⚡ Aula 02 - Análise de Potência em Regime CA - Potência Ativa, Reativa, Aparente e Fator de Potência

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📍 Disciplina: 03 Laboratório de Circuitos Elétricos | ⚡ Área: 03 Teoria Eletromagnética e Circuitos | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Análise de Circuitos Senoidais ⬅️ Aula Anterior: 01 - Fasores e Impedância | ➡️ Próxima Aula: 03 - Filtros Passivos e Ressonância

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🎯 Objetivos de Aprendizagem e Competências de Engenharia

1. Dedução Rigorosa da Potência Instantânea: Decompor analiticamente $p(t)=v(t)\cdot i(t)$ nas componentes de potência ativa unidirecional ($P$) e potência reativa pulsante alternada com o dobro da frequência da rede ($2\omega$).
2. Formulações Complexas de Potência: Dominar as relações fasoriais da Potência Complexa $\mathbf{S}=\mathbf{V}{\mathbf{I}}^{\ast }=P+jQ$, Potência Aparente $S=|\mathbf{S}|$, e o Fator de Potência $\text{FP}=\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)=P/S$.
3. Engenharia de Eficiência Energética: Dimensionar bancos de capacitores para correção do fator de potência em barramentos industriais conforme a regulamentação normativa nacional (Resolução Normativa ANEEL nº 1.000/2021).
4. Sistemas Trifásicos Equilibrados: Analisar conexões Estrela ($\text{Y}$) e Triângulo ($\Delta$), derivando com rigor as relações entre tensões e correntes de linha ($V_L,I_L$) e de fase ($V_F,I_F$) e a potência trifásica total $S_{3\varphi }=\sqrt{3}{V}_L{I}_L$.
5. Prática Experimental de Medição (Método de Aaron): Conectar e interpretar medições com wattímetros em bancada, aplicando o método dos dois wattímetros para deduzir simultaneamente a potência ativa total ($P_{3\varphi }=W_1+W_2$) e a potência reativa total ($Q_{3\varphi }=\sqrt{3}(W_1-W_2)$).

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🖼️ Visão Sinóptica: Diagrama Conceitual de Potência e Sistemas Trifásicos

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Triângulo de Potências CA, Oscilograma $p(t)$ e Correção do Fator de Potência

Ajuste a potência ativa $P$, o fator de potência inicial $\cos {\phi }_1$ e o alvo $\cos {\phi }_2$ ($\ge 0,92$ ANEEL), chaveie o banco de capacitores trifásico em Triângulo ($C_{\Delta }$) e observe em tempo real o abatimento de reativos $-Q_C$, a redução das perdas Joule nos cabos e o desaparecimento dos lóbulos negativos de devolução de energia em $p(t)$: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_potencia_ca_triangulo_correcao_fp.html]])

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1. Dedução Matemática da Potência em Regime Permanente CA

1.1 Da Potência Instantânea à Potência Ativa e Reativa

Considere um bipolo linear passivo qualquer alimentado por uma tensão senoidal $v(t)$, drenando uma corrente $i(t)$: $v(t)=V_m\cos (\omega t+{\theta }_v)=\sqrt{2}{V}_{\text{rms}}\cos (\omega t+{\theta }_v)$ $i(t)=I_m\cos (\omega t+{\theta }_i)=\sqrt{2}{I}_{\text{rms}}\cos (\omega t+{\theta }_i)$

A Potência Instantânea $p(t)$ entregue ao bipolo no instante $t$ é o produto escalar temporal: $p(t)=v(t)\cdot i(t)=2V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\cos (\omega t+{\theta }_v)\cos (\omega t+{\theta }_i)$

Aplicando a identidade trigonométrica do produto de cossenos $\cos (A)\cos (B)=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$: $p(t)=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\left[\cos ({\theta }_v-{\theta }_i)+\cos (2\omega t+{\theta }_v+{\theta }_i)\right]$

Definindo o ângulo de impedância da carga $\theta \triangleq {\theta }_v-{\theta }_i$ e expandindo o termo $\cos (2\omega t+{\theta }_v+{\theta }_i)=\cos (2\omega t+2{\theta }_v-\theta )=\cos (2\omega t+2{\theta }_v)\cos (\theta )+\sin (2\omega t+2{\theta }_v)\sin (\theta )$, pode-se reescrever a equação fundamental de potência na forma clássica de Fryze-Budeanu: $\boxed{p(t)=P\left[1+\cos (2\omega t+2{\theta }_v)\right]+Q\sin (2\omega t+2{\theta }_v)}$ onde:

• Potência Ativa (ou Média Real) $P$: $P\triangleq \frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)dt=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\cos \theta [\text{Watt, W}]$ Representa a taxa líquida de conversão irreversível de energia elétrica em trabalho mecânico, calor (efeito Joule) ou radiação luminosa.
• Potência Reativa $Q$: $Q\triangleq V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\sin \theta [\text{volt-ampeˋre reativo, var}]$ Representa a amplitude da potência puramente oscilante com valor médio estritamente nulo, associada ao armazenamento e restituição cíclica de energia nos campos magnéticos de indutores e elétricos de capacitores.

1.2 A Potência Complexa ($\mathbf{S}$) e o Triângulo de Potências

Empregam-se os fasores eficazes de tensão $\mathbf{V}=V_{\text{rms}}\angle {\theta }_v$ e corrente $\mathbf{I}=I_{\text{rms}}\angle {\theta }_i$. A Potência Complexa ($\mathbf{S}$) é definida pelo produto do fasor de tensão pelo conjugado complexo do fasor de corrente (${\mathbf{I}}^{\ast }$): $\mathbf{S}\triangleq \mathbf{V}\cdot {\mathbf{I}}^{\ast }=(V_{\text{rms}}{e}^{j{\theta }_v})(I_{\text{rms}}{e}^{-j{\theta }_i})=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}{e}^{j({\theta }_v-{\theta }_i)}=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\angle \theta$

Expandindo na forma algébrica cartesiana via Euler: $\mathbf{S}=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\cos \theta +j{V}_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\sin \theta =\boxed{P+jQ}$

Propriedades geométricas e vetoriais:

1. Módulo da Potência Complexa (Potência Aparente $S$): $S=|\mathbf{S}|=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}=\sqrt{P^2+Q^2}[\text{volt-ampeˋre, VA}]$

2. Fator de Potência ($\text{FP}$): $\text{FP}\triangleq \frac{P}{S}=\frac{V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\cos \theta }{V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}}=\cos \theta (0\le \text{FP}\le 1)$

   • Cargas Indutivas ($\theta ={\theta }_v-{\theta }_i>0$): A corrente atrasa-se da tensão. $Q>0$ (a carga absorve potência reativa indutiva). $\text{FP}$ é dito atrasado (lagging).
   • Cargas Capacitivas ($\theta ={\theta }_v-{\theta }_i<0$): A corrente adianta-se da tensão. $Q<0$ (a carga fornece potência reativa ou absorve reativo capacitivo). $\text{FP}$ é dito adiantado (leading).
   • Carga Puramente Resistiva ($\theta =0^{\circ }$): $Q=0⟹S=P⟹\text{FP}=1,00$ (unitário).

3. Relação com a Impedância e Admitância: Substituindo $\mathbf{V}=\mathbf{ZI}$ e $\mathbf{I}=\mathbf{YV}$: $\mathbf{S}=(\mathbf{ZI}){\mathbf{I}}^{\ast }=\mathbf{Z}|\mathbf{I}{|}^2=(R+jX)I_{\text{rms}}^2=R{I}_{\text{rms}}^2+jX{I}_{\text{rms}}^2$ $\mathbf{S}=\mathbf{V}(\mathbf{YV}{)}^{\ast }=\mathbf{V}{\mathbf{Y}}^{\ast }{\mathbf{V}}^{\ast }={\mathbf{Y}}^{\ast }|\mathbf{V}{|}^2=(G-jB)V_{\text{rms}}^2$ $\boxed{P=R{I}_{\text{rms}}^2=G{V}_{\text{rms}}^2,Q=X{I}_{\text{rms}}^2=-B{V}_{\text{rms}}^2}$

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2. Correção do Fator de Potência em Ambientes Industriais

2.1 Justificativa Técnica, Operacional e Regulatória

Na maioria dos estabelecimentos industriais e comerciais, a grande maioria das cargas elétricas consiste em motores de indução trifásicos, fornos a arco, transformadores e reatores de lâmpadas de descarga. Todas essas cargas operam mediante a criação de fortes campos magnéticos, demandando expressiva quantidade de potência reativa indutiva ($Q_L>0$).

Consequências do baixo fator de potência ($\text{FP}<0,92$):

1. Sobrecarga de Corrente na Fiação: Como $I_{\text{rms}}=S/(\sqrt{3}{V}_L)=P/(\sqrt{3}{V}_L\cos \theta )$, para fornecer a mesma potência útil $P$, um $\cos \theta$ baixo eleva a corrente de linha $I_{\text{rms}}$ na razão inversa.
2. Aumento Drástico das Perdas Térmicas ($I^{2}R$): As perdas de energia por efeito Joule nos condutores de alimentação, barramentos e transformadores elevam-se quadraticamente com a corrente.
3. Quedas Excessivas de Tensão: A impedância das linhas de distribuição ($\Delta V\approx RI\cos \theta +XI\sin \theta$) causa afundamentos de tensão nos terminais das máquinas.
4. Penalidades Tarifárias da ANEEL: A regulamentação brasileira (Resolução Normativa ANEEL nº 1.000/2021) estipula o limite mínimo de $0,92$ (indutivo ou capacitivo). O consumidor com $\text{FP}<0,92$ paga faturas adicionais punitivas por consumo de energia reativa excedente.

2.2 Dedução do Dimensionamento do Banco de Capacitores

Para elevar o fator de potência de um valor inicial ${\text{FP}}_1=\cos {\theta }_1$ para um valor final desejado ${\text{FP}}_2=\cos {\theta }_2$ ($\text{com }{\theta }_2<{\theta }_1$), sem alterar a potência ativa $P$ requerida pelo processo produtivo, instala-se um banco de capacitores em derivação (paralelo) no barramento da carga.

Pela geometria do Triângulo de Potências:

• Reativo inicial da carga: $Q_1=P\tan {\theta }_1$
• Reativo líquido desejado visto pela rede: $Q_2=P\tan {\theta }_2$
• Potência reativa que o banco de capacitores deve fornecer ($Q_C$): $Q_C=Q_1-Q_2=P(\tan {\theta }_1-\tan {\theta }_2)$

Sendo a potência reativa de um capacitor trifásico alimentado por tensão de linha $V_L$ conectado em Triângulo ($\Delta$): $Q_{C,\Delta }=3\omega C_{\Delta }{V}_L^2⟹\boxed{C_{\Delta }=\frac{Q_C}{3\omega V_L^2}=\frac{P(\tan {\theta }_1-\tan {\theta }_2)}{3\omega V_L^2}}$ Para conexão em Estrela ($\text{Y}$): $Q_{C,\text{Y}}=3\omega C_{\text{Y}}{V}_F^2=\omega C_{\text{Y}}{V}_L^2⟹\boxed{C_{\text{Y}}=\frac{Q_C}{\omega V_L^2}=3C_{\Delta }}$ A ligação em triângulo ($\Delta$) é universalmente preferida na indústria, pois exige uma capacitância física três vezes menor ($C_{\Delta }=C_{\text{Y}}/3$) para fornecer exatamente a mesma potência reativa corretiva $Q_C$.

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3. Circuitos Trifásicos Equilibrados

Um sistema trifásico equilibrado é alimentado por um gerador simétrico cujas tensões de fase possuem amplitudes idênticas ($V_p$) e encontram-se defasadas temporalmente de $120^{\circ }$ ($2\pi /3\text{ rad}$) entre si.

• Sequência Direta (ABC ou Positiva): ${\mathbf{V}}_{an}=V_p\angle 0^{\circ },{\mathbf{V}}_{bn}=V_p\angle -120^{\circ },{\mathbf{V}}_{cn}=V_p\angle +120^{\circ }$
• Sequência Inversa (ACB ou Negativa): ${\mathbf{V}}_{an}=V_p\angle 0^{\circ },{\mathbf{V}}_{bn}=V_p\angle +120^{\circ },{\mathbf{V}}_{cn}=V_p\angle -120^{\circ }$

3.1 Conexão Estrela Equilibrada ($\text{Y}$)

Na ligação em Estrela com centro de estrela aterrado ou neutro comum ($n$):

• Tensões de Linha ($V_L$) vs. Tensões de Fase ($V_F$): A tensão entre duas fases $a$ e $b$ é: ${\mathbf{V}}_{ab}={\mathbf{V}}_{an}-{\mathbf{V}}_{bn}=V_p\angle 0^{\circ }-V_p\angle -120^{\circ }=V_p[1-(\cos (-120^{\circ })+j\sin (-120^{\circ }))]$ ${\mathbf{V}}_{ab}=V_p\left[1-\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]=V_p\left[\frac{3}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right]=\sqrt{3}{V}_p\angle +30^{\circ }$ $\boxed{V_L=\sqrt{3}{V}_F\angle +30^{\circ }⟹V_L=\sqrt{3}{V}_F\approx 1,732V_F}$
• Correntes de Linha ($I_L$) vs. Correntes de Fase ($I_F$): Como cada condutor de linha conecta-se diretamente em série com a respectiva fase da carga: $\boxed{I_L=I_F}$
• Corrente de Neutro: Em sistemas equilibrados, ${\mathbf{I}}_n={\mathbf{I}}_a+{\mathbf{I}}_b+{\mathbf{I}}_c=I_p\angle 0^{\circ }+I_p\angle -120^{\circ }+I_p\angle +120^{\circ }\equiv 0$. O condutor neutro não transporta corrente residual em regime senoidal puro.

3.2 Conexão Triângulo Equilibrada ($\Delta$)

Na ligação em Triângulo (Delta), as fases da carga conectam-se diretamente entre pares de condutores de linha:

• Tensões de Linha ($V_L$) vs. Tensões de Fase ($V_F$): $\boxed{V_L=V_F}$
• Correntes de Linha ($I_L$) vs. Correntes de Fase ($I_F$): Aplicando a LKC nos nós dos vértices do triângulo: ${\mathbf{I}}_a={\mathbf{I}}_{ab}-{\mathbf{I}}_{ca}=I_{\Delta }\angle 0^{\circ }-I_{\Delta }\angle +120^{\circ }=\sqrt{3}{I}_{\Delta }\angle -30^{\circ }$ $\boxed{I_L=\sqrt{3}{I}_F\angle -30^{\circ }⟹I_L=\sqrt{3}{I}_F\approx 1,732I_F}$

3.3 Potência Total em Sistemas Trifásicos Equilibrados

Independentemente de a carga estar ligada internamente em Estrela ($\text{Y}$) ou Triângulo ($\Delta$), a potência total absorvida pelo conjunto trifásico é:

• Potência Ativa Total: $P_{3\varphi }=3P_{\text{fase}}=3V_F{I}_F\cos \theta =\boxed{\sqrt{3}{V}_L{I}_L\cos \theta [\text{W}]}$
• Potência Reativa Total: $Q_{3\varphi }=3Q_{\text{fase}}=3V_F{I}_F\sin \theta =\boxed{\sqrt{3}{V}_L{I}_L\sin \theta [\text{var}]}$
• Potência Aparente Total: $S_{3\varphi }=\sqrt{P_{3\varphi }^2+Q_{3\varphi }^2}=\boxed{\sqrt{3}{V}_L{I}_L[\text{VA}]}$ onde $\theta =\angle {\mathbf{Z}}_{\text{fase}}$ é o ângulo da impedância de fase da carga.

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4. Medição Experimental em Bancada: O Método de Aaron

4.1 Princípio de Medição com Dois Wattímetros

Em qualquer sistema trifásico a três condutores (sem neutro ou com neutro isolado), o Teorema de Blondel estipula que a potência ativa total pode ser medida utilizando estritamente $N-1=3-1=2$ wattímetros. Esse arranjo de bancada é denominado Método dos Dois Wattímetros (ou Método de Aaron).

Conexão física:

• Wattímetro 1 ($W_1$): Bobina de corrente inserida em série na Linha $A$ (${\mathbf{I}}_A$); bobina de potencial conectada entre a Linha $A$ e a Linha $C$ (${\mathbf{V}}_{AC}$).
• Wattímetro 2 ($W_2$): Bobina de corrente inserida em série na Linha $B$ (${\mathbf{I}}_B$); bobina de potencial conectada entre a Linha $B$ e a Linha $C$ (${\mathbf{V}}_{BC}$). A linha $C$ é adotada como referencial comum de potencial para ambas as bobinas de voltagem.

4.2 Dedução Analítica das Leituras de Aaron

Para uma carga equilibrada com sequência de fases direta $ABC$ e ângulo de carga $\theta$:

1. Fasores do Wattímetro 1: ${\mathbf{I}}_A=I_L\angle -\theta$ ${\mathbf{V}}_{AC}={\mathbf{V}}_{an}-{\mathbf{V}}_{cn}=V_p\angle 0^{\circ }-V_p\angle 120^{\circ }=\sqrt{3}{V}_p\angle -30^{\circ }=V_L\angle -30^{\circ }$ A defasagem angular entre ${\mathbf{V}}_{AC}$ e ${\mathbf{I}}_A$ é: $\angle ({\mathbf{V}}_{AC},{\mathbf{I}}_A)=-30^{\circ }-(-\theta )=\theta -30^{\circ }⟺30^{\circ }-\theta$ Logo, a indicação do Wattímetro 1 é: $\boxed{W_1=V_L{I}_L\cos (30^{\circ }-\theta )}$

2. Fasores do Wattímetro 2: ${\mathbf{I}}_B=I_L\angle (-120^{\circ }-\theta )$ ${\mathbf{V}}_{BC}={\mathbf{V}}_{bn}-{\mathbf{V}}_{cn}=V_p\angle -120^{\circ }-V_p\angle 120^{\circ }=\sqrt{3}{V}_p\angle -90^{\circ }=V_L\angle -90^{\circ }$ A defasagem angular entre ${\mathbf{V}}_{BC}$ e ${\mathbf{I}}_B$ é: $\angle ({\mathbf{V}}_{BC},{\mathbf{I}}_B)=-90^{\circ }-(-120^{\circ }-\theta )=30^{\circ }+\theta$ Logo, a indicação do Wattímetro 2 é: $\boxed{W_2=V_L{I}_L\cos (30^{\circ }+\theta )}$

4.3 Dedução da Potência Ativa, Reativa e Fator de Potência

Expandindo as funções trigonométricas da soma e diferença de ângulos: $W_1=V_L{I}_L[\cos 30^{\circ }\cos \theta +\sin 30^{\circ }\sin \theta ]=V_L{I}_L\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta \right]$ $W_2=V_L{I}_L[\cos 30^{\circ }\cos \theta -\sin 30^{\circ }\sin \theta ]=V_L{I}_L\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta -\frac{1}{2}\sin \theta \right]$

1. Soma das Leituras ($W_1+W_2$): $W_1+W_2=V_L{I}_L\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta -\frac{1}{2}\sin \theta \right]=\sqrt{3}{V}_L{I}_L\cos \theta$ $\boxed{P_{3\varphi }=W_1+W_2}$ A soma das leituras de dois wattímetros fornece com precisão exata a potência ativa trifásica total consumida pela carga.

2. Diferença das Leituras ($W_1-W_2$): $W_1-W_2=V_L{I}_L\left[\frac{1}{2}\sin \theta -\left(-\frac{1}{2}\sin \theta \right)\right]=V_L{I}_L\sin \theta$ Multiplicando ambos os membros por $\sqrt{3}$: $\sqrt{3}(W_1-W_2)=\sqrt{3}{V}_L{I}_L\sin \theta =Q_{3\varphi }$ $\boxed{Q_{3\varphi }=\sqrt{3}(W_1-W_2)}$

3. Cálculo Direto da Tangente do Ângulo de Carga: Dividindo a equação do reativo pela equação do ativo: $\frac{Q_{3\varphi }}{P_{3\varphi }}=\tan \theta =\frac{\sqrt{3}(W_1-W_2)}{W_1+W_2}⟹\boxed{\theta =\arctan \left(\sqrt{3}\frac{W_1-W_2}{W_1+W_2}\right)}$ $\boxed{\text{FP}=\cos \theta =\cos \left[\arctan \left(\sqrt{3}\frac{W_1-W_2}{W_1+W_2}\right)\right]}$

Comportamento Peculiar do Wattímetro com Baixo Fator de Potência

• Se $\text{FP}=1,00$ ($\theta =0^{\circ }$): $W_1=W_2=\frac{\sqrt{3}}{2}{V}_L{I}_L$. Ambos os wattímetros marcam valores rigorosamente idênticos.
• Se $\text{FP}=0,50$ indutivo ($\theta =60^{\circ }$): $W_1=V_L{I}_L\cos (30^{\circ }-60^{\circ })=V_L{I}_L\cos (-30^{\circ })>0$, enquanto $W_2=V_L{I}_L\cos (30^{\circ }+60^{\circ })=V_L{I}_L\cos (90^{\circ })=0$. Um dos wattímetros marca zero!
• Se $\text{FP}<0,50$ ($\theta >60^{\circ }$): $W_2=V_L{I}_L\cos (30^{\circ }+\theta )<0$. O wattímetro 2 tentará defletir para trás (leitura negativa). No laboratório, inverte-se a polaridade da bobina de potencial para ler a magnitude e registra-se o valor com sinal negativo na fórmula!

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5. Exercícios Resolvidos Passo a Passo e Questões de Concursos

Questão 01 (Oficial - Ensaio de Carga RLC Monofásica)

Enunciado: Uma bancada de laboratório monofásica a $220{\text{ V}}_{\text{rms}}$, $60\text{ Hz}$ alimenta uma carga constituída por um resistor de $R=20\Omega$ em série com um indutor de indutância $L=50\text{ mH}$. Determine: a) A impedância complexa $\mathbf{Z}$ da carga e a corrente eficaz $I_{\text{rms}}$. b) As potências ativa ($P$), reativa ($Q$) e aparente ($S$). c) O fator de potência ($\text{FP}$) e sua classificação. d) A potência reativa do capacitor ($Q_C$) e a capacitância ($C$) necessária para elevar o fator de potência para $0,96$ indutivo.

Resolução Detalhada: a) Reatância indutiva a $60\text{ Hz}$: $\omega =2\pi \times 60=376,99\text{ rad/s}$ $X_L=\omega L=376,99\times 0,050=18,85\Omega$ Impedância: $\mathbf{Z}=20+j18,85\Omega$ Módulo e fase: $|\mathbf{Z}|=\sqrt{20^2+18,85^2}=\sqrt{400+355,3}=\sqrt{755,3}\approx 27,48\Omega$ $\theta =\arctan \left(\frac{18,85}{20}\right)=\arctan (0,9425)\approx 43,30^{\circ }$ Corrente eficaz: $I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{|\mathbf{Z}|}=\frac{220}{27,48}\approx \boxed{8,006\text{ A}}$

b) Potências:

• Aparente: $S=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}=220\times 8,006=\boxed{1761,3\text{ VA}}$
• Ativa: $P=S\cos (43,30^{\circ })=1761,3\times 0,7278=\boxed{1281,9\text{ W}}$ (ou $P=R{I}_{\text{rms}}^2=20\times 8,006^2=20\times 64,096=1281,9\text{ W}$)
• Reativa: $Q=S\sin (43,30^{\circ })=1761,3\times 0,6858=\boxed{1207,9\text{ var}}$

c) Fator de potência: ${\text{FP}}_1=\cos (43,30^{\circ })=\boxed{0,728\text{(atrasado / indutivo)}}$

d) Dimensionamento do capacitor para ${\text{FP}}_2=0,96$: ${\theta }_2=\arccos (0,96)\approx 16,26^{\circ }$ $\tan {\theta }_1=\tan (43,30^{\circ })\approx 0,9425$ $\tan {\theta }_2=\tan (16,26^{\circ })\approx 0,2917$ Potência reativa capacitiva: $Q_C=P(\tan {\theta }_1-\tan {\theta }_2)=1281,9\times (0,9425-0,2917)=1281,9\times 0,6508=\boxed{834,26\text{ var}}$ Capacitância requerida: $C=\frac{Q_C}{\omega V^2}=\frac{834,26}{376,99\times 220^2}=\frac{834,26}{376,99\times 48400}=\frac{834,26}{18246316}\approx 45,72\times 10^{-6}\text{ F}=\boxed{45,72\mu \text{F}}$

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Questão 02 (Oficial - Ensaio com Dois Wattímetros / Método de Aaron)

Enunciado: Em um ensaio de bancada trifásica equilibrada a três condutores com tensão de linha $V_L=380{\text{ V}}_{\text{rms}}$, o método dos dois wattímetros registrou as seguintes leituras de potência ativa: $W_1=3200\text{ W},W_2=1200\text{ W}$ Determine: a) A potência ativa trifásica total ($P_{3\varphi }$). b) A potência reativa trifásica total ($Q_{3\varphi }$). c) A potência aparente trifásica ($S_{3\varphi }$) e o fator de potência ($\text{FP}$) da carga. d) A corrente de linha eficaz ($I_L$).

Resolução Detalhada: a) Potência Ativa Total: $P_{3\varphi }=W_1+W_2=3200+1200=\boxed{4400\text{ W}=4,40\text{ kW}}$

b) Potência Reativa Total: $Q_{3\varphi }=\sqrt{3}(W_1-W_2)=\sqrt{3}(3200-1200)=\sqrt{3}\times 2000\approx 1,73205\times 2000=\boxed{3464,1\text{ var}=3,46\text{ kvar}}$

c) Potência Aparente e Fator de Potência: $S_{3\varphi }=\sqrt{P_{3\varphi }^2+Q_{3\varphi }^2}=\sqrt{4400^2+3464,1^2}=\sqrt{19360000+12000000}=\sqrt{31360000}=\boxed{5600\text{ VA}=5,60\text{ kVA}}$ Fator de potência: $\text{FP}=\frac{P_{3\varphi }}{S_{3\varphi }}=\frac{4400}{5600}=\frac{11}{14}\approx \boxed{0,7857\text{(indutivo)}}$ Ângulo da carga: $\theta =\arccos (0,7857)\approx 38,21^{\circ }$

d) Corrente de linha: $S_{3\varphi }=\sqrt{3}{V}_L{I}_L⟹I_L=\frac{S_{3\varphi }}{\sqrt{3}{V}_L}=\frac{5600}{\sqrt{3}\times 380}=\frac{5600}{658,18}\approx \boxed{8,508\text{ A}}$

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Questão 03 (Petrobras - Engenharia Elétrica / Carga Trifásica em Triângulo)

Enunciado: Uma carga trifásica equilibrada conectada em triângulo ($\Delta$) possui impedância por fase de ${\mathbf{Z}}_{\Delta }=30+j40\Omega$. A carga é alimentada por uma linha trifásica equilibrada com tensão de linha de $V_L=200{\text{ V}}_{\text{rms}}$, sequência de fases positiva. Determine: a) A corrente de fase ($I_F$) e a corrente de linha ($I_L$). b) As potências ativa, reativa e aparente trifásicas totais. c) A impedância equivalente por fase caso a carga fosse convertida para uma ligação Estrela ($\text{Y}$).

Resolução Detalhada: a) Módulo da impedância de fase: $|{\mathbf{Z}}_{\Delta }|=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\Omega$ Na conexão $\Delta$, a tensão na fase da carga é a própria tensão de linha: $V_F=V_L=200\text{ V}$ Corrente de fase: $I_F=\frac{V_F}{|{\mathbf{Z}}_{\Delta }|}=\frac{200}{50}=\boxed{4,00\text{ A}}$ Corrente de linha em $\Delta$: $I_L=\sqrt{3}{I}_F=\sqrt{3}\times 4,00\approx \boxed{6,928\text{ A}}$

b) Potências trifásicas totais:

• Potência ativa: $P_{3\varphi }=3R_{\Delta }{I}_F^2=3\times 30\times (4,00{)}^2=90\times 16=\boxed{1440\text{ W}}$ Ou: $P_{3\varphi }=\sqrt{3}{V}_L{I}_L\cos \theta =\sqrt{3}\times 200\times 6,928\times \left(\frac{30}{50}\right)=2400\times 0,60=1440\text{ W}$.
• Potência reativa: $Q_{3\varphi }=3X_{\Delta }{I}_F^2=3\times 40\times (4,00{)}^2=120\times 16=\boxed{1920\text{ var}}$
• Potência aparente: $S_{3\varphi }=\sqrt{1440^2+1920^2}=\sqrt{2073600+3686400}=\sqrt{5760000}=\boxed{2400\text{ VA}}$

c) Conversão $\Delta \leftrightarrow \text{Y}$: Para manter exatamente as mesmas correntes de linha e potências absorvidas: ${\mathbf{Z}}_{\text{Y}}=\frac{{\mathbf{Z}}_{\Delta }}{3}=\frac{30+j40}{3}=\boxed{10+j13,33\Omega }$

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Questão 04 (Concurso Marinha CP-CEM / Wattímetro com Leitura Negativa)

Enunciado: Uma carga trifásica equilibrada indutiva é ensaiada pelo método dos dois wattímetros. Verifica-se que o wattímetro $W_1$ acusa $4000\text{ W}$ e o wattímetro $W_2$ sofreu deflexão reversa. Após a inversão da sua bobina de potencial, sua escala marcou $1000\text{ W}$. Determine: a) A potência ativa trifásica total. b) A potência reativa trifásica total. c) O fator de potência da instalação.

Resolução Detalhada: a) Como o wattímetro $W_2$ defletiu para trás, sua leitura real algébrica é negativa: $W_2=-1000\text{ W}$. A potência ativa trifásica total é: $P_{3\varphi }=W_1+W_2=4000+(-1000)=\boxed{3000\text{ W}=3,00\text{ kW}}$

b) Potência reativa trifásica total: $Q_{3\varphi }=\sqrt{3}(W_1-W_2)=\sqrt{3}[4000-(-1000)]=\sqrt{3}(5000)\approx 1,73205\times 5000=\boxed{8660,25\text{ var}=8,66\text{ kvar}}$

c) Fator de potência: $S_{3\varphi }=\sqrt{P_{3\varphi }^2+Q_{3\varphi }^2}=\sqrt{3000^2+8660,25^2}=\sqrt{9000000+75000000}=\sqrt{84000000}\approx 9165,15\text{ VA}$ $\text{FP}=\frac{P_{3\varphi }}{S_{3\varphi }}=\frac{3000}{9165,15}\approx \boxed{0,327\text{(indutivo)}}$ Constata-se que $\text{FP}=0,327<0,50$, o que comprova analiticamente a ocorrência de leitura negativa no wattímetro $W_2$, pois $\theta =\arccos (0,327)\approx 70,89^{\circ }>60^{\circ }$.

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Questão 05 (CEBRASPE / Correção Reativa Industrial)

Enunciado: Uma indústria opera com demanda ativa de $P=600\text{ kW}$ em tensão de linha de $V_L=13,8\text{ kV}$, $60\text{ Hz}$, apresentando fator de potência de $0,80$ indutivo. Para eliminar multas da concessionária, deseja-se elevar o fator de potência para $0,95$ indutivo mediante a instalação de um banco de capacitores trifásico conectado em triângulo. Determine a potência reativa total do banco ($Q_C$) e a capacitância por fase do banco ($C_{\Delta }$).

Resolução Detalhada:

1. Ângulos de carga:

• ${\text{FP}}_1=0,80⟹{\theta }_1=\arccos (0,80)\approx 36,87^{\circ }⟹\tan {\theta }_1=0,750$
• ${\text{FP}}_2=0,95⟹{\theta }_2=\arccos (0,95)\approx 18,19^{\circ }⟹\tan {\theta }_2=0,3287$

2. Potência reativa do banco: $Q_C=P(\tan {\theta }_1-\tan {\theta }_2)=600\text{ kW}\times (0,750-0,3287)=600\times 0,4213=\boxed{252,78\text{ kvar}}$

3. Capacitância por fase ligada em $\Delta$: $Q_C=3\omega C_{\Delta }{V}_L^2⟹C_{\Delta }=\frac{Q_C}{3\omega V_L^2}$ $\omega =2\pi \times 60\approx 376,99\text{ rad/s}$ $V_L=13800\text{ V}⟹V_L^2=190,44\times 10^6{\text{ V}}^2$ $C_{\Delta }=\frac{252,78\times 10^3}{3\times 376,99\times 190,44\times 10^6}=\frac{252,78\times 10^3}{215,38\times 10^9}\approx 1,174\times 10^{-6}\text{ F}=\boxed{1,174\mu \text{F}}$

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Questão 06 (Conservação de Potência Complexa - Teorema de Tellegen)

Enunciado: Em um barramento industrial de $440{\text{ V}}_{\text{rms}}$, operam em paralelo três cargas:

• Carga 1: Motor elétrico consumindo $P_1=20\text{ kW}$ com ${\text{FP}}_1=0,80$ atrasado.
• Carga 2: Aquecedor resistivo de $P_2=15\text{ kW}$ com ${\text{FP}}_2=1,00$.
• Carga 3: Carga síncrona sobre-excitada consumindo $P_3=10\text{ kW}$ com ${\text{FP}}_3=0,707$ adiantado (capacitivo). Determine a potência complexa total (${\mathbf{S}}_{\text{tot}}$), o fator de potência resultante no barramento e a corrente total suprida.

Resolução Detalhada:

1. Potências individuais:

• Carga 1: $P_1=20\text{ kW}$; $Q_1=P_1\tan (\arccos 0,8)=20\times 0,75=+15\text{ kvar}$.
• Carga 2: $P_2=15\text{ kW}$; $Q_2=0\text{ kvar}$.
• Carga 3: $P_3=10\text{ kW}$; $\text{FP}=0,707⟹\theta =-45^{\circ }⟹Q_3=10\times \tan (-45^{\circ })=-10\text{ kvar}$.

2. Soma algébrica de potências (Teorema de Tellegen): $P_{\text{tot}}=P_1+P_2+P_3=20+15+10=\boxed{45\text{ kW}}$ $Q_{\text{tot}}=Q_1+Q_2+Q_3=+15+0-10=\boxed{+5\text{ kvar}}$ Potência complexa total: ${\mathbf{S}}_{\text{tot}}=\boxed{45+j5\text{ kVA}}$

3. Potência aparente e fator de potência resultante: $S_{\text{tot}}=\sqrt{45^2+5^2}=\sqrt{2025+25}=\sqrt{2050}\approx \boxed{45,277\text{ kVA}}$ ${\text{FP}}_{\text{tot}}=\frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}}=\frac{45}{45,277}\approx \boxed{0,9939\text{(atrasado / indutivo)}}$ A carga síncrona sobre-excitada atuou como compensador síncrono natural, elevando o fator de potência quase à unidade.

4. Corrente total (supondo sistema trifásico a $V_L=440\text{ V}$): $I_L=\frac{S_{\text{tot}}}{\sqrt{3}{V}_L}=\frac{45277}{\sqrt{3}\times 440}=\frac{45277}{762,1}\approx \boxed{59,41\text{ A}}$

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Questão 07 (Fator de Potência em Circuitos Não-Senoidais / Distorção Harmônica)

Enunciado: Um conversor estático chaveado opera em regime permanente. A tensão da rede é senoidal pura com $v(t)=\sqrt{2}\times 127\cos (\omega t)\text{ V}$, porém a corrente drenada é não-senoidal, apresentando componente fundamental e 3ª harmônica: $i(t)=\sqrt{2}\times 10\cos (\omega t-30^{\circ })+\sqrt{2}\times 4\cos (3\omega t-60^{\circ })\text{ A}$ Determine: a) O valor eficaz da corrente ($I_{\text{rms}}$). b) A potência ativa média ($P$). c) O fator de potência de deslocamento ($\text{FPD}=\cos {\varphi }_1$). d) A taxa de distorção harmônica total da corrente (${\text{THD}}_i$) e o fator de potência real global ($\text{FP}$).

Resolução Detalhada: a) Valor eficaz da corrente com múltiplas harmônicas: $I_{\text{rms}}=\sqrt{I_1^2+I_3^2}=\sqrt{10^2+4^2}=\sqrt{100+16}=\sqrt{116}\approx \boxed{10,77\text{ A}}$

b) Potência ativa média: Como a tensão só possui componente fundamental ($\omega$), o produto com harmônicas ortogonais de frequências diferentes ($3\omega$) tem integral de período nula: $P=V_{1,\text{rms}}{I}_{1,\text{rms}}\cos ({\theta }_1)=127\times 10\times \cos (30^{\circ })=1270\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx \boxed{1099,85\text{ W}}$

c) Fator de Potência de Deslocamento: $\text{FPD}=\cos ({\theta }_1)=\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \boxed{0,866}$

d) Distorção harmônica e fator de potência real: ${\text{THD}}_i=\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^{\infty }{I}_h^2}}{I_1}=\frac{4}{10}=0,40⟹\boxed{40\%}$ Potência aparente total: $S=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}=127\times 10,77\approx 1367,8\text{ VA}$ Fator de potência global: $\text{FP}=\frac{P}{S}=\frac{1099,85}{1367,8}\approx \boxed{0,804}$ Demonstração pela relação teórica: $\text{FP}=\frac{1}{\sqrt{1+{\text{THD}}_i^2}}\times \text{FPD}=\frac{1}{\sqrt{1+0,4^2}}\times 0,866=\frac{0,866}{\sqrt{1,16}}=\frac{0,866}{1,077}\approx 0,804$

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6. Procedimento Experimental de Bancada: Método dos Dois Wattímetros

Roteiro Prático: Ensaio de Carga Trifásica com Método de Aaron

1. Equipamentos Requeridos na Bancada:
   • Fonte de alimentação trifásica regulável ($380ext{V}_{extlinha}/220ext{V}_{extfase}$, $60extHz$).
   • Módulo de cargas trifásicas passivas RLC balanceadas/desbalanceadas.
   • 2 Wattímetros monofásicos digitais de precisão eletrodinâmica (ou analisador de grandezas de rede).
   • Alicate amperímetro True-RMS e multímetro digital categoria CAT III 600V.
2. Conexão Elétrica do Circuito (Arranjo dos Dois Wattímetros de Aaron):
   • Conectar a Linha A do alimentador ao terminal de entrada da bobina de corrente do Wattímetro 1 ($W_1$).
   • Conectar o terminal de saída da bobina de corrente de $W_1$ ao terminal de entrada da fase A da carga.
   • Conectar a Linha B do alimentador à entrada da bobina de corrente do Wattímetro 2 ($W_2$).
   • Conectar o terminal de saída da bobina de corrente de $W_2$ ao terminal de entrada da fase B da carga.
   • Conectar a Linha C diretamente ao terminal C da carga (adotada como fase comum de referência flutuante).
   • Conectar a bobina de potencial de $W_1$ entre a Linha A e a Linha C ($V_{AC}$).
   • Conectar a bobina de potencial de $W_2$ entre a Linha B e a Linha C ($V_{BC}$).
3. Execução Operativa do Ensaio:
   • Configuração 1 (Carga puramente resistiva $R=100\Omega$ por fase em estrela Y):
     Registrar as leituras $W_1$ e $W_2$. Constatar experimentalmente a simetria $W_1=W_2$ decorrente do fator de potência unitário ($\cos heta=1$).
   • Configuração 2 (Carga mista indutiva $R=100\Omega +L=200extmH$ em estrela Y):
     Registrar $W_1$ e $W_2$. Calcular a potência ativa total $P_{3\varphi }=W_1+W_2$ e a potência reativa total $Q_{3\varphi }=\sqrt{3}(W_1-W_2)$.
   • Configuração 3 (Compensação Reativa com banco de capacitores em paralelo):
     Inserir capacitores shunt e registrar a equalização progressiva das potências lidas em $W_1$ e $W_2$, comprovando a elevação do fator de potência global da instalação.

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7. Bibliografia Recomendada e Normas Técnicas

1. ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
2. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. Pearson Education do Brasil, 2016.
3. KOSOW, Irving L. Circuitos Elétricos e Máquinas Elétricas. São Paulo: Globo, 2005.
4. ANEEL. Resolução Normativa nº 1.000, de 7 de dezembro de 2021. Estabelece as Regras de Prestação do Serviço Público de Distribuição de Energia Elétrica.
5. IEEE Std 1459-2010: IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions.