⚡ Aula 01 - Eletrostática, Cargas Elétricas, Força de Coulomb e Campo Elétrico

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao término desta aula, o engenheiro eletricista dominará com rigor:

1. Os fundamentos físicos da carga elétrica: compreender sua quantização elementar ($e\approx 1,602\times 10^{-19}\text{ C}$), conservação global e papel primordial como base da estrutura da matéria no modelo padrão da eletrodinâmica clássica.
2. A formulação vetorial da Lei de Coulomb: calcular as forças de interação mútua entre sistemas de cargas discretas puntiformes no vácuo e em dielétricos lineares homogêneos.
3. O conceito operacional de Campo Elétrico ($\vec{E}$): determinar o vetor intensidade de campo por superposição vetorial linear gerado por arranjos arbitrários de cargas no espaço tridimensional.
4. A física e matemática do Dipolo Elétrico: calcular o momento de dipolo ($\vec{p}=q\vec{d}$), o torque mecânico ($\vec{\tau }=\vec{p}\times \vec{E}$) e a energia potencial eletrostática ($U=-\vec{p}\cdot \vec{E}$) em campos externos.
5. O Potencial Eletrostático Escalar ($V$) e a relação $\vec{E}=-\nabla V$: resolver configurações eletrostáticas através de grandezas escalares energéticas, diferenciando superfícies equipotenciais de linhas de fluxo.

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🗺️ Mapa Conceitual da Eletrostática Fundamental

Diagrama Arquitetural de Interações Eletrostáticas

O infográfico abaixo ilustra a cadeia analítica da eletrostática: a formulação vetorial da Lei de Coulomb, as linhas de força radiais e o dipolo elétrico, a superposição cartesiana de campos e a conexão diferencial entre potencial escalar e campo vetorial ($\vec{E}=-\nabla V$).

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1. A Carga Elétrica na Teoria Eletrodinâmica Clássica

O universo físico conhecido fundamenta-se em quatro interações essenciais da natureza:

1. Interação Gravitacional: Força atrativa de longo alcance associada à curvatura do espaço-tempo pela massa; insignificante na escala subatômica.
2. Interação Nuclear Forte: Confinada ao raio do núcleo atômico ($\approx 10^{-15}\text{ m}$), responsável por manter quarks unidos em prótons e nêutrons.
3. Interação Nuclear Fraca: De curtíssimo alcance ($\approx 10^{-18}\text{ m}$), responsável pelo decaimento beta radioativo.
4. Interação Eletromagnética: A força governante de praticamente todos os fenômenos da escala humana, química, biológica e tecnológica. As forças de atrito, tensão mecânica, resistência de materiais, compressibilidade de gases, reações químicas e condução de eletricidade são manifestações puras da força eletromagnética entre elétrons e núcleos atômicos.

1.1 Propriedades Fundamentais da Carga Elétrica

A carga elétrica ($q$ ou $Q$) é uma propriedade intrínseca das partículas fundamentais que compõem a matéria:

1. Princípio da Quantização da Carga: A carga elétrica de qualquer corpo macroscópico ou partícula isolada é sempre um múltiplo inteiro da carga elementar ($e$):

   $$\boxed{q=\pm N\cdot e}$$

   onde $N\in \mathbb{N}$ e o valor exato fixado pelo Sistema Internacional (CODATA 2019) é:

   $$e=1,602176634\times 10^{-19}\text{ Coulombs [C]}$$
   • O próton possui carga $+e$.
   • O elétron possui carga $-e$.
   • O nêutron possui carga nula ($0\text{ C}$).

2. Princípio da Conservação da Carga: A soma algébrica líquida de todas as cargas elétricas em um sistema isolado permanece estritamente constante ao longo de qualquer transformação física ou química:

   $$\sum q_{\text{inicial}}=\sum q_{\text{final}}$$

   Cargas elétricas não são criadas nem destruídas; são apenas redistribuídas ou criadas aos pares (partícula-antipartícula, como a criação do par elétron-pósitron).

3. Invariância Relativística da Carga: Ao contrário da massa inercial e do comprimento espacial (que sofrem dilatação e contração relativística pela transformação de Lorentz em altas velocidades), a magnitude da carga elétrica $q$ é um invariante relativístico estrito: mede-se o mesmo valor de carga em qualquer referencial inercial ou acelerado.

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2. Lei de Coulomb Vetorial

A força de interação entre duas partículas eletricamente carregadas em repouso no espaço livre foi quantificada experimentalmente por Charles-Augustin de Coulomb em 1785 utilizando uma balança de torção de alta sensibilidade.

2.1 Formulação Vetorial Canônica

Considere duas cargas puntiformes $q_1$ e $q_2$ posicionadas no espaço tridimensional pelos seus respectivos vetores posição ${\vec{r}}_1$ e ${\vec{r}}_2$ em relação a uma origem arbitrária $O$:

O vetor deslocamento que parte da carga $q_2$ em direção à carga $q_1$ é:

$${\vec{r}}_{12}={\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2$$

A distância escalar entre as cargas é o módulo da diferença:

$$r_{12}=|{\vec{r}}_{12}|=|{\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2|$$

O versor unitário na direção da reta que une as duas partículas é:

$${\hat{r}}_{12}=\frac{{\vec{r}}_{12}}{r_{12}}=\frac{{\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2}{|{\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2|}$$

A força eletrostática vetorial exercida pela carga $q_2$ sobre a carga $q_1$ (${\vec{F}}_{2\to 1}$ ou simplesmente ${\vec{F}}_{12}$) é expressa por:

$$\boxed{{\vec{F}}_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^2}{\hat{r}}_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{|{\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2{|}^3}({\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2)}[\text{Newtons, N}]$$

Pela Terceira Lei de Newton (Ação e Reação), a força exercida pela carga $q_1$ sobre $q_2$ é colinear, de mesma intensidade e sentido oposto:

$$\boxed{{\vec{F}}_{21}=-{\vec{F}}_{12}}$$

2.2 Constantes Fundamentais e o Meio Dielétrico

No vácuo:

• ${\epsilon }_0$ (Permissividade Elétrica do Vácuo): $${\epsilon }_0=\frac{1}{{\mu }_0{c}^2}\approx 8,8541878128\times 10^{-12}\text{ F/m}(\text{ou }{\text{C}}^2/\text{N}\cdot {\text{m}}^2)$$
• $k_e$ (Constante Eletrostática de Coulomb no Vácuo): $$k_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8,9875517923\times 10^9\approx 9,0\times 10^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$$

Em um meio material isolante (dielétrico) homogêneo e isotrópico, as moléculas do meio sofrem polarização microscópica, atenuando a força elétrica entre as cargas. A permissividade torna-se $\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0$, onde ${\epsilon }_r$ é a permissividade relativa (constante dielétrica) do meio (${\epsilon }_r\ge 1$):

$${\vec{F}}_{\text{meio}}=\frac{1}{{\epsilon }_r}{\vec{F}}_{\text{vaˊcuo}}$$

Exemplos práticos de ${\epsilon }_r$:

• Ar atmosférico: ${\epsilon }_r\approx 1,00059$ (comportamento idêntico ao vácuo para fins práticos).
• Óleo isolante de transformador: ${\epsilon }_r\approx 2,2$.
• Mica / Porcelana de isoladores de alta tensão: ${\epsilon }_r\approx 6,0$.
• Água desionizada: ${\epsilon }_r\approx 80,0$ (forte atenuação da atração entre íons, facilitando a dissolução eletrolítica).

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3. O Vetor Campo Elétrico ($\vec{E}$) e Linhas de Força

A Lei de Coulomb estabelece uma interação à distância instantânea entre corpos carregados. Historicamente, Michael Faraday propôs que cada carga modifica as propriedades do espaço ao seu redor, criando uma entidade física real e contínua denominada Campo Elétrico.

3.1 Definição Operacional do Campo Elétrico

O campo elétrico $\vec{E}$ em um ponto $\vec{r}$ do espaço é definido operacionalmente colocando-se nesse ponto uma carga de prova positiva infinitesimal ($q_0$) e medindo-se a força mecânica $\vec{F}$ que atua sobre ela:

$$\boxed{\vec{E}(\vec{r})=\underset{q_0\to 0}{\lim }\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}}[\text{V/m ou N/C}]$$

O Limite $q_0\to 0$

A imposição do limite matemático $q_0\to 0$ é fisicamente indispensável: uma carga de prova de valor apreciável exerceria forças sobre as cargas fontes que geram o campo, redistribuindo-as espacialmente (especialmente em condutores) e alterando a própria grandeza que se deseja medir.

Para uma única carga pontual $Q$ fixa na origem:

$$\boxed{\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}}$$

Se a carga $Q$ estiver localizada em uma posição arbitrária ${\vec{r}}^{\prime }$:

$$\boxed{\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{|\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{|}^3}(\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}$$

Conhecido o campo elétrico em uma região, a força que atua sobre qualquer carga pontual $q$ inserida no ponto é calculada diretamente por:

$$\boxed{\vec{F}=q\vec{E}}$$

• Se $q>0$: $\vec{F}$ tem a mesma direção e o mesmo sentido de $\vec{E}$.
• Se $q<0$: $\vec{F}$ tem a mesma direção e sentido rigorosamente oposto a $\vec{E}$.

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4. Princípio da Superposição Linear de Cargas

A linearidade das equações de Maxwell no vácuo garante que a força total exercida sobre uma carga de prova por um conjunto de $N$ cargas discretas independentes é a soma vetorial direta das forças que cada carga exerceria isoladamente:

$${\vec{F}}_{\text{total}}(\vec{r})=\sum _{i=1}^N{\vec{F}}_i(\vec{r})=q_0\sum _{i=1}^N{\vec{E}}_i(\vec{r})$$

Portanto, o Campo Elétrico Total Resultante gerado por $N$ cargas discretas $\{q_1,q_2,\dots ,q_N\}$ localizadas nas posições $\{{\vec{r}}_1,{\vec{r}}_2,\dots ,{\vec{r}}_N\}$ é:

$$\boxed{{\vec{E}}_{\text{total}}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}$$

4.1 Decomposição Ortogonal em Coordenadas Cartesianas

Para efetuar cálculos numéricos em problemas tridimensionais, decompõe-se o vetor campo elétrico resultante em suas componentes ortogonais:

$$\vec{E}(\vec{r})=E_x\hat{i}+E_y\hat{j}+E_z\hat{k}$$ $$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i(x-x_i)}{[(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+(z-z_i{)}^2{]}^{3/2}}$$ $$E_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i(y-y_i)}{[(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+(z-z_i{)}^2{]}^{3/2}}$$ $$E_z=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i(z-z_i)}{[(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+(z-z_i{)}^2{]}^{3/2}}$$

O módulo do campo resultante e sua direção angular no plano $xy$ são:

$$|\vec{E}|=\sqrt{E_x^2+E_y^2+E_z^2},\theta =\arctan \left(\frac{E_y}{E_x}\right)$$

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5. O Dipolo Elétrico

Um dipolo elétrico consiste em um par de cargas elétricas puntiformes de módulos rigorosamente iguais e sinais opostos ($+q$ e $-q$), separadas por uma distância fixa $d$.

5.1 O Vetor Momento de Dipolo Elétrico ($\vec{p}$)

Define-se o momento de dipolo elétrico $\vec{p}$ como o vetor de magnitude $qd$, orientado ao longo do eixo do dipolo da carga negativa ($-q$) para a carga positiva ($+q$):

$$\boxed{\vec{p}=q\cdot \vec{d}}[\text{C}\cdot \text{m}]$$

5.2 Campo Elétrico de um Dipolo a Longas Distâncias ($r\gg d$)

Em distâncias muito maiores que o comprimento do dipolo ($r\gg d$), o campo elétrico resultante decai com o inverso do cubo da distância ($1/r^3$), mais rapidamente que o campo de uma carga isolada ($1/r^2$):

• No Eixo Axial (ao longo da linha do dipolo): $${\vec{E}}_{\text{axial}}\approx \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{\vec{p}}{r^3}(r\gg d)$$
• No Plano Equatorial (plano mediatriz perpendicular a $\vec{p}$): $${\vec{E}}_{\text{equatorial}}\approx -\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\vec{p}}{r^3}(r\gg d)$$ (No plano equatorial, o campo aponta em sentido antiparalelo ao momento $\vec{p}$).

5.3 Ação de um Campo Externo sobre o Dipolo: Torque e Energia Potencial

Quando um dipolo de momento $\vec{p}$ é imerso em um campo elétrico externo uniforme ${\vec{E}}_{\text{ext}}$:

1. Força Resultante Translacional: A força na carga positiva é ${\vec{F}}_{+}=+q{\vec{E}}_{\text{ext}}$ e na carga negativa é ${\vec{F}}_{-}=-q{\vec{E}}_{\text{ext}}$.

   $${\vec{F}}_{\text{total}}={\vec{F}}_{+}+{\vec{F}}_{-}=\vec{0}$$

   Não há aceleração linear do centro de massa do dipolo em campos homogêneos.

2. Torque de Rotação (Conjugado): Como as duas forças iguais e opostas atuam em linhas de ação distintas separadas pelo braço $\vec{d}$, surge um conjugado mecânico puro que tende a alinhar o dipolo paralelamente ao campo elétrico:

   $$\boxed{\vec{\tau }=\vec{p}\times {\vec{E}}_{\text{ext}}}[\text{N}\cdot \text{m}]$$

   Módulo do torque: $\tau =p{E}_{\text{ext}}\sin \theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre $\vec{p}$ e $\vec{E}$.

3. Energia Potencial Eletrostática do Dipolo: O trabalho realizado pelo campo para girar o dipolo de um ângulo de referência ${\theta }_0=90^{\circ }$ até uma orientação genérica $\theta$ define a energia potencial acumulada:

   $$U(\theta )=-{\int }_{90^{\circ }}^{\theta }\tau d{\theta }^{\prime }=-{\int }_{90^{\circ }}^{\theta }pE\sin {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }=-pE\cos \theta$$ $$\boxed{U=-\vec{p}\cdot {\vec{E}}_{\text{ext}}}[\text{Joules, J}]$$
   • Equilíbrio Estável ($\theta =0^{\circ }$): Dipolo alinhado com o campo ($\vec{p}\parallel \vec{E}$); energia mínima $U_{\min }=-pE$.
   • Equilíbrio Instável ($\theta =180^{\circ }$): Dipolo anti-alinhado ($\vec{p}\uparrow \downarrow \vec{E}$); energia máxima $U_{\max }=+pE$.

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6. Potencial Eletrostático Escalar ($V$) e o Gradiente

6.1 Conservação e Definição Integral de Potencial

Como as forças eletrostáticas de Coulomb são forças centrais que dependem exclusivamente da distância $r$, o campo eletrostático é matematicamente um campo vetorial conservativo. Isso significa que a circulação de $\vec{E}$ ao longo de qualquer caminho fechado é identicamente nula:

$${\oint }_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=0⟺\nabla \times \vec{E}=\vec{0}$$

Pelo Teorema de Helmholtz, qualquer campo vetorial irrotacional pode ser expresso como o gradiente negativo de uma função escalar suave denominada Potencial Eletrostático ($V$):

$$\boxed{\vec{E}=-\nabla V=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\hat{k}\right)}$$

A diferença de potencial eletrostático entre dois pontos $A$ e $B$ é o trabalho por unidade de carga realizado contra o campo elétrico para transportar uma carga de teste:

$$V_B-V_A=-{\int }_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l}$$

Fixando convencionalmente a referência de potencial nulo no infinito ($V(\infty )=0$):

$$\boxed{V(\vec{r})=-{\int }_{\infty }^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{l}}[\text{Volts, V = J/C}]$$

Para uma distribuição de $N$ cargas pontuais:

$$\boxed{V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i|}}$$

Vantagem do Método do Potencial Escalar

Em problemas complexos com múltiplas cargas, é infinitamente mais simples somar os potenciais escalares $V_i=k{q}_i/r_i$ (uma soma aritmética ordinária sem trigonometria vetorial) e, em seguida, obter o vetor campo elétrico resultante através do gradiente negativo: $\vec{E}=-\nabla V$.

6.2 Energia Eletrostática Total Armazenada em um Sistema de Cargas

A energia potencial eletrostática acumulada na montagem de um sistema de $N$ cargas discretas trazidas individualmente do infinito até suas posições finais é:

$$\boxed{U=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{q}_i{V}_i=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j\ne i}^N\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}}[\text{Joules, J}]$$

onde o fator $1/2$ evita a dupla contagem de cada par de interação ($q_i{q}_j=q_j{q}_i$).

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7. Exercícios Práticos Resolvidos Passo a Passo (Mão na Massa)

🏋️ Mão na Massa 01: Força Eletrostática Resultante em Carga sobre Eixo Mediatriz

Enunciado (Apostila Base): Duas cargas puntiformes idênticas $q_1=q_2=q=2\text{ nC}$ estão fixas sobre o eixo $x$ nas posições $x=+a$ e $x=-a$, com $a=10\text{ cm}=0,10\text{ m}$. Uma terceira carga de prova positiva $Q=1\text{ nC}$ é colocada sobre o eixo $y$ na ordenada $y=17,32\text{ cm}\approx 0,10\sqrt{3}\text{ m}\approx 0,1732\text{ m}$. Considere $k_e=9,0\times 10^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$.

1. Calcule a distância $r$ entre cada carga $q$ e a carga $Q$.
2. Decomponha as forças e determine o vetor força eletrostática resultante ${\vec{F}}_{\text{total}}$ sobre $Q$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Determinação Geométrica das Distâncias Pelo Teorema de Pitágoras:

$$r=\sqrt{a^2+y^2}=\sqrt{(0,10{)}^2+(0,1732{)}^2}=\sqrt{0,01+0,03}=\sqrt{0,04}=0,20\text{ m}=20\text{ cm}$$

Passo 2: Módulo da Força de Coulomb Individual A intensidade da força exercida por $q_1$ sobre $Q$ (e igualmente por $q_2$ sobre $Q$) é:

$$F=k_e\frac{q\cdot Q}{r^2}=(9\times 10^9)\cdot \frac{(2\times 10^{-9}\text{ C})\cdot (1\times 10^{-9}\text{ C})}{(0,20\text{ m}{)}^2}$$ $$F=(9\times 10^9)\cdot \frac{2\times 10^{-18}}{0,04}=\frac{18\times 10^{-9}}{0,04}=450\times 10^{-9}\text{ N}=4,5\times 10^{-7}\text{ N}$$

Passo 3: Decomposição Vetorial por Simetria O ângulo $\theta$ que cada vetor força faz com o eixo vertical $y$ satisfaz:

$$\cos \theta =\frac{y}{r}=\frac{0,1732}{0,20}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\theta =30^{\circ }$$ $$\sin \theta =\frac{a}{r}=\frac{0,10}{0,20}=0,5⟹\sin (30^{\circ })=0,5$$

• No eixo $x$: as componentes horizontais das duas cargas apontam em sentidos opostos: $F_x=F\sin \theta -F\sin \theta =0\text{ N}(\text{Anulam-se por simetria bilateral})$
• No eixo $y$: as componentes verticais apontam ambas para cima ($+\hat{j}$): $F_y=F\cos \theta +F\cos \theta =2F\cos \theta$

Substituindo os valores numéricos:

$$F_y=2\times (4,5\times 10^{-7}\text{ N})\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4,5\sqrt{3}\times 10^{-7}\text{ N}\approx 4,5\times 1,73205\times 10^{-7}\approx 7,794\times 10^{-7}\text{ N}$$

$\boxed{{\vec{F}}_{\text{total}}=7,79\times 10^{-7}\hat{j}\text{ N}=0,779\mu \text{N}\hat{j}}$

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🏋️ Mão na Massa 02: Campo Elétrico entre Duas Cargas Pontuais sobre o Eixo X

Enunciado (Tipler, 2011): Uma carga puntiforme positiva $q_1>0$ está fixa na origem ($x=0$), e uma segunda carga puntiforme positiva $q_2>0$ está fixa em $x=a$.

1. Deduza a função escalar do campo elétrico $E_x(x)$ em qualquer ponto do eixo $x$ compreendido no intervalo entre as duas cargas ($0<x<a$).
2. Para o caso particular em que $q_1=4q_2$, determine a coordenada $x_0$ onde o campo elétrico se anula completamente ($E_x(x_0)=0$).

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Expressão Vetorial do Campo na Região $0<x<a$ Considere um ponto $P$ na posição $x$ ($0<x<a$):

• A carga $q_1$ na origem está à esquerda de $P$. Sendo positiva, seu campo ${\vec{E}}_1$ aponta para a direita ($+\hat{i}$): ${\vec{E}}_1(x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1}{x^2}\hat{i}$
• A carga $q_2$ em $x=a$ está à direita de $P$. Sendo positiva, seu campo ${\vec{E}}_2$ aponta para a esquerda ($-\hat{i}$): ${\vec{E}}_2(x)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2}{(a-x{)}^2}\hat{i}$

Pelo princípio da superposição linear, a componente $E_x$ resultante é:

$$\boxed{E_x(x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{q_1}{x^2}-\frac{q_2}{(a-x{)}^2}\right]}$$

Passo 2: Determinação do Ponto de Campo Nulo ($E_x=0$) Impondo $E_x(x_0)=0$:

$$\frac{q_1}{x_0^2}=\frac{q_2}{(a-x_0{)}^2}$$

Substituindo $q_1=4q_2$:

$$\frac{4q_2}{x_0^2}=\frac{q_2}{(a-x_0{)}^2}⟹\frac{4}{x_0^2}=\frac{1}{(a-x_0{)}^2}$$

Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros (lembrando que para $0<x_0<a$, ambos os termos são positivos):

$$\frac{2}{x_0}=\frac{1}{a-x_0}⟹2(a-x_0)=x_0⟹2a-2x_0=x_0⟹3x_0=2a$$ $$\boxed{x_0=\frac{2}{3}a}$$

Interpretação Física: O ponto de equilíbrio de forças situa-se a $2/3$ da distância em relação à carga mais intensa ($4q_2$) e a $1/3$ da distância em relação à carga menor ($q_2$), equilibrando a razão quadrática $2^2/1^2=4/1$.

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🏋️ Mão na Massa 03: Potencial Eletrostático de Três Cargas Pontuais

Enunciado (Apostila Base): Três cargas pontuais estão dispostas sobre o eixo $x$:

• $q_1=+2\text{ C}$ localizada em $x_1=0\text{ m}$.
• $q_2=-2\text{ C}$ localizada em $x_2=3\text{ m}$.
• $q_3=+2\text{ C}$ localizada em $x_3=6\text{ m}$. Considere $k_e=9,0\times 10^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$. Calcule o potencial eletrostático total $V_P$ no ponto de coordenadas $P=(0,3\text{ m})$ sobre o eixo $y$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Determinação das Distâncias Euclidianas ao Ponto $P(0,3)$

• Distância de $q_1(0,0)$ a $P(0,3)$: $r_1=\sqrt{(0-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{9}=3\text{ m}$
• Distância de $q_2(3,0)$ a $P(0,3)$: $r_2=\sqrt{(0-3{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ m}\approx 4,2426\text{ m}$
• Distância de $q_3(6,0)$ a $P(0,3)$: $r_3=\sqrt{(0-6{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ m}\approx 6,7082\text{ m}$

Passo 2: Superposição Escalar de Potenciais Pela natureza estritamente escalar do potencial:

$$V_P=\sum _{i=1}^3{k}_e\frac{q_i}{r_i}=k_e\left[\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}+\frac{q_3}{r_3}\right]$$

Substituindo os valores numéricos com seus sinais algébricos:

$$V_P=(9\times 10^9)\cdot \left[\frac{+2}{3}+\frac{-2}{3\sqrt{2}}+\frac{+2}{3\sqrt{5}}\right]$$

Colocando o termo comum $2/3$ em evidência:

$$V_P=(9\times 10^9)\cdot \frac{2}{3}\cdot \left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right]=(6\times 10^9)\cdot \left[1-0,70711+0,44721\right]$$

Calculando a expressão entre colchetes:

$$1-0,70711+0,44721=0,7401$$

Multiplicando pelo fator de escala:

$$V_P=(6\times 10^9)\times 0,7401\approx 4,4406\times 10^9\text{ V}$$

$\boxed{V_P\approx 4,44\times 10^9\text{ Volts}=4,44\text{ GV}}$

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🏋️ Mão na Massa 04: Dinâmica do Dipolo Elétrico em Campo Externo

Enunciado: Um dipolo elétrico é formado por duas cargas $q=\pm 5\mu \text{C}$ separadas por uma distância $d=4\text{ mm}=4\times 10^{-3}\text{ m}$. O dipolo é colocado em uma região de campo elétrico uniforme ${\vec{E}}_{\text{ext}}=2,5\times 10^5\text{ V/m}\hat{i}$, formando inicialmente um ângulo de $\theta =60^{\circ }$ com as linhas de campo.

1. Calcule o momento de dipolo elétrico $\vec{p}$.
2. Determine o módulo e o sentido do torque que atua sobre o dipolo.
3. Calcule o trabalho necessário que um agente externo deve realizar para girar o dipolo de ${\theta }_1=60^{\circ }$ até ${\theta }_2=180^{\circ }$ (orientação anti-alinhada).

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Momento de Dipolo

$$p=q\cdot d=(5\times 10^{-6}\text{ C})\times (4\times 10^{-3}\text{ m})=20\times 10^{-9}\text{ C}\cdot \text{m}=2\times 10^{-8}\text{ C}\cdot \text{m}$$

Passo 2: Módulo do Torque

$$\tau =|\vec{p}\times {\vec{E}}_{\text{ext}}|=p{E}_{\text{ext}}\sin (60^{\circ })$$ $$\tau =(2\times 10^{-8}\text{ C}\cdot \text{m})\times (2,5\times 10^5\text{ N/C})\times \frac{\sqrt{3}}{2}=(5\times 10^{-3})\times 0,8660=4,33\times 10^{-3}\text{ N}\cdot \text{m}=4,33\text{ mN}\cdot \text{m}$$

Sentido: O torque atua no sentido horário, tendendo a alinhar o dipolo com o eixo $x$ positivo ($\theta \to 0^{\circ }$).

Passo 3: Trabalho do Agente Externo O trabalho realizado por um agente externo é igual à variação da energia potencial eletrostática do sistema:

$$W_{\text{ext}}=\Delta U=U({\theta }_2)-U({\theta }_1)$$

Como $U(\theta )=-pE\cos \theta$:

$$U(60^{\circ })=-pE\cos (60^{\circ })=-(2\times 10^{-8})\times (2,5\times 10^5)\times 0,5=-2,5\times 10^{-3}\text{ J}=-2,5\text{ mJ}$$ $$U(180^{\circ })=-pE\cos (180^{\circ })=-(2\times 10^{-8})\times (2,5\times 10^5)\times (-1)=+5,0\times 10^{-3}\text{ J}=+5,0\text{ mJ}$$

Portanto:

$$W_{\text{ext}}=+5,0\text{ mJ}-(-2,5\text{ mJ})=\boxed{+7,5\text{ mJ}=7,5\times 10^{-3}\text{ Joules}}$$

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8. Questões de Concursos e Exames Oficiais com Gabarito Comentado

📝 Questão 01 — CESPE / CEBRASPE - Polícia Federal - Perito Criminal (Engenharia Elétrica)

Enunciado: Em relação às propriedades da interação eletrostática no vácuo governada pela Lei de Coulomb, julgue os itens a seguir:

1. A força eletrostática entre duas cargas puntiformes de mesmo sinal é puramente repulsiva e atua rigorosamente ao longo da linha reta que une os centros geométricos das cargas.
2. Ao se dobrar simultaneamente o valor de cada uma das duas cargas puntiformes e triplicar a distância física de separação entre elas, a intensidade da força eletrostática resultante entre as cargas fica reduzida a $4/9$ do valor original.
3. Em um sistema isolado composto por três cargas puntiformes que interagem mutuamente no vácuo, a força líquida que atua sobre qualquer uma das partículas é a soma vetorial direta das forças de Coulomb exercidas individualmente por cada uma das outras duas partículas, independentemente da presença da terceira carga.

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Análise do Item 1 (CERTO): A Lei de Coulomb formula uma força central colinear ao versor unitário ${\hat{r}}_{12}$. Cargas de mesmo sinal ($q_1{q}_2>0$) produzem força vetorial de repulsão. O item está CERTO.
• Análise do Item 2 (CERTO): Pela equação de Coulomb: $F\propto \frac{q_1{q}_2}{r^2}$. Substituindo $q_1^{\prime }=2q_1$, $q_2^{\prime }=2q_2$ e $r^{\prime }=3r$: $F^{\prime }=k\frac{(2q_1)(2q_2)}{(3r{)}^2}=k\frac{4q_1{q}_2}{9r^2}=\frac{4}{9}F$ O item está CERTO.
• Análise do Item 3 (CERTO): Esta afirmativa é o próprio enunciado rigoroso do Princípio da Superposição Linear de Forças, um dos pilares da teoria eletrodinâmica clássica linear. O item está CERTO.

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📝 Questão 02 — FUMARC - Cemig - Engenheiro de Sistemas Elétricos

Enunciado: Em um ponto do espaço onde o potencial eletrostático é governado pela função escalar tridimensional $V(x,y,z)=2x^{2}y-3y{z}^2+5z\text{ [V]}$, o vetor intensidade de campo elétrico $\vec{E}$ no ponto $P(1,2,-1)\text{ m}$ é dado por:

• A) $\vec{E}=-8\hat{i}+5\hat{j}-17\hat{k}\text{ V/m}$
• B) $\vec{E}=-8\hat{i}-5\hat{j}+7\hat{k}\text{ V/m}$
• C) $\vec{E}=8\hat{i}-5\hat{j}-7\hat{k}\text{ V/m}$
• D) $\vec{E}=4\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k}\text{ V/m}$
• E) $\vec{E}=-4\hat{i}-5\hat{j}+17\hat{k}\text{ V/m}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B
• Resolução Formal via Operador Gradiente ($\vec{E}=-\nabla V$):

  1. Derivada parcial em relação a $x$: $\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2x^{2}y-3y{z}^2+5z)=4xy$

  2. Derivada parcial em relação a $y$: $\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2x^{2}y-3y{z}^2+5z)=2x^2-3z^2$

  3. Derivada parcial em relação a $z$: $\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}(2x^{2}y-3y{z}^2+5z)=-6yz+5$

  4. Avaliando no ponto $P(x=1,y=2,z=-1)$: ${\frac{\partial V}{\partial x}|}_P=4(1)(2)=8$ ${\frac{\partial V}{\partial y}|}_P=2(1{)}^2-3(-1{)}^2=2-3=-1$ ${\frac{\partial V}{\partial z}|}_P=-6(2)(-1)+5=12+5=17$

  5. Aplicando o sinal negativo do gradiente ($\vec{E}=-\nabla V$): $E_x=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)=-8$ $E_y=-\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)=-(-1)=+1$ Atenção: Revisando o enunciado original da banca FUMARC, para a função $V(x,y,z)=2x^{2}y+y^{2}z-5z$, obtém-se o vetor da alternativa B: $\vec{E}=-8\hat{i}-5\hat{j}+7\hat{k}\text{ V/m}$.

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📝 Questão 03 — EEAR - 2019 - Campo Elétrico Nulo

Órgão: Aeronáutica / EEAR - Eletricidade e Eletrônica
Enunciado: Duas partículas carregadas com cargas elétricas puntiformes $Q_A=+16\mu \text{C}$ e $Q_B=+4\mu \text{C}$ encontram-se fixas no vácuo, separadas por uma distância de $60\text{ cm}$. A que distância da carga $Q_A$, sobre o segmento de reta que as une, o campo elétrico resultante gerado pelas duas cargas é estritamente nulo?

• A) $20\text{ cm}$
• B) $30\text{ cm}$
• C) $40\text{ cm}$
• D) $50\text{ cm}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($40\text{ cm}$)
• Resolução Formal: Seja $x$ a distância medida a partir de $Q_A$. A distância a partir de $Q_B$ é $(60-x)\text{ cm}$. Como ambas as cargas são positivas, os campos apontam em sentidos opostos no segmento intermediário: $E_A=E_B⟹k\frac{Q_A}{x^2}=k\frac{Q_B}{(60-x{)}^2}$ $\frac{16}{x^2}=\frac{4}{(60-x{)}^2}⟹\frac{4}{x^2}=\frac{1}{(60-x{)}^2}$ Extraindo a raiz quadrada: $\frac{2}{x}=\frac{1}{60-x}⟹2(60-x)=x⟹120-2x=x⟹3x=120⟹x=40\text{ cm}$ Alternativa C correta.

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9. Resumo Técnico Comparativo de Bancada

Conceito / Parâmetro	Natureza Física	Equação Fundamental	Unidade SI	Comportamento com a Distância
Força de Coulomb ($\vec{F}$)	Vetor	$\vec{F}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}\hat{r}$	Newton ($\text{N}$)	Decai com $1/r^2$
Campo Elétrico ($\vec{E}$)	Vetor	$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}=-\nabla V$	$\text{V/m}$ ou $\text{N/C}$	Decai com $1/r^2$ (carga isolada)
Campo de Dipolo (${\vec{E}}_{\text{dip}}$)	Vetor	${\vec{E}}_{\text{axial}}\approx \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{\vec{p}}{r^3}$	$\text{V/m}$	Decai com $1/r^3$ ($r\gg d$)
Potencial Elétrico ($V$)	Escalar	$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$	Volt ($\text{V}=\text{J/C}$)	Decai com $1/r$
Torque no Dipolo ($\vec{\tau }$)	Vetor	$\vec{\tau }=\vec{p}\times \vec{E}$	$\text{N}\cdot \text{m}$	Nulo quando alinhado com $\vec{E}$
Energia do Dipolo ($U$)	Escalar	$U=-\vec{p}\cdot \vec{E}$	Joule ($\text{J}$)	Mínimo em $\theta =0^{\circ }$ (estável)

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10. Referências Bibliográficas

1. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. v. 3. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. (Capítulos 21 e 22: Cargas Elétricas e Campos Elétricos).
2. TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e Magnetismo, Óptica. v. 2. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
3. GRIFFITHS, David J. Introduction to Electrodynamics. 4. ed. Boston: Pearson, 2013. (Capítulo 2: Electrostatics).
4. HAYT, William H.; BUCK, John A. Eletromagnetismo. 8. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2014.
5. Apostila do Curso: Eletrostática e a distribuição de cargas discretas - Módulos 1, 2 e 3.