Aula 01 - Equações Dinâmicas de Sistemas Lineares, Espaço de Estados e Diagramas de Blocos

🎛️ 01 - Equações Dinâmicas de Sistemas Lineares, Espaço de Estados e Diagramas de Blocos

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📍 Disciplina: 04 Sistemas Dinâmicos e Controle | 🏭 Área: 05 Eletrônica, Automação e Controle | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Equações dinâmicas de sistemas lineares (Prof. Raphael de Souza dos Santos) 🗺️ Roteiro de Estudos: Roteiro SM1 (Módulos 1, 2 e 6) ➡️ Próxima Aula: 02 - Modelagem no Domínio da Frequência (Laplace, FT e Motor CC) 💻 Script Computacional: *espaco_estados_aula01 (Material Complementar)* 🎨 Diagramas Técnicos: [[modelagem_massa_mola_analogia_rlc.svg]] | [[diagrama_blocos_espaco_estados_reduzido.svg]]

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Classificar e Resolver Equações Diferenciais Lineares: Distinguir variáveis dependentes e independentes, ordens, graus e critérios rigorosos de linearidade em EDOs de sistemas físicos.
2. Modelar Sistemas Físicos Mecânicos e Circuitos Elétricos: Formular as equações diferenciais pelo método de Newton ($m\ddot{y}+\mu \dot{y}+ky=u$) e pelas Leis de Kirchhoff (LKT e LKC), dominando as analogias eletromecânicas (Força-Tensão e Força-Corrente).
3. Aplicar a Regra dos Armazenadores de Energia: Identificar elementos acumuladores de energia (Massa $m$, Mola $k$, Indutor $L$, Capacitor $C$) que determinam a ordem mínima e o número de variáveis de estado do sistema, diferenciando-os de dissipadores puramente algébricos ($R$, $\mu$).
4. Formular a Representação Matricial no Espaço de Estados: Montar as equações matriciais de estado ($\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}$) e de saída ($\mathbf{y}=\mathbf{Cx}+\mathbf{Du}$), compreendendo a transição de variáveis de fase (forma companheira de Frobenius) para variáveis físicas.
5. Reduzir Diagramas de Blocos e Deduzir a Função de Transferência: Construir diagramas canônicos em torno de integradores $s^{-1}$ e demonstrar a relação fundamental $\mathbf{G}(s)=\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}$.
6. Determinar a Estabilidade Assintótica: Calcular os autovalores da matriz $\mathbf{A}$ via equação característica $\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})=0$ e validar a estabilidade absoluta pelo Critério Algébrico de Routh-Hurwitz.

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📌 Sumário do MOC

1. 1. Fundamentos Matemáticos: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) no Domínio do Tempo
   • 1.1 Classificação, Ordem, Grau e Princípio da Superposição
   • 1.2 Problemas de Valor Inicial (PVI) e Soluções no Tempo
2. 2. Modelagem Física de Sistemas e a Regra dos Armazenadores de Energia
   • 2.1 Sistema Mecânico Translacional Massa-Mola-Amortecedor
   • 2.2 Circuitos Elétricos RLC e a Regra de Ouro dos Estados
   • 2.3 Tabela de Analogias Eletromecânicas (Maxwell vs. Firestone)
3. 3. A Abordagem Moderna: Formulação no Espaço de Estados
   • 3.1 Definições Fundamentais: Estado, Vetor de Estado e Trajetória
   • 3.2 O Modelo Matricial Canônico de Estado e Saída
   • 3.3 Conversão de EDOs de Ordem n para Variáveis de Fase (Matriz Companheira)
4. 4. Diagramas de Blocos no Espaço de Estados e Álgebra de Redução
   • 4.1 Topologia Canônica em Torno de Integradores
   • 4.2 Dedução Analítica da Matriz de Transferência G(s)
5. 5. Estabilidade Interna no Espaço de Estados e Critério de Routh-Hurwitz
   • 5.1 Autovalores da Matriz de Dinâmica A
   • 5.2 Algoritmo e Construção da Tabela de Routh-Hurwitz
6. 6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 01 e Concursos)
7. 7. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 01 Comentadas)
   • Bloco 1: Matemática das Equações Diferenciais
   • Bloco 2: Representações e Variáveis no Espaço de Estados
   • Bloco 3: Estabilidade e Diagramas em Blocos

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1. Fundamentos Matemáticos: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) no Domínio do Tempo

A análise de qualquer sistema dinâmico — seja ele elétrico, mecânico, hidráulico ou térmico — inicia-se invariavelmente pela formulação de equações que relacionam as grandezas físicas às suas taxas de variação instantânea no tempo ($t$).

1.1 Classificação, Ordem, Grau e Princípio da Superposição

Uma equação diferencial estabelece uma relação matemática entre uma variável independente (tipicamente o tempo $t$ na engenharia de controle), uma ou mais variáveis dependentes ($y(t),x(t)$) e suas derivadas sucessivas:

$\boxed{F\left(t,y(t),\frac{dy}{dt},\frac{d^{2}y}{d{t}^2},\dots ,\frac{d^{n}y}{d{t}^n}\right)=0}$

A caracterização formal de uma equação diferencial obedece a três critérios essenciais:

1. Classificação quanto ao Tipo:
   • Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas em relação a uma única variável independente (ex.: o tempo $t$). É o padrão empregado para sistemas de parâmetros concentrados (lumped parameters).
   • Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes (ex.: tempo $t$ e posição espacial $x,y,z$), como na propagação de ondas em linhas de transmissão ou fluxo de calor.
2. Ordem da Equação: É determinada estritamente pela derivada de maior ordem presente na equação.
   • Exemplo: Na equação $5\frac{d^{3}y}{d{t}^3}+2{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^4+y=u(t)$, a ordem é 3 (terceira ordem), correspondente a $y^{\prime \prime \prime }(t)$.
3. Grau da Equação: É a potência algébrica à qual está elevada a derivada de maior ordem, após a equação ter sido racionalizada. No exemplo anterior, o grau é 1.
4. Critério Rígido de Linearidade: Uma EDO é dita linear se a variável dependente $y(t)$ e todas as suas derivadas aparecem apenas em termos de primeiro grau e sem multiplicações entre si ou com funções não lineares: $\boxed{a_n(t)\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1(t)\frac{dy}{dt}+a_0(t)y(t)=u(t)}$

Teorema da Superposição em Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT)

Se os coeficientes $a_k(t)=a_k$ forem constantes independentes do tempo, o sistema é Invariante no Tempo (LTI / SLIT) e satisfaz rigorosamente o princípio da superposição:

1. Homogeneidade (Proporcionalidade): $\mathcal{S}\{\alpha \cdot u(t)\}=\alpha \cdot \mathcal{S}\{u(t)\}$
2. Aditividade: $\mathcal{S}\{u_1(t)+u_2(t)\}=\mathcal{S}\{u_1(t)\}+\mathcal{S}\{u_2(t)\}$ (Qualquer produto como $y\cdot \dot{y}$, funções transcendentais como $\sin (y)$ ou saturações destroem a linearidade, inviabilizando a análise clássica de polos e funções de transferência).

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1.2 Problemas de Valor Inicial (PVI) e Soluções no Tempo

A integração direta de uma EDO de ordem $n$ faz surgir $n$ constantes arbitrárias de integração ($C_1,C_2,\dots ,C_n$). Para determinar a resposta unívoca do sistema real, é obrigatório conhecer o estado das grandezas no instante inicial $t=0$, configurando um Problema de Valor Inicial (PVI):

$y(0)=y_0,\dot{y}(0)={\dot{y}}_0,\dots ,y^{(n-1)}(0)=y_0^{(n-1)}$

A resposta total no domínio do tempo decompõe-se sempre em duas componentes físicas independentes: $\boxed{y(t)=y_{\text{nat}}(t)+y_{\text{forc¸}}(t)=y_h(t)+y_p(t)}$

• Resposta Natural / Homogênea ($y_h(t)$): Condicionada exclusivamente pela energia previamente armazenada nos estados iniciais ($u(t)=0$). Reflete a dinâmica intrínseca e os modos característicos do sistema.
• Resposta Forçada / Particular ($y_p(t)$): Governa o comportamento forçado pela fonte externa de excitação $u(t)$ em regime permanente.

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2. Modelagem Física de Sistemas e a Regra dos Armazenadores de Energia

Para transpor a realidade física para equações dinâmicas, os sistemas são decompostos em componentes fundamentais ideais.

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2.1 Sistema Mecânico Translacional Massa-Mola-Amortecedor

Aplicando a 2ª Lei de Newton a um corpo de massa $m$ conectado a uma mola de rigidez $k$ e a um amortecedor viscoso de coeficiente $\mu$ (ou $b$), submetido a uma força externa $u(t)$:

$\sum F_{\text{externas}}=m\cdot a(t)=m\cdot \ddot{y}(t)$

Isolando as forças reativas:

• Força de inércia da massa: $f_m(t)=m\cdot \frac{d^{2}y}{d{t}^2}$
• Força de amortecimento viscoso (dissipativa): $f_b(t)=\mu \cdot \frac{dy}{dt}$
• Força elástica restauradora da mola: $f_k(t)=k\cdot y(t)$

Igualando a soma das forças à excitação externa: $\boxed{m\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+\mu \frac{dy(t)}{dt}+ky(t)=u(t)}$

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2.2 Circuitos Elétricos RLC e a Regra de Ouro dos Estados

Considere um circuito contendo uma fonte de tensão $v(t)$, um resistor $R$, um indutor $L$ e um capacitor $C$ conectados em série. Pela Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT):

$v_L(t)+v_R(t)+v_C(t)=v(t)$

Como $v_L(t)=L\frac{di}{dt}$, $v_R(t)=R\cdot i(t)$ e $i(t)=C\frac{d{v}_C}{dt}$: Substituindo $i(t)$ em função da tensão no capacitor $v_C(t)$: $\boxed{LC\frac{d^2{v}_C(t)}{d{t}^2}+RC\frac{d{v}_C(t)}{dt}+v_C(t)=v(t)}$

Regra de Ouro dos Armazenadores de Energia

O número mínimo de variáveis de estado necessárias e suficientes para caracterizar completamente um sistema dinâmico coincide exatamente com o número de elementos armazenadores de energia independentes:

• Sistemas Mecânicos: Cada massa/inércia armazena energia cinética ($E_c=\frac{1}{2}m{v}^2\to 1\text{ estado: velocidade }v$). Cada mola armazena energia potencial elástica ($E_p=\frac{1}{2}k{y}^2\to 1\text{ estado: posic¸a˜o }y$).
• Sistemas Elétricos: Cada indutor armazena energia em campo magnético ($E_L=\frac{1}{2}L{i}_L^2\to 1\text{ estado: corrente }{i}_L$). Cada capacitor armazena energia em campo elétrico ($E_C=\frac{1}{2}C{v}_C^2\to 1\text{ estado: tensa˜o }{v}_C$).
• Elementos Dissipadores (Resistores e Amortecedores): Transformam energia em calor irreversivelmente. Por serem governados por equações puramente algébricas ($v_R=R\cdot i$ e $f_b=\mu \cdot v$), NUNCA geram variáveis de estado próprias!

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2.3 Tabela de Analogias Eletromecânicas (Maxwell vs. Firestone)

A equivalência matemática idêntica entre as equações permite mapear diretamente sistemas mecânicos em circuitos elétricos análogos:

Grandeza / Elemento	Sistema Mecânico	Análogo Força-Tensão (Maxwell)	Análogo Força-Corrente (Firestone)
Sinal de Esforço	Força $u(t)$ ou Torque $T(t)$	Tensão Elétrica $v(t)$	Corrente Elétrica $i(t)$
Sinal de Fluxo	Velocidade $v(t)=\dot{y}$	Corrente Elétrica $i(t)$	Tensão Elétrica $v(t)$
Armazenador de Inércia	Massa $m$ ou Inércia $J$	Indutância $L$ ($v_L=L\frac{di}{dt}$)	Capacitância $C$ ($i_C=C\frac{dv}{dt}$)
Armazenador de Potencial	Elasticidade / Mola $k$	Elastância $1/C$ ($v_C=\frac{1}{C}\int idt$)	Inversa da Indutância $1/L$
Elemento Dissipador	Amortecedor $\mu$ ou $b$	Resistência $R$ ($v_R=R\cdot i$)	Condutância $G=1/R$ ($i_R=G\cdot v$)
Lei de Conservação	$\sum F=m\cdot a$	Malhas de Kirchhoff (LKT)	Nós de Kirchhoff (LKC)

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3. A Abordagem Moderna: Formulação no Espaço de Estados

Enquanto a abordagem clássica (funções de transferência de Laplace) restringe-se a sistemas lineares invariantes no tempo com uma única entrada e uma única saída (SISO) sob condições iniciais nulas, a abordagem no Espaço de Estados (criada por Rudolf Kalman na década de 1960) opera diretamente no domínio do tempo e abrange naturalmente sistemas multivariáveis (MIMO), variantes no tempo e com condições iniciais não nulas.

3.1 Definições Fundamentais: Estado, Vetor de Estado e Trajetória

• Estado de um Sistema: É o conjunto mínimo de variáveis dinâmicas $x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)$ cujo conhecimento no instante inicial $t=t_0$, associado ao conhecimento da entrada $u(t)$ para todo $t\ge t_0$, é suficiente para prever de forma exata e unívoca o comportamento futuro do sistema em qualquer instante posterior $t>t_0$.
• Vetor de Estado $\mathbf{x}(t)$: Vetor coluna de ordem $n\times 1$ que agrupa as variáveis de estado: $\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\\ x_n(t)\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^n$
• Espaço de Estados: O espaço vetorial $n$-dimensional gerado pelos eixos de coordenadas $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$. Conforme o tempo evolui, o vetor $\mathbf{x}(t)$ desenha uma curva contínua denominada trajetória de estado.

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3.2 O Modelo Matricial Canônico de Estado e Saída

Qualquer sistema dinâmico linear invariante no tempo de ordem $n$, com $m$ entradas de controle e $p$ saídas mensuráveis, é formalizado por duas equações matriciais acopladas de primeira ordem:

$\boxed{\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)}\text{(Equac¸a˜o Dinaˆmica de Estado)}$

$\boxed{\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Du}(t)}\text{(Equac¸a˜o Algeˊbrica de Saıˊda)}$

As dimensões de cada operador matricial são rigorosamente vinculadas à física do sistema:

Matriz	Símbolo e Denominação	Dimensão	Significado Físico em Engenharia
$\mathbf{x}(t)$	Vetor de Estado	$n\times 1$	Nível de energia acumulado nos armazenadores do sistema.
$\mathbf{u}(t)$	Vetor de Entrada (Controle)	$m\times 1$	Sinais externos de comando, fontes ou perturbações.
$\mathbf{y}(t)$	Vetor de Saída (Medição)	$p\times 1$	Sinais de interesse monitorados por sensores.
$\mathbf{A}$	Matriz do Sistema (Dinâmica)	$n\times n$	Governa a dinâmica natural interna e a estabilidade.
$\mathbf{B}$	Matriz de Entrada (Atuação)	$n\times m$	Acopla os sinais de controle aos derivadores de estado.
$\mathbf{C}$	Matriz de Saída (Medição)	$p\times n$	Mapeia os estados internos nas variáveis medidas.
$\mathbf{D}$	Matriz de Transmissão Direta	$p\times m$	Passagem direta instantânea da entrada para a saída ($D=0$ em sistemas estritamente próprios).

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3.3 Conversão de EDOs de Ordem n para Variáveis de Fase (Matriz Companheira)

Dada uma EDO linear de ordem $n$ que relaciona uma entrada escalar $u(t)$ à saída $y(t)$: $\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y(t)=b_{0}u(t)$

Adota-se a escolha clássica de Variáveis de Fase, em que o primeiro estado é a própria saída e os estados subsequentes são as derivadas sucessivas: $x_1(t)=y(t)$ $x_2(t)=\dot{y}(t)={\dot{x}}_1(t)$ $x_3(t)=\ddot{y}(t)={\dot{x}}_2(t)$ $⋮$ $x_n(t)=y^{(n-1)}(t)={\dot{x}}_{n-1}(t)$

A derivada da última variável de estado é isolada a partir da EDO original: ${\dot{x}}_n(t)=y^{(n)}(t)=-a_0{x}_1-a_1{x}_2-\cdots -a_{n-1}{x}_n+b_{0}u(t)$

Montando a representação matricial, obtém-se a célebre Forma Canônica Controlável (Matriz Companheira de Frobenius):

$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \dots & -a_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ b_0\end{array}\right]u(t)$

$\mathbf{y}(t)=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+[0]u(t)$

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4. Diagramas de Blocos no Espaço de Estados e Álgebra de Redução

A representação gráfica em diagramas de blocos é uma ferramenta indispensável para visualizar a causalidade e a circulação de sinais num sistema dinâmico.

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4.1 Topologia Canônica em Torno de Integradores

No domínio do tempo, o elemento dinâmico primordial de memória é o integrador puro ($\int dt$), representado no domínio da frequência complexa de Laplace pelo operador $\frac{1}{s}$ (ou $s^{-1}$).

A equação de estado $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}$ revela que a entrada do banco de $n$ integradores é o vetor de derivadas $\dot{\mathbf{x}}(t)$, e a saída imediata é o próprio vetor de estado $\mathbf{x}(t)$:

1. A entrada $\mathbf{u}(t)$ é ponderada pela matriz $\mathbf{B}$ e entra num somador;
2. O vetor de estados $\mathbf{x}(t)$ é realimentado internamente através da matriz $\mathbf{A}$ e soma-se a $\mathbf{Bu}$, formando $\dot{\mathbf{x}}(t)$;
3. O vetor $\dot{\mathbf{x}}(t)$ atravessa o integrador $s^{-1}\mathbf{I}$, resultando em $\mathbf{x}(t)$;
4. A saída $\mathbf{y}(t)$ é montada ponderando $\mathbf{x}(t)$ por $\mathbf{C}$ e somando à transmissão direta $\mathbf{Du}(t)$.

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4.2 Dedução Analítica da Matriz de Transferência G(s)

Aplicando a Transformada de Laplace unilateral em ambos os lados das equações no espaço de estados, considerando condições iniciais nulas ($\mathbf{x}(0)=0$):

$\mathcal{L}\{\dot{\mathbf{x}}(t)\}=s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(0)=s\mathbf{X}(s)$

Substituindo nas equações de estado e de saída: $s\mathbf{X}(s)=\mathbf{AX}(s)+\mathbf{BU}(s)$ $\mathbf{Y}(s)=\mathbf{CX}(s)+\mathbf{DU}(s)$

Agrupando os termos em $\mathbf{X}(s)$ na primeira equação (onde $\mathbf{I}$ é a matriz identidade de ordem $n$): $(s\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{X}(s)=\mathbf{BU}(s)$

Multiplicando à esquerda pela matriz inversa $(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}$: $\mathbf{X}(s)=(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{BU}(s)$

Substituindo a expressão de $\mathbf{X}(s)$ diretamente na equação da saída $\mathbf{Y}(s)$: $\mathbf{Y}(s)=\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{BU}(s)+\mathbf{DU}(s)$

Fatorando o vetor de entradas $\mathbf{U}(s)$ à direita, demonstra-se a relação fundamental:

$\boxed{\mathbf{G}(s)=\frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)}=\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}}$

Relação com a Matriz Adjunta

Pela álgebra linear, a inversa de uma matriz calcula-se por $(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}=\frac{\text{adj}(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}{\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})}$. Logo, a função de transferência expressa-se como: $\mathbf{G}(s)=\frac{\mathbf{C}\cdot \text{adj}(s\mathbf{I}-\mathbf{A})\cdot \mathbf{B}+\mathbf{D}\cdot \det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})}{\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})}$ Consequência Capital: O denominador da função de transferência é rigorosamente o determinante $\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})$. Portanto, os polos de malha aberta do sistema são os autovalores da matriz $\mathbf{A}$!

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5. Estabilidade Interna no Espaço de Estados e Critério de Routh-Hurwitz

A estabilidade é a especificação primária e inegociável de qualquer projeto de controle. Um sistema instável diverge exponencialmente, podendo destruir equipamentos físicos e colocar vidas em risco.

5.1 Autovalores da Matriz de Dinâmica A

A resposta livre ou natural do sistema no espaço de estados é dada pela solução homogênea: $\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0)$

A matriz exponencial $e^{\mathbf{A}t}$ (denominada Matriz de Transição de Estados $\mathbf{\Phi }(t)$) é composta por combinações lineares de funções modais do tipo $e^{{\lambda }_{i}t}$, onde os escalares ${\lambda }_i$ são os autovalores da matriz $\mathbf{A}$, calculados pela Equação Característica:

$\boxed{\Delta (s)=\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})=s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0=0}$

A classificação de estabilidade assintótica depende unicamente da localização desses autovalores no plano complexo $s=\sigma +j\omega$:

1. Assintoticamente Estável: Se e somente se todos os autovalores de $\mathbf{A}$ possuírem parte real estritamente negativa ($\text{Re}\{{\lambda }_i\}<0$). Toda trajetória decai exponencialmente para a origem (${\lim }_{t\to \infty }\mathbf{x}(t)=0$).
2. Instável: Se pelo menos um autovalor possuir parte real positiva ($\text{Re}\{{\lambda }_i\}>0$), ou se houver autovalores múltiplos sobre o eixo imaginário $j\omega$. O sinal cresce sem limite.
3. Marginalmente Estável: Se existirem autovalores com parte real nula ($\text{Re}\{{\lambda }_i\}=0$) de multiplicidade 1 (raízes imaginárias puras simples $\pm j\omega$) e nenhum autovalor no semiplano direito. O sistema oscila sustentadamente em amplitude constante.

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5.2 Algoritmo e Construção da Tabela de Routh-Hurwitz

Para sistemas de ordem elevada ($n\ge 3$), calcular analiticamente as raízes de $\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A})=0$ é inviável sem computador. O Critério de Routh-Hurwitz permite determinar quantos polos estão no semiplano direito (instáveis) sem fatorar o polinômio.

Dado o polinômio característico: $P(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+a_{n-3}{s}^{n-3}+\cdots +a_{1}s+a_0=0$

Condição Necessária (Critério de Stodola):

Todos os coeficientes $a_k$ devem ter o mesmo sinal algébrico (geralmente positivos) e nenhum coeficiente pode ser nulo. Se faltar algum termo em $s^k$ ou houver troca de sinal prévia, o sistema é imediatamente instável (ou marginalmente estável).

Condição Suficiente (Montagem da Tabela de Routh):

Constrói-se a tabela dispondo os coeficientes em zigue-zague nas duas primeiras linhas:

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