Aula 05 - Princípios de Análise no Domínio da Frequência - Resposta Senoidal e Diagramas de Bode

🎛️ 05 - Princípios de Análise no Domínio da Frequência: Resposta Senoidal, Diagramas de Bode e Estabilidade por Nyquist

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📍 Disciplina: 04 Sistemas Dinâmicos e Controle | 🏭 Área: 05 Eletrônica, Automação e Controle | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Princípios de Análise no Domínio da Frequência (Prof. Raphael de Souza dos Santos) 🗺️ Roteiro de Estudos: Roteiro SM1 (Módulos 9 e 10 - Questões Q8 e Q10) ⬅️ Aula Anterior: 04 - Princípios de Análise no Domínio do Tempo (1ª e 2ª Ordem) | 🏠 MOC da Matéria: MOC Central — Sistemas Dinâmicos e Controle 💻 Script Computacional: *sistemas_dinamicos_aulas02_a_05 (Material Complementar)* | 🕹️ Simulador Interativo: [[simulador_controle_pid_resposta_temporal_bode.html]] 🎨 Diagramas Técnicos: [[dinamicos_aula05_bode_fatores_margens_estabilidade.svg]] | [[dinamicos_aula05_fase_nao_minima_nyquist.svg]]

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Compreender a Resposta em Frequência Senoidal em Regime Permanente: Demonstrar que para uma entrada senoidal de amplitude $A$ e frequência $\omega$, a saída em regime permanente de um SLIT estável é uma senóide da mesma frequência $\omega$, cuja amplitude é multiplicada por $|G(j\omega )|$ e cuja fase é defasada por $\angle G(j\omega )$.
2. Construir Diagramas de Bode Assintóticos: Dominar o traçado manual e analítico das curvas de magnitude em decibéis ($20{\log }_{10}|G(j\omega )|$) e fase em graus versus frequência em escala logarítmica ($\text{rad/s}$).
3. Decompor os 4 Fatores Elementares de Bode: Aplicar as regras assintóticas de ganho constante $K$, integradores e diferenciadores puros $(j\omega {)}^{\pm n}$ ($\mp 20n\text{ dB/deˊcada}$), fatores de primeira ordem $(1+j\omega T{)}^{\pm 1}$ com frequência de corte ${\omega }_c=1/T$ e fatores quadráticos de segunda ordem com pico de ressonância $M_r$.
4. Determinar as Margens de Estabilidade Relativa: Localizar a Frequência de Cruzamento de Ganho (${\omega }_{cg}$) e a Frequência de Cruzamento de Fase (${\omega }_{cp}$), calculando com precisão a Margem de Ganho ($MG$) e a Margem de Fase ($MF$).
5. Identificar Sistemas de Fase Não Mínima (Questão Q10 do SM1): Diferenciar sistemas com zeros no semiplano direito (SPD), demonstrando a defasagem angular excessiva e a ocorrência do fenômeno de resposta inversa (undershoot temporal).
6. Aplicar o Critério Polar de Estabilidade de Nyquist: Traçar o diagrama polar $G(j\omega )$, identificar o ponto crítico $-1+j0$ e aplicar a equação topological de Cauchy $Z=N+P$ para determinar a estabilidade absoluta em malha fechada.

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📌 Sumário do MOC

1. 1. Resposta em Frequência Senoidal em Regime Permanente
   • 1.1 O Fasor de Transferência G(j$\omega$)
   • 1.2 A Escala Logarítmica: Decibéis e Décadas
2. 2. Construção dos Diagramas de Bode: Os 4 Fatores Elementares
   • 2.1 Fator 1: Ganho Puro K
   • 2.2 Fator 2: Integradores e Diferenciadores na Origem (j$\omega$)^±n
   • 2.3 Fator 3: Fatores de Primeira Ordem (1 + j$\omega$T)^±1
   • 2.4 Fator 4: Fatores Quadráticos de Segunda Ordem e Ressonância
3. 3. Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode: Margem de Ganho e de Fase
   • 3.1 Frequências Críticas de Cruzamento: $\omega_{cg}$ e $\omega_{cp}$
   • 3.2 Definições Formais de MG e MF
   • 3.3 Critério de Estabilidade para Sistemas de Fase Mínima
4. 4. Sistemas de Fase Não Mínima: O Efeito dos Zeros no Semiplano Direito
   • 4.1 Módulo Idêntico com Defasagem Angular Adicional
   • 4.2 Resposta Inversa no Tempo (Undershoot)
5. 5. Diagramas Polares e o Critério de Estabilidade de Nyquist
   • 5.1 O Traçado Polar de Nyquist
   • 5.2 O Ponto Crítico -1 + j0 e o Princípio do Argumento de Cauchy
   • 5.3 A Equação Fundamental Z = N + P
6. 6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 05 e Concursos)
7. 7. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 05 e Roteiro SM1)
   • Bloco 1: Diagramas de Bode e Fatores Elementares
   • Bloco 2: Margens de Estabilidade Relativa
   • Bloco 3: Sistemas de Fase Não Mínima e Nyquist

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1. Resposta em Frequência Senoidal em Regime Permanente

A análise no domínio da frequência consiste em excitar um sistema linear invariante no tempo com um sinal puramente senoidal e observar o comportamento da saída após o amortecimento completo de todos os transitórios naturais.

1.1 O Fasor de Transferência G(j$\omega$)

Seja um SLIT assintoticamente estável com função de transferência $G(s)$, excitado por uma entrada senoidal: $u(t)=A\sin (\omega t)u(t)$

Substituindo $s=j\omega$ diretamente na função de transferência, obtém-se o número complexo $G(j\omega )$, denominado Fasor de Transferência de Frequência:

$\boxed{G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\angle G(j\omega )}=|G(j\omega )|\angle \varphi (\omega )}$

A resposta no tempo em regime permanente ($t\to \infty$) é dada por:

$\boxed{y_{ss}(t)=A|G(j\omega )|\sin \left(\omega t+\varphi (\omega )\right)}$

Onde:

• Ganho de Amplitude: A amplitude de saída é modulada por $|G(j\omega )|=\frac{|N(j\omega )|}{|D(j\omega )|}$;
• Defasagem Angular (Atraso/Avanço de Fase): A fase de saída é deslocada por: $\varphi (\omega )=\angle G(j\omega )=\angle N(j\omega )-\angle D(j\omega )$

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1.2 A Escala Logarítmica: Decibéis e Décadas

Como a faixa de frequências e a variação de ganhos em sistemas reais cobrem várias ordens de magnitude (de frações de hertz a megahertz), adota-se a representação logarítmica proposta por Hendrik Wade Bode nos Laboratórios Bell (1938):

1. Eixo Horizontal (Frequência $\omega$): Escala logarítmica decimal. Um intervalo em que a frequência se multiplica por 10 é denominado década (${\omega }_2/{\omega }_1=10$). Um intervalo em que a frequência dobra é uma oitava (${\omega }_2/{\omega }_1=2$).
2. Eixo Vertical de Magnitude (Decibéis - dB): $\boxed{|G(j\omega ){|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}|G(j\omega )|}$
   • Ganho unitário ($|G|=1$) $⟹0\text{ dB}$;
   • Dobro da amplitude ($|G|=2$) $⟹\approx +6\text{ dB}$;
   • Atenuação de $10\times$ ($|G|=0,1$) $⟹-20\text{ dB}$;
   • Atenuação de $100\times$ ($|G|=0,01$) $⟹-40\text{ dB}$.
3. Propriedade Aditiva: Como o logaritmo converte multiplicações em somas, o módulo em dB de fatores em cascata é simplesmente a soma algébrica das curvas individuais em dB, e a fase total é a soma algébrica das fases em graus!

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2. Construção dos Diagramas de Bode: Os 4 Fatores Elementares

Qualquer função de transferência racional pode ser fatorada na Forma Canônica de Bode (Constante de Tempo):

$G(s)=\frac{K\prod (1+s{T}_i)\prod [1+2{\zeta }_i(s/{\omega }_{ni})+(s/{\omega }_{ni}{)}^2]}{s^m\prod (1+s{\tau }_j)\prod [1+2{\zeta }_j(s/{\omega }_{nj})+(s/{\omega }_{nj}{)}^2]}$

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Diagrama de Bode $L(j\omega )$, Margens de Estabilidade (GM/PM) e Sintonia PID

Na Aba 2 (Domínio da Frequência) do simulador, varie o ganho de malha aberta $K$, desloque os polos ${\omega }_{p1},{\omega }_{p2},{\omega }_{p3}$ de uma planta de 3ª ordem e adicione avanço de fase para visualizar em tempo real as curvas exata e assintótica de Bode, a frequência de cruzamento de ganho (${\omega }_{gc}$), a frequência de cruzamento de fase (${\omega }_{pc}$), as setas de Margem de Ganho ($GM$) e Margem de Fase ($PM$) e o limiar de instabilidade em malha fechada: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_controle_pid_resposta_temporal_bode.html]])

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2.1 Fator 1: Ganho Puro K

• Módulo: Reta horizontal plana em todo o espectro de frequências: $\boxed{|K{|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}|K|=\text{constante}}$
• Fase: $\angle K=\{\begin{array}{ll}{0}^{\circ }& \text{se }K>0\\ -180^{\circ }& \text{se }K<0\end{array}$

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2.2 Fator 2: Integradores e Diferenciadores na Origem (j$\omega$)^±n

1. Integradores Puros $(j\omega {)}^{-n}=\frac{1}{(j\omega {)}^n}$:
   • Módulo: Reta contínua com inclinação de $\boxed{-20n\text{ dB/deˊcada}}$, cruzando obrigatoriamente o nível de $0\text{ dB}$ na frequência $\omega =1\text{ rad/s}$.
   • Fase: Linha horizontal fixa em $\boxed{\angle (j\omega {)}^{-n}=-90^{\circ }\times n}$.
2. Diferenciadores Puros $(j\omega {)}^{+n}$:
   • Módulo: Reta com inclinação positiva de $\boxed{+20n\text{ dB/deˊcada}}$, cruzando $0\text{ dB}$ em $\omega =1\text{ rad/s}$.
   • Fase: Linha horizontal fixa em $\boxed{+90^{\circ }\times n}$.

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2.3 Fator 3: Fatores de Primeira Ordem (1 + j$\omega$T)^±1

1. Polo Simples de 1ª Ordem $\frac{1}{1+j\omega T}$ (com ${\omega }_c=\frac{1}{T}$):
   • Baixas Frequências ($\omega \ll {\omega }_c$): Assíntota horizontal em $0\text{ dB}$.
   • Altas Frequências ($\omega \gg {\omega }_c$): Assíntota declinante com inclinação de $\boxed{-20\text{ dB/deˊcada}}$.
   • Frequência de Corte (${\omega }_c=1/T$): O valor exato vale $20{\log }_{10}\left|\frac{1}{1+j1}\right|=20{\log }_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx \boxed{-3,01\text{ dB}}$.
   • Curva de Fase: Inicia em $0^{\circ }$ ($\omega \ll {\omega }_c$), passa exatamente por $\boxed{-45^{\circ }}$ na frequência de corte ${\omega }_c$, e atinge assintoticamente $\boxed{-90^{\circ }}$ para $\omega \gg {\omega }_c$.
2. Zero Simples de 1ª Ordem $(1+j\omega T)$:
   • Comportamento rigorosamente inverso: assíntota de $\boxed{+20\text{ dB/deˊcada}}$ para $\omega >{\omega }_c$, passando por $+3\text{ dB}$ e fase de $+45^{\circ }$ na frequência de corte, convergindo para $+90^{\circ }$.

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2.4 Fator 4: Fatores Quadráticos de Segunda Ordem e Ressonância

Para um par de polos complexos conjugados: $G_2(s)=\frac{1}{1+2\zeta \left(j\frac{\omega }{{\omega }_n}\right)+{\left(j\frac{\omega }{{\omega }_n}\right)}^2}$

• Assíntotas: $0\text{ dB}$ para $\omega \ll {\omega }_n$ e inclinação íngreme de $\boxed{-40\text{ dB/deˊcada}}$ para $\omega \gg {\omega }_n$.
• Fase: Parte de $0^{\circ }$, cruza $\boxed{-90^{\circ }}$ em $\omega ={\omega }_n$, e atinge $\boxed{-180^{\circ }}$ em altas frequências.
• Pico de Ressonância ($M_r$): Se o fator de amortecimento for baixo ($\zeta <\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$), a curva real eleva-se acima da assíntota na Frequência de Ressonância: $\boxed{{\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}}⟹\boxed{M_r=|G_2(j{\omega }_r)|=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}}$

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3. Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode: Margem de Ganho e de Fase

A estabilidade absoluta (saber apenas se o sistema é estável ou instável) é insuficiente em engenharia prática. É indispensável quantificar a Margem de Segurança (Estabilidade Relativa) que o sistema possui contra variações paramétricas, desgastes mecânicos e atrasos de transporte antes de entrar em oscilação sustentada.

3.1 Frequências Críticas de Cruzamento: ${\omega }_{cg}$ e ${\omega }_{cp}$

1. Frequência de Cruzamento de Ganho (${\omega }_{cg}$ - Gain Crossover Frequency): É a frequência na qual a curva de magnitude cruza o eixo de $0\text{ dB}$ (ganho unitário $|G(j\omega )|=1$): $\boxed{|G(j{\omega }_{cg}){|}_{\text{dB}}=0\text{ dB}}$
2. Frequência de Cruzamento de Fase (${\omega }_{cp}$ - Phase Crossover Frequency): É a frequência na qual a curva de fase cruza o patamar crítico de defasagem de $-180^{\circ }$: $\boxed{\angle G(j{\omega }_{cp})=-180^{\circ }}$

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3.2 Definições Formais de MG e MF

1. Margem de Fase ($MF$ - Phase Margin): É o montante adicional de atraso de fase que pode ser introduzido na frequência de cruzamento de ganho (${\omega }_{cg}$) antes que o sistema atinja o limiar de instabilidade: $\boxed{MF=180^{\circ }+\angle G(j{\omega }_{cg})}$

   • Em projetos industriais robustos, exige-se tipicamente $\boxed{30^{\circ }\le MF\le 60^{\circ }}$ para garantir baixo sobressinal ($M_p<20\%$).

2. Margem de Ganho ($MG$ - Gain Margin): É o fator pelo qual o ganho de malha aberta pode ser aumentado antes que o sistema se torne instável, medido na frequência onde a fase atinge $-180^{\circ }$ (${\omega }_{cp}$): $\boxed{MG(\text{dB})=-20{\log }_{10}|G(j{\omega }_{cp})|}⟺MG(\text{linear})=\frac{1}{|G(j{\omega }_{cp})|}$

   • Em projetos industriais, exige-se tipicamente $\boxed{MG\ge +6\text{ dB}\text{ a }+12\text{ dB}}$ (o ganho pode dobrar a quadruplicar antes da instabilidade).

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3.3 Critério de Estabilidade para Sistemas de Fase Mínima

Para sistemas de malha aberta estáveis que não possuem polos ou zeros no semiplano direito (fase mínima):

• Sistema Estável em Malha Fechada: $\boxed{MG>0\text{ dB}\text{e}MF>0^{\circ }}⟺{\omega }_{cg}<{\omega }_{cp}$.
• Sistema no Limiar de Instabilidade (Marginalmente Estável): $MG=0\text{ dB}$ e $MF=0^{\circ }⟺{\omega }_{cg}={\omega }_{cp}$.
• Sistema Instável: $MG<0\text{ dB}$ e $MF<0^{\circ }⟺{\omega }_{cg}>{\omega }_{cp}$.

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4. Sistemas de Fase Não Mínima: O Efeito dos Zeros no Semiplano Direito

Um sistema é denominado de Fase Mínima se todos os seus polos e todos os seus zeros residirem estritamente no semiplano esquerdo do plano complexo ($s\le 0$).

Se o sistema contiver pelo menos um zero ou polo no semiplano direito (SPD / $\sigma >0$) ou atraso de transporte puro ($e^{-s{T}_d}$), ele é classificado como de Fase Não Mínima (destaque da Questão Q10 do Roteiro SM1).

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4.1 Módulo Idêntico com Defasagem Angular Adicional

Considere o fator de zero no SPD $G_{nm}(s)=s-z$ (com $z>0$), comparado ao seu equivalente de fase mínima $G_m(s)=s+z$:

1. Magnitude: $|j\omega -z|=\sqrt{(-z{)}^2+{\omega }^2}=\sqrt{z^2+{\omega }^2}=|j\omega +z|$ A curva de magnitude de Bode é RIGOROSAMENTE IDÊNTICA à de um zero comum no SPE!
2. Fase: $\angle (j\omega -z)=\arctan \left(\frac{\omega }{-z}\right)=180^{\circ }-\arctan \left(\frac{\omega }{z}\right)$ Ou, na forma normalizada $(1-s/z)$: $\angle \left(1-j\frac{\omega }{z}\right)=-\arctan \left(\frac{\omega }{z}\right)$ Enquanto um zero convencional no SPE adianta a fase em $+90^{\circ }$, o zero no semiplano direito ATRASA a fase em $-90^{\circ }$, atuando na curva de fase exatamente como se fosse um polo adicional!

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4.2 Resposta Inversa no Tempo (Undershoot)

A presença de um zero no SPD impõe uma restrição termodinâmica severa de controle: no instante da aplicação de um degrau positivo, a resposta temporal inicialmente move-se na direção oposta (valor negativo) antes de inverter e convergir para o valor positivo final.

• Exemplos físicos reais: Manobra de elevação de profundor em aeronaves, caldeiras a vapor (efeito de encolhimento e estufamento) e navios de grande porte.

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5. Diagramas Polares e o Critério de Estabilidade de Nyquist

Para sistemas que possuem polos em malha aberta instáveis ou atrasos de transporte, a determinação de estabilidade por Bode torna-se ambígua. O Critério de Estabilidade de Nyquist (desenvolvido por Harry Nyquist em 1932) fornece uma resposta analítica exata baseada na teoria das variáveis complexas.

5.1 O Traçado Polar de Nyquist

O Diagrama de Nyquist é um gráfico polar traçado no plano complexo $[\text{Re},\text{Im}]$, no qual o vetor fasorial $G(j\omega )$ é plotado conforme a frequência angular varia continuamente de $\omega =-\infty$ até $\omega =+\infty$ através do Caminho de Nyquist que contorna todo o semiplano direito.

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5.2 O Ponto Crítico -1 + j0 e o Princípio do Argumento de Cauchy

A equação característica de um sistema com realimentação unitária é $1+G(s)=0⟺G(s)=-1=-1+j0$.

O ponto complexo $-1+j0$ (módulo 1 e ângulo $-180^{\circ }$) é o Ponto Crítico de Nyquist. Toda a análise gira em torno de verificar quantas vezes a curva de malha aberta $G(j\omega )$ circunda esse ponto crítico!

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5.3 A Equação Fundamental Z = N + P

Pelo Teorema do Argumento de Cauchy, a estabilidade de malha fechada é regida pela relação invariante:

$\boxed{Z=N+P}$

Onde:

• $P$: Número de polos de malha aberta de $G(s)$ que residem no semiplano direito (SPD) (polos instáveis da planta desalimentada);
• $N$: Número de envolvimentos / voltas completas que a curva de Nyquist realiza ao redor do ponto crítico $-1+j0$ no SENTIDO HORÁRIO (envolvimentos no sentido anti-horário contam com sinal negativo: $N<0$);
• $Z$: Número de polos de malha fechada situados no semiplano direito (SPD).

Teorema de Estabilidade de Nyquist

Para que o sistema em malha fechada seja estável, não pode existir nenhum polo no semiplano direito ($Z=0$). Logo: $\boxed{N=-P}$

• Se a planta em malha aberta for estável ($P=0$): O sistema em malha fechada será estável se e somente se a curva de Nyquist NÃO envolver o ponto crítico $-1+j0$ ($N=0$)!
• Se a planta em malha aberta for instável com $P$ polos no SPD: Para estabilizar a malha, a curva de Nyquist deve envolver obrigatoriamente o ponto $-1+j0$ exatamente $P$ vezes no SENTIDO ANTI-HORÁRIO ($N=-P$)!

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6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 05 e Concursos)

Exercício Resolvido 1 — Traçado Assintótico de Bode e Cálculo de Margens de Estabilidade

Enunciado: Seja um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é: $G(s)=\frac{200}{s(s+2)(s+10)}$ Determine: (a) A forma canônica de Bode de $G(s)$, identificando o ganho de Bode $K_B$, os integradores e as frequências de corte; (b) A frequência de cruzamento de fase ${\omega }_{cp}$ onde $\angle G(j\omega )=-180^{\circ }$; (c) O ganho em decibéis nessa frequência e a Margem de Ganho ($MG$) do sistema, classificando a estabilidade em malha fechada.

Solução Passo a Passo:

(a) Forma Canônica de Bode (Constante de Tempo): Colocando os termos na forma $(1+s/{\omega }_c)$: $s+2=2\left(1+\frac{s}{2}\right),s+10=10\left(1+\frac{s}{10}\right)$ $G(s)=\frac{200}{s\cdot 2\left(1+\frac{s}{2}\right)\cdot 10\left(1+\frac{s}{10}\right)}=\frac{200}{20\cdot s\left(1+\frac{s}{2}\right)\left(1+\frac{s}{10}\right)}=\boxed{\frac{10}{s\left(1+\frac{s}{2}\right)\left(1+\frac{s}{10}\right)}}$

• Ganho de Bode: $K_B=10$;
• Integrador na origem: $1/s$ (inclinação inicial de $-20\text{ dB/deˊc}$);
• Frequências de corte dos polos de 1ª ordem: ${\omega }_{c1}=2\text{ rad/s}$ e ${\omega }_{c2}=10\text{ rad/s}$.

(b) Frequência de Cruzamento de Fase (${\omega }_{cp}$): Expressão da fase: $\angle G(j\omega )=-90^{\circ }-\arctan \left(\frac{\omega }{2}\right)-\arctan \left(\frac{\omega }{10}\right)$ Igualando a $-180^{\circ }$: $-90^{\circ }-\left[\arctan \left(\frac{\omega }{2}\right)+\arctan \left(\frac{\omega }{10}\right)\right]=-180^{\circ }$ $\arctan \left(\frac{\omega }{2}\right)+\arctan \left(\frac{\omega }{10}\right)=90^{\circ }$ Pela identidade trigonométrica $\arctan (a)+\arctan (b)=\arctan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)=90^{\circ }⟹1-ab=0$: $1-\left(\frac{\omega }{2}\right)\left(\frac{\omega }{10}\right)=0⟹1-\frac{{\omega }^2}{20}=0⟹{\omega }^2=20$ $\boxed{{\omega }_{cp}=\sqrt{20}\approx 4,472\text{ rad/s}}$

(c) Margem de Ganho ($MG$) e Estabilidade: Módulo de $G(j\omega )$ em ${\omega }_{cp}=\sqrt{20}$: $|G(j\sqrt{20})|=\frac{200}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{20+4}\cdot \sqrt{20+100}}=\frac{200}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{24}\cdot \sqrt{120}}=\frac{200}{\sqrt{20\times 24\times 120}}=\frac{200}{\sqrt{57.600}}=\frac{200}{240}=\boxed{\frac{5}{6}\approx 0,8333}$ Em decibéis: $|G(j{\omega }_{cp}){|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}(5/6)=20(-0,07918)=-1,58\text{ dB}$ Calculando a Margem de Ganho: $\boxed{MG=-|G(j{\omega }_{cp}){|}_{\text{dB}}=+1,58\text{ dB}}\left(M{G}_{\text{linear}}=\frac{6}{5}=1,2\right)$ Como $MG>0\text{ dB}$ (e a fase em ${\omega }_{cg}$ resulta em $MF>0^{\circ }$), o sistema em malha fechada é estável! (O ganho de malha aberta pode subir no máximo $20\%$ antes que o sistema entre em oscilação sustentada).

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Exercício Resolvido 2 — Critério de Estabilidade de Nyquist com Ganho Crítico

Enunciado: Um sistema de controle de processos possui função de malha aberta $G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$, com realimentação unitária negativa. Determine: (a) As interseções da curva de Nyquist com o eixo real; (b) O valor limite do ganho $K_{\text{crıˊtico}}$ para o qual o sistema permanece assintoticamente estável em malha fechada.

Solução Passo a Passo:

1. Substituição de $s=j\omega$: $G(j\omega )=\frac{K}{j\omega (j\omega +1)(j\omega +2)}=\frac{K}{j\omega (2-{\omega }^2+j3\omega )}=\frac{K}{-3{\omega }^2+j\omega (2-{\omega }^2)}$
2. Racionalização (Multiplicação pelo conjugado): $G(j\omega )=\frac{K[-3{\omega }^2-j\omega (2-{\omega }^2)]}{9{\omega }^4+{\omega }^2(2-{\omega }^2{)}^2}=\frac{-3K{\omega }^2}{{\omega }^2[9{\omega }^2+(2-{\omega }^2{)}^2]}-j\frac{K\omega (2-{\omega }^2)}{{\omega }^2[9{\omega }^2+(2-{\omega }^2{)}^2]}$ Cancelando $\omega$: $\text{Re}\{G(j\omega )\}=\frac{-3K}{9{\omega }^2+(2-{\omega }^2{)}^2},\text{Im}\{G(j\omega )\}=\frac{-K(2-{\omega }^2)}{\omega [9{\omega }^2+(2-{\omega }^2{)}^2]}$
3. Interseção com o Eixo Real ($\text{Im}=0$): $\text{Im}\{G(j\omega )\}=0⟹2-{\omega }^2=0⟹\omega =\sqrt{2}\text{ rad/s}$
4. Ponto de Cruzamento no Eixo Real: Substituindo $\omega =\sqrt{2}$ na parte real: $\text{Re}\{G(j\sqrt{2})\}=\frac{-3K}{9(2)+(2-2{)}^2}=\frac{-3K}{18}=\boxed{-\frac{K}{6}}$
5. Aplicação do Critério de Nyquist:
   • A planta em malha aberta não possui polos no semiplano direito ($P=0$).
   • Para estabilidade em malha fechada ($Z=0$), a curva não pode envolver o ponto $-1+j0$ ($N=0$).
   • Logo, o ponto de cruzamento no eixo real negativo deve estar à direita de $-1$: $-\frac{K}{6}>-1⟹\frac{K}{6}<1⟹\boxed{0<K<6}$ O ganho crítico vale $K_{\text{crıˊtico}}=6$. Se $K>6$, o ponto $-1$ é envolvido duas vezes no sentido horário ($N=2⟹Z=2$ polos instáveis).

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7. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 05 e Roteiro SM1)

Bloco 1: Diagramas de Bode e Fatores Elementares

Questão 1 — Inclinação Assintótica de Polo Duplo no Diagrama de Bode (Apostila 05 / Módulo 1)

Enunciado: Analise o comportamento assintótico de magnitude de um sistema de controle que possui uma função de transferência do tipo $G(s)=\frac{1}{(s+a{)}^2}$, para frequências muito superiores à frequência de corte ($\omega \gg a$). A taxa de decaimento do módulo de magnitude por década de frequência é de:

A) $-20\text{ dB/deˊcada}$
B) $+20\text{ dB/deˊcada}$
C) $-40\text{ dB/deˊcada}$ (Correta)
D) $-6\text{ dB/deˊcada}$
E) $-60\text{ dB/deˊcada}$

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa C está correta ($-40\text{ dB/deˊcada}$).
Cada polo simples no semiplano esquerdo contribui com uma inclinação assintótica de $-20\text{ dB/deˊcada}$ após sua frequência de corte. Sendo um polo duplo de multiplicidade $2$ no denominador ($(s+a{)}^{-2}$), a taxa de decaimento dobra, resultando em: $\text{Inclinac¸a˜o}=-20\text{ dB/deˊcada}\times 2=-40\text{ dB/deˊcada}$

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Questão 2 — Comportamento de Fase de Integrador Puro (Apostila 05 / Módulo 1)

Enunciado: No traçado de um diagrama de Bode, a presença de um termo integrador puro na origem, expresso no domínio da frequência por $G(j\omega )=(j\omega {)}^{-1}=\frac{1}{j\omega }$, introduz na curva de fase uma contribuição:

A) Variável de $0^{\circ }$ até $-90^{\circ }$
B) Constante e igual a $0^{\circ }$
C) Constante e igual a $+90^{\circ }$
D) Constante e igual a $-90^{\circ }$ (Correta)
E) Linearmente decrescente de $-180^{\circ }/\text{deˊcada}$

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa D está correta (constante e igual a $-90^{\circ }$).
Como $\frac{1}{j}=-j=e^{-j90^{\circ }}$, o argumento de $\frac{1}{j\omega }$ vale: $\angle \left(\frac{1}{j\omega }\right)=\angle 1-\angle (j\omega )=0^{\circ }-90^{\circ }=-90^{\circ }$ Essa defasagem é perfeitamente fixa e independe do valor da frequência angular $\omega$.

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Bloco 2: Margens de Estabilidade Relativa

Questão 3 — Condição de Estabilidade pelas Margens de Ganho e Fase (Apostila 05 / Módulo 1)

Enunciado: Para um sistema linear de fase mínima com realimentação unitária, foram extraídos do diagrama de Bode os seguintes parâmetros de estabilidade relativa: Margem de Ganho $MG=+15\text{ dB}$ e Margem de Fase $MF=+48^{\circ }$. A respeito do comportamento do sistema em malha fechada, afirma-se que o sistema é:

A) Instável, pois $MG$ é excessivamente alto.
B) Marginalmente estável no limiar de oscilação.
C) Assintoticamente estável com excelente robustez a variações de ganho e atrasos. (Correta)
D) Instável com dois polos no semiplano direito.
E) De fase não mínima.

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa C está correta.
Em sistemas de fase mínima, a condição necessária e suficiente para estabilidade em malha fechada é que tanto a Margem de Ganho quanto a Margem de Fase sejam estritamente positivas ($MG>0\text{ dB}$ e $MF>0^{\circ }$). Com $MG=+15\text{ dB}$ (o ganho pode subir $5,6\times$ antes da instabilidade) e $MF=+48^{\circ }$ (amortecimento confortável com sobressinal moderado), o sistema opera em regime plenamente estável e robusto.

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Bloco 3: Sistemas de Fase Não Mínima e Nyquist

Questão 4 — Características de Zero no Semiplano Direito (Roteiro SM1 / Questão Q10)

Enunciado: Um sistema dinâmico possui a função de transferência de malha aberta $G(s)=\frac{s-2}{(s+1)(s+5)}$, apresentando um zero no semiplano direito em $s=+2$ (sistema de fase não mínima). Em comparação a um sistema com zero de fase mínima em $s=-2$, pode-se afirmar que o sistema com zero no SPD apresenta:

A) Curva de magnitude diferente e menor atraso de fase.
B) Curva de magnitude idêntica, porém com atraso de fase substancialmente maior e resposta temporal inversa (undershoot). (Correta)
C) Instabilidade inevitável em malha aberta.
D) Uma curva de fase que inicia em $+90^{\circ }$ e atinge $+180^{\circ }$.
E) Impossibilidade de realimentação negativa.

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa B está correta.

1. Módulo: Como $|j\omega -2|=\sqrt{{\omega }^2+4}=|j\omega +2|$, o módulo em decibéis é perfeitamente idêntico ao do sistema com zero no SPE.
2. Fase: O fator de fase não mínima atrasa a fase em $-90^{\circ }$ adicionais em vez de adiantá-la, reduzindo dramaticamente a Margem de Fase do sistema.
3. Resposta no Tempo: Zeros no semiplano direito impõem o fenômeno de resposta inversa (undershoot), onde a variável controlada inicialmente cai em sentido oposto ao comando do degrau antes de subir.

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Questão 5 — Aplicação do Critério de Nyquist para Planta Estável em Malha Aberta (Apostila 05 / Módulo 2)

Enunciado: Uma planta industrial possui todos os seus polos de malha aberta no semiplano esquerdo ($P=0$). Ao traçar o diagrama polar de Nyquist do sistema com realimentação unitária, constatou-se que a curva resultante realiza uma volta completa no sentido horário ao redor do ponto crítico $-1+j0$ ($N=1$). O número de polos instáveis em malha fechada ($Z$) e a classificação de estabilidade do sistema em malha fechada são:

A) $Z=0$ (Estável)
B) $Z=-1$ (Estável)
C) $Z=1$ (Instável com 1 polo no semiplano direito) (Correta)
D) $Z=2$ (Instável com 2 polos no semiplano direito)
E) Sistema marginalmente estável

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa C está correta ($Z=1$, Instável).
Pela equação fundamental de Nyquist: $Z=N+P$

• Como a planta em malha aberta é estável, $P=0$;
• Como a curva envolveu o ponto $-1+j0$ uma vez no sentido horário, $N=1$;
  Logo: $Z=1+0=1$ O sistema em malha fechada possui exatamente um polo instável no semiplano direito ($Z=1$), tornando o sistema em malha fechada instável.