🔌 Aula 02 - Métodos de Análise Nodal, Análise de Malhas e Teoremas de Thévenin e Norton

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula, o engenheiro eletricista estará plenamente capacitado a:

1. Formular sistematicamente a Análise Nodal Matricial ($\mathbf{GV}=\mathbf{I}$) para topologias complexas com $N$ nós, aplicando rigorosamente o conceito de Supernó em fontes de tensão flutuantes.
2. Formular matricialmente a Análise de Malhas ($\mathbf{R}{\mathbf{I}}_m={\mathbf{V}}_m$) para grafos planares, dominando a técnica da Supermalha quando fontes de corrente se localizam em ramos compartilhados.
3. Aplicar o Princípio da Superposição e demonstrar analiticamente por que o teorema é válido para grandezas lineares (tensão e corrente), mas não se aplica diretamente ao cômputo da potência dissipada.
4. Calcular com precisão analítica os Circuitos Equivalentes de Thévenin e Norton para redes ativas bilaterais contendo fontes dependentes (controladas), utilizando os métodos da fonte de teste externa ($1\text{ V}$ ou $1\text{ A}$) e do quociente $V_{ca}/I_{cc}$.
5. Delinear e demonstrar o Teorema da Máxima Transferência de Potência por cálculo diferencial, distinguindo as premissas de projeto de sistemas de telecomunicações (casamento de impedâncias, $\eta =50\%$) das restrições de operação de Sistemas Elétricos de Potência ($\eta \ge 95\%$).

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🗺️ Mapa Conceitual da Análise Sistemática e Teoremas de Redes

Diagrama Arquitetural de Técnicas e Equivalentes

O diagrama abaixo sintetiza a árvore de métodos sistemáticos de circuitos lineares, o tratamento de singularidades (supernós e supermalhas), a dualidade Thévenin-Norton e o comportamento da curva de máxima transferência de potência.

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1. Análise Nodal Matricial

A análise nodal baseia-se na aplicação sistemática da Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) a todos os nós de um circuito, tendo como variáveis primárias as tensões nodais medidas em relação a um nó arbitrado como referência comum (potencial zero ou terra, $V_{\text{ref}}=0\text{ V}$).

1.1 Formulação Canônica para Redes com Condutâncias

Em uma rede com $N$ nós, seleciona-se $1$ nó de referência. Restam $N-1$ nós independentes cujos potenciais $\{v_1,v_2,\dots ,v_{N-1}\}$ definem unicamente todas as tensões de ramo do circuito.

Para um circuito contendo exclusivamente resistores (expressos por suas condutâncias $G_k=1/R_k$) e fontes independentes de corrente, a LKC aplicada a cada nó $k$ estabelece que a soma das correntes que deixam o nó através dos resistores adjacentes é igual à soma líquida das correntes injetadas no nó por fontes independentes:

$$\sum _{j\ne k}{G}_{kj}(v_k-v_j)+G_{k0}{v}_k=\sum i_{\text{injetada}}$$

Agrupando os termos em relação a cada tensão nodal $v_j$, obtém-se o sistema linear matricial compacto:

$$\boxed{\mathbf{G}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{i}}_s}$$

Expandindo para uma rede de 3 nós independentes ($N=4$):

$$\left[\begin{array}{ccc}{G}_{11}& G_{12}& G_{13}\\ G_{21}& G_{22}& G_{23}\\ G_{31}& G_{32}& G_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{i}_{s1}\\ i_{s2}\\ i_{s3}\end{array}\right]$$

Onde:

• Termos diagonais ($G_{kk}$): Auto-condutância do nó $k$, dada pela soma escalar de todas as condutâncias conectadas diretamente ao nó $k$. São valores estritamente positivos ($G_{kk}>0$).
• Termos fora da diagonal ($G_{kj}$, com $k\ne j$): Condutância mútua entre os nós $k$ e $j$, dada pelo negativo da soma de todas as condutâncias ligadas diretamente entre os nós $k$ e $j$. Em circuitos recíprocos e passivos, a matriz é simétrica ($G_{kj}=G_{jk}\le 0$).
• Vetor de excitação (${\mathbf{i}}_s$): O termo $i_{sk}$ representa a soma algébrica das correntes de fontes independentes que entram no nó $k$ (positivo para correntes que entram, negativo para correntes que saem).

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1.2 Tratamento de Fontes de Tensão e o Conceito de Supernó

Quando o circuito contém fontes de tensão ideais, a corrente através da fonte é uma incógnita indeterminada pela lei de Ohm direta. Surgem duas categorias operacionais:

1. Fonte de tensão conectada entre a referência e um nó essencial $k$: A tensão do nó $k$ torna-se imediatamente conhecida a priori:

   $$v_k=V_s\text{ou}{v}_k=-V_s$$

   Isso reduz a dimensão do sistema matricial em $1$ grau de liberdade.

2. Fonte de tensão flutuante (conectada entre dois nós independentes $k$ e $j$): A corrente interna da fonte não pode ser expressa em função das tensões nodais por Ohm. Cria-se então um Supernó.

Definição e Propriedades do Supernó

Um Supernó é formado envolvendo-se a fonte de tensão flutuante (e quaisquer elementos conectados em paralelo com ela) por uma superfície gaussiana fechada.

As regras de solução são:

1. Equação da LKC: Aplica-se a LKC à superfície do supernó como se ele fosse um único macro-nó unificado: $\sum i_{\text{deixando o supernoˊ}}=0$
2. Equação de Restrição (Equação Constitutiva da Fonte): Relaciona as tensões nodais dos nós envolvidos com a força eletromotriz da fonte: $v_{\text{terminal positivo}}-v_{\text{terminal negativo}}=V_s$

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1.3 Presença de Fontes Controladas (Dependentes)

Se existirem fontes dependentes (geradores controlados por tensão ou corrente):

• As grandezas de controle (como $v_x$ ou $i_x$) devem ser reescritas estritamente em função das tensões nodais do sistema ($\mathbf{v}$).
• Os coeficientes resultantes alteram os elementos da matriz $\mathbf{G}$, destruindo sua simetria canônica ($G_{kj}\ne G_{jk}$).
• A formulação matricial mantém a forma ${\mathbf{G}}_{\text{geral}}\mathbf{v}={\mathbf{i}}_s$, resolúvel por eliminação de Gauss ou inversão matricial ($\mathbf{v}={\mathbf{G}}^{-1}{\mathbf{i}}_s$).

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2. Análise de Malhas Matricial

A análise de malhas apoia-se na Lei de Kirchhoff das Tensões (LKV) e é restrita a circuitos planares (circuitos que podem ser desenhados em um plano geométrico sem que nenhum condutor cruze outro condutor).

2.1 Formulação Canônica para Grafos Planares

Uma malha essencial é definida como um laço fechado que não contém nenhum outro laço em seu interior. Para uma rede planar com $B$ ramos e $N$ nós, o número de malhas fundamentais e linearmente independentes $M$ é dado pela relação topológica de Euler:

$$\boxed{M=B-N+1}$$

Atribui-se a cada uma das $M$ malhas uma corrente fictícia circulante (adotando convencionalmente o sentido horário para todas as correntes de malha $i_1,i_2,\dots ,i_M$).

A LKV aplicada à malha $k$ resulta na equação matricial clássica:

$$\boxed{\mathbf{R}\cdot {\mathbf{i}}_m={\mathbf{v}}_m}$$

Expandindo para um circuito de 3 malhas:

$$\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\\ i_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}_{s1}\\ v_{s2}\\ v_{s3}\end{array}\right]$$

Onde:

• Termos diagonais ($R_{kk}$): Auto-resistência da malha $k$, calculada pela soma aritmética simples de todas as resistências pertencentes ao perímetro da malha $k$ ($R_{kk}>0$).
• Termos fora da diagonal ($R_{kj}$, com $k\ne j$): Resistência mútua entre as malhas $k$ e $j$. Como as correntes fictícias foram arbitradas todas no mesmo sentido horário, nos ramos compartilhados elas fluem em sentidos opostos, logo $R_{kj}=-\sum R_{\text{compartilhados}}\le 0$. Para redes recíprocas sem fontes controladas, a matriz $\mathbf{R}$ é rigorosamente simétrica ($R_{kj}=R_{jk}$).
• Vetor de excitação (${\mathbf{v}}_m$): Soma algébrica das elevações de potencial causadas por fontes independentes de tensão ao longo do percurso horário da malha $k$ (fontes que elevam o potencial no sentido do percurso entram com sinal positivo; fontes que geram queda entram com sinal negativo).

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2.2 Tratamento de Fontes de Corrente e o Conceito de Supermalha

Se uma malha possuir fontes de corrente, a queda de tensão através da fonte não é conhecida a priori pela lei de Ohm.

1. Fonte de corrente pertencente exclusivamente a uma malha perimétrica externa: A corrente da malha $k$ fica imediatamente determinada pelo valor da fonte: $i_k=I_s\text{ou}{i}_k=-I_s$ O sistema de equações tem sua ordem reduzida em 1.

2. Fonte de corrente compartilhada entre duas malhas adjacentes ($k$ e $j$): A tensão nos terminais da fonte é desconhecida. Deve-se empregar o conceito de Supermalha.

Definição e Procedimento da Supermalha

Uma Supermalha é formada pela exclusão virtual (abertura momentânea do circuito) do ramo que contém a fonte de corrente e quaisquer elementos em série com ela.

As duas etapas essenciais de equacionamento são:

1. Equação da LKV: Aplica-se a LKV contornando o perímetro externo unificado resultante das duas malhas combinadas: $\sum v_{\text{lac¸o externo}}=0$
2. Equação de Restrição: Relaciona as correntes de malha que cruzam o ramo da fonte com a corrente imposta: $i_{\text{mesmo sentido}}-i_{\text{sentido oposto}}=I_s$

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3. Princípio da Superposição e Transformação de Fontes

3.1 Princípio da Superposição em Redes Lineares

O Princípio da Superposição afirma que a resposta (tensão ou corrente em qualquer elemento) de um circuito linear bilateral excitado por múltiplas fontes independentes é igual à soma algébrica das respostas individuais produzidas por cada fonte independente atuando isoladamente, enquanto todas as demais fontes independentes permanecem desativadas:

$$x(t)=\sum _{k=1}^S{x}_k(t)$$

onde $x_k$ é a grandeza calculada sob a excitação exclusiva da $k$-ésima fonte independente.

Regras de Desativação de Fontes Independentes

• Fonte de Tensão Independente: Para anular a tensão ($V=0\text{ V}$), substitui-se a fonte por um curto-circuito (fio ideal de resistência zero).
• Fonte de Corrente Independente: Para anular a corrente ($I=0\text{ A}$), substitui-se a fonte por um circuito aberto (interrupção do condutor, $R\to \infty$).

Alertas Críticos de Engenharia

1. Fontes Dependentes NUNCA são Desativadas: Fontes controladas por variáveis do próprio circuito devem permanecer ativas durante todas as etapas parciais da superposição, pois seu valor varia proporcionalmente às grandezas locais de cada subcircuito.
2. Não Aplicabilidade Direta ao Cálculo de Potência: A potência dissipada em um resistor é uma função quadrática da tensão ou corrente ($P=R{i}^2=v^2/R$). Como o operador quadrático é não-linear: $(i_1+i_2{)}^2=i_1^2+i_2^2+2i_1{i}_2\ne i_1^2+i_2^2⟹P\ne P_1+P_2$ Portanto, deve-se somar primeiramente as tensões ou correntes parciais para então calcular a potência sobre o valor total resultante.

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3.2 Transformação de Fontes Reais (Equivalência Terminal)

Uma fonte real de tensão (fonte ideal $V_s$ em série com resistência interna $R_s$) é estritamente equivalente em seus terminais externos $A-B$ a uma fonte real de corrente (fonte ideal $I_s$ em paralelo com uma resistência $R_p$), desde que satisfeitas as condições duais:

$$\boxed{I_s=\frac{V_s}{R_s}}\text{e}\boxed{R_p=R_s}$$

A prova desta equivalência decorre da equação característica da reta $V-I$ nos terminais de carga $A-B$:

• Fonte de tensão com resistência série: $v=V_s-R_{s}i$
• Fonte de corrente com resistência shunt: $i=I_s-\frac{v}{R_p}⟹v=R_p{I}_s-R_{p}i$

Igualando os coeficientes linear e angular das duas retas, obtém-se $R_s=R_p$ e $V_s=R_s{I}_s$.

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4. Teoremas de Thévenin e Norton

Os teoremas formulados independentemente por Léon Charles Thévenin (1883) e Edward Lawry Norton (1926) permitem sintetizar qualquer rede resistiva linear ativa bi-terminal complexa em um circuito equivalente elementar de dois componentes.

4.1 Enunciados dos Teoremas

Teorema de Thévenin

Qualquer circuito linear bi-terminal formado por resistores e fontes pode ser substituído, em relação a seus terminais de acesso $A-B$, por uma fonte de tensão ideal de Thévenin ($V_{th}$) conectada em série com uma resistência de Thévenin ($R_{th}$):

• $V_{th}$ (Tensão de Thévenin): É a tensão em circuito aberto observada entre os terminais $A$ e $B$ quando nenhuma carga externa está conectada: $V_{th}=V_{AB,\text{ca}}=v_{oc}$
• $R_{th}$ (Resistência de Thévenin): É a resistência equivalente vista a partir dos terminais $A-B$ quando todas as fontes independentes internas do circuito são desligadas.

Teorema de Norton

Qualquer circuito linear bi-terminal pode ser substituído por uma fonte de corrente ideal de Norton ($I_N$) em paralelo com uma resistência interna de Norton ($R_N=R_{th}$):

• $I_N$ (Corrente de Norton): É a corrente que flui entre os terminais $A$ e $B$ quando estes são colocados em curto-circuito franco ($R_L=0$): $I_N=I_{AB,\text{cc}}=i_{sc}$

A relação fundamental entre os equivalentes é regida pela Lei de Ohm:

$$\boxed{V_{th}=R_{th}\cdot I_N}⟺\boxed{R_{th}=\frac{V_{th}}{I_N}=\frac{V_{ca}}{I_{cc}}}$$

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4.2 Métodos Universais para Determinação de $R_{th}$

O método analítico para determinação de $R_{th}$ depende fundamentalmente da natureza das fontes presentes na rede:

Método 1: Redes Contendo Exclusivamente Fontes Independentes

1. Anulam-se todas as fontes independentes (curto-circuita-se fontes de tensão e abre-se fontes de corrente).
2. Calcula-se a resistência equivalente $R_{AB}$ diretamente por associações série, paralelo e estrela-triângulo ($\Delta$-Y): $R_{th}=R_{eq,\text{desativado}}$

Método 2: Redes Contendo Fontes Independentes e Fontes Dependentes

Neste caso, as fontes controladas não podem ser desligadas, inviabilizando associações diretas. Utilizam-se duas vias de cálculo:

• Via A: Método da Tensão de Aberto e Corrente de Curto ($V_{ca}/I_{cc}$)

  1. Calcula-se a tensão de circuito aberto nos terminais $A-B$: $V_{th}=V_{ca}$.
  2. Aplica-se um curto-circuito ideal entre $A$ e $B$ e calcula-se a corrente de curto: $I_N=I_{cc}$.
  3. Obtém-se a resistência equivalente por quociente direto: $\boxed{R_{th}=\frac{V_{ca}}{I_{cc}}}$

• Via B: Método da Fonte Externa de Teste ($V_0/I_0$)

  1. Anulam-se todas as fontes independentes.
  2. Conecta-se aos terminais $A-B$ uma fonte de teste externa arbitrária: uma fonte de tensão $V_0=1\text{ V}$ (e calcula-se a corrente $I_0$ drenada) ou uma fonte de corrente $I_0=1\text{ A}$ (e calcula-se a tensão $V_0$ produzida nos nós): $\boxed{R_{th}=\frac{V_0}{I_0}}$

Redes Sem Fontes Independentes ( $V_{th}=0$)

Se uma rede contiver apenas resistores e fontes dependentes (como modelos de pequenos sinais de transistores bipolares ou MOSFETs sem polarização externa): $V_{th}=0\text{ V}\text{e}{I}_N=0\text{ A}$ Nesse cenário, o método $V_{ca}/I_{cc}$ resulta na indeterminação $0/0$. O único método matematicamente aplicável é a injeção da fonte externa de teste ($V_0/I_0$).

Resistência de Thévenin Negativa ( $R_{th}<0$)

Se o cálculo resultar em $R_{th}<0$, isso indica que a rede interna contém elementos ativos (como amplificadores operacionais ou fontes controladas) fornecendo potência líquida para o circuito externo, comportando-se como uma fonte não-passiva que pode induzir instabilidade térmica ou dinâmica.

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5. Teorema da Máxima Transferência de Potência

5.1 Dedução Matemática por Cálculo Diferencial

Considere uma rede linear ativa representada por seu equivalente de Thévenin ($V_{th},R_{th}$) conectada a uma carga puramente resistiva variável $R_L$:

A corrente que circula na malha única fechada pela carga é:

$$I_L=\frac{V_{th}}{R_{th}+R_L}$$

A potência média instantânea entregue e dissipada pelo resistor de carga $R_L$ é expressa por:

$$P_L(R_L)=I_L^2\cdot R_L={\left(\frac{V_{th}}{R_{th}+R_L}\right)}^2{R}_L=V_{th}^2\cdot \frac{R_L}{(R_{th}+R_L{)}^2}$$

Para encontrar o valor de $R_L$ que maximiza a transferência de potência, impõe-se a condição de primeira derivada nula em relação a $R_L$:

$$\frac{d{P}_L}{d{R}_L}=0$$

Aplicando a regra do quociente à função:

$$\frac{d{P}_L}{d{R}_L}=V_{th}^2\cdot \frac{1\cdot (R_{th}+R_L{)}^2-R_L\cdot 2(R_{th}+R_L)\cdot 1}{(R_{th}+R_L{)}^4}=0$$

Simplificando o termo comum $(R_{th}+R_L)\ne 0$:

$$(R_{th}+R_L)-2R_L=0⟹R_{th}-R_L=0$$

Portanto, a condição de extremo é:

$$\boxed{R_L=R_{th}}$$

Para demonstrar formalmente que se trata de um ponto de máximo global, avalia-se a segunda derivada:

$${\frac{d^2{P}_L}{d{R}_L^2}|}_{R_L=R_{th}}=-\frac{V_{th}^2}{8R_{th}^3}<0(\forall R_{th}>0)$$

A concavidade voltada para baixo confirma o máximo global da curva.

Substituindo $R_L=R_{th}$ na equação da potência de carga:

$$P_{L,\max }=V_{th}^2\cdot \frac{R_{th}}{(R_{th}+R_{th}{)}^2}=V_{th}^2\cdot \frac{R_{th}}{4R_{th}^2}$$ $$\boxed{P_{L,\max }=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}}}$$

Em termos do equivalente de Norton ($V_{th}=R_{th}{I}_N$):

$$\boxed{P_{L,\max }=\frac{I_N^2{R}_{th}}{4}=\frac{I_N^2}{4G_N}}$$

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5.2 Análise da Eficiência Energética ($\eta$) e Trade-offs de Engenharia

A potência total gerada internamente pela fonte de Thévenin durante a operação sob carga é:

$$P_{\text{gerada}}=V_{th}\cdot I_L=V_{th}\cdot \left(\frac{V_{th}}{R_{th}+R_L}\right)=\frac{V_{th}^2}{R_{th}+R_L}$$

A eficiência energética $\eta$ (rendimento do sistema) é a razão entre a potência útil entregue à carga e a potência gerada:

$$\eta =\frac{P_L}{P_{\text{gerada}}}=\frac{I_L^2{R}_L}{I_L^2(R_{th}+R_L)}=\frac{R_L}{R_{th}+R_L}\times 100\%$$

No ponto de Máxima Transferência de Potência ($R_L=R_{th}$):

$$\eta =\frac{R_{th}}{R_{th}+R_{th}}=\frac{1}{2}=\boxed{50\%}$$

Comparação Fundamental de Engenharia: Telecomunicações vs Sistemas de Potência

Critério / Domínio	Engenharia de Comunicações & Áudio	Sistemas Elétricos de Potência (SEP)
Objetivo Primário	Máxima potência transferida ao receptor / ausência de reflexão de onda.	Máxima eficiência de transmissão ($\eta \to 100\%$) e mínima perda Joule.
Condição Operacional	Casamento de Impedâncias: $R_L=R_{th}$ ($Z_L=Z_{th}^{\ast }$).	Fonte de baixa impedância: $R_{th}\ll R_L$ (ex: $R_L\approx 100\times R_{th}$).
Rendimento ($\eta$)	$50\%$ (a metade da energia é dissipada internamente na fonte).	$\ge 95\%$ (perdas internas na fonte não ultrapassam $2$ a $5\%$).
Nível de Potência	Milivolts / Miliwatts ($\text{mW},\mu \text{W}$). Dissipação interna de 50% é inofensiva.	Megavolts / Megawatts ($\text{MW},\text{GW}$). Dissipar 50% derreteria geradores e transformadores.

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6. Exercícios Práticos Resolvidos Passo a Passo (Mão na Massa)

🏋️ Mão na Massa 01: Análise Nodal com Supernó Flutuante

Enunciado: Considere o circuito com 4 nós ($0,1,2,3$), sendo o nó $0$ o terra de referência ($V_0=0\text{ V}$). Entre os nós $1$ e $2$ há uma fonte de tensão independente flutuante de $12\text{ V}$ (polo positivo no nó $2$). O nó $1$ está conectado à referência através de um resistor $R_1=4\Omega$. O nó $2$ está conectado à referência através de um resistor $R_2=2\Omega$. Entre o nó $2$ e o nó $3$ há um resistor $R_3=4\Omega$. O nó $3$ está conectado à referência através de um resistor $R_4=8\Omega$ e recebe uma injeção de corrente constante de uma fonte independente de $5\text{ A}$ entrando no nó $3$. Determine as tensões nodais $v_1,v_2$ e $v_3$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Identificação do Supernó A fonte de $12\text{ V}$ está ligada diretamente entre dois nós não-referência ($1$ e $2$). Criamos um Supernó (1-2).

Passo 2: Equação de Restrição da Fonte de Tensão

$$v_2-v_1=12⟹v_2=v_1+12$$

Passo 3: LKC no Supernó (1-2) Somamos todas as correntes que deixam os nós $1$ e $2$:

$$\frac{v_1-0}{R_1}+\frac{v_2-0}{R_2}+\frac{v_2-v_3}{R_3}=0$$

Substituindo os valores de resistência ($R_1=4\Omega$, $R_2=2\Omega$, $R_3=4\Omega$):

$$\frac{v_1}{4}+\frac{v_2}{2}+\frac{v_2-v_3}{4}=0$$

Multiplicando toda a equação por $4$:

$$v_1+2v_2+(v_2-v_3)=0⟹v_1+3v_2-v_3=0$$

Substituindo $v_2=v_1+12$:

$$v_1+3(v_1+12)-v_3=0⟹4v_1-v_3=-36\text{— (Equac¸a˜o I)}$$

Passo 4: LKC no Nó 3 Somamos as correntes que deixam o nó $3$ e igualamos à fonte de corrente que entra:

$$\frac{v_3-v_2}{R_3}+\frac{v_3-0}{R_4}=5$$

Substituindo $R_3=4\Omega$ e $R_4=8\Omega$:

$$\frac{v_3-v_2}{4}+\frac{v_3}{8}=5$$

Multiplicando toda a equação por $8$:

$$2(v_3-v_2)+v_3=40⟹-2v_2+3v_3=40$$

Substituindo $v_2=v_1+12$:

$$-2(v_1+12)+3v_3=40⟹-2v_1-24+3v_3=40⟹-2v_1+3v_3=64\text{— (Equac¸a˜o II)}$$

Passo 5: Resolução do Sistema Linear 2x2 Multiplicando a (Equação I) por $3$ e somando com a (Equação II) multiplicada por $1$:

$$\{\begin{array}{l}12v_1-3v_3=-108\\ -2v_1+3v_3=64\end{array}$$

Somando termo a termo:

$$10v_1=-44⟹v_1=-4,4\text{ V}$$

Determinando $v_2$ e $v_3$:

$$v_2=v_1+12=-4,4+12=7,6\text{ V}$$

Da Equação I:

$$v_3=4v_1+36=4(-4,4)+36=-17,6+36=18,4\text{ V}$$

$\boxed{v_1=-4,4\text{ V},v_2=7,6\text{ V},v_3=18,4\text{ V}}$

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🏋️ Mão na Massa 02: Análise de Malhas com Supermalha

Enunciado: Um circuito de duas malhas possui na malha 1 uma fonte independente de tensão contínua de $24\text{ V}$ em série com um resistor $R_1=3\Omega$. O ramo compartilhado entre a malha 1 e a malha 2 contém uma fonte de corrente independente de $2\text{ A}$ apontando para cima. A malha 2 contém um resistor de topo $R_2=4\Omega$ e um resistor de saída $R_3=5\Omega$ conectado ao ramo inferior de retorno. Calcule as correntes de malha horárias $i_1$ e $i_2$ e a tensão nos terminais da fonte de corrente.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Identificação da Supermalha A fonte de corrente de $2\text{ A}$ reside exclusivamente no ramo comum entre a malha 1 e a malha 2. Logo, forma-se uma Supermalha (1-2) removendo temporariamente o ramo central.

Passo 2: Equação de Restrição da Fonte de Corrente No ramo central compartilhado, a corrente de malha $i_1$ desce e a corrente de malha $i_2$ sobe. Como a fonte de $2\text{ A}$ aponta para cima:

$$i_2-i_1=2⟹i_2=i_1+2$$

Passo 3: LKV no Perímetro da Supermalha Percorrendo a supermalha no sentido horário partindo do polo negativo da fonte de $24\text{ V}$:

$$-24+R_1{i}_1+R_2{i}_2+R_3{i}_2=0$$

Substituindo os valores das resistências ($R_1=3\Omega$, $R_2=4\Omega$, $R_3=5\Omega$):

$$-24+3i_1+(4+5)i_2=0⟹3i_1+9i_2=24$$

Dividindo por 3:

$$i_1+3i_2=8$$

Passo 4: Substituição e Determinação das Correntes Substituindo $i_2=i_1+2$:

$$i_1+3(i_1+2)=8⟹4i_1+6=8⟹4i_1=2⟹i_1=0,5\text{ A}$$

Portanto:

$$i_2=0,5+2=2,5\text{ A}$$

Passo 5: Tensão sobre a Fonte de Corrente ($v_x$) Aplicando a LKV na malha 1 original (com $v_x$ positivo no nó superior da fonte de corrente):

$$-24+R_1{i}_1+v_x=0⟹v_x=24-3(0,5)=24-1,5=22,5\text{ V}$$

$\boxed{i_1=0,5\text{ A},i_2=2,5\text{ A},v_x=22,5\text{ V}}$

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🏋️ Mão na Massa 03: Equivalente Thévenin com Fonte Dependente

Enunciado: Um circuito ativo bi-terminal possui entre os nós $A$ e $B$ uma fonte independente de tensão de $30\text{ V}$ em série com um resistor $R_1=6\Omega$. Conectado em paralelo com este ramo há uma fonte de corrente dependente controlada por tensão fornecendo $2v_x$ (apontando para o nó $A$), onde $v_x$ é a diferença de potencial sobre o resistor $R_1$ (polaridade positiva à esquerda, no polo positivo da fonte de $30\text{ V}$). Um resistor $R_2=12\Omega$ está conectado em paralelo com os terminais externos de saída $A-B$. Determine o circuito equivalente de Thévenin ($V_{th},R_{th}$) e o equivalente de Norton ($I_N$).

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Determinação de $V_{th}$ (Tensão de Circuito Aberto $V_{ca}$) Com os terminais $A-B$ abertos, nenhuma corrente sai para a carga ($i_{ext}=0$). Adotando o terminal $B$ como referência ($V_B=0\text{ V}$), o potencial do nó $A$ é $v_A=V_{th}$. A tensão sobre o resistor $R_1$ é:

$$v_x=30-v_A$$

A corrente que desce por $R_1$ é $\frac{30-v_A}{6}$. A corrente que desce por $R_2$ é $\frac{v_A}{12}$. A fonte dependente injeta $2v_x$ diretamente no nó $A$. Aplicando a LKC no nó $A$:

$$\frac{30-v_A}{6}+2v_x=\frac{v_A}{12}$$

Como $v_x=30-v_A$:

$$\frac{30-v_A}{6}+2(30-v_A)=\frac{v_A}{12}$$

Multiplicando toda a equação por $12$:

$$2(30-v_A)+24(30-v_A)=v_A⟹26(30-v_A)=v_A$$ $$780-26v_A=v_A⟹27v_A=780⟹v_A=\frac{780}{27}=\frac{260}{9}\approx 28,89\text{ V}$$

Logo:

$$\boxed{V_{th}=\frac{260}{9}\text{ V}\approx 28,89\text{ V}}$$

Passo 2: Determinação de $R_{th}$ pelo Método da Fonte de Teste Desativamos a fonte independente de $30\text{ V}$ (substituindo-a por um curto-circuito, $V=0\text{ V}$). A fonte dependente $2v_x$ permanece ativa. Aplicamos entre os terminais $A-B$ uma fonte externa de tensão de teste $V_0=1\text{ V}$. Com a fonte de $30\text{ V}$ em curto, a tensão sobre $R_1$ (que agora tem o terminal esquerdo aterrado e o direito ligado a $A$) é:

$$v_x=0-V_0=-V_0=-1\text{ V}$$

A corrente da fonte controlada torna-se:

$$2v_x=2(-1)=-2\text{ A}$$

A LKC aplicada no nó $A$ impõe que a corrente de teste $I_0$ injetada pela fonte externa divide-se entre $R_1$, $R_2$ e a fonte dependente:

$$I_0=\frac{V_0}{R_1}+\frac{V_0}{R_2}-2v_x$$

Substituindo $V_0=1\text{ V}$, $R_1=6\Omega$, $R_2=12\Omega$ e $v_x=-1\text{ V}$:

$$I_0=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-2(-1)=\frac{2+1}{12}+2=\frac{3}{12}+2=0,25+2=2,25\text{ A}=\frac{9}{4}\text{ A}$$

Calculando a resistência de Thévenin:

$$\boxed{R_{th}=\frac{V_0}{I_0}=\frac{1}{9/4}=\frac{4}{9}\Omega \approx 0,444\Omega }$$

Passo 3: Determinação do Equivalente de Norton ($I_N$) Pela relação canônica:

$$\boxed{I_N=\frac{V_{th}}{R_{th}}=\frac{260/9}{4/9}=\frac{260}{4}=65\text{ A}}$$

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🏋️ Mão na Massa 04: Dimensionamento para Máxima Transferência de Potência

Enunciado: O circuito de excitação de um sistema de transmissão possui $V_{th}=48\text{ V}$ e $R_{th}=16\Omega$.

1. Determine o valor ideal da resistência de carga $R_L$ para obter a máxima potência de saída e calcule $P_{L,\max }$.
2. Calcule a potência dissipada na carga caso $R_L$ seja selecionado com o dobro do valor ideal ($R_L=32\Omega$) e com a metade do valor ideal ($R_L=8\Omega$).
3. Compare o rendimento elétrico ($\eta$) nos três casos.

Resolução Passo a Passo:

Item 1: Condição Ideal de Máxima Potência Pelo teorema demonstrado:

$$R_L=R_{th}=16\Omega$$ $$P_{L,\max }=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}}=\frac{48^2}{4\times 16}=\frac{2304}{64}=36\text{ W}$$

Rendimento:

$$\eta =\frac{R_L}{R_{th}+R_L}=\frac{16}{16+16}=50\%$$

Item 2: Caso de Carga com o Dobro ($R_L=32\Omega$) Corrente de malha:

$$I_L=\frac{48}{16+32}=\frac{48}{48}=1\text{ A}$$

Potência dissipada:

$$P_L=I_L^2{R}_L=(1{)}^2\times 32=32\text{ W}$$

Rendimento:

$$\eta =\frac{32}{16+32}=\frac{32}{48}=66,67\%$$

Item 3: Caso de Carga com a Metade ($R_L=8\Omega$) Corrente de malha:

$$I_L=\frac{48}{16+8}=\frac{48}{24}=2\text{ A}$$

Potência dissipada:

$$P_L=I_L^2{R}_L=(2{)}^2\times 8=4\times 8=32\text{ W}$$

Rendimento:

$$\eta =\frac{8}{16+8}=\frac{8}{24}=33,33\%$$

Simetria da Curva de Transferência de Potência

Observe que tanto para o dobro quanto para a metade da resistência ideal ($R_L=2R_{th}$ e $R_L=R_{th}/2$), a potência absorvida é rigorosamente a mesma ($32\text{ W}$), demonstrando a simetria da função de transferência em escala logarítmica. Contudo, para $R_L=32\Omega$ o rendimento é significativamente superior ($66,7\%$ contra $33,3\%$), gerando menos calor interno na fonte de excitação.

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7. Questões de Concursos e Exames Oficiais com Gabarito Comentado

📝 Questão 01 — CESPE / CEBRASPE - 2016 - Teorema de Thévenin com Fonte Controlada

Órgão: FUB / Engenharia Elétrica
Enunciado: Considere uma rede linear ativa na qual, a partir dos terminais $A$ e $B$, a tensão de circuito aberto medida é de $24\text{ V}$. Ao ser colocado um resistor de carga de $6\Omega$ entre os terminais $A$ e $B$, a tensão observada cai para $8\text{ V}$. A respeito dessa rede, julgue os itens a seguir:

1. A resistência equivalente de Thévenin vista pelos terminais $A-B$ é igual a $12\Omega$.
2. A corrente de Norton do circuito é igual a $4\text{ A}$.
3. A máxima potência que essa rede é capaz de transferir a uma carga externa é igual a $12\text{ W}$.

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Análise do Item 1 (CERTO): A tensão em circuito aberto é a própria tensão de Thévenin: $V_{th}=24\text{ V}$. Quando a carga $R_L=6\Omega$ é conectada, a tensão terminal $V_L$ torna-se divisor de tensão: $V_L=V_{th}\frac{R_L}{R_{th}+R_L}⟹8=24\frac{6}{R_{th}+6}$ $8(R_{th}+6)=144⟹8R_{th}+48=144⟹8R_{th}=96⟹R_{th}=12\Omega$ O item 1 está CERTO.

• Análise do Item 2 (ERRADO): A corrente de Norton é dada por: $I_N=\frac{V_{th}}{R_{th}}=\frac{24\text{ V}}{12\Omega }=2\text{ A}$ A afirmação de que $I_N=4\text{ A}$ está ERRADA (resultaria em $I_N=4\text{ A}$ caso $R_{th}$ fosse $6\Omega$).

• Análise do Item 3 (CERTO): A máxima potência transferível ocorre quando $R_L=R_{th}=12\Omega$: $P_{L,\max }=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}}=\frac{24^2}{4\times 12}=\frac{576}{48}=12\text{ W}$ O item 3 está CERTO.

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📝 Questão 02 — EEAR - 2020 - Análise Nodal e Superposição

Órgão: Aeronáutica / EEAR - Especialidade Eletricidade
Enunciado: Em um circuito contendo três resistores idênticos de $10\Omega$ conectados a um nó comum $A$, alimentados respectivamente por fontes ideais de tensão conectadas à referência $V_1=30\text{ V}$, $V_2=20\text{ V}$ e $V_3=10\text{ V}$ através de cada um dos três resistores, o potencial do nó $A$ ($V_A$) é:

• A) $10\text{ V}$
• B) $20\text{ V}$
• C) $30\text{ V}$
• D) $60\text{ V}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($20\text{ V}$)
• Resolução Formal via LKC: Aplicando a LKC no nó $A$: $\frac{V_A-V_1}{R}+\frac{V_A-V_2}{R}+\frac{V_A-V_3}{R}=0$ Como os três resistores são iguais ($R=10\Omega$): $(V_A-30)+(V_A-20)+(V_A-10)=0$ $3V_A-60=0⟹3V_A=60⟹V_A=20\text{ V}$ Alternativa B correta (Teorema de Millman direto: $V_A=\frac{\sum V_k/R_k}{\sum 1/R_k}=\frac{3+2+1}{0,3}=\frac{6}{0,3}=20\text{ V}$).

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📝 Questão 03 — EBSERH / IADES - 2016 - Teorema de Norton e Máxima Potência

Órgão: Hospital Universitário / Engenharia Elétrica
Enunciado: Um circuito de polarização e medição possui uma corrente de curto-circuito de $I_N=8\text{ A}$ e uma condutância equivalente de Norton de $G_N=0,25{\Omega }^{-1}$. Assinale a alternativa que indica, respectivamente, a resistência de carga para máxima potência e o valor da máxima potência dissipada na carga:

• A) $R_L=0,25\Omega$ e $P_{\max }=16\text{ W}$
• B) $R_L=4\Omega$ e $P_{\max }=64\text{ W}$
• C) $R_L=4\Omega$ e $P_{\max }=128\text{ W}$
• D) $R_L=8\Omega$ e $P_{\max }=64\text{ W}$
• E) $R_L=0,5\Omega$ e $P_{\max }=32\text{ W}$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B
• Resolução Formal:
  1. Resistência equivalente: $R_{th}=\frac{1}{G_N}=\frac{1}{0,25}=4\Omega$ Para máxima potência, a resistência de carga deve ser igual à resistência equivalente interna: $R_L=R_{th}=4\Omega$
  2. Máxima potência transferida: $P_{\max }=\frac{I_N^2{R}_{th}}{4}=\frac{8^2\times 4}{4}=8^2=64\text{ W}$ Alternativa B correta.

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8. Resumo Técnico Comparativo de Bancada

Técnica / Teorema	Variáveis Principais	Condição de Aplicação	Tratamento de Singularidades
Análise Nodal	Tensões Nodais ($\mathbf{v}$)	Qualquer circuito planar ou não-planar	Supernó: Criado ao redor de fontes de tensão flutuantes; equações de restrição $v_{+}-v_{-}=V_s$.
Análise de Malhas	Correntes de Malha (${\mathbf{i}}_m$)	Estritamente circuitos planares	Supermalha: Criada excluindo o ramo com fonte de corrente compartilhada; restrição $i_a-i_b=I_s$.
Superposição	Grandezas lineares ($v,i$)	Redes estritamente lineares bilaterais	Desativa fontes independentes ($V\to \text{curto}$, $I\to \text{aberto}$); mantém fontes controladas. Não aplicável a potência.
Teorema de Thévenin	$V_{th}$ (série) e $R_{th}$	Redes lineares bi-terminais	$V_{th}=V_{ca}$; $R_{th}=R_{eq}$ desativado ou $V_{ca}/I_{cc}$ ou injeção de fonte de teste ($V_0/I_0$).
Teorema de Norton	$I_N$ (shunt) e $R_{th}$	Redes lineares bi-terminais	Dual de Thévenin: $I_N=I_{cc}=V_{th}/R_{th}$.
Máxima Potência	$R_L=R_{th}$	Otimização de entrega de sinal	$P_{\max }=V_{th}^2/(4R_{th})$; rendimento teórico limitado em $\eta =50\%$.

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9. Referências Bibliográficas

1. SADIKU, Matthew N. O.; ALEXANDER, Charles K. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2013. (Capítulos 3 e 4: Métodos de Análise e Teoremas de Circuitos).
2. BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. (Capítulos 8 e 9: Métodos de Análise e Teoremas de Redes).
3. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016. (Capítulo 4: Técnicas de Análise de Circuitos).
4. HAYT, William H.; KEMMERLY, Jack E.; DURBIN, Steven M. Análise de Circuitos em Engenharia. 8. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill / AMGH, 2014.
5. Apostila do Curso: Técnicas de Análise de Circuitos - Módulos 2, 3 e 4.