⚡ Aula 04: Integrais Triplas, Coordenadas Cilíndricas e Esféricas, Centros de Massa e Momentos de Inércia

MOC da Disciplina • MOC da Área 01 ← Aula Anterior: Integrais Duplas • Próxima Aula: Integrais de Linha e Teoremas de Maxwell →

---

Integração Curricular & Contexto

• Disciplina: Cálculo de Múltiplas Variáveis
• Área: 01 Matemática e Estatística
• Material Oficial Base: Integrais Triplas
• Objetivo: Compreender a formulação formal de integrais triplas sobre regiões espaciais delimitadas no ${\mathbb{R}}^3$, aplicar o Teorema de Fubini tridimensional para integrais iteradas, calcular volumes e massas de corpos rígidos, dominar a transição analítica para o sistema de Coordenadas Cilíndricas ($dV=rdrd\theta dz$) e Coordenadas Esféricas ($dV={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\theta d\varphi$), deduzir seus respectivos determinantes Jacobianos e modelar problemas clássicos de Engenharia Elétrica, como o cálculo de carga volumétrica total em semicondutores e o momento de inércia polar de rotores de máquinas síncronas e de indução.

---

📌 Sumário da Aula

1. 1. Conceito e Definição da Integral Tripla no $\mathbb{R}^3$
   • 1.1 Somas de Riemann Tridimensionais
   • 1.2 O Teorema de Fubini para Três Dimensões
2. 2. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
   • 2.1 Mapeamento e Dedução do Jacobiano
   • 2.2 Aplicação Tecnológica: Cabos Coaxiais
3. 3. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
   • 3.1 Definição dos Parâmetros Esféricos
   • 3.2 Dedução do Jacobiano Esférico
4. 4. Aplicações em Engenharia Elétrica e Mecânica
   • 4.1 Carga Elétrica Total em Distribuições Volumétricas
   • 4.2 Massa, Centro de Gravidade e Momento de Inércia Polar de Rotores
5. 5. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy & SciPy)
6. 6. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)
   • Questão 1 — Carga Volumétrica em Esfera Não Homogênea
   • Questão 2 — Volume de Sólido por Coordenadas Cilíndricas
   • Questão 3 — Massa de Fio Condutor com Densidade Variável
7. 7. Considerações Finais e Próximos Passos

---

1. Conceito e Definição da Integral Tripla no ${\mathbb{R}}^3$

1.1 Somas de Riemann Tridimensionais

Seja $f(x,y,z)$ uma função real contínua definida sobre uma caixa paralelepipédica fechada $B=[a,b]\times [c,d]\times [r,s]\subset {\mathbb{R}}^3$. Subdividindo cada aresta em subintervalos $\Delta x,\Delta y,\Delta z$, o sólido é dividido em $l\times m\times n$ sub-caixas $B_{ijk}$ de volume infinitesimal: $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$

A Integral Tripla é definida como o limite da soma tripla de Riemann quando a partição tende a zero: ${\iiint }_{B}f(x,y,z)dV={\lim }_{l,m,n\to \infty }{\sum }_{i=1}^l{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{k=1}^{n}f(x_{ijk}^{\ast },y_{ijk}^{\ast },z_{ijk}^{\ast })\Delta V$

• Cálculo de Volume: Quando o integrando é identicamente unitário ($f(x,y,z)\equiv 1$), a integral tripla fornece exatamente o volume tridimensional do sólido $E$: $\mathrm{Vol}(E)={\iiint }_{E}1dV$

1.2 O Teorema de Fubini para Três Dimensões

Para qualquer região sólida $E$ delimitada por superfícies contínuas $z=u_1(x,y)$ (piso) e $z=u_2(x,y)$ (teto), com projeção plana $D$ no plano $xy$: ${\iiint }_{E}f(x,y,z)dV={\iint }_D\left[{\int }_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]dA$

---

2. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

2.1 Mapeamento e Dedução do Jacobiano

O sistema de Coordenadas Cilíndricas $(r,\theta ,z)$ combina as coordenadas polares no plano horizontal com a coordenada cartesiana vertical $z$: $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$ Calculando o determinante da matriz Jacobiana $3\times 3$: $J(r,\theta ,z)=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=\det \left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=1\cdot (\cos \theta (r\cos \theta )-(-r\sin \theta )\sin \theta )=r$

Portanto, o elemento diferencial de volume cilíndrico é: $dV=dxdydz=rdrd\theta dz$

Figura 1: Sistemas de Coordenadas Cilíndricas (r, θ, z) e Esféricas (ρ, φ, θ) e Diferenciais de Volume dV.

2.2 Aplicação Tecnológica: Cabos Coaxiais

Cabos coaxiais de transmissão de RF e fios condutores maciços possuem simetria geométrica cilíndrica perfeita. Integrar densidades de corrente $J_z(r)$ ou densidades de carga volumétrica ${\rho }_v(r)$ em coordenadas cilíndricas simplifica as equações diferenciais para integrais unidimensionais imediatas na coordenada radial $r$.

---

3. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

3.1 Definição dos Parâmetros Esféricos

Nas Coordenadas Esféricas $(\rho ,\theta ,\varphi )$, a posição de um ponto no espaço é dada por:

• $\rho \ge 0$: Distância da origem ao ponto ($|\mathbf{r}|=\rho$);
• $\theta \in [0,2\pi ]$: Ângulo Azimutal no plano $xy$ (o mesmo das coordenadas polares);
• $\varphi \in [0,\pi ]$: Ângulo Polar / Zenital medido a partir do semi-eixo positivo $z$.

A transformação cartesiana correspondente é: $\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z=\rho \cos \varphi \end{array}$ Onde $x^2+y^2+z^2={\rho }^2$.

3.2 Dedução do Jacobiano Esférico

Calculando o determinante da matriz Jacobiana da transformação esférica: $\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}=\det \left[\begin{array}{ccc}\sin \varphi \cos \theta & -\rho \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta \\ \cos \varphi & 0& -\rho \sin \varphi \end{array}\right]$ Expandindo pela terceira linha por cofatores: $\cos \varphi \left(-{\rho }^2{\sin }^2\varphi {\sin }^2\theta -{\rho }^2{\sin }^2\varphi {\cos }^2\theta \right)-\rho \sin \varphi \left(\rho \sin \varphi \cos \varphi {\cos }^2\theta +\rho \sin \varphi \cos \varphi {\sin }^2\theta \right)$ $=-{\rho }^2{\sin }^2\varphi \cos \varphi -{\rho }^2\sin \varphi \cos \varphi {\sin }^2\varphi =-{\rho }^2\sin \varphi ({\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi )=-{\rho }^2\sin \varphi$

Tomando o valor absoluto (como $\varphi \in [0,\pi ]$, $\sin \varphi \ge 0$): $|J(\rho ,\theta ,\varphi )|={\rho }^2\sin \varphi$

Portanto, o elemento diferencial de volume em coordenadas esféricas é: $dV=dxdydz={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\theta d\varphi$

Geometricamente, o elemento diferencial de volume em coordenadas esféricas é uma caixa infinitesimal cujas três arestas mutuamente ortogonais medem $d\rho$ (radial), $\rho d\varphi$ (ao longo do meridiano polar) e $\rho \sin \varphi d\theta$ (ao longo do paralelo azimutal): $dV=(d\rho )\cdot (\rho d\varphi )\cdot (\rho \sin \varphi d\theta )={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\theta d\varphi$

---

4. Aplicações em Engenharia Elétrica e Mecânica

4.1 Carga Elétrica Total em Distribuições Volumétricas

Em semicondutores (junções PN) e isoladores dielétricos de alta tensão, as cargas não estão restritas a superfícies: ocupam o volume do material segundo uma densidade volumétrica ${\rho }_v(x,y,z)$ em coulombs por metro cúbico (${\text{C/m}}^3$). A carga total $Q$ armazenada no volume $V$ é obtida pela integral tripla: $Q={\iiint }_V{\rho }_v(x,y,z)dV$

4.2 Massa, Centro de Gravidade e Momento de Inércia Polar de Rotores

Em máquinas elétricas girantes (motores de indução trifásicos e turbogeradores síncronos), a constante de inércia mecânica $H$ do rotor governa a estabilidade dinâmica do sistema frente a curtos-circuitos.

Para um rotor cilíndrico homogêneo de raio $R$, comprimento $L$ e densidade de massa ${\rho }_m$:

1. Massa Total: $M={\iiint }_V{\rho }_{m}dV={\int }_0^{L}dz{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R{\rho }_{m}rdr={\rho }_m\cdot L\cdot 2\pi \cdot \frac{R^2}{2}={\rho }_m\pi R^{2}L$
2. Momento de Inércia Polar ($I_z$) em torno do eixo do eixo de rotação: $I_z={\iiint }_V(x^2+y^2){\rho }_{m}dV={\iiint }_V{r}^2{\rho }_m(rdrd\theta dz)={\rho }_m{\int }_0^{L}dz{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R{r}^{3}dr$ $I_z={\rho }_m\cdot L\cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4}=\frac{1}{2}({\rho }_m\pi R^{2}L)R^2=\frac{1}{2}M{R}^2$

---

5. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy & SciPy)

O script a seguir executa o cálculo simbólico de integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas para modelos de carga e volume:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Dedução Simbólica do Volume da Esfera de Raio R
• 2. Carga Elétrica em Esfera com Densidade Volumétrica Não Homogênea: rho_v = rho0 * (1 - rho/R)
• 3. Momento de Inércia Polar de Cilindro (Rotor): I_z = integral r^2 * (r dr dtheta dz)

---

6. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)

Abaixo, a resolução analítica rigorosa dos exercícios essenciais sobre integrais triplas:

Questão 1 — Carga Volumétrica em Esfera Não Homogênea

Questão 1

Uma nuvem de elétrons esférica de raio $R=2\text{ m}$ possui densidade volumétrica de carga dada em coordenadas esféricas por ${\rho }_v(\rho )=\frac{1}{\rho }{\text{ (C/m}}^3\text{)}$. A carga elétrica total $Q$ contida na esfera é:

• A) $4\pi \text{ C}$

• B) $8\pi \text{ C}$

• C) $16\pi \text{ C}$

• D) $2\pi \text{ C}$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: B ($8\pi \text{ C}$)

Resolução Analítica:

1. A carga total em coordenadas esféricas é expressa por: $Q={\iiint }_V{\rho }_{v}dV={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi {\int }_0^2\left(\frac{1}{\rho }\right)\cdot ({\rho }^2\sin \varphi )d\rho$
2. Integrando o raio $\rho$: ${\int }_0^2\rho d\rho ={\left[\frac{{\rho }^2}{2}\right]}_0^2=\frac{4}{2}=2$
3. Integrando o ângulo polar $\varphi$: ${\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi =[-\cos \varphi {]}_0^{\pi }=-(-1)-(-1)=2$
4. Integrando o ângulo azimutal $\theta$: ${\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$
5. Multiplicando as parcelas desacopladas: $Q=2\pi \cdot 2\cdot 2=8\pi \text{ C}$

---

Questão 2 — Volume de Sólido por Coordenadas Cilíndricas

Questão 2

Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela esfera $x^2+y^2+z^2=9$ e interiormente pelo cilindro $x^2+y^2=4$:

• A) $\frac{4\pi }{3}(27-5\sqrt{5})$

• B) $\frac{2\pi }{3}(27-5\sqrt{5})$

• C) $4\pi \sqrt{5}$

• D) $12\pi$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A

Resolução Analítica:

1. Em coordenadas cilíndricas: $x^2+y^2=r^2$. O cilindro tem raio $r=2$ ($0\le r\le 2$).
2. A esfera limita superior e inferiormente: $z=\pm \sqrt{9-r^2}$. Por simetria em relação ao plano $xy$, calcula-se o dobro da metade superior: $V=2{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^2\left({\int }_0^{\sqrt{9-r^2}}dz\right)rdr=4\pi {\int }_0^{2}r\sqrt{9-r^2}dr$
3. Fazendo a substituição $u=9-r^2⟹du=-2rdr⟹rdr=-du/2$: $V=4\pi {\left[-\frac{1}{3}(9-r^2{)}^{3/2}\right]}_0^2=\frac{4\pi }{3}\left(9^{3/2}-(9-4{)}^{3/2}\right)=\frac{4\pi }{3}\left(27-5\sqrt{5}\right)$

---

Questão 3 — Massa de Fio Condutor com Densidade Variável

Questão 3

Um sólido cilíndrico de altura $h=5\text{ m}$ e raio da base $R=1\text{ m}$ possui densidade volumétrica $\rho (r,z)=2r\cdot z$. A massa total do sólido é:

• A) $\frac{50\pi }{3}\text{ kg}$

• B) $25\pi \text{ kg}$

• C) $\frac{25\pi }{3}\text{ kg}$

• D) $50\pi \text{ kg}$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($\frac{50\pi }{3}\text{ kg}$)

Resolução Analítica:

1. Integral em coordenadas cilíndricas: $M={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{5}zdz{\int }_0^1(2r)\cdot (rdr)=(2\pi )\cdot {\left[\frac{z^2}{2}\right]}_0^5\cdot {\left[\frac{2r^3}{3}\right]}_0^1$
2. Calculando cada fator:
   • Fator angular: $2\pi$;
   • Fator de altura $z$: $\frac{25}{2}$;
   • Fator radial $r$: $\frac{2}{3}$.
3. Multiplicação: $M=2\pi \cdot \frac{25}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{50\pi }{3}\text{ kg}$

---

7. Considerações Finais e Próximos Passos

Nesta Aula 04, dominamos o cálculo integral em três dimensões:

• A conceituação das integrais triplas e o Teorema de Fubini 3D.
• A formulação das Coordenadas Cilíndricas ($dV=rdrd\theta dz$) para geometrias de cabos e condutores.
• O domínio das Coordenadas Esféricas ($dV={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\theta d\varphi$) para esferas condutoras e nuvens de elétrons.
• O cálculo rigoroso de carga volumétrica total e momento polar de inércia em rotores elétricos.

Na Aula 05, fecharemos o ciclo do Cálculo de Múltiplas Variáveis atingindo o ápice do cálculo vetorial moderno: Integrais de Linha, Teorema de Green, Teorema de Stokes, Teorema da Divergência de Gauss e as 4 Equações de Maxwell da Engenharia Elétrica.

---

Referências Bibliográficas Citadas

• STEWART, James. Cálculo, Volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
• THOMAS, George B. et al. Cálculo, Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
• FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY, Charles; UMANS, Stephen D. Máquinas Elétricas. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
• Material didático oficial de Cálculo de Múltiplas Variáveis, 2026.