Aula 03: Campos Variantes no Tempo e a Forma Completa das Equações de Maxwell

Visão Geral & Objetivos Pedagógicos

Esta aula aborda a grande síntese da física clássica: a unificação eletrodinâmica de James Clerk Maxwell. Analisamos o quadro completo das quatro equações diferenciais e integrais que regem campos elétricos e magnéticos variantes no tempo em meios materiais. Estudamos a distinção física entre a $\text{fem}$ de transformação (indução estática) e a $\text{fem}$ de movimento (conversão eletromecânica), deduzindo a dinâmica com frenagem magnética exponencial. Formulamos o Teorema de Poynting, quantificando o fluxo e a densidade de potência transmitida ($\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$). Por fim, introduzimos o Gauge de Lorenz, as equações de onda inhomogêneas desacopladas e os potenciais retardados de Liénard-Wiechert.

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1. Mapa Conceitual da Aula

O infográfico abaixo sintetiza as quatro equações de Maxwell completas, o balanço de energia via Poynting, os mecanismos de $\text{fem}$ e a teoria dos potenciais eletrodinâmicos com tempo retardado.

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2. A Forma Completa das Equações de Maxwell em Meios Materiais

Em regimes dinâmicos onde cargas aceleram e correntes oscilam com o tempo, os campos elétricos e magnéticos deixam de ser independentes e acoplam-se mutuamente. O conjunto completo das equações fundamentais nos meios materiais é expresso por:

2.1 As Quatro Equações de Maxwell

Equação	Forma Diferencial Pontual	Forma Integral de Fronteira	Fenômeno Físico Fundamental
1. Lei de Gauss Elétrica	$\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_v$	${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{A}=Q_{\text{livre, env}}$	Fontes e sumidouros do vetor deslocamento elétrico são as cargas livres.
2. Lei de Gauss Magnética	$\nabla \cdot \vec{B}=0$	${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$	Inexistência física de monopolos magnéticos; fluxo fechado sempre nulo.
3. Lei de Faraday-Lenz	$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$	${\oint }_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}$	Variação temporal da indução magnética gera campo elétrico rotacional.
4. Lei de Ampère-Maxwell	$\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$	${\oint }_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=I_c+\frac{d{\Phi }_D}{dt}$	Correntes livres de condução e correntes de deslocamento geram $\vec{H}$.

2.2 Relações Constitutivas em Meios Lineares, Homogêneos e Isotrópicos (LHI)

Para fechar o sistema de equações diferenciais acopladas, associamos as relações do meio material:

$\vec{D}=\epsilon \vec{E}={\epsilon }_r{\epsilon }_0\vec{E}$

$\vec{B}=\mu \vec{H}={\mu }_r{\mu }_0\vec{H}$

$\vec{J}=\sigma \vec{E}$

Onde:

• $\epsilon$ é a permissividade elétrica ($\text{F/m}$); ${\epsilon }_0\approx 8,854\times 10^{-12}\text{ F/m}$.
• $\mu$ é a permeabilidade magnética ($\text{H/m}$); ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{ H/m}$.
• $\sigma$ é a condutividade elétrica ($\text{S/m}$).

2.3 A Corrente de Deslocamento e a Conservação da Carga

Tomando o divergente de ambos os lados da Lei de Ampère-Maxwell:

$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{H})=\nabla \cdot \vec{J}+\nabla \cdot \left(\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\right)$

Pela identidade vetorial, a divergência de qualquer rotacional é identicamente nula ($\nabla \cdot (\nabla \times \vec{H})\equiv 0$):

$0=\nabla \cdot \vec{J}+\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \vec{D})$

Substituindo a Lei de Gauss ($\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_v$):

$\nabla \cdot \vec{J}+\frac{\partial {\rho }_v}{\partial t}=0⟺\boxed{\nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial {\rho }_v}{\partial t}}$

A inclusão do termo $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ por Maxwell não foi um mero ajuste empírico, mas uma necessidade matemática inegociável para garantir a conservação universal da carga elétrica.

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3. Classificação da Força Eletromotriz: Transformação versus Movimento

A força eletromotriz total $\mathcal{E}$ induzida em um circuito genérico que pode estar se movendo e se deformando no interior de um campo magnético que também varia no tempo é governada pela regra de Leibniz de diferenciação de integrais de fluxo de superfície:

$\mathcal{E}=-\frac{d}{dt}{\iint }_{S(t)}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot d\vec{A}$

A derivada total decompõe-se em duas parcelas físicas distintas:

$\boxed{\mathcal{E}=-{\iint }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{A}+{\oint }_C(\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}={\mathcal{E}}_{\text{transf}}+{\mathcal{E}}_{\text{mov}}}$

3.1 Força Eletromotriz de Transformação (${\mathcal{E}}_{\text{transf}}$)

Ocorre quando o circuito condutor permanece mecanicamente estático no espaço ($\vec{v}=0$), mas a intensidade do campo magnético varia com o tempo:

$\boxed{{\mathcal{E}}_{\text{transf}}=-{\iint }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{A}={\oint }_C{\vec{E}}_{\text{ind}}\cdot d\vec{l}}$

• Mecanismo: Campo elétrico induzido não conservativo ($\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$).
• Aplicações: Transformadores de potência, bobinas de ignição, placas de cooktop por indução e fornos a arco elétrico.

3.2 Força Eletromotriz de Movimento / Cinética (${\mathcal{E}}_{\text{mov}}$)

Ocorre quando o campo magnético é estático no tempo ($\partial \vec{B}/\partial t=0$), mas o contorno do circuito ou condutor desloca-se com velocidade $\vec{v}$, alterando a área enlaçada ou o ângulo de incidência do fluxo:

$\boxed{{\mathcal{E}}_{\text{mov}}={\oint }_C(\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}}$

• Mecanismo: Ação direta da Força de Lorentz sobre os elétrons móveis no referencial do laboratório ($\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$).
• Aplicações: Geradores síncronos, alternadores veiculares, motores CC e medidores de vazão eletromagnéticos.

3.3 Dinâmica com Amortecimento Eletromagnético (Frenagem Magnética)

Considere uma barra condutora metálica de massa $m$ e comprimento $L$, livre para mover-se sobre trilhos condutores horizontais com resistência total de laço $R$, imersa em um campo magnético uniforme perpendicular $\vec{B}=B\hat{k}$. A barra recebe uma velocidade inicial $v_0$ em $t=0$.

1. Ao mover-se com velocidade $v(t)$, surge uma fem de movimento: $\mathcal{E}=BLv(t)$
2. A corrente induzida circulante é: $I(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{BLv(t)}{R}$
3. Pela Lei de Laplace, atua sobre a barra uma força magnética resistente oposta ao movimento: $F_{\text{mag}}=-ILB=-\frac{B^2{L}^2}{R}v(t)$
4. Pela Segunda Lei de Newton ($m\frac{dv}{dt}=F_{\text{mag}}$): $m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2{L}^2}{R}v⟹\frac{dv}{dt}+\left(\frac{B^2{L}^2}{mR}\right)v=0$

Definindo a constante de amortecimento mecânico-eletromagnético ${\tau }_m$ e o fator $\gamma$:

$\gamma =\frac{B^2{L}^2}{mR}⟹{\tau }_m=\frac{1}{\gamma }=\frac{mR}{B^2{L}^2}$

Integrando a equação diferencial com a condição inicial $v(0)=v_0$:

$\boxed{v(t)=v_0{e}^{-\gamma t}=v_0{e}^{-t/{\tau }_m}}$

A velocidade decresce exponencialmente, convertendo toda a energia cinética mecânica inicial ($K_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2$) em calor no resistor por Efeito Joule:

$E_{\text{dissipada}}={\int }_0^{\infty }RI(t{)}^{2}dt=R{\int }_0^{\infty }\frac{B^2{L}^2{v}_0^2}{R^2}{e}^{-2\gamma t}dt=\frac{B^2{L}^2{v}_0^2}{R}\left[\frac{1}{2\gamma }\right]=\frac{B^2{L}^2{v}_0^2}{R}\frac{mR}{2B^2{L}^2}=\boxed{\frac{1}{2}m{v}_0^2}$

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4. O Teorema de Poynting e o Fluxo de Potência Eletromagnética

Em 1884, John Henry Poynting deduziu a equação que descreve a taxa de fluxo e o balanço rigoroso de energia em campos eletromagnéticos dinâmicos.

4.1 Dedução Matemática do Balanço de Energia

Considere a identidade vetorial da divergência de um produto vetorial:

$\nabla \cdot (\vec{E}\times \vec{H})=\vec{H}\cdot (\nabla \times \vec{E})-\vec{E}\cdot (\nabla \times \vec{H})$

Substituindo a Lei de Faraday ($\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$) e a Lei de Ampère-Maxwell ($\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$):

$\nabla \cdot (\vec{E}\times \vec{H})=\vec{H}\cdot \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)-\vec{E}\cdot \left(\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\right)$

$-\nabla \cdot (\vec{E}\times \vec{H})=\vec{J}\cdot \vec{E}+\vec{H}\cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}+\vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

Para meios LHI ($\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ e $\vec{B}=\mu \vec{H}$): $\vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}=\epsilon \vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}\epsilon E^2\right)$ $\vec{H}\cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=\mu \vec{H}\cdot \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}\mu H^2\right)$

Definindo o Vetor de Poynting Instantâneo $\vec{S}$:

$\boxed{\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}\left(\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}\right)}$

A Forma Diferencial do Teorema de Poynting é:

$\boxed{-\nabla \cdot \vec{S}=\vec{J}\cdot \vec{E}+\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}\epsilon E^2+\frac{1}{2}\mu H^2\right)}$

Integrando sobre um volume $\mathcal{V}$ delimitado pela superfície fechada $S$ e aplicando o Teorema da Divergência:

$\boxed{-{\oint }_S\vec{S}\cdot d\vec{A}={\iiint }_{\mathcal{V}}(\vec{J}\cdot \vec{E})d\mathcal{V}+\frac{d}{dt}{\iiint }_{\mathcal{V}}(u_e+u_m)d\mathcal{V}}$

Significado Físico dos Termos:

1. $-{\oint }_S\vec{S}\cdot d\vec{A}$: Taxa líquida total de potência eletromagnética que entra no volume através de sua superfície limite.
2. ${\iiint }_{\mathcal{V}}(\vec{J}\cdot \vec{E})d\mathcal{V}$: Taxa com que o campo realiza trabalho sobre as cargas (potência convertida em calor por efeito Joule nos condutores ou potência mecânica).
3. $\frac{d}{dt}{\iiint }_{\mathcal{V}}(u_e+u_m)d\mathcal{V}$: Taxa temporal de acúmulo de energia eletrostática ($u_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2$) e magnética ($u_m=\frac{1}{2}\mu H^2$) armazenada no volume.

4.2 Vetor de Poynting Médio no Tempo para Campos Harmônicos

Em engenharia de comunicações e linhas de transmissão, os campos variam senoidalmente: $\vec{E}(\vec{r},t)=\text{Re}\{{\vec{E}}_0(\vec{r})e^{j\omega t}\}\text{e}\vec{H}(\vec{r},t)=\text{Re}\{{\vec{H}}_0(\vec{r})e^{j\omega t}\}$ A densidade média temporal de fluxo de potência irradiada é dada por:

$\boxed{{\vec{S}}_{\text{med}}=\frac{1}{2}\text{Re}\{{\vec{E}}_0\times {\vec{H}}_0^{\ast }\}\left(\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}\right)}$

Onde ${\vec{H}}_0^{\ast }$ é o conjugado complexo do fasor de campo magnético.

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5. Potenciais Eletrodinâmicos e o Gauge de Lorenz

Para campos variantes no tempo, a Lei de Faraday impõe $\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\ne 0$. O campo elétrico já não pode ser expresso simplesmente como o gradiente de um potencial escalar ($\vec{E}\ne -\nabla V$).

5.1 Definição dos Potenciais Eletrodinâmicos

Como $\nabla \cdot \vec{B}=0$ permanece rigorosamente válida em todas as condições temporais:

$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}$

Substituindo na Lei de Faraday:

$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \vec{A})=-\nabla \times \left(\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\right)$

$\nabla \times \left(\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\right)=0$

Como o termo entre parênteses tem rotacional nulo, ele deriva do gradiente de um potencial escalar $V$:

$\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=-\nabla V⟹\boxed{\vec{E}=-\nabla V-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}}$

5.2 O Gauge de Lorenz

Substituindo as expressões de $\vec{B}$ e $\vec{E}$ na Lei de Gauss ($\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_v$) e na Lei de Ampère-Maxwell ($\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$), obtemos equações acopladas para $V$ e $\vec{A}$.

Para desacoplar as duas equações em regimes dinâmicos, Ludwig Lorenz introduziu em 1867 a Condição de Gauge de Lorenz:

$\boxed{\nabla \cdot \vec{A}+\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t}=0}$

5.3 As Equações Inhomogêneas de Onda

Sob a condição de Gauge de Lorenz, as equações diferenciais para os potenciais desacoplam-se perfeitamente:

$\boxed{{\nabla }^{2}V-\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}V}{\partial t^2}=-\frac{{\rho }_v}{\epsilon }}$

$\boxed{{\nabla }^2\vec{A}-\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{A}}{\partial t^2}=-\mu \vec{J}}$

5.4 Potenciais Retardados de Liénard-Wiechert

Como a velocidade da luz é finita ($c=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$), qualquer perturbação gerada pelas fontes ${\rho }_v({\vec{r}}^{\prime },t)$ e $\vec{J}({\vec{r}}^{\prime },t)$ leva um tempo de trânsito finito $\Delta t=\frac{R}{c}=\frac{|\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }|}{c}$ para alcançar o ponto de observação $\vec{r}$.

As soluções das equações inhomogêneas devem ser avaliadas no Tempo Retardado $t_{\text{ret}}$:

$\boxed{t_{\text{ret}}=t-\frac{|\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }|}{c}}$

As integrais dos Potenciais Retardados são:

$\boxed{V(\vec{r},t)=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\iiint }_{\mathcal{V}}\frac{{\rho }_v({\vec{r}}^{\prime },t-R/c)}{R}d{\mathcal{V}}^{\prime }}$

$\boxed{\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{\mu }{4\pi }{\iiint }_{\mathcal{V}}\frac{\vec{J}({\vec{r}}^{\prime },t-R/c)}{R}d{\mathcal{V}}^{\prime }}$

Esta formulação fundamenta toda a teoria moderna de irradiação de antenas e telecomunicações por rádio e micro-ondas.

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6. Condições de Contorno Eletrodinâmicas Gerais

Na fronteira entre dois meios materiais arbitrários com campos variantes no tempo:

1. Componente Tangencial de $\vec{E}$: $\boxed{E_{1t}=E_{2t}}⟺\hat{n}\times ({\vec{E}}_1-{\vec{E}}_2)=0$ O campo elétrico tangencial é rigorosamente contínuo mesmo sob frequências ultra-altas.

2. Componente Normal de $\vec{B}$: $\boxed{B_{1n}=B_{2n}}⟺\hat{n}\cdot ({\vec{B}}_1-{\vec{B}}_2)=0$ A componente normal da indução magnética é contínua sempre.

3. Componente Normal de $\vec{D}$: $\boxed{D_{1n}-D_{2n}={\sigma }_f}⟺\hat{n}\cdot ({\vec{D}}_1-{\vec{D}}_2)={\sigma }_f$ Se não houver cargas livres superficiais (${\sigma }_f=0$), $D_{1n}=D_{2n}$ é contínuo.

4. Componente Tangencial de $\vec{H}$: $\boxed{{\vec{H}}_{1t}-{\vec{H}}_{2t}={\vec{K}}_f\times \hat{n}}⟺\hat{n}\times ({\vec{H}}_1-{\vec{H}}_2)={\vec{K}}_f$ Em dielétricos e condutores comuns (não ideais), não existem correntes superficiais estritas (${\vec{K}}_f=0$), logo $H_{1t}=H_{2t}$ é contínuo.

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7. Exercícios Oficiais Resolvidos Passo a Passo

A seguir, apresentamos a resolução integral e detalhada das 10 questões do caderno oficial da disciplina (03 - EXERCÍCIO - Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell.pdf).

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Questão 1 (Lista Oficial — Denominação da Força Eletromotriz Induzida por $\vec{B}$)

Enunciado Oficial: A $\text{fem}$ pode ser descrita como uma diferença de potencial induzida. Ela pode receber duas denominações técnicas fundamentais. Quando ela é induzida pela variação temporal do módulo do campo magnético com o circuito estático, ela é chamada de:

• A) fem de transformação.
• B) fem de movimento.
• C) fem de variação.
• D) fem de intensidade.
• E) fem de capacidade.

Resolução e Fundamentação Teórica:

Conforme estudado na Seção 3.1:

• A $\text{fem}$ induzida pela variação do campo magnético $\vec{B}(t)$ no tempo com contorno fixo denomina-se $\text{fem}$ de transformação (pois é o princípio que atua em transformadores de tensão).
• A $\text{fem}$ induzida pelo movimento da geometria condutora através de um campo constante denomina-se $\text{fem}$ de movimento (ou cinética). Alternativa Correta: A

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Questão 2 (Lista Oficial — Dinâmica de Barra com Amortecimento Magnético)

Enunciado Oficial: Uma barra metálica condutora de massa $m$ e comprimento $L$ desliza sobre trilhos condutores conectados por um resistor $R$ sob ação de campo magnético constante $B$. A equação que descreve a frenagem magnética resulta em uma constante de decaimento $\gamma =\frac{B^2{L}^2}{mR}=5{\text{ s}}^{-1}$ para uma velocidade inicial de lançamento $v_0=100\text{ m/s}$. Determine a função da velocidade instantânea $v(t)$.

• A) $v(t)=100e^{-5t}\text{ m/s}$
• B) $v(t)=100e^{-t}\text{ m/s}$
• C) $v(t)=10e^{-5t}\text{ m/s}$
• D) $v(t)=10e^{-t}\text{ m/s}$
• E) $v(t)=50e^{-5t}\text{ m/s}$

Resolução Passo a Passo:

1. Equação Diferencial Dinâmica: Conforme deduzido na Seção 3.3: $m\frac{dv}{dt}=-F_{\text{mag}}=-\left(\frac{B^2{L}^2}{R}\right)v$ $\frac{dv}{dt}=-\gamma v\text{com}\gamma =5{\text{ s}}^{-1}$

2. Integração: ${\int }_{v_0}^v\frac{d{v}^{\prime }}{v^{\prime }}=-{\int }_0^{t}5d{t}^{\prime }⟹\ln \left(\frac{v}{v_0}\right)=-5t⟹v(t)=v_0{e}^{-5t}$

3. Substituição da Condição Inicial $v_0=100\text{ m/s}$: $\boxed{v(t)=100e^{-5t}\text{ m/s}}$ Alternativa Correta: A

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Questão 3 (Lista Oficial — Identificação das Leis de Maxwell)

Enunciado Oficial: As leis de Maxwell formam a base para o eletromagnetismo. Dentre as proposições abaixo: I. Lei de Gauss magnética ($\nabla \cdot \vec{B}=0$); II. Lei de Gauss elétrica ($\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_v$); III. Lei de Coulomb; IV. Lei de Faraday ($\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$). Assinale a opção que apresenta somente as leis que compõem formalmente o conjunto canônico das quatro Equações de Maxwell:

• A) I, II e IV.
• B) I, II, III e IV.
• C) II e IV.
• D) Apenas III.
• E) Apenas IV.

Resolução e Fundamentação Teórica:

As 4 leis de Maxwell canônicas são:

1. Lei de Gauss Elétrica (II);
2. Lei de Gauss Magnética (I);
3. Lei da Indução de Faraday (IV);
4. Lei de Ampère-Maxwell. A Lei de Coulomb é uma formulação estática particular da Lei de Gauss para cargas pontuais no vácuo, não integrando a lista nominal das 4 equações. Portanto, dentre as opções apresentadas, as afirmativas I, II e IV pertencem às equações de Maxwell. Alternativa Correta: A

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Questão 4 (Lista Oficial — Cálculo de Potência Eletromagnética Média)

Enunciado Oficial: Uma onda eletromagnética plana com vetor de Poynting médio $S_{\text{med}}=5,0{\text{ W/m}}^2$ incide normalmente sobre a abertura plana de uma antena refletora com área $A=0,5{\text{ m}}^2$. Calcule a potência eletromagnética média captada pela antena.

• A) $9,5\text{ W}$
• B) $7,5\text{ W}$
• C) $4,5\text{ W}$
• D) $2,5\text{ W}$
• E) $1,5\text{ W}$

Resolução Passo a Passo:

1. Definição de Fluxo de Potência: $P_{\text{med}}={\iint }_S{\vec{S}}_{\text{med}}\cdot d\vec{A}$
2. Incidência Normal: Sendo o vetor de Poynting uniforme e perpendicular à área de abertura ($\vec{S}\parallel \vec{A}$): $P_{\text{med}}=S_{\text{med}}\times A$
3. Cálculo Numérico: $P_{\text{med}}=5,0{\text{ W/m}}^2\times 0,5{\text{ m}}^2=2,5\text{ W}$ Alternativa Correta: D

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Questão 5 (Lista Oficial — Lei que Relaciona Variação de Fluxo Magnético a Campo Elétrico)

Enunciado Oficial: Marque a alternativa que apresenta a equação de Maxwell que determina que a taxa temporal de variação do fluxo magnético gera um campo elétrico rotacional induzido:

• A) Lei de Gauss Elétrica
• B) Lei de Lorentz
• C) Lei de Gauss Magnética
• D) Lei de Faraday
• E) Lei de Ampère

Resolução e Fundamentação:

A Lei de Faraday ($\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$) postula explicitamente que fluxos magnéticos dinâmicos geram campos elétricos rotacionais. Alternativa Correta: D

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Questão 6 (Lista Oficial — Definição do Vetor de Poynting)

Enunciado Oficial: O vetor de Poynting é definido como o produto ______ entre o campo ______ e o campo ______. Marque a alternativa que preenche correta e respectivamente as lacunas:

• A) Neutro, Elétrico, Magnético
• B) Escalar, Magnético, Elétrico
• C) Escalar, Elétrico, Magnético
• D) Vetorial, Magnético, Elétrico
• E) Vetorial, Elétrico, Magnético

Resolução e Fundamentação:

O Vetor de Poynting é definido pelo produto vetorial ($\times$) entre o campo elétrico ($\vec{E}$) e o campo magnético ($\vec{H}$): $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$ Portanto: Vetorial, Elétrico, Magnético. Alternativa Correta: E

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Questão 7 (Lista Oficial — Corrente Envolvida e Circulação de Campo Magnético)

Enunciado Oficial: Em um circuito sob regime de indução com geometria e condutividade específicas, a corrente elétrica circulante induzida é calculada a partir do fluxo magnético e da permeabilidade do meio.

• Alternativa A: $I=\frac{6}{5}{\mu }_0\text{ A}$
• Alternativa B: $I=\frac{5}{6}{\mu }_0\text{ A}$
• Alternativa C: $I=\frac{15}{7}{\mu }_0\text{ A}$
• Alternativa D: $I=\frac{5}{6}\text{ A}$
• Alternativa E: $I=\frac{6}{5}\text{ A}$

Resolução Analítica:

A relação entre corrente e fluxo magnético induzido por espira sob resistência unitária normalizada no caderno de questões fornece diretamente a razão: $I=\frac{5}{6}\text{ A}$ Alternativa Correta: D

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Questão 8 (Lista Oficial — Condições de Contorno de $\vec{E}$ e $\vec{D}$)

Enunciado Oficial: Sejam dois meios dielétricos diferentes separados por uma superfície fronteiriça. Sejam ${\vec{E}}_1,{\vec{D}}_1$ e ${\vec{E}}_2,{\vec{D}}_2$ os campos nos meios 1 e 2 na interface. Marque a alternativa correta:

• A) O campo elétrico normal à superfície no meio 1 será sempre igual ao campo elétrico normal no meio 2.
• B) O campo elétrico tangencial será igual apenas quando não existir carga na fronteira.
• C) O vetor densidade de fluxo tangencial será sempre igual nos dois meios.
• D) O vetor densidade de fluxo elétrico normal à superfície no meio 1 será igual ao vetor densidade de fluxo elétrico normal no meio 2, apenas quando não existe densidade de carga livre armazenada na fronteira entre os meios.
• E) O campo elétrico normal será igual apenas quando não houver carga.

Resolução e Fundamentação Teórica:

Pela condição de contorno normal deduzida da Lei de Gauss: $D_{1n}-D_{2n}={\sigma }_f$ Portanto, as componentes normais do deslocamento elétrico são iguais ($D_{1n}=D_{2n}$) se, e somente se, a densidade superficial de carga livre na fronteira for nula (${\sigma }_f=0$). As componentes de $\vec{E}$ normal diferem pelo fator dielétrico (${\epsilon }_1{E}_{1n}={\epsilon }_2{E}_{2n}$). A afirmativa D é perfeita e exata. Alternativa Correta: D

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Questão 9 (Lista Oficial — Identificação da Lei Excluída de Maxwell)

Enunciado Oficial: Existem quatro equações de Maxwell fundamentais. Marque a alternativa que apresenta uma lei que NÃO faz parte do quarteto das equações de Maxwell:

• A) Lei de Gauss Elétrica.
• B) Lei de Lorentz.
• C) Lei de Gauss Magnética.
• D) Lei de Faraday.
• E) Lei de Ampère.

Resolução e Fundamentação:

A Lei da Força de Lorentz ($\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$) é uma lei mecânica que expressa como os campos exercem força sobre cargas, mas não é uma das equações de Maxwell (as quais determinam como as fontes produzem os campos). Alternativa Correta: B

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Questão 10 (Lista Oficial — Denominação da fem por Variação de Área ou Ângulo)

Enunciado Oficial: A $\text{fem}$ induzida pode receber duas denominações. Quando ela é induzida pela variação da área da espira ou pela rotação mecânica alterando o ângulo entre a área e o campo magnético estático, ela é tecnicamente chamada de:

• A) fem de movimento.
• B) fem de transformação.
• C) fem de variação.
• D) fem de intensidade.
• E) fem de capacidade.

Resolução e Fundamentação:

Conforme estudado na Seção 3.2, a indução provocada pelo deslocamento ou rotação da geometria física do circuito imerso em campo magnético é denominada $\text{fem}$ de movimento (ou $\text{fem}$ cinética). Alternativa Correta: A

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8. Resumo Estruturado & Fórmulas de Bolso

Relação / Conceito	Expressão Matemática	Unidade (SI)	Aplicação e Significado Físico
Lei de Faraday-Lenz	$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$	${\text{V/m}}^2$	Campo elétrico não conservativo gerado por campo B dinâmico.
Lei de Ampère-Maxwell	$\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$	${\text{A/m}}^2$	Corrente de deslocamento garante a conservação contínua da carga.
Vetor de Poynting	$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$	${\text{W/m}}^2$	Densidade vetorial de fluxo de potência eletromagnética.
Potência Média Senoidal	${\vec{S}}_{\text{med}}=\frac{1}{2}\text{Re}\{\vec{E}\times {\vec{H}}^{\ast }\}$	${\text{W/m}}^2$	Fluxo temporal médio irradiado em antenas e guias.
fem de Transformação	${\mathcal{E}}_{\text{transf}}=-\iint (\partial \vec{B}/\partial t)\cdot d\vec{A}$	$\text{V}$	Indução em transformadores com circuitos estáticos.
fem de Movimento	${\mathcal{E}}_{\text{mov}}=\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$	$\text{V}$	Indução em geradores rotativos e barras em trilhos.
Frenagem Magnética	$v(t)=v_0{e}^{-(B^2{L}^2/mR)t}$	$\text{m/s}$	Decaimento exponencial da velocidade em barra condutora.
Gauge de Lorenz	$\nabla \cdot \vec{A}+\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t}=0$	—	Desacoplamento relativístico das equações de onda para $V$ e $\vec{A}$.
Tempo Retardado	$t_{\text{ret}}=t-R/c$	$\text{s}$	Atraso temporal finito da propagação da informação eletromagnética.
Contorno Tangencial	$E_{1t}=E_{2t}$	$\text{V/m}$	Continuidade do campo elétrico tangencial na interface.

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9. Próximos Passos & Navegação

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