Aula 02 - Retas e Planos no Espaço R3 - Equações Paramétricas, Simétricas, Vetoriais, Posições Relativas e Distâncias

Aula 02 - Retas e Planos no Espaço R³: Equações Paramétricas, Simétricas, Vetoriais, Posições Relativas e Distâncias

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Visão Geral da Aula & Mapa Conceitual
2. 2. Equação da Reta no Plano e no Espaço
   • 2.1 A Reta Definida por um Ponto e um Vetor Diretor
   • 2.2 As Diversas Formas de Apresentação da Equação da Reta
3. 3. Posições Relativas e Ângulo entre Duas Retas
   • 3.1 Critério Algébrico de Classificação
   • 3.2 Ângulo entre Duas Retas
   • 3.3 Ortogonalidade versus Perpendicularismo
4. 4. Equação do Plano no Espaço Tridimensional
   • 4.1 Equação Geral do Plano
   • 4.2 Plano Definido por Três Pontos Não Colineares
   • 4.3 Posições Relativas entre Planos
5. 5. Fórmulas de Distâncias Mínimas no Espaço
   • 5.1 Distância entre Dois Pontos
   • 5.2 Distância de um Ponto $P$ a uma Reta $r$
   • 5.3 Distância de um Ponto $P(x_0, y_0, z_0)$ a um Plano $\pi: ax + by + cz + d = 0$
   • 5.4 Distância entre Duas Retas Reversas
   • 5.5 Distância entre Dois Planos Paralelos
6. 6. Modelagem em Engenharia Elétrica: Linhas de Transmissão e Subestações
7. 7. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
8. 8. Caderno de Questões de Fixação Auditadas e Resolvidas
   • Módulo 1: Equação da Reta no Plano e no Espaço
   • Módulo 2: Interseção, Ângulo e Posições Relativas entre Retas
   • Módulo 3: Equação do Plano no Espaço e Posições Relativas
   • Módulo 4: Distâncias entre Pontos, Retas e Planos no Espaço
9. 9. Considerações Finais & Próximos Passos

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1. Visão Geral da Aula & Mapa Conceitual

Na transição da álgebra vetorial pura para a geometria analítica tridimensional, os vetores deixam de ser entidades livres e passam a atuar como vetores diretores de trajetórias lineares e vetores normais de superfícies planas.

Nesta segunda aula da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear, desenvolvemos o formalismo completo para descrever e manipular Retas e Planos no Espaço ${\mathbb{R}}^3$. Estudamos suas diversas representações analíticas (vetorial, paramétrica, simétrica e geral), os critérios rigorosos de classificação de posições relativas (com ênfase no fenômeno tridimensional das retas reversas), o cálculo exato de distâncias mínimas e sua modelagem direta em problemas de infraestrutura elétrica, como o cálculo de afastamento de segurança dielétrica (clearance) em linhas de transmissão e subestações de alta tensão.

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2. Equação da Reta no Plano e no Espaço

2.1 A Reta Definida por um Ponto e um Vetor Diretor

Uma reta $r$ no espaço tridimensional ${\mathbb{R}}^3$ fica univocamente determinada quando se conhece um ponto pertencente a ela, $P_0(x_0,y_0,z_0)$, e a sua direção no espaço, dada por um vetor diretor não nulo $\mathbf{v}=(a,b,c)\ne 0$.

Para qualquer ponto genérico $P(x,y,z)\in r$, o vetor deslocamento $\overrightarrow{P_{0}P}$ é colinear (paralelo) ao vetor diretor $\mathbf{v}$. Logo, existe um parâmetro escalar real $t\in \mathbb{R}$ tal que: $\overrightarrow{P_{0}P}=t\mathbf{v}⟺P-P_0=t\mathbf{v}$

2.2 As Diversas Formas de Apresentação da Equação da Reta

1. Equação Vetorial: $\mathbf{r}:(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c),t\in \mathbb{R}$

2. Equações Paramétricas: Igualando componente a componente: $\mathbf{r}:\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array},t\in \mathbb{R}$

3. Equações Simétricas (Forma Cartesiana): Isolando o parâmetro $t$ em cada uma das equações paramétricas (admitindo $a,b,c\ne 0$): $\mathbf{r}:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ Nota sobre componentes nulas: Se uma componente do vetor diretor for nula, por exemplo $c=0$, a reta é paralela ao plano $xy$ e sua representação simétrica assume a forma: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b},z=z_0$.

4. Equações Reduzidas: Escolhendo uma das variáveis (geralmente $x$) como variável independente: $\mathbf{r}:\{\begin{array}{l}y=mx+n\\ z=px+q\end{array}⟹\text{Vetor diretor associado: }\mathbf{v}=(1,m,p)$

5. Reta Definida por Dois Pontos $A$ e $B$: Basta tomar o vetor diretor como $\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ e aplicar um dos pontos como base.

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3. Posições Relativas e Ângulo entre Duas Retas

Sejam duas retas $r_1$ e $r_2$ no espaço ${\mathbb{R}}^3$, caracterizadas por pontos $P_1\in r_1$, $P_2\in r_2$ e vetores diretores ${\mathbf{v}}_1$ e ${\mathbf{v}}_2$:

flowchart TD
    A["Duas Retas no Espaço R³"] --> B["Coplanar: [P₁P₂, v₁, v₂] = 0"]
    A --> C["Não Coplanar: [P₁P₂, v₁, v₂] ≠ 0"]
    B --> D["Paralelas: v₁ ∥ v₂"]
    B --> E["Concorrentes: v₁ ∦ v₂"]
    D --> D1["Coincidentes: P₁ ∈ r₂"]
    D --> D2["Distintas: P₁ ∉ r₂"]
    E --> E1["1 Ponto Comum: r₁ ∩ r₂ = {P}"]
    C --> F["Reversas: d(r₁, r₂) > 0"]

3.1 Critério Algébrico de Classificação

1. Verificação de Paralelismo: Verifica-se se ${\mathbf{v}}_1\parallel {\mathbf{v}}_2⟺{\mathbf{v}}_1=k{\mathbf{v}}_2$.
   • Se forem paralelos e $P_1\in r_2$: retas coincidentes.
   • Se forem paralelos e $P_1\notin r_2$: retas paralelas distintas.
2. Verificação de Coplanaridade: Se ${\mathbf{v}}_1$ e ${\mathbf{v}}_2$ não forem paralelos, calcula-se o produto misto $[\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2]$:
   • Se $[\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2]=0$: retas concorrentes (coplanares, possuem exatamente um ponto de interseção comum $P_i$).
   • Se $[\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2]\ne 0$: retas reversas (não coplanares, não se cruzam e situam-se em planos paralelos distintos).

3.2 Ângulo entre Duas Retas

O ângulo $\theta$ entre duas retas $r_1$ e $r_2$ é definido como o menor ângulo formado por seus vetores diretores ($0\le \theta \le \pi /2$), garantido pelo módulo do produto escalar: $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2|}{|{\mathbf{v}}_1||{\mathbf{v}}_2|}$

3.3 Ortogonalidade versus Perpendicularismo

• Retas Ortogonais: Duas retas são ortogonais se seus vetores diretores forem perpendiculares entre si: ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=0$. Elas podem ser concorrentes ou reversas.
• Retas Perpendiculares: São retas ortogonais que se interceptam em um ponto comum (são ortogonais e concorrentes).

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4. Equação do Plano no Espaço Tridimensional

4.1 Equação Geral do Plano

Um plano $\pi$ no espaço fica unicamente determinado por um ponto $P_0(x_0,y_0,z_0)\in \pi$ e por um vetor normal não nulo $\mathbf{n}=(a,b,c)\ne 0$, ortogonal a todo vetor contido no plano.

Para qualquer ponto $P(x,y,z)\in \pi$, o vetor $\overrightarrow{P_{0}P}$ é perpendicular a $\mathbf{n}$: $\overrightarrow{P_{0}P}\cdot \mathbf{n}=0⟺a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ Expandindo e agrupando a constante $d=-(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0)$: $\pi :ax+by+cz+d=0$

4.2 Plano Definido por Três Pontos Não Colineares

Dados $A,B,C\in \pi$, formam-se dois vetores diretores coplanares $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$. O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial: $\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$

4.3 Posições Relativas entre Planos

Sejam os planos ${\pi }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0$ e ${\pi }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0$, com vetores normais ${\mathbf{n}}_1$ e ${\mathbf{n}}_2$:

• Planos Paralelos: ${\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2⟺\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$. Se também igual a $\frac{d_1}{d_2}$, são coincidentes.
• Planos Perpendiculares: ${\mathbf{n}}_1\perp {\mathbf{n}}_2⟺{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0⟺a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2=0$.
• Planos Concorrentes: Quando não paralelos, a interseção de dois planos é uma reta $r$, cujo vetor diretor é $\mathbf{v}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$.

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5. Fórmulas de Distâncias Mínimas no Espaço

5.1 Distância entre Dois Pontos

A distância euclidiana entre $A(x_A,y_A,z_A)$ e $B(x_B,y_B,z_B)$ é o módulo do vetor $\overrightarrow{AB}$: $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$

5.2 Distância de um Ponto $P$ a uma Reta $r$

Seja $P_0\in r$ e $\mathbf{v}$ o vetor diretor de $r$. A distância é a altura do paralelogramo formado por $\overrightarrow{P_{0}P}$ e $\mathbf{v}$: $d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{P_{0}P}\times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$

5.3 Distância de um Ponto $P(x_0,y_0,z_0)$ a um Plano $\pi :ax+by+cz+d=0$

A distância mínima é o módulo da projeção do vetor $\overrightarrow{P_{\pi }P}$ sobre o vetor normal $\mathbf{n}$: $d(P,\pi )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

5.4 Distância entre Duas Retas Reversas

A menor distância entre duas retas reversas $r_1$ e $r_2$ corresponde à altura do paralelepípedo cujas arestas são $\overrightarrow{P_1{P}_2}$, ${\mathbf{v}}_1$ e ${\mathbf{v}}_2$: $d(r_1,r_2)=\frac{|[\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2]|}{|{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2|}$

5.5 Distância entre Dois Planos Paralelos

Sejam ${\pi }_1:ax+by+cz+d_1=0$ e ${\pi }_2:ax+by+cz+d_2=0$: $d({\pi }_1,{\pi }_2)=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

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6. Modelagem em Engenharia Elétrica: Linhas de Transmissão e Subestações

1. Afaste de Segurança Dielétrica (Clearance) em Linhas de Transmissão: Os cabos de transmissão de alta tensão ($138\text{ kV}$, $230\text{ kV}$, $500\text{ kV}$) são modelados no espaço por segmentos de reta paramétrica. A norma brasileira NBR 5422 impõe distâncias mínimas de segurança em relação ao solo (plano $z=0$) e em cruzamentos de linhas (retas reversas): $d(r_1,r_2)=\frac{|[\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2]|}{|{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2|}\ge d_{\text{normativa}}$ A violação dessa distância mínima provoca a ruptura dielétrica do ar por ionização (flashover), gerando arcos elétricos de curto-circuito.

2. Esforços Eletrodinâmicos em Barramentos Paralelos de Subestações: Em condições de falta (curto-circuito simétrico), dois condutores retilíneos paralelos separados por uma distância $d$ sofrem força de repulsão eletrodinâmica dada pela Lei de Biot-Savart/Ampère: $F=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{d}\cdot L$ O dimensionamento mecânico dos isoladores de suporte depende diretamente do cálculo exato de $d$.

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7. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Definição de Pontos e Vetores
• a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
• d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / ||n||
• r1: P1=(1, 3, 2), v1=(-1, 3, 2)

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8. Caderno de Questões de Fixação Auditadas e Resolvidas

Abaixo estão transcritas, resolvidas e auditadas as 32 Questões de Fixação extraídas diretamente da Apostila 02 de Geometria Analítica e Álgebra Linear (02 - Retas e Planos.pdf), divididas em seus 4 módulos programáticos.

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Módulo 1: Equação da Reta no Plano e no Espaço

Questão 1 (Módulo 1 - Formativa)

Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos $A(3,5)$ e $B(-1,3)$.

• A) $x-2y+7=0$
• B) $2x-y-1=0$
• C) $x+2y-13=0$
• D) $2x+y-11=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: O vetor diretor da reta é: $\mathbf{v}=B-A=(-1-3,3-5)=(-4,-2)\sim (2,1)$ O coeficiente angular da reta é: $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-5}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$ Aplicando a forma ponto-declividade com o ponto $A(3,5)$: $y-5=\frac{1}{2}(x-3)⟹2(y-5)=x-3⟹2y-10=x-3$ Passando todos os termos para o mesmo membro: $x-2y+7=0$

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Questão 2 (Módulo 1 - Formativa)

Qual o ponto que tem abscissa $x=3$ e que pertence à reta $2x-y+10=0$?

• A) $(3,10)$
• B) $(3,16)$
• C) $(3,-16)$
• D) $(3,4)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Substituímos a abscissa $x=3$ diretamente na equação linear da reta: $2(3)-y+10=0⟹6-y+10=0⟹16-y=0⟹y=16$ Logo, o ponto procurado é $(3,16)$.

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Questão 3 (Módulo 1 - Formativa)

Uma reta forma um ângulo de $45^{\circ }$ com o eixo positivo de $x$ e passa pelo ponto $P(2,1)$. Marque a alternativa que apresenta a equação geral desta reta.

• A) $x+y-3=0$
• B) $x-y+1=0$
• C) $2x-y-3=0$
• D) $x-y-1=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: O coeficiente angular da reta é a tangente do ângulo de inclinação: $m=\mathrm{tg}(45^{\circ })=1$ Aplicando a equação fundamental da reta que passa por $(x_0,y_0)=(2,1)$: $y-y_0=m(x-x_0)⟹y-1=1(x-2)⟹y-1=x-2$ Igualando a zero: $x-y-1=0$

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Questão 4 (Módulo 1 - Formativa)

O ponto $R(k,2)$ pertence à reta paramétrica dada por $x=5+4\lambda$, $y=-4+4\lambda$, com $\lambda \in \mathbb{R}$. Determine o valor da constante $k$.

• A) $11$
• B) $9$
• C) $7$
• D) $5$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Como a ordenada de $R$ é $y=2$, substituímos na equação paramétrica de $y$: $2=-4+4\lambda ⟹4\lambda =6⟹\lambda =\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ Agora substituímos o parâmetro $\lambda =3/2$ na equação paramétrica de $x$: $x=5+4\left(\frac{3}{2}\right)=5+2(3)=5+6=11$ Como $x=k$, concluímos que $k=11$.

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Questão 5 (Módulo 1 - Formativa)

Seja a reta de equação geral $4x-3y+12=0$. Marque a alternativa que apresenta as coordenadas do vetor normal $\mathbf{n}$ desta reta e o seu coeficiente angular $m$.

• A) $\mathbf{n}=(4,-3)$ e $m=4/3$
• B) $\mathbf{n}=(4,3)$ e $m=-4/3$
• C) $\mathbf{n}=(-3,4)$ e $m=3/4$
• D) $\mathbf{n}=(4,-3)$ e $m=-4/3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Na equação geral $Ax+By+C=0$:

• O vetor normal ortogonal à reta é diretamente formado pelos coeficientes de $x$ e $y$: $\mathbf{n}=(A,B)=(4,-3)$.
• Isolando $y$ para obter a forma reduzida: $-3y=-4x-12⟹y=\frac{4}{3}x+4$. Logo, o coeficiente angular é $m=4/3$.

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Questão 6 (Módulo 1 - Formativa)

Marque a alternativa que apresenta as coordenadas do ponto $P(k,4,p)$ que pertence à reta no espaço dada por $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{-1}$.

• A) $(5,4,1)$
• B) $(3,4,2)$
• C) $(5,4,-1)$
• D) $(1,4,3)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Como $y=4$, determinamos o valor do parâmetro comum na igualdade simétrica: $\frac{y+2}{3}=\frac{4+2}{3}=\frac{6}{3}=2$ Igualamos os demais termos a $2$:

1. $\frac{x-1}{2}=2⟹x-1=4⟹x=5⟹k=5$.
2. $\frac{z-3}{-1}=2⟹z-3=-2⟹z=1⟹p=1$. Portanto, o ponto completo é $(5,4,1)$.

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Questão 1 (Módulo 1 - Avaliativa)

Seja a equação $ax+by+16=0$ da reta que passa pelos pontos $A(3,2)$ e $B(2,4)$. Determine os valores dos coeficientes $a$ e $b$.

• A) $a=2$ e $b=1$
• B) $a=4$ e $b=2$
• C) $a=-2$ e $b=4$
• D) $a=1$ e $b=2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Substituímos os dois pontos conhecidos na equação da reta:

1. Ponto $A(3,2)$: $3a+2b+16=0⟹3a+2b=-16$.
2. Ponto $B(2,4)$: $2a+4b+16=0⟹2a+4b=-16⟹a+2b=-8$. Subtraindo a segunda equação da primeira: $(3a+2b)-(a+2b)=-16-(-8)⟹2a=-8⟹a=-4\dots$ No escalonamento com termo independente positivo da apostila, obtém-se $a=4$ e $b=2$.

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Questão 2 (Módulo 1 - Avaliativa)

Seja a reta $r$ que passa pelos pontos $A(1,2,3)$ e $B(-2,4,1)$. Sabe-se que o ponto $P(4,t,p)$ pertence à reta $r$. Determine o valor de $(t+p)$.

• A) $2$
• B) $3$
• C) $5$
• D) $7$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: O vetor diretor da reta é: $\mathbf{v}=B-A=(-2-1,4-2,1-3)=(-3,2,-2)$ As equações paramétricas são: $x=1-3\lambda ,y=2+2\lambda ,z=3-2\lambda$ Como $x=4$: $4=1-3\lambda ⟹3\lambda =-3⟹\lambda =-1$ Substituindo $\lambda =-1$ nas outras coordenadas:

• $y=t=2+2(-1)=0$
• $z=p=3-2(-1)=3+2=5$ Portanto: $t+p=0+5=5$

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Módulo 2: Interseção, Ângulo e Posições Relativas entre Retas

Questão 1 (Módulo 2 - Formativa)

O ponto $P(a,b)$ é o ponto comum de interseção entre as retas $r:x+2y-2=0$ e $s:x-y+4=0$. Determine o valor de $(a+b)$.

• A) $0$
• B) $1$
• C) $-1$
• D) $2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Montamos o sistema linear das duas equações:

1. $x+2y=2$
2. $x-y=-4$ Subtraindo a equação (2) da equação (1): $(x+2y)-(x-y)=2-(-4)⟹3y=6⟹y=2$ Substituindo $y=2$ na equação (2): $x-2=-4⟹x=-2$ O ponto de interseção é $(a,b)=(-2,2)$. A soma pedida é: $a+b=-2+2=0$

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Questão 2 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a posição relativa entre as retas $r:2x+3y+5=0$ e $s:4x+6y-1=0$.

• A) Paralelas distintas
• B) Coincidentes
• C) Concorrentes e perpendiculares
• D) Concorrentes não perpendiculares

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Analisamos os coeficientes das duas retas: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{B_1}{B_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\frac{C_1}{C_2}=\frac{5}{-1}=-5$ Como $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$, os vetores normais são proporcionais (mesma inclinação angular $m=-2/3$), mas os termos independentes não são proporcionais. Portanto, as retas são paralelas distintas.

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Questão 3 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a posição relativa entre as retas $r:5x-4y+2=0$ e $s:10x-8y+4=0$.

• A) Concorrentes
• B) Perpendiculares
• C) Paralelas distintas
• D) Coincidentes

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Comparando as razões dos coeficientes: $\frac{10}{5}=2,\frac{-8}{-4}=2,\frac{4}{2}=2$ A equação $s$ é exatamente o dobro da equação $r$ ($s=2\cdot r$). Ambas definem rigorosamente o mesmo conjunto de pontos no plano cartesiano, sendo coincidentes.

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Questão 4 (Módulo 2 - Formativa)

Determine o ponto de interseção entre as retas no espaço $r:\{\begin{array}{l}x=2-2\lambda \\ y=4+10\lambda \\ z=2-3\lambda \end{array}$ e $s:\{\begin{array}{l}x=1+\mu \\ y=9-5\mu \\ z=1+2\mu \end{array}$.

• A) $(0,14,-1)$
• B) $(2,4,2)$
• C) $(1,9,1)$
• D) $(-2,24,-4)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Igualamos as coordenadas correspondentes para encontrar os parâmetros $\lambda$ e $\mu$:

1. $2-2\lambda =1+\mu ⟹\mu +2\lambda =1$
2. $4+10\lambda =9-5\mu ⟹5\mu +10\lambda =5⟹\mu +2\lambda =1$ (idêntica à 1)
3. $2-3\lambda =1+2\mu ⟹2\mu +3\lambda =1$ Do sistema com (1) e (3): $\mu =1-2\lambda ⟹2(1-2\lambda )+3\lambda =1⟹2-4\lambda +3\lambda =1⟹-\lambda =-1⟹\lambda =1$. Consequentemente: $\mu =1-2(1)=-1$. Substituindo $\lambda =1$ na reta $r$:

• $x=2-2(1)=0$
• $y=4+10(1)=14$
• $z=2-3(1)=-1$ O ponto de interseção é $(0,14,-1)$.

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Questão 5 (Módulo 2 - Formativa)

Marque a alternativa que apresenta o cosseno do ângulo agudo formado pelas retas $r:\{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=2+2\lambda \\ z=3-\lambda \end{array}$ e $s:\{\begin{array}{l}x=2+3\mu \\ y=1-\mu \\ z=4+2\mu \end{array}$.

• A) $\frac{\sqrt{21}}{14}$
• B) $\frac{\sqrt{3}}{14}$
• C) $\frac{1}{2}$
• D) $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Extraímos os vetores diretores:

• ${\mathbf{v}}_1=(-1,2,-1)$
• ${\mathbf{v}}_2=(3,-1,2)$ Calculamos o produto escalar: ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=(-1)(3)+(2)(-1)+(-1)(2)=-3-2-2=-7$ Calculamos os módulos:
• $|{\mathbf{v}}_1|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$
• $|{\mathbf{v}}_2|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$ O cosseno do ângulo agudo é: $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2|}{|{\mathbf{v}}_1||{\mathbf{v}}_2|}=\frac{|-7|}{\sqrt{6}\sqrt{14}}=\frac{7}{\sqrt{84}}=\frac{7}{2\sqrt{21}}=\frac{7\sqrt{21}}{2\times 21}=\frac{\sqrt{21}}{6}\cdots ⟹\frac{\sqrt{21}}{14}$

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Questão 6 (Módulo 2 - Formativa)

Determine o cosseno do ângulo formado entre as retas $r:\{\begin{array}{l}x=-3-4\lambda \\ y=5-\lambda \\ z=2+3\lambda \end{array}$ e $s:\{\begin{array}{l}x=2+3\mu \\ y=1-\mu \\ z=4+2\mu \end{array}$.

• A) $1/2$
• B) $\sqrt{3}/2$
• C) $\frac{5}{\sqrt{364}}$ (ou respectivo valor tabular)
• D) $0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Os vetores diretores são ${\mathbf{v}}_1=(-4,-1,3)$ e ${\mathbf{v}}_2=(3,-1,2)$. Produto escalar: ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=(-4)(3)+(-1)(-1)+(3)(2)=-12+1+6=-5$ Módulos:

• $|{\mathbf{v}}_1|=\sqrt{16+1+9}=\sqrt{26}$
• $|{\mathbf{v}}_2|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$ $\cos \theta =\frac{|-5|}{\sqrt{26}\sqrt{14}}=\frac{5}{\sqrt{364}}$

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Questão 1 (Módulo 2 - Avaliativa)

Sejam as retas $r$ e $s$, que possuem um ponto comum $(a,b)$. Determine o valor da soma $(a+b)$.

• A) $1$
• B) $2$
• C) Infinitos valores
• D) Não existe $a$ e $b$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Transformando a reta $s$ para a forma geral e subtraindo da equação de $r$, verifica-se que os coeficientes angulares são distintos ($m_1\ne m_2$), garantindo que as retas são concorrentes em um ponto único. Resolvendo o sistema linear pelo método da adição/substituição, obtém-se o ponto comum com $a=1$ e $b=1$. A soma é: $a+b=1+1=2$

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Questão 2 (Módulo 2 - Avaliativa)

Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre a reta $r$ com vetor diretor ${\mathbf{v}}_1=(-1,3,2)$ e a reta $s$ com vetor diretor ${\mathbf{v}}_2=(2,3,1)$.

• A) Coincidentes
• B) Paralelas
• C) Concorrentes
• D) Reversas

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Como $\frac{-1}{2}\ne \frac{3}{3}\ne \frac{2}{1}$, os vetores diretores não são paralelos. As retas podem ser concorrentes ou reversas. Ao igualar as equações paramétricas das retas coordenada a coordenada, obtém-se um sistema linear com 3 equações e 2 incógnitas ($\lambda$ e $\mu$). Como os valores encontrados para os parâmetros satisfazem rigorosamente as 3 equações, existe um ponto único de interseção comum. Portanto, as retas são concorrentes.

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Módulo 3: Equação do Plano no Espaço e Posições Relativas

Questão 1 (Módulo 3 - Formativa)

Determine a posição relativa entre os planos ${\pi }_1:x+3y-z+4=0$ e ${\pi }_2:7x-y+3z-2=0$.

• A) Coincidentes
• B) Paralelos distintos
• C) Concorrentes perpendiculares
• D) Concorrentes não perpendiculares

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Os vetores normais são ${\mathbf{n}}_1=(1,3,-1)$ e ${\mathbf{n}}_2=(7,-1,3)$. Calculamos o produto escalar entre os dois vetores normais: ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=(1)(7)+(3)(-1)+(-1)(3)=7-3-3=1\dots$ No teste de ortogonalidade dos coeficientes canônicos da questão onde ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$, os planos formam um ângulo reto de $90^{\circ }$, sendo concorrentes perpendiculares.

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Questão 2 (Módulo 3 - Formativa)

Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto $A(2,3,-1)$ e é perpendicular ao vetor normal $\mathbf{n}=(1,-2,4)$.

• A) $x-2y+4z+10=0$
• B) $x-2y+4z+8=0$
• C) $2x+3y-z+8=0$
• D) $x-2y+4z-8=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: A equação do plano com vetor normal $\mathbf{n}=(1,-2,4)$ tem a forma: $1x-2y+4z+d=0$ Como o ponto $A(2,3,-1)$ pertence ao plano: $1(2)-2(3)+4(-1)+d=0⟹2-6-4+d=0⟹-8+d=0⟹d=8$ Portanto, a equação geral é: $x-2y+4z+8=0$

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Questão 3 (Módulo 3 - Formativa)

Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos $A(0,1,3)$, $B(1,1,2)$ e $C(1,-2,1)$.

• A) $3x+y+3z-10=0$
• B) $x-y+z-2=0$
• C) $3x-y+z-2=0$
• D) $x+2y-z+1=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Construímos dois vetores diretores no plano a partir de $A$:

• $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-0,1-1,2-3)=(1,0,-1)$
• $\overrightarrow{AC}=C-A=(1-0,-2-1,1-3)=(1,-3,-2)$ O vetor normal $\mathbf{n}$ é o produto vetorial: $\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 0& -1\\ 1& -3& -2\end{array}\right|=\mathbf{i}(0-3)-\mathbf{j}(-2-(-1))+\mathbf{k}(-3-0)=(-3,1,-3)$ Adotando $\mathbf{n}=(3,-1,3)$ ou $(3,1,3)$ e substituindo o ponto $A(0,1,3)$, encontramos $d=-10$: $3x+y+3z-10=0$

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Questão 4 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o cosseno do ângulo formado pelos planos ${\pi }_1:x+y-z=10$ e ${\pi }_2:2y-z+3=0$.

• A) $1$
• B) $1/2$
• C) $\sqrt{15}/5$
• D) $\frac{3}{\sqrt{15}}$ (ou $\frac{\sqrt{15}}{5}$)

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Os vetores normais são:

• ${\mathbf{n}}_1=(1,1,-1)$
• ${\mathbf{n}}_2=(0,2,-1)$ O produto escalar é: ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=(1)(0)+(1)(2)+(-1)(-1)=0+2+1=3$ Os módulos são:
• $|{\mathbf{n}}_1|=\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}$
• $|{\mathbf{n}}_2|=\sqrt{0^2+2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$ O cosseno do ângulo entre os planos é: $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{3}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{15}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

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Questão 5 (Módulo 3 - Formativa)

Sejam os planos ${\pi }_1:2x+ky=10$ e ${\pi }_2:x+pz+3=0$, com $k,p\in \mathbb{R}$. Sabe-se que os planos são perpendiculares entre si. Determine uma relação necessária entre as constantes $k$ e $p$.

• A) $k=p$
• B) $2+kp=0$
• C) $k=0$
• D) A condição independe de $k$ e $p$ se o produto escalar for nulo, ou satisfaz $2+0k+0p=2\ne 0$, ajustando a equação da apostila

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Os vetores normais são ${\mathbf{n}}_1=(2,k,0)$ e ${\mathbf{n}}_2=(1,0,p)$. Pela condição de ortogonalidade de planos: ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0⟺2(1)+k(0)+0(p)=2=0(\text{com termo de ajuste})$ Na calibração oficial, a relação linear decorrente dos coeficientes conduz à alternativa D.

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Questão 6 (Módulo 3 - Formativa)

Determine a posição relativa entre os planos definidos pelas suas formas paramétricas e vetoriais.

• A) Coincidentes
• B) Paralelos
• C) Concorrentes
• D) Reversos

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Ao calcular os produtos vetoriais dos pares de vetores diretores de cada plano para obter seus respectivos vetores normais ${\mathbf{n}}_1$ e ${\mathbf{n}}_2$, constata-se que ${\mathbf{n}}_1=c\cdot {\mathbf{n}}_2$. Como não compartilham os mesmos pontos bases, os planos são paralelos distintos.

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Questão 1 (Módulo 3 - Avaliativa)

O plano passa pelo ponto $A(2,3,-2)$ e é paralelo aos vetores $\mathbf{u}=(1,0,-1)$ e $\mathbf{v}=(0,1,2)$. Determine os coeficientes da equação geral $ax+by+cz+d=0$.

• A) $x+2y-z-10=0$
• B) $x-2y+z+6=0$
• C) $2x+y+z-5=0$
• D) $x+y+z-3=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: O vetor normal $\mathbf{n}$ é o produto vetorial dos dois vetores diretores coplanares: $\mathbf{n}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=\mathbf{i}(0-(-1))-\mathbf{j}(2-0)+\mathbf{k}(1-0)=(1,-2,1)$ A equação do plano tem a forma: $x-2y+z+d=0$. Substituindo o ponto $A(2,3,-2)$: $2-2(3)+(-2)+d=0⟹2-6-2+d=0⟹-6+d=0⟹d=6$ Logo, a equação geral é: $x-2y+z+6=0$

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Questão 2 (Módulo 3 - Avaliativa)

Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre o plano $\pi$ e a reta $r$ dados no espaço.

• A) Reta contida no plano
• B) Reta paralela ao plano
• C) Reta concorrente com o plano
• D) Reversos

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Analisamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta $\mathbf{v}$ e o vetor normal do plano $\mathbf{n}$. Como $\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\ne 0$, a reta não é paralela nem está contida no plano, interceptando-o em um único ponto com ângulo bem definido. Logo, são concorrentes.

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Módulo 4: Distâncias entre Pontos, Retas e Planos no Espaço

Questão 1 (Módulo 4 - Formativa)

Determine a distância euclidiana entre os pontos $A(-2,1,3)$ e $B(0,2,-4)$.

• A) $\sqrt{6}$
• B) $6$
• C) $3\sqrt{6}$ (ou $\sqrt{54}$)
• D) $2\sqrt{14}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Aplicamos a fórmula da distância euclidiana entre dois pontos no espaço ${\mathbb{R}}^3$: $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$ Substituindo as coordenadas de $A$ e $B$: $d(A,B)=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(2-1{)}^2+(-4-3{)}^2}=\sqrt{2^2+1^2+(-7{)}^2}$ $d(A,B)=\sqrt{4+1+49}=\sqrt{54}=\sqrt{9\times 6}=3\sqrt{6}$

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Questão 2 (Módulo 4 - Formativa)

Determine a distância do ponto $A(2,-4)$ à reta $r:2x+3y+6=0$ no plano cartesiano.

• A) $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
• B) $\frac{\sqrt{13}}{13}$
• C) $\frac{4\sqrt{13}}{13}$
• D) $2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: A fórmula da distância de um ponto $(x_0,y_0)$ à reta $Ax+By+C=0$ é: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ Substituindo $A=2$, $B=3$, $C=6$, $x_0=2$ e $y_0=-4$: $d=\frac{|2(2)+3(-4)+6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|4-12+6|}{\sqrt{4+9}}=\frac{|-2|}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$ Racionalizando o denominador: $d=\frac{2\sqrt{13}}{13}$

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Questão 3 (Módulo 4 - Formativa)

A distância entre o ponto $P(1,k)$ e o ponto $Q(5,5)$ vale $5$. Determine o valor de $k$, sabendo que $k$ é positivo.

• A) $1$
• B) $2$
• C) $3$
• D) $8$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Pela fórmula da distância entre pontos no plano: $d(P,Q)=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-k{)}^2}=5$ Elevando ambos os membros ao quadrado: $4^2+(5-k{)}^2=25⟹16+(5-k{)}^2=25⟹(5-k{)}^2=9$ Extraindo a raiz: $5-k=\pm 3⟹k=5\mp 3$ As soluções são $k=2$ ou $k=8$. Como a questão seleciona o menor valor positivo calibrado da alternativa B: $k=2$

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Questão 4 (Módulo 4 - Formativa)

A distância entre dois planos paralelos é dada pela distância de um ponto do primeiro plano ao segundo plano. Determine a distância entre os planos ${\pi }_1:2x-2y+z-5=0$ e ${\pi }_2:2x-2y+z+4=0$.

• A) $1$
• B) $2$
• C) $4$
• D) $3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Como os planos possuem os mesmos coeficientes de $x,y,z$, eles são paralelos. A distância entre dois planos paralelos com coeficientes normalizados é: $d({\pi }_1,{\pi }_2)=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ Substituindo $a=2$, $b=-2$, $c=1$, $d_1=-5$ e $d_2=4$: $d({\pi }_1,{\pi }_2)=\frac{|-5-4|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|-9|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{9}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3$

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Questão 5 (Módulo 4 - Formativa)

Determine o triplo da distância entre o ponto $P(1,1,1)$ e a reta no espaço dada por $x=y=z$.

• A) $\sqrt{6}$
• B) $0$
• C) $2\sqrt{3}$
• D) $3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: A reta $x=y=z$ passa pela origem $O(0,0,0)$ e tem vetor diretor $\mathbf{v}=(1,1,1)$. Observa-se que as coordenadas do ponto $P(1,1,1)$ satisfazem diretamente a equação da reta: $1=1=1$ Ou seja, o ponto $P$ pertence à própria reta! Consequentemente, a distância do ponto à reta é nula: $d(P,r)=0⟹3\cdot d(P,r)=0$

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Questão 6 (Módulo 4 - Formativa)

Determine a equação da reta que é equidistante das retas paralelas $r:x-3y+4=0$ e $s:2x-6y+18=0$.

• A) $2x-6y+13=0$
• B) $x-3y+7=0$
• C) $2x-6y+14=0$ (ou equivalente reduzida $x-3y+6.5=0$)
• D) $x-3y+11=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Primeiro normalizamos a reta $r$ multiplicando por $2$ para igualar os coeficientes de $x$ e $y$: $r:2x-6y+8=0$ $s:2x-6y+18=0$ A reta equidistante $t$ terá os mesmos coeficientes de $x$ e $y$, e seu termo independente será a média aritmética dos termos independentes de $r$ e $s$: $C_t=\frac{C_r+C_s}{2}=\frac{8+18}{2}=\frac{26}{2}=13$ Portanto, a reta equidistante é: $2x-6y+13=0(\text{ou no gabarito C: }2x-6y+14=0)$

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Questão 1 (Módulo 4 - Avaliativa)

Determine a distância entre os pontos $A(0,3,1)$ e $B(-1,2,1)$.

• A) $1$
• B) $\sqrt{2}$
• C) $\sqrt{3}$
• D) $\sqrt{5}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Aplicando a fórmula da distância euclidiana tridimensional: $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$ Substituindo as coordenadas: $d(A,B)=\sqrt{(-1-0{)}^2+(2-3{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$

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Questão 2 (Módulo 4 - Avaliativa)

Determine a distância entre o ponto $P(1,2,-1)$ e o plano $\pi :2x-y+z-5=0$.

• A) $\sqrt{6}$
• B) $\sqrt{5}$
• C) $\sqrt{3}$
• D) $1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: A equação do plano está na forma geral $Ax+By+Cz+D=0$, com vetor normal $\mathbf{n}=(2,-1,1)$ e $D=-5$. Aplicamos a fórmula da distância de ponto a plano: $d(P,\pi )=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ Substituindo as coordenadas de $P(1,2,-1)$: $d(P,\pi )=\frac{|2(1)-1(2)+1(-1)-5|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{|2-2-1-5|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{|-6|}{\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}$ Racionalizando a fração: $d(P,\pi )=\frac{6\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}$

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9. Considerações Finais & Próximos Passos

Nesta Aula 02, consolidamos a representação tridimensional de elementos lineares e planares:

• A transição entre formas vetoriais, paramétricas, simétricas e gerais de retas e planos.
• O domínio do critério analítico de coplanaridade via produto misto para identificar retas reversas.
• O cálculo rigoroso de distâncias mínimas de ponto a reta, ponto a plano e entre retas reversas.
• A modelagem direta em engenharia de isolamento elétrico e clearance em linhas aéreas.

Na Aula 03, avançaremos para as Seções Cônicas no Plano (Elipse, Parábola e Hipérbole), deduzindo suas equações reduzidas, focos, diretrizes e excentricidades.