📐 Modelagem Matemática

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📍 Área: 01 Matemática e Estatística | 🏠 Hub Principal

Visão Geral da Disciplina

Disciplina estruturante do núcleo de 01 Matemática e Estatística. Capacita o futuro engenheiro eletricista a formular, discretizar e resolver computacionalmente modelos matemáticos complexos que regem os fenômenos físicos da engenharia. O programa contempla desde os alicerces da representação numérica digital (Aritmética de Ponto Flutuante IEEE 754, Teoria de Erros e Cancelamento Catastrófico), a localização e isolamento de raízes de equações transcendentais (Métodos de Intervalo como Bisseção e Posição Falsa, e Métodos Abertos como Newton-Raphson e Secantes), a resolução em larga escala de Sistemas de Equações Lineares por métodos diretos (Eliminação Gaussiana com Pivoteamento Parcial, Decomposição LU de Doolittle e Cholesky) e estacionários iterativos (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel sob os critérios das Linhas e de Sassenfeld), a Interpolação Polinomial (Lagrange e Diferenças Divididas de Newton, mitigação do Fenômeno de Runge e Splines Cúbicas), a regressão experimental via Método dos Mínimos Quadrados (MMQ linear, polinomial, dedução matricial do sistema normal e transformações de linearização), a Integração Numérica por quadratura de Newton-Cotes (Retângulos, Ponto Médio, Trapézios e Regras de Simpson 1/3 e 3/8 com ordens $\mathcal{O}(h^2)$ e $\mathcal{O}(h^4)$), a resolução temporal de Problemas de Valor Inicial (PVIs) para EDOs de 1ª ordem aplicadas a circuitos elétricos e dinâmica térmica (Métodos de Euler, Heun e Runge-Kutta clássico RK4), culminando na Pesquisa Operacional (PO) aplicada ao planejamento e despacho ótimo de recursos (Programação Linear, Método Gráfico 2D, Algoritmo Simplex Tabular, Análise de Sensibilidade com Preços-Sombra e Custos Reduzidos, e modelagem no MS Excel Solver e Python HiGHS).

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📌 Sumário do MOC

1. 📚 Materiais Didáticos e Materiais Teóricos de Referência da Disciplina
2. 🎓 Aulas e Apresentações Completas da Disciplina
   • Módulo 1: Fundamentos de Programação, Aritmética Computacional e Teoria de Erros
   • Módulo 2: Zeros de Funções Não Lineares e Equações Transcendentais
   • Módulo 3: Sistemas de Equações Lineares (Métodos Diretos e Iterativos)
   • Módulo 4: Interpolação Polinomial e Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados
   • Módulo 5: Integração Numérica e Quadratura de Newton-Cotes
   • Módulo 6: Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem (Problemas de Valor Inicial)
   • Módulo 7: Pesquisa Operacional, Programação Linear e Otimização com Solver
3. 🎨 Galeria de Diagramas Técnicos Validados (100% Catppuccin Mocha, Sem Text Overflows)
4. 📋 Auditoria Pedagógica e Rastreabilidade Integral das Apostilas
5. 💻 Catálogo de Códigos e Ferramentas Computacionais em Python

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📚 Materiais Didáticos e Materiais Teóricos de Referência da Disciplina

Todas as 5 Materiais Teóricos de Referência do curso ministrado pelo Prof. Me. Tiene Andre Filisbino estão indexadas e completamente integradas no cofre:

• Aritmética Computacional em Python (Fundamentos em Python, Ponto Flutuante IEEE 754, Teoria de Erros e Zeros de Funções Não Lineares)
• Sistemas de Equações Lineares e Ajuste de Curvas em Python (Métodos Diretos, Fatoração LU, Métodos Iterativos de Jacobi e Seidel, Interpolação e Mínimos Quadrados)
• Integração Numérica em Python (Quadratura de Newton-Cotes: Somas de Riemann, Regra dos Trapézios e Regras de Simpson 1/3 e 3/8)
• Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem em Python (Problemas de Valor Inicial - PVIs, Métodos de Passo Único: Euler, Heun e Runge-Kutta RK4)
• Bases de Otimização Com ms Excel (Pesquisa Operacional, Programação Linear, Método Gráfico, Algoritmo Simplex, Análise de Sensibilidade e Excel Solver)

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🎓 Aulas e Apresentações Completas da Disciplina

A disciplina é coberta em 7 notas de aula completas, elaboradas sob o mais rigoroso padrão de engenharia com demonstrações matemáticas passo a passo, scripts Python executáveis, diagramas vetoriais de alta resolução e resolução exaustiva das atividades oficiais.

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Módulo 1: Fundamentos de Programação, Aritmética Computacional e Teoria de Erros

• ✅ Aulas 01 e 02: Aula 01 e 02 - Aritmética Computacional, Fundamentos em Python e Teoria de Erros
  • Conteúdo Teórico: Tipagem dinâmica e estruturada em Python (int, float, list, tuple, dict), operadores aritméticos e relacionais, ordem estrita de precedência, notação posicional em bases decimal e binária, padrão IEEE 754 (sinal, expoente com viés e mantissa normalizada), limites de overflow e underflow, métricas de erro absoluto ($EA$) e erro relativo ($ER$), arredondamento por truncamento vs. aproximação, propagação de incertezas e prevenção do cancelamento catastrófico.
  • Diagrama Integrado: [[modelagem_aritmetica_ieee754_erros.svg]].
  • Questões de Fixação Resolvidas: 8 atividades das Seções 1 e 2 da Apostila 01 (Operadores booleanos, mutabilidade de tuplas, laço for/range, decomposição decimal, conversão $1981_{10}\to 11110111101_2$, overflow em ponto flutuante, cálculo de $EA/ER$ e propagação de truncamento na adição).
  • Códigos Associados: conversor_bin (Material Complementar), conversor_bin_numeros_reais (Material Complementar), 02_erros_de_representacao (Material Complementar).

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Módulo 2: Zeros de Funções Não Lineares e Equações Transcendentais

• ✅ Aulas 03 e 04: Aula 03 e 04 - Zeros de Funções Não Lineares: Métodos de Intervalo e Métodos de Ponto Aberto em Python
  • Conteúdo Teórico: Modelagem de circuitos com diodos (Equação de Shockley) e fluxos de potência não lineares, Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) para isolamento de raízes, Métodos Fechados de Intervalo (Bisseção com estimativa analítica a priori do número de passos $k>\frac{\ln (b-a)-\ln (\epsilon )}{\ln 2}$, e Posição Falsa / Regula Falsi por interpolação secante), Métodos Abertos (Newton-Raphson via Série de Taylor com convergência quadrática $p=2$, e Método das Secantes com aproximação por quociente de diferenças finitas e convergência superlinear $p\approx 1,618$), patologias de divergência (derivada nula e ciclos limite) e critérios de parada rigorosos.
  • Diagrama Integrado: [[modelagem_zeros_funcoes_comparativo_metodos.svg]].
  • Questões de Fixação Resolvidas: 4 atividades da Seção 3 da Apostila 01 (Isolamento por Bolzano em $x^3-x-1$, iterações manuais da bisseção para $\sqrt{2}$, cálculo da 2ª aproximação na Falsa Posição e condição crítica de derivada não nula em Newton-Raphson).
  • Códigos Associados: zeros_funcoes (Material Complementar), canivete_aritmetica (Material Complementar).

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Módulo 3: Sistemas de Equações Lineares (Métodos Diretos e Iterativos)

• ✅ Aula 05: Aula 05 - Sistemas de Equações Lineares em Python: Métodos Diretos (Gauss, Pivoteamento, LU) e Iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel)
  • Conteúdo Teórico: Formulação matricial $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ em análise nodal de circuitos elétricos ($[Y]\mathbf{V}=\mathbf{I}$), Método de Eliminação de Gauss e retrossubstituição, indispensabilidade do Pivoteamento Parcial contra amplificação de erros de arredondamento, Forma Escalonada Reduzida (Gauss-Jordan com SymPy), Decomposição LU de Doolittle ($A=L\cdot U$) e sua superioridade computacional na resolução com múltiplos vetores de carga $O(n^2)$, Métodos Iterativos estacionários (Gauss-Jacobi com $M=D$ e Gauss-Seidel com $M=D+L$), Critério das Linhas e Colunas, Critério de Sassenfeld, análise do raio espectral $\rho (M^{-1}N)<1$ e vetor resíduo $\mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}$.
  • Diagramas Integrados: [[sistemas_lineares_decomposicao_lu.svg]] e [[modelagem_sistemas_iterativos_convergencia_jacobi_seidel.svg]].
  • Questões de Fixação Resolvidas: 9 atividades das Seções 1 e 2 da Apostila 02 (Representação matricial, eliminação gaussiana passo a passo, reuso da fatoração LU, detecção de singularidade no SciPy, conceito de resíduo, matriz diagonal de Jacobi, tolerância vs. iterações, atualização sequencial imediata em Seidel e simulação $4\times 4$).
  • Códigos Associados: sistemas_lineares (Material Complementar).

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Módulo 4: Interpolação Polinomial e Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados

• ✅ Aula 06: Aula 06 - Interpolação Polinomial (Lagrange, Newton, Splines) e Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados (MMQ) em Python
  • Conteúdo Teórico: Distinção conceitual entre interpolação exata e ajuste de curvas com ruído estocástico, Polinômio Interpolador de Lagrange com bases Delta de Kronecker $L_i(x_j)={\delta }_{ij}$, Formulação de Newton por Diferenças Divididas e algoritmo de Horner aninhado, vantagem superior da adição incremental de nós experimentais sem recálculo, análise do Fenômeno de Runge nos extremos e mitigação via nós de Chebyshev e Splines Cúbicas $C^2$ (tridiagonais), dedução analítica das Equações Normais de Gauss para o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) via minimização dos resíduos verticais $\sum e_i^2$, formulação matricial sobredeterminada $(X^{T}X)\mathbf{a}=X^T\mathbf{y}$ via projeção ortogonal e pseudoinversa de Moore-Penrose, linearização de modelos não lineares (exponencial $y=\alpha e^{\beta x}$, potência $y=\alpha x^{\beta }$ e crescimento saturado $y=\frac{\alpha x}{\beta +x}$), Coeficiente de Determinação ($R^2$) e erro quadrático médio (RMSE).
  • Diagramas Integrados: [[modelagem_interpolacao_lagrange_newton_runge.svg]] e [[modelagem_ajuste_curvas_minimos_quadrados.svg]].
  • Questões de Fixação Resolvidas: 7 atividades das Seções 3 e 4 da Apostila 02 (Lagrange linear para 2 pontos, levantamento altimétrico de rede elétrica, Newton quadrático para 3 pontos, acréscimo incremental de novo ponto experimental, objetivo da minimização quadrática, dimensão $n\times 3$ da matriz de projeto e ensaio térmico de resistência de liga metálica com ponto de máxima).

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Módulo 5: Integração Numérica e Quadratura de Newton-Cotes

• ✅ Aula 07: Aula 07 - Integração Numérica em Python: Fórmulas de Newton-Cotes (Retângulos, Trapézios e Regras de Simpson)
  • Conteúdo Teórico: Aplicações em Engenharia Elétrica (cálculo de valor eficaz RMS de sinais arbitrários $V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int v^{2}dt}$, potência ativa média, carga elétrica acumulada e fluxo magnético), Métodos dos Retângulos (somas de Riemann à esquerda, à direita e pelo Ponto Médio de ordem $\mathcal{O}(h^2)$), Regra dos Trapézios Simples e Composta com dedução por interpolação linear e termo de erro $E_T=-\frac{(b-a)}{12}{h}^2{f}^{\prime \prime }(\xi )=\mathcal{O}(h^2)$, Regra de 1/3 de Simpson Composta com interpolação parabólica e alternância de pesos $(1,4,2,4,2,\dots ,4,1)$, prova da exigência de $m$ ser estritamente PAR, demonstração de que Simpson 1/3 é exato para polinômios cúbicos com erro de quarta ordem $\mathcal{O}(h^4)$, Regra de 3/8 de Simpson para malhas múltiplas de 3 e integração conjunta para fechamento de malhas ímpares, e funções científicas scipy.integrate (trapezoid, simpson, quad).
  • Diagrama Integrado: [[modelagem_integracao_numerica_trapezio_simpson.svg]].
  • Questões de Fixação Resolvidas: 9 atividades da Apostila 03 (Soma de Riemann à direita com 3 subintervalos, aproximação de ponto médio, convergência e estabilização de erro entre 100 e 1000 subintervalos, expressão compacta da regra dos trapézios, agrimensura de terreno irregular com base de 20 m e área $77,5{\text{ m}}^2$, erro percentual relativo, somatório de Simpson 1/3, integração numérica com 4 subintervalos e fundamentação geométrica da paridade de subintervalos).

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Módulo 6: Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem (Problemas de Valor Inicial)

• ✅ Aula 08: Aula 08 - Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de 1ª Ordem em Python: Problemas de Valor Inicial (PVI), Métodos de Euler, Heun e Runge-Kutta (RK4)
  • Conteúdo Teórico: Modelagem dinâmica de circuitos transitórios $RC$ ($\frac{d{v}_C}{dt}=\frac{V_{in}-v_C}{RC}$), $RL$ ($\frac{di}{dt}=\frac{v-Ri}{L}$) e dinâmica térmica de transformadores (Lei de Resfriamento de Newton $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{amb}})$), Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf e campos de direções, Método de Euler Explícito deduzido via Série de Taylor com erro global $\mathcal{O}(h)$ e limites de estabilidade absoluta ($h\le 2/|\lambda |$), Método de Heun (Euler Melhorado / Preditor-Corretor / RK2) com média de inclinações e convergência $\mathcal{O}(h^2)$, Método Clássico de Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4) com os 4 passos ponderados $k_1,k_2,k_3,k_4$ equivalentes à quadratura de Simpson no tempo e erro global $\mathcal{O}(h^4)$, redução de EDOs de ordem superior a sistemas de 1ª ordem em Espaço de Estados (circuitos $RLC$), problemas rígidos (stiff) e solvers implícitos com scipy.integrate.solve_ivp.
  • Diagrama Integrado: [[modelagem_edos_euler_heun_runge_kutta.svg]].
  • Questões de Fixação Resolvidas: 8 atividades da Apostila 04 (Determinação da constante arbitrária pela condição inicial, esvaziamento de tanque hídrico com Euler, resfriamento de fluido térmico com Euler, decaimento de poluente ambiental com Heun, análise estrutural do código de Heun em Python, execução passo a passo de RK4 com 5 casas decimais exatas $y(0,1)\approx 1,11$, aquecimento industrial de fluido térmico e linha de atualização vetorial de RK4).

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Módulo 7: Pesquisa Operacional, Programação Linear e Otimização com Solver

• ✅ Aula 09: Aula 09 - Pesquisa Operacional e Programação Linear (PL): Método Gráfico, Algoritmo Simplex Tabular, Análise de Sensibilidade e Otimização com MS Excel Solver e Python
  • Conteúdo Teórico: Origem histórica da Pesquisa Operacional e fases do método científico, estrutura canônica da Programação Linear (variáveis de decisão controláveis $x_j$, parâmetros tecnológicos e limites $a_{ij},b_i$, função objetivo de maximização ou minimização e restrições de não-negatividade), Método Gráfico 2D em poliedros convexos, isolinhas de $Z$ e vetor gradiente $\nabla Z$, Teorema Fundamental da PL (otimalidade restrita aos vértices extremos / Soluções Básicas Viáveis - SBVs), patologias (soluções múltiplas, problema ilimitado e inviabilidade), transformação para a Forma Padrão com variáveis de folga ($s_i$) e excesso ($e_i$), Algoritmo Simplex Tabular de George Dantzig (critério de entrada por custo reduzido mais negativo, teste da menor razão positiva $b_i/a_{ik}$ para saída da base e pivoteamento de Gauss-Jordan), Análise de Sensibilidade e Pós-Otimalidade (Preço-Sombra / Variável Dual ${\lambda }_i=\partial Z^{\ast }/\partial b_i$, Teorema das Folgas Complementares e Custo Reduzido), parametrização no MS Excel Solver (Simplex LP) e resolução industrial em Python via scipy.optimize.linprog(method='highs').
  • Diagrama Integrado: [[modelagem_programacao_linear_simplex_grafico.svg]].
  • Questões de Fixação Resolvidas: 10 questões/atividades da Apostila 05 (Conceito de modelagem em PO - FUNDEP/INB 2018, etapa de coleta de dados na observação do sistema, parâmetros não controláveis de PL, problema clássico do sapateiro com pedidos 1, 2 e 3 para FO, restrição de couro e restrição de horas, modelagem de confecção Fitwear S/A com lucro $Z^{\ast }=66.100$, problema de mistura de rações da Fábrica XYZ e problema da dieta de Stigler ao menor custo).

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🎨 Galeria de Diagramas Técnicos Validados (100% Catppuccin Mocha, Sem Text Overflows)

Todos os diagramas técnicos vetoriais (.SVG) da disciplina foram desenhados na paleta oficial de engenharia Catppuccin Mocha, com caixas de texto com margens de segurança, caixas de fórmulas em LaTeX e zero sobreposição de traços.

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📋 Auditoria Pedagógica e Rastreabilidade Integral das Apostilas

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💻 Catálogo de Códigos e Ferramentas Computacionais em Python

Todos os scripts foram testados e validados no ambiente Linux do sistema:

• *sistemas_lineares (Material Complementar)*: Eliminação de Gauss, Decomposição LU, Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com gráficos comparativos de convergência.
• *zeros_funcoes (Material Complementar)*: Algoritmos comparativos de Bisseção, Posição Falsa, Secantes e Newton-Raphson com SymPy.
• *canivete_aritmetica (Material Complementar)*: Utilitários gerais para manipulação de bases numéricas e cálculo de métricas de erro.
• *conversor_bin (Material Complementar)* e *conversor_bin_numeros_reais (Material Complementar)*: Conversores de ponto flutuante e frações binárias.
• *graficos (Material Complementar)*: Visualização e plotagem de funções matemáticas com Matplotlib.
• *estrutura_condicional (Material Complementar)*, *laços (Material Complementar)*, *função (Material Complementar)*, *tuplas (Material Complementar)*: Laboratório de fundamentos em Python.
• [[Caderno de Revisão e Simulado Resolvido - Modelagem Matemática.md]]: Caderno complementar com simulados consolidados para exames de alto rendimento.