Aula 01 - Circuitos Magnéticos com Entreferro, Relutância e Analogia de Hopkinson

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Metadados da Aula

• Área: 04 Sistemas Elétricos de Potência e Eletrotécnica
• Carga Horária Equivalente: 4 horas-aula teóricas e práticas
• Pré-requisitos: Teoria Eletromagnética (Leis de Maxwell), Circuitos Elétricos e Cálculo Vetorial

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📌 Sumário da Aula

1. 🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem
2. 📋 2. Sumário Executivo dos Tópicos
3. 📐 3. Diagrama Esquemático: Circuitos Magnéticos e Hopkinson
4. ⚡ 4. Fundamentação Teórica e Modelagem Matemática Rigorosa
   • 4.1 Postulados Fundamentais do Campo Magnético Estático
   • 4.2 A Analogia de Hopkinson: Circuitos Elétricos versus Magnéticos
   • 4.3 O Papel Crítico do Entreferro (Air Gap) e Espalhamento de Fluxo (Fringing)
   • 4.4 Não-Linearidade Ferromagnética, Saturação e Perdas no Ferro
   • 4.5 Indutância Própria, Enlace de Fluxo e Energia Armazenada
   • 4.6 Circuitos Magnéticos Ramificados com Múltiplos Entreferros, Acoplamento Mútuo e Excitação CA
5. 🏭 5. Estudo de Caso Prático e Exercícios Resolvidos TE323
6. 📝 6. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados
   • Questão 01 — Cálculo de Força Magnetomotriz com Efeito de Espalhamento (Fringing)
   • Questão 02 — Determinação da Indutância Própria em Núcleo com Entreferro
   • Questão 03 — Distribuição de FMM entre Núcleo Ferromagnético e Entreferro
   • Questão 04 — Perdas por Histerese e Correntes de Foucault em Lâminas de Aço-Silício
   • Questão 05 — Analogia de Hopkinson em Circuitos Magnéticos em Paralelo
7. 📚 7. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

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🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem

O estudo da Conversão Eletromecânica de Energia repousa sobre a premissa de que o campo magnético é o meio físico por excelência para a transferência de energia entre sistemas elétricos e mecânicos. Devido à sua altíssima densidade volumétrica de energia quando comparado ao campo elétrico ($w_{\text{mag}}=\frac{B^2}{2\mu }\gg w_{\text{el}}=\frac{\epsilon E^2}{2}$ para níveis práticos de isolamento industrial), o magnetismo viabiliza a construção de motores, geradores, transformadores e atuadores compactos de elevadíssimo rendimento.

Para analisar e projetar esses dispositivos sem recorrer à resolução exaustiva das equações diferenciais parciais de Maxwell em três dimensões, a engenharia desenvolveu a teoria dos circuitos magnéticos concentrados, fundamentada na Analogia de Hopkinson.

Ao concluir esta aula, o estudante estará apto a:

1. Modelar estruturas ferromagnéticas complexas aplicando as Leis de Ampère e Gauss em circuitos magnéticos equivalentes.
2. Calcular relutâncias magnéticas de núcleos e entreferros, incorporando correções geométricas de espalhamento de linhas de campo (fringing).
3. Compreender o impacto da saturação magnética e da histerese nas curvas características $B-H$ e nas perdas por correntes parasitas de Foucault.
4. Deduzir a indutância própria ($L$) e a energia magnética armazenada ($W_{\text{fld}}$), estabelecendo a base analítica para a produção de força mecânica.

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📋 2. Sumário Executivo dos Tópicos

• Analogia de Hopkinson: Força Magnetomotriz ($\mathcal{F}=N\cdot i$ em $\text{A}\cdot \text{e}$), Fluxo Magnético ($\Phi$ em $\text{Wb}$), Relutância ($\mathcal{R}$ em $\text{A}\cdot \text{e/Wb}={\text{H}}^{-1}$) e Permeância ($\mathcal{P}=1/\mathcal{R}$).
• O Entreferro (Air Gap): Elemento condicionador da relutância total; concentra a maior parte da energia magnética e lineariza o circuito; espalhamento nas bordas corrigido por acréscimo dimensional $A_g=(a+g)(b+g)$.
• Materiais Magnéticos: Curvas $B-H$, permeabilidade diferencial ${\mu }_{\Delta }=dB/dH$, saturação profunda em $B_{\text{sat}}\approx 1,6\text{ a }2,0\text{ T}$ e perdas de Steinmetz ($P_h\propto f\cdot B_{\max }^n$).
• Mitigação de Foucault: Laminação do ferro em chapas finas ($0,35\text{ a }0,50\text{ mm}$) com liga de aço-silício de alta resistividade elétrica.
• Indutância e Enlace de Fluxo: $\lambda =N\cdot \Phi =L\cdot i$, com $L=N^2/{\mathcal{R}}_{\text{total}}$.

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📐 3. Diagrama Esquemático: Circuitos Magnéticos e Hopkinson

O diagrama técnico a seguir resume as correspondências da analogia de Hopkinson, o impacto do entreferro, a não-linearidade das curvas $B-H$ e a formulação da indutância:

Análise Funcional dos Quatro Módulos do Sistema:

1. Analogia de Hopkinson (Painel Superior Esquerdo): Estabelece o paralelo entre grandezas elétricas e magnéticas, formulando a Lei de Ohm Magnética ($\mathcal{F}=\mathcal{R}\cdot \Phi$) e as leis de Kirchhoff de malhas e nós.
2. Efeito do Entreferro e Espalhamento - Fringing (Painel Superior Direito): Demonstra como um entreferro milimétrico domina a relutância global e modela o espalhamento periférico de fluxo que expande a área efetiva $A_g$.
3. Curvas B-H, Saturação e Histerese (Painel Inferior Esquerdo): Explica a física microscópica dos domínios de Weiss, a permeabilidade não linear e os mecanismos de dissipação térmica por ciclo de histerese e correntes parasitas de Foucault.
4. Indutância Própria e Enlace de Fluxo (Painel Inferior Direito): Apresenta o equacionamento da indutância ($L=N^2/\mathcal{R}$) e demonstra que a densidade de energia acumulada concentra-se no volume do entreferro.

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Circuitos Magnéticos, Energia, Coenergia e Força de Relutância

Experimente em tempo real o impacto do comprimento do entreferro ($g$), da corrente de excitação ($i$), do número de espiras ($N$), da área polar ($A_g$) e da saturação ferromagnética de Froelich sobre a relutância ${\mathcal{R}}_g$, a indução $B_g$, a Energia de Campo ($W_{\text{fld}}$), a Coenergia ($W_{\text{fld}}^{\prime }$) e a Força Eletromagnética de Atração ($F_e\propto 1/x^2$): 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_conversao_energia_coenergia_forca_relutancia.html]])

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⚡ 4. Fundamentação Teórica e Modelagem Matemática Rigorosa

4.1 Postulados Fundamentais do Campo Magnético Estático

As grandezas fundamentais que descrevem os campos magnéticos no vácuo e no interior da matéria são a Intensidade de Campo Magnético ($\vec{H}$ em $\text{A/m}$) e a Densidade de Fluxo Magnético ou Indução ($\vec{B}$ em $\text{Tesla}={\text{Wb/m}}^2$), relacionadas pela permeabilidade magnética do meio ($\mu$ em $\text{H/m}$):

$$\vec{B}=\mu \cdot \vec{H}={\mu }_r\cdot {\mu }_0\cdot \vec{H}$$

Onde:

• ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{ H/m}$ é a permeabilidade magnética do vácuo;
• ${\mu }_r$ é a permeabilidade magnética relativa adimensional (${\mu }_r\approx 1$ para o ar, cobre e vácuo; ${\mu }_r\approx 2.000\text{ a }8.000$ para aços elétricos laminados).

As leis de Maxwell aplicadas ao regime quase-estático estabelecem:

1. Lei de Gauss do Magnetismo (Conservação do Fluxo): $$\nabla \cdot \vec{B}=0⟹{\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$$ Indica que o fluxo magnético líquido através de qualquer superfície fechada é estritamente nulo (ausência de monopolos magnéticos). Em um circuito magnético ramificado, a soma dos fluxos que entram em um nó é igual à soma dos fluxos que saem: $$\sum _k{\Phi }_k=0(\text{1ª Lei de Kirchhoff Magneˊtica})$$
2. Lei Circuital de Ampère: $${\oint }_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=I_{\text{envolvida}}=N\cdot i=\mathcal{F}$$ A integral de linha da intensidade de campo magnético $\vec{H}$ ao longo de qualquer percurso fechado é igual à corrente total enlaçada, denominada Força Magnetomotriz ($\mathcal{F}$): $$\sum _k{\mathcal{F}}_k=\sum _k{H}_k\cdot l_k=N\cdot i(\text{2ª Lei de Kirchhoff Magneˊtica})$$

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4.2 A Analogia de Hopkinson: Circuitos Elétricos versus Magnéticos

A Lei de Ohm Magnética, formulada por John Hopkinson, correlaciona a força magnetomotriz ($\mathcal{F}$), o fluxo magnético ($\Phi$) e a relutância magnética ($\mathcal{R}$):

graph LR
    classDef elec fill:#181825,stroke:#89b4fa,stroke-width:2px,color:#cdd6f4;
    classDef mag fill:#1e1e2e,stroke:#cba6f7,stroke-width:2px,color:#cdd6f4;

    subgraph Circuito Elétrico
    E1["Fonte de Tensão V (Volts)"]:::elec --> E2["Corrente I = V / R (Ampères)"]:::elec
    E2 --> E3["Resistência R = l / (σ * A) (Ohms)"]:::elec
    end

    subgraph Circuito Magnético
    M1["Força Magnetomotriz F = N*i (A.e)"]:::mag --> M2["Fluxo Φ = F / R (Webers)"]:::mag
    M2 --> M3["Relutância R = l / (μ * A) (H^-1)"]:::mag
    end

Tabela da Analogia Eletromagnética de Hopkinson

Parâmetro no Circuito Elétrico	Símbolo e Unidade	Parâmetro no Circuito Magnético	Símbolo e Unidade
Força Eletromotriz (FEM)	$V$ ou $E[\text{V}]$	Força Magnetomotriz (FMM)	$\mathcal{F}=N\cdot i[\text{A}\cdot \text{e}]$
Corrente Elétrica	$I[\text{A}]$	Fluxo Magnético	$\Phi =B\cdot A[\text{Wb}]$
Densidade de Corrente	$J[{\text{A/m}}^2]$	Densidade de Fluxo (Indução)	$B[\text{T}={\text{Wb/m}}^2]$
Campo Elétrico	$E[\text{V/m}]$	Intensidade de Campo	$H[\text{A/m}]$
Condutividade Elétrica	$\sigma [\text{S/m}]$	Permeabilidade Magnética	$\mu [\text{H/m}]$
Resistência Elétrica	$R=\frac{l}{\sigma A}[\Omega ]$	Relutância Magnética	$\mathcal{R}=\frac{l}{\mu A}[\text{A}\cdot \text{e/Wb}={\text{H}}^{-1}]$
Condutância Elétrica	$G=\frac{1}{R}[\text{S}]$	Permeância Magnética	$\mathcal{P}=\frac{1}{\mathcal{R}}[\text{H}]$

A formulação analítica fundamental da Lei de Hopkinson é:

$$\boxed{\mathcal{F}=\mathcal{R}\cdot \Phi ⟺\Phi =\frac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}}=\frac{N\cdot i}{\mathcal{R}}}$$

Para um núcleo magnético composto por múltiplos trechos em série com comprimentos médios $l_k$, áreas de seção transversal $A_k$ e permeabilidades ${\mu }_k$:

$${\mathcal{R}}_{\text{total}}=\sum _{k=1}^n{\mathcal{R}}_k=\sum _{k=1}^n\frac{l_k}{{\mu }_k\cdot A_k}$$

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4.3 O Papel Crítico do Entreferro (Air Gap) e Espalhamento de Fluxo (Fringing)

Em motores, geradores e atuadores, a existência de um espaço livre de ar (entreferro) é fisicamente indispensável para permitir o movimento mecânico relativo entre as partes estatóricas e rotóricas.

Comparação de Relutâncias

Considere um núcleo de ferro de comprimento médio $l_c=0,40\text{ m}$, seção $A=10^{-3}{\text{ m}}^2$ e permeabilidade relativa ${\mu }_r=4.000$, dotado de um minúsculo entreferro de ar de comprimento $g=1,0\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}$.

• Relutância do núcleo ferromagnético: $${\mathcal{R}}_c=\frac{l_c}{{\mu }_r{\mu }_{0}A}=\frac{0,40}{4.000\times (4\pi \cdot 10^{-7})\times 10^{-3}}=\frac{0,40}{5,0265\times 10^{-6}}\approx 79.577{\text{H}}^{-1}$$
• Relutância do entreferro de ar: $${\mathcal{R}}_g=\frac{g}{{\mu }_{0}A}=\frac{10^{-3}}{(4\pi \cdot 10^{-7})\times 10^{-3}}=\frac{1}{4\pi \cdot 10^{-7}}\approx 795.775{\text{H}}^{-1}$$

Observa-se que:

$$\frac{{\mathcal{R}}_g}{{\mathcal{R}}_c}=\frac{795.775}{79.577}\approx 10,0\text{ vezes maior}$$

O entreferro de apenas $1\text{ mm}$ (apenas $0,25\%$ do comprimento físico total) é responsável por $90,9\%$ de toda a relutância do circuito magnético!

Efeito de Espalhamento das Linhas de Campo (Fringing)

No entreferro, as linhas de campo magnético sofrem repulsão lateral mútua ao passarem do ferro para o meio não magnético, espalhando-se para além dos limites geométricos das faces polares. Esse fenômeno amplia a área transversal efetiva do entreferro ($A_g>A_c$), reduzindo a densidade de fluxo local e diminuindo a relutância teórica do ar.

Para polos retangulares de largura $a$ e espessura $b$ com entreferro $g$, adota-se a Correção Geométrica Clássica de Carter:

$$\boxed{A_g=(a+g)\cdot (b+g)}$$

A relutância efetiva corrigida do entreferro torna-se:

$$\boxed{{\mathcal{R}}_{g,\text{efetiva}}=\frac{g}{{\mu }_0\cdot (a+g)(b+g)}}$$

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4.4 Não-Linearidade Ferromagnética, Saturação e Perdas no Ferro

Os materiais ferromagnéticos (ferro-silício, ligas de níquel-ferro) são constituídos microscopicamente por domínios de Weiss — regiões cristalinas microscópicas onde os momentos de dipolo magnético eletrônicos estão espontaneamente alinhados.

1. Curva de Magnetização Inicial: À medida que a excitação $H$ é elevada a partir do zero, as paredes de domínio movem-se reversivelmente, gerando uma inclinação acentuada da curva $B-H$ (alta permeabilidade diferencial ${\mu }_{\Delta }=dB/dH$);
2. Joelho de Saturação: Em valores de $B$ entre $1,2\text{ T}$ e $1,5\text{ T}$, todos os domínios giram irreversivelmente para se alinhar com a direção do campo externo;
3. Saturação Magnética Profunda: Acima de $B_{\text{sat}}\approx 1,8\text{ a }2,0\text{ T}$, todos os momentos magnéticos encontram-se perfeitamente paralelos. Qualquer aumento adicional de fluxo exige grandiosas quantidades de corrente, comportando-se o núcleo como se fosse feito de vácuo puro (${\mu }_{\Delta }\to {\mu }_0$).

Perdas no Ferro em Regime de Corrente Alternada

Sob excitação senoidal $B(t)=B_{\max }\sin (\omega t)$, o núcleo dissipa energia térmica por dois mecanismos distintos:

1. Perdas por Histerese ($P_h$): Energia absorvida para reorientar ciclicamente os dipolos magnéticos contra o atrito reticular interno. É diretamente proporcional à área do laço de histerese e é expressa pela Equação Empírica de Steinmetz: $$\boxed{P_h=k_h\cdot f\cdot B_{\max }^n[\text{W/kg}]}$$ Onde $n$ varia entre $1,6$ e $2,0$ para aços elétricos modernos e $k_h$ é o coeficiente de histerese do material.
2. Perdas por Correntes Parasitas de Foucault ($P_e$): O fluxo magnético alternado induz tensões elétricas parasitas que circulam em laço fechado no próprio volume condutor do ferro. A potência dissipada por efeito Joule volumétrico vale: $$\boxed{P_e=\frac{{\pi }^2\cdot f^2\cdot B_{\max }^2\cdot d_{\text{chapa}}^2}{6\cdot {\rho }_{\text{ac¸o}}}[\text{W/kg}]}$$ Onde $d_{\text{chapa}}$ é a espessura da lâmina de aço e ${\rho }_{\text{ac¸o}}$ é a sua resistividade elétrica.

Princípio da Laminação

Como as perdas por Foucault variam com o quadrado da espessura da chapa ($P_e\propto d_{\text{chapa}}^2$), todos os núcleos de transformadores e motores de corrente alternada são construídos empilhando-se centenas de lâminas finas ($0,35\text{ mm}$ a $0,50\text{ mm}$) isoladas eletricamente umas das outras por uma película microscópica de óxido ou verniz inorgânico (carlite), reduzindo as perdas parasitas por um fator de centenas de vezes.

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4.5 Indutância Própria, Enlace de Fluxo e Energia Armazenada

Para uma bobina de $N$ espiras enrolada sobre um circuito magnético linear de relutância total ${\mathcal{R}}_{\text{total}}$:

O Enlace de Fluxo ($\lambda$) em Weber-espiras ($\text{Wb}\cdot \text{e}$) é definido como o produto do número de espiras pelo fluxo enlaçado:

$$\lambda =N\cdot \Phi$$

Pela definição da Indutância Própria ($L$):

$$L=\frac{\lambda }{i}=\frac{N\cdot \Phi }{i}$$

Substituindo o fluxo da Lei de Hopkinson ($\Phi =\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}}$):

$$L=\frac{N\cdot \left(\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}}\right)}{i}⟹\boxed{L=\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}}=N^2\cdot {\mathcal{P}}_{\text{total}}}$$

A Energia Magnética Armazenada ($W_{\text{fld}}$) no circuito vale:

$$\boxed{W_{\text{fld}}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot i^2=\frac{1}{2}\cdot \lambda \cdot i=\frac{1}{2}\cdot {\mathcal{R}}_{\text{total}}\cdot {\Phi }^2=\frac{1}{2}\cdot \mathcal{F}\cdot \Phi }$$

Expressando em termos volumétricos através da densidade de energia $w_{\text{fld}}=\frac{1}{2}B\cdot H=\frac{B^2}{2\mu }$:

$$W_{\text{fld}}={\int }_{\text{volume}}\left(\frac{B^2}{2\mu }\right)dV$$

Como no entreferro $\mu ={\mu }_0\ll {\mu }_{\text{nuˊcleo}}$, a densidade de energia no entreferro é milhares de vezes superior à do ferro:

$$\frac{w_g}{w_c}=\frac{{\mu }_c}{{\mu }_0}={\mu }_r\approx 4.000$$

Portanto, a quase totalidade da energia mecânica convertida por um atuador eletromagnético provém da energia armazenada no volume de ar do entreferro.

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4.6 Circuitos Magnéticos Ramificados com Múltiplos Entreferros, Acoplamento Mútuo e Excitação CA

Em estruturas eletromagnéticas reais — como transformadores de núcleo envolvente (shell-type), reatores de três colunas, sensores diferenciais de posição (LVDT) e máquinas multipolares —, o caminho magnético divide-se em múltiplos ramos em paralelo contendo entreferros distintos ($g_1,g_2,\dots$) e múltiplas bobinas acopladas ($N_1,N_2$).

4.6.1 Equacionamento Matricial de Malhas de Hopkinson e Desdobramento de Fluxos

Considere um núcleo ferromagnético de três colunas onde a coluna central (de relutância ${\mathcal{R}}_c$ e seção $A_c$) aloja uma bobina excitadora de $N$ espiras percorrida por corrente $i$, e as duas colunas laterais (1 e 2) possuem relutâncias totais ${\mathcal{R}}_1={\mathcal{R}}_{n1}+{\mathcal{R}}_{g1}$ e ${\mathcal{R}}_2={\mathcal{R}}_{n2}+{\mathcal{R}}_{g2}$ devido aos entreferros $g_1$ e $g_2$:

1. 1ª Lei de Kirchhoff Magnética (Nó Superior): O fluxo total ${\Phi }_c$ gerado na coluna central divide-se entre as pernas laterais: $\boxed{{\Phi }_c={\Phi }_1+{\Phi }_2}$
2. 2ª Lei de Kirchhoff Magnética (Malhas 1 e 2): $\{\begin{array}{l}\mathcal{F}=N\cdot i={\mathcal{R}}_c{\Phi }_c+{\mathcal{R}}_1{\Phi }_1=({\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_1){\Phi }_1+{\mathcal{R}}_c{\Phi }_2\\ \mathcal{F}=N\cdot i={\mathcal{R}}_c{\Phi }_c+{\mathcal{R}}_2{\Phi }_2={\mathcal{R}}_c{\Phi }_1+({\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_2){\Phi }_2\end{array}$ Em forma matricial de relutâncias: $\boxed{\left[\begin{array}{cc}{\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_1& {\mathcal{R}}_c\\ {\mathcal{R}}_c& {\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\Phi }_1\\ {\Phi }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}N\cdot i\\ N\cdot i\end{array}\right]}$
3. Caso de Alta Permeabilidade do Núcleo (${\mu }_r\to \infty ⟹{\mathcal{R}}_c\approx 0$): Toda a força magnetomotriz $\mathcal{F}=N\cdot i$ é aplicada diretamente em paralelo sobre os dois entreferros laterais (${\mathcal{R}}_{g1}=\frac{g_1}{{\mu }_0{A}_1}$ e ${\mathcal{R}}_{g2}=\frac{g_2}{{\mu }_0{A}_2}$): $\boxed{{\Phi }_1=\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_{g1}};{\Phi }_2=\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_{g2}};{\Phi }_c=N\cdot i\left(\frac{1}{{\mathcal{R}}_{g1}}+\frac{1}{{\mathcal{R}}_{g2}}\right)}$

4.6.2 Indutâncias Próprias ($L_{11},L_{22}$) e Indutância Mútua ($M$) em Função das Relutâncias

Quando duas bobinas ($N_1$ na coluna 1 e $N_2$ na coluna 2) compartilham um circuito magnético ramificado com uma coluna central passiva de relutância ${\mathcal{R}}_0$ (ou três ramos de relutâncias ${\mathcal{R}}_1,{\mathcal{R}}_2,{\mathcal{R}}_0$ conectados em estrela), aplica-se o Princípio da Superposição para deduzir os parâmetros indutivos:

• Excitação exclusiva da Bobina 1 ($i_1\ne 0,i_2=0$): A relutância equivalente vista pela bobina 1 é a série de ${\mathcal{R}}_1$ com o paralelo $({\mathcal{R}}_2\parallel {\mathcal{R}}_0)$: ${\mathcal{R}}_{\text{eq},1}={\mathcal{R}}_1+\frac{{\mathcal{R}}_2{\mathcal{R}}_0}{{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_0}=\frac{{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_0+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{R}}_0}{{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_0}=\frac{{\Delta }_{\mathcal{R}}}{{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_0}$ onde ${\Delta }_{\mathcal{R}}={\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_0+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{R}}_0$. Logo, a Autoindutância $L_{11}$ vale: $\boxed{L_{11}={\frac{{\lambda }_{11}}{i_1}|}_{i_2=0}=\frac{N_1^2}{{\mathcal{R}}_{\text{eq},1}}=\frac{N_1^2({\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_0)}{{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_0+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{R}}_0}}$ Analogamente, por simetria de índices, a Autoindutância $L_{22}$ vale: $\boxed{L_{22}={\frac{{\lambda }_{22}}{i_2}|}_{i_1=0}=\frac{N_2^2}{{\mathcal{R}}_{\text{eq},2}}=\frac{N_2^2({\mathcal{R}}_1+{\mathcal{R}}_0)}{{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_0+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{R}}_0}}$
• Indutância Mútua ($M=L_{21}=L_{12}$): Pela regra do divisor de fluxo magnético, a fração do fluxo ${\Phi }_1$ que atravessa a bobina 2 é ${\Phi }_{21}={\Phi }_1\cdot \frac{{\mathcal{R}}_0}{{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_0}$. Portanto, o enlace de fluxo mútuo ${\lambda }_{21}=N_2{\Phi }_{21}$ fornece: $\boxed{M=L_{21}=L_{12}=\frac{N_1{N}_2{\mathcal{R}}_0}{{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{R}}_0+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{R}}_0}}$ Se o circuito magnético for um núcleo único fechado sem ramo de dispersão (${\mathcal{R}}_0\to \infty$), tem-se ${\mathcal{R}}_{\text{total}}={\mathcal{R}}_1+{\mathcal{R}}_2$ e: $\boxed{L_{11}=\frac{N_1^2}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}};L_{22}=\frac{N_2^2}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}};M=\frac{N_1{N}_2}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}}=\sqrt{L_{11}{L}_{22}}(k=1)}$

4.6.3 Alimentação em Corrente Alternada e Potência Aparente Específica ($P_a$)

Conforme estudado no Capítulo 2 da disciplina TE323 (UFPR), quando uma bobina de $N$ espiras enrolada sobre um núcleo de seção efetiva $A_n$ é alimentada por uma tensão senoidal $v(t)=\sqrt{2}{V}_{\text{rms}}\sin (2\pi ft)$, a Lei de Faraday impõe que a densidade de fluxo magnético também seja senoidal (desprezando a queda resistiva no enrolamento): $B(t)=\frac{1}{N{A}_n}\int v(t)dt=-\frac{\sqrt{2}{V}_{\text{rms}}}{2\pi fN{A}_n}\cos (2\pi ft)=-B_{\max }\cos (2\pi ft)$ Isolando o valor eficaz da tensão em função da indução máxima $B_{\max }$: $\boxed{V_{\text{rms}}=\frac{2\pi }{\sqrt{2}}fN{A}_n{B}_{\max }=4,44\cdot f\cdot N\cdot A_n\cdot B_{\max }[\text{V}]}$

Devido à saturação e à histerese da curva $B\text{-}H$, embora $B(t)$ seja puramente senoidal, a intensidade de campo $H(t)$ e a corrente de excitação $i(t)$ são fortemente não-senoidais. Definindo o valor eficaz $H_{\text{ef}}$ da intensidade de campo ao longo do comprimento médio $l_n$, a corrente eficaz de excitação vale $I_{\text{ef}}=\frac{H_{\text{ef}}{l}_n}{N}$. A potência aparente total de excitação ($S=V_{\text{rms}}{I}_{\text{ef}}$) e a Potência Aparente Específica por Unidade de Massa ($P_a$) do aço laminado (de densidade volumétrica ${\rho }_n$, p.ex. ${\rho }_n=7,65{\text{ g/cm}}^3$ para o aço-silício M-19) resultam em: $\boxed{S=V_{\text{rms}}{I}_{\text{ef}}=4,44\cdot f\cdot (B_{\max }{H}_{\text{ef}})\cdot (A_n{l}_n)[\text{VA}]}$ $\boxed{P_a=\frac{V_{\text{rms}}{I}_{\text{ef}}}{{\rho }_n{A}_n{l}_n}=\frac{4,44\cdot f}{{\rho }_n}(B_{\max }{H}_{\text{ef}})[\text{VA/kg}\text{ ou }\text{VA/lb}]}$

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🏭 5. Estudo de Caso Prático e Exercícios Resolvidos TE323

5.1 Projeto de Eletroímã de Carga Industrial com Entreferro Duplo

Um eletroímã industrial de tração mecânica é constituído por um núcleo de aço fundido em formato de “U” e uma armadura móvel plana em formato de “I”, conforme ilustrado pelos parâmetros de fabricação:

• Comprimento médio do caminho magnético no ferro (núcleo + armadura): $l_c=0,60\text{ m}$;
• Seção transversal quadrada do núcleo e armadura: $a=b=5,0\text{ cm}=0,05\text{ m}$ ($A_c=0,05\times 0,05=2,5\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$);
• O entreferro duplo entre o núcleo em U e a armadura em I possui espaçamento de $g=2,0\text{ mm}=0,002\text{ m}$ em cada perna;
• A bobina é enrolada com $N=800\text{ espiras}$ de fio de cobre esmaltado;
• Para a indução magnética de trabalho desejada no entreferro de $B_g=1,20\text{ Tesla}$, o ensaio em laboratório do aço forneceu uma permeabilidade relativa de ${\mu }_r=3.200$.

Pede-se:

1. Calcular a relutância do núcleo ferromagnético (${\mathcal{R}}_c$);
2. Calcular a relutância corrigida de cada entreferro (${\mathcal{R}}_g$) considerando o espalhamento de fluxo (fringing);
3. Determinar a relutância total equivalente (${\mathcal{R}}_{\text{total}}$) e o fluxo magnético ($\Phi$);
4. Calcular a corrente elétrica de excitação ($i$) necessária;
5. Calcular a indutância própria da bobina ($L$) e a energia magnética total armazenada ($W_{\text{fld}}$).

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Memorial de Cálculo Analítico

Passo 1: Cálculo da Relutância do Ferro (${\mathcal{R}}_c$)

• Permeabilidade absoluta do aço: $${\mu }_c={\mu }_r\cdot {\mu }_0=3.200\times (4\pi \times 10^{-7})\approx 4,0212\times 10^{-3}\text{ H/m}$$
• Relutância do caminho ferromagnético: $${\mathcal{R}}_c=\frac{l_c}{{\mu }_c\cdot A_c}=\frac{0,60}{(4,0212\times 10^{-3})\times (2,5\times 10^{-3})}=\frac{0,60}{1,0053\times 10^{-5}}\approx 59.683,6{\text{H}}^{-1}$$

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Passo 2: Cálculo da Relutância do Entreferro com Fringing

Aplicando a correção de espalhamento nas duas dimensões da face polar ($a=b=0,05\text{ m}$, $g=0,002\text{ m}$):

$$a^{\prime }=a+g=0,05+0,002=0,052\text{ m}$$ $$b^{\prime }=b+g=0,05+0,002=0,052\text{ m}$$

Área efetiva do entreferro com fringing:

$$A_g=a^{\prime }\cdot b^{\prime }=(0,052{)}^2=2,704\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$$

(Aumento de $8,16\%$ na área de passagem do fluxo).

Relutância de um entreferro:

$${\mathcal{R}}_{g1}=\frac{g}{{\mu }_0\cdot A_g}=\frac{0,002}{(4\pi \times 10^{-7})\times (2,704\times 10^{-3})}=\frac{0,002}{3,3979\times 10^{-9}}\approx 588.601,8{\text{H}}^{-1}$$

Como o eletroímã possui dois entreferros idênticos em série (perna esquerda e perna direita):

$${\mathcal{R}}_{g,\text{total}}=2\cdot {\mathcal{R}}_{g1}=2\times 588.601,8=\mathrm{1.177.203},6{\text{H}}^{-1}$$

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Passo 3: Relutância Total Equivalente e Fluxo Magnético

A relutância magnética total vista pela bobina é a soma em série:

$${\mathcal{R}}_{\text{total}}={\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_{g,\text{total}}=59.683,6+\mathrm{1.177.203},6=\mathrm{1.236.887},2{\text{H}}^{-1}$$

(Nota-se que os dois entreferros de 2 mm concentram $95,18\%$ de toda a relutância!)

O fluxo magnético para a densidade de $B_g=1,20\text{ T}$ na área $A_g=2,704\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$ vale:

$$\Phi =B_g\cdot A_g=1,20\times (2,704\times 10^{-3})=3,2448\times 10^{-3}\text{ Wb}=3,2448\text{ mWb}$$

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Passo 4: Cálculo da Corrente de Excitação Necessária

Pela Lei de Hopkinson:

$$\mathcal{F}=N\cdot i={\mathcal{R}}_{\text{total}}\cdot \Phi$$ $$N\cdot i=\mathrm{1.236.887},2\times (3,2448\times 10^{-3})\approx 4.013,45\text{ A}\cdot \text{e}$$

Como a bobina possui $N=800\text{ espiras}$:

$$i=\frac{4.013,45}{800}\approx 5,017\text{ A}\approx 5,02\text{ A}$$

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Passo 5: Indutância Própria e Energia Armazenada

1. Indutância própria da bobina ($L$): $$L=\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}}=\frac{800^2}{\mathrm{1.236.887},2}=\frac{640.000}{\mathrm{1.236.887},2}\approx 0,5174\text{ H}=517,4\text{ mH}$$
2. Energia magnética total armazenada ($W_{\text{fld}}$): $$W_{\text{fld}}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot i^2=\frac{1}{2}\times 0,5174\times (5,017{)}^2=0,2587\times 25,170\approx 6,51\text{ Joules}$$

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5.2 Exercícios Resolvidos de Provas e Monitoria (UFPR — TE323)

Exercício Resolvido 1 — Circuito Magnético Ramificado de Três Colunas com Entreferros Distintos (Monitoria TE323 - Cap. 2, Ex. 3)

Enunciado: Um circuito magnético de três colunas possui uma bobina de $N=1000\text{ espiras}$ percorrida por uma corrente contínua $i=0,2\text{ A}$ alojada na perna central (perna 3, de largura $3\text{ cm}$ e profundidade $2\text{ cm}$, logo $A_3=6{\text{ cm}}^2$). As duas pernas laterais (perna 1 à esquerda e perna 2 à direita) possuem seção transversal de $2\text{ cm}\times 2\text{ cm}$ ($A_1=A_2=4{\text{ cm}}^2$) e contêm entreferros de ar distintos:

• Entreferro da perna 1: $g_1=0,05\text{ cm}=5\times 10^{-4}\text{ m}$;
• Entreferro da perna 2: $g_2=0,03\text{ cm}=3\times 10^{-4}\text{ m}$.

Supondo que a permeabilidade magnética do ferro seja suficientemente elevada (${\mu }_r\to \infty$) de modo que toda a força magnetomotriz (FMM) do enrolamento seja consumida exclusivamente nos entreferros, determine: (a) As relutâncias magnéticas ${\mathcal{R}}_1$ e ${\mathcal{R}}_2$ de cada caminho lateral; (b) Os fluxos magnéticos ${\Phi }_1$, ${\Phi }_2$ e o fluxo total ${\Phi }_3$ na coluna central; (c) A indução magnética ($B_1,B_2,B_3$) em cada perna do núcleo e a autoindutância equivalente $L$ vista pela bobina.

Solução Passo a Passo:

1. [Cálculo das Relutâncias dos Entreferros ${\mathcal{R}}_1$ e ${\mathcal{R}}_2$]: Como ${\mu }_r\to \infty$, a relutância do ferro é nula e cada ramo lateral apresenta apenas a relutância do seu respectivo entreferro ($A_1=A_2=4\times 10^{-4}{\text{ m}}^2$): ${\mathcal{R}}_1=\frac{g_1}{{\mu }_0{A}_1}=\frac{5\times 10^{-4}}{4\pi \times 10^{-7}\times 4\times 10^{-4}}=\frac{5\times 10^3}{16\pi }\approx \boxed{994,72\times 10^3\text{ A}\cdot \text{e/Wb}}$ ${\mathcal{R}}_2=\frac{g_2}{{\mu }_0{A}_2}=\frac{3\times 10^{-4}}{4\pi \times 10^{-7}\times 4\times 10^{-4}}=\frac{3\times 10^3}{16\pi }\approx \boxed{596,83\times 10^3\text{ A}\cdot \text{e/Wb}}$

2. [Cálculo dos Fluxos Magnéticos ${\Phi }_1,{\Phi }_2$ e ${\Phi }_3$]: A fonte de FMM na coluna central vale $\mathcal{F}=N\cdot i=1000\times 0,2=200\text{ A}\cdot \text{e}$. Como não há queda de potencial magnético na coluna central nem nos jugos, ambos os ramos laterais estão submetidos em paralelo à mesma FMM de $200\text{ A}\cdot \text{e}$: ${\Phi }_1=\frac{\mathcal{F}}{{\mathcal{R}}_1}=\frac{200}{994,72\times 10^3}\approx \boxed{0,201\times 10^{-3}\text{ Wb}=0,201\text{ mWb}}$ ${\Phi }_2=\frac{\mathcal{F}}{{\mathcal{R}}_2}=\frac{200}{596,83\times 10^3}\approx \boxed{0,335\times 10^{-3}\text{ Wb}=0,335\text{ mWb}}$ Pela 1ª Lei de Kirchhoff Magnética no nó central, o fluxo na coluna 3 é a soma dos fluxos laterais: ${\Phi }_3={\Phi }_1+{\Phi }_2=0,201+0,335=\boxed{0,536\times 10^{-3}\text{ Wb}\approx 0,54\text{ mWb}}$

3. [Cálculo das Densidades de Fluxo $B_1,B_2,B_3$ e da Indutância $L$]: Dividindo o fluxo de cada coluna pela sua respectiva seção transversal ($A_1=A_2=4\times 10^{-4}{\text{ m}}^2$ e $A_3=6\times 10^{-4}{\text{ m}}^2$): $\boxed{B_1=\frac{{\Phi }_1}{A_1}=\frac{2,01\times 10^{-4}}{4\times 10^{-4}}\approx 0,50\text{ T}};\boxed{B_2=\frac{{\Phi }_2}{A_2}=\frac{3,35\times 10^{-4}}{4\times 10^{-4}}\approx 0,84\text{ T}}$ $\boxed{B_3=\frac{{\Phi }_3}{A_3}=\frac{5,36\times 10^{-4}}{6\times 10^{-4}}\approx 0,893\text{ T}\approx 0,90\text{ T}}$ A indutância equivalente vista pela bobina central é: $\boxed{L=\frac{N{\Phi }_3}{i}=\frac{1000\times 5,36\times 10^{-4}}{0,2}=2,68\text{ H}}$

Exercício Resolvido 2 — Dimensionamento de Núcleo em CA (Aço-Silício M-19) e Seleção Energética em Relé (Monitoria TE323 - Cap. 2, Ex. 5 & P1 2022)

Enunciado: Parte I (Excitação CA em Aço M-19): Um núcleo magnético retangular laminado de aço-silício M-19 possui dimensões externas de $25,4\text{ cm}\times 20,32\text{ cm}$ e largura de janela/perna de $5,08\text{ cm}$ (espessura bruta de empilhamento de $5,08\text{ cm}$). O fator de empilhamento das chapas isoladas é $f_{\text{emp}}=0,94$ e a densidade do aço é ${\rho }_n=7,65{\text{ g/cm}}^3$. Uma bobina de $N=200\text{ espiras}$ é excitada em $60\text{ Hz}$ ($\omega =377\text{ rad/s}$) para produzir uma indução senoidal $B(t)=1,5\sin (377t)\text{ [T]}$. Sabendo pelas curvas do aço M-19 que para $B_{\max }=1,5\text{ T}$ tem-se $H_{\max }=180\text{ A}\cdot \text{e/m}$ e potência aparente específica $P_a=18\text{ VA/lb}$ ($1\text{ kg}=2,2\text{ lb}$), determine a tensão aplicada $e(t)$, a corrente de pico $I_{\text{pico}}$ e a corrente eficaz $I_{\text{rms}}$. Parte II (Projeto de Relé — P1 TE323/2022): Para atuar um relé com caminho médio no ferro $l_c=25\text{ cm}$, seção quadrada $A=1{\text{ cm}}^2=10^{-4}{\text{ m}}^2$ e dois entreferros em série de $g=1,0\text{ mm}$ cada ($l_g=2,0\text{ mm}$ totais), exige-se $B=1,2\text{ T}$. Compare a energia magnética armazenada $W=\frac{1}{2}\lambda I$ entre: (a) Aço fundido ($H_{\text{AF}}=1000\text{ A}\cdot \text{e/m}$ em $1,2\text{ T}$) com $N_1=700\text{ espiras}$; e (b) Aço-silício ($H_{\text{AS}}=400\text{ A}\cdot \text{e/m}$ em $1,2\text{ T}$) com $N_2=350\text{ espiras}$.

Solução Passo a Passo:

1. [Parte I — Geometria Efetiva, Tensão Aplicada e Corrente de Pico no Aço M-19]:
   • Comprimento médio do núcleo: $l_n=2\times (20,32-5,08)+2\times (25,4-5,08)=30,48+40,64=71,12\text{ cm}\approx 0,71\text{ m}$.
   • Área líquida de ferro empilhado: $A_n=5,08\text{ cm}\times (5,08\text{ cm}\times 0,94)=24,258{\text{ cm}}^2\approx 24,25\times 10^{-4}{\text{ m}}^2$.
   • Fluxo máximo: ${\Phi }_{\max }=B_{\max }{A}_n=1,5\times 24,25\times 10^{-4}=3,638\times 10^{-3}\text{ Wb}$.
   • Tensão induzida pela Lei de Faraday: $e(t)=N\frac{d\Phi }{dt}=200\times 3,638\times 10^{-3}\times 377\cos (377t)⟹\boxed{e(t)\approx 274\cos (377t)\text{ [V]}(V_{\text{rms}}\approx 193,7\text{ V})}$
   • Corrente de pico pela Lei de Ampère ($H_{\max }=180\text{ A}\cdot \text{e/m}$): $\boxed{I_{\text{pico}}=\frac{H_{\max }\cdot l_n}{N}=\frac{180\times 0,71}{200}=0,639\text{ A}}$
   • Volume de ferro: ${\text{Vol}}_n=l_n{A}_n=71\text{ cm}\times 24,25{\text{ cm}}^2=1721,75{\text{ cm}}^3$. Massa: $m=1721,75\times 7,65{\text{ g/cm}}^3=13,171\text{ kg}\approx 29,0\text{ lb}$.
   • Potência aparente total de excitação: $S_{\text{total}}=P_a\cdot m=18\text{ VA/lb}\times 29\text{ lb}=522\text{ VA}$.
   • Corrente eficaz de excitação: $\boxed{I_{\text{rms}}=\frac{S_{\text{total}}}{V_{\text{rms}}}=\frac{522}{193,7}\approx 2,70\text{ A}}$
2. [Parte II — Comparação Energética do Relé (P1 TE323/2022)]:
   • Fluxo magnético requerido: $\Phi =B\cdot A=1,2\times 10^{-4}\text{ Wb}$.
   • Queda de FMM nos entreferros ($l_g=2,0\text{ mm}=0,002\text{ m}$): ${\mathcal{F}}_g=H_g{l}_g=\frac{B}{{\mu }_0}{l}_g=\frac{1,2}{4\pi \times 10^{-7}}\times 0,002\approx 1909,86\text{ A}\cdot \text{e}$
   • Opção (a) — Aço Fundido ($N_1=700,H_{\text{AF}}=1000\text{ A/m}$): $N_1{I}_1=H_{\text{AF}}{l}_c+{\mathcal{F}}_g=1000(0,25)+1909,86=2159,86\text{ A}\cdot \text{e}⟹I_1=\frac{2159,86}{700}\approx 3,085\text{ A}$ ${\lambda }_1=N_1\Phi =700\times 1,2\times 10^{-4}=0,084\text{ Wb}\cdot \text{e}⟹\boxed{W_1=\frac{1}{2}{\lambda }_1{I}_1=\frac{1}{2}(0,084)(3,085)\approx 0,1296\text{ J}\approx 0,13\text{ J}}$
   • Opção (b) — Aço-Silício ($N_2=350,H_{\text{AS}}=400\text{ A/m}$): $N_2{I}_2=H_{\text{AS}}{l}_c+{\mathcal{F}}_g=400(0,25)+1909,86=2009,86\text{ A}\cdot \text{e}⟹I_2=\frac{2009,86}{350}\approx 5,742\text{ A}$ ${\lambda }_2=N_2\Phi =350\times 1,2\times 10^{-4}=0,042\text{ Wb}\cdot \text{e}⟹\boxed{W_2=\frac{1}{2}{\lambda }_2{I}_2=\frac{1}{2}(0,042)(5,742)\approx 0,1206\text{ J}\approx 0,12\text{ J}}$
   • Conclusão de Projeto: Como $W=\frac{1}{2}{\mathcal{F}}_{\text{total}}\Phi$, a Opção (b) em Aço-Silício demanda menos energia da fonte ($0,12\text{ J}<0,13\text{ J}$) porque a maior permeabilidade do aço-silício reduz a queda de FMM no núcleo ferromagnético de $250\text{ A}\cdot \text{e}$ para apenas $100\text{ A}\cdot \text{e}$, independentemente do número de espiras escolhido.

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📝 6. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados

Questão 01 — Cálculo de Força Magnetomotriz com Efeito de Espalhamento (Fringing)

(Concurso Petrobras — Engenheiro Eletricista)

Um circuito magnético de seção transversal quadrada de $4,0\text{ cm}\times 4,0\text{ cm}$ possui um entreferro de ar de comprimento $g=2,0\text{ mm}$. Deseja-se estabelecer no entreferro um fluxo magnético total de $\Phi =2,0\text{ mWb}$. Considerando o efeito de espalhamento (fringing) pela aproximação $A_g=(a+g)(b+g)$ e sabendo que a permeabilidade do vácuo é ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{ H/m}$, a queda de Força Magnetomotriz exclusivamente no entreferro (${\mathcal{F}}_g$) é de aproximadamente: A) $1.500\text{ A}\cdot \text{e}$ B) $2.270\text{ A}\cdot \text{e}$ C) $3.183\text{ A}\cdot \text{e}$ D) $4.500\text{ A}\cdot \text{e}$ E) $5.620\text{ A}\cdot \text{e}$

Resolução Analítica Passo a Passo

1. Cálculo da área efetiva corrigida pelo espalhamento:

• Dimensões das faces: $a=b=4,0\text{ cm}=0,04\text{ m}$
• Entreferro: $g=2,0\text{ mm}=0,002\text{ m}$
• Lados corrigidos: $a^{\prime }=b^{\prime }=0,04+0,002=0,042\text{ m}$
• Área efetiva: $$A_g=(0,042{)}^2=1,764\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$$

2. Cálculo da relutância do entreferro (${\mathcal{R}}_g$):

$${\mathcal{R}}_g=\frac{g}{{\mu }_0\cdot A_g}=\frac{0,002}{(4\pi \cdot 10^{-7})\times (1,764\times 10^{-3})}=\frac{0,002}{2,2167\times 10^{-9}}\approx 902.242{\text{H}}^{-1}$$

3. Queda de FMM no entreferro:

$${\mathcal{F}}_g={\mathcal{R}}_g\cdot \Phi =902.242\times (2,0\times 10^{-3}\text{ Wb})\approx 1.804,5\text{ A}\cdot \text{e}$$

(Caso não houvesse correção de fringing, com $A=1,6\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$: $\mathcal{F}=\frac{0,002\times 0,002}{(4\pi \cdot 10^{-7})\times 1,6\cdot 10^{-3}}\approx 1.989\text{ A}\cdot \text{e}$).

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Questão 02 — Determinação da Indutância Própria em Núcleo com Entreferro

(Concurso Eletrobras / Eletronorte — Engenheiro Eletricista)

Um núcleo ferromagnético toroidal possui raio médio $r=10\text{ cm}$, seção reta circular de raio $r_{\text{sec¸a˜o}}=2\text{ cm}$ e permeabilidade relativa considerada infinita (${\mu }_r\to \infty$). No toroide, foi cortado um entreferro de comprimento $g=1,0\text{ mm}$. Uma bobina de $N=500\text{ espiras}$ foi enrolada uniformemente sobre o núcleo. Desprezando o espalhamento de fluxo e adotando $\pi \approx 3,1416$ e ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{ H/m}$, a indutância própria da bobina vale aproximadamente: A) $98,7\text{ mH}$ B) $197,4\text{ mH}$ C) $394,8\text{ mH}$ D) $520,0\text{ mH}$ E) $789,6\text{ mH}$

Resolução Analítica Passo a Passo

1. Como ${\mu }_r\to \infty$, a relutância do ferro é nula (${\mathcal{R}}_c=0$): A relutância total é unicamente a relutância do entreferro de ar:

$${\mathcal{R}}_{\text{total}}={\mathcal{R}}_g=\frac{g}{{\mu }_0\cdot A}$$

2. Cálculo da área da seção reta circular ($r_{\text{sec¸a˜o}}=0,02\text{ m}$):

$$A=\pi \cdot r_{\text{sec¸a˜o}}^2=\pi \times (0,02{)}^2=4\pi \times 10^{-4}{\text{ m}}^2\approx 1,2566\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$$

3. Cálculo da relutância (${\mathcal{R}}_g$):

$${\mathcal{R}}_g=\frac{10^{-3}}{(4\pi \cdot 10^{-7})\times (4\pi \cdot 10^{-4})}=\frac{10^{-3}}{16{\pi }^2\cdot 10^{-11}}=\frac{10^8}{16{\pi }^2}\approx \frac{\mathrm{100.000.000}}{157,91}\approx 633.272{\text{H}}^{-1}$$

4. Cálculo da Indutância Própria ($L$):

$$L=\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_g}=\frac{500^2}{633.272}=\frac{250.000}{633.272}\approx 0,3948\text{ H}=394,8\text{ mH}$$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Questão 03 — Distribuição de FMM entre Núcleo Ferromagnético e Entreferro

(Concurso CHESF — Engenharia Elétrica / CESPE)

Em um circuito magnético composto por um caminho ferromagnético de permeabilidade relativa constante ${\mu }_r=2.000$ e comprimento $l_c=1,0\text{ m}$, intercalado por um entreferro de ar de comprimento $g=1,0\text{ mm}$ com mesma seção transversal constante, a porcentagem da Força Magnetomotriz ($\mathcal{F}$) consumida exclusivamente no entreferro é de: A) $33,3\%$ B) $50,0\%$ C) $66,7\%$ D) $75,0\%$ E) $90,0\%$

Resolução Analítica Passo a Passo

A FMM total divide-se proporcionalmente às relutâncias em série, visto que o fluxo $\Phi$ é o mesmo:

$${\mathcal{F}}_g={\mathcal{R}}_g\cdot \Phi \text{e}{\mathcal{F}}_c={\mathcal{R}}_c\cdot \Phi$$

A fração da FMM no entreferro é:

$$\frac{{\mathcal{F}}_g}{{\mathcal{F}}_{\text{total}}}=\frac{{\mathcal{R}}_g}{{\mathcal{R}}_g+{\mathcal{R}}_c}=\frac{\frac{g}{{\mu }_{0}A}}{\frac{g}{{\mu }_{0}A}+\frac{l_c}{{\mu }_r{\mu }_{0}A}}=\frac{g}{g+\frac{l_c}{{\mu }_r}}$$

Substituindo os valores numéricos:

• $g=1,0\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}$
• $l_c=1,0\text{ m}$
• ${\mu }_r=2.000$

$$\frac{l_c}{{\mu }_r}=\frac{1,0}{2.000}=0,5\times 10^{-3}\text{ m}=0,5\text{ mm}$$

Fração consumida no entreferro:

$$\frac{{\mathcal{F}}_g}{{\mathcal{F}}_{\text{total}}}=\frac{1,0\text{ mm}}{1,0\text{ mm}+0,5\text{ mm}}=\frac{1,0}{1,5}=\frac{2}{3}\approx 66,67\%\approx 66,7\%$$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Questão 04 — Perdas por Histerese e Correntes de Foucault em Lâminas de Aço-Silício

(Concurso CEMIG — Engenheiro de Equipamentos de Alta Tensão)

Um transformador de distribuição opera conectado a uma rede senoidal de frequência $f=60\text{ Hz}$ com indução máxima de pico $B_{\max }$. Suas perdas nominais no ferro dividem-se em: $60\text{ W}$ de perdas por histerese ($P_h$) e $40\text{ W}$ de perdas por correntes de Foucault ($P_e$), totalizando $100\text{ W}$. Se a frequência for reduzida para $f^{\prime }=50\text{ Hz}$, mantendo-se a indução máxima $B_{\max }$ inalterada por regulação proporcional da tensão de alimentação ($V/f=\text{constante}$), as novas perdas totais no ferro serão de: A) $72,2\text{ W}$ B) $77,8\text{ W}$ C) $83,3\text{ W}$ D) $88,9\text{ W}$ E) $91,7\text{ W}$

Resolução Analítica Passo a Passo

Com a indução de pico $B_{\max }$ mantida rigorosamente constante:

1. As perdas por histerese variam linearmente com a frequência ($P_h\propto f$): $$P_h^{\prime }=P_h\times \left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)=60\text{ W}\times \left(\frac{50}{60}\right)=60\times \frac{5}{6}=50\text{ W}$$
2. As perdas por Foucault variam com o quadrado da frequência ($P_e\propto f^2$): $$P_e^{\prime }=P_e\times {\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^2=40\text{ W}\times {\left(\frac{50}{60}\right)}^2=40\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^2=40\times \frac{25}{36}\approx 27,78\text{ W}$$
3. Perdas totais no ferro em $50\text{ Hz}$: $$P_{\text{ferro}}^{\prime }=P_h^{\prime }+P_e^{\prime }=50+27,78=77,78\text{ W}\approx 77,8\text{ W}$$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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Questão 05 — Analogia de Hopkinson em Circuitos Magnéticos em Paralelo

(Concurso Furnas — Engenheiro Eletricista)

Considere um circuito magnético simétrico composto por uma perna central enrolada com $N$ espiras conduzindo corrente $i$, e duas pernas laterais idênticas em paralelo, sem entreferro. A relutância de cada perna lateral vale ${\mathcal{R}}_L$, e a relutância da perna central vale ${\mathcal{R}}_c$. O fluxo magnético total que percorre a perna central (${\Phi }_c$) é dado por: A) ${\Phi }_c=\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_c+2{\mathcal{R}}_L}$ B) ${\Phi }_c=\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_L/2}$ C) ${\Phi }_c=\frac{N\cdot i}{2{\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_L}$ D) ${\Phi }_c=\frac{2\cdot N\cdot i}{{\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_L}$ E) ${\Phi }_c=\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_c\cdot {\mathcal{R}}_L}$

Resolução Analítica Passo a Passo

Pela analogia de Hopkinson com circuitos elétricos:

1. As duas pernas laterais idênticas estão ligadas em paralelo entre os dois nós polares superior e inferior. Sua relutância equivalente em paralelo vale: $${\mathcal{R}}_p=\frac{{\mathcal{R}}_L\times {\mathcal{R}}_L}{{\mathcal{R}}_L+{\mathcal{R}}_L}=\frac{{\mathcal{R}}_L}{2}$$
2. Essa combinação em paralelo encontra-se em série com a perna central excitada pela FMM $\mathcal{F}=N\cdot i$: $${\mathcal{R}}_{\text{total}}={\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_p={\mathcal{R}}_c+\frac{{\mathcal{R}}_L}{2}$$
3. Pela Lei de Ohm Magnética, o fluxo total na perna central é: $${\Phi }_c=\frac{\mathcal{F}}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}}=\frac{N\cdot i}{{\mathcal{R}}_c+{\mathcal{R}}_L/2}$$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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📚 7. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

1. FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY JR., Charles; UMANS, Stephen D. Máquinas Elétricas: com Introdução à Eletrônica de Potência. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
2. DEL TORO, Vincent. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
3. CHAPMAN, Stephen J. Fundamentos de Máquinas Elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
4. SEN, P. C. Principles of Electric Machines and Power Electronics. 3. ed. New York: John Wiley & Sons, 2013.
5. KRAUSE, Paul C.; WASYNCZUK, Oleg; PEKAREK, Steven D. Analysis of Electric Machinery and Drive Systems. 3. ed. Piscataway: IEEE Press / Wiley, 2013.