Aula 02 - Modelagem no Domínio da Frequência - Laplace, Função de Transferência e Sistemas Eletromecânicos

🎛️ 02 - Modelagem no Domínio da Frequência: Transformada de Laplace, Função de Transferência e Sistemas Eletromecânicos

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Dominar a Transformada de Laplace e suas Propriedades Operacionais: Converter Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Invariantes no Tempo (SLIT) em equações algébricas no plano complexo $s=\sigma +j\omega$, aplicando com rigor a propriedade da diferenciação e os Teoremas do Valor Inicial (TVI) e do Valor Final (TVF).
2. Dominar a Expansão em Frações Parciais (Método dos Resíduos de Heaviside): Obter a resposta analítica no tempo $y(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{Y(s)\}$ para polinômios com polos reais simples, polos reais repetidos e polos complexos conjugados.
3. Definir Função de Transferência e Mapear Polos e Zeros: Compreender $G(s)=Y(s)/U(s)$ sob condições iniciais estritamente nulas, relacionando a posição geométrica dos polos (raízes do denominador) e dos zeros (raízes do numerador) no plano-$s$ à estabilidade BIBO e aos modos naturais de resposta transitória.
4. Modelar Circuitos Elétricos Passivos e com Amplificadores Operacionais: Utilizar o conceito de impedâncias operacionais complexas ($Z_R=R$, $Z_L=sL$, $Z_C=\frac{1}{sC}$) para deduzir funções de transferência de filtros ativos e passivos diretamente por divisores de tensão e leis nodais.
5. Modelar o Motor de Corrente Contínua Controlado por Armadura: Formular as equações diferenciais acopladas da malha elétrica da armadura e da mecânica rotacional do rotor/carga, deduzindo analiticamente as funções de transferência de velocidade angular $\frac{\Omega (s)}{V_a(s)}$ e de posição angular $\frac{\Theta (s)}{V_a(s)}$, explicitando a realimentação intrínseca da Força Contra-Eletromotriz (FCEM).
6. Mapear Analogias Eletromecânicas: Converter impedâncias mecânicas em circuitos elétricos análogos em série (Força-Tensão de Maxwell) e em paralelo (Força-Corrente de Firestone).

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📌 Sumário do MOC

1. 1. A Transformada de Laplace e a Álgebra no Domínio da Frequência Complexa
   • 1.1 Definição Unilateral e a Variável Complexa s
   • 1.2 Propriedades Operacionais Fundamentais: Derivação e Integração
   • 1.3 Teoremas do Valor Inicial (TVI) e do Valor Final (TVF)
2. 2. Inversão de Laplace por Expansão em Frações Parciais (Método de Heaviside)
   • 2.1 Caso 1: Polos Reais e Distintos
   • 2.2 Caso 2: Polos Reais Múltiplos (Repetidos)
   • 2.3 Caso 3: Polos Complexos Conjugados
3. 3. A Função de Transferência G(s): Polos, Zeros e Estabilidade BIBO
   • 3.1 Definição Formal e Restrição de Condições Iniciais Nulas
   • 3.2 Geometria dos Polos e Zeros no Plano-s e Modos Naturais
4. 4. Modelagem de Redes Elétricas no Domínio s: Impedâncias Operacionais
   • 4.1 Impedâncias Elementares no Domínio s
   • 4.2 Circuitos RL, RC e RLC por Divisor de Tensão
   • 4.3 Filtros Ativos com Amplificadores Operacionais Ideais
5. 5. Modelagem Eletromecânica: O Motor de Corrente Contínua (Motor CC)
   • 5.1 Acoplamento das Equações Elétrica e Mecânica
   • 5.2 Dedução das Funções de Transferência de Velocidade e Posição
   • 5.3 O Diagrama de Blocos Canônico do Motor CC
6. 6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 02 e Concursos)
7. 7. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 02 Comentadas)
   • Bloco 1: Transformada de Laplace, Polos e Zeros
   • Bloco 2: Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
   • Bloco 3: Sistemas Eletromecânicos e Analogias Físicas

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1. A Transformada de Laplace e a Álgebra no Domínio da Frequência Complexa

A análise dinâmica de sistemas físicos por meio de equações diferenciais no domínio do tempo pode se tornar extremamente laboriosa quando a ordem do sistema cresce ou quando sinais não senoidais (degraus, impulsos, rampas) excitam a planta. A Transformada de Laplace atua como uma ponte matemática que converte operações de derivação e integração em operações algébricas simples de multiplicação e divisão.

1.1 Definição Unilateral e a Variável Complexa s

Para sistemas causais (onde as variáveis dinâmicas são nulas para $t<0$), aplica-se a Transformada de Laplace Unilateral:

$\boxed{F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}={\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$

Onde $s$ é a frequência complexa de Laplace, composta por uma parte real $\sigma$ (amortecimento / atenuação) e uma parte imaginária $\omega$ (frequência angular de oscilação): $\boxed{s=\sigma +j\omega }$

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1.2 Propriedades Operacionais Fundamentais: Derivação e Integração

As propriedades operacionais de Laplace eliminam a necessidade de resolver integrais de convolução no tempo para calcular a resposta de EDOs:

1. Propriedade da Diferenciação no Tempo (Primeira Derivada): $\boxed{\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\}=sF(s)-f(0^{-})}$
2. Propriedade da Segunda Derivada: $\boxed{\mathcal{L}\left\{\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}\right\}=s^{2}F(s)-sf(0^{-})-\dot{f}(0^{-})}$
3. Propriedade da Derivada de Ordem $n$: $\mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}\right\}=s^{n}F(s)-{\sum }_{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0^{-})$
4. Propriedade da Integração no Tempo: $\boxed{\mathcal{L}\left\{{\int }_0^{t}f(\tau )d\tau \right\}=\frac{F(s)}{s}}$

A Mágica do Operador $s$

Sob condições iniciais estritamente nulas ($f(0)=0,\dot{f}(0)=0$), o operador de diferenciação temporal $\frac{d}{dt}$ equivale simplesmente à multiplicação algébrica por $s$, e a integração $\int dt$ equivale à divisão algébrica por $s$!

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1.3 Teoremas do Valor Inicial (TVI) e do Valor Final (TVF)

Estes teoremas permitem inspecionar as condições de contorno da resposta no tempo diretamente a partir da expressão algébrica $F(s)$, sem necessidade de calcular a transformada inversa ${\mathcal{L}}^{-1}$:

1. Teorema do Valor Inicial (TVI): Revela o comportamento instantâneo no instante imediatamente posterior à excitação ($t\to 0^{+}$): $\boxed{f(0^{+})=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)}$ (Válido se $sF(s)$ for uma função estritamente própria).

2. Teorema do Valor Final (TVF): Determina o valor de regime permanente da resposta após o decaimento de todos os transitórios ($t\to \infty$): $\boxed{f(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)}$

Condição Obrigatória de Aplicação do TVF

O Teorema do Valor Final SÓ É VÁLIDO se o sistema for estável, isto é, se todos os polos de $sF(s)$ residirem estritamente no semiplano esquerdo do plano complexo (com exceção de no máximo um polo simples em $s=0$). Se $F(s)$ contiver polos no semiplano direito (instabilidade) ou sobre o eixo imaginário $\pm j\omega$ (oscilação pura como $\sin (\omega t)$), o limite no tempo não converge e o TVF gerará um resultado matematicamente espúrio!

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2. Inversão de Laplace por Expansão em Frações Parciais (Método de Heaviside)

Para recuperar a função no tempo $y(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{Y(s)\}$, decompõe-se uma razão de polinômios estritamente própria $Y(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$ (grau de $N<$ grau de $D$) em uma soma linear de termos elementares conhecidos das tabelas de transformadas.

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2.1 Caso 1: Polos Reais e Distintos

Se o polinômio denominador $D(s)$ possui $n$ raízes reais e diferentes entre si ($p_1,p_2,\dots ,p_n$): $Y(s)=\frac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)}=\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{C_n}{s-p_n}$

Os coeficientes $C_k$ (denominados Resíduos de Heaviside) são calculados isolando-se a respectiva raiz: $\boxed{C_k=\underset{s\to p_k}{\lim }\left[(s-p_k)Y(s)\right]}$

Aplicando a transformada inversa termo a termo: $\boxed{y(t)=\sum _{k=1}^n{C}_k{e}^{p_{k}t}u(t)}$

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2.2 Caso 2: Polos Reais Múltiplos (Repetidos)

Se uma raiz real $p_1$ possui multiplicidade algébrica $m$ ($D(s)=(s-p_1{)}^{m}Q(s)$): $Y(s)=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{(s-p_1{)}^2}+\cdots +\frac{K_m}{(s-p_1{)}^m}+\dots$

O resíduo de ordem mais alta $K_m$ e os resíduos decrescentes $K_j$ são calculados por diferenciação sucessiva: $\boxed{K_j=\frac{1}{(m-j)!}\underset{s\to p_1}{\lim }\left\{\frac{d^{m-j}}{d{s}^{m-j}}\left[(s-p_1{)}^{m}Y(s)\right]\right\}}$

Lembrando que ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-p{)}^j}\right\}=\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}{e}^{pt}u(t)$, a repetição de polos faz surgir fatores do tipo $t^k{e}^{pt}$, que caracterizam regimes criticamente amortecidos.

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2.3 Caso 3: Polos Complexos Conjugados

Polos complexos surgem aos pares: $p_{1,2}=-\sigma \pm j{\omega }_d$. A expansão adota a forma quadrática correspondente a senos e cossenos amortecidos: $\frac{As+B}{(s+\sigma {)}^2+{\omega }_d^2}=A\frac{s+\sigma }{(s+\sigma {)}^2+{\omega }_d^2}+\frac{B-A\sigma }{{\omega }_d}\frac{{\omega }_d}{(s+\sigma {)}^2+{\omega }_d^2}$

A transformada inversa resulta imediatamente na resposta subamortecida típica: $\boxed{y(t)=e^{-\sigma t}\left[A\cos ({\omega }_{d}t)+\frac{B-A\sigma }{{\omega }_d}\sin ({\omega }_{d}t)\right]u(t)}$

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3. A Função de Transferência G(s): Polos, Zeros e Estabilidade BIBO

3.1 Definição Formal e Restrição de Condições Iniciais Nulas

A Função de Transferência de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é definida como a razão entre a Transformada de Laplace da variável de saída $Y(s)$ e a Transformada de Laplace da variável de entrada $U(s)$, admitindo-se que todas as condições iniciais sejam rigorosamente nulas:

$\boxed{G(s)={\frac{Y(s)}{U(s)}|}_{\text{condic¸o˜es iniciais}=0}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}}$

Propriedades fundamentais da Função de Transferência:

1. É uma representação puramente matemática da dinâmica intrínseca da planta, independente da amplitude ou formato do sinal de entrada $u(t)$.
2. Relaciona diretamente entrada e saída no domínio da frequência: $Y(s)=G(s)\cdot U(s)$.
3. Um sistema físico real é dito estritamente próprio se o grau do denominador for estritamente maior que o grau do numerador ($n>m$), e próprio se $n=m$. Sistemas impróprios ($m>n$) exigem diferenciadores puros e não são fisicamente realizáveis de forma exata.

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3.2 Geometria dos Polos e Zeros no Plano-s e Modos Naturais

Fatorando os polinômios do numerador $N(s)$ e do denominador $D(s)$ em suas raízes:

$G(s)=K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)}$

• Zeros ($z_i$): São as raízes de $N(s)=0$. Representam as frequências complexas de transmissão nula: se a entrada contiver $e^{z_{i}t}$, a saída será completamente bloqueada ($G(z_i)=0$). São plotados no plano complexo como círculos ($\circ$).
• Polos ($p_i$): São as raízes da Equação Característica $D(s)=0$. Representam os modos naturais intrínsecos de oscilação e amortecimento do sistema. São plotados no plano complexo como cruzes ($\times$).

Teorema da Estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output)

Um sistema linear invariante no tempo é estável no sentido BIBO (qualquer entrada limitada produz saída limitada) se e somente se TODOS os seus polos de malha fechada possuírem parte real estritamente negativa: $\boxed{\text{Re}\{p_i\}<0\forall i\in \{1,2,\dots ,n\}}$

• Semiplano Esquerdo (SPE / $\sigma <0$): Modos do tipo $e^{-\sigma t}$ $\to$ Estável (transitório decai para zero).
• Eixo Imaginário ($j\omega$ / $\sigma =0$): Polos simples geram oscilações sustentadas $\to$ Marginalmente Estável. Polos repetidos geram termos $t\sin (\omega t)$ $\to$ Instável.
• Semiplano Direito (SPD / $\sigma >0$): Modos do tipo $e^{+\sigma t}$ $\to$ Instável (sinal diverge exponencialmente ao infinito).

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4. Modelagem de Redes Elétricas no Domínio s: Impedâncias Operacionais

A modelagem de circuitos no domínio de Laplace evita a manipulação de equações íntegro-diferenciais no tempo. Substituem-se resistores, indutores e capacitores por suas impedâncias operacionais complexas $Z(s)$, permitindo aplicar as mesmas leis algébricas de circuitos de corrente contínua (Divisor de Tensão, LKT, LKC e Método dos Nós).

4.1 Impedâncias Elementares no Domínio s

Elemento Passivo	Equação no Tempo ($t$)	Transformada de Laplace	Impedância Operacional $Z(s)$	Admitância $Y(s)=1/Z(s)$
Resistor ($R$)	$v_R(t)=R\cdot i(t)$	$V_R(s)=R\cdot I(s)$	$\boxed{Z_R(s)=R}$	$G=\frac{1}{R}$
Indutor ($L$)	$v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$	$V_L(s)=sL\cdot I(s)-Li(0^{-})$	$\boxed{Z_L(s)=sL}$	$\frac{1}{sL}$
Capacitor ($C$)	$v_C(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt$	$V_C(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{v_C(0^{-})}{s}$	$\boxed{Z_C(s)=\frac{1}{sC}}$	$sC$

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4.2 Circuitos RL, RC e RLC por Divisor de Tensão

Para circuitos em série excitados por uma tensão de entrada $V_{\text{in}}(s)$, a tensão sobre uma impedância de saída genérica $Z_2(s)$ em série com $Z_1(s)$ calcula-se imediatamente pela regra do divisor de tensão:

$\boxed{G(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)+Z_2(s)}}$

1. Circuito RL com Saída no Indutor (Filtro Passa-Altas de 1ª Ordem): $Z_1=R,Z_2=sL⟹G(s)=\frac{sL}{R+sL}=\boxed{\frac{s}{s+\frac{R}{L}}}$
   • Zero em $s=0$ (bloqueia CC); Polo em $s=-R/L$.
2. Circuito RC com Saída no Capacitor (Filtro Passa-Baixas de 1ª Ordem): $Z_1=R,Z_2=\frac{1}{sC}⟹G(s)=\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}=\boxed{\frac{1}{RCs+1}=\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}}$
   • Polo real em $s=-1/(RC)$; Ganho DC em $s=0$ igual a 1 ($0\text{ dB}$).
3. Circuito RLC Série com Saída no Capacitor (Filtro Passa-Baixas de 2ª Ordem): $Z_{\text{total}}=sL+R+\frac{1}{sC}⟹G(s)=\frac{\frac{1}{sC}}{sL+R+\frac{1}{sC}}=\boxed{\frac{1}{LC{s}^2+RCs+1}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}}$

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4.3 Filtros Ativos com Amplificadores Operacionais Ideais

Empregando amplificadores operacionais (Amp-Ops) com ganho de malha aberta infinito ($A_{OL}\to \infty$) e correntes de entrada nulas nas portas inversora e não inversora ($i^{+}=i^{-}=0⟹v^{+}=v^{-}$ pelo curto-circuito virtual):

1. Configuração Inversora Genérica: Uma impedância de entrada $Z_1(s)$ e uma impedância de realimentação $Z_2(s)$: $\boxed{G(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}}$
2. Integrador Ativo Ideal: $Z_1=R$, $Z_2=\frac{1}{sC}⟹G(s)=-\frac{1}{RCs}$.
3. Filtro Passa-Baixas Ativo (Circuito Miller / Lead-Lag): Realimentação com resistor $R_2$ em paralelo com capacitor $C$ ($Z_2=\frac{R_2}{R_{2}Cs+1}$): $\boxed{G(s)=-\frac{R_2/R_1}{R_{2}Cs+1}}$

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5. Modelagem Eletromecânica: O Motor de Corrente Contínua (Motor CC)

O Motor de Corrente Contínua controlado por armadura é o atuador eletromecânico mais ubíquo da indústria e da robótica, constituindo o exemplo canônico perfeito de sistema com acoplamento bidirecional elétrico-mecânico.

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5.1 Acoplamento das Equações Elétrica e Mecânica

O sistema é formado por duas partes físicas integradas:

1. Malha Elétrica da Armadura (Circuito Série): Alimentada pela tensão de controle $v_a(t)$, contendo resistência de armadura $R_a$, indutância de dispersão $L_a$ e a Força Contra-Eletromotriz induzida $e_b(t)$ gerada pelo movimento do rotor no campo magnético: $v_a(t)-e_b(t)=R_a{i}_a(t)+L_a\frac{d{i}_a(t)}{dt}$ No domínio de Laplace: $\boxed{V_a(s)-E_b(s)=(R_a+s{L}_a)I_a(s)}$

2. Equação Eletromecânica da FCEM ($E_b$): Pela Lei de Faraday, a tensão induzida é rigorosamente proporcional à velocidade angular do eixo ${\omega }_m(t)=\dot{\theta }(t)$: $\boxed{e_b(t)=K_b\cdot {\omega }_m(t)=K_b\frac{d\theta (t)}{dt}⟹E_b(s)=K_b\Omega (s)=K_{b}s\Theta (s)}$ Onde $K_b$ é a constante de força contra-eletromotriz ($\text{V}\cdot \text{s/rad}$).

3. Equação do Conjugado Eletromagnético ($T_m$): Pela Lei de Lorentz-Biot-Savart, o torque motriz gerado no rotor é diretamente proporcional à corrente de armadura $i_a(t)$: $\boxed{T_m(t)=K_t\cdot i_a(t)⟹T_m(s)=K_t{I}_a(s)}$ Onde $K_t$ é a constante de torque ($\text{N}\cdot \text{m/A}$). (No Sistema Internacional SI, $K_t\equiv K_b$).

4. Malha Mecânica Rotacional do Rotor e Carga: O torque motriz $T_m(t)$ acelera o momento de inércia equivalente acoplado ao eixo $J$, vencendo o atrito viscoso dos mancais $b$: $T_m(t)=J\frac{d{\omega }_m(t)}{dt}+b{\omega }_m(t)=J\frac{d^2\theta (t)}{d{t}^2}+b\frac{d\theta (t)}{dt}$ No domínio de Laplace: $\boxed{T_m(s)=(Js+b)\Omega (s)=(J{s}^2+bs)\Theta (s)}$

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5.2 Dedução das Funções de Transferência de Velocidade e Posição

Isolando a corrente de armadura na equação elétrica e substituindo $E_b(s)=K_b\Omega (s)$: $I_a(s)=\frac{V_a(s)-K_b\Omega (s)}{L_{a}s+R_a}$

Substituindo $I_a(s)$ na equação mecânica: $(Js+b)\Omega (s)=K_t\left[\frac{V_a(s)-K_b\Omega (s)}{L_{a}s+R_a}\right]$

Multiplicando ambos os lados por $(L_{a}s+R_a)$ e agrupando os termos em $\Omega (s)$: $(L_{a}s+R_a)(Js+b)\Omega (s)+K_t{K}_b\Omega (s)=K_t{V}_a(s)$

$\left[(L_{a}s+R_a)(Js+b)+K_t{K}_b\right]\Omega (s)=K_t{V}_a(s)$

Isolando a razão $\frac{\Omega (s)}{V_a(s)}$, obtém-se a Função de Transferência de Velocidade Angular do Motor CC:

$\boxed{G_{\omega }(s)=\frac{\Omega (s)}{V_a(s)}=\frac{K_t}{(L_{a}s+R_a)(Js+b)+K_t{K}_b}=\frac{K_t}{L_{a}J{s}^2+(R_{a}J+L_{a}b)s+(R_{a}b+K_t{K}_b)}}$

Como a posição angular $\Theta (s)$ é a integral da velocidade ($\Theta (s)=\frac{\Omega (s)}{s}$), a Função de Transferência de Posição Angular é obtida adicionando-se um polo integrador na origem:

$\boxed{G_{\theta }(s)=\frac{\Theta (s)}{V_a(s)}=\frac{K_t}{s\left[L_{a}J{s}^2+(R_{a}J+L_{a}b)s+(R_{a}b+K_t{K}_b)\right]}}$

Simplificação Prática: Constante de Tempo Elétrica Desprezível

Em motores industriais de pequeno e médio porte, a constante de tempo elétrica da armadura (${\tau }_e=L_a/R_a\approx \text{poucos milissegundos}$) é ordens de grandeza menor que a constante de tempo mecânica (${\tau }_m=J/b\approx \text{centenas de milissegundos}$). Desprezando-se a indutância ($L_a\approx 0$), o motor simplifica-se para um sistema de 1ª ordem: $G_{\omega }(s)\approx \frac{K_t/R_a}{Js+\left(b+\frac{K_t{K}_b}{R_a}\right)}=\frac{K_m}{{\tau }_{m}s+1}$ Onde o termo $\frac{K_t{K}_b}{R_a}$ atua como um amortecimento viscoso eletromagnético adicional, conferindo estabilidade natural ao motor!

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5.3 O Diagrama de Blocos Canônico do Motor CC

A representação estruturada evidencia a realimentação negativa intrínseca imposta pela própria física do eletromagnetismo (Lei de Lenz):

1. A tensão de armadura $V_a(s)$ entra no somador;
2. A FCEM $E_b(s)=K_b\Omega (s)$ é subtraída de $V_a(s)$, gerando a tensão resultante sobre a impedância da armadura;
3. O bloco de admitância da armadura $\frac{1}{L_{a}s+R_a}$ converte essa tensão líquida em corrente $I_a(s)$;
4. A corrente passa pelo ganho eletromecânico de torque $K_t$, produzindo o torque motor $T_m(s)$;
5. O torque motor atua sobre a impedância mecânica da carga $\frac{1}{Js+b}$, determinando a velocidade de rotação $\Omega (s)$;
6. A velocidade $\Omega (s)$ é amostrada pelo bloco $K_b$ e fecha o laço de realimentação negativa que limita a corrente e estabiliza a máquina!

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6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 02 e Concursos)

Exercício Resolvido 1 — Parametrização e Resposta ao Degrau de Motor CC Controlado por Armadura

Enunciado: Um servomotor de corrente contínua industrial de ímã permanente acoplado a um braço robótico possui as seguintes especificações de bancada:

• Resistência de armadura: $R_a=2,0\Omega$
• Indutância de armadura: $L_a=0,1\text{ H}$
• Inércia do rotor e carga: $J=0,02\text{ kg}\cdot {\text{m}}^2$
• Coeficiente de atrito viscoso: $b=0,01\text{ N}\cdot \text{m}\cdot \text{s/rad}$
• Constante de torque e de FCEM: $K_t=K_b=0,2\text{ N}\cdot \text{m/A}=0,2\text{ V}\cdot \text{s/rad}$

Determine: (a) A função de transferência de velocidade angular $G_{\omega }(s)=\frac{\Omega (s)}{V_a(s)}$; (b) A velocidade angular de regime permanente ${\omega }_m(\infty )$ quando o motor é alimentado com um degrau de tensão de $V_a=24\text{ V}$; (c) Os polos do sistema e a classificação do amortecimento.

Solução Passo a Passo:

(a) Montagem da Função de Transferência: Aplicando os coeficientes na equação deduzida:

• Coeficiente de $s^2$: $L_{a}J=(0,1)(0,02)=0,002$
• Coeficiente de $s$: $R_{a}J+L_{a}b=(2,0)(0,02)+(0,1)(0,01)=0,04+0,001=0,041$
• Termo independente: $R_{a}b+K_t{K}_b=(2,0)(0,01)+(0,2)(0,2)=0,02+0,04=0,06$
• Numerador: $K_t=0,2$

$G_{\omega }(s)=\frac{0,2}{0,002s^2+0,041s+0,06}$ Normalizando a equação (dividindo numerador e denominador por $0,002$): $\boxed{G_{\omega }(s)=\frac{100}{s^2+20,5s+30}}$

(b) Velocidade Angular de Regime Permanente ($V_a(s)=\frac{24}{s}$): Pelo Teorema do Valor Final (TVF): ${\omega }_m(\infty )={\lim }_{s\to 0}s\Omega (s)={\lim }_{s\to 0}s\left[G_{\omega }(s)\cdot \frac{24}{s}\right]={\lim }_{s\to 0}\left[\frac{100}{s^2+20,5s+30}\times 24\right]$ ${\omega }_m(\infty )=\frac{100}{30}\times 24=\frac{2.400}{30}=\boxed{80,0\text{ rad/s}}$ Em RPM: $n(\infty )=\frac{80\times 60}{2\pi }\approx \boxed{763,94\text{ rpm}}$

(c) Polos e Classificação: $s^2+20,5s+30=0⟹s=\frac{-20,5\pm \sqrt{(20,5{)}^2-4(1)(30)}}{2}=\frac{-20,5\pm \sqrt{420,25-120}}{2}$ $s=\frac{-20,5\pm \sqrt{300,25}}{2}=\frac{-20,5\pm 17,328}{2}$ $p_1=\frac{-20,5+17,328}{2}=\boxed{-1,586\text{ rad/s}},p_2=\frac{-20,5-17,328}{2}=\boxed{-18,914\text{ rad/s}}$ Como os polos são reais, negativos e distintos, o sistema é estável e estritamente sobreamortecido (sem sobressinal transitório oscilatório)!

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Exercício Resolvido 2 — Resolução de Circuito Ativo com Amp-Op e Inversão por Frações Parciais

Enunciado: Um circuito de controle analógico emprega um amplificador operacional na configuração inversora com resistor de entrada $R_1=100\text{ k}\Omega$ e malha de realimentação contendo um resistor $R_2=200\text{ k}\Omega$ em paralelo com um capacitor $C=5\mu \text{F}$. O circuito é excitado por um degrau unitário de tensão $v_{\text{in}}(t)=1u(t)\text{ V}$. Determine: (a) A função de transferência $G(s)=V_{\text{out}}(s)/V_{\text{in}}(s)$; (b) A resposta analítica no domínio do tempo $v_{\text{out}}(t)$ por expansão em frações parciais.

Solução Passo a Passo:

(a) Obtenção de $G(s)$:

• $Z_1(s)=R_1=100\text{ k}\Omega$
• $Z_2(s)=R_2\parallel \frac{1}{sC}=\frac{R_2}{R_{2}Cs+1}$ Onde a constante de tempo de realimentação vale $\tau =R_{2}C=(200\times 10^3)(5\times 10^{-6})=1,0\text{ s}$. Logo, $Z_2(s)=\frac{200\text{ k}\Omega }{s+1}$.

Aplicando a fórmula do Amp-Op inversor: $G(s)=-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}=-\frac{\frac{200\text{ k}}{s+1}}{100\text{ k}}=\boxed{-\frac{2}{s+1}}$

(b) Expansão em Frações Parciais e Inversão para Entrada Degrau ($V_{\text{in}}(s)=\frac{1}{s}$): $V_{\text{out}}(s)=G(s)\cdot \frac{1}{s}=-\frac{2}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}$

Pelo Método dos Resíduos de Heaviside: $A={\lim }_{s\to 0}\left[s\cdot \left(-\frac{2}{s(s+1)}\right)\right]={\lim }_{s\to 0}\left(-\frac{2}{s+1}\right)=\frac{-2}{1}=-2$ $B={\lim }_{s\to -1}\left[(s+1)\cdot \left(-\frac{2}{s(s+1)}\right)\right]={\lim }_{s\to -1}\left(-\frac{2}{s}\right)=\frac{-2}{-1}=+2$

Substituindo os resíduos: $V_{\text{out}}(s)=-\frac{2}{s}+\frac{2}{s+1}$

Aplicando a transformada inversa ${\mathcal{L}}^{-1}$: $\boxed{v_{\text{out}}(t)=\left(-2+2e^{-t}\right)u(t)=-2\left(1-e^{-t}\right)u(t)\text{ V}}$ (A saída parte de $v_{\text{out}}(0)=0\text{ V}$ e converge exponencialmente com constante de tempo $\tau =1\text{ s}$ para o valor de regime permanente de $-2\text{ V}$, confirmado pelo ganho DC $G(0)=-2$).

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7. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 02 Comentadas)

Bloco 1: Transformada de Laplace, Polos e Zeros

Questão 1 — Função de Transferência de Sistema Mecânico de 2ª Ordem (Apostila 02 / Módulo 1)

Enunciado: Suponha um sistema mecânico definido pela equação diferencial de ordem 2: $m\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+\mu \frac{dy(t)}{dt}+ky(t)=u(t)$ Onde $m$ é a massa, $\mu$ é o coeficiente de amortecimento e $k$ é a constante elástica da mola. Considerando $m=10\text{ kg}$, $\mu =2\text{ N}\cdot \text{s/m}$ e $k=20\text{ N/m}$, a função de transferência desse sistema relacionando o deslocamento $Y(s)$ à força aplicada $U(s)$ é igual a:

A) $G(s)=\frac{1}{10s^2+2s+20}$ (Correta)
B) $G(s)=\frac{1}{2s^2+10s+20}$
C) $G(s)=\frac{1}{20s^2+2s+10}$
D) $G(s)=\frac{10}{s^2+2s+20}$
E) $G(s)=\frac{1}{10s^2+20s+2}$

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa A está correta.
Substituindo os parâmetros fornecidos na EDO: $10\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}+20y=u(t)$ Aplicando a Transformada de Laplace sob condições iniciais nulas: $10s^{2}Y(s)+2sY(s)+20Y(s)=U(s)⟹(10s^2+2s+20)Y(s)=U(s)$ Isolando a razão de transferência: $G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{10s^2+2s+20}$

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Questão 2 — Mapeamento de Polos e Zeros a Partir da Resposta em Laplace (Apostila 02 / Módulo 1)

Enunciado: Um sistema linear e invariante no tempo é excitado por um degrau unitário na entrada ($U(s)=1/s$) e produz no domínio da frequência complexa uma saída expressa por: $Y(s)=\frac{10(s+2)}{s(s+3)(s+4)(s+5)}$ A respeito dos zeros e dos polos presentes na transformada da resposta $Y(s)$, é correto afirmar que:

A) Zeros = $0$ e polos = $\{-2,-3,-4,-5\}$
B) Zeros = $-2$ e polos = $\{0,-3,-4,-5\}$ (Correta)
C) Zeros = $-4$ e polos = $\{0,-2,-3,-5\}$
D) Zeros = $\{0,-2\}$ e polos = $\{-3,-4,-5\}$
E) O sistema não possui zeros e possui polos em $\{0,2,3,4,5\}$

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa B está correta.

• Zeros: São os valores de $s$ que anulam o numerador. Fazendo $10(s+2)=0⟹s=-2$. Logo, existe um único zero finito em $s=-2$.
• Polos: São os valores de $s$ que anulam o denominador. Fazendo $s(s+3)(s+4)(s+5)=0⟹s_1=0$ (polo introduzido pela entrada degrau), $s_2=-3$, $s_3=-4$ e $s_4=-5$ (polos próprios da função de transferência da planta).
  Portanto, o conjunto total é composto pelo zero em $-2$ e polos em $\{0,-3,-4,-5\}$.

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Bloco 2: Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Questão 3 — Função de Transferência de Circuito RL com Saída na Indutância (Apostila 02 / Módulo 2)

Enunciado: Considere um circuito elétrico composto por uma fonte de tensão $v(t)$ alimentando em série um resistor linear de resistência $R$ e um indutor ideal de indutância $L$. Tomando como sinal de saída a tensão sobre os terminais do indutor, $v_L(t)$, e como sinal de entrada a tensão da fonte $v(t)$, a função de transferência $G(s)=V_L(s)/V(s)$ é expressa por:

A) $G(s)=\frac{R}{sL+R}$
B) $G(s)=\frac{1}{sL+R}$
C) $G(s)=\frac{s}{sL+R}$
D) $G(s)=\frac{sL}{sL+R}=\frac{s}{s+\frac{R}{L}}$ (Correta)
E) $G(s)=\frac{1}{s+\frac{R}{L}}$

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa D está correta.
Pela Lei das Malhas de Kirchhoff (LKT): $v(t)=v_R(t)+v_L(t)=R\cdot i(t)+v_L(t)$ Como a tensão no indutor obedece a $v_L(t)=L\frac{di}{dt}$, no domínio $s$ (com corrente inicial nula) tem-se $V_L(s)=sL\cdot I(s)⟹I(s)=\frac{V_L(s)}{sL}$.
Substituindo na LKT: $V(s)=R\left(\frac{V_L(s)}{sL}\right)+V_L(s)=V_L(s)\left(\frac{R+sL}{sL}\right)$ Isolando a razão $V_L(s)/V(s)$: $G(s)=\frac{V_L(s)}{V(s)}=\frac{sL}{sL+R}=\frac{s}{s+\frac{R}{L}}$

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Questão 4 — Posição de Polos e Zeros do Circuito RL (Apostila 02 / Módulo 2)

Enunciado: Considerando a função de transferência do circuito resistivo-indutivo obtida na questão anterior ($G(s)=\frac{s}{s+R/L}$), é possível afirmar que o referido circuito possui no plano complexo $s$:

A) Apenas um polo em $s=-R/L$ e nenhum zero.
B) Um zero na origem ($s=0$) e um polo real em $s=-R/L$. (Correta)
C) Um polo na origem ($s=0$) e um zero em $s=-R/L$.
D) Um polo duplo em $s=-R/L$ e um zero em $s=-L/R$.
E) Apenas polos complexos conjugados de alta frequência.

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa B está correta.

• No numerador, $N(s)=s$. Igualando a zero: $s=0$, caracterizando um zero na origem, responsável por bloquear componentes de corrente contínua (comportamento de filtro passa-altas).
• No denominador, $D(s)=s+R/L$. Igualando a zero: $s=-R/L$, caracterizando um polo real simples estritamente negativo, o que garante a estabilidade assintótica BIBO da malha.

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Bloco 3: Sistemas Eletromecânicos e Analogias Físicas

Questão 5 — Analogia Mecânica-Elétrica em Circuito Série (Apostila 02 / Módulo 3)

Enunciado: Na analogia direta entre sistemas mecânicos e circuitos elétricos em série (Analogia Força-Tensão de Maxwell), cada elemento mecânico translacional possui um análogo elétrico com equação matemática idêntica. Em um sistema mecânico, um amortecedor com coeficiente de atrito viscoso $\mu =10\text{ N}\cdot \text{s/m}$ é representado no circuito elétrico equivalente em série por um:

A) Indutor de $10\text{ H}$
B) Capacitor de $10\text{ F}$
C) Resistor de $0,1\Omega$
D) Indutor de $0,1\text{ H}$
E) Resistor de $10\Omega$ (Correta)

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa E está correta (Resistor de $10\Omega$).
Na analogia de Maxwell (Força-Tensão):

• A Força $F(t)$ mapeia-se na Tensão $v(t)$;
• A Velocidade $v(t)$ mapeia-se na Corrente $i(t)$;
• A equação do amortecedor mecânico é $f_b(t)=\mu \cdot v(t)$;
• A equação da resistência elétrica é $v_R(t)=R\cdot i(t)$.
  Como ambas as leis descrevem a dissipação irreversível de energia proporcional à grandeza de fluxo, o coeficiente de atrito viscoso $\mu =10\text{ N}\cdot \text{s/m}$ corresponde exatamente a uma resistência elétrica de $R=10\Omega$.

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Questão 6 — Analogia Mecânica-Elétrica em Circuito Paralelo (Apostila 02 / Módulo 3)

Enunciado: Considerando agora a analogia dual entre sistemas mecânicos e circuitos elétricos em paralelo (Analogia Força-Corrente de Firestone), uma mola com rigidez elástica $k=20\text{ N/m}$ deve ser substituída no circuito análogo paralelo por uma:

A) Capacitância de $20\text{ F}$
B) Resistência de $20\Omega$
C) Indutância de $0,05\text{ H}$ (Correta)
D) Indutância de $20\text{ H}$
E) Resistência de $0,05\Omega$

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa C está correta (Indutância de $0,05\text{ H}$).
Na analogia de Firestone (Força-Corrente):

• A Força $F(t)$ mapeia-se na Corrente Elétrica $i(t)$;
• A Velocidade $v(t)$ mapeia-se na Tensão Elétrica $v(t)$;
• A equação da mola mecânica é $v(t)=\frac{1}{k}\frac{d{f}_k}{dt}⟹f_k(t)=k\int v(t)dt$;
• A equação do indutor elétrico é $i_L(t)=\frac{1}{L}\int v(t)dt$.
  Comparando os coeficientes integrais, verifica-se que a constante elástica $k$ corresponde à inversa da indutância ($k\equiv 1/L$). Logo: $L=\frac{1}{k}=\frac{1}{20\text{ N/m}}=\boxed{0,05\text{ H}}$