Aula 04: Magnetostática, Força Magnética de Lorentz, Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère

Visão Geral & Objetivos Pedagógicos

Esta aula aborda a fenomenologia e as leis fundamentais que regem os campos magnéticos gerados por correntes estacionárias (Magnetostática). Estudamos a ação dos campos sobre partículas carregadas em movimento livre (Força de Lorentz) e condutores confinados (Lei de Laplace e momento magnético de dipolo). Em seguida, formulamos os dois métodos de cálculo de campos: a Lei diferencial de Biot-Savart e a Lei integral de Ampère com alta simetria (fios longos, cabos coaxiais, solenoides e toroides). Por fim, analisamos a ausência de monopolos magnéticos ($\nabla \cdot \vec{B}=0$), o Potencial Vetor Magnético $\vec{A}$, o cálculo da autoindutância geométrica $L$ e a densidade de energia magnética $u_B$.

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1. Mapa Conceitual da Magnetostática

O diagrama abaixo sintetiza a conexão entre forças magnéticas, as formulações de campo (Biot-Savart e Ampère) e a teoria vetorial de potencial e indutância.

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2. A Força Magnética e a Equação de Lorentz

Diferentemente do campo eletrostático, que exerce força sobre qualquer carga elétrica estática ($F_e=qE$), o campo de indução magnética $\vec{B}$ (medido em Tesla, $\text{T}=\text{N}/(\text{A}\cdot \text{m})=\text{Wb}/{\text{m}}^2$) atua exclusivamente sobre cargas elétricas que possuam velocidade relativa $\vec{v}\ne 0$ em relação ao referencial do observador.

A força eletromagnética total que atua sobre uma partícula puntual de carga $q$ imersa simultaneamente em campos elétrico $\vec{E}$ e magnético $\vec{B}$ é governada pela Equação de Lorentz:

$\boxed{\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})}$

2.1 A Força Magnética Não Realiza Trabalho Mecânico

A parcela magnética da força é dada pelo produto vetorial:

${\vec{F}}_B=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Pelas propriedades do produto vetorial, ${\vec{F}}_B$ é rigorosamente perpendicular ao vetor velocidade instantânea $\vec{v}$ (${\vec{F}}_B\cdot \vec{v}=0$).

A potência mecânica instantânea transferida pelo campo magnético à partícula é:

$P={\vec{F}}_B\cdot \vec{v}=q(\vec{v}\times \vec{B})\cdot \vec{v}\equiv 0$

Como o trabalho mecânico infinitesimal é $dW=Pdt=0$, concluímos um dos postulados mais importantes da física clássica:

• A força magnética puramente estática jamais realiza trabalho sobre uma carga livre pontual.
• Ela não altera o módulo da velocidade (energia cinética constante: $\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=0$), alterando exclusivamente a direção e o sentido da trajetória da partícula carregada.

2.2 Movimento Ciclotrônico Helicoidal

Considere uma partícula de massa $m$ e carga $q$ lançada com velocidade $\vec{v}$ em uma região com campo magnético uniforme $\vec{B}$. Decompomos a velocidade em duas componentes ortogonais: $\vec{v}={\vec{v}}_{\parallel }+{\vec{v}}_{\perp }$, onde ${\vec{v}}_{\parallel }$ é paralela a $\vec{B}$ e ${\vec{v}}_{\perp }$ é perpendicular a $\vec{B}$.

1. Movimento Paralelo (${\vec{v}}_{\parallel }$): Como ${\vec{v}}_{\parallel }\times \vec{B}=0$, não há aceleração paralela ao campo. A partícula executa Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) com velocidade $v_{\parallel }$ constante ao longo das linhas de $\vec{B}$.
2. Movimento Perpendicular (${\vec{v}}_{\perp }$): A força magnética atua como força centrípeta pura: $F_B=|q|v_{\perp }B=m\frac{v_{\perp }^2}{R_c}$ Isolando o Raio Ciclotrônico (Raio de Larmor): $\boxed{R_c=\frac{m{v}_{\perp }}{|q|B}}$

A velocidade angular de giro (frequência ciclotrônica angular ${\omega }_c$) e o período orbital $T_c$ são:

$\boxed{{\omega }_c=\frac{v_{\perp }}{R_c}=\frac{|q|B}{m}}⟹T_c=\frac{2\pi }{{\omega }_c}=\frac{2\pi m}{|q|B}$

Note que o período $T_c$ é independente da velocidade e do raio, fundamento técnico que viabilizou a invenção do Ciclótron por Ernest Lawrence.

A composição dos dois movimentos resulta em uma trajetória helicoidal de passo $p$:

$p=v_{\parallel }{T}_c=v_{\parallel }\frac{2\pi m}{|q|B}$

2.3 Força Magnética em Condutores Confinados: Lei de Laplace

Considere um filamento condutor percorrido por uma corrente estacionária $I$. No interior de um elemento infinitesimal de comprimento $d\vec{l}$, existem $dN=nAdl$ portadores livres de carga $q$, cada um deslocando-se com velocidade média de deriva ${\vec{v}}_d$.

A força diferencial sobre todos os portadores nesse trecho é:

$d\vec{F}=dN[q({\vec{v}}_d\times \vec{B})]=(nAdl)q({\vec{v}}_d\times \vec{B})$

Como $\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$ e $Id\vec{l}=(JA)d\vec{l}=(nq{v}_{d}A)d\vec{l}$, podemos associar a direção da corrente ao elemento de linha orientado $d\vec{l}$:

$\boxed{d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}}$

Esta é a Lei de Laplace Elementar. Para um condutor rígido e retilíneo de comprimento finito $L$ imerso em um campo magnético uniforme $\vec{B}$:

$\vec{F}=I(\vec{L}\times \vec{B})⟹|\vec{F}|=ILB\sin \theta$

2.4 Torque Magnético e Momento de Dipolo em Espiras

Considere uma espira plana condutora de área $A$, percorrida por corrente $I$, imersa em um campo magnético uniforme $\vec{B}$. A força líquida total sobre a espira é nula ($\oint d\vec{F}=I\oint d\vec{l}\times \vec{B}=0$). Contudo, o conjugado de forças em ramos opostos gera um torque mecânico líquido $\vec{\tau }$.

Definindo o Vetor Momento Magnético Dipolar $\vec{m}$:

$\boxed{\vec{m}=NIA\hat{n}}$

Onde $N$ é o número de espiras e $\hat{n}$ é o vetor unitário normal à área orientado pela Regra da Mão Direita (dedos no sentido de $I$, polegar aponta para $\hat{n}$). O torque resultante e a energia potencial magnética associada são:

$\boxed{\vec{\tau }=\vec{m}\times \vec{B}}\text{e}\boxed{U_B=-\vec{m}\cdot \vec{B}}$

O torque tende sempre a girar a espira até alinhar seu momento dipolar $\vec{m}$ na mesma direção e sentido do campo externo $\vec{B}$ (estado de mínima energia potencial $U_{\min }=-mB$). Este é o princípio motor fundamental de todas as máquinas elétricas rotativas.

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3. A Lei de Biot-Savart e Fontes de Campo Magnético

Experimentalmente formulada por Jean-Baptiste Biot e Félix Savart (1820), esta lei expressa a contribuição infinitesimal $d\vec{B}$ ao campo magnético no ponto de observação $P$ devida a um elemento infinitesimal de corrente $Id{\vec{l}}^{\prime }$ situado no ponto fonte:

$\boxed{d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id{\vec{l}}^{\prime }\times \hat{r}}{r^2}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{d{\vec{l}}^{\prime }\times (\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime })}{|\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{|}^3}}$

Onde ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{T}\cdot \text{m/A}=4\pi \times 10^{-7}\text{H/m}$ é a permeabilidade magnética do vácuo.

3.1 Campo Magnético de um Fio Retilíneo Finito e Infinito

Considere um fio retilíneo sobre o eixo $z$ conduzindo corrente $I$ no sentido $+z$. Queremos determinar o campo $\vec{B}$ em um ponto $P$ situado a uma distância radial perpendicular $y$.

Seja $\theta$ o ângulo entre o elemento de corrente e a reta que une o elemento ao ponto $P$:

• $|d{\vec{l}}^{\prime }\times \hat{r}|=dz\sin \alpha =dz\cos \theta$.
• A distância é $r=\frac{y}{\cos \theta }$ e $z=y\tan \theta ⟹dz=y{\sec }^2\theta d\theta$.

Substituindo na Lei de Biot-Savart:

$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{y{\sec }^2\theta d\theta \cos \theta }{(y/\cos \theta {)}^2}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi y}\cos \theta d\theta$

Integrando entre dois ângulos genéricos ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$ que delimitam as extremidades do segmento de condutor:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi y}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\cos \theta d\theta =\boxed{\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi y}(\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1)}$

Para um fio retilíneo infinitamente longo ($z\to -\infty ⟹{\theta }_1=-\pi /2$ e $z\to +\infty ⟹{\theta }_2=+\pi /2$):

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi y}[1-(-1)]=\boxed{\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi y}}$

As linhas de campo formam círculos concêntricos ao redor do fio no plano ortogonal a ele, orientadas no sentido azimutal $\hat{\varphi }$ pela regra da mão direita: $\vec{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\hat{\varphi }$.

3.2 Força Magnética Entre Dois Condutores Paralelos

Considere dois condutores retilíneos longos e paralelos, separados por uma distância $d$, conduzindo correntes $I_1$ e $I_2$. O campo magnético produzido pelo condutor 1 na posição do condutor 2 é:

$B_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}$

Pela Lei de Laplace, a força magnética exercida sobre um comprimento $L$ do condutor 2 é:

$F_{12}=I_{2}L{B}_1=I_{2}L\left(\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}\right)$

A força magnética por unidade de comprimento é:

$\boxed{\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}}$

• Correntes no mesmo sentido: As linhas de campo se atraem ($\vec{F}$ atrativa).
• Correntes em sentidos opostos: As linhas de campo se comprimem ($\vec{F}$ repulsiva).

3.3 Campo Magnético no Eixo de uma Espira Circular

Para uma espira circular de raio $R$ no plano $xy$ centrada na origem conduzindo corrente $I$, queremos calcular o campo $\vec{B}$ em um ponto $P=(0,0,z)$ sobre seu eixo de simetria.

Para cada elemento $d{\vec{l}}^{\prime }$, a distância a $P$ é $r=\sqrt{R^2+z^2}$. O produto vetorial $d{\vec{l}}^{\prime }\times \hat{r}$ tem magnitude $d{l}^{\prime }$ pois $d{\vec{l}}^{\prime }\perp \hat{r}$. Por simetria azimutal, as componentes de $d\vec{B}$ perpendiculares ao eixo $z$ cancelam-se aos pares diametrais opostos. Resta apenas a componente axial:

$d{B}_z=dB\cos \varphi =dB\left(\frac{R}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)$

$B_z=\oint \frac{{\mu }_{0}Id{l}^{\prime }}{4\pi (R^2+z^2)}\frac{R}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{{\mu }_{0}IR}{4\pi (R^2+z^2{)}^{3/2}}(2\pi R)$

$\boxed{B_z(z)=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}}$

• No centro geométrico da espira ($z=0$): $B_{\text{centro}}=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$
• A grandes distâncias axiais ($z\gg R$): $B_z(z)\approx \frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2z^3}=\frac{{\mu }_0(I\pi R^2)}{2\pi z^3}=\frac{{\mu }_{0}m}{2\pi z^3}$ Mostrando que a espira se comporta exatamente como um dipolo magnético de momento $m=IA=I\pi R^2$.

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4. A Lei Circuital de Ampère e Simetrias Magnéticas

Assim como a Lei de Gauss simplifica o cálculo do campo elétrico sob simetrias especiais, a Lei Circuital de Ampère permite calcular $\vec{B}$ diretamente a partir da corrente envolvida por uma curva fechada orientada $C$ (anel amperiano):

$\boxed{{\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\text{envolvida}}={\mu }_0{\iint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}}$

Pelo Teorema de Stokes (${\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{l}={\iint }_S(\nabla \times \vec{B})\cdot d\vec{A}$), a forma diferencial correspondente para campos estacionários é:

$\boxed{\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}}$

4.1 Fio Condutor Cilíndrico Maciço

Considere um cilindro condutor longo de raio $R$, conduzindo corrente total $I$ distribuída uniformemente com densidade $J=\frac{I}{\pi R^2}$. Escolhemos um anel amperiano circular concêntrico de raio $r$:

${\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=B(r)(2\pi r)$

• Para $r<R$ (interior do fio): A corrente envolvida é $I_{\text{env}}=J(\pi r^2)=I\frac{r^2}{R^2}$. $B(r)2\pi r={\mu }_{0}I\frac{r^2}{R^2}⟹\boxed{B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R^2}r}$ O campo cresce linearmente com $r$ a partir de zero no centro.
• Para $r\ge R$ (exterior do fio): A corrente envolvida é a corrente total $I_{\text{env}}=I$. $B(r)2\pi r={\mu }_{0}I⟹\boxed{B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$

4.2 Cabo Coaxial: Princípio da Blindagem Magnética

Um cabo coaxial é formado por um condutor central de raio $R_1$ que conduz corrente $+I$ e uma malha cilíndrica externa de raio $R_2$ que conduz a corrente de retorno $-I$:

1. Região entre os condutores ($R_1<r<R_2$): $I_{\text{env}}=+I⟹B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$.
2. Região externa ($r>R_2$): $I_{\text{env}}=(+I)+(-I)=0⟹\boxed{B_{\text{externo}}=0}$ A corrente de retorno cancela perfeitamente o campo magnético externo. O cabo coaxial é naturalmente imune à irradiação de ruídos eletromagnéticos para o ambiente e não capta induções externas.

4.3 Solenoide Ideal Longo

Um solenoide ideal com $N$ espiras em um comprimento $L$ possui densidade linear de espiras $n=N/L$. No interior do solenoide, as linhas de campo são perfeitamente retilíneas, axiais e uniformes. No exterior, o campo é desprezível ($B_{\text{ext}}\approx 0$). Tomando um circuito retangular amperiano de comprimento $h$ com um lado dentro e outro fora:

$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=B_{\text{int}}h+0+0+0={\mu }_0{I}_{\text{env}}={\mu }_0(nhI)$

$\boxed{B={\mu }_{0}nI}$

4.4 Toroide Ideal de Seção Retangular

Um toroide consiste em um solenoide dobrado em forma de anel circular com raio interno $a$, raio externo $b$, altura $h$ e $N$ espiras totais. Pela simetria azimutal, traçamos um anel amperiano circular de raio $r$ concêntrico ao centro do anel:

• Para $r<a$ e $r>b$: A curva não abraça corrente líquida $⟹B=0$.
• No interior do núcleo ($a\le r\le b$): Cada espira cruza o plano uma vez, logo $I_{\text{env}}=NI$: $B(r)(2\pi r)={\mu }_{0}NI⟹\boxed{B(r)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}}$ O campo magnético no interior do toroide varia inversamente com a distância radial $r$.

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5. A Lei de Gauss da Magnetostática e o Potencial Vetor $\vec{A}$

Uma das assimetrias fundamentais da física clássica é a inexistência de cargas magnéticas isoladas (monopolos magnéticos). As linhas de indução magnética são trajetórias contínuas e sempre fechadas sobre si mesmas.

5.1 A Lei de Gauss Magnética

O fluxo magnético líquido ${\Phi }_B$ através de qualquer superfície fechada $S$ que delimita um volume $\mathcal{V}$ é rigorosamente nulo:

$\boxed{{\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{A}=0}$

Aplicando o Teorema da Divergência:

$\boxed{\nabla \cdot \vec{B}=0}$

Esta é a Segunda Equação de Maxwell.

5.2 O Potencial Vetor Magnético $\vec{A}$

Da análise vetorial, a divergência de qualquer rotacional é identicamente nula ($\nabla \cdot (\nabla \times \vec{V})\equiv 0$). Como $\nabla \cdot \vec{B}=0$, podemos expressar o campo magnético como o rotacional de um campo vetorial auxiliar denominado Potencial Vetor Magnético $\vec{A}$ ($\text{T}\cdot \text{m}$ ou $\text{Wb/m}$):

$\boxed{\vec{B}=\nabla \times \vec{A}}$

Substituindo na Lei de Ampère diferencial:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{A})={\mu }_0\vec{J}$

Usando a identidade vetorial $\nabla \times (\nabla \times \vec{A})=\nabla (\nabla \cdot \vec{A})-{\nabla }^2\vec{A}$ e adotando o Gauge de Coulomb ($\nabla \cdot \vec{A}=0$):

$\boxed{{\nabla }^2\vec{A}=-{\mu }_0\vec{J}}$

Esta equação é a versão vetorial da Equação de Poisson eletrostática (${\nabla }^{2}V=-{\rho }_v/{\epsilon }_0$). Para uma distribuição volumétrica de corrente no espaço livre, a solução é:

$\vec{A}(\vec{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\iiint \frac{\vec{J}({\vec{r}}^{\prime })}{|\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }|}d{\mathcal{V}}^{\prime }$

Pelo Teorema de Stokes, o fluxo magnético através de uma superfície aberta $S$ apoiada pelo contorno $C$ pode ser calculado diretamente pela circulação de linha do Potencial Vetor:

${\Phi }_B={\iint }_S\vec{B}\cdot d\vec{A}={\iint }_S(\nabla \times \vec{A})\cdot d\vec{A}=\boxed{{\oint }_C\vec{A}\cdot d\vec{l}}$

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6. Autoindutância Geométrica e Densidade de Energia Magnética

O fluxo de campo magnético total ${\Phi }_{\text{total}}=N{\Phi }_B$ enlaçado por um circuito conduzindo corrente $I$ é diretamente proporcional à própria corrente:

${\Phi }_{\text{total}}=LI⟹\boxed{L=\frac{N{\Phi }_B}{I}}$

Onde a constante de proporcionalidade geométrica $L$ é a Autoindutância, medida em Henry ($\text{H}=\text{Wb/A}=\text{V}\cdot \text{s/A}$).

6.1 Indutância de um Solenoide Ideal

Para um solenoide de comprimento $l$, área de seção transversal $A$ e $N$ espiras:

• Campo interno: $B={\mu }_0\frac{N}{l}I$.
• Fluxo em uma espira: ${\Phi }_B=BA={\mu }_0\frac{NA}{l}I$.
• Indutância: $L=\frac{N{\Phi }_B}{I}=\frac{N({\mu }_0\frac{NA}{l}I)}{I}=\boxed{{\mu }_0\frac{N^{2}A}{l}={\mu }_0{n}^{2}Al}$

6.2 Indutância de um Toroide de Seção Retangular

Para um toroide com raios $a$ e $b$, altura $h$ e $N$ espiras: O campo interno varia com $r$: $B(r)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$. O fluxo através da seção retangular de uma única espira ($dA=hdr$) é: ${\Phi }_B={\int }_a^{b}B(r)hdr={\int }_a^b\left(\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\right)hdr=\frac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \left(\frac{b}{a}\right)$ Multiplicando por $N$ e dividindo por $I$: $\boxed{L_{\text{toroide}}=\frac{{\mu }_0{N}^{2}h}{2\pi }\ln \left(\frac{b}{a}\right)}$

6.3 Energia e Densidade de Energia Magnética

O trabalho total necessário para estabelecer uma corrente final $I$ em um indutor $L$ contra a fem autoinduzida é armazenado no campo magnético:

$\boxed{U_B=\frac{1}{2}L{I}^2}$

Substituindo a expressão do solenoide ($L={\mu }_0{n}^{2}Al$ e $I=\frac{B}{{\mu }_{0}n}$):

$U_B=\frac{1}{2}({\mu }_0{n}^{2}Al){\left(\frac{B}{{\mu }_{0}n}\right)}^2=\frac{B^2}{2{\mu }_0}(Al)$

Como $Al=\mathcal{V}$ é o volume interior do solenoide onde o campo reside, a Densidade Volumétrica de Energia Magnética $u_B$ (${\text{J/m}}^3$) é:

$\boxed{u_B=\frac{B^2}{2{\mu }_0}=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot \vec{H}}$

Para qualquer volume arbitrário $\mathcal{V}$ no espaço:

$U_B={\iiint }_{\mathcal{V}}\frac{B^2}{2{\mu }_0}d\mathcal{V}$

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7. Exercícios Oficiais Resolvidos Passo a Passo

Questão 1 (Mão na Massa Oficial — Partícula Cósmica e Força de Lorentz)

Enunciado dos Cadernos Oficiais: Uma partícula cósmica de carga $q=-5,0\mu \text{C}$ e velocidade $\vec{v}=(800\hat{k})\text{ km/s}$ adentra a magnetosfera terrestre em uma região onde o campo magnético local pode ser expresso por $\vec{B}=(50\hat{j})\mu \text{T}$, em um sistema cartesiano ortonormal $(\hat{i},\hat{j},\hat{k})$.

1. Determine a força magnética vetorial ${\vec{F}}_B$ que atua sobre a partícula no instante em que ela ingressa nesse campo.
2. Calcule a aceleração instantânea se a massa da partícula for $m=2,0\times 10^{-14}\text{ kg}$.
3. Descreva a forma geométrica da trajetória resultante e calcule o raio ciclotrônico $R_c$.

Resolução Passo a Passo:

1. Cálculo da Força Magnética: Dados convertidos para o SI:

   • $q=-5,0\times 10^{-6}\text{ C}$
   • $\vec{v}=8,0\times 10^5\hat{k}\text{ m/s}$
   • $\vec{B}=5,0\times 10^{-5}\hat{j}\text{ T}$

   Pela Força de Lorentz: $\vec{v}\times \vec{B}=(8,0\times 10^5\hat{k})\times (5,0\times 10^{-5}\hat{j})=40(\hat{k}\times \hat{j})$ Lembrando a álgebra dos vetores unitários: $\hat{k}\times \hat{j}=-\hat{i}$. $\vec{v}\times \vec{B}=-40\hat{i}\text{ N/C}$

   Multiplicando pela carga $q=-5,0\times 10^{-6}\text{ C}$: ${\vec{F}}_B=q(\vec{v}\times \vec{B})=(-5,0\times 10^{-6})(-40\hat{i})=+2,0\times 10^{-4}\hat{\mathbf{i}}\text{ N}=0,0002\hat{\mathbf{i}}\text{ N}$ A força atua no sentido positivo do eixo $x$.

2. Cálculo da Aceleração: $\vec{a}=\frac{{\vec{F}}_B}{m}=\frac{2,0\times 10^{-4}\hat{i}}{2,0\times 10^{-14}}=1,0\times 10^{10}\hat{\mathbf{i}}{\text{ m/s}}^2$

3. Trajetória e Raio Ciclotrônico: Como a velocidade $\vec{v}$ (no eixo $z$) é rigorosamente perpendicular ao campo $\vec{B}$ (no eixo $y$), e não há componente de velocidade paralela a $\vec{B}$ ($v_{\parallel }=0$), a partícula não descreve hélice, mas um círculo perfeito no plano $xz$. O raio ciclotrônico é: $R_c=\frac{mv}{|q|B}=\frac{(2,0\times 10^{-14})(8,0\times 10^5)}{(5,0\times 10^{-6})(5,0\times 10^{-5})}=\frac{1,6\times 10^{-8}}{2,5\times 10^{-10}}=64\text{ metros}$

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Questão 2 (Mão na Massa Oficial — Autoindutância do Toroide Retangular)

Enunciado dos Cadernos Oficiais: Um toroide ideal com núcleo de ar (${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{ H/m}$) possui $N=1000$ espiras justapostas. Sua seção transversal é retangular, delimitada por um raio interno $a=5,0\text{ cm}$, raio externo $b=10,0\text{ cm}$ e altura $h=2,0\text{ cm}$.

1. Demonstre a fórmula da autoindutância $L$ do toroide a partir da Lei de Ampère e do fluxo magnético.
2. Calcule o valor numérico de $L$.
3. Se o toroide for percorrido por uma corrente $I=3,0\text{ A}$, determine a energia magnética total $U_B$ armazenada em seu núcleo.

Resolução Passo a Passo:

1. Dedução de $L$: Pela Lei de Ampère, para $a\le r\le b$: $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=B(r)2\pi r={\mu }_{0}NI⟹B(r)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$ O fluxo através da área retangular de uma espira ($dA=hdr$) é: ${\Phi }_B={\int }_a^{b}B(r)hdr={\int }_a^b\frac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\frac{dr}{r}=\frac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \left(\frac{b}{a}\right)$ A indutância é o fluxo total dividido pela corrente $I$: $L=\frac{N{\Phi }_B}{I}=\frac{{\mu }_0{N}^{2}h}{2\pi }\ln \left(\frac{b}{a}\right)$

2. Cálculo Numérico de $L$:

   • $N=1000⟹N^2=10^6$
   • $h=0,02\text{ m}$
   • $b/a=10/5=2⟹\ln (2)\approx 0,69315$
   • $\frac{{\mu }_0}{2\pi }=\frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi }=2,0\times 10^{-7}\text{ H/m}$

   $L=(2,0\times 10^{-7})\times (10^6)\times (0,02)\times (0,69315)=2,0\times 10^{-1}\times 0,013863$ $L\approx 2,77\times 10^{-3}\text{ H}=2,77\text{ mH}$

3. Cálculo da Energia Magnética: $U_B=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}(2,773\times 10^{-3})(3,0{)}^2=\frac{1}{2}(2,773\times 10^{-3})(9)\approx 1,25\times 10^{-2}\text{ J}=12,5\text{ mJ}$

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Questão 3 (Concurso Público — Marinha do Brasil / Corpo de Engenheiros CP-CEM)

Enunciado: Um cabo coaxial longo conduz uma corrente contínua $I$ pelo condutor interno cilíndrico de raio $a$, e a corrente retorna pelo condutor tubular externo de parede delgada e raio $b$ ($b>a$). Calcule a indutância interna por unidade de comprimento correspondente à energia magnética armazenada no interior do próprio condutor cilíndrico interno ($r\le a$), supondo densidade de corrente uniforme e permeabilidade ${\mu }_0$.

Resolução Passo a Passo:

1. Campo Magnético Interno ($r\le a$): Pela Lei de Ampère, a corrente envolvida a um raio $r$ é: $I_{\text{env}}(r)=I\frac{\pi r^2}{\pi a^2}=I\frac{r^2}{a^2}$ Portanto: $B(r)2\pi r={\mu }_{0}I\frac{r^2}{a^2}⟹B(r)=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$

2. Densidade de Energia Magnética Interna: $u_B(r)=\frac{B(r{)}^2}{2{\mu }_0}=\frac{1}{2{\mu }_0}{\left(\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}\right)}^2=\frac{{\mu }_0{I}^2{r}^2}{8{\pi }^2{a}^4}$

3. Energia por Unidade de Comprimento ($l=1\text{ m}$): Integrando no volume cilíndrico de raio $a$ com elemento de volume $d\mathcal{V}=2\pi rdr$: $\frac{U_{B,\text{int}}}{l}={\int }_0^a{u}_B(r)2\pi rdr={\int }_0^a\left(\frac{{\mu }_0{I}^2{r}^2}{8{\pi }^2{a}^4}\right)2\pi rdr=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi a^4}{\int }_0^a{r}^{3}dr$ $\frac{U_{B,\text{int}}}{l}=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi a^4}\left[\frac{a^4}{4}\right]=\frac{{\mu }_0{I}^2}{16\pi }$

4. Determinação da Indutância Interna ($L_{\text{int}}^{\prime }$): Igualando à expressão da energia indutiva $\frac{U_B}{l}=\frac{1}{2}{L}_{\text{int}}^{\prime }{I}^2$: $\frac{1}{2}{L}_{\text{int}}^{\prime }{I}^2=\frac{{\mu }_0{I}^2}{16\pi }⟹\boxed{L_{\text{int}}^{\prime }=\frac{{\mu }_0}{8\pi }\approx 0,05\mu \text{H/m}}$ Resultado notável: A indutância interna por metro de qualquer condutor cilíndrico com corrente uniforme no vácuo independe completamente de seu raio $a$!

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8. Resumo Estruturado & Fórmulas de Bolso

Fenômeno / Relação	Equação Matemática	Unidade (SI)	Descrição Física / Aplicação
Força de Lorentz	$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$	$\text{N}$	Força total sobre partícula carregada em movimento.
Raio Ciclotrônico	$R_c=\frac{m{v}_{\perp }}{\Vert q\Vert B}$	$\text{m}$	Raio de curvatura da órbita em campo magnético.
Lei de Laplace	$d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}$	$\text{N}$	Força sobre elemento de fio condutor.
Torque em Espira	$\vec{\tau }=\vec{m}\times \vec{B}(\vec{m}=NI\vec{A})$	$\text{N}\cdot \text{m}$	Conjugado que alinha dipolos em motores elétricos.
Lei de Biot-Savart	$d\vec{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$	$\text{T}$	Campo infinitesimal gerado por segmento de corrente.
Fio Retilíneo Longo	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$	$\text{T}$	Linhas concêntricas ao redor do condutor retilíneo.
Lei de Ampère (Integral)	${\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\text{env}}$	$\text{T}\cdot \text{m}$	Circulação magnética e corrente envolvida.
Lei de Ampère (Diferencial)	$\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$	$\text{T/m}$	Rotacional do campo magnético estacionário.
Solenoide Ideal	$B={\mu }_{0}nI$	$\text{T}$	Campo uniforme confinado no núcleo interno.
Lei de Gauss Magnética	$\nabla \cdot \vec{B}=0⟺{\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$	—	Inexistência física de monopolos magnéticos.
Potencial Vetor	$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}$	$\text{Wb/m}$	Campo vetorial auxiliar em gauge de Coulomb.
Densidade de Energia	$u_B=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$	${\text{J/m}}^3$	Energia armazenada por unidade de volume no campo.

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9. Próximos Passos & Navegação

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• 📚 MOC Central: 01 Eletricidade e Magnetismo