Aula 05 - Sistemas de Equações Lineares em Python (Métodos Diretos e Iterativos)

📘 Modelagem Matemática: Aula 05

📌 Sumário da Aula

1. Sistemas de Equações Lineares em Python: Métodos Diretos (Gauss, Pivoteamento, LU) e Métodos Iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel)
   • 1.1 Representação Matricial Compacta
   • 1.2 Matriz Aumentada $(A / \mathbf{b})$
   • 1.3 Classificação das Soluções (Teorema de Rouché-Capelli)
   • 2.1 Método de Eliminação de Gauss
   • 2.2 Pivoteamento Parcial: Por Que é Crítico?
   • 2.3 Resolução com Forma Escalonada Reduzida (Gauss-Jordan com SymPy)
   • 2.4 Decomposição LU (Fatoração de Doolittle)
   • 3.1 Quando Utilizar Métodos Iterativos?
   • 3.2 Formulação Geral: Decomposição de Matrizes
   • 3.3 Método de Gauss-Jacobi
   • 3.4 Método de Gauss-Seidel
   • 3.5 Comparativo Visual de Convergência: Jacobi vs. Gauss-Seidel
   • Atividade 1 (Apostila, p. 6): Representação Matricial $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
   • Atividade 2 (Apostila, p. 15): Eliminação de Gauss e Retrossubstituição
   • Atividade 3 (Apostila, p. 22): Vantagem Operacional da Decomposição LU
   • Atividade 4 (Apostila, p. 26): Diagnóstico de Matriz Singular no SciPy
   • Atividade 5 (Apostila, p. 41): Matriz $M$ na Decomposição de Jacobi
   • Atividade 6 (Apostila, p. 44): Critério de Parada em Jacobi (Tolerância vs. Iterações)
   • Atividade 7 (Apostila, p. 50): Atualização de Variáveis em Gauss-Seidel
   • Atividade 8 (Apostila, p. 52): Simulação Completa $4 \times 4$ de Gauss-Seidel
   • Como Executar no Neovim:
2. 🔮 Conexão com a Próxima Aula (23/10)
3. 📚 Referências Bibliográficas

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Sistemas de Equações Lineares em Python: Métodos Diretos (Gauss, Pivoteamento, LU) e Métodos Iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel)

Navegação Rápida no Cofre

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula, você será capaz de:

1. Compreender a formulação matricial de sistemas lineares ($A\mathbf{x}=\mathbf{b}$): mapear matriz de coeficientes, vetor de variáveis e termos independentes, identificando sistemas possíveis determinados (SPD), indeterminados (SPI) e impossíveis (SI).
2. Dominar o Método de Eliminação de Gauss e Retrossubstituição:
   • Aplicar operações elementares sobre linhas para transformar a matriz aumentada $[A|\mathbf{b}]$ na forma triangular superior.
   • Compreender e implementar a necessidade do Pivoteamento Parcial para mitigar erros de arredondamento e evitar divisões por zero.
3. Dominar a Decomposição LU (Fatoração de Doolittle):
   • Fatorar $A=L\cdot U$, em que $L$ é triangular inferior unitária e $U$ é triangular superior.
   • Resolver o sistema desacoplado em dois passos triangulares de complexidade $O(n^2)$: $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ (substituição direta) e $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$ (retrossubstituição).
   • Reconhecer a superioridade do método LU no reuso de fatores para múltiplos vetores de carga $\mathbf{b}$.
4. Dominar os Métodos Iterativos Estacionários:
   • Compreender a decomposição geral de matrizes $A=M-N$ e o cálculo do vetor resíduo $\mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}$.
   • Gauss-Jacobi: atualização simultânea a partir da matriz diagonal $M=D$, dedução da fórmula escalar e avaliação do Critério das Linhas e Colunas.
   • Gauss-Seidel: atualização imediata de variáveis usando $M=D+L$, aceleração da taxa de convergência e avaliação do Critério de Sassenfeld.
5. Implementar e Validar Algoritmos Numéricos em Python:
   • Construir rotinas puras em Python com numpy, explorar formas escalonadas reduzidas com sympy.Matrix.rref() e utilizar bibliotecas industriais de alto desempenho (scipy.linalg.lu, lu_factor, lu_solve).
   • Plotar curvas comparativas de convergência logarítmica com matplotlib.

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🔍 1. Fundamentos dos Sistemas de Equações Lineares

Na engenharia elétrica, a resolução de sistemas de equações lineares constitui a espinha dorsal de quase todos os cálculos de grande porte:

• Análise Nodal e de Malhas de Circuitos: $[Y]\mathbf{V}=\mathbf{I}$ (Matriz Admitância Nodal multiplicada pelas tensões nodais resulta nas correntes injetadas).
• Cálculo de Curto-Circuito e Fluxo de Potência: linearização de equações de rede em torno do ponto de operação (Jacobiana do método Newton-Raphson).
• Controle e Espaço de Estados: resolução das equações de regime permanente $\mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}=0$.

Uma equação linear possui todas as suas incógnitas elevadas estritamente à primeira potência, sem produtos cruzados entre variáveis ou termos transcendentais: $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$

Um sistema linear de $m$ equações e $n$ incógnitas é representado por:

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