03 - Máquinas de Corrente Contínua - Aspectos Construtivos, Comutação e Geradores CC

⚡ 03 - Máquinas de Corrente Contínua (Parte 1): Aspectos Construtivos, Comutação e Geradores CC

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📍 Disciplina: 08 Máquinas Elétricas e Acionamentos | 02 Conversão Eletromecânica de Energia | 🏭 Área: 04 Sistemas Elétricos de Potência e Eletrotécnica | 🏠 Hub Principal 📄 Materiais Base: Geradores e Motores de Corrente Contínua (Seções 1 e 2) + Acervo UFPR — TE323 (Capítulo 5 — Máquinas CC, Caderno de Monitoria L3 — Máquinas Rotativas CC, Exercícios P2 e Trabalho Final PSIM). 🎬 Videoaulas Associadas (Playlist Prof. Igor Pizetta — Chapman Cap. 7 e Cap. 8):

• Vídeo 07 — Máquinas Elétricas: Fundamentos de máquinas CC
• Vídeo 08 — Máquinas Elétricas: Máquinas CC ⬅️ Aula Anterior: 02 - Máquinas Síncronas | ➡️ Próxima Aula: 03B - Motores CC (Parte 2)

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Compreender a anatomia eletromagnética completa da Máquina CC: estator (culatra, polos principais, sapatas polares, interpolos e enrolamento de compensação) e rotor (armadura laminada, enrolamentos imbricado, ondulado e perna de rã, comutador mecânico e escovas).
2. Deduzir a equação fundamental da Força Eletromotriz Induzida na Armadura ($E_a=K_a\Phi {\omega }_m=K\Phi n$) e do Conjugado Eletromagnético ($T_e=K_a\Phi I_a$) e dominar a relação entre os caminhos paralelos $a$, a multiplicidade $m$ e o número de polos $P$ nos enrolamentos Imbricado ($a=m\cdot P$) e Ondulado ($a=2\cdot m$).
3. Explicar os fenômenos físicos da Comutação Mecânica, Tensão Reativa de Autoindução ($L\frac{di}{dt}$) e Reação de Armadura (deslocamento do plano neutro magnético e enfraquecimento de fluxo por saturação), bem como suas soluções construtivas.
4. Modelar matematicamente e comparar as curvas características externas ($V_t\times I_L$) dastopologias de Geradores CC: Excitação Independente, Autoexcitado Shunt (Derivação), Série, Composto (Cumulativo e Diferencial) e Ímã Permanente.

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📌 Sumário do MOC

1. 1. Anatomia Construtiva da Máquina de Corrente Contínua
   • 1.1 Componentes do Estator (Circuito Indutor Fixo)
   • 1.2 Componentes do Rotor (Armadura Girante e Comutador)
   • 1.3 Análise Comparativa de Engenharia: Enrolamento Imbricado vs. Enrolamento Ondulado (UFPR — TE323 Cap. 5)
2. 2. Da Espira Elementar à Equação Fundamental da FEM ($E_a = K_a \Phi \omega_m$)
   • 2.1 Equação Fundamental do Conjugado Eletromagnético ($T_e$)
3. 3. Comutação Mecânica, Reação de Armadura e Soluções Construtivas
   • 3.1 Reação de Armadura (Distorção e Enfraquecimento de Fluxo)
   • 3.2 Tensão Reativa de Autoindução ($e_L = L \frac{di}{dt}$)
   • 3.3 As 3 Soluções de Engenharia para Comutação Sem Centelhamento
4. 4. Classificação e Equacionamento dos Geradores CC por Tipo de Excitação
   • 4.1 Tabela Mestre de Equações dos 4 Tipos de Geradores CC
5. 5. Processo de Escorvamento (*Voltage Build-up*) no Gerador Autoexcitado
6. 6. Fluxo de Potência, Perdas e Rendimento em Máquinas CC
7. 7. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 03 e UFPR — TE323)
   • 7.1 Exercícios Clássicos da Apostila 03
   • 7.2 Exercícios Resolvidos de Provas, Listas e Monitoria (UFPR — TE323 / L3)
8. 8. 🎯 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 03 - Geradores CC)
   • Módulo 1 — Reação de Armadura e Tensão Induzida na Espira
   • Módulo 2 — Geradores CC Série e Operação em Paralelo

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1. Anatomia Construtiva da Máquina de Corrente Contínua

Ao contrário da máquina síncrona, na Máquina de Corrente Contínua (CC) o campo magnético principal é estacionário no estator, enquanto o enrolamento onde a potência principal é induzida (armadura) gira no rotor para permitir a retificação/inversão mecânica pelas lâminas do comutador.

1.1 Componentes do Estator (Circuito Indutor Fixo)

1. Carcaça / Culatra (Yoke): Estrutura cilíndrica externa de aço fundido ou laminado que serve simultaneamente de suporte mecânico e caminho de retorno para o fluxo magnético dos polos ($\Phi /2$ para cada lado).
2. Polos Principais e Sapatas Polares: Núcleos laminados onde são montadas as bobinas de excitação de campo (Shunt e/ou Série). A extremidade próxima ao rotor alarga-se formando a sapata polar, que espalha o fluxo uniformemente no entreferro (produzindo uma onda de densidade de fluxo $B$ de topo plano sob a face polar) e reduz a relutância magnética.
3. Interpolos (Polos Auxiliares ou de Comutação): Pequenos polos estreitos posicionados exatamente na região geométrica entre os polos principais (plano neutro geométrico). Suas bobinas de fio grosso são ligadas em série com a armadura para anular a tensão reativa de comutação.
4. Enrolamento de Compensação: Condutores alojados em ranhuras escavadas na própria face das sapatas polares principais, também ligados em série com a armadura mas com sentido de corrente oposto ao dos condutores do rotor logo abaixo, neutralizando a distorção da reação de armadura em máquinas de grande porte sujeitas a cargas severas.

1.2 Componentes do Rotor (Armadura Girante e Comutador)

1. Núcleo da Armadura: Cilindro de chapas de aço-silício laminadas e isoladas entre si (para reduzir perdas por correntes parasitas de Foucault e histerese, já que o rotor gira dentro de um campo constante e sofre inversão contínua de fluxo!).
2. Enrolamento de Armadura ($Z$ ou $Z_a$ condutores ativos): Bobinas de cobre alojadas nas ranhuras do rotor, conectadas aos segmentos do comutador segundo três arquiteturas clássicas (Chapman Cap. 7 / UFPR TE323 Cap. 5):
   • Enrolamento Imbricado (Lap Winding ou Paralelo): O final de uma bobina conecta-se ao segmento adjacente do comutador (ou deslocado de $m$ lâminas). O número de caminhos paralelos de corrente na armadura ($a$) é proporcional ao número de polos da máquina ($P$) e à multiplicidade do enrolamento ($m=1$ para simples/simplex, $m=2$ para duplo/duplex): $\boxed{a=m\cdot P}\text{(Ideal para Baixa Tensa˜o e Alta Corrente — utiliza barras equalizadoras entre pontos equipotenciais)}$
   • Enrolamento Ondulado (Wave Winding ou Série): Os terminais de cada bobina são conectados a lâminas do comutador deslocadas entre si de aproximadamente $360^{\circ }$ elétricos (percorrendo todos os polos de mesma polaridade ao redor da circunferência antes de retornar à lâmina adjacente à inicial). Possui sempre apenas $2m$ caminhos paralelos, independentemente do número de polos $P$: $\boxed{a=2\cdot m}\text{(Ideal para Alta Tensa˜o e Baixa Corrente)}$
   • Enrolamento Perna de Rã (Frog-Leg Winding ou Autoequalizado): Combina um enrolamento imbricado e um enrolamento ondulado na mesma ranhura conectados aos mesmos segmentos do comutador, dispensando barras equalizadoras externas ($a=2Pm$).
3. Comutador Mecânico e Escovas de Grafite: O comutador é um cilindro formado por segmentos (lâminas) de cobre endurecido isolados entre si por lâminas de mica. As escovas de carvão/grafite permanecem fixas no espaço (apoiadas por molas nos porta-escovas sobre a linha neutra, onde $\Phi$ concatenado é máximo mas $\frac{d\Phi }{dt}=0$, logo a tensão induzida na bobina comutada é mínima) e coletam a corrente retificada.

1.3 Análise Comparativa de Engenharia: Enrolamento Imbricado vs. Enrolamento Ondulado (UFPR — TE323 Cap. 5)

Em uma armadura com $Z_a$ condutores ativos totais (onde cada espira requer $2$ condutores ativos, totalizando $N_{\text{tot}}=Z_a/2$ espiras) divididos em $a$ caminhos em paralelo entre os terminais positivo e negativo das escovas:

• Número de espiras em série por caminho paralelo ($N_{\text{seˊrie}}$): $\boxed{N_{\text{seˊrie}}=\frac{Z_a}{2\cdot a}}$
• Corrente Externa Total da Armadura ($I_a$) em função da Corrente Máxima de um Condutor ($I_c$): $\boxed{I_a=a\cdot I_c}$
• Velocidade Angular Elétrica (${\omega }_e$) vs. Mecânica (${\omega }_m$): $\boxed{{\omega }_e=\frac{P}{2}\cdot {\omega }_m}$

Critério Técnico	Enrolamento Imbricado (Lap Winding)	Enrolamento Ondulado (Wave Winding)
Geometria de Conexão no Comutador	Terminais da bobina ligados a barras vizinhas ($y_c=\pm m$).	Terminais da bobina ligados a barras defasadas de $\approx 360^{\circ }$ elétricos.
Número de Caminhos Paralelos ($a$)	$\mathbf{a}=\mathbf{m}\cdot \mathbf{P}$ (para simples $m=1⟹a=P$)	$\mathbf{a}=2\cdot \mathbf{m}$ (para simples $m=1⟹a=2$, independente de $P$)
Constante Construtiva $K_a=\frac{P{Z}_a}{2\pi a}$ (para $m=1$)	$K_{a,\text{imb}}=\frac{Z_a}{2\pi }$ (independe do nº de polos $P$)	$K_{a,\text{ond}}=\frac{P\cdot Z_a}{4\pi }=\left(\frac{P}{2}\right)K_{a,\text{imb}}$
Tensão Induzida $E_a$ (para mesmos $Z_a,\Phi ,n$)	Menor: $E_{a,\text{imb}}=\frac{Z_a}{60}\Phi n$	Maior ($\frac{P}{2}$ vezes maior!): $E_{a,\text{ond}}=\frac{P}{2}{E}_{a,\text{imb}}$
Corrente Nominal da Armadura $I_a=a\cdot I_c$	Maior ($\frac{P}{2}$ vezes maior!): $I_{a,\text{imb}}=P\cdot I_c$	Menor: $I_{a,\text{ond}}=2\cdot I_c$
Potência Eletromagnética Total ($P_{\text{em}}=E_a{I}_a$)	Idêntica: $P_{\text{em}}=\left(\frac{P{Z}_a}{60}\Phi n\right)I_c$	Idêntica: $P_{\text{em}}=\left(\frac{P{Z}_a}{60}\Phi n\right)I_c$
Aplicação Típica de Engenharia	Máquinas de alta corrente e baixa/média tensão (grandes motores industriais, geradores de galvanoplastia/solda).	Máquinas de alta tensão e baixa/média corrente (motores de tração ferroviária $600\text{ V}–1500\text{ V}$, máquinas pequenas).

O Segredo Físico da Máquina CC

Internamente, toda máquina CC é uma máquina de Corrente Alternada! À medida que uma espira da armadura gira sob um polo Norte e depois sob um polo Sul, a tensão induzida nela é alternada ($e_{\text{espira}}$ muda de sinal a cada $180^{\circ }$ elétricos). O comutador mecânico atua como uma ponte retificadora síncrona mecânica (no gerador) ou um inversor síncrono mecânica (no motor), mantendo os terminais externos sempre com a mesma polaridade CC!

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2. Da Espira Elementar à Equação Fundamental da FEM ($E_a=K_a\Phi {\omega }_m$)

Conforme deduzido na Seção 1 da Apostila 03 e no Cap. 5 de TE323 (UFPR), considere uma única espira retangular de comprimento axial ativo $l$ e raio $r$, girando com velocidade tangencial $v={\omega }_{m}r$ sob sapatas polares curvas que produzem uma densidade de fluxo radial uniforme $B$ sobre a área polar $A_p=\frac{\pi rl}{P/2}$:

• Em cada condutor longitudinal ($ab$ e $cd$), a tensão induzida por movimento ($e=(\vec{v}\times \vec{B})\cdot \vec{l}$) vale $e_{\text{cond}}=Blv$. Logo, na espira completa (2 condutores em série): $e_{\text{espira}}=2Blv=2Blr{\omega }_m$
• Como o fluxo magnético por polo é $\Phi =B\cdot A_p=B\cdot \frac{2\pi rl}{P}⟹Blr=\frac{P\Phi }{2\pi }$, substituindo na equação da espira: $E_{\text{meˊdia, espira}}=\frac{P}{\pi }\Phi {\omega }_m$
• Em uma armadura real contendo $Z=Z_a$ condutores ativos totais distribuídos em $a$ caminhos paralelos (havendo $N=\frac{Z_a}{2a}$ espiras em série por caminho), a Força Eletromotriz Induzida Total na Armadura ($E_a$) é:

$\boxed{E_a=\frac{P\cdot N}{\pi }\Phi \cdot {\omega }_m=\left(\frac{Z_a\cdot P}{2\pi \cdot a}\right)\Phi \cdot {\omega }_m=K_a\cdot \Phi \cdot {\omega }_m}[\text{V}]$

Ou, expressando a rotação em $\text{rpm}$ ($n$ ou $N$, onde ${\omega }_m=\frac{2\pi n}{60}$), na forma clássica adotada no Formulário Oficial UFPR — TE323:

$\boxed{E_a=\left(\frac{P\cdot Z_a}{60\cdot a}\right)\Phi \cdot n=K\cdot \Phi \cdot n}[\text{V}]$

Onde as Constantes Construtivas da Armadura ($K_a$ em ${\text{rad}}^{-1}$ e $K=K_a^{\prime }$ para $\text{rpm}$) dependem exclusivamente da geometria da máquina: $\boxed{K_a=\frac{P\cdot Z_a}{2\pi \cdot a}[{\text{rad}}^{-1}]}\text{e}\boxed{K=K_a^{\prime }=\frac{P\cdot Z_a}{60\cdot a}=\frac{2\pi }{60}{K}_a}$

2.1 Equação Fundamental do Conjugado Eletromagnético ($T_e$)

Pela conservação da potência eletromecânica convertida no entreferro ($P_{\text{em}}=P_{\text{conv}}=E_a{I}_a=T_e{\omega }_m$):

$T_e\cdot {\omega }_m=(K_a\Phi {\omega }_m)\cdot I_a⟹\boxed{T_e={\tau }_{\text{em}}=K_a\cdot \Phi \cdot I_a=\left(\frac{P\cdot Z_a}{2\pi \cdot a}\right)\Phi \cdot I_a}[\text{N}\cdot \text{m}]$

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3. Comutação Mecânica, Reação de Armadura e Soluções Construtivas

Figura 3.1: Corte seccional de máquina CC quadripolar, processo de comutação por escovas e distorção da linha neutra por reação de armadura.

Na máquina CC ideal em vazio, o plano neutro magnético coincide perfeitamente com o eixo geométrico vertical entre os polos. Porém, quando a armadura conduz corrente $I_a$, surgem dois problemas severos:

3.1 Reação de Armadura (Distorção e Enfraquecimento de Fluxo)

A corrente $I_a$ nos condutores do rotor cria uma Força Magnetomotriz transversal (${\vec{\mathcal{F}}}_a$) perpendicular ao eixo dos polos principais (${\vec{\mathcal{F}}}_p$):

1. Torção / Deslocamento do Plano Neutro Magnético: O campo resultante (${\vec{\mathcal{F}}}_{\text{res}}={\vec{\mathcal{F}}}_p+{\vec{\mathcal{F}}}_a$) inclina-se! O plano neutro desloca-se no mesmo sentido de rotação nos Geradores CC (e no sentido oposto nos Motores CC). Como as escovas estão fixas no plano geométrico original, elas passam a curto-circuitar bobinas que ainda possuem tensão induzida diferente de zero, provocando intenso faiscamento (arco elétrico) nas lâminas do comutador.
2. Desmagnetização Líquida por Saturação Magnética: A FMM transversal reforça o fluxo em metade da sapata polar e subtrai fluxo na outra metade. Se o ferro fosse linear, os efeitos se cancelariam. Porém, devido à saturação magnética do aço, o acréscimo de fluxo na ponta saturada é menor do que a perda de fluxo na ponta desmagnetizada, resultando em uma redução líquida do fluxo útil por polo ($\Delta {\Phi }_{\text{reac¸a˜o}}<0$).

3.2 Tensão Reativa de Autoindução ($e_L=L\frac{di}{dt}$)

Durante o brevíssimo instante de comutação ($\Delta t\approx 1\text{ ms}$) em que uma escova curto-circuita duas lâminas adjacentes, a corrente na bobina comutada precisa inverter de $+I_c$ para $-I_c$. A indutância própria da bobina gera uma força contra-eletromotriz $e_L=L\frac{2I_c}{\Delta t}$ que se opõe à inversão da corrente, causando centelhamento na borda de saída da escova.

3.3 As 3 Soluções de Engenharia para Comutação Sem Centelhamento

1. Deslocamento Físico das Escovas (usado apenas em máquinas antigas/pequenas de carga fixa): girar o anel porta-escovas para acompanhar o novo plano neutro. Inviável se a carga variar!
2. Interpolos (Polos de Comutação): Polos estreitos posicionados na zona neutra e ligados em série com a armadura ($I_{\text{inter}}=I_a$). Eles induzem na bobina sob comutação uma tensão dinâmica de sinal oposto a $L\frac{di}{dt}$, anulando automaticamente o faiscamento em qualquer nível de carga!
   • Regra de polaridade dos interpolos: No Gerador CC, o interpolo tem a mesma polaridade do próximo polo principal no sentido de giro. No Motor CC, tem a mesma polaridade do polo principal anterior.
3. Enrolamento de Compensação nas Faces Polares: Barras em série com a armadura embutidas nas sapatas polares que criam uma FMM igual e oposta à reação de armadura (${\mathcal{F}}_{\text{comp}}=-{\mathcal{F}}_a$), mantendo o fluxo principal uniforme mesmo em sobrecargas extremas (laminadores, escavadeiras).

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4. Classificação e Equacionamento dos Geradores CC por Tipo de Excitação

Figura 3.2: Topologias de ligação e curvas características de regulação de tensão terminal Vt(IL) dos geradores de corrente contínua.

Em qualquer Gerador CC, a força eletromotriz $E_a$ é a fonte interna que impulsiona a corrente $I_a$ para fora da armadura ($E_a>V_t$). Considerando a queda ôhmica na resistência de armadura $R_a$ e a queda de contato nas escovas $V_{\text{esc}}$ (geralmente $\approx 2\text{ V}$ ou englobada em $R_a$):

$\boxed{V_t=E_a-I_a{R}_a-V_{\text{esc}}}$

4.1 Tabela Mestre de Equações dos 4 Tipos de Geradores CC

Tipo de Gerador CC	Circuito de Campo e Correntes	Equação da Tensão Terminal ($V_t$)	Comportamento da Curva Externa ($V_t\times I_L$)
1. Excitação Independente	Fonte CC externa dedicada ($V_f$): $I_f=\frac{V_f}{R_f+R_{\text{aj}}}$ $I_a=I_L$	$\boxed{V_t=E_a-I_L{R}_a}$	Queda quase linear suave devida apenas a $I_L{R}_a$ e à leve desmagnetização da reação de armadura.
2. Autoexcitado Shunt (Derivação)	Campo em paralelo com a armadura: $I_f=\frac{V_t}{R_f+R_{\text{aj}}}$ $I_a=I_L+I_f$	$\boxed{V_t=E_a-I_a{R}_a}$	Queda mais acentuada que o independente (triplo efeito: queda $I_a{R}_a$ + reação de armadura + redução de $I_f$ conforme $V_t$ cai, até atingir a corrente máxima de colapso/curto).
3. Autoexcitado Série	Campo de poucas espiras grossas em série com a carga: $I_a=I_s=I_L$	$\boxed{V_t=E_a(I_L)-I_L(R_a+R_s)}$	Em vazio ($I_L=0$), $V_t=E_{\text{res}}\approx 2\text{ a }5\text{ V}$. A tensão sobe rapidamente com a carga ($\Phi \propto I_L$), atinge um máximo na saturação e depois cai. Usado como Booster de linha CC.
4A. Composto Cumulativo (Ligação Longa)	Campo Série em série com a armadura; Shunt em paralelo com o conjunto: $I_s=I_a=I_L+I_f$ $I_f=\frac{V_t}{R_f}$	$\boxed{V_t=E_a-I_a(R_a+R_s)}$ ${\mathcal{F}}_{\text{tot}}=N_f{I}_f+N_s{I}_a-{\mathcal{F}}_{AR}$	- Normal (Plano / Flat): $V_{t,\text{plena carga}}=V_{t,\text{vazio}}$. - Supercomposto: $V_t$ sobe com a carga (compensa queda em cabos longos!). - Subcomposto: $V_t$ cai levemente.
4B. Composto Cumulativo (Ligação Curta)	Campo Shunt diretamente em paralelo apenas com a armadura: $I_s=I_L\text{e}{I}_a=I_L+I_f$ $I_f=\frac{V_t+I_L{R}_s}{R_f}=\frac{E_a-I_a{R}_a}{R_f}$	$\boxed{V_t=E_a-I_a{R}_a-I_L{R}_s}$	Comportamento elétrico idêntico ao longo. (No Composto Diferencial, ${\mathcal{F}}_{\text{tot}}=N_f{I}_f-N_s{I}_s$, a tensão despenca abruptamente com a carga, sendo usado em máquinas de solda a arco por limitar a corrente de curto!)

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5. Processo de Escorvamento (Voltage Build-up) no Gerador Autoexcitado

Como um gerador Shunt consegue gerar tensão se ele precisa da própria tensão terminal $V_t$ para alimentar seu enrolamento de campo $I_f=V_t/R_f$? O processo chama-se Escorvamento (Autoexcitação) e depende de 4 condições obrigatórias:

1. Presença de Magnetismo Residual (${\Phi }_{\text{res}}$) nos Polos do Estator: Mesmo com $I_f=0$, ao girar o rotor a ${\omega }_m$, o fluxo residual induz uma pequena tensão inicial $E_{\text{res}}\approx 2\text{ V a }5\text{ V}$.
2. Sentido Correto de Ligação do Campo em relação à Rotação: A pequena corrente $I_f=E_{\text{res}}/R_f$ deve produzir uma FMM aditiva (que reforce o magnetismo residual). Se estiver invertida, o gerador desmagnetiza o núcleo e a tensão cai a zero! (Solução: inverter os terminais do campo ou o sentido de rotação).
3. Resistência do Circuito de Campo Menor que a Resistência Crítica ($R_f<R_{\text{crıˊtica}}$): O ponto de operação em vazio é a interseção entre a Curva de Magnetização ($E_a\times I_f$) e a Reta de Resistência de Campo ($V_t=R_f{I}_f$). Se $R_f$ for elevada demais, a reta fica mais inclinada que a parte linear da curva de magnetização e a tensão não cresce.
4. Velocidade de Rotação Acima da Velocidade Crítica ($n>n_{\text{crıˊtica}}$): Como $E_a\propto n$, uma rotação muito baixa abaixa a curva de magnetização, impedindo o escorvamento.

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6. Fluxo de Potência, Perdas e Rendimento em Máquinas CC

Em qualquer máquina CC (Gerador ou Motor), as perdas dividem-se em 4 categorias:

1. Perdas Elétricas no Cobre ($P_{\text{Cu}}$):
   • Armadura: $P_{\text{Cu},a}=I_a^2{R}_a$
   • Campo Shunt: $P_{\text{Cu},f}=V_f{I}_f=I_f^2{R}_f$
   • Campo Série / Interpolos: $P_{\text{Cu},s}=I_s^2{R}_s$
2. Perdas nas Escovas ($P_{\text{esc}}$): $P_{\text{esc}}=V_{\text{esc}}\cdot I_a$ (tipicamente $V_{\text{esc}}\approx 2\text{ V}$ para um par de escovas de grafite).
3. Perdas Rotacionais ($P_{\text{rot}}=P_{\text{nuˊcleo}}+P_{\text{mec}}$): Soma das perdas magnéticas no ferro da armadura (histerese + Foucault) com as perdas mecânicas por atrito nos mancais e ventilação.
4. Perdas Suplementares / Diversas ($P_{\text{sup}}$): Convencionadas por norma como $1\%$ da potência de saída.

No Gerador CC: $\boxed{P_{\text{saıˊda}}=V_t\cdot I_L}\boxed{P_{\text{conv}}=E_a\cdot I_a=P_{\text{saıˊda}}+P_{\text{Cu}}+P_{\text{esc}}}\boxed{P_{\text{entrada (eixo)}}=P_{\text{conv}}+P_{\text{rot}}+P_{\text{sup}}}$ $\boxed{{\eta }_{\text{gerador}}=\frac{P_{\text{saıˊda}}}{P_{\text{entrada}}}\times 100\%}$

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7. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 03 e UFPR — TE323)

7.1 Exercícios Clássicos da Apostila 03

Exercício Resolvido 1 — Cálculo de FEM e Constante Construtiva (Questões 3 e 4 da Apostila 03)

Enunciado: Um gerador CC possui $P=4\text{ polos}$ e $Z=160\text{ condutores}$ ligados em enrolamento ondulado ($a=2$). (a) Considerando que sua velocidade seja $n=1.600\text{ rpm}$ e o fluxo magnético por polo seja $\Phi =0,1\text{ Wb}$, calcule a tensão induzida em vazio $E_a$. (b) Se um segundo gerador hipotético em vazio, com excitação constante, apresenta tensão terminal $V_1=190\text{ V}$ quando acionado a $n_1=1.800\text{ rpm}$, qual será sua tensão terminal se a velocidade cair para $n_2=1.700\text{ rpm}$?

Solução Passo a Passo: (a) Aplicando diretamente a equação construtiva da FEM induzida com $P=4$, $Z=160$, $a=2$, $\Phi =0,1\text{ Wb}$ e $n=1.600\text{ rpm}$: $E_a=\frac{Z\cdot P}{60\cdot a}\cdot \Phi \cdot n=\frac{160\times 4}{60\times 2}\times 0,1\times 1.600=\frac{640}{120}\times 160=\boxed{853,33\text{ V}}$ (Nota: Caso o enrolamento tenha apenas 1 caminho equivalente ou se tome por par de polos conforme gabarito simplificado da questão 3 da apostila onde $a=1$, $E_a=1,71\text{ kV}$).

(b) Como o fluxo $\Phi$ é constante e o gerador está em vazio ($V_t=E_a=K_a^{\prime }\Phi n$), a tensão é diretamente proporcional à velocidade: $\frac{E_{a2}}{E_{a1}}=\frac{n_2}{n_1}⟹E_{a2}=190\times \frac{1.700}{1.800}=\boxed{179,44\text{ V}}$

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Exercício Resolvido 2 — Gerador CC Composto Cumulativo Longo e Rendimento (Questões 5 e 6 da Apostila 03)

Enunciado: Um gerador CC composto cumulativo de ligação longa alimenta uma carga com corrente $I_L=50\text{ A}$ sob tensão terminal $V_t=240\text{ V}$. Seus parâmetros internos são:

• Resistência de armadura: $R_a=0,18\Omega$
• Resistência do campo série: $R_s=0,02\Omega$
• Resistência total do campo shunt: $R_f=120\Omega$
• Perdas rotacionais e diversas somadas: $P_{\text{rot+sup}}=500\text{ W}$

Determine: (a) A corrente de campo shunt $I_f$ e a corrente de armadura $I_a$; (b) A força eletromotriz gerada $E_a$; (c) A potência elétrica de saída, as perdas totais no cobre e o rendimento $\eta$ do gerador.

Solução Passo a Passo:

1. Correntes no Gerador Composto Longo: O campo shunt está conectado diretamente aos terminais de saída ($V_t=240\text{ V}$): $I_f=\frac{V_t}{R_f}=\frac{240\text{ V}}{120\Omega }=\boxed{2,0\text{ A}}$ Na ligação longa, a corrente de armadura atravessa também o campo série ($I_a=I_s$): $I_a=I_s=I_L+I_f=50+2=\boxed{52,0\text{ A}}$
2. Força Eletromotriz Induzida ($E_a$): $E_a=V_t+I_a(R_a+R_s)=240+52\times (0,18+0,02)=240+52\times 0,20=240+10,4⟹\boxed{E_a=250,4\text{ V}}$
3. Balanço de Potências e Rendimento ($\eta$):
   • Potência útil entregue à carga: $P_{\text{saıˊda}}=V_t\cdot I_L=240\times 50=12.000\text{ W}=12,0\text{ kW}$
   • Perdas totais no cobre (Armadura + Série + Shunt): $P_{\text{Cu}}=I_a^2(R_a+R_s)+V_t{I}_f=(52{)}^2\times (0,20)+240\times 2=540,8\text{ W}+480\text{ W}=1.020,8\text{ W}$ (Verificação: $P_{\text{conv}}=E_a{I}_a=250,4\times 52=13.020,8\text{ W}=P_{\text{saıˊda}}+P_{\text{Cu}}$ — exato!).
   • Potência mecânica de entrada no eixo e rendimento: $P_{\text{entrada}}=P_{\text{saıˊda}}+P_{\text{Cu}}+P_{\text{rot+sup}}=12.000+1.020,8+500=13.520,8\text{ W}$ $\eta =\frac{12.000}{13.520,8}\times 100\%=\boxed{88,75\%}$

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7.2 Exercícios Resolvidos de Provas, Listas e Monitoria (UFPR — TE323 / L3)

Exercício Resolvido 3 (UFPR — TE323 Cap. 5 Exs. 1 e 2: Comparação Enrolamento Imbricado vs. Ondulado)

Uma máquina de corrente contínua tetrapolar ($P=4\text{ polos}$), equipada com $Z_a=728\text{ condutores ativos}$ na armadura, gira a uma rotação nominal $n=1.800\text{ rpm}$ imersa em um fluxo magnético por polo $\Phi =30\text{ mWb}$ ($0,030\text{ Wb}$), com enrolamento simples (multiplicidade $m=1$).

Calcule e compare a força eletromotriz induzida $E_a$ nos terminais da armadura quando bobinada como:

1. Enrolamento Imbricado (Lap Winding);
2. Enrolamento Ondulado (Wave Winding).

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Resolução Passo a Passo:

1. Caso 1 — Enrolamento Imbricado Simples ($a=m\cdot P$): Para um enrolamento imbricado simples ($m=1$) com $P=4\text{ polos}$, o número de caminhos paralelos de corrente na armadura é: $a_{\text{imb}}=m\cdot P=1\times 4=4\text{ caminhos paralelos}$ Calculando a constante construtiva $K_{\text{imb}}$ e a tensão induzida $E_{a,\text{imb}}$: $K_{\text{imb}}=\frac{P\cdot Z_a}{60\cdot a_{\text{imb}}}=\frac{4\times 728}{60\times 4}=\frac{728}{60}\approx 12,133$ $\boxed{E_{a,\text{imb}}=K_{\text{imb}}\cdot \Phi \cdot n=\frac{728}{60}\times 0,030\text{ Wb}\times 1.800\text{ rpm}=728\times 0,9=655,2\text{ V}}$

2. Caso 2 — Enrolamento Ondulado Simples ($a=2\cdot m$): No enrolamento ondulado simples ($m=1$), o número de caminhos paralelos independe do número de polos e vale sempre: $a_{\text{ond}}=2\cdot m=2\times 1=2\text{ caminhos paralelos}$ Como o número de caminhos paralelos caiu pela metade, o número de espiras em série por caminho dobrou ($N_{\text{seˊrie}}=\frac{728}{2\times 2}=182\text{ espiras}$ em série, contra $91$ no imbricado): $K_{\text{ond}}=\frac{P\cdot Z_a}{60\cdot a_{\text{ond}}}=\frac{4\times 728}{60\times 2}\approx 24,267$ $\boxed{E_{a,\text{ond}}=K_{\text{ond}}\cdot \Phi \cdot n=\frac{4\times 728}{120}\times 0,030\text{ Wb}\times 1.800\text{ rpm}=1.310,4\text{ V}\left(=2\times E_{a,\text{imb}}\right)}$ (Conclusão de Projeto: Para a mesma seção de fio de cobre com capacidade $I_c$, o enrolamento imbricado fornece $655,2\text{ V}$ e suporta corrente $4I_c$, enquanto o ondulado fornece o dobro da tensão, $1.310,4\text{ V}$, suportando metade da corrente, $2I_c$, conservando exatamente a mesma potência eletromagnética nominal!).

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Exercício Resolvido 4 (UFPR — Monitoria L3 Exs. 8 e 9: Transição Gerador $\leftrightarrow$ Motor em Barramento CC)

Uma máquina CC de excitação independente de $25\text{ kW}$, $125\text{ V}$, possui resistência de armadura $R_a=0,02\Omega$ e está conectada a um barramento CC externo de tensão ajustável $V_t$. Quando acionada a $n_1=3.000\text{ rpm}$ com corrente de campo constante $I_f$, sua tensão induzida em circuito aberto vale $E_{a1}=125\text{ V}$.

Determine a corrente de armadura $I_a$ (adotando convenção geradora: positiva saindo), a potência nos terminais $P_t$, a potência eletromagnética $P_{\text{em}}$ e o conjugado eletromagnético ${\tau }_{\text{em}}$ para três cenários operacionais:

1. Tensão do barramento $V_t^{\prime }=124\text{ V}$ a $n_1=3.000\text{ rpm}$;
2. Tensão do barramento $V_t^{\prime \prime }=128\text{ V}$ a $n_1=3.000\text{ rpm}$;
3. Tensão do barramento $V_t=125\text{ V}$, mas com a velocidade mecânica reduzida para $n_2=2.950\text{ rpm}$.

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Resolução Passo a Passo:

A velocidade angular mecânica a $3.000\text{ rpm}$ vale ${\omega }_1=\frac{2\pi \times 3.000}{60}=100\pi \approx 314,16\text{ rad/s}$. Pela convenção de gerador ($I_a$ saindo pelo terminal positivo): $I_a=\frac{E_a-V_t}{R_a}$

1. Cenário 1 ($V_t^{\prime }=124\text{ V}<E_{a1}=125\text{ V}$ — Ação Geradora):

• Corrente de armadura: $I_a^{\prime }=\frac{125-124}{0,02}=+50,0\text{ A}(\text{Fornecendo corrente ao barramento})$
• Potência terminal e eletromagnética: $P_t^{\prime }=V_t^{\prime }\cdot I_a^{\prime }=124\times 50=+6,20\text{ kW}{P}_{\text{em}}^{\prime }=E_{a1}\cdot I_a^{\prime }=125\times 50=+6,25\text{ kW}$
• Conjugado eletromagnético (frenante, opondo-se à turbina primária): $\boxed{{\tau }_{\text{em}}^{\prime }=\frac{P_{\text{em}}^{\prime }}{{\omega }_1}=\frac{6.250\text{ W}}{100\pi \text{ rad/s}}=+19,89\text{ N}\cdot \text{m}}$

2. Cenário 2 ($V_t^{\prime \prime }=128\text{ V}>E_{a1}=125\text{ V}$ — Reversão para Ação Motora):

• Corrente de armadura: $I_a^{\prime \prime }=\frac{125-128}{0,02}=-150,0\text{ A}(\text{Absorvendo corrente do barramento!})$
• Potência terminal e eletromagnética: $P_t^{\prime \prime }=V_t^{\prime \prime }\cdot I_a^{\prime \prime }=128\times (-150)=-19,20\text{ kW}{P}_{\text{em}}^{\prime \prime }=E_{a1}\cdot I_a^{\prime \prime }=125\times (-150)=-18,75\text{ kW}$
• Conjugado eletromagnético (motor, impulsionando o eixo no sentido da rotação): $\boxed{{\tau }_{\text{em}}^{\prime \prime }=\frac{P_{\text{em}}^{\prime \prime }}{{\omega }_1}=\frac{-18.750\text{ W}}{100\pi \text{ rad/s}}=-59,68\text{ N}\cdot \text{m}}$

3. Cenário 3 ($n_2=2.950\text{ rpm}$ e $V_t=125\text{ V}$): Como a corrente de campo $I_f$ é constante ($\Phi =\text{cte}$), a queda de rotação reduz a FEM interna proporcionalmente: $E_{a2}=E_{a1}\cdot \frac{n_2}{n_1}=125\times \frac{2.950}{3.000}=122,917\text{ V}$ Como $E_{a2}<V_t=125\text{ V}$, a máquina passa a operar como motor: $I_{a2}=\frac{122,917-125}{0,02}=-104,15\text{ A}$ $\boxed{P_{t2}=125\times (-104,15)=-13,02\text{ kW}\text{e}{P}_{\text{em},2}=122,917\times (-104,15)=-12,80\text{ kW}}$

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Exercício Resolvido 5 (UFPR — Monitoria L3 Ex. 12: Gerador Shunt Tetrapolar Completo)

Um gerador de corrente contínua com excitação Shunt possui $P=4\text{ polos}$, $a=4\text{ caminhos paralelos}$ e $Z_a=360\text{ condutores}$, girando num campo magnético de $\Phi =13\text{ mWb}$ por polo. Ele alimenta uma carga elétrica de $P_t=12,5\text{ kW}$ sob tensão terminal $V_t=125\text{ V}$. A resistência do campo shunt é $R_f=25\Omega$, a resistência da armadura é $R_a=0,1\Omega$ e a queda de tensão total devido ao contato das escovas e à reação da armadura vale $\Delta V=3,5\text{ V}$.

Calcule: (a) A tensão induzida na armadura $E_a$; (b) A velocidade de rotação $n$ em $\text{rpm}$; (c) O rendimento elétrico $\eta$ do gerador (desprezando perdas rotacionais mecânicas).

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Resolução Passo a Passo:

1. Correntes e Tensão Induzida na Armadura ($E_a$):

• Corrente entregue à carga ($I_L$) e corrente de excitação shunt ($I_f$): $I_L=\frac{P_t}{V_t}=\frac{12.500\text{ W}}{125\text{ V}}=100\text{ A}\text{e}{I}_f=\frac{V_t}{R_f}=\frac{125\text{ V}}{25\Omega }=5\text{ A}$
• Corrente total gerada na armadura ($I_a$): $I_a=I_L+I_f=100+5=105\text{ A}$
• Tensão interna induzida ($E_a$): $\boxed{E_a=V_t+R_a{I}_a+\Delta V=125+(0,1\times 105)+3,5=125+10,5+3,5=139,0\text{ V}}$

2. Velocidade de Rotação do Eixo ($n$): Calculando a constante construtiva $K$: $K=\frac{P\cdot Z_a}{60\cdot a}=\frac{4\times 360}{60\times 4}=6,0$ Isolando a velocidade $n$ em $E_a=K\Phi n$: $\boxed{n=\frac{E_a}{K\cdot \Phi }=\frac{139\text{ V}}{6\times 13\times 10^{-3}\text{ Wb}}=\frac{139}{0,078}=1.782,05\text{ rpm}}$

3. Potência Eletromagnética e Rendimento ($\eta$): $P_{\text{em}}=E_a\cdot I_a=139\text{ V}\times 105\text{ A}=14.595\text{ W}=14,595\text{ kW}$ $\boxed{\eta =\frac{P_{\text{saıˊda}}}{P_{\text{em}}}\times 100\%=\frac{12,5\text{ kW}}{14,595\text{ kW}}\times 100\%=85,65\%}$

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8. 🎯 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 03 - Geradores CC)

Módulo 1 — Reação de Armadura e Tensão Induzida na Espira

Questão 3.1 (Apostila 03, Módulo 1 — Composição Vetorial de Campos e Reação de Armadura)

Considere que no interior de uma máquina CC sob carga os seguintes campos magnéticos estejam presentes:

• Densidade de campo magnético principal produzido pelas faces polares do estator: ${\mathbf{B}}_{\text{polar}}=10\hat{\mathbf{i}}\text{ T}$
• Densidade de campo magnético transversal produzido pela reação de armadura: ${\mathbf{B}}_{RA}=2\hat{\mathbf{j}}\text{ T}$

Determine o módulo e o ângulo de inclinação do vetor densidade de campo magnético resultante ${\mathbf{B}}_{\text{res}}$ no entreferro da máquina:

• (A) $10,20\angle 11,31^{\circ }\text{ T}$

• (B) $8,10\angle 11,31^{\circ }\text{ T}$

• (C) $15,30\angle 11,31^{\circ }\text{ T}$

• (D) $10,40\angle 11,31^{\circ }\text{ T}$

• (E) $10,20\angle 101,31^{\circ }\text{ T}$

Justificativa Técnica Oficial:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($10,20\angle 11,31^{\circ }\text{ T}$).

Resolução Passo a Passo e Fundamentação:

1. Composição Vetorial dos Campos: ${\mathbf{B}}_{\text{res}}={\mathbf{B}}_{\text{polar}}+{\mathbf{B}}_{RA}=10\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{j}}\text{ T}$
2. Cálculo do Módulo: $|{\mathbf{B}}_{\text{res}}|=\sqrt{B_{\text{polar}}^2+B_{RA}^2}=\sqrt{10^2+2^2}=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}\approx 10,198\text{ T}\approx \boxed{10,20\text{ T}}$
3. Cálculo do Deslocamento da Linha Neutra ($\theta$): $\theta =\arctan \left(\frac{B_{RA}}{B_{\text{polar}}}\right)=\arctan \left(\frac{2}{10}\right)=\arctan (0,2)\approx \boxed{11,31^{\circ }}$ O campo resultante vale ${\mathbf{B}}_{\text{res}}=10,20\angle 11,31^{\circ }\text{ T}$, evidenciando o desvio angular que exige o uso de enrolamentos de compensação ou polos de comutação.

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Questão 3.2 (Apostila 03, Módulo 1 — Tensão Induzida em Espira Girante Retangular)

Considere uma espira condutora retangular elementar girando com velocidade angular mecânica constante $\omega$ imersa em um campo magnético uniforme de densidade $B$. Sabendo que:

• Comprimento dos condutores axiais ativos (segmentos $ab$ e $cd$): $L$
• Raio da espira em relação ao eixo de rotação: $r$
• Velocidade tangencial dos condutores: $v=\omega r$

A expressão analítica da força eletromotriz total induzida $e_{\text{ind}}(t)$ nos terminais da espira é dada por:

• (A) $2BLr\omega \cos (\omega t)$

• (B) $2BLr\omega \cos (2\omega t)$

• (C) $4BLr\omega \cos (2\omega t)$

• (D) $4BLr\omega \cos (\omega t)$

• (E) $BLr\omega \cos (\omega t)$

Justificativa Técnica Oficial:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($2BLr\omega \cos (\omega t)$).

Resolução Passo a Passo e Fundamentação:

1. FEM em Cada Condutor Axial: Pela lei $e=(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot \mathbf{l}$, cada segmento axial gera: $e_{ab}(t)=v\cdot B\cdot L\cos (\omega t)=(\omega r)BL\cos (\omega t)$
2. Associação em Série dos Dois Lados Ativos: Como os segmentos terminais radiais ($bc$ e $da$) movem-se paralelamente ao plano das linhas sem cortar fluxo ($e=0$), a FEM total nos anéis coletores é a soma aditiva dos dois lados: $e_{\text{ind}}(t)=e_{ab}(t)+e_{cd}(t)=2\cdot (BLr\omega \cos (\omega t))=\boxed{2BLr\omega \cos (\omega t)}$

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Módulo 2 — Geradores CC Série e Operação em Paralelo

Questão 3.3 (Apostila 03, Módulo 2 — Ponto Operativo de Rotação em Gerador CC Série)

Um gerador CC com excitação série possui resistência de campo série $R_s=0,15\Omega$, resistência de armadura $R_a=0,10\Omega$ e número de espiras de campo $N_s=80\text{ espiras}$. O gerador opera atendendo a uma carga com tensão terminal nominal $V_t=120\text{ V}$ e drena corrente de armadura nominal $I_a=75\text{ A}$.

Sabendo que a curva de magnetização a vazio levantada na bancada a $n_0=1.800\text{ rpm}$ indica uma tensão de $E_{a0}=135\text{ V}$ para a força magnetomotriz produzida nessas condições, determine a rotação real $n$ do gerador em regime permanente:

• (A) $1.650\text{ rpm}$

• (B) $1.700\text{ rpm}$

• (C) $1.750\text{ rpm}$

• (D) $1.800\text{ rpm}$

• (E) $1.850\text{ rpm}$

Justificativa Técnica Oficial:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa E ($1.850\text{ rpm}$).

Resolução Passo a Passo e Fundamentação:

1. Cálculo da FEM Interna Real Requerida ($E_a$): Pela equação de circuito do gerador série: $E_a=V_t+(R_a+R_s)I_a=120+(0,10+0,15)\times 75=120+0,25\times 75=120+18,75=\boxed{138,75\text{ V}}$
2. Força Magnetomotriz de Excitação: $\mathcal{F}=N_s\cdot I_a=80\times 75=6.000\text{ A}\cdot \text{esp}$
3. Proporcionalidade Direta entre Rotação e FEM: Como $E_a=K_a\Phi n$, para o mesmo fluxo estabelecido por $\mathcal{F}=6.000\text{ A}\cdot \text{esp}$, a relação entre a tensão requerida e a tensão da curva a $1.800\text{ rpm}$ ($E_{a0}=135\text{ V}$) fornece: $\frac{E_a}{E_{a0}}=\frac{n}{n_0}⟹n=n_0\cdot \frac{E_a}{E_{a0}}=1.800\times \frac{138,75}{135}=1.800\times 1,02778=\boxed{1.850\text{ rpm}}$

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Questão 3.4 (Apostila 03, Módulo 2 — Divisão de Corrente entre Geradores CC em Paralelo)

Dois geradores de corrente contínua operam em paralelo alimentando um barramento comum conectado a uma carga CC que demanda uma corrente total constante de $I_{\text{carga}}=80\text{ A}$. As características terminais de tensão dos dois geradores são expressas por:

• Gerador 1: $V_{t1}=130-0,5\cdot I_{L1}$
• Gerador 2: $V_{t2}=125-0,4\cdot I_{L2}$

As correntes fornecidas pelos geradores 1 e 2 ($I_{L1}$ e $I_{L2}$), em amperes, são aproximadamente:

• (A) $39\text{ A}$ e $41\text{ A}$

• (B) $40\text{ A}$ e $40\text{ A}$

• (C) $50\text{ A}$ e $30\text{ A}$

• (D) $41\text{ A}$ e $39\text{ A}$

• (E) $60\text{ A}$ e $20\text{ A}$

Justificativa Técnica Oficial:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($41\text{ A}$ e $39\text{ A}$).

Resolução Passo a Passo e Fundamentação:

1. Condição de Ligação em Paralelo: Os terminais estão no mesmo nó, logo $V_{t1}=V_{t2}=V_{\text{barramento}}$.
2. Lei de Kirchhoff das Correntes no Barramento: $I_{L1}+I_{L2}=80\text{ A}⟹I_{L2}=80-I_{L1}$
3. Igualando as Equações das Características Terminais: $130-0,5I_{L1}=125-0,4I_{L2}$ $130-0,5I_{L1}=125-0,4(80-I_{L1})$ $130-0,5I_{L1}=125-32+0,4I_{L1}=93+0,4I_{L1}$ $130-93=0,4I_{L1}+0,5I_{L1}⟹37=0,9I_{L1}$ $I_{L1}=\frac{37}{0,9}=41,11\text{ A}\approx \boxed{41\text{ A}}$ $I_{L2}=80-41,11=38,89\text{ A}\approx \boxed{39\text{ A}}$