Aula 02 - Balanço Energético da Conversão, Energia de Campo e Coenergia Magnética

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📍 Disciplina: 02 Conversão Eletromecânica de Energia | 🏠 Hub Principal 📄 Apostilas Base (UFPR - TE323): TE 323 - Capitulo 4 - Conversão eletromecanica de energia | Colectanea de Problemas resolvidos ⬅️ Aula Anterior: Aula 01 - Circuitos Magnéticos | ➡️ Próxima Aula: Aula 03 - Múltiplas Excitações e Conjugado

Metadados da Aula

• Área: 04 Sistemas Elétricos de Potência e Eletrotécnica
• Carga Horária Equivalente: 4 horas-aula teóricas e analíticas
• Pré-requisitos: Aula 01 - Circuitos Magnéticos com Entreferro, Cálculo Diferencial e Integral em Múltiplas Variáveis, Termodinâmica Clássica e Eletromagnetismo

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📌 Sumário da Aula

1. 🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem
2. 📋 2. Sumário Executivo e Síntese Conceitual
3. ⚡ 3. Balanço Energético Fundamental e Primeira Lei da Termodinâmica
4. 📐 4. Dedução Rigorosa da Energia de Campo e Coenergia Magnética
   • Transformada de Legendre e Relação Dual entre Energia e Coenergia
   • Independência de Trajetória em Meio Conservativo
5. ⚙️ 5. Princípio dos Trabalhos Virtuais e Determinação de Forças e Conjugados
   • Formulação em Fluxo Concatenado Constante: Derivada da Energia
   • Formulação em Corrente de Excitação Constante: Derivada da Coenergia
   • Sistemas Magneticamente Lineares: Força em Função da Indutância e Relutância
   • Força em Êmbolos Cilíndricos, Armaduras Desalinhadas e Excitação CA (Corrente vs. Tensão)
6. 🔄 6. Ciclos de Conversão Eletromecânica e Sistemas Saturados
7. 🏭 7. Estudo de Caso Prático e Exercícios Resolvidos TE323
8. 📝 8. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados
9. 📚 9. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

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🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem

A conversão eletromecânica de energia é o processo físico fundamental que sustenta o funcionamento de geradores, motores elétricos, relés de proteção, contatores e atuadores lineares em sistemas de potência e automação industrial. Em essência, a conversão ocorre através da interação entre campos eletromagnéticos confinados em núcleos ferromagnéticos e condutores ou partes metálicas móveis.

Enquanto a força pontual de Lorentz expressa a ação de campos sobre cargas pontuais isoladas no vácuo ($d\vec{F}=id\vec{\ell }\times \vec{B}$), a determinação analítica direta das forças que atuam em corpos magnéticos macroscópicos com geometrias complexas e propriedades de saturação é impraticável por integração de campo pontual. O Método da Energia contorna essa complexidade tratando o campo magnético como um reservatório termodinâmico conservativo de armazenamento de energia.

Ao isolar as perdas irreversíveis (efeito Joule nos enrolamentos e atrito mecânico nos mancais) fora dos limites de controle do sistema, a Primeira Lei da Termodinâmica permite expressar a força mecânica desenvolvida diretamente pelas derivadas parciais da energia armazenada ou de sua função dual, a coenergia magnética.

Objetivos de Aprendizagem

• Modelar o balanço de potência e energia em dispositivos eletromecânicos conservativos desacoplando perdas elétricas e mecânicas.
• Deduzir rigorosamente as funções de estado Energia de Campo ($W_{\text{fld}}$) e Coenergia Magnética ($W_{\text{fld}}^{\prime }$) a partir da integral de linha no plano de estado $(\lambda ,i)$.
• Aplicar a transformada de Legendre para derivar a dualidade termodinâmica entre fluxo concatenado ($\lambda$) e corrente de excitação ($i$).
• Demonstrar matematicamente a equivalência das expressões da força mecânica sob as restrições de fluxo concatenado constante ($f_{\text{fld}}=-\partial W_{\text{fld}}/\partial x$) e corrente constante ($f_{\text{fld}}=+\partial W_{\text{fld}}^{\prime }/\partial x$).
• Avaliar ciclos fechados de conversão e conversão sob saturação magnética real com materiais não-lineares.
• Resolver problemas de dimensionamento e análise de forças em atuadores eletromecânicos reais encontrados no Sistema Interligado Nacional e na indústria de processos.

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📋 2. Sumário Executivo e Síntese Conceitual

Parâmetro / Conceito	Expressão Matemática Geral	Caso Linear ($B=\mu H$)	Unidade SI	Interpretação Física
Balanço Energético Diferencial	$d{W}_{\text{elec}}=d{W}_{\text{fld}}+d{W}_{\text{mec}}$	Desacoplado de $R\cdot i^2$ e perdas por atrito	$\text{J}$ (Joules)	Conservação de energia no meio acoplador magnético.
Energia de Campo Magnético ($W_{\text{fld}}$)	$W_{\text{fld}}(\lambda ,x)={\int }_0^{\lambda }i({\lambda }^{\prime },x)d{\lambda }^{\prime }$	$W_{\text{fld}}=\frac{1}{2}\frac{{\lambda }^2}{L(x)}=\frac{1}{2}\mathcal{R}(x){\varphi }^2$	$\text{J}$	Área acima da curva $\lambda \times i$ (integrada em relação ao fluxo).
Coenergia Magnética ($W_{\text{fld}}^{\prime }$)	$W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)={\int }_0^i\lambda (i^{\prime },x)d{i}^{\prime }$	$W_{\text{fld}}^{\prime }=\frac{1}{2}L(x)i^2$	$\text{J}$	Área abaixo da curva $\lambda \times i$ (integrada em relação à corrente).
Dualidade de Legendre	$W_{\text{fld}}+W_{\text{fld}}^{\prime }=\lambda i$	$W_{\text{fld}}=W_{\text{fld}}^{\prime }$	$\text{J}$	Soma das áreas cobre o retângulo $(\lambda \cdot i)$ no plano de fase.
Força Mecânica (via Energia)	$f_{\text{fld}} = -\left.\frac{\partial W_{\text{fld}}(\lambda, x)}{\partial x}\right	_\lambda$	$f_{\text{fld}}=-\frac{1}{2}{\varphi }^2\frac{d\mathcal{R}}{dx}=+\frac{1}{2}\frac{{\lambda }^2}{L^2}\frac{dL}{dx}$	$\text{N}$ (Newtons)
Força Mecânica (via Coenergia)	$f_{\text{fld}} = +\left.\frac{\partial W’_{\text{fld}}(i, x)}{\partial x}\right	_i$	$f_{\text{fld}}=+\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL(x)}{dx}$	$\text{N}$ (Newtons)
Conjugado Mecânico Rotativo ($T_{\text{fld}}$)	$T_{\text{fld}} = +\left.\frac{\partial W’_{\text{fld}}(i, \theta)}{\partial \theta}\right	_i$	$T_{\text{fld}}=+\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL(\theta )}{d\theta }$	$\text{N}\cdot \text{m}$

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Energia de Campo, Coenergia Magnética e Força Eletromagnética

Visualize interativamente no plano de estado $(\lambda \times i)$ a partição de áreas da Transformada de Legendre ($W_{\text{fld}}+W_{\text{fld}}^{\prime }=\lambda \cdot i$), compare o regime linear ($W_{\text{fld}}^{\prime }=W_{\text{fld}}$) com o regime saturado não-linear ($W_{\text{fld}}^{\prime }>W_{\text{fld}}$) e observe a curva de força eletromagnética $F_e(x)=\partial W_{\text{fld}}^{\prime }/\partial x$ sobre a armadura móvel: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_conversao_energia_coenergia_forca_relutancia.html]])

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⚡ 3. Balanço Energético Fundamental e Primeira Lei da Termodinâmica

Considere um transdutor eletromecânico composto por um enrolamento de excitação de $N$ espiras montado em torno de um núcleo ferromagnético dotado de uma peça móvel (armadura) que se desloca linearmente ao longo do eixo de coordenadas $x$.

A equação diferencial elétrica dos terminais do enrolamento, aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões e a Lei de Faraday-Neumann-Lenz, é dada por:

$v(t)=R\cdot i(t)+\frac{d\lambda (t)}{dt}$

Onde:

• $v(t)$ é a tensão instantânea aplicada aos terminais da bobina ($\text{V}$).
• $R$ é a resistência ôhmica do enrolamento de cobre ($\Omega$).
• $i(t)$ é a corrente de excitação ($\text{A}$).
• $\lambda (t)=N\varphi (t)$ é o fluxo magnético concatenado total ($\text{Wb}$ ou $\text{V}\cdot \text{s}$).

Multiplicando a equação de tensões pela corrente $i(t)$ e pelo intervalo diferencial de tempo $dt$, obtém-se o balanço infinitesimal de energia elétrica fornecida pela fonte:

$v\cdot idt=R\cdot i^{2}dt+i\frac{d\lambda }{dt}dt$

$d{W}_{\text{fonte}}=d{W}_{\text{joule}}+d{W}_{\text{elec, lıˊquido}}$

Ao definir um volume de controle que envolve estritamente o meio magnético e a parte móvel, excluem-se as perdas ôhmicas no condutor ($d{W}_{\text{joule}}=R\cdot i^{2}dt$) e as perdas mecânicas associadas ao atrito viscoso e de contato com o meio ($d{W}_{\text{atrito}}=B_{\text{visc}}\cdot v_{\text{mec}}^{2}dt$). Desse modo, o meio acoplador magnético comporta-se como um sistema conservativo ideal.

A energia elétrica líquida que efetivamente penetra no meio magnético é:

$d{W}_{\text{elec}}=i\cdot d\lambda$

De acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica aplicada ao meio conservativo, essa energia elétrica de entrada deve ser distribuída entre o aumento da energia armazenada no campo magnético ($d{W}_{\text{fld}}$) e o trabalho mecânico elementar realizado pelo campo magnético sobre a armadura móvel ($d{W}_{\text{mec}}$):

$\boxed{d{W}_{\text{elec}}=d{W}_{\text{fld}}+d{W}_{\text{mec}}}$

Sendo o trabalho mecânico diferencial expresso pelo produto escalar da força de origem magnética exercida pelo campo sobre a armadura móvel ($f_{\text{fld}}$) pelo deslocamento elementar $dx$:

$d{W}_{\text{mec}}=f_{\text{fld}}\cdot dx$

Substituindo a expressão do trabalho mecânico na equação de conservação:

$\boxed{id\lambda =d{W}_{\text{fld}}+f_{\text{fld}}dx}⟹\boxed{d{W}_{\text{fld}}=id\lambda -f_{\text{fld}}dx}$

Essa equação é a relação fundamental da conversão eletromecânica de energia. Ela demonstra que a energia armazenada no campo magnético $W_{\text{fld}}$ é uma função de estado que depende exclusivamente de duas variáveis independentes de estado: o fluxo magnético concatenado $\lambda$ (variável de estado elétrica) e o deslocamento $x$ (variável de estado mecânica).

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📐 4. Dedução Rigorosa da Energia de Campo e Coenergia Magnética

Independência de Trajetória em Meio Conservativo

Sendo $W_{\text{fld}}(\lambda ,x)$ uma função de estado de um sistema físico sem perdas internas, a diferencial $d{W}_{\text{fld}}$ é uma diferencial exata. Portanto, o valor acumulado da energia de campo ao levar o sistema de um estado de repouso desenergizado $(0,x_0)$ até um estado energizado final $({\lambda }_0,x_0)$ é rigorosamente independente da trajetória percorrida no espaço de estados $(\lambda ,x)$.

Para calcular a integral de linha $\int d{W}_{\text{fld}}$, escolhe-se a trajetória que desacopla os termos mecânicos e elétricos (trajetória de dois segmentos ortogonais):

1. Segmento 1: Desloca-se a armadura mecânica de $x=0$ até a posição final $x=x_0$ mantendo a bobina desenergizada ($\lambda =0$). Como não há corrente nem campo magnético presente ($\lambda =0⟹i=0$), a força de origem magnética é identicamente nula ($f_{\text{fld}}=0$). Logo, $d{W}_{\text{fld}}=0$.
2. Segmento 2: Com a armadura mecânica rigidamente fixada na posição $x=x_0$ ($dx=0$), eleva-se a excitação magnética de $\lambda =0$ até o valor final $\lambda ={\lambda }_0$. Como $dx=0$, o termo mecânico anula-se ($f_{\text{fld}}dx=0$).

Integrando a equação fundamental ao longo dessa trajetória:

$W_{\text{fld}}({\lambda }_0,x_0)=\underset{\text{Segmento 1 }(\lambda =0)}{\underbrace{{\int }_{x=0}^{x_0}0\cdot dx}}+\underset{\text{Segmento 2 }(x=x_0)}{\underbrace{{\int }_{\lambda =0}^{{\lambda }_0}i({\lambda }^{\prime },x_0)d{\lambda }^{\prime }}}$

Generalizando para quaisquer valores de $\lambda$ e $x$:

$\boxed{W_{\text{fld}}(\lambda ,x)={\int }_0^{\lambda }i({\lambda }^{\prime },x)d{\lambda }^{\prime }}$

Geometricamente, no gráfico que relaciona o fluxo concatenado $\lambda$ com a corrente de excitação $i$, a energia de campo $W_{\text{fld}}$ corresponde à área à esquerda (ou acima) da curva de magnetização, projetada sobre o eixo vertical do fluxo $\lambda$.

Transformada de Legendre e Relação Dual entre Energia e Coenergia

Em aplicações práticas de engenharia de acionamentos e máquinas elétricas, as fontes de alimentação controlam primariamente a tensão ou a corrente elétrica, e não o fluxo magnético concatenado. Consequentemente, é muito mais conveniente tratar a corrente de excitação $i$ como a variável de estado independente, em vez de $\lambda$.

Para realizar a mudança de coordenadas de estado de $(\lambda ,x)$ para $(i,x)$ preservando todas as propriedades dinâmicas e diferenciais do sistema, aplica-se a Transformada de Legendre, definindo a função dual denominada Coenergia Magnética ($W_{\text{fld}}^{\prime }$):

$\boxed{W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)\equiv \lambda \cdot i-W_{\text{fld}}(\lambda ,x)}$

Calculando a diferencial total da coenergia magnética:

$d{W}_{\text{fld}}^{\prime }=d(\lambda \cdot i)-d{W}_{\text{fld}}$

Aplicando a regra do produto para a diferencial $d(\lambda \cdot i)=\lambda di+id\lambda$ e substituindo a relação fundamental de $d{W}_{\text{fld}}=id\lambda -f_{\text{fld}}dx$:

$d{W}_{\text{fld}}^{\prime }=(\lambda di+id\lambda )-(id\lambda -f_{\text{fld}}dx)$

Cancelando os termos idênticos $+id\lambda$ e $-id\lambda$:

$\boxed{d{W}_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)=\lambda di+f_{\text{fld}}dx}$

Essa equação demonstra de forma elegante que a coenergia magnética $W_{\text{fld}}^{\prime }$ é uma função de estado natural das variáveis $(i,x)$. Integrando ao longo de uma trajetória análoga de dois segmentos (onde primeiro se posiciona a parte mecânica em $x$ com $i=0$ e depois se eleva a corrente de $0$ até $i$ com $x$ fixo, $dx=0$):

$\boxed{W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)={\int }_0^i\lambda (i^{\prime },x)d{i}^{\prime }}$

Geometricamente, a coenergia magnética $W_{\text{fld}}^{\prime }$ representa a área abaixo da curva de magnetização $\lambda \times i$, projetada sobre o eixo horizontal da corrente $i$.

A soma das duas grandezas preenche exatamente o retângulo de área $\lambda \cdot i$:

$W_{\text{fld}}(\lambda ,x)+W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)=\lambda \cdot i$

Distinção Crucial entre Energia e Coenergia

• Em sistemas com materiais magnéticos lineares (sem saturação), a curva $\lambda \times i$ é uma reta passando pela origem ($\lambda =L(x)\cdot i$). Nesse cenário particular, os dois triângulos retângulo formados têm áreas idênticas: $W_{\text{fld}}=W_{\text{fld}}^{\prime }=\frac{1}{2}\lambda i=\frac{1}{2}L(x)i^2=\frac{1}{2}\frac{{\lambda }^2}{L(x)}$
• Em sistemas não-lineares saturados, a curva dobra em direção ao eixo das correntes. Consequentemente, a coenergia magnética é estritamente maior que a energia de campo: $W_{\text{fld}}^{\prime }>W_{\text{fld}}$. A coenergia não possui significado físico termodinâmico direto mensurável em calorímetro; trata-se de um potencial matemático de trabalho virtual de extrema utilidade analítica.

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🖼️ Representação Gráfica: Balanço Energético, Curva $\lambda \times i$ e Forças

A figura a seguir consolida em alta definição o balanço de potência, as áreas de integração no plano $\lambda \times i$, as formulações de força mecânica e os ciclos de conversão:

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⚙️ 5. Princípio dos Trabalhos Virtuais e Determinação de Forças e Conjugados

O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que, em um sistema mecânico em equilíbrio estático ou dinâmico sujeito a restrições ideais, a força resultante em qualquer coordenada generalizada pode ser obtida calculando a taxa de variação da energia potencial do sistema sob um deslocamento virtual arbitrário $\delta x$.

Formulação em Fluxo Concatenado Constante: Derivada da Energia

A diferencial da energia de campo expressa em termos de suas derivadas parciais totais em relação às suas variáveis naturais $(\lambda ,x)$ é:

$d{W}_{\text{fld}}(\lambda ,x)={\frac{\partial W_{\text{fld}}}{\partial \lambda }|}_{x}d\lambda +{\frac{\partial W_{\text{fld}}}{\partial x}|}_{\lambda }dx$

Comparando termo a termo com a equação deduzida da Primeira Lei da Termodinâmica ($d{W}_{\text{fld}}=id\lambda -f_{\text{fld}}dx$):

1. O coeficiente do termo $d\lambda$ fornece a relação de terminal elétrico: $i={\frac{\partial W_{\text{fld}}(\lambda ,x)}{\partial \lambda }|}_x$
2. O coeficiente do termo $dx$ fornece a força mecânica de origem magnética: $\boxed{f_{\text{fld}}=-{\frac{\partial W_{\text{fld}}(\lambda ,x)}{\partial x}|}_{\lambda }}$

Raciocínio Físico do Sinal Negativo

O sinal negativo indica que, sob a condição de fluxo magnético constante ($\lambda =\text{cte}⟹d\lambda =0$), qualquer movimento espontâneo da armadura móvel ocorre no sentido de reduzir a energia armazenada no campo magnético. O sistema busca a configuração de menor energia potencial, o que corresponde a atrair a armadura para reduzir o entreferro e diminuir a relutância magnética do circuito.

Formulação em Corrente de Excitação Constante: Derivada da Coenergia

Expressando a diferencial total da coenergia magnética em termos de suas variáveis naturais $(i,x)$:

$d{W}_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)={\frac{\partial W_{\text{fld}}^{\prime }}{\partial i}|}_{x}di+{\frac{\partial W_{\text{fld}}^{\prime }}{\partial x}|}_{i}dx$

Comparando termo a termo com a expressão fundamental $d{W}_{\text{fld}}^{\prime }=\lambda di+f_{\text{fld}}dx$:

1. O coeficiente do termo $di$ fornece a relação de terminal elétrico do fluxo concatenado: $\lambda ={\frac{\partial W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)}{\partial i}|}_x$
2. O coeficiente do termo $dx$ fornece a força mecânica de origem magnética: $\boxed{f_{\text{fld}}=+{\frac{\partial W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)}{\partial x}|}_i}$

Sinal Positivo da Coenergia

Quando a força é calculada a partir da coenergia, a derivada parcial em relação à posição $x$ é avaliada mantendo a corrente de excitação $i$ rigorosamente constante. O sinal positivo demonstra que a força atua no sentido de maximizar a coenergia magnética do sistema. Como em sistemas lineares a coenergia é proporcional à indutância ($W^{\prime }=\frac{1}{2}L(x)i^2$), o sistema sempre gera uma força mecânica direcionada a aumentar a indutância ($dL/dx>0$).

Sistemas Magneticamente Lineares: Força em Função da Indutância e Relutância

Para circuitos magnéticos nos quais a relutância do ferro é desprezível em relação à do entreferro ou que operam na região linear da curva $B\times H$, a indutância da bobina é unicamente função da coordenada de posição:

$\lambda (i,x)=L(x)\cdot i$

A coenergia magnética é:

$W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)={\int }_0^{i}L(x)\cdot i^{\prime }d{i}^{\prime }=\frac{1}{2}L(x)\cdot i^2$

Aplicando a derivada parcial em relação a $x$ com $i=\text{cte}$:

$\boxed{f_{\text{fld}}=+\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL(x)}{dx}}$

Alternativamente, expressando a indutância em função da relutância magnética total do circuito ($\mathcal{R}(x)$):

$L(x)=\frac{N^2}{\mathcal{R}(x)}$

Derivando $L(x)$ em relação a $x$:

$\frac{dL(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{N^2}{\mathcal{R}(x)}\right)=-\frac{N^2}{[\mathcal{R}(x){]}^2}\frac{d\mathcal{R}(x)}{dx}$

Substituindo na expressão da força e reconhecendo que $N\cdot i=\mathcal{F}=\varphi \cdot \mathcal{R}$:

$f_{\text{fld}}=\frac{1}{2}{i}^2\left(-\frac{N^2}{{\mathcal{R}}^2}\frac{d\mathcal{R}}{dx}\right)=-\frac{1}{2}{\left(\frac{N\cdot i}{\mathcal{R}}\right)}^2\frac{d\mathcal{R}}{dx}$

$\boxed{f_{\text{fld}}=-\frac{1}{2}{\varphi }^2\frac{d\mathcal{R}(x)}{dx}}$

Essa equação é universalmente empregada na análise de contatores e relés eletromagnéticos: a força de atração mecânica é diretamente proporcional ao quadrado do fluxo magnético ${\varphi }^2$ e inversamente proporcional ao gradiente espacial de relutância. Como a relutância diminui à medida que o entreferro fecha ($d\mathcal{R}/dx<0$), a força resultante é atrativa ($f_{\text{fld}}>0$).

Generalização para Movimento Rotativo (Conjugado Eletromagnético)

Para sistemas eletromecânicos rotativos, onde a coordenada generalizada de deslocamento é o ângulo mecânico $\theta$ (em radianos) em vez de $x$, a potência mecânica é dada por $P_{\text{mec}}=T_{\text{fld}}\cdot {\omega }_{\text{mec}}=T_{\text{fld}}\cdot \frac{d\theta }{dt}$.

O princípio dos trabalhos virtuais converte-se diretamente na expressão do Conjugado Mecânico ($T_{\text{fld}}$):

$\boxed{T_{\text{fld}}=-{\frac{\partial W_{\text{fld}}(\lambda ,\theta )}{\partial \theta }|}_{\lambda }=+{\frac{\partial W_{\text{fld}}^{\prime }(i,\theta )}{\partial \theta }|}_i}$

Para um motor ou sensor linear com indutância dependente do ângulo rotor-estator $L(\theta )$:

$\boxed{T_{\text{fld}}=\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL(\theta )}{d\theta }}$

Força em Êmbolos Cilíndricos, Armaduras Desalinhadas e Excitação CA (Corrente vs. Tensão)

A análise de atuadores eletromagnéticos na disciplina TE323 / TE146 (UFPR) destaca três configurações clássicas de projeto que todo engenheiro eletricista deve dominar:

1. Contraste Fundamental: Excitação em Corrente CA vs. Fonte de Tensão CA

Considere um eletroímã de núcleo em U com armadura móvel separada por dois entreferros em série de espessura $x$, seção $A$ e $N$ espiras, cuja indutância (desprezando a relutância do ferro) vale $L(x)=\frac{{\mu }_{0}A{N}^2}{2x}$:

• Alimentação por Fonte de Corrente Senoidal ($i(t)=\sqrt{2}{I}_{\text{rms}}\sin (\omega t)$): Pela derivada da coenergia magnética: $f_x(t)=\frac{1}{2}{i}^2(t)\frac{dL(x)}{dx}=-\frac{{\mu }_{0}A{N}^2}{4x^2}\cdot 2I_{\text{rms}}^2{\sin }^2(\omega t)=-\frac{{\mu }_{0}A{N}^2{I}_{\text{rms}}^2}{4x^2}[1-\cos (2\omega t)]$ O valor médio temporal da força de atração vale: $\boxed{⟨f_x{⟩}_I=-\frac{{\mu }_{0}A{N}^2}{4x^2}{I}_{\text{rms}}^2[\text{N}]}$ Conclusão: Sob corrente eficaz $I_{\text{rms}}$ imposta, a força média independe da frequência $\omega$, mas cai com o quadrado da distância do entreferro ($1/x^2$).
• Alimentação por Fonte de Tensão Senoidal ($u(t)=\sqrt{2}{U}_{\text{rms}}\sin (\omega t)$): Desprezando a resistência ôhmica da bobina ($u=d\lambda /dt$), o fluxo concatenado é imposto pela integral da tensão: $\lambda (t)=\int u(t)dt=-\frac{\sqrt{2}{U}_{\text{rms}}}{\omega }\cos (\omega t)⟹{\lambda }^2(t)={\left(\frac{U_{\text{rms}}}{\omega }\right)}^2[1+\cos (2\omega t)]$ Como o fluxo concatenado $\lambda$ é a variável imposta, utiliza-se a derivada da Energia de Campo $W_{\text{fld}}(\lambda ,x)=\frac{{\lambda }^2}{2L(x)}=\frac{x\cdot {\lambda }^2}{{\mu }_{0}A{N}^2}$: $f_x(t)=-{\frac{\partial W_{\text{fld}}(\lambda ,x)}{\partial x}|}_{\lambda }=-\frac{{\lambda }^2(t)}{{\mu }_{0}A{N}^2}=-\frac{1}{{\mu }_{0}A{N}^2}{\left(\frac{U_{\text{rms}}}{\omega }\right)}^2[1+\cos (2\omega t)]$ O valor médio temporal da força de atração sob tensão imposta resulta em: $\boxed{⟨f_x{⟩}_U=-\frac{1}{{\mu }_{0}A{N}^2}{\left(\frac{U_{\text{rms}}}{\omega }\right)}^2=-\frac{1}{{\mu }_{0}A{N}^2}{\left(\frac{U_{\text{rms}}}{2\pi f}\right)}^2[\text{N}]}$ Conclusão Surpreendente de Projeto: Sob tensão CA constante (e resistência da bobina desprezível), a força média de atração não depende da abertura do entreferro $x$ (pois à medida que $x$ aumenta, a indutância $L(x)$ cai e a corrente $I=U/(\omega L)$ cresce na mesma proporção!), mas é inversamente proporcional ao quadrado da frequência ($1/f^2$).

2. Força Tangencial Restauradora em Armadura com Deslocamento Lateral (Relutância de Superfície Variável)

Quando uma peça móvel ferromagnética de largura $d$ e profundidade $l$ desloca-se perpendicularmente às linhas de fluxo magnético (desalinhamento transversal $x$, mantendo o entreferro vertical $g$ constante), a área de superposição efetiva de cada entreferro varia linearmente com $x$: $S(x)=l\cdot (d-x)⟹{\mathcal{R}}_g(x)=\frac{2g}{{\mu }_{0}l(d-x)}⟹\boxed{L(x)=\frac{{\mu }_0{N}^{2}l(d-x)}{2g}}$ A força magnética tangencial que tende a realinhar a peça móvel ($x\to 0$) é constante ao longo de todo o curso de desalinhamento: $\boxed{f_x=+\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL(x)}{dx}=-\frac{{\mu }_0{N}^{2}l}{4g}{i}^2[\text{N}]}$

3. Êmbolo Cilíndrico Coaxial (Solenoide de Curso Longo)

Para um solenoide de êmbolo cilíndrico maciço de raio $r$ que penetra coaxialmente em uma bucha ferromagnética com folga radial anelar $g\ll r$ e comprimento de superposição $(h-x)$, a relutância radial da folga anelar domina e a indutância varia linearmente com a penetração: $\boxed{L(x)=\frac{{\mu }_0\pi r(h-x)N^2}{g}⟹f_x=-\frac{{\mu }_0\pi r{N}^2}{2g}{i}^2[\text{N}]}$

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🔄 6. Ciclos de Conversão Eletromecânica e Sistemas Saturados

Em máquinas elétricas operando em regime cíclico permanente (como geradores e motores de relutância variável ou atuadores ressonantes), as variáveis de estado $(\lambda ,i)$ e a posição mecânica $x$ percorrem uma trajetória fechada no plano de fase durante cada período de comutação $T=1/f$.

Integrando o balanço de energia ao longo de um ciclo completo fechado ($\oint$):

$\oint d{W}_{\text{elec}}=\oint d{W}_{\text{fld}}+\oint d{W}_{\text{mec}}$

Como a energia de campo $W_{\text{fld}}$ é uma função de estado exata, sua integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado que retorne ao ponto de partida é rigorosamente nula:

$\oint d{W}_{\text{fld}}=0$

Portanto, a energia mecânica líquida convertida em trabalho útil durante um ciclo completo é idêntica à energia elétrica líquida absorvida dos terminais:

$\boxed{W_{\text{mec, lıˊq}}=\oint f_{\text{fld}}dx=\oint id\lambda =\text{Aˊrea Interna do Lac¸o de Conversa˜o}}$

Análise dos Quatro Ramos do Ciclo

1. Ramo $a\to b$ (Energização da Bobina): A corrente é injetada com a armadura móvel na posição de repouso aberta ($x=x_{\text{max}}$). O fluxo magnético sobe até saturar o circuito. O trabalho mecânico é nulo pois a armadura ainda não se moveu ($dx=0$). Toda a energia de entrada é armazenada no campo magnético.
2. Ramo $b\to c$ (Movimento Mecânico de Atração): A armadura desloca-se sob a ação da força magnética, fechando o entreferro de $x_{\text{max}}$ para $x_{\text{min}}$. A indutância salta para o valor máximo. Durante este estágio, o sistema realiza trabalho mecânico sobre a carga externa ($W_{\text{mec}}>0$).
3. Ramo $c\to d$ (Desenergização e Extinção de Corrente): A tensão nos terminais é invertida ou a bobina é curto-circuitada através de um diodo de roda-livre para drenar a corrente antes que o movimento de retorno ocorra.
4. Ramo $d\to a$ (Retorno Mecânico por Mola): A armadura retorna à posição original aberta sob ação mecânica de uma mola de rearme, com corrente residual nula ($i\approx 0$).

A potência média eletromecânica desenvolvida pelo transdutor acionado a uma frequência de chaveamento $f_{\text{sw}}$ é:

$P_{\text{meˊd}}=f_{\text{sw}}\cdot W_{\text{mec, lıˊq}}=f_{\text{sw}}\cdot \oint id\lambda$

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🏭 7. Estudo de Caso Prático e Exercícios Resolvidos TE323

7.1 Estudo de Caso: Atuador Magnético de Disjuntor de Média Tensão

Descrição do Problema e Dados de Engenharia

Em subestações de média tensão ($13,8\text{ kV}$), os disjuntores modernos utilizam atuadores magnéticos biestáveis para promover a abertura e fechamento ultrarrápido das ampolas de vácuo em caso de curto-circuito.

Considere um atuador linear com núcleo ferromagnético laminado com seção transversal quadrada de lado $a=50\text{ mm}$ ($A_g=a^2=25\times 10^{-4}{\text{ m}}^2$). O circuito possui dois entreferros simétricos de comprimento $x(t)$, variando de $x=10\text{ mm}$ (disjuntor aberto) até $x=1\text{ mm}$ (disjuntor fechado). O enrolamento possui $N=800\text{ espiras}$ de fio de cobre e resistência ôhmica $R=2,4\Omega$. A permeabilidade do ferro é considerada idealmente muito alta (${\mu }_{\text{fe}}\to \infty$).

A bobina é alimentada por um banco de capacitores que injeta um degrau de corrente contínua controlada $I_0=15\text{ A}$.

Passo 1: Cálculo da Relutância Total em Função da Posição $x$

Como existem dois entreferros em série, cada um de comprimento $x$ e área de seção transversal $A_g$:

${\mathcal{R}}_{\text{total}}(x)=2\cdot {\mathcal{R}}_g(x)=2\cdot \left(\frac{x}{{\mu }_0{A}_g}\right)=\frac{2x}{{\mu }_0{A}_g}$

Substituindo os valores numéricos com ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{ H/m}$:

${\mathcal{R}}_{\text{total}}(x)=\frac{2x}{(4\pi \times 10^{-7})\cdot (25\times 10^{-4})}=\frac{2x}{\pi \times 10^{-9}}=\frac{2\times 10^9}{\pi }\cdot x\approx 6,366\times 10^8\cdot x\left[\frac{\text{A}\cdot \text{e}}{\text{Wb}}\right]$

Passo 2: Dedução da Função Indutância $L(x)$

A indutância em função da posição linear $x$ da armadura é:

$L(x)=\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_{\text{total}}(x)}=\frac{N^2\cdot {\mu }_0{A}_g}{2x}$

$L(x)=\frac{800^2\cdot (4\pi \times 10^{-7})\cdot (25\times 10^{-4})}{2x}=\frac{640.000\cdot \pi \times 10^{-9}}{2x}=\frac{1,0053\times 10^{-3}}{x}\left[\text{H}\right]$

• Para o disjuntor na posição aberta ($x=10\text{ mm}=0,010\text{ m}$): $L(0,010)=\frac{1,0053\times 10^{-3}}{0,010}\approx 0,1005\text{ H}=100,5\text{ mH}$
• Para o disjuntor na posição fechada ($x=1\text{ mm}=0,001\text{ m}$): $L(0,001)=\frac{1,0053\times 10^{-3}}{0,001}\approx 1,0053\text{ H}$

Passo 3: Cálculo da Força Eletromagnética de Atração

Utilizando a formulação por coenergia para corrente constante $I_0=15\text{ A}$:

$f_{\text{fld}}(x)=+\frac{1}{2}{I}_0^2\frac{dL(x)}{dx}$

Derivando a função indutância $L(x)$:

$\frac{dL(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1,0053\times 10^{-3}}{x}\right)=-\frac{1,0053\times 10^{-3}}{x^2}$

A intensidade da força atrativa que puxa a armadura no sentido de fechar o entreferro ($|f_{\text{fld}}|$) é:

$|f_{\text{fld}}(x)|=\frac{1}{2}{I}_0^2\cdot \frac{1,0053\times 10^{-3}}{x^2}=\frac{1}{2}\cdot (15{)}^2\cdot \frac{1,0053\times 10^{-3}}{x^2}=\frac{112,5\cdot 1,0053\times 10^{-3}}{x^2}=\frac{0,1131}{x^2}\left[\text{N}\right]$

• Na posição inicial aberta ($x=10\text{ mm}=10^{-2}\text{ m}$): $f_{\text{fld}}(10\text{ mm})=\frac{0,1131}{(10^{-2}{)}^2}=\frac{0,1131}{10^{-4}}=1.131\text{ N}(\approx 115,3\text{ kgf})$
• Na posição final pré-fechamento ($x=1\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}$): $f_{\text{fld}}(1\text{ mm})=\frac{0,1131}{(10^{-3}{)}^2}=\frac{0,1131}{10^{-6}}=113.100\text{ N}(\approx 11,53\text{ toneladas-forc¸a}!)$

Comportamento Não-Linear $1/x^2$ da Força e Impacto Dinâmico

Note que a força magnética cresce quadraticamente com a aproximação das peças ($f\propto 1/x^2$), multiplicando-se por $100$ quando o entreferro é reduzido por um fator de $10$. Esse crescimento vertiginoso garante o esmagamento rápido dos contatos elétricos e a extinção eficaz do arco voltaico, mas impõe esforços mecânicos severos na carcaça do disjuntor, exigindo amortecedores elastoméricos na retenção final.

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7.2 Exercícios Resolvidos da Coletânea TE146 / TE323 (UFPR)

Exercício Resolvido 1 — Força Eletromecânica em Armadura sob Excitação em Corrente CA vs. Tensão CA (Coletânea TE146/TE323 - Problema 11)

Enunciado: Um dispositivo eletromagnético de núcleo em U e armadura móvel alinhada possui seção reta $A=8{\text{ cm}}^2=8\times 10^{-4}{\text{ m}}^2$ (dimensões $B=4\text{ cm},C=2\text{ cm}$), bobina de $N=400\text{ espiras}$ e dois entreferros em série de espessura $x$. Desprezando a relutância do ferro e a dispersão: (a) Determine a força eletromecânica vertical $f_x(x)$ para corrente contínua $i=1\text{ A}$ nas posições $x=2\text{ mm}$ e $x=10\text{ mm}$; (b) Se a corrente for alternada senoidal de valor eficaz $I=1\text{ A}$ em $f=50\text{ Hz}$ (e depois $400\text{ Hz}$) com $x=2\text{ mm}$, qual é a expressão temporal e o valor médio da força? (c) Se a bobina (de resistência desprezível) for alimentada por uma fonte de tensão senoidal de valor eficaz $U=60\text{ V}$ em $f=50\text{ Hz}$ com $x=2\text{ mm}$, calcule o valor médio da força, a indutância $L$, a corrente solicitada $I$ e o impacto caso a frequência passe para $400\text{ Hz}$.

Solução Passo a Passo:

1. [Item (a) — Indutância $L(x)$ e Força em Corrente Contínua ($i=1\text{ A}$)]: $L(x)=\frac{{\mu }_{0}A{N}^2}{2x}⟹f_x(x)=\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL(x)}{dx}=-\frac{{\mu }_{0}A{N}^2}{4x^2}{i}^2=-\frac{k}{x^2}{i}^2$ Calculando a constante $k$: $k=\frac{{\mu }_{0}A{N}^2}{4}=\frac{(4\pi \times 10^{-7})\times (8\times 10^{-4})\times 400^2}{4}=4,0212\times 10^{-5}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{A}}^2$

   • Para $x=2\text{ mm}=2\times 10^{-3}\text{ m}$ e $i=1\text{ A}$: $\boxed{f_x(2\text{ mm})=-\frac{4,0212\times 10^{-5}}{(2\times 10^{-3}{)}^2}(1{)}^2=-10,05\text{ N}}$
   • Para $x=10\text{ mm}=10^{-2}\text{ m}$ e $i=1\text{ A}$: $\boxed{f_x(10\text{ mm})=-\frac{4,0212\times 10^{-5}}{(10^{-2}{)}^2}(1{)}^2=-0,402\text{ N}}$

2. [Item (b) — Alimentação em Corrente Alternada ($I_{\text{rms}}=1\text{ A}$)]: Para $i(t)=\sqrt{2}I\sin (\omega t)$, tem-se $i^2(t)=I^2[1-\cos (2\omega t)]$. Portanto: $\boxed{f_x(t)=-\frac{k}{x^2}{I}^2[1-\cos (2\omega t)]⟹⟨f_x⟩=-\frac{k}{x^2}{I}^2=-10,05\text{ N}}$ O valor médio em termos da corrente eficaz é idêntico ao caso CC e independe da frequência (permanece $-10,05\text{ N}$ tanto em $50\text{ Hz}$ quanto em $400\text{ Hz}$).

3. [Item (c) — Alimentação em Tensão Alternada ($U_{\text{rms}}=60\text{ V},f=50\text{ Hz}$)]: Com tensão senoidal imposta ($\omega =2\pi \times 50=100\pi \text{ rad/s}$), $\lambda (t)=-\frac{\sqrt{2}U}{\omega }\cos (\omega t)$ e a força média obtida via derivada da energia $W_{\text{fld}}(\lambda ,x)$ vale: $⟨f_x⟩=-\frac{1}{{\mu }_{0}A{N}^2}{\left(\frac{U}{\omega }\right)}^2=-\frac{1}{4k}{\left(\frac{U}{2\pi f}\right)}^2$ Substituindo $4k={\mu }_{0}A{N}^2=1,6085\times 10^{-4}\text{ H}\cdot \text{m}$ e $U/\omega =60/(100\pi )\approx 0,191\text{ Wb}\cdot \text{e}$: $\boxed{⟨f_x{⟩}_{50\text{ Hz}}=-\frac{(0,191{)}^2}{1,6085\times 10^{-4}}\approx -226,8\text{ N}\approx -227\text{ N}}$ Em $x=2\text{ mm}$: $L=\frac{2k}{x}=\frac{8,0425\times 10^{-5}}{2\times 10^{-3}}=0,0402\text{ H}$, reatância $X=\omega L=12,63\Omega$ e corrente $I=U/X=60/12,63\approx 4,75\text{ A}$. Se a frequência aumentar $8\text{ vezes}$ (de $50\text{ Hz}$ para $400\text{ Hz}$), como $⟨f_x⟩\propto 1/f^2$, a força média cai $8^2=64\text{ vezes}$ (reduzindo-se para apenas $-3,55\text{ N}$)!

Exercício Resolvido 2 — Força Tangencial em Armadura com Deslocamento Perpendicular às Linhas de Campo (Coletânea TE146/TE323 - Problema 13)

Enunciado: Considere um circuito magnético onde a peça móvel retangular de largura $d=10\text{ cm}=0,10\text{ m}$ e profundidade $l=15\text{ cm}=0,15\text{ m}$ desloca-se lateralmente na direção $x$ (perpendicularmente às linhas de fluxo dos dois entreferros de espessura constante $g=1\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}$). A bobina possui $N=500\text{ espiras}$ e é percorrida por uma corrente contínua $i=15\text{ A}$. Admitindo ${\mu }_{\text{Fe}}\to \infty$, determine para $0\le x<d/2$: (a) A expressão da relutância magnética ${\mathcal{R}}_{\text{mag}}(x)$ e da autoindutância $L(x)$; (b) A coenergia magnética $W_{\text{mag}}^{\prime }(i,x)$ e o módulo e sentido da força eletromagnética $f_x$ que atua sobre a peça móvel.

Solução Passo a Passo:

1. [Relutância ${\mathcal{R}}_{\text{mag}}(x)$ e Autoindutância $L(x)$]: A seção transversal de passagem do fluxo em cada entreferro decresce linearmente com o desalinhamento $x$: $S(x)=l(d-x)=0,15(0,10-x){\text{ [m}}^2\text{]}$. Para os dois entreferros em série ($2g=2\times 10^{-3}\text{ m}$): $\boxed{{\mathcal{R}}_{\text{mag}}(x)=\frac{2g}{{\mu }_{0}S(x)}=\frac{2\times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7}\times 0,15(0,10-x)}=\frac{10,61\times 10^3}{0,10-x}\text{ [A}\cdot \text{e/Wb]}}$ A autoindutância da bobina em função de $x$ é: $\boxed{L(x)=\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_{\text{mag}}(x)}=\frac{500^2{\mu }_{0}l(d-x)}{2g}=23,56\cdot (0,10-x)\text{ [H]}}$

2. [Coenergia Magnética e Força Restauradora $f_x$]: Para $i=15\text{ A}$: $W_{\text{mag}}^{\prime }(i,x)=\frac{1}{2}L(x)i^2=\frac{1}{2}\times 23,56(0,10-x)\times 15^2=\boxed{2650,7\cdot (0,10-x)\text{ [J]}}$ Derivando a coenergia em relação à coordenada $x$: $\boxed{f_x=\frac{\partial W_{\text{mag}}^{\prime }(i,x)}{\partial x}=-\frac{{\mu }_0{N}^{2}l}{4g}{i}^2=-2651\text{ N}}$ O sinal negativo comprova que a força magnética atua no sentido de reduzir $x$ ($x\to 0$), puxando lateralmente a peça móvel para restaurar o alinhamento completo das faces polares ($S_{\max }=d\cdot l$), com intensidade constante de $2651\text{ N}$ ao longo do curso.

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📝 8. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados

Questão 01 — Petrobras / Cesgranrio — Engenheiro de Equipamentos Júnior

Em um sistema eletromecânico conservativo linear, a energia armazenada no campo magnético $W_{\text{fld}}(\lambda ,x)$ e a coenergia magnética $W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)$ são funções de estado fundamentais para a determinação de esforços mecânicos. Sobre a relação entre essas grandezas, é correto afirmar que:

• (A) Em sistemas magnéticos lineares onde inexiste saturação, a energia magnética armazenada é numericamente igual à coenergia magnética, e a força exercida sobre a peça móvel independe da posição $x$.
• (B) A força mecânica calculada através da energia magnética é obtida mantendo-se a corrente elétrica constante durante a diferenciação parcial.
• (C) A soma da energia magnética e da coenergia magnética é igual ao produto da corrente de excitação pelo fluxo concatenado ($\lambda \cdot i$), tanto em meios lineares quanto em meios saturados não lineares.
• (D) Em regime de forte saturação magnética, a coenergia magnética é sempre menor que a energia armazenada no campo magnético.
• (E) O trabalho mecânico líquido obtido em um ciclo fechado de operação de um conversor de relutância é nulo, visto que o campo magnético é estritamente conservativo.

Resolução Comentada da Questão 01

• A alternativa (C) é a CORRETA. Pela definição da Transformada de Legendre entre grandezas conjugadas do sistema de conversão: $W_{\text{fld}}(\lambda ,x)+W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)=\lambda \cdot i$ Essa igualdade decorre da geometria do plano $(\lambda \times i)$: a energia de campo é a integral ${\int }_0^{\lambda }id{\lambda }^{\prime }$ e a coenergia é ${\int }_0^i\lambda d{i}^{\prime }$. Juntas, as duas áreas formam a totalidade do retângulo circunscrito de dimensões $\lambda$ por $i$, independentemente do comportamento linear ou saturado do meio ferromagnético.
• Análise das incorretas:
  • (A) Falso. Em sistemas lineares $W=W^{\prime }$, mas a força depende explicitamente da posição $x$ através da derivada $dL(x)/dx$.
  • (B) Falso. O cálculo da força via energia exige que o fluxo concatenado $\lambda$ seja mantido constante: $f_{\text{fld}}=-{\frac{\partial W_{\text{fld}}}{\partial x}|}_{\lambda }$.
  • (D) Falso. Com saturação magnética, a curva $\lambda \times i$ inclina-se para a direita (em direção ao eixo $i$), fazendo com que a área sob a curva (coenergia) seja maior que a área acima (energia): $W_{\text{fld}}^{\prime }>W_{\text{fld}}$.
  • (E) Falso. O trabalho mecânico líquido é $\oint id\lambda$, que corresponde à área interna não-nula do ciclo termodinâmico no plano $\lambda \times i$.

Resolução Analítica Passo a Passo: C

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Questão 02 — Eletrobras / Furnas — Engenheiro Eletricista — IADES

Um atuador eletromagnético possui uma bobina excitada por uma corrente constante de $I=4\text{ A}$. A indutância da bobina varia com a posição linear $x$ da armadura de acordo com a expressão:

$L(x)=\frac{0,08}{1+20x}\text{[H]}$

Onde $x$ é o deslocamento do entreferro medido em metros ($x\ge 0$). A intensidade da força eletromagnética exercida sobre a armadura quando esta se encontra na posição $x=0,02\text{ m}$ vale:

• (A) $3,26\text{ N}$
• (B) $6,53\text{ N}$
• (C) $9,80\text{ N}$
• (D) $13,06\text{ N}$
• (E) $26,12\text{ N}$

Resolução Comentada da Questão 02

Para um sistema linear excitado por uma corrente constante $I=4\text{ A}$, a força mecânica de origem magnética é calculada pela derivada da coenergia a corrente constante:

$f_{\text{fld}}=+\frac{1}{2}{I}^2\frac{dL(x)}{dx}$

Calculando a derivada da função $L(x)=0,08\cdot (1+20x{)}^{-1}$ pela regra da cadeia:

$\frac{dL(x)}{dx}=0,08\cdot (-1)\cdot (1+20x{)}^{-2}\cdot \frac{d(1+20x)}{dx}=-\frac{0,08\cdot 20}{(1+20x{)}^2}=-\frac{1,60}{(1+20x{)}^2}$

Substituindo o valor numérico na coordenada $x=0,02\text{ m}$:

$1+20x=1+20\cdot (0,02)=1+0,40=1,40$

$(1+20x{)}^2=(1,40{)}^2=1,96$

${\frac{dL(x)}{dx}|}_{x=0,02}=-\frac{1,60}{1,96}\approx -0,8163\text{ H/m}$

Calculando a intensidade da força mecânica de atração:

$|f_{\text{fld}}|=\frac{1}{2}\cdot I^2\cdot \left|\frac{dL}{dx}\right|=\frac{1}{2}\cdot (4{)}^2\cdot 0,8163=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 0,8163=8\cdot 0,8163=6,53\text{ N}$

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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Questão 03 — Marinha do Brasil — Corpo de Engenheiros — Engenharia Elétrica

Considere um sistema de conversão eletromecânica onde o fluxo concatenado relaciona-se com a corrente $i$ e a posição $x$ pela equação não linear:

$\lambda (i,x)=\frac{k_1\cdot i^{1/3}}{x}$

Onde $k_1$ é uma constante positiva dimensional e $x>0$. A expressão da força magnética $f_{\text{fld}}(i,x)$ exercida sobre a parte móvel, expressa em função da corrente $i$ e da posição $x$, é dada por:

• (A) $f_{\text{fld}}=-\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x^2}$
• (B) $f_{\text{fld}}=-\frac{3}{4}\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x^2}$
• (C) $f_{\text{fld}}=+\frac{3}{4}\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x^2}$
• (D) $f_{\text{fld}}=-\frac{1}{3}\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x}$
• (E) $f_{\text{fld}}=+\frac{4}{3}\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x^2}$

Resolução Comentada da Questão 03

1. Para obter a força em função da corrente $i$ e da posição $x$, calcula-se primeiramente a Coenergia Magnética integrando em relação à corrente: $W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)={\int }_0^i\lambda (i^{\prime },x)d{i}^{\prime }={\int }_0^i\frac{k_1\cdot (i^{\prime }{)}^{1/3}}{x}d{i}^{\prime }$
2. Resolvendo a integral de potência: $W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)=\frac{k_1}{x}{\left[\frac{(i^{\prime }{)}^{1/3+1}}{\frac{1}{3}+1}\right]}_0^i=\frac{k_1}{x}\cdot \frac{i^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x}$
3. Aplicando a fórmula da força via coenergia mantendo $i$ constante: $f_{\text{fld}}=+{\frac{\partial W_{\text{fld}}^{\prime }(i,x)}{\partial x}|}_i=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{3}{4}\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x}\right)$
4. Derivando $x^{-1}$ em relação a $x$: $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$ Portanto: $f_{\text{fld}}=-\frac{3}{4}\frac{k_1\cdot i^{4/3}}{x^2}$

O sinal negativo indica que a força atua no sentido de reduzir a coordenada $x$ (força atrativa tendendo a fechar o entreferro).

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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Questão 04 — ENADE / MEC — Engenharia Elétrica — Adaptada

Em uma bancada de ensaios de atuadores eletromagnéticos, um protótipo de contator de potência foi submetido a ensaios para medição da indutância em duas posições mecânicas distintas da sua armadura:

• Com a armadura aberta ($x=12\text{ mm}$), mediu-se $L_1=40\text{ mH}$;
• Com a armadura fechada ($x=2\text{ mm}$), mediu-se $L_2=140\text{ mH}$.

Aproximando a variação da indutância em função do deslocamento $x$ por uma função linear do tipo $L(x)=A\cdot x+B$ no intervalo $2\text{ mm}\le x\le 12\text{ mm}$, qual é a força média desenvolvida pelo atuador ao ser excitado por uma corrente contínua constante de $I=5\text{ A}$ durante o percurso de fechamento?

• (A) $25\text{ N}$
• (B) $50\text{ N}$
• (C) $75\text{ N}$
• (D) $125\text{ N}$
• (E) $250\text{ N}$

Resolução Comentada da Questão 04

1. Determinação da taxa de variação espacial da indutância ($dL/dx$): $\Delta x=x_{\text{aberto}}-x_{\text{fechado}}=12\text{ mm}-2\text{ mm}=10\text{ mm}=0,010\text{ m}$ $\Delta L=L(12\text{ mm})-L(2\text{ mm})=40\text{ mH}-140\text{ mH}=-100\text{ mH}=-0,100\text{ H}$ $\frac{dL}{dx}=\frac{\Delta L}{\Delta x}=\frac{-0,100\text{ H}}{0,010\text{ m}}=-10\text{ H/m}$
2. Cálculo da força média via coenergia: $|f_{\text{fld}}|=\frac{1}{2}{I}^2\left|\frac{dL}{dx}\right|=\frac{1}{2}\cdot (5{)}^2\cdot 10=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 10=125\text{ N}$

Resolução Analítica Passo a Passo: D

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Questão 05 — CS-UFG — CELG D / Equatorial Energia — Engenheiro Eletricista

Um circuito magnético simétrico possui um entreferro de comprimento $g$ e área de seção reta $A$. Desprezando a dispersão magnética nas bordas (efeito de espraiamento) e considerando infinita a permeabilidade magnética do material ferromagnético, a densidade de energia magnética armazenada no volume do entreferro ($w_g$) e a pressão magnética exercida sobre a face polar ($P_{\text{mag}}$) em função da densidade de fluxo magnético $B$ são dadas, respectivamente, por:

• (A) $w_g=\frac{B^2}{{\mu }_0}$ e $P_{\text{mag}}=\frac{B^2}{{\mu }_0}$
• (B) $w_g=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ e $P_{\text{mag}}=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$
• (C) $w_g=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ e $P_{\text{mag}}=\frac{B^2}{{\mu }_0}$
• (D) $w_g=\frac{{\mu }_0{B}^2}{2}$ e $P_{\text{mag}}=\frac{{\mu }_0{B}^2}{2}$
• (E) $w_g=\frac{B}{{\mu }_0}$ e $P_{\text{mag}}=\frac{B^2}{4{\mu }_0}$

Resolução Comentada da Questão 05

1. A densidade de energia magnética volumétrica no vácuo/ar ($w_g$) é obtida pela integral de campo: $w_g={\int }_0^{B}HdB={\int }_0^B\frac{B^{\prime }}{{\mu }_0}d{B}^{\prime }=\frac{B^2}{2{\mu }_0}\left[\frac{\text{J}}{{\text{m}}^3}\right]$
2. A energia total no entreferro de volume $V_g=A\cdot g$ é: $W_g=w_g\cdot V_g=\frac{B^2}{2{\mu }_0}\cdot (A\cdot g)$
3. Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais para a força em função do comprimento $g$: $f_{\text{mag}}=\left|\frac{\partial W_g}{\partial g}\right|=\frac{B^{2}A}{2{\mu }_0}\left[\text{N}\right]$
4. A pressão magnética ($P_{\text{mag}}$) é a força por unidade de área de polo: $P_{\text{mag}}=\frac{f_{\text{mag}}}{A}=\frac{B^2}{2{\mu }_0}\left[\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}\text{ ou Pa}\right]$

Observe que a pressão magnética na face polar é numericamente e dimensionalmente idêntica à densidade de energia volumétrica armazenada no entreferro ($1{\text{ J/m}}^3=1\text{ N}\cdot {\text{m/m}}^3=1{\text{ N/m}}^2=1\text{ Pa}$).

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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📚 9. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

1. FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY Jr., C.; UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: com Introdução à Eletrônica de Potência. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
2. CHAPMAN, Stephen J. Fundamentos de Máquinas Elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2013.
3. DEL TORO, Vincent. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
4. SEN, Paresh Chandra. Principles of Electric Machines and Power Electronics. 3. ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
5. KRAUSE, Paul C.; WASYNCZUK, Oleg; PEKAREK, Scott D. Analysis of Electric Machinery and Drive Systems. 3. ed. Piscataway: IEEE Press / Wiley, 2013.
6. IEEE Std 100-2000. The Authoritative Dictionary of IEEE Standards Terms. IEEE Press, 2000.
7. ABNT NBR IEC 62271-100:2020. Aparelhagem de alta-tensão - Parte 100: Disjuntores de corrente alternada. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro.

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