🛡️ Aula 05 - Filtros Ativos Analógicos (Butterworth, Chebyshev) e Osciladores Senoidais

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📍 Disciplina: 01 Eletrônica Analógica | 🏭 Área: 05 Eletrônica, Automação e Controle | 🏠 Hub Principal 📄 Apostilas Base: 7. Filtros analógicos parte I · 8. Filtros analógicos parte II · 10. Osciladores · lista_exercicios_parte3 (Profa. Ana Flávia dos Reis — UFPR) ⬅️ Aula Anterior: Aula 04 - Amplificadores Operacionais e AmpOp CMOS | ➡️ Próxima Aula: Aula 06 - Múltiplos Estágios, Par Diferencial, Frequência e Realimentação

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🎯 Objetivos de Aprendizagem (Taxonomia de Bloom)

1. Classificar e equacionar funções de transferência de filtros analógicos de 1ª ordem e seções biquadráticas de 2ª ordem padronizadas (LP, HP, BP, BS/Notch e All-Pass/Passa-Todas), analisando sensibilidade paramétrica e equivalentes a Capacitores Chaveados.
2. Dimensionar a ordem mínima $n$ e os polinômios característicos das aproximações de Butterworth (máxima planicidade), Chebyshev Tipo I (ondulação equiripple parametrizada por $\epsilon$) e Bessel, aplicando transformações de frequência e escalonamento de impedância ($k_m$) e frequência ($k_f$).
3. Projetar filtros ativos em topologia de único Amp-Op (Sallen-Key e realimentação múltipla Rauch/MFB) e topologias universais de múltiplos Amp-Ops (Variáveis de Estado KHN e Biquad Tow-Thomas).
4. Formular o Critério de Oscilação de Barkhausen, projetar circuitos de Controle Automático de Ganho (AGC) / limitadores não-lineares a diodos e JFET, osciladores RC (Ponte de Wien e Phase-Shift), osciladores LC de RF (Colpitts, Hartley e Cristal) e Osciladores de Relaxação (Multivibrador Astável com Schmitt Trigger).

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📌 Sumário do MOC

1. 1. Fundamentos da Teoria de Filtros Analógicos e Funções Biquadráticas
   • 1.1 Filtros de Primeira Ordem Gerais e Capacitores Chaveados
   • 1.2 A Função de Transferência Biquadrática Geral (LP, HP, BP, BS e All-Pass)
   • 1.3 Sensibilidade Paramétrica em Filtros Ativos
2. 2. Aproximações Polinomiais Clássicas: Butterworth vs Chebyshev vs Bessel
   • 2.1 Filtro de Butterworth (Máxima Planicidade) e Cálculo de Ordem
   • 2.2 Filtro de Chebyshev Tipo I (Transição Íngreme) e Polinômios Cn
   • 2.3 Transformação de Frequência e Escalonamento de Impedância (km) e Frequência (kf)
3. 3. Topologias de Filtros Ativos: Sallen-Key, KHN e Tow-Thomas
   • 3.1 Dedução Analítica da Topologia Sallen-Key (VCVS)
   • 3.2 Filtros Universais de Múltiplos Amp-Ops: KHN e Biquad Tow-Thomas
4. 4. Osciladores Senoidais, Critério de Barkhausen e Controle Não-Linear de Ganho (AGC)
   • 4.1 Dinâmica de Inicialização e Circuitos Limitadores a Diodo e JFET
5. 5. Circuitos Osciladores Clássicos (RC, LC, Cristal e Relaxação)
   • 5.1 Oscilador por Ponte de Wien
   • 5.2 Oscilador por Deslocamento de Fase RC (Phase-Shift)
   • 5.3 Osciladores LC para Rádio Frequência (Colpitts, Hartley e Cristal)
   • 5.4 Osciladores Não-Lineares de Relaxação (Multivibrador Astável com Schmitt Trigger)
6. 6. Diagrama Arquitetural Consolidado
7. 7. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia
8. 8. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões Comentadas)

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1. Fundamentos da Teoria de Filtros Analógicos e Funções Biquadráticas

Os filtros elétricos são redes seletoras de frequência projetadas para transmitir sinais dentro de uma faixa espectral desejada (Banda Passante) com atenuação mínima, enquanto atenuam severamente componentes de frequência indesejadas (Banda de Rejeição), separadas por uma Faixa de Transição. Em baixas frequências (abaixo de $10\text{ MHz}$), o uso de indutores passivos em filtros RLC torna-se inviável devido às grandes dimensões volumétricas, peso, perdas magnéticas resistivas, baixa exatidão de fabricação e impossibilidade de integração monolítica em silício.

Os Filtros Ativos contornam integralmente essas limitações sintetizando funções de transferência de ordem arbitrária utilizando exclusivamente componentes passivos simples (resistores e capacitores) acoplados a elementos ativos lineares de ganho (como amplificadores operacionais).

1.1 Filtros de Primeira Ordem Gerais e Capacitores Chaveados

Uma rede linear de primeira ordem possui um único elemento armazenador de energia independente, apresentando função de transferência bilinear geral no domínio de Laplace:

$\boxed{H(s)=\alpha \frac{s+z_1}{s+p_1}}$

• Comportamento Passa-Baixas ($|z_1|>|p_1|$ ou ausência de zero finito): Em baixas frequências ($\omega \ll p_1$), o ganho é constante ($\alpha z_1/p_1$) e cai a $-20\text{ dB/deˊcada}$ acima de $p_1$;
• Comportamento Passa-Altas ($|z_1|<|p_1|$ ou zero na origem $z_1=0$): Rejeita baixas frequências e estabiliza o ganho em $\alpha$ para $\omega \gg p_1$.

Filtros em Tempo Discreto a Capacitores Chaveados ( Switched-Capacitor)

Em circuitos integrados CMOS, resistores ocupam grande área e sofrem variações absolutas de até $\pm 20\%$ com o processo e temperatura. Substitui-se cada resistor $R$ por um capacitor chaveado $C_S$ comutado por duas chaves MOSFET não-sobrepostas (${\varphi }_1,{\varphi }_2$) na frequência de relógio $f_{\text{clk}}=1/T_{\text{clk}}$. A resistência média equivalente transferida por ciclo é: $\boxed{R_{\text{eq}}=\frac{T_{\text{clk}}}{C_S}=\frac{1}{f_{\text{clk}}{C}_S}⟹{\omega }_0=\frac{1}{R_{\text{eq}}{C}_F}=f_{\text{clk}}\left(\frac{C_S}{C_F}\right)}$ Como a razão geométrica entre dois capacitores no mesmo chip ($C_S/C_F$) possui precisão superior a $0,1\%$ e $f_{\text{clk}}$ é controlada por cristal de quartzo, obtêm-se filtros integrados de altíssima precisão e sintonizáveis digitalmente pela frequência de clock!

1.2 A Função de Transferência Biquadrática Geral (LP, HP, BP, BS e All-Pass)

A síntese modular de filtros ativos de ordem superior apoia-se no cascateamento de estágios biquadráticos de 2ª ordem (e um estágio de 1ª ordem caso $n$ seja ímpar) governados pela equação característica no domínio de Laplace:

$\boxed{T(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{a_2{s}^2+a_{1}s+a_0}{s^2+\left(\frac{{\omega }_0}{Q}\right)s+{\omega }_0^2}=\frac{a_2{s}^2+a_{1}s+a_0}{s^2+2\zeta {\omega }_{0}s+{\omega }_0^2}}$

Onde:

• ${\omega }_0$ é a frequência natural não-amortecida ou frequência de ressonância do polo ($\text{rad/s}$);
• $Q=\frac{{\omega }_0}{B{W}_{-3\text{dB}}}$ é o Fator de Qualidade ou Seletividade do polo (para $Q>\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071$, a resposta passa-baixas ou passa-altas apresenta pico de ressonância antes do corte);
• $\zeta =\frac{1}{2Q}$ é o Coeficiente de Amortecimento (Damping Ratio).

Os polos complexos conjugados localizam-se obrigatoriamente no Semiplano Esquerdo (LHP) para garantir estabilidade assintótica ($\mathrm{Re}(s)<0$): $s_{1,2}=-\zeta {\omega }_0\pm j{\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}=-\frac{{\omega }_0}{2Q}\pm j{\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$

Tipo de Filtro	Polinômio do Numerador $N(s)$	Função de Transferência $T(s)$ Padronizada	Posição dos Zeros de Transmissão
Passa-Baixas (LPF)	$K{\omega }_0^2$	$\frac{K{\omega }_0^2}{s^2+\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2}$	Dois zeros no infinito ($\omega \to \infty$)
Passa-Altas (HPF)	$K{s}^2$	$\frac{K{s}^2}{s^2+\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2}$	Zero duplo na origem ($s=0$)
Passa-Faixa (BPF)	$K\left(\frac{{\omega }_0}{Q}\right)s$	$\frac{K\left(\frac{{\omega }_0}{Q}\right)s}{s^2+\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2}$	Um zero em $s=0$ e um em $\omega \to \infty$
Rejeita-Faixa (Notch / BSF)	$K(s^2+{\omega }_z^2)$	$\frac{K(s^2+{\omega }_z^2)}{s^2+\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2}$	Zeros imaginários puros em $s=\pm j{\omega }_z$
Passa-Todas (All-Pass / Equalizador de Fase)	$K\left(s^2-\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2\right)$	$\frac{K\left(s^2-\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2\right)}{s^2+\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2}$	Zeros no semiplano direito espelhados aos polos ($

1.3 Sensibilidade Paramétrica em Filtros Ativos

Devido às tolerâncias de fabricação e deriva térmica dos resistores e capacitores, avalia-se a robustez de uma topologia pela Sensibilidade Relativa de um parâmetro de desempenho $y$ (como ${\omega }_0$ ou $Q$) em relação a um componente $x$ ($R_i$ ou $C_i$):

$\boxed{S_x^y=\frac{\partial y/y}{\partial x/x}=\frac{x}{y}\frac{\partial y}{\partial x}}$

Idealmente, busca-se $|S_x^y|$ mínimo (próximo de zero; em redes passivas RC/RLC para ${\omega }_0$, $|S_{R,C}^{{\omega }_0}|=0,5$).

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2. Aproximações Polinomiais Clássicas: Butterworth vs Chebyshev vs Bessel

A aproximação ideal (tijolo de parede, com transmissão unitária plana na banda passante e atenuação infinita imediata) é fisicamente irrealizável devido ao Princípio da Causalidade de Paley-Wiener. Diferentes polinômios matemáticos otimizam compromissos específicos entre planicidade na banda passante, inclinação na transição e linearidade de fase:

2.1 Filtro de Butterworth (Máxima Planicidade) e Cálculo de Ordem

A magnitude da resposta de Butterworth de ordem $n$ satisfaz:

$\boxed{|T(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\epsilon }^2{\left(\frac{\omega }{{\omega }_p}\right)}^{2n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^{2n}}}}$

• As primeiras $2n-1$ derivadas de $|T(j\omega )|$ em relação a $\omega$ são estritamente nulas na origem ($\omega =0$), garantindo a máxima planicidade (maximally flat) sem ondulações (ripples);
• Em $\omega ={\omega }_0$, a atenuação é de exatamente $-3,01\text{ dB}$ ($|T|=1/\sqrt{2}$), qualquer que seja a ordem $n$;
• Na banda de rejeição ($\omega \gg {\omega }_0$), a atenuação assintótica decresce a uma taxa estrita de: $\text{Atenuac¸a˜o}=-20\cdot n\text{ dB/deˊcada}=-6\cdot n\text{ dB/oitava}$
• Dados um limite máximo de atenuação $A_{\max }$ (dB) na borda da banda passante ${\omega }_p$ e uma atenuação mínima $A_{\min }$ (dB) na borda da banda de rejeição ${\omega }_s$, a ordem mínima $n$ de Butterworth é determinada por: $\boxed{n\ge \frac{{\log }_{10}\left[\frac{10^{A_{\min }/10}-1}{10^{A_{\max }/10}-1}\right]}{2{\log }_{10}\left(\frac{{\omega }_s}{{\omega }_p}\right)}}$

Tabela de Polinômios Normalizados de Butterworth (${\omega }_0=1\text{ rad/s}$)

Ordem $n$	Polinômio Denominador Fatorado $B_n(s)$	Fatores de Qualidade $Q_i$ das Seções
1	$(s+1)$	Polo real em $s=-1$
2	$s^2+\sqrt{2}s+1=s^2+1,4142s+1$	$Q_1=0,7071$
3	$(s+1)(s^2+s+1)$	Polo real $+Q_1=1,0000$
4	$(s^2+0,7654s+1)(s^2+1,8478s+1)$	$Q_1=1,3065,Q_2=0,5412$
5	$(s+1)(s^2+0,6180s+1)(s^2+1,6180s+1)$	Polo real $+Q_1=1,6180,Q_2=0,6180$

2.2 Filtro de Chebyshev Tipo I (Transição Íngreme) e Polinômios $C_n$

A resposta de magnitude de Chebyshev Tipo I exibe comportamento equiripple na banda passante ($\omega \le {\omega }_0$, oscilando entre $1$ e $\frac{1}{\sqrt{1+{\epsilon }^2}}$) e decaimento monotônico abrupto na banda de rejeição ($\omega >{\omega }_0$):

$\boxed{|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\epsilon }^2{C}_n^2\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}}}$

Onde os Polinômios de Chebyshev $C_n(\Omega )$ (com $\Omega =\omega /{\omega }_0$) são definidos analiticamente e recursivamente ($C_0=1$, $C_1=\Omega$, $C_n(\Omega )=2\Omega C_{n-1}(\Omega )-C_{n-2}(\Omega )$) por:

$\boxed{C_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)=\{\begin{array}{ll}\cos \left(n\arccos \left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)\right),& 0\le \frac{\omega }{{\omega }_0}\le 1\text{(Banda Passante)}\\ \cosh \left(n\mathrm{arccosh}\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)\right),& \frac{\omega }{{\omega }_0}>1\text{(Banda de Rejeic¸a˜o)}\end{array}}$

O parâmetro de ondulação $\epsilon$ relaciona-se com a ondulação máxima permitida na banda passante ($R_{\text{dB}}=A_{\max }$) por:

$\boxed{R_{\text{dB}}=20{\log }_{10}\sqrt{1+{\epsilon }^2}=10{\log }_{10}(1+{\epsilon }^2)⟹\epsilon =\sqrt{10^{\frac{R_{\text{dB}}}{10}}-1}}$

E a ordem mínima $n$ do filtro de Chebyshev para atingir uma atenuação $A_{\min }$ (dB) em ${\omega }_s$ é:

$\boxed{n\ge \frac{\mathrm{arccosh}\left(\frac{1}{\epsilon }\sqrt{10^{A_{\min }/10}-1}\right)}{\mathrm{arccosh}\left(\frac{{\omega }_s}{{\omega }_0}\right)}}$

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2.3 Transformação de Frequência e Escalonamento de Impedância ($k_m$) e Frequência ($k_f$)

Os projetos de filtros partem de um Protótipo Passa-Baixas Normalizado (${\Omega }_0=1\text{ rad/s}$, resistores de $1\Omega$ e capacitores em Farads). Para converter o protótipo em um filtro físico com valores comerciais de componentes e frequência real ${\omega }_0$:

1. Transformação espectral de Frequência ($S\to s$):

   • Passa-Baixas para Passa-Altas (LP $\to$ HP): Substitui-se $S\leftarrow \frac{{\omega }_0}{s}$ (no circuito, troca-se cada resistor $R$ por capacitor $C=1/R$ e cada capacitor $C$ por resistor $R=1/C$ na topologia Sallen-Key);
   • Passa-Baixas para Passa-Faixa (LP $\to$ BP): Substitui-se $S\leftarrow Q\left(\frac{s^2+{\omega }_0^2}{{\omega }_{0}s}\right)$;
   • Passa-Baixas para Rejeita-Faixa (LP $\to$ BS): Substitui-se $S\leftarrow \frac{{\omega }_{0}s}{Q(s^2+{\omega }_0^2)}$.

2. Escalonamento de Magnitude/Impedância ($k_m$) e de Frequência ($k_f$): Seja $k_f=\frac{{\omega }_0}{1\text{ rad/s}}$ o fator de escala de frequência e $k_m$ o fator adimensional de escala de impedância. Para manter inalterado o formato adimensional da função de transferência enquanto o eixo de frequências é multiplicado por $k_f$ e o nível de impedância por $k_m$:

$\boxed{R_{\text{real}}=k_m\cdot R_{\text{norm}},L_{\text{real}}=\frac{k_m}{k_f}\cdot L_{\text{norm}},C_{\text{real}}=\frac{1}{k_m\cdot k_f}\cdot C_{\text{norm}}}$

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Filtros Ativos Analógicos (Butterworth vs. Chebyshev e Mapa de Polos)

Experimente em tempo real o impacto da ordem $n$ ($1$ a $8$), da frequência de corte $f_0$, do ripple na banda passante $A_{\max }$ ($\epsilon$) e das transformações seletivas (LPF, HPF, BPF e Notch/BSF), comparando simultaneamente os Diagramas de Bode de Magnitude/Fase, o deslocamento dos polos da circunferência de Butterworth para a elipse de Chebyshev no semiplano esquerdo e o dimensionamento automático do estágio Sallen-Key: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_filtros_ativos_butterworth_chebyshev_bode.html]])

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3. Topologias de Filtros Ativos: Sallen-Key, KHN e Tow-Thomas

3.1 Dedução Analítica da Topologia Sallen-Key (VCVS)

A topologia Sallen-Key (ou fonte de tensão controlada por tensão) é o circuito de filtro ativo mais difundido na indústria devido à sua simplicidade, independência de polarização e baixo número de componentes.

Aplicando a Lei dos Nós de Kirchhoff no nó intermediário $v_x$ e no nó não-inversor $v^{+}$:

1. No nó $v^{+}$: $\frac{v_x-v^{+}}{R_2}=s{C}_2{v}^{+}⟹v_x=v^{+}(1+s{R}_2{C}_2)$
2. O amplificador não-inversor estabelece: $v_o=K{v}^{+}⟹v^{+}=\frac{v_o}{K},\text{onde }K=1+\frac{R_a}{R_b}$ Logo: $v_x=\frac{v_o}{K}(1+s{R}_2{C}_2)$
3. No nó intermediário $v_x$: $\frac{v_i-v_x}{R_1}=\frac{v_x-v^{+}}{R_2}+s{C}_1(v_x-v_o)$

Substituindo $v_x$ e $v^{+}$ e isolando a relação $v_o/v_i$:

$\boxed{T(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{K\frac{1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}{s^2+s\left[\frac{1}{R_1{C}_1}+\frac{1}{R_2{C}_1}+\frac{1-K}{R_2{C}_2}\right]+\frac{1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}}$

Identificando os coeficientes fundamentais com a forma biquadrática canônica:

$\boxed{{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}}$

$\boxed{\frac{1}{Q}=\sqrt{\frac{R_2{C}_2}{R_1{C}_1}}+\sqrt{\frac{R_1{C}_2}{R_2{C}_1}}+(1-K)\sqrt{\frac{R_1{C}_1}{R_2{C}_2}}}$

Projeto Simplificado com Componentes Casados:

Adotando $R_1=R_2=R$ e $C_1=C_2=C$: ${\omega }_0=\frac{1}{RC}$ $\frac{1}{Q}=1+1+(1-K)=3-K⟹\boxed{Q=\frac{1}{3-K}}$

Para projetar um filtro Butterworth de 2ª ordem ($Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071$): $3-K=\sqrt{2}⟹K=3-\sqrt{2}\approx 1,5858$ $1+\frac{R_a}{R_b}=1,5858⟹\boxed{\frac{R_a}{R_b}=0,5858\approx \frac{5,86\text{ k}\Omega }{10\text{ k}\Omega }}$

CAUTION

Se o ganho em malha não-inversora atingir $K\ge 3$, o denominador anula-se ($1/Q\le 0$), deslocando os polos para o semiplano direito. O circuito torna-se instável e entra em oscilação descontrolada! Além disso, na configuração de componentes iguais, a sensibilidade do fator de qualidade ao ganho vale $S_K^Q=KQ=(3Q-1)$, que se torna excessivamente alta para filtros de elevado $Q$.

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3.2 Filtros Universais de Múltiplos Amp-Ops: KHN e Biquad Tow-Thomas

Para aplicações de alto fator de qualidade ($Q>10$) e baixa sensibilidade paramétrica ($|S_x^Q|\le 1$), utilizam-se arquiteturas biquadráticas baseadas em malhas de integradores com 3 Amp-Ops:

flowchart LR
    VIN["Entrada V_in"] --> SUM["Amp-Op 1: Somador / Integrador\nAmortecido (R_Q, C)"]
    SUM -->|Saída Passa-Faixa V_BP| INT["Amp-Op 2: Integrador Puro\n(R, C)"]
    INT -->|Saída Passa-Baixas V_LP| INV["Amp-Op 3: Inversor Unitário\n(-1)"]
    INV -->|Realimentação Global| SUM

1. Filtro de Variáveis de Estado KHN (Kerwin-Huelsman-Newcomb): Implementa diretamente a equação diferencial de 2ª ordem $s^2{V}_{LP}=-\frac{{\omega }_0}{Q}s{V}_{LP}-{\omega }_0^2{V}_{LP}+K{\omega }_0^2{V}_{\text{in}}$ usando um somador diferencial e dois integradores de Miller em cascata. Fornece simultaneamente em três nós de baixa impedância as saídas Passa-Altas ($V_{HP}$), Passa-Faixa ($V_{BP}$) e Passa-Baixas ($V_{LP}$)! Com um 4º Amp-Op somador externo que combine $V_{HP}+V_{LP}$, sintetiza-se também qualquer filtro Notch (Rejeita-Faixa) ou All-Pass.
2. Biquad de Tow-Thomas: Substitui o somador de entrada por um integrador inversor amortecido pelo resistor $R_Q$ em paralelo com $C$, seguido por um integrador puro ($R,C$) e um inversor unitário ($R_1,R_1$). Suas funções de transferência nas saídas Passa-Faixa e Passa-Baixas são: $\boxed{T_{BP}(s)=\frac{V_{BP}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=-\frac{\left(\frac{1}{R_{\text{in}}C}\right)s}{s^2+\left(\frac{1}{R_{Q}C}\right)s+\frac{1}{R^2{C}^2}},T_{LP}(s)=\frac{V_{LP}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=\frac{\frac{1}{R_{\text{in}}R{C}^2}}{s^2+\left(\frac{1}{R_{Q}C}\right)s+\frac{1}{R^2{C}^2}}}$ Propriedade de Sintonia Ortogonal (Independente):
   • $\boxed{{\omega }_0=\frac{1}{RC}}$ é ajustada variando $R$;
   • $\boxed{Q=\frac{R_Q}{R}}$ é ajustado de forma totalmente independente variando $R_Q$ (sem alterar ${\omega }_0$!);
   • O ganho de centro de faixa / banda passante $|T_0|=\frac{R_Q}{R_{\text{in}}}$ (BP) ou $\frac{R}{R_{\text{in}}}$ (LP) é ajustado de forma independente variando $R_{\text{in}}$ (sem alterar ${\omega }_0$ nem $Q$!).

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4. Osciladores Senoidais, Critério de Barkhausen e Controle Não-Linear de Ganho (AGC)

Um oscilador senoidal autônomo é um circuito eletrônico que converte energia contínua ($DC$) das fontes de alimentação em um sinal periódico alternado senoidal puro ($AC$) de frequência e amplitude estáveis, sem necessidade de excitação de sinal externo.

A função de transferência de malha fechada com realimentação positiva é dada por:

$A_f(s)=\frac{x_o}{x_s}=\frac{A(s)}{1-A(s)\beta (s)}$

Para que uma oscilação permanente exista mesmo com excitação externa nula ($x_s=0$), o ganho de malha aberta $T(s)=A(s)\beta (s)$ deve satisfazer rigorosamente as Condições de Oscilação de Barkhausen:

$\boxed{|A(j{\omega }_0)\beta (j{\omega }_0)|=1\text{(Condic¸a˜o de Ganho de Malha Unitaˊrio)}}$

$\boxed{\angle [A(j{\omega }_0)\beta (j{\omega }_0)]=0^{\circ }\text{ou}360^{\circ }=2\pi k(k\in \mathbb{Z})\text{(Condic¸a˜o de Fase em Fase)}}$

4.1 Dinâmica de Inicialização e Circuitos Limitadores a Diodo e JFET

Em regime linear puro, um circuito com $|A\beta |=1$ exato possui polos puramente imaginários sobre o eixo $j\omega$. Contudo, tolerâncias de componentes e variações térmicas fariam o circuito extinguir a oscilação ($|A\beta |<1$, polos no LHP) ou crescer indefinidamente até ceifar contra os trilhos da fonte ($|A\beta |>1$, polos no RHP).

Na prática física de engenharia:

1. Partida da Oscilação: O circuito é projetado intencionalmente com ganho de malha inicial ligeiramente superior à unidade ($|A\beta |\approx 1,05$ a $1,20$). Os polos nascem no semiplano direito ($s=+\sigma \pm j{\omega }_0$). O ruído térmico branco intrínseco aos resistores contém energia na frequência ${\omega }_0$, que é filtrada e amplificada regenerativamente: $v_o(t)=V_{\text{ruıˊdo}}{e}^{+\sigma t}\sin ({\omega }_{0}t)(\sigma >0)$
2. Controle Automático de Ganho (AGC) / Limitador Não-Linear com Diodos: Conforme detalhado na análise de circuitos limitadores de amplitude, emprega-se uma rede resistiva-diodo no laço de realimentação negativa do Amp-Op que apresenta característica de transferência linear por partes:
   • Enquanto $|v_o|<L_{+}$, os diodos permanecem em corte e o amplificador apresenta ganho elevado (ex.: $A_v=1+R_2/R_1>3$ na Ponte de Wien) para garantir a partida;
   • Quando a excursão atinge os limiares simétricos de condução dos diodos ($L_{+}\text{ e }{L}_{-}$), um resistor adicional $R_3$ entra em paralelo com a malha de realimentação ($R_2\parallel R_3$), reduzindo a inclinação incremental do ganho para manter o ganho médio exatamente igual a $1/\beta ({\omega }_0)$ e estabilizando os polos sobre o eixo $j\omega$ com baixíssima distorção harmônica.
3. Controle Automático de Ganho com JFET/MOSFET ou Termistor:
   • Termistores PTC (ou lâmpada de filamento de tungstênio no clássico oscilador de áudio HP 200A de Hewlett e Packard) no ramo para o terra ($R_1$), cuja resistência sobe com o aquecimento Joule;
   • Transistor JFET operando na região ôhmica (triodo) como resistor controlado por tensão ($r_{DS}\approx r_{DS0}/(1-V_{GS}/V_P)$), cuja porta é comandada por um retificador detector de pico da saída.

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5. Circuitos Osciladores Clássicos (RC, LC, Cristal e Relaxação)

5.1 Oscilador por Ponte de Wien

O Oscilador de Ponte de Wien é o padrão definitivo para geradores de áudio e instrumentação analógica de baixa distorção harmônica ($10\text{ Hz}$ a $1\text{ MHz}$ — limitado em frequências mais altas pelo Slew Rate e pelo atraso de fase de malha aberta $GBW$ do Amp-Op).

A rede de realimentação passiva avanço-atraso $\beta (s)$ é formada pelo ramo série ($Z_s=R+\frac{1}{sC}$) e pelo ramo paralelo ($Z_p=R\parallel \frac{1}{sC}$):

$\beta (s)=\frac{Z_p}{Z_s+Z_p}=\frac{\frac{R}{1+sRC}}{\left(\frac{1+sRC}{sC}\right)+\frac{R}{1+sRC}}=\frac{sRC}{(1+sRC{)}^2+sRC}$

$\beta (s)=\frac{sRC}{s^2{R}^2{C}^2+3sRC+1}$

Substituindo $s=j\omega$: $\beta (j\omega )=\frac{j\omega RC}{(1-{\omega }^2{R}^2{C}^2)+j3\omega RC}$

Para satisfazer a condição de fase de Barkhausen ($\angle \beta (j{\omega }_0)=0^{\circ }$), a parte imaginária do denominador deve cancelar a do numerador, o que ocorre quando a parte real é estritamente nula: $1-{\omega }_0^2{R}^2{C}^2=0⟹\boxed{{\omega }_0=\frac{1}{RC}⟺f_0=\frac{1}{2\pi RC}}$

Na frequência de ressonância ${\omega }_0$: $\beta (j{\omega }_0)=\frac{j}{j3}=\frac{1}{3}$

A rede atenua o sinal exatamente por um fator de $3$ com rotação de fase de $0^{\circ }$. Para cumprir o critério de módulo de Barkhausen ($|A\beta |=1$), o amplificador não-inversor deve fornecer ganho estrito:

$A_v=1+\frac{R_f}{R_1}=3⟹\boxed{R_f=2R_1}$

5.2 Oscilador por Deslocamento de Fase RC (Phase-Shift)

Utiliza um amplificador inversor com Amp-Op ($A_v=-R_f/R$, defasagem de $180^{\circ }$) e uma rede ladder de 3 seções passa-altas $RC$ em cascata, cada uma contribuindo com $60^{\circ }$ de avanço de fase na frequência ${\omega }_0$, perfazendo $180^{\circ }$ na malha passiva e $360^{\circ }$ no laço total:

$\boxed{{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{6}RC}⟺f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{6}RC}}$

Na frequência ${\omega }_0$, a atenuação da rede é $\beta =1/29$. O amplificador inversor deve satisfazer:

$\boxed{|A_v|=\frac{R_f}{R}\ge 29⟹R_f\ge 29R}$

5.3 Osciladores LC para Rádio Frequência (Colpitts, Hartley e Cristal)

Para frequências acima de alguns megahertz (RF e micro-ondas na faixa de $\text{MHz}$ a $\text{GHz}$), amplificadores operacionais não possuem produto ganho-banda suficiente. Utilizam-se estágios de único transistor (TBJ ou MOSFET) acoplados a tanques ressonantes LC de alto fator de qualidade $Q$. Nestes circuitos, a própria não-linearidade exponencial/quadrática do transistor em grandes sinais limita naturalmente a amplitude da oscilação sem exigir diodos externos.

Topologia	Rede Ressonante de Sintonia	Equação de Frequência (${\omega }_0$)	Condição de Partida da Oscilação
Colpitts	Divisor capacitivo ($C_1,C_2$) com indutor $L$	${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{L{C}_{eq}}},C_{eq}=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$	$g_m{R}_L\ge \frac{C_2}{C_1}$ (ou $\frac{C_1}{C_2}$)
Hartley	Divisor indutivo ($L_1,L_2$) com capacitor $C$	${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{(L_1+L_2+2M)C}}$	$g_m{R}_L\ge \frac{L_1+M}{L_2+M}$
Cristal de Quartzo	Efeito Piezoelétrico ($L_s,C_s,R_s$ série e $C_p$ paralelo)	$f_s=\frac{1}{2\pi \sqrt{L_s{C}_s}},f_p=f_s\sqrt{1+\frac{C_s}{C_p}}$	Estabilidade $\Delta f/f<10^{-6}$ ($Q>10^5$)

5.4 Osciladores Não-Lineares de Relaxação (Multivibrador Astável com Schmitt Trigger)

Diferentemente dos osciladores harmônicos baseados no critério linear de Barkhausen, os Osciladores de Relaxação geram ondas quadradas e triangulares alternando ciclicamente um elemento armazenador de energia (capacitor $C$) entre dois limiares de comutação de um Comparador Regenerativo com Histerese (Schmitt Trigger):

1. Realimentação Positiva (Divisor $R_1,R_2$ na entrada $v^{+}$): Fixa os limiares superior e inferior de comutação em: $\boxed{V_{TH}=+V_{\text{sat}}\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}\right)=+\beta V_{\text{sat}},V_{TL}=-V_{\text{sat}}\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}\right)=-\beta V_{\text{sat}}}$ onde $\beta =\frac{R_1}{R_1+R_2}$ é a fração de realimentação positiva.
2. Realimentação Negativa Temporizada (Rede $RC$ na entrada $v^{-}$): O capacitor $C$ carrega-se exponencialmente através de $R$ em direção a $+V_{\text{sat}}$ até atingir $+\beta V_{\text{sat}}$, instante em que a saída comuta abruptamente para $-V_{\text{sat}}$, iniciando a descarga rumo a $-\beta V_{\text{sat}}$. O período de oscilação da onda quadrada resultante é:

$\boxed{T=2RC\ln \left(\frac{1+\beta }{1-\beta }\right)=2RC\ln \left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right)⟺f_0=\frac{1}{2RC\ln \left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right)}}$

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6. Diagrama Arquitetural Consolidado

O diagrama técnico vetorial a seguir ilustra a resposta em magnitude das aproximações de filtros, o circuito esquemático do filtro Sallen-Key biquadrático, a malha de Barkhausen e o circuito completo do oscilador por Ponte de Wien com limitador não-linear:

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7. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia

Exercício Resolvido 1 — Projeto de Filtro Anti-Aliasing Sallen-Key Butterworth (Petrobras / CESGRANRIO)

Enunciado: Deseja-se projetar um filtro passa-baixas ativo de 2ª ordem com aproximação de Butterworth para atuar como filtro anti-aliasing na entrada de um conversor analógico-digital de $16\text{ bits}$. A frequência de corte estipulada a $-3\text{ dB}$ é $f_c=10\text{ kHz}$. A topologia adotada é Sallen-Key de componentes casados ($R_1=R_2=R$ e $C_1=C_2=C$). Dispõe-se de capacitores comerciais padronizados de precisão de $C=1\text{ nF}$.

Determine:

1. O valor exato do resistor $R$.
2. A relação de resistores do amplificador não-inversor ($R_a$ e $R_b$) para satisfazer o amortecimento rigoroso de Butterworth.
3. A atenuação fornecida pelo filtro para um componente espúrio de interferência localizado em $f=100\text{ kHz}$ ($1$ década acima do corte).

Solução Passo a Passo:

1. Dimensionamento dos Componentes $R$ e $C$: Frequência angular de corte: ${\omega }_0=2\pi f_c=2\pi \times 10.000=20.000\pi \approx 62.831,85\text{ rad/s}$ Para componentes casados na topologia Sallen-Key: ${\omega }_0=\frac{1}{RC}⟹R=\frac{1}{{\omega }_{0}C}=\frac{1}{62.831,85\times 10^{-9}\text{ F}}\approx 15.915,5\Omega =15,92\text{ k}\Omega$ Adota-se o resistor comercial E96 de $15,8\text{ k}\Omega$ ou associação de precisão ($15\text{ k}\Omega +910\Omega$).

2. Dimensionamento dos Resistores de Ganho ($R_a,R_b$): Para Butterworth de 2ª ordem, $Q=1/\sqrt{2}\approx 0,7071$. A relação para componentes casados estabelece: $Q=\frac{1}{3-K}⟹3-K=\sqrt{2}⟹K=3-\sqrt{2}\approx 1,5858$ Como $K=1+R_a/R_b$: $\frac{R_a}{R_b}=K-1=2-\sqrt{2}\approx 0,5858$ Escolhendo $R_b=10\text{ k}\Omega$ ($1\%$): $R_a=0,5858\times 10.000=5.858\Omega$ Adota-se o valor comercial padrão de $5,9\text{ k}\Omega$ ou trimpot multivoltas para calibração fina.

3. Atenuação em $f=100\text{ kHz}$: A frequência normalizada é $\omega /{\omega }_c=100\text{ kHz}/10\text{ kHz}=10$. Aplicando a magnitude da resposta de Butterworth de 2ª ordem ($n=2$): $|T(j\omega ){|}_{\text{norm}}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{2n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+(10{)}^4}}=\frac{1}{\sqrt{10.001}}\approx \frac{1}{100,005}\approx 0,0100$ Em decibéis: $A_{\text{dB}}=20{\log }_{10}(0,01)=-40\text{ dB}$ O filtro atenua a componente espúria em exatamente $40\text{ dB}$ (fator de redução de amplitude de $100$ vezes).

$\boxed{R=15,92\text{ k}\Omega ,R_a/R_b=0,586,\text{Atenuac¸a˜o em }100\text{ kHz}=-40\text{ dB}}$

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Exercício Resolvido 2 — Oscilador por Ponte de Wien com Estabilização a Diodos (Marinha do Brasil)

Enunciado: Em um oscilador senoidal por Ponte de Wien, deseja-se gerar uma onda senoidal de frequência fixa $f_0=1\text{ kHz}$. São fornecidos capacitores casados de $C=10\text{ nF}$.

Determine:

1. O valor de resistência $R$ da rede de avanço-atraso.
2. Sabendo que o resistor de entrada do amplificador não-inversor é $R_1=10\text{ k}\Omega$, calcule o valor teórico de $R_f$ para oscilação sustentada e explique como estabilizar a amplitude sem distorção por ceifamento utilizando diodos de silício.

Solução Passo a Passo:

1. Cálculo da Resistência $R$: ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi \times 1.000=2.000\pi \approx 6.283,18\text{ rad/s}$ $R=\frac{1}{2\pi f_{0}C}=\frac{1}{2\pi \times 1.000\times 10\times 10^{-9}}=\frac{1}{6,2832\times 10^{-5}}\approx 15.915,5\Omega =15,92\text{ k}\Omega$

2. Cálculo de $R_f$ e Estabilização com Diodos: Para manter a oscilação permanente de Barkhausen, o ganho de malha fechada deve ser $A_v=3$: $A_v=1+\frac{R_f}{R_1}=3⟹R_f=2R_1=2\times 10\text{ k}\Omega =20\text{ k}\Omega$ Para garantir a partida autônoma a partir do ruído térmico, projeta-se $R_f$ ligeiramente superior em pequenos sinais ($A_v>3$). Divide-se a resistência de realimentação em duas partes: um resistor série fixo $R_{f1}=18\text{ k}\Omega$ em série com a associação paralelo de um resistor $R_{f2}=4,7\text{ k}\Omega$ e dois diodos em antiparalelo ($D_1,D_2$):

   • Na partida (pequenos sinais, $v_o<0,5\text{ V}$): Os diodos estão cortados (circuito aberto). A resistência total de realimentação é $R_f=R_{f1}+R_{f2}=18+4,7=22,7\text{ k}\Omega$. O ganho vale $A_v=1+22,7/10=3,27>3$. A oscilação inicia-se espontaneamente e cresce;
   • Em regime permanente (grande sinal, $v_o\approx 2\text{ V}$): Quando a tensão nos terminais de $R_{f2}$ atinge $\sim 0,6\text{ V}$, os diodos conduzem progressivamente durante os picos, colocando uma resistência dinâmica baixa em paralelo com $R_{f2}$. A resistência equivalente efetiva de realimentação cai suavemente para $20\text{ k}\Omega$, fixando o ganho médio do ciclo em $A_v=3,00$ exato e estabilizando a onda com distorção harmônica insignificante.

$\boxed{R=15,92\text{ k}\Omega ,R_f=20\text{ k}\Omega (\text{com }{A}_v=3,27\text{ na partida e }3,00\text{ no regime com diodos})}$

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Exercício Resolvido 3 — Dimensionamento de Ordem de Filtros Butterworth e Chebyshev (UFPR — TE329 Aula 08)

Enunciado: Considere dois projetos independentes de filtros seletivos de rádio frequência (RF):

• Caso A (Aproximação de Butterworth): Deseja-se um filtro passa-baixas com atenuação máxima de $0,45\text{ dB}$ ($|H(j{\omega }_1)|\ge 0,95$) na borda da banda passante $f_1=1\text{ MHz}$ e atenuação mínima de $9,1\text{ dB}$ ($|H(j{\omega }_2)|\le 0,35$) na frequência de rejeição $f_2=2\text{ MHz}$.
• Caso B (Aproximação de Chebyshev): Deseja-se um filtro passa-baixas com ondulação (ripple) máxima de $1\text{ dB}$ na banda passante até $f_0=5\text{ MHz}$ e atenuação mínima de $30\text{ dB}$ em $f_s=10\text{ MHz}$.

Determine: A ordem inteira mínima $n$ necessária para o filtro do Caso A (Butterworth) e para o filtro do Caso B (Chebyshev).

Solução Passo a Passo:

1. Caso A — Ordem do Filtro de Butterworth: Da expressão de magnitude $|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+(\omega /{\omega }_0{)}^{2n}}$:
   • Em $f_1=1\text{ MHz}$ ($|H|=0,95$): $0,95^2=\frac{1}{1+{\left(\frac{2\pi \cdot 1\text{ MHz}}{{\omega }_0}\right)}^{2n}}⟹{\left(\frac{2\pi \cdot 1\text{ MHz}}{{\omega }_0}\right)}^{2n}=\frac{1}{0,9025}-1\approx 0,1080$
   • Em $f_2=2\text{ MHz}$ ($|H|=0,35$): $0,35^2=\frac{1}{1+{\left(\frac{2\pi \cdot 2\text{ MHz}}{{\omega }_0}\right)}^{2n}}⟹{\left(\frac{2\pi \cdot 2\text{ MHz}}{{\omega }_0}\right)}^{2n}=\frac{1}{0,1225}-1\approx 7,1633$ Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar ${\omega }_0$: ${\left(\frac{2\text{ MHz}}{1\text{ MHz}}\right)}^{2n}=2^{2n}=\frac{7,1633}{0,1080}\approx 66,32$ Testando potências inteiras ($n=1⟹2^2=4$; $n=2⟹2^4=16$; $n=3⟹2^6=64\approx 66,32$; rigorosamente $n=\frac{\ln (66,32)}{2\ln 2}=3,025\to 3\text{ ou }4$): Na aproximação prática de projeto da apostila ($2^6=64\approx 66,3$), adota-se ordem $n=3$ (ou $n=4$ com folga estrita).
2. Caso B — Ordem do Filtro de Chebyshev:
   • Cálculo do fator de ondulação $\epsilon$ para $R_{\text{dB}}=1\text{ dB}$: $1\text{ dB}=20{\log }_{10}\sqrt{1+{\epsilon }^2}⟹\epsilon =\sqrt{10^{1/10}-1}=\sqrt{1,2589-1}\approx 0,5088$
   • Atenuação de $30\text{ dB}$ em $f_s=10\text{ MHz}$ (${\omega }_s/{\omega }_0=10/5=2$) corresponde a $|H_{SB}|=10^{-30/20}=0,03162$: $0,03162=\frac{1}{\sqrt{1+(0,5088{)}^2{\cosh }^2\left(n\mathrm{arccosh}(2)\right)}}$ ${\cosh }^2\left(n\mathrm{arccosh}(2)\right)=\frac{(1/0,03162{)}^2-1}{0,5088^2}=\frac{999}{0,2589}\approx 3.859$ $\cosh \left(n\mathrm{arccosh}(2)\right)=\sqrt{3.859}\approx 62,12⟹n=\frac{\mathrm{arccosh}(62,12)}{\mathrm{arccosh}(2)}=\frac{4,822}{1,317}\approx 3,66⟹\boxed{n=4}$

$\boxed{n_{\text{Butterworth}}=3\text{ (ou }4\text{)},{\epsilon }_{\text{Chebyshev}}=0,5088,n_{\text{Chebyshev}}=4}$

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Exercício Resolvido 4 — Projeto de Oscilador Colpitts de RF em $6\text{ GHz}$ (UFPR — TE329 Lista 3 Questão 8)

Enunciado: Considere um oscilador Colpitts a transistor bipolar (BJT) projetado para operar em micro-ondas na frequência de oscilação $f_0=6\text{ GHz}$. O transistor é polarizado por uma fonte de corrente de emissor $I_1=2\text{ mA}$ ($I_E\approx I_C=2\text{ mA}$, $V_T=25\text{ mV}$), possui resistência equivalente de coletor $R_1=100\text{ k}\Omega$ e capacitor $C_1=10\text{ nF}$.

Determine: O valor limite de $C_2$ para assegurar a condição de partida da oscilação e o valor correspondente do indutor $L$ do tanque ressonante.

Solução Passo a Passo:

1. Cálculo da Frequência Angular ${\omega }_0$ e Transcondutância $g_m$: ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi \times 6\times 10^9\text{ Hz}\approx 3,77\times 10^{10}\text{ rad/s}$ $g_m=\frac{I_C}{V_T}=\frac{2\text{ mA}}{25\text{ mV}}=0,08\text{ S}$
2. Condição de Partida da Oscilação para $C_2$: No oscilador Colpitts, a condição de ganho mínimo de malha exige: $\frac{C_2}{C_1}\le g_m{R}_1⟹C_2\le g_m{R}_1{C}_1=0,08\text{ S}\times 100\times 10^3\Omega \times 10\times 10^{-9}\text{ F}=80\mu \text{F}$
3. Cálculo da Indutância $L$ no Limite $C_2=80\mu \text{F}$: Como $C_2\gg C_1$, a capacitância equivalente série do tanque é $C_{eq}=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}\approx C_1=10\text{ nF}$: ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{L{C}_{eq}}}⟹L=\frac{1}{{\omega }_0^2{C}_{eq}}=\frac{1}{(3,77\times 10^{10}{)}^2\times 10\times 10^{-9}}\approx 7,03\times 10^{-14}\text{ H}\approx 70\text{ fH}$

$\boxed{g_m=0,08\text{ S},C_2\le 80\mu \text{F},L\approx 70\text{ fH}}$

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8. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões Comentadas)

Bloco 1: Filtros Analógicos e Rejeição de Interferência (Lista 3 TE329)

Questão 1 — Especificação de Rejeição Mínima e Fator de Qualidade em Filtros (Lista 3 TE329 - Questões 1c e 1l)

Enunciado: Em um receptor de comunicações, um sinal interferente situado na banda de rejeição apresenta potência $5\text{ dB}$ maior que a potência do sinal de interesse situado na banda passante. O projeto exige que, após a filtragem (cuja atenuação na banda passante é de $0\text{ dB}$), o sinal interferente torne-se ao menos $10\text{ dB}$ menor que o sinal de interesse. Além disso, utiliza-se uma seção passa-baixas de 2ª ordem.

Com base nesses requisitos e na teoria de filtros biquadráticos, assinale a alternativa correta:

A) A rejeição mínima do filtro na frequência do interferente deve ser de $5\text{ dB}$, e para evitar sobre-sinal (pico de ressonância) na resposta em frequência deve-se adotar $Q>\frac{\sqrt{2}}{2}$.
B) A rejeição mínima do filtro na frequência do interferente deve ser de $15\text{ dB}$ (ganho $\le -15\text{ dB}$), e caso o fator de qualidade do filtro de 2ª ordem seja $Q>\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071$, surgirá um pico de elevação de ganho (peaking) próximo à frequência natural ${\omega }_n$. (Correta)
C) A rejeição mínima do filtro deve ser de $10\text{ dB}$, e qualquer filtro com $Q>0,5$ possui polos no semiplano direito.
D) A rejeição mínima do filtro deve ser de $50\text{ dB}$, e $Q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ corresponde ao filtro de Chebyshev com $3\text{ dB}$ de ondulação.
E) A rejeição mínima do filtro deve ser de $15\text{ dB}$, e o filtro só será estável se os polos complexos estiverem no semiplano direito.

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa B está correta.

• Rejeição mínima necessária: Inicialmente, $P_{\text{int,in}}-P_{\text{sinal,in}}=+5\text{ dB}$. Deseja-se na saída $P_{\text{int,out}}-P_{\text{sinal,out}}\le -10\text{ dB}$. Logo, a atenuação relativa que o filtro deve impor ao interferente é $\Delta A=5\text{ dB}-(-10\text{ dB})=15\text{ dB}$ (ganho de no máximo $-15\text{ dB}$ na frequência interferente).
• Efeito de $Q>\sqrt{2}/2$: Na função biquadrática passa-baixas $|H(j\omega )|=\frac{{\omega }_n^2}{\sqrt{({\omega }_n^2-{\omega }^2{)}^2+({\omega }_n\omega /Q{)}^2}}$, derivando o denominador em relação a ${\omega }^2$, verifica-se que para $Q\le \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071$ (sendo $Q=1/\sqrt{2}$ o limite de máxima planicidade de Butterworth) a curva decai monotonicamente. Para $Q>\frac{1}{\sqrt{2}}$, a derivada anula-se em ${\omega }_{\max }={\omega }_n\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$, produzindo um pico de ressonância (peaking) na resposta em magnitude e oscilações subamortecidas (ringing) na resposta ao degrau.

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Bloco 2: Condição de Partida e Sustentação em Osciladores (Lista 3 TE329)

Questão 2 — Análise de Partida e Sustentação de Oscilador por Ponte de Wien (Lista 3 TE329 - Questão 9)

Enunciado: Considere um circuito oscilador por Ponte de Wien construído com um Amp-Op cuja rede seletiva RC (conectada à entrada não-inversora $+$) possui $R=1\text{ k}\Omega$ e $C=10\text{ nF}$. A rede de realimentação negativa (conectada à entrada inversora $-$) é formada por um resistor de entrada $R_1=10\text{ k}\Omega$ para o terra e uma associação em série de $R_2=10\text{ k}\Omega$ e $R_3=10\text{ k}\Omega$ entre a saída e a entrada inversora (com diodos limitadores em antiparalelo conectados em paralelo com $R_3$).

Analise a operação desse circuito e assinale a alternativa correta:

A) A frequência de oscilação é $f_0=1,59\text{ kHz}$ e o circuito inicia a oscilação espontaneamente porque o ganho inicial é $A_v=4$.
B) A frequência natural da Ponte de Wien é $f_0=\frac{1}{2\pi RC}\approx 15,92\text{ kHz}$; contudo, como para pequenos sinais (diodos cortados) o ganho não-inversor máximo vale $A_v=1+\frac{R_2+R_3}{R_1}=1+\frac{20\text{ k}\Omega }{10\text{ k}\Omega }=3,00$ exato (e cai para $A_v=2,00<3$ caso os diodos conduzam), um circuito real sujeito a perdas e tolerâncias não garante partida confiável, sendo necessário elevar $R_2+R_3>2R_1$ (por exemplo, $R_2=18\text{ k}\Omega$ e $R_3=4,7\text{ k}\Omega$) para ter $|A\beta |>1$ na partida. (Correta)
C) O circuito oscila em $f_0=100\text{ kHz}$ porque o ganho da rede de Wien na ressonância é $\beta =1/29$.
D) Um oscilador ideal matematicamente puro e perfeitamente em repouso ($v(0)=0$) sem ruído térmico e sem entrada de start começa a oscilar espontaneamente desde que $|A\beta |=1$.
E) Quando os diodos em paralelo com $R_3$ entram em condução nos picos da senoide, o ganho do amplificador não-inversor aumenta de $3$ para $4$.

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa B está correta.

1. Cálculo da frequência: $f_0=\frac{1}{2\pi \times 10^3\Omega \times 10\times 10^{-9}\text{ F}}=\frac{1}{2\pi \times 10^{-5}}\approx 15.915,5\text{ Hz}=15,92\text{ kHz}$.
2. Análise do ganho de malha: Na frequência $f_0$, a Ponte de Wien apresenta atenuação $\beta (j{\omega }_0)=1/3$. Com $R_1=10\text{ k}\Omega$, $R_2=10\text{ k}\Omega$ e $R_3=10\text{ k}\Omega$, mesmo com os diodos abertos (pequenos sinais), o ganho máximo é $A_v=1+\frac{10\text{ k}+10\text{ k}}{10\text{ k}}=3,00⟹|A\beta |=1,00$. Assim que os diodos começam a conduzir sobre $R_3$, a resistência de realimentação cai abaixo de $20\text{ k}\Omega$, tornando $A_v<3$ e $|A\beta |<1$, amortecendo a oscilação! Para partir a partir do ruído térmico e manter a oscilação nos diodos, é indispensável que $R_2<2R_1$ e $R_2+R_3>2R_1$, garantindo $|A\beta |>1$ para pequenos sinais e $|A\beta |=1$ no limite de condução dos diodos.