz,10extkHz,20extkHz]$.
   • Identificar com precisão a frequência na qual $\Delta t=0$ (condição de ressonância natural série $f_0$, onde o circuito exibe comportamento puramente resistivo e fator de potência unitário).

---

8. Bibliografia Recomendada e Normas Técnicas

1. ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
2. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
3. BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
4. FOWLER, Richard. Fundamentos de Eletricidade: Corrente Alternada e Instrumentos de Medição. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
5. ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Alternada. São Paulo: Érica, 2012.
6. IEEE Std 1459-2010: IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions.