Aula 08 - Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem em Python (Euler, Heun e Runge-Kutta)

📘 Modelagem Matemática: Aula 08

📌 Sumário da Aula

1. Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de 1ª Ordem Computacional: Problemas de Valor Inicial (PVI), Métodos de Euler, Heun e Runge-Kutta (RK4)
   • 2.1 Circuito RC Série (Carga de Capacitor)
   • 2.2 Circuito RL Série (Estabelecimento de Corrente)
   • 2.3 Dinâmica Térmica de Transformadores (Lei de Resfriamento de Newton)
   • 4.1 Dedução pela Série de Taylor
   • 4.2 Interpretação Geométrica e Limitações
   • 5.1 Conexão com a Regra dos Trapézios
   • 6.1 Formulação Matemática dos 4 Estágios
   • 6.2 Equação de Atualização Ponderada
   • Atividade 1 (Apostila 04 - Seção 1 / Atividade 1): Fundamentos de PVIs e Constante de Integração
   • Atividade 2 (Apostila 04 - Seção 1 / Atividade 2): Balanço Hídrico em Tanque com Método de Euler
   • Atividade 3 (Apostila 04 - Seção 1 / Atividade 3): Resfriamento de Newton Computacional com Método de Euler
   • Atividade 4 (Apostila 04 - Seção 2 / Atividade 4): Dispersão de Poluente com Método de Heun
   • Atividade 5 (Apostila 04 - Seção 2 / Atividade 5): Análise Estrutural do Loop de Heun Computacional
   • Atividade 6 (Apostila 04 - Seção 3 / Atividade 1): Execução Manual do Método RK4
   • Atividade 7 (Apostila 04 - Seção 3 / Atividade 2): Aquecimento Industrial de Fluido por RK4
   • Atividade 8 (Apostila 04 - Seção 3 / Atividade 3): Algoritmo de Atualização do RK4 Computacional
2. 📚 Referências Bibliográficas

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Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de 1ª Ordem Computacional: Problemas de Valor Inicial (PVI), Métodos de Euler, Heun e Runge-Kutta (RK4)

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula, você será capaz de:

1. Compreender a formulação física de EDOs de 1ª Ordem na Engenharia Elétrica: modelar circuitos dinâmicos $RC$ e $RL$, regime transitório de máquinas elétricas, dinâmica térmica de condutores e transformadores (Lei de Resfriamento de Newton) como Problemas de Valor Inicial (PVI): $\frac{dy}{dt}=f(t,y),\text{com }y(t_0)=y_0$
2. Dominar o Campo de Direções (Direction Fields) e Teorema de Picard-Lindelöf:
   • Visualizar o fluxo de trajetórias no plano de fase $(t,y)$.
   • Compreender as condições de existência e unicidade de soluções baseadas na continuidade de Lipschitz.
3. Dominar o Método de Euler Explícito (Passo Único de 1ª Ordem):
   • Deduzir a relação de recorrência $y_{i+1}=y_i+hf(t_i,y_i)$ via expansão em Série de Taylor truncada.
   • Analisar o erro de truncamento local $\mathcal{O}(h^2)$ e o erro global cumulativo $\mathcal{O}(h)$.
   • Identificar limites de estabilidade absoluta e o risco de divergência com passos $h$ excessivamente grandes.
4. Dominar o Método de Heun (Euler Melhorado / Preditor-Corretor / Runge-Kutta de 2ª Ordem - RK2):
   • Estruturar a estratégia de dois passos: predição da inclinação inicial $m_1=f(t_i,y_i)$ e correção pela média aritmética das inclinações nos extremos do passo: $y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[f(t_i,y_i)+f(t_{i+1},y_i+hf(t_i,y_i)\left)\right]$
   • Provar a convergência de segunda ordem $\mathcal{O}(h^2)$.
5. Dominar o Método Clássico de Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4):
   • Compreender as 4 inclinações ponderadas $k_1,k_2,k_3,k_4$ equivalentes à quadratura de Simpson no tempo.
   • Deduzir o erro global de quarta ordem $\mathcal{O}(h^4)$, reconhecendo por que o RK4 é o cavalo de batalha da simulação dinâmica moderna.
6. Reduzir Sistemas de EDOs e Tratar Problemas Rígidos (Stiff):
   • Reduzir equações diferenciais de ordem superior (como circuitos $RLC$ de 2ª ordem) a sistemas de EDOs de 1ª ordem em Espaço de Estados.
   • Reconhecer circuitos com constantes de tempo díspares e aplicar métodos implícitos no Python via scipy.integrate.solve_ivp (method='RK45', 'Radau').

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📊 1. Diagrama Técnico Estrutural

O diagrama a seguir ilustra a dinâmica geométrica das tangentes nos métodos de passo único, a arquitetura dos 4 estágios do algoritmo RK4 e a redução em espaço de estados para circuitos elétricos.

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⚡ 2. Modelagem Dinâmica na Engenharia Elétrica

Um vasto conjunto de fenômenos físicos em sistemas elétricos é governado por taxas de variação temporais:

2.1 Circuito RC Série (Carga de Capacitor)

Pela Lei das Malhas de Kirchhoff (KVL): $R\cdot i(t)+v_C(t)=V_{\text{in}}(t)$ Como $i(t)=C\frac{d{v}_C}{dt}$, substituindo temos a EDO linear de 1ª ordem: $\frac{d{v}_C}{dt}=\frac{V_{\text{in}}(t)-v_C(t)}{R\cdot C}=-\frac{1}{\tau }{v}_C(t)+\frac{1}{\tau }{V}_{\text{in}}(t)$ onde $\tau =RC$ é a constante de tempo do circuito. Conhecendo a condição inicial $v_C(0)=V_0$, temos um PVI rigoroso.

2.2 Circuito RL Série (Estabelecimento de Corrente)

$L\frac{di}{dt}+R\cdot i(t)=v(t)⟹\frac{di}{dt}=\frac{v(t)-R\cdot i(t)}{L},\text{com }i(0)=I_0$

2.3 Dinâmica Térmica de Transformadores (Lei de Resfriamento de Newton)

A taxa de dissipação térmica de um transformador em banho de óleo para o meio ambiente é modelada por: $\frac{dT}{dt}=-k(T(t)-T_{\text{amb}}),\text{com }T(0)=T_{\text{inicial}}$ onde $k$ ($s^{-1}$) é o coeficiente global de transferência de calor e $T_{\text{amb}}$ é a temperatura do ar ambiente.

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🧭 3. Problema de Valor Inicial (PVI) e Teoria de Passo Único

Formalmente, o PVI de 1ª ordem é definido no domínio temporal $t\in [t_0,t_f]$ por: $\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=f(t,y)\\ y(t_0)=y_0\end{array}$

O domínio é discretizado em uma malha temporal com $N$ passos de largura $h=\frac{t_f-t_0}{N}$: $t_i=t_0+i\cdot h,i=0,1,2,\dots ,N$

Nosso objetivo é computar aproximações $y_i\approx y(t_i)$. Em métodos de passo único (one-step methods), a nova estimativa $y_{i+1}$ depende exclusivamente do estado imediatamente anterior $(t_i,y_i)$ e do passo $h$: $y_{i+1}=y_i+h\cdot \Phi (t_i,y_i,h)$ onde $\Phi$ é a função de incremento característica de cada método.

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🚶 4. Método de Euler Explícito (Ordem 1)

O Método de Euler (proposto por Leonhard Euler em 1768) é o algoritmo fundamental de integração temporal.

4.1 Dedução pela Série de Taylor

Expandindo a solução exata $y(t_{i+1})=y(t_i+h)$ em torno de $t_i$: $y(t_{i+1})=y(t_i)+h\cdot y^{\prime }(t_i)+\frac{h^2}{2}{y}^{\prime \prime }({\xi }_i),{\xi }_i\in [t_i,t_{i+1}]$ Como $y^{\prime }(t_i)=f(t_i,y(t_i))$, truncando no termo de primeira ordem: $y_{i+1}=y_i+h\cdot f(t_i,y_i)$

4.2 Interpretação Geométrica e Limitações

Geometricamente, o método projeta uma reta ao longo da reta tangente no ponto inicial $(t_i,y_i)$.

• Erro de Truncamento Local: ${\tau }_{i+1}=\frac{h^2}{2}{y}^{\prime \prime }(\xi )=\mathcal{O}(h^2)$.
• Erro de Truncamento Global: acumulando os erros ao longo dos $N=(t_f-t_0)/h$ passos: $E_{\text{global}}\approx N\times \mathcal{O}(h^2)=\frac{t_f-t_0}{h}\mathcal{O}(h^2)=\mathcal{O}(h)$ Portanto, Euler é um método de primeira ordem.

Estabilidade Numérica e Rigidez

Considere a equação teste $\frac{dy}{dt}=\lambda y$, com $\lambda <0$ (sistema fisicamente estável). Aplicando Euler: $y_{i+1}=y_i+h(\lambda y_i)=(1+h\lambda )y_i$. Para que as oscilações numéricas não explodam para o infinito ($|y_i|\to \infty$), devemos ter: $|1+h\lambda |\le 1⟹-2\le h\lambda \le 0⟹h\le \frac{2}{|\lambda |}$ Se $h>\frac{2}{|\lambda |}$, o método de Euler torna-se violentamente instável, gerando oscilações espúrias gigantescas mesmo que o circuito físico seja perfeitamente estável!

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🔄 5. Método de Heun (Preditor-Corretor / RK2)

Para contornar o desvio da tangente de Euler, Karl Heun desenvolveu uma estratégia em dois estágios:

1. Estágio Preditor (Euler Provisório): estima a inclinação no início do intervalo e projeta um valor tentativo ${\tilde{y}}_{i+1}$ no final do passo: $m_1=f(t_i,y_i)$ ${\tilde{y}}_{i+1}=y_i+h\cdot m_1$
2. Estágio Corretor (Média das Inclinações): calcula a inclinação da derivada no ponto tentativo $m_2=f(t_{i+1},{\tilde{y}}_{i+1})$ e calcula o avanço pela média aritmética das inclinações: $m_2=f(t_i+h,y_i+h\cdot m_1)$ $y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(m_1+m_2)$

5.1 Conexão com a Regra dos Trapézios

Integrando formalmente a EDO entre $t_i$ e $t_{i+1}$: $y(t_{i+1})-y(t_i)={\int }_{t_i}^{t_{i+1}}f(t,y(t))dt$ Aproximando a integral pela Regra dos Trapézios: $y_{i+1}\approx y_i+\frac{h}{2}[f(t_i,y_i)+f(t_{i+1},y_{i+1})]$ Como $y_{i+1}$ aparece em ambos os membros (equação implícita), Heun usa a estimativa de Euler para fechar o lado direito. O erro global torna-se de segunda ordem $\mathcal{O}(h^2)$.

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👑 6. Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4)

O Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem (proposto pelos matemáticos alemães Carl Runge e Martin Kutta em 1901) é o algoritmo mais consagrado em engenharia para resolução de PVIs não-rígidos.

6.1 Formulação Matemática dos 4 Estágios

Em cada passo de tempo $[t_i,t_i+h]$, o RK4 avalia a função taxa $f(t,y)$ em 4 posições estratégicas:

1. $k_1$ (Inclinação no início do passo): $k_1=f(t_i,y_i)$
2. $k_2$ (Inclinação no ponto médio via $k_1$): $k_2=f\left(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}{k}_1\right)$
3. $k_3$ (Inclinação no ponto médio refinada via $k_2$): $k_3=f\left(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}{k}_2\right)$
4. $k_4$ (Inclinação no final do passo via $k_3$): $k_4=f(t_i+h,y_i+h{k}_3)$

6.2 Equação de Atualização Ponderada

Combinando as 4 inclinações com os pesos da Regra de 1/3 de Simpson: $y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

Parâmetro	Posição Temporal	Posição de Estado	Peso na Média
$k_1$	$t_i$ (Início)	$y_i$	$1/6$
$k_2$	$t_i+h/2$ (Meio)	$y_i+(h/2)k_1$	$2/6=1/3$
$k_3$	$t_i+h/2$ (Meio)	$y_i+(h/2)k_2$	$2/6=1/3$
$k_4$	$t_i+h$ (Fim)	$y_i+h{k}_3$	$1/6$

• Erro de Truncamento Local: $\mathcal{O}(h^5)$.
• Erro de Truncamento Global: $\mathcal{O}(h^4)$.
• Auto-inicializável (Self-starting): não requer memória de passos anteriores (diferente de métodos multipasso como Adams-Bashforth).

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💻 7. Implementação Completa Computacional

O script abaixo reúne a implementação vetorial dos métodos de Euler, Heun e RK4, além de demonstrar a simulação do circuito dinâmico da engenharia:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• !/usr/bin/env python3
• Teste didático com EDO de resfriamento térmico:
• dT/dt = -0.1 * (T - 20), T(0) = 80°C em t in [0, 50] s
• Solução analítica exata: T(t) = 20 + 60 * exp(-0.1 * t)

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📝 8. Atividades Oficiais Resolvidas (Apostila 04)

Abaixo estão resolvidas com detalhamento matemático passo a passo todas as 8 atividades oficiais da Apostila 04 do Prof. Tiene Andre Filisbino.

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Atividade 1 (Apostila 04 - Seção 1 / Atividade 1): Fundamentos de PVIs e Constante de Integração

Enunciado Oficial

Considerando a resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem com condições iniciais (Problemas de Valor Inicial - PVIs), assinale a alternativa correta:

• A) Toda EDO de primeira ordem admite solução analítica fechada por integração direta.
• B) A constante de integração presente na solução geral permanece sempre arbitrária, mesmo quando há uma condição inicial especificada.
• C) Quando a EDO admite solução analítica, a constante de integração arbitrária $C$ da solução geral é determinada de forma única a partir da condição inicial $y(t_0)=y_0$.
• D) Métodos numéricos como Euler só podem ser aplicados se a solução analítica já for conhecida previamente.
• E) A condição inicial não exerce nenhuma influência sobre o comportamento assintótico da solução da EDO.

Resolução Matemática Passo a Passo

A integração indefinida de uma EDO de primeira ordem $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$ resulta em uma família infinita de curvas integrais parametrizadas por uma constante arbitrária de integração $C$ (solução geral $y(t)=\varphi (t,C)$). Quando se impõe a condição inicial $y(t_0)=y_0$, fixa-se um ponto específico $(t_0,y_0)$ pelo qual a curva deve passar. Substituindo $t_0$ e $y_0$ na solução geral: $y_0=\varphi (t_0,C)⟹C=g(t_0,y_0)$ Pelo Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, se $f(t,y)$ for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação a $y$, o valor de $C$ fica univocamente determinado, selecionando uma única trajetória particular.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Atividade 2 (Apostila 04 - Seção 1 / Atividade 2): Balanço Hídrico em Tanque com Método de Euler

Enunciado Oficial

Um reservatório de água possui dispositivos que regulam as vazões de entrada e saída. A variação do volume de água $V$ (em litros) ao longo do tempo $t$ (em horas) é modelada pela EDO de 1ª ordem: $\frac{dV}{dt}=-0,05V+2$ Sabendo que inicialmente o volume no tanque é de $50\text{ litros}$ ($V(0)=50$), determine a estimativa do volume no instante $t=1\text{ hora}$ utilizando o Método de Euler com passo de $h=1\text{ hora}$.

• A) 45,25 litros
• B) 47,50 litros
• C) 49,50 litros
• D) 50,00 litros
• E) 52,00 litros

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Identificação dos Parâmetros do PVI:

• $f(t,V)=-0,05V+2$
• Condição inicial: $t_0=0\text{ h},V_0=50\text{ L}$
• Tamanho do passo: $h=1\text{ h}$
• Instante desejado: $t_1=t_0+h=1\text{ h}$

2. Cálculo da Taxa de Variação Inicial: $f(t_0,V_0)=-0,05(50)+2=-2,5+2=-0,5\text{ L/h}$

3. Aplicação do Passo de Euler: $V_1=V_0+h\cdot f(t_0,V_0)$ $V(1)\approx 50+1\cdot (-0,5)=50-0,5=49,50\text{ litros}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($49,50\text{ litros}$).

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Atividade 3 (Apostila 04 - Seção 1 / Atividade 3): Resfriamento de Newton Computacional com Método de Euler

Enunciado Oficial

Um engenheiro deseja modelar a temperatura $T$ (${}^{\circ }\text{C}$) de um fluido térmico cuja taxa de resfriamento obedece à equação: $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{amb}})$ Sabendo que a constante de resfriamento é $k=0,1{\text{ min}}^{-1}$, a temperatura ambiente é $T_{\text{amb}}=20^{\circ }\text{C}$, e a temperatura inicial do fluido é $T(0)=80^{\circ }\text{C}$, utilize o algoritmo de Euler com passo $h=2\text{ min}$ para calcular a temperatura aproximada após 2 minutos ($t=2\text{ min}$).

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Dados do PVI:

• $f(t,T)=-0,1(T-20)$
• $t_0=0\text{ min},T_0=80^{\circ }\text{C}$
• $h=2\text{ min}$

2. Avaliação da Taxa Inicial: $f(0,80)=-0,1(80-20)=-0,1(60)=-6,0^{\circ }\text{C/min}$

3. Passo de Atualização de Euler: $T(2)\approx T_0+h\cdot f(t_0,T_0)=80+2\cdot (-6,0)=80-12=68,0^{\circ }\text{C}$ (Para comparação: a solução analítica exata é $T(2)=20+60e^{-0,2}\approx 69,12^{\circ }\text{C}$. O erro com passo $h=2$ é de apenas $1,12^{\circ }\text{C}$).

Resolução Analítica Passo a Passo: $T(2)\approx 68,0^{\circ }\text{C}$.

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Atividade 4 (Apostila 04 - Seção 2 / Atividade 4): Dispersão de Poluente com Método de Heun

Enunciado Oficial

Um engenheiro ambiental está modelando a concentração $C$ (mg/L) de um poluente em um lago após um derramamento. A taxa de decaimento do poluente ao longo do tempo $t$ (em dias) é dada pela EDO: $\frac{dC}{dt}=-0,2C$ Sabendo que a concentração inicial no instante $t=0$ é $C(0)=100\text{ mg/L}$, estime a concentração após 1 dia ($t=1\text{ dia}$) utilizando o Método de Heun (Euler Melhorado) com um único passo $h=1\text{ dia}$.

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Dados: $f(t,C)=-0,2C,t_0=0,C_0=100,h=1$.

2. Passo Preditor (Euler): $m_1=f(0,100)=-0,2(100)=-20\text{ mg/(L}\cdot \text{dia)}$ $C_{\text{pred}}=C_0+h\cdot m_1=100+1\cdot (-20)=80\text{ mg/L}$

3. Passo Corretor (Média das Inclinações): Calculamos a inclinação na posição prevista: $m_2=f(1,C_{\text{pred}})=f(1,80)=-0,2(80)=-16\text{ mg/(L}\cdot \text{dia)}$ Média das inclinações: $\bar{m}=\frac{m_1+m_2}{2}=\frac{-20+(-16)}{2}=\frac{-36}{2}=-18\text{ mg/(L}\cdot \text{dia)}$ Atualização final corrigida: $C(1)=C_0+h\cdot \bar{m}=100+1\cdot (-18)=82,0\text{ mg/L}$ (Solução analítica exata: $C(1)=100e^{-0,2}\approx 81,873\text{ mg/L}$. O Método de Heun acertou com erro inferior a $0,13$ mg/L!).

Resolução Analítica Passo a Passo: $C(1)=82,0\text{ mg/L}$.

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Atividade 5 (Apostila 04 - Seção 2 / Atividade 5): Análise Estrutural do Loop de Heun Computacional

Enunciado Oficial

Considere o trecho de código Computacional implementando o Método de Euler Melhorado:

(Estrutura de dados e expressões aritméticas avaliadas)

Qual das alternativas descreve com precisão o papel das variáveis m1 e m2 e a lógica de atualização de y[i + 1]?

• A) m1 é a solução exata e m2 é o erro residual.
• B) m1 representa a inclinação da reta tangente no ponto inicial $(x_i,y_i)$, utilizada para projetar a predição y_pred; m2 é a inclinação estimada no final do subintervalo $(x_{i+1},y_{\text{pred}})$; e a solução final y[i+1] avança utilizando a média aritmética ponderada dessas duas inclinações.
• C) O loop executa uma busca binária no intervalo $[x_i,x_{i+1}]$.
• D) m2 é a derivada de segunda ordem calculada simbolicamente.
• E) A linha y_pred descarta a condição inicial para evitar divergência.

Resolução Matemática Passo a Passo

A essência do método de Heun (RK2) consiste em equilibrar a curvatura da função ao longo do subintervalo. Em vez de confiar cegamente na derivada do ponto inicial m1 (que subestima curvas com concavidade voltada para cima), o algoritmo faz uma “sondagem” no ponto futuro com y_pred, calcula a derivada esperada no destino m2, e dá o passo real baseado na média $\frac{m_1+m_2}{2}$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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Atividade 6 (Apostila 04 - Seção 3 / Atividade 1): Execução Manual do Método RK4

Enunciado Oficial

Considere a seguinte equação diferencial ordinária de 1ª ordem: $\frac{dy}{dx}=x+y,\text{com condic¸a˜o inicial }y(0)=1$ Utilize o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo $h=0,1$ para realizar uma iteração e calcular a aproximação de $y(0,1)$. Qual é o valor aproximado de $y(0,1)$?

• A) 1,1103 (aproximadamente 1,11)
• B) 1,1050
• C) 1,1000
• D) 1,1200
• E) 1,1150

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Dados do PVI: $f(x,y)=x+y,x_0=0,y_0=1,h=0,1$.

2. Cálculo dos 4 Estágios ($k_1,k_2,k_3,k_4$):

• Estágio 1 ($k_1$): $k_1=f(x_0,y_0)=f(0,1)=0+1=1,0000$
• Estágio 2 ($k_2$): Amostragem em $x=x_0+\frac{h}{2}=0,05$ e $y=y_0+\frac{h}{2}{k}_1=1+0,05(1)=1,05$: $k_2=f(0,05,1,05)=0,05+1,05=1,1000$
• Estágio 3 ($k_3$): Amostragem em $x=0,05$ e $y=y_0+\frac{h}{2}{k}_2=1+0,05(1,10)=1+0,055=1,055$: $k_3=f(0,05,1,055)=0,05+1,055=1,1050$
• Estágio 4 ($k_4$): Amostragem em $x=x_0+h=0,10$ e $y=y_0+h{k}_3=1+0,1(1,105)=1+0,1105=1,1105$: $k_4=f(0,10,1,1105)=0,10+1,1105=1,2105$

3. Combinação Ponderada de Simpson: $y(0,1)=y_0+\frac{h}{6}[k_1+2k_2+2k_3+k_4]$ $y(0,1)=1+\frac{0,1}{6}[1,0000+2(1,1000)+2(1,1050)+1,2105]$ $y(0,1)=1+\frac{0,1}{6}[1,0000+2,2000+2,2100+1,2105]=1+\frac{0,1}{6}[6,6205]$ $y(0,1)=1+0,11034=1,11034\approx 1,11$

(Solução analítica exata: $y(x)=2e^x-x-1⟹y(0,1)=2e^{0,1}-0,1-1\approx 2(1,1051709)-1,1=1,1103418$. O RK4 obteve 5 casas decimais exatas em um único passo!).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($1,11$).

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Atividade 7 (Apostila 04 - Seção 3 / Atividade 2): Aquecimento Industrial de Fluido por RK4

Enunciado Oficial

Em um processo industrial de aquecimento, a temperatura $T$ de um fluido ao longo do tempo $t$ (em minutos) segue o modelo de EDO: $\frac{dT}{dt}=0,1(50-T)+2$ Sabendo que a temperatura inicial é de $20^{\circ }\text{C}$ ($T(0)=20$), estime a temperatura ao final do primeiro minuto ($t=1\text{ min}$) utilizando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo $h=1\text{ min}$.

• A) 25,0 °C (aproximadamente 24,8 °C)
• B) 24,0 °C
• C) 26,0 °C
• D) 28,5 °C
• E) 21,5 °C

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Função Taxa: $f(t,T)=0,1(50-T)+2=5-0,1T+2=7-0,1T$ Com $t_0=0,T_0=20,h=1$.

2. Cálculo das 4 inclinações:

• $k_1=f(0,20)=7-0,1(20)=7-2=5,00^{\circ }\text{C/min}$
• $T_{\text{meio1}}=20+0,5(5)=22,5⟹k_2=f(0,5,22,5)=7-0,1(22,5)=7-2,25=4,75^{\circ }\text{C/min}$
• $T_{\text{meio2}}=20+0,5(4,75)=22,375⟹k_3=f(0,5,22,375)=7-0,1(22,375)=7-2,2375=4,7625^{\circ }\text{C/min}$
• $T_{\text{fim}}=20+1(4,7625)=24,7625⟹k_4=f(1,24,7625)=7-0,1(24,7625)=7-2,47625=4,52375^{\circ }\text{C/min}$

3. Combinação RK4: $T(1)=20+\frac{1}{6}[5,00+2(4,75)+2(4,7625)+4,52375]$ $T(1)=20+\frac{1}{6}[5,00+9,50+9,525+4,52375]=20+\frac{28,54875}{6}\approx 20+4,758=24,76^{\circ }\text{C}\approx 25,0^{\circ }\text{C}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($25,0^{\circ }\text{C}$).

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Atividade 8 (Apostila 04 - Seção 3 / Atividade 3): Algoritmo de Atualização do RK4 Computacional

Enunciado Oficial

No código Python para implementação do método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4), o loop principal de iteração calcula sucessivamente $k_1,k_2,k_3$ e $k_4$ em cada passo:

(Estrutura de dados e expressões aritméticas avaliadas)

Qual linha de código completa corretamente a atualização da variável $y$ utilizando a fórmula clássica do RK4 quando as variáveis $k$ já incorporam o passo $h$?

• A) y = y + (k1 + k2 + k3 + k4) / 4
• B) y = y + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
• C) y = y + h * (k1 + k2 + k3 + k4) / 6
• D) y = y + (k1 + 4 * k2 + k4) / 3
• E) y = y + (k1 + 3 * k2 + 3 * k3 + k4) / 8

Resolução Matemática Passo a Passo

Quando as variáveis intermediárias $k_i$ são multiplicadas previamente por $h$ (ou seja, representam incrementos absolutos $\Delta y$ em vez de inclinações puras), a fórmula clássica de Runge-Kutta é expressa por: $\Delta y=\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ Portanto, a instrução correta Computacional é: y = y + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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📚 Referências Bibliográficas

1. BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numérica. São Paulo: Thomson Learning, 2003.
2. CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos Numéricos para Engenharia. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2016.
3. BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
4. FILISBINO, T. A. Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Computacional. Material Didático Oficial de Engenharia, 2026.