⚡ Aula 05: Aplicações Avançadas de EDOs na Engenharia Elétrica, Séries e Transformada de Fourier

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Integração Curricular & Contexto

• Disciplina: Equações Diferenciais
• Área: 01 Matemática e Estatística
• Materiais Oficiais Base: Aplicações de Equações Diferenciais e TRANSFORMADAS DE LAPLACE E FOURIER E SUAS APLICAÇÕES NA ENGENHARIA ELÉTRICA
• Objetivo: Modelar sistemas físicos dinâmicos multivariáveis através de sistemas de EDOs de 1ª ordem em Espaço de Estados ($\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}$), calcular a matriz de transição de estados $e^{At}$, dominar a decomposição de sinais periódicos não senoidais via Séries Trigonométricas e Exponenciais de Fourier, quantificar perdas e Distorção Harmônica Total (THD) em redes elétricas industriais pelo Teorema de Parseval, e formular a Transformada Contínua de Fourier para projeto de filtros e análise de resposta em frequência $H(j\omega )$.

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Sistemas de EDOs e a Modelagem em Espaço de Estados
   • 1.1 Variáveis de Estado Físicas
   • 1.2 As Equações Canônicas de Estado
   • 1.3 A Matriz de Transição de Estados $e^{At}$
2. 2. Séries de Fourier para Sinais Elétricos Periódicos
   • 2.1 Forma Trigonométrica
   • 2.2 Forma Exponencial Complexa Compacta
   • 2.3 Simetrias de Onda em Circuitos de Potência:
   • 2.4 Teorema de Parseval e Distorção Harmônica Total (THD)
3. 3. A Transformada Contínua de Fourier
4. 4. Aplicações Tecnológicas em Engenharia Elétrica
   • 4.1 O Problema dos Harmônicos de 3ª Ordem (Triplens)
   • 4.2 Filtragem Passiva Sintonizada
5. 5. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy & FFT SciPy)
6. 6. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)
   • Questão 1 — Simetria de Meia-Onda e Harmônicos
   • Questão 2 — Autovalores da Matriz de Estados e Estabilidade
   • Questão 3 — Cálculo de THD de Corrente
7. 7. Considerações Finais e Fechamento da Disciplina

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1. Sistemas de EDOs e a Modelagem em Espaço de Estados

1.1 Variáveis de Estado Físicas

Qualquer circuito elétrico de ordem $n$ (contendo $n$ elementos armazenadores de energia independentes) pode ser descrito por um conjunto de $n$ equações diferenciais de 1ª ordem acopladas.

As variáveis de estado $\mathbf{x}(t)=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T$ são escolhidas como as grandezas físicas que armazenam energia no sistema:

• As tensões nos capacitores $v_C(t)$ (energia eletrostática $w_E=\frac{1}{2}C{v}_C^2$);
• As correntes nos indutores $i_L(t)$ (energia magnética $w_M=\frac{1}{2}L{i}_L^2$).

1.2 As Equações Canônicas de Estado

$\{\begin{array}{ll}\dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t)& \text{(Equac¸a˜o de Estado)}\\ \mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t)& \text{(Equac¸a˜o de Saıˊda)}\end{array}$ Onde:

• $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$: Matriz dinâmica do sistema;
• $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$: Matriz de entrada (acoplamento com as fontes $\mathbf{u}(t)$);
• $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$: Matriz de medição e saída;
• $D\in {\mathbb{R}}^{p\times m}$: Matriz de transmissão direta.

1.3 A Matriz de Transição de Estados $e^{At}$

A solução analítica da equação de estado homogênea $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$ com condição inicial $\mathbf{x}(0)$ é dada por: $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$ Onde $e^{At}$ é a Matriz Exponencial de Estados, calculada diretamente no domínio $s$ por: $e^{At}={\mathcal{L}}^{-1}\left\{(sI-A{)}^{-1}\right\}$ Os autovalores da matriz $A$ ($\det (sI-A)=0$) são rigorosamente os polos do sistema elétrico. O sistema é assintoticamente estável se, e somente se, todos os autovalores de $A$ possuírem parte real estritamente negativa ($\mathrm{Re}({\lambda }_i)<0$).

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2. Séries de Fourier para Sinais Elétricos Periódicos

2.1 Forma Trigonométrica

Qualquer sinal elétrico periódico $f(t)=f(t+T_0)$ com frequência angular fundamental ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}$ que satisfaça as condições de Dirichlet pode ser decomposto em uma soma infinita de senos e cossenos harmônicos: $f(t)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos (n{\omega }_{0}t)+b_n\sin (n{\omega }_{0}t)\right]$ Onde os coeficientes ortogonais de Fourier são calculados por: $a_0=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}f(t)dt(\text{Nıˊvel Meˊdio CC})$ $a_n=\frac{2}{T_0}{\int }_0^{T_0}f(t)\cos (n{\omega }_{0}t)dt,b_n=\frac{2}{T_0}{\int }_0^{T_0}f(t)\sin (n{\omega }_{0}t)dt$

2.2 Forma Exponencial Complexa Compacta

Utilizando a fórmula de Euler, a série pode ser escrita em uma notação bilateral: $f(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$ Onde os coeficientes complexos são: $c_n=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt,c_0=a_0,c_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2}$

2.3 Simetrias de Onda em Circuitos de Potência:

1. Simetria Par ($f(-t)=f(t)$): O sinal é espelhado no eixo das ordenadas $⟹b_n=0$ (apenas cossenos);
2. Simetria Ímpar ($f(-t)=-f(t)$): O sinal é antissimétrico $⟹a_0=0$ e $a_n=0$ (apenas senos);
3. Simetria de Meia-Onda ($f(t+T_0/2)=-f(t)$): A segunda metade do ciclo é o reflexo invertido da primeira.

   Propriedade Fundamental: Em sinais com simetria de meia-onda, todos os harmônicos pares são identicamente nulos: $c_n=0\text{para todo }n\text{ par }(n=2,4,6,\dots )$ A forma de onda contém exclusivamente a componente fundamental ($n=1$) e harmônicos ímpares ($n=3,5,7,\dots$). Esta é a assinatura exata de tensões e correntes geradas por retificadores industriais e inversores PWM!

2.4 Teorema de Parseval e Distorção Harmônica Total (THD)

Pelo Teorema de Parseval, o valor eficaz RMS ao quadrado de uma grandeza elétrica periódica é a soma dos quadrados dos valores eficazes de cada um de seus harmônicos individuais: $V_{\text{rms}}^2=V_0^2+{\sum }_{n=1}^{\infty }{V}_{n,\text{rms}}^2=V_0^2+V_{1,\text{rms}}^2+V_{2,\text{rms}}^2+V_{3,\text{rms}}^2+\dots$

A Distorção Harmônica Total (THD) mede o nível de poluição harmônica injetado na rede elétrica: ${\text{THD}}_V=\frac{\sqrt{{\sum }_{n=2}^{\infty }{V}_{n,\text{rms}}^2}}{V_{1,\text{rms}}}\times 100\%$ Normas técnicas como o PRODIST Módulo 8 (ANEEL) e IEEE 519 impõem limites rígidos de THD (tipicamente $\le 5\%$ em média tensão) para evitar sobreaquecimento de motores e queima de transformadores.

Figura 1: Séries Trigonométrica e Complexa de Fourier, Teorema de Parseval, Transformada Contínua e Qualidade de Energia (THD).

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3. A Transformada Contínua de Fourier

Fazendo o período da onda tender ao infinito ($T_0\to \infty$), o espaçamento entre harmônicos discretos $\Delta \omega ={\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}\to 0$ torna-se um contínuo infinitesimal $d\omega$. A série de Fourier se transforma no Par da Transformada de Fourier:

$\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt\text{(Anaˊlise Espectral)}$ ${\mathcal{F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \text{(Sıˊntese no Tempo)}$

• Resposta em Frequência de Redes Elétricas: Se a entrada é $x(t)\leftrightarrow X(\omega )$ e a saída é $y(t)\leftrightarrow Y(\omega )$: $Y(\omega )=H(j\omega )\cdot X(\omega )$ Onde $H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\angle H(j\omega )}$ define diretamente o ganho de amplitude e a defasagem angular do circuito em função da frequência $\omega$ (Diagramas de Bode).

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4. Aplicações Tecnológicas em Engenharia Elétrica

4.1 O Problema dos Harmônicos de 3ª Ordem (Triplens)

Em sistemas trifásicos equilibrados alimentando pontes retificadoras trifásicas a tiristor ou diodo:

• Os harmônicos múltiplos de 3 ($n=3,9,15,\dots$, denominados triplens) estão em fase em todas as três linhas $a,b,c$.
• No condutor neutro de uma instalação a 4 fios, as correntes de terceira harmônica somam-se aritmeticamente em vez de se cancelarem ($I_N\approx 3I_3$), podendo provocar sobrecarga severa e queima de condutores neutros subdimensionados.

4.2 Filtragem Passiva Sintonizada

Para mitigar esse efeito, instalam-se filtros passivos shunt compostos por indutores e capacitores em série sintonizados na frequência harmônica indesejada: ${\omega }_{\text{filtro}}=\frac{1}{\sqrt{L_{\text{filtro}}{C}_{\text{filtro}}}}=n{\omega }_0$ Na frequência do $n$-ésimo harmônico (ex.: 300 Hz para o 5º harmônico em rede de 60 Hz), a impedância do ramo ressonante cai para $Z\approx 0$, drenando a corrente harmônica com segurança para o terra antes que ela penetre no transformador de potência.

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5. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy & FFT SciPy)

O script a seguir calcula a Série de Fourier de uma onda quadrada, quantifica o THD e plota o espectro harmônico discreto:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Série de Fourier Simbólica de Onda Quadrada (-Vp para t in [-T0/2, 0], +Vp para t in [0, T0/2])
• Por simetria ímpar: a0 = 0, an = 0, bn = 4Vp / (npi) para n ímpar
• 2. Cálculo do THD
• 3. Reconstrução Gráfica no Tempo e Espectro

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Série de Fourier, Fenômeno de Gibbs, THD%, Amostragem de Nyquist e ADC

Experimente em tempo real a síntese de ondas quadrada, triangular, dente-de-serra e corrente de retificador não-linear variando o número de termos $N_{\max }$ ($1$ a $25$) e as amplitudes/fases de $H_3$ a $H_{11}$, observando as orelhas de $\sim 9\%$ do Fenômeno de Gibbs, o valor eficaz verdadeiro (True RMS), a Taxa de Distorção Harmônica Total ($\text{THD}\%$) e a amostragem discreta de Nyquist-Shannon com aliasing e quantização ADC: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_fourier_thd_amostragem_nyquist_adc.html]])

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6. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)

Abaixo, a resolução analítica rigorosa dos exercícios clássicos sobre sistemas de EDOs e séries de Fourier:

Questão 1 — Simetria de Meia-Onda e Harmônicos

Questão 1

Uma forma de onda alternada de tensão satisfaz rigorosamente a propriedade de simetria de meia-onda $v(t+T_0/2)=-v(t)$. A respeito de seus coeficientes da Série de Fourier, é correto afirmar que:

• A) todos os coeficientes de harmônicos de ordem par ($n=2,4,6,\dots$) são identicamente nulos

• B) todos os coeficientes de harmônicos de ordem ímpar são nulos

• C) a componente contínua $a_0$ vale o dobro do valor de pico

• D) os termos senoidais $b_n$ são todos nulos

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A (harmônicos de ordem par são identicamente nulos)

Resolução Analítica: Pela definição da integral de Fourier para simetria de meia-onda: $c_n=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T_0}\left[{\int }_0^{T_0/2}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt+{\int }_{T_0/2}^{T_0}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt\right]$ Fazendo a mudança de variável $\tau =t-T_0/2$ na segunda integral, onde $f(\tau +T_0/2)=-f(\tau )$ e $e^{-jn{\omega }_0(\tau +T_0/2)}=e^{-jn{\omega }_0\tau }{e}^{-jn\pi }=(-1{)}^n{e}^{-jn{\omega }_0\tau }$: $c_n=\frac{1}{T_0}\left(1-(-1{)}^n\right){\int }_0^{T_0/2}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$ Se $n$ for PAR ($n=2,4,6,\dots$): $(-1{)}^n=1⟹1-1=0⟹c_n=0$.

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Questão 2 — Autovalores da Matriz de Estados e Estabilidade

Questão 2

Um circuito dinâmico é modelado em Espaço de Estados com matriz dinâmica $A=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -3\end{array}\right]$. O sistema é assintoticamente estável?

• A) Sim, pois seus autovalores são ${\lambda }_1=-2$ e ${\lambda }_2=-3$ (ambos reais negativos)

• B) Não, pois um dos autovalores é positivo

• C) Marginalmente estável, pois possui autovalor nulo

• D) Instável, pois o determinante de $A$ é negativo

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A

Resolução Analítica:

1. Como a matriz $A$ é triangular superior, seus autovalores são os próprios elementos da diagonal principal: $\det (sI-A)=\det \left[\begin{array}{cc}s+2& -1\\ 0& s+3\end{array}\right]=(s+2)(s+3)=0⟹{\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=-3$
2. Pelo Critério de Estabilidade de Lyapunov, um sistema linear contínuo $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$ é assintoticamente estável se, e somente se, todos os autovalores de $A$ possuírem parte real estritamente negativa ($\mathrm{Re}({\lambda }_i)<0$). Como $-2<0$ e $-3<0$, o sistema é estável.

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Questão 3 — Cálculo de THD de Corrente

Questão 3

A corrente de entrada de uma lâmpada LED possui uma componente fundamental de $I_1=1,0\text{ A}$, um terceiro harmônico de $I_3=0,3\text{ A}$ e um quinto harmônico de $I_5=0,4\text{ A}$ (todos valores eficazes), sendo os demais harmônicos desprezíveis. A Distorção Harmônica Total de corrente (${\text{THD}}_I$) é:

• A) $50\%$

• B) $70\%$

• C) $35\%$

• D) $25\%$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($50\%$)

Resolução Analítica:

1. A fórmula do THD é dada pela razão da raiz da soma dos quadrados dos harmônicos pela fundamental: ${\text{THD}}_I=\frac{\sqrt{I_3^2+I_5^2}}{I_1}=\frac{\sqrt{0,3^2+0,4^2}}{1,0}=\frac{\sqrt{0,09+0,16}}{1,0}=\frac{\sqrt{0,25}}{1,0}=\frac{0,5}{1,0}=0,50=50\%$

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7. Considerações Finais e Fechamento da Disciplina

Com a conclusão desta Aula 05, coroamos a disciplina 05 Equações Diferenciais:

• Desenvolvemos as soluções analíticas para EDOs de 1ª ordem (lineares e separáveis).
• Investigamos as oscilações de 2ª ordem e os regimes de amortecimento em circuitos $RLC$.
• Exploramos o poder das séries de potências e o método de Frobenius em geometrias cilíndricas.
• Dominamos a Transformada de Laplace no plano-$s$ para análise operacional de transitórios.
• Consolidamos a representação em Espaço de Estados e a decomposição em Séries e Transformada de Fourier para qualidade de energia e controle.

Na próxima disciplina da Área 01, ingressaremos em 06 Probabilidade e Estatística, onde modelaremos processos estocásticos, teoria da confiabilidade de componentes elétricos, variáveis aleatórias e inferência bayesiana.

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Referências Bibliográficas Citadas

• OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S. Sinais e Sistemas. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
• DUGAN, Roger C. et al. Electrical Power Systems Quality. 3rd ed. McGraw-Hill, 2012.
• Material didático oficial de Equações Diferenciais, 2026.