Aula 01: Análise Vetorial, Coordenadas e Campo Elétrico Estacionário em Meios Materiais

Visão Geral & Objetivos Pedagógicos

Esta aula consolida os fundamentos matemáticos e físicos avançados do Eletromagnetismo. Revisamos a teoria de campos em sistemas de coordenadas curvilíneos ortogonais (Cartesiano, Cilíndrico e Esférico) e os operadores diferenciais do cálculo vetorial ($\nabla V$, $\nabla \cdot \vec{D}$, $\nabla \times \vec{E}$, ${\nabla }^{2}V$). Analisamos a resposta de meios materiais dielétricos, a definição física do vetor polarização $\vec{P}$, as cargas ligadas de polarização e o vetor deslocamento elétrico $\vec{D}$. Deduzimos as condições de contorno eletrostáticas e exploramos os métodos de solução de problemas de valor sobre o contorno regidos pelas Equações de Poisson e Laplace, comprovando a unicidade da solução e resolvendo os problemas oficiais de engenharia.

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1. Mapa Conceitual da Aula

O infográfico estruturado abaixo sintetiza as métricas espaciais, os operadores diferenciais, as relações constitutivas em dielétricos e a formulação analítica das equações de Poisson e Laplace.

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2. Análise Vetorial e Sistemas de Coordenadas Curvilíneos Ortogonais

No eletromagnetismo avançado, a escolha do sistema de coordenadas adequado à simetria geométrica da fronteira transforma equações diferenciais parciais acopladas intratáveis em equações diferenciais ordinárias de fácil resolução analítica.

Seja um sistema curvilíneo ortogonal genérico definido pelas coordenadas $(u_1,u_2,u_3)$ com vetores unitários de base $({\hat{a}}_1,{\hat{a}}_2,{\hat{a}}_3)$ e fatores de escala métricos $h_1,h_2,h_3$. O elemento diferencial de comprimento de linha é dado por:

$d\vec{l}=h_{1}d{u}_1{\hat{a}}_1+h_{2}d{u}_2{\hat{a}}_2+h_{3}d{u}_3{\hat{a}}_3⟹d{l}^2=h_1^{2}d{u}_1^2+h_2^{2}d{u}_2^2+h_3^{2}d{u}_3^2$

O elemento infinitesimal de volume é:

$d\mathcal{V}=h_1{h}_2{h}_{3}d{u}_{1}d{u}_{2}d{u}_3$

2.1 Métricas dos Três Sistemas Fundamentais

1. Sistema Cartesiano $(x,y,z)$:

   • Coordenadas: $u_1=x\in (-\infty ,\infty )$, $u_2=y\in (-\infty ,\infty )$, $u_3=z\in (-\infty ,\infty )$.
   • Fatores de escala: $h_x=1$, $h_y=1$, $h_z=1$.
   • Elemento de linha: $d\vec{l}=dx{\hat{a}}_x+dy{\hat{a}}_y+dz{\hat{a}}_z$.
   • Elemento de volume: $d\mathcal{V}=dxdydz$.

2. Sistema Cilíndrico $(\rho ,\varphi ,z)$:

   • Coordenadas: $\rho =\sqrt{x^2+y^2}\ge 0$, $\varphi =\arctan (y/x)\in [0,2\pi )$, $z=z\in (-\infty ,\infty )$.
   • Fatores de escala: $h_{\rho }=1$, $h_{\varphi }=\rho$, $h_z=1$.
   • Elemento de linha: $d\vec{l}=d\rho {\hat{a}}_{\rho }+\rho d\varphi {\hat{a}}_{\varphi }+dz{\hat{a}}_z$.
   • Elemento de volume: $d\mathcal{V}=\rho d\rho d\varphi dz$.

3. Sistema Esférico $(r,\theta ,\varphi )$:

   • Coordenadas: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge 0$, $\theta =\arccos (z/r)\in [0,\pi ]$ (colatitude), $\varphi =\arctan (y/x)\in [0,2\pi )$ (azimute).
   • Fatores de escala: $h_r=1$, $h_{\theta }=r$, $h_{\varphi }=r\sin \theta$.
   • Elemento de linha: $d\vec{l}=dr{\hat{a}}_r+rd\theta {\hat{a}}_{\theta }+r\sin \theta d\varphi {\hat{a}}_{\varphi }$.
   • Elemento de volume: $d\mathcal{V}=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$.

2.2 Operadores Diferenciais em Coordenadas Ortogonais Genéricas

Seja $V(u_1,u_2,u_3)$ um campo escalar e $\vec{A}=A_1{\hat{a}}_1+A_2{\hat{a}}_2+A_3{\hat{a}}_3$ um campo vetorial.

• Gradiente: $\nabla V=\frac{1}{h_1}\frac{\partial V}{\partial u_1}{\hat{a}}_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial V}{\partial u_2}{\hat{a}}_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial V}{\partial u_3}{\hat{a}}_3$
• Divergente: $\nabla \cdot \vec{A}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_1}(h_2{h}_3{A}_1)+\frac{\partial }{\partial u_2}(h_1{h}_3{A}_2)+\frac{\partial }{\partial u_3}(h_1{h}_2{A}_3)\right]$
• Rotacional: $\nabla \times \vec{A}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left|\begin{array}{ccc}{h}_1{\hat{a}}_1& h_2{\hat{a}}_2& h_3{\hat{a}}_3\\ \frac{\partial }{\partial u_1}& \frac{\partial }{\partial u_2}& \frac{\partial }{\partial u_3}\\ h_1{A}_1& h_2{A}_2& h_3{A}_3\end{array}\right|$
• Laplaciano Escalar: ${\nabla }^{2}V=\nabla \cdot (\nabla V)=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\partial V}{\partial u_1}\right)+\frac{\partial }{\partial u_2}\left(\frac{h_1{h}_3}{h_2}\frac{\partial V}{\partial u_2}\right)+\frac{\partial }{\partial u_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\partial V}{\partial u_3}\right)\right]$

2.3 Expressões Práticas do Laplaciano para Problemas 1D de Alta Simetria

1. Simetria Cartesiana 1D (Placas Planas): ${\nabla }^{2}V=\frac{d^{2}V}{d{x}^2}$
2. Simetria Cilíndrica 1D (Cilindros Coaxiais Longos): ${\nabla }^{2}V=\frac{1}{\rho }\frac{d}{d\rho }\left(\rho \frac{dV}{d\rho }\right)=\frac{d^{2}V}{d{\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{dV}{d\rho }$
3. Simetria Angular Cilíndrica 1D (Cunhas Planas Isoladas): ${\nabla }^{2}V=\frac{1}{{\rho }^2}\frac{d^{2}V}{d{\varphi }^2}$
4. Simetria Esférica 1D (Cascas e Esferas Concêntricas): ${\nabla }^{2}V=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dV}{dr}\right)=\frac{d^{2}V}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{dV}{dr}$

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3. Campo Elétrico Estacionário, Potencial Escalar e Energia

No regime eletrostático, a ausência de campos magnéticos dinâmicos garante a irrotacionalidade estrita do campo elétrico:

$\nabla \times \vec{E}=0⟺{\oint }_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=0$

Como a circulação ao longo de qualquer laço fechado é nula, o campo $\vec{E}$ é conservativo e deriva do gradiente de um potencial escalar unívoco $V$:

$\boxed{\vec{E}=-\nabla V}$

A diferença de potencial entre dois pontos $A$ e $B$ é dada pela integral de linha independente do caminho:

$V_{AB}=V_A-V_B={\int }_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l}$

3.1 Energia Potencial Eletrostática Armazenada

Para montar uma distribuição espacial contínua de cargas livres com densidade ${\rho }_v$ trazendo cargas do infinito, o trabalho externo requerido contra as forças eletrostáticas é armazenado como energia potencial eletrostática $W_e$:

$W_e=\frac{1}{2}{\iiint }_{\mathcal{V}}{\rho }_{v}Vd\mathcal{V}$

Usando a Lei de Gauss (${\rho }_v=\nabla \cdot \vec{D}$) e a identidade vetorial $\nabla \cdot (V\vec{D})=V(\nabla \cdot \vec{D})+\vec{D}\cdot (\nabla V)$:

$W_e=\frac{1}{2}{\iiint }_{\mathcal{V}}(\nabla \cdot \vec{D})Vd\mathcal{V}=\frac{1}{2}{\iiint }_{\mathcal{V}}[\nabla \cdot (V\vec{D})-\vec{D}\cdot \nabla V]d\mathcal{V}$

Aplicando o Teorema da Divergência ao primeiro termo e estendendo a integração a todo o espaço tridimensional, o fluxo na superfície no infinito anula-se ($V\propto 1/r$ e $D\propto 1/r^2⟹VD{r}^2\propto 1/r\to 0$). Sabendo que $-\nabla V=\vec{E}$:

$\boxed{W_e=\frac{1}{2}{\iiint }_{\text{todo o espac¸o}}(\vec{D}\cdot \vec{E})d\mathcal{V}=\iiint u_{e}d\mathcal{V}}$

A densidade volumétrica de energia eletrostática $u_e$ (${\text{J/m}}^3$) reside no próprio campo elétrico:

$\boxed{u_e=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot \vec{E}=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{D^2}{2\epsilon }}$

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4. Meios Dielétricos, Vetor Polarização $\vec{P}$ e Cargas Ligadas

Ao contrário dos condutores, os materiais dielétricos ideais não possuem portadores de carga livres com mobilidade macroscópica. Seus elétrons encontram-se fortemente ligados aos núcleos atômicos e estruturas moleculares.

4.1 O Vetor Polarização $\vec{P}$

Quando um campo elétrico externo $\vec{E}$ é aplicado a um dielétrico:

1. Moléculas Não Polares (ex.: $O_2,N_2,C{H}_4$): As nuvens eletrônicas sofrem um deslocamento infinitesimal em relação aos núcleos positivos, induzindo dipolos elétricos microscópicos $\vec{p}=q\vec{d}$.
2. Moléculas Polares (ex.: $H_{2}O,HCl$): Possuem momentos de dipolo permanentes que sofrem torque mecânico $\vec{\tau }=\vec{p}\times \vec{E}$, orientando-se preferencialmente na direção do campo contra a agitação térmica.

O Vetor Polarização Elétrica $\vec{P}$ (${\text{C/m}}^2$) é definido como a densidade volumétrica média de momentos de dipolo:

$\vec{P}={\lim }_{\Delta \mathcal{V}\to 0}\frac{{\sum }_{i=1}^{\Delta N}{\vec{p}}_i}{\Delta \mathcal{V}}$

4.2 Cargas Ligadas (de Polarização)

A polarização não uniforme em um dielétrico gera um acúmulo líquido microscópico de carga em subvolumes e na superfície da fronteira:

• Densidade Volumétrica de Carga Ligada: $\boxed{{\rho }_{pv}=-\nabla \cdot \vec{P}}$
• Densidade Superficial de Carga Ligada: $\boxed{{\sigma }_{ps}=\vec{P}\cdot \hat{n}}$ Onde $\hat{n}$ é o vetor normal unitário que aponta para fora do meio dielétrico.

A carga ligada total contida em um bloco isolado de dielétrico é rigorosamente nula ($\iiint {\rho }_{pv}d\mathcal{V}+\iint {\sigma }_{ps}dA=0$).

4.3 O Vetor Deslocamento Elétrico $\vec{D}$

A densidade total de carga em um ponto no espaço é a soma das cargas livres conduzidas ${\rho }_v$ e das cargas ligadas de polarização ${\rho }_{pv}$:

$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{{\rho }_{\text{total}}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_v+{\rho }_{pv}}{{\epsilon }_0}=\frac{{\rho }_v-\nabla \cdot \vec{P}}{{\epsilon }_0}$

Rearranjando os operadores diferenciais:

$\nabla \cdot ({\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P})={\rho }_v$

Definindo o Vetor Deslocamento Elétrico (ou Densidade de Fluxo Elétrico) $\vec{D}$:

$\boxed{\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}}$

A Primeira Equação de Maxwell para meios materiais arbitrários torna-se dependente exclusivamente das cargas livres:

$\boxed{\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_v}⟺{\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{A}=Q_{\text{livre, env}}$

4.4 Relações Constitutivas em Meios Lineares, Homogêneos e Isotrópicos (LHI)

Para materiais dielétricos LHI: $\vec{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}$ Onde ${\chi }_e$ é a susceptibilidade elétrica adimensional do meio. Substituindo na definição de $\vec{D}$:

$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+{\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}={\epsilon }_0(1+{\chi }_e)\vec{E}$

Definindo a permissividade elétrica absoluta $\epsilon$ e a permissividade relativa ${\epsilon }_r$ (constante dielétrica):

$\boxed{\vec{D}=\epsilon \vec{E}={\epsilon }_r{\epsilon }_0\vec{E}}\text{onde}{\epsilon }_r=1+{\chi }_e=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}$

O vetor polarização $\vec{P}$ pode ser expresso diretamente em termos de $\vec{D}$:

$\vec{P}=\vec{D}-{\epsilon }_0\vec{E}=\vec{D}-\frac{\vec{D}}{{\epsilon }_r}=\boxed{\left(1-\frac{1}{{\epsilon }_r}\right)\vec{D}=\left(\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r}\right)\vec{D}}$

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5. Condições de Contorno Eletrostáticas

Ao analisar a fronteira física entre dois meios materiais dielétricos com permissividades ${\epsilon }_1$ e ${\epsilon }_2$, as equações de Maxwell impõem descontinuidades estritas nos vetores $\vec{E}$ e $\vec{D}$.

5.1 Continuidade da Componente Tangencial do Campo Elétrico

Considere um caminho fechado retangular infinitesimal de comprimento $\Delta l$ paralelo à interface e altura $\Delta h\to 0$ que cruza a fronteira. Pela natureza conservativa de $\vec{E}$:

$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=E_{1t}\Delta l-E_{2t}\Delta l+\mathcal{O}(\Delta h)=0$

Fazendo $\Delta h\to 0$:

$\boxed{E_{1t}=E_{2t}}⟺\frac{D_{1t}}{{\epsilon }_1}=\frac{D_{2t}}{{\epsilon }_2}$

A componente tangencial do campo elétrico é rigorosamente contínua através de qualquer interface.

5.2 Descontinuidade da Componente Normal do Deslocamento Elétrico

Construindo uma caixa cilíndrica de pílula gaussiana com área de base $\Delta A$ paralela à fronteira e espessura $\Delta h\to 0$:

${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{A}=D_{1n}\Delta A-D_{2n}\Delta A=\Delta Q_{\text{livre}}={\sigma }_f\Delta A$

$\boxed{D_{1n}-D_{2n}={\sigma }_f}⟺{\epsilon }_1{E}_{1n}-{\epsilon }_2{E}_{2n}={\sigma }_f$

Onde ${\sigma }_f$ é a densidade superficial de cargas livres na interface. Se não houver cargas livres depositadas na fronteira (${\sigma }_f=0$):

$\boxed{D_{1n}=D_{2n}}⟺{\epsilon }_1{E}_{1n}={\epsilon }_2{E}_{2n}$

A componente normal do vetor deslocamento é contínua se a interface for livre de cargas livres.

5.3 Fronteira Condutor Perfeito - Dielétrico

Em um condutor perfeito em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é estritamente zero ($E_2=0⟹E_{2t}=0,D_{2n}=0$). Portanto, imediatamente fora da superfície condutora:

• Componente tangencial: $\boxed{E_{1t}=0}$ (as linhas de campo elétrico partem ou incidem sempre a $90^{\circ }$ da superfície equipotencial condutora).
• Componente normal: $\boxed{D_{1n}={\sigma }_f}⟹E_{1n}=\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_1}$.

5.4 Lei da Refração Eletrostática

Se as linhas de campo formam ângulos ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$ com a normal à superfície: $\tan {\theta }_1=\frac{E_{1t}}{E_{1n}}\text{e}\tan {\theta }_2=\frac{E_{2t}}{E_{2n}}$ Como $E_{1t}=E_{2t}$ e ${\epsilon }_1{E}_{1n}={\epsilon }_2{E}_{2n}$ (para ${\sigma }_f=0$):

$\boxed{\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}$

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6. As Equações de Poisson e Laplace

A determinação da distribuição espacial de potencial elétrico $V$ em regiões com ou sem cargas é o problema central da eletrostática na engenharia.

6.1 Dedução da Equação de Poisson

Partindo da Lei de Gauss diferencial $\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_v$ e da relação constitutiva em meio LHI $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$: $\nabla \cdot (\epsilon \vec{E})={\rho }_v⟹\epsilon (\nabla \cdot \vec{E})={\rho }_v$ Substituindo a relação $\vec{E}=-\nabla V$: $\epsilon \nabla \cdot (-\nabla V)={\rho }_v⟹\boxed{{\nabla }^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{\epsilon }}$

Esta é a Equação de Poisson.

6.2 A Equação de Laplace

Em qualquer região do espaço que não contenha densidade de carga livre (${\rho }_v=0$), a Equação de Poisson degenera na Equação de Laplace:

$\boxed{{\nabla }^{2}V=0}$

6.3 O Teorema da Unicidade

O Teorema da Unicidade de Dirichlet/Neumann estabelece:

“Se uma função de potencial $V(\vec{r})$ satisfizer a Equação de Laplace (ou Poisson) em um volume delimitado $\mathcal{V}$ e satisfizer as condições de contorno impostas em toda a sua superfície limite $S$, então esta solução é matematicamente ÚNICA.”

Isso garante que qualquer método de solução — seja separação de variáveis, método das imagens, transformações conformes ou métodos numéricos (FEM, FDM) — ao encontrar uma solução compatível, encontrou a única resposta física verdadeira.

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7. Exercícios Oficiais Resolvidos Passo a Passo

A seguir, apresentamos a resolução integral, rigorosa e passo a passo de todas as questões do caderno oficial da disciplina (01 - EXERCÍCIO - Campo Elétrico Estacionário.pdf).

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Questão 1 (Lista Oficial — Gradiente de Potencial de Carga Pontual)

Enunciado Oficial: Determine o valor do campo elétrico gerado por uma carga pontual em um ponto a uma distância $r=20\text{ m}$ da carga fonte, usando a relação entre campo elétrico e o gradiente do potencial elétrico. Sabe-se que o potencial elétrico no ponto vale $\varphi (r)=\frac{2\times 10^{11}}{r}\text{ V}$, onde $r$ é a distância medida em metros.

Resolução Passo a Passo:

1. Relação Diferencial em Coordenadas Esféricas: Como o potencial possui simetria puramente radial $\varphi =\varphi (r)$, o gradiente tem apenas componente radial: $\vec{E}=-\nabla \varphi =-\left(\frac{d\varphi }{dr}\right){\hat{a}}_r$

2. Diferenciação: $\frac{d\varphi }{dr}=\frac{d}{dr}\left(2\times 10^{11}{r}^{-1}\right)=-2\times 10^{11}{r}^{-2}=-\frac{2\times 10^{11}}{r^2}$ Aplicando o sinal negativo da relação: $\vec{E}(r)=-\left(-\frac{2\times 10^{11}}{r^2}\right){\hat{a}}_r=\frac{2\times 10^{11}}{r^2}{\hat{a}}_r$

3. Cálculo Numérico em $r=20\text{ m}$: $r^2=20^2=400{\text{ m}}^2$ $E=\frac{2\times 10^{11}}{400}=\frac{2\times 10^{11}}{4\times 10^2}=0,5\times 10^9\text{ V/m}=5\times 10^8\text{ V/m}$ Alternativa Correta: D

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Questão 2 (Lista Oficial — Equação de Poisson no Capacitor com Carga Volumétrica)

Enunciado Oficial: Um capacitor de placas paralelas apresenta um dielétrico entre suas armaduras com permissividade elétrica relativa ${\epsilon }_r=4$. Este dielétrico apresenta uma densidade volumétrica uniforme de cargas ${\rho }_v$. As duas placas apresentam uma distância $h$ entre si. A placa ligada ao polo positivo de potencial $V_1$ localiza-se em $x=0$, e a placa conectada ao terra ($0\text{ V}$) localiza-se em $x=h$. Desprezando efeitos de borda, determine a distribuição do potencial elétrico $\varphi (x)$ dentro do capacitor.

Resolução Passo a Passo:

1. Formulação da Equação de Poisson 1D: A permissividade absoluta do meio é $\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0=4{\epsilon }_0$. A Equação de Poisson 1D na direção $x$ é: $\frac{d^2\varphi }{d{x}^2}=-\frac{{\rho }_v}{\epsilon }=-\frac{{\rho }_v}{4{\epsilon }_0}$

2. Primeira Integração: $\frac{d\varphi }{dx}=-\frac{{\rho }_v}{4{\epsilon }_0}x+C_1$

3. Segunda Integração: $\varphi (x)=-\frac{{\rho }_v}{4{\epsilon }_0}\frac{x^2}{2}+C_{1}x+C_2=-\frac{{\rho }_v}{8{\epsilon }_0}{x}^2+C_{1}x+C_2$

4. Aplicação das Condições de Contorno:

   • Em $x=0$: $\varphi (0)=V_1⟹-\frac{{\rho }_v}{8{\epsilon }_0}(0{)}^2+C_1(0)+C_2=V_1⟹{\mathbf{C}}_2={\mathbf{V}}_1$
   • Em $x=h$: $\varphi (h)=0⟹-\frac{{\rho }_v}{8{\epsilon }_0}{h}^2+C_{1}h+V_1=0$ $C_{1}h=\frac{{\rho }_v{h}^2}{8{\epsilon }_0}-V_1⟹{\mathbf{C}}_1=\frac{{\rho }_{\mathbf{v}}\mathbf{h}}{8{\epsilon }_0}-\frac{{\mathbf{V}}_1}{\mathbf{h}}=-\left(\frac{{\mathbf{V}}_1}{\mathbf{h}}-\frac{{\rho }_{\mathbf{v}}\mathbf{h}}{8{\epsilon }_0}\right)$

5. Expressão Analítica Final: $\boxed{\varphi (x)=-\frac{{\rho }_v}{8{\epsilon }_0}{x}^2+\left(-\frac{V_1}{h}+\frac{{\rho }_{v}h}{8{\epsilon }_0}\right)x+V_1}$ Alternativa Correta: B

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Questão 3 (Lista Oficial — Equação de Laplace em Cunha Condutora Angular)

Enunciado Oficial: Duas grandes placas metálicas condutoras semi-infinitas fazem entre si um ângulo de abertura $\theta =\frac{\pi }{2}$. A placa da esquerda (plano $xz$, $x>0$) é mantida a $0\text{ V}$. A placa da direita (plano $yz$, $y>0$) é mantida a $200\text{ V}$. As placas encontram-se isoladas no vértice compartilhado ao longo do eixo $z$. Determine a distribuição do potencial elétrico $\varphi (\varphi )$ entre as placas.

Resolução Passo a Passo:

1. Escolha das Coordenadas e Simetria: O problema possui simetria invariante em $\rho$ e $z$. O potencial varia exclusivamente com o ângulo azimutal $\varphi$. Em coordenadas cilíndricas, a Equação de Laplace é: ${\nabla }^2\varphi =\frac{1}{{\rho }^2}\frac{d^2\varphi }{d{\varphi }^2}=0$ Para $\rho \ne 0$: $\frac{d^2\varphi }{d{\varphi }^2}=0$

2. Integração: $\varphi (\varphi )=A\varphi +B$

3. Condições de Contorno:

   • Em $\varphi =0$ (placa no plano $xz$): $\varphi (0)=0⟹A(0)+B=0⟹\mathbf{B}=0$
   • Em $\varphi =\frac{\pi }{2}$ (placa no plano $yz$): $\varphi \left(\frac{\pi }{2}\right)=200⟹A\left(\frac{\pi }{2}\right)=200⟹A=\frac{200}{\pi /2}=\frac{400}{\pi }$

4. Distribuição do Potencial: $\boxed{\varphi (\varphi )=\frac{400}{\pi }\varphi }$ Alternativa Correta: B

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Questão 4 (Lista Oficial — Vetor de Polarização $\vec{P}$ em Carga Pontual)

Enunciado Oficial: Uma carga pontual de $q=2\text{ C}$ é posicionada no interior de um meio dielétrico linear e homogêneo com permissividade elétrica relativa ${\epsilon }_r=60$. Determine o módulo do campo de polarização $\vec{P}$ a uma distância radial $r$ da carga.

Resolução Passo a Passo:

1. Determinação do Deslocamento Elétrico $\vec{D}$: Pela Lei de Gauss em meios materiais, o deslocamento elétrico $\vec{D}$ em torno de uma carga pontual livre $q$ independe do dielétrico: $\vec{D}(r)=\frac{q}{4\pi r^2}{\hat{a}}_r$

2. Relação entre $\vec{P}$ e $\vec{D}$: Sabendo que $\vec{P}=\left(1-\frac{1}{{\epsilon }_r}\right)\vec{D}=\left(\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r}\right)\vec{D}$: Com ${\epsilon }_r=60$: $\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r}=\frac{60-1}{60}=\frac{59}{60}$

3. Substituição dos Dados: $P(r)=\frac{59}{60}D(r)=\frac{59}{60}\left(\frac{2}{4\pi r^2}\right)=\frac{59\times 2}{240\pi r^2}=\frac{59}{120\pi {\mathbf{r}}^2}$ Expressando na notação padrão de constantes do material com permissividade do vácuo: $\boxed{P(r)=\frac{59}{120\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\epsilon }_0=\frac{59}{120\pi r^2}}$ Alternativa Correta: B

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Questão 5 (Lista Oficial — Campo Elétrico no Eixo de um Anel por Gradiente)

Enunciado Oficial: Determine o valor do campo elétrico gerado por um anel carregado de raio $R=4\text{ m}$ em um ponto no seu eixo a uma altura $z=3\text{ m}$ do centro. Sabe-se que o potencial elétrico no eixo central vale $\varphi (z)=\frac{10^{10}}{\sqrt{z^2+16}}\text{ V}$.

Resolução Passo a Passo:

1. Aplicação do Gradiente: Por simetria axial no eixo $z$, as componentes transversais do campo cancelam-se: $E_x=E_y=0$. $E_z=-\frac{d\varphi }{dz}=-\frac{d}{dz}\left[10^{10}(z^2+16{)}^{-1/2}\right]$ $E_z=-10^{10}\left(-\frac{1}{2}\right)(z^2+16{)}^{-3/2}(2z)=\frac{10^{10}z}{(z^2+16{)}^{3/2}}$

2. Avaliação no ponto $z=3\text{ m}$: $z^2+16=3^2+16=9+16=25$ $(z^2+16{)}^{3/2}=(25{)}^{3/2}=(\sqrt{25}{)}^3=5^3=125$ Portanto: $\vec{E}=\frac{10^{10}\times 3}{125}{\hat{a}}_z=\frac{3\times 10^{10}}{125}{\hat{\mathbf{a}}}_{\mathbf{z}}\text{ V/m}=\frac{3\times 10^{10}}{{\sqrt{25}}^3}{\hat{\mathbf{a}}}_{\mathbf{z}}\text{ V/m}$ Alternativa Correta: B

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Questão 6 (Lista Oficial — Equação de Laplace entre Placas Paralelas)

Enunciado Oficial: Duas grandes placas metálicas planas paralelas encontram-se separadas por uma distância $d=1\text{ m}$ no ar. A placa em $x=0$ está conectada ao potencial zero ($\varphi =0\text{ V}$) e a placa em $x=1\text{ m}$ está ao potencial de $100\text{ V}$. Resolva a Equação de Laplace e determine a distribuição de potencial $\varphi (x)$.

Resolução Passo a Passo:

1. Equação Diferencial: $\frac{d^2\varphi }{d{x}^2}=0⟹\varphi (x)=Ax+B$
2. Condições de Contorno:
   • $\varphi (0)=0⟹B=0$.
   • $\varphi (1)=100⟹A(1)=100⟹A=100$.
3. Solução: $\boxed{\varphi (x)=100x}$ Alternativa Correta: C

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Questão 7 (Lista Oficial — Potencial no Centro de um Quadrado de Cargas)

Enunciado Oficial: Quatro cargas elétricas encontram-se fixas nos quatro vértices de um quadrado de lado $L=2\sqrt{2}\text{ m}$ no vácuo ($\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 9\times 10^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$). As cargas valem $q_1=2\text{ C}$, $q_2=4\text{ C}$, $q_3=4\text{ C}$ e $q_4=-2\text{ C}$. Determine o potencial elétrico resultante no centro do quadrado, adotando potencial zero no infinito.

Resolução Passo a Passo:

1. Distância dos Vértices ao Centro ($r_0$): A diagonal de um quadrado de lado $L$ é $D=L\sqrt{2}$. Com $L=2\sqrt{2}\text{ m}$: $D=(2\sqrt{2})\sqrt{2}=4\text{ m}$ O centro localiza-se na metade da diagonal: $r_0=\frac{D}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ m}$

2. Princípio da Superposição Escalar: $V_{\text{centro}}={\sum }_{i=1}^4\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_i}{r_0}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}(q_1+q_2+q_3+q_4)$ $q_{\text{total}}=2+4+4+(-2)=8\text{ C}$

3. Cálculo Numérico: $V_{\text{centro}}=\frac{9\times 10^9\times 8}{2}=9\times 10^9\times 4=36\times 10^9\text{ V}=3,6\times 10^{10}\text{ V}$ Alternativa Correta: B

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Questão 8 (Lista Oficial — Repulsão Eletrostática e Conservação da Energia)

Enunciado Oficial: Uma carga de $q_1=-5\text{ C}$ encontra-se fixa no vácuo. Uma segunda carga livre de $q_2=-10\text{ C}$ e massa $m=200\text{ g}=0,20\text{ kg}$ é posicionada a uma distância inicial $d=8\text{ m}$ da primeira. Abandonando-se a carga do repouso, determine a velocidade $v$ que ela atingirá no infinito após ser repelida pela primeira carga.

Resolução Passo a Passo:

1. Conservação da Energia Mecânica: Como a força de Coulomb é conservativa: $E_{\text{mec, inicial}}=E_{\text{mec, final}}$ $K_i+U_i=K_f+U_f$

   • No início: $v_i=0⟹K_i=0$.
   • No infinito: $r\to \infty ⟹U_f=0$. Portanto: $K_f=U_i⟹\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{d}$

2. Cálculo da Energia Potencial Inicial ($U_i$): $q_1{q}_2=(-5)(-10)=50{\text{ C}}^2$ $U_i=\frac{9\times 10^9\times 50}{8}=\frac{450\times 10^9}{8}=56,25\times 10^9\text{ J}$

3. Determinação da Velocidade Final: $\frac{1}{2}(0,20)v^2=56,25\times 10^9⟹0,10v^2=56,25\times 10^9$ $v^2=562,5\times 10^9=56,25\times 10^{10}$ $v=\sqrt{56,25\times 10^{10}}=7,5\times 10^5\text{ m/s}=75\times 10^4\text{ m/s}$ Alternativa Correta: B

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Questão 9 (Lista Oficial — Potencial do Dipolo Elétrico no Plano Equatorial)

Enunciado Oficial: Considere duas cargas elétricas de $+5\text{ C}$ e $-5\text{ C}$ que formam um dipolo no vácuo sobre o eixo $z$ nas posições $z=+2\text{ m}$ e $z=-2\text{ m}$, respectivamente. Calcule o potencial elétrico em um ponto $P$ sobre o eixo $y$ a uma distância de $4\text{ m}$ da origem ($0,4,0$).

Resolução Passo a Passo:

1. Distância das Cargas ao Ponto $P$:

   • Carga $+q$ em $(0,0,2)$: $r_{+}=\sqrt{(0-0{)}^2+(4-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\text{ m}$
   • Carga $-q$ em $(0,0,-2)$: $r_{-}=\sqrt{(0-0{)}^2+(4-0{)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\text{ m}$

2. Superposição dos Potenciais: $V(P)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{+q}{r_{+}}+\frac{-q}{r_{-}}\right)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{\sqrt{20}}-\frac{1}{\sqrt{20}}\right)=0\text{ V}$ Propriedade Geral: Todo o plano equatorial ($z=0$) de um dipolo elétrico simétrico constitui uma superfície equipotencial de potencial nulo. Alternativa Correta: E

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Questão 10 (Lista Oficial — Nuvem Cilíndrica e Equação de Poisson)

Enunciado Oficial: Uma nuvem de carga cilíndrica infinita de raio $R=1\text{ m}$ apresenta uma densidade volumétrica uniforme de cargas ${\rho }_v=2{\text{ C/m}}^3$. A nuvem está no ar ($\epsilon \approx {\epsilon }_0$). Determine a distribuição do potencial elétrico $\varphi (\rho )$ no interior da nuvem ($0\le \rho \le 1$), considerando que o potencial varia apenas com a distância radial ao eixo $\rho$, adotando como referência potencial nulo na casca externa ($\varphi (1)=0$).

Resolução Passo a Passo:

1. Equação de Poisson em Coordenadas Cilíndricas: $\frac{1}{\rho }\frac{d}{d\rho }\left(\rho \frac{d\varphi }{d\rho }\right)=-\frac{{\rho }_v}{{\epsilon }_0}$

2. Primeira Integração: Multiplicando por $\rho$: $\frac{d}{d\rho }\left(\rho \frac{d\varphi }{d\rho }\right)=-\frac{{\rho }_v}{{\epsilon }_0}\rho$ Integrando em relação a $\rho$: $\rho \frac{d\varphi }{d\rho }=-\frac{{\rho }_v}{{\epsilon }_0}\frac{{\rho }^2}{2}+C_1$ Dividindo por $\rho$: $\frac{d\varphi }{d\rho }=-\frac{{\rho }_v}{2{\epsilon }_0}\rho +\frac{C_1}{\rho }$

3. Condição de Regularidade no Eixo ($\rho =0$): O campo elétrico $E_{\rho }=-d\varphi /d\rho$ deve permanecer finito no centro $\rho =0$. Portanto, o termo logarítmico não pode divergir: ${\mathbf{C}}_1=0$

4. Segunda Integração: $\varphi (\rho )=-\frac{{\rho }_v}{2{\epsilon }_0}\int \rho d\rho +C_2=-\frac{{\rho }_v}{4{\epsilon }_0}{\rho }^2+C_2$

5. Aplicação da Condição de Contorno $\varphi (1)=0$: $\varphi (1)=-\frac{{\rho }_v}{4{\epsilon }_0}(1{)}^2+C_2=0⟹{\mathbf{C}}_2=\frac{{\rho }_{\mathbf{v}}}{4{\epsilon }_0}$ Substituindo ${\rho }_v=2{\text{ C/m}}^3$: $\frac{{\rho }_v}{4{\epsilon }_0}=\frac{2}{4{\epsilon }_0}=\frac{1}{2{\epsilon }_0}$ $\boxed{\varphi (\rho )=-\frac{1}{2{\epsilon }_0}{\rho }^2+\frac{1}{2{\epsilon }_0}=-\frac{1}{2{\epsilon }_0}({\rho }^2-1)}$ Alternativa Correta: D

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8. Resumo Estruturado & Fórmulas de Bolso

Relação / Grandeza	Expressão Matemática	Unidade (SI)	Aplicação e Significado Físico
Potencial Escalar	$\vec{E}=-\nabla V$	$\text{V/m}$	Campo conservativo derivado de função de ponto.
Energia Eletrostática	$W_e=\frac{1}{2}\iiint \epsilon E^{2}d\mathcal{V}$	$\text{J}$	Energia armazenada no volume do campo elétrico.
Vetor Deslocamento	$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}={\epsilon }_r{\epsilon }_0\vec{E}$	${\text{C/m}}^2$	Fluxo elétrico produzido por cargas livres.
Cargas Ligadas	${\rho }_{pv}=-\nabla \cdot \vec{P}$ ; ${\sigma }_{ps}=\vec{P}\cdot \hat{n}$	${\text{C/m}}^3$ ; ${\text{C/m}}^2$	Densidades acumuladas por polarização dielétrica.
Contorno Tangencial	$E_{1t}=E_{2t}⟺D_{1t}/{\epsilon }_1=D_{2t}/{\epsilon }_2$	$\text{V/m}$	Continuidade do campo elétrico tangencial.
Contorno Normal	$D_{1n}-D_{2n}={\sigma }_f$	${\text{C/m}}^2$	Salto na componente normal igual à carga livre.
Refração Dielétrica	$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}$	—	Desvio das linhas de campo na interface.
Equação de Poisson	${\nabla }^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{\epsilon }$	${\text{V/m}}^2$	EDP em regiões com densidade de carga livre.
Equação de Laplace	${\nabla }^{2}V=0$	${\text{V/m}}^2$	EDP em regiões livres de cargas volumétricas.
Laplaciano Cilíndrico	$\frac{1}{\rho }\frac{d}{d\rho }\left(\rho \frac{dV}{d\rho }\right)=0⟹V=A\ln \rho +B$	$\text{V}$	Solução 1D para cabos coaxiais.
Laplaciano Esférico	$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dV}{dr}\right)=0⟹V=-\frac{A}{r}+B$	$\text{V}$	Solução 1D para cascas esféricas concêntricas.

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9. Próximos Passos & Navegação

• ➡️ Próxima Aula: Aula 02 - Campo Magnético Estacionário, Potencial Vetor e Materiais Magnéticos
• 📚 MOC Central: 04 Eletromagnetismo