Aula 06 - Interpolação Polinomial e Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados em Python

📘 Modelagem Matemática: Aula 06

📌 Sumário da Aula

1. Interpolação Polinomial (Lagrange, Newton, Splines) e Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados (MMQ) em Python
   • Diagrama 1: Interpolação Polinomial, Diferenças Divididas e Fenômeno de Runge
   • Diagrama 2: Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) e Linearização de Modelos
   • 2.1 Formulação Clássica de Lagrange
   • 2.2 Formulação de Newton por Diferenças Divididas
   • 2.3 Fenômeno de Runge e Splines Cúbicas
   • 3.1 Dedução Analítica da Reta de Regressão Linear
   • 3.2 Formulação Matricial Geral e Projeção Ortogonal
   • 3.3 Linearização de Modelos Não Lineares
   • 3.4 Avaliação Estatística da Qualidade do Ajuste ($R^2$ e RMSE)
   • Atividade 1 (Apostila 02 - Seção 3 / Atividade 2): Polinômio Interpolador de Lagrange para Dois Pontos
   • Atividade 2 (Apostila 02 - Seção 3 / Atividade 3): Levantamento Altimétrico para Rede Elétrica
   • Atividade 3 (Apostila 02 - Seção 3 / Atividade 4): Polinômio Interpolador de Newton para Três Pontos
   • Atividade 4 (Apostila 02 - Seção 3 / Atividade 5): Vantagem Incremental de Newton com Novo Ponto Experimental
   • Atividade 5 (Apostila 02 - Seção 4 / Atividade 1): Princípio Fundamental do MMQ
   • Atividade 6 (Apostila 02 - Seção 4 / Atividade 2): Dimensão da Matriz de Projeto no Ajuste Polinomial
   • Atividade 7 (Apostila 02 - Seção 4 / Atividade 3): Ensaio Térmico de Resistência de Liga Metálica
2. 📚 Referências Bibliográficas

---

Interpolação Polinomial (Lagrange, Newton, Splines) e Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados (MMQ) em Python

Navegação Rápida no Cofre

📍 Disciplina: Modelagem Matemática | 📚 MOC: 01 Matemática e Estatística | 🏠 Início: Hub Principal 📄 Apostila Base: Sistemas de Equações Lineares e Ajuste de Curvas em Python (Seções 3 e 4) ⬅️ Aula Anterior: Aula 05 - Sistemas Lineares (Diretos e Iterativos) ➡️ Próxima Aula: Aula 07 - Integração Numérica 🖼️ Diagramas Técnicos: modelagem_interpolacao_lagrange_newton_runge.svg | modelagem_ajuste_curvas_minimos_quadrados.svg

---

🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula, você será capaz de:

1. Compreender a distinção fundamental entre Interpolação e Ajuste de Curvas: reconhecer quando os dados experimentais possuem incerteza estocástica (ruído de medição $⟹$ MMQ) versus quando se exige que a curva passe estritamente por cada ponto tabular (tabelas termodinâmicas, cartas de condutores $⟹$ Interpolação).
2. Dominar a Interpolação Polinomial de Lagrange:
   • Construir os polinômios de base $L_i(x)={\prod }_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ com a propriedade delta de Kronecker $L_i(x_j)={\delta }_{ij}$.
   • Deduzir a forma linear, quadrática e de ordem $n$, avaliando custo computacional e sensibilidade.
3. Dominar o Método de Diferenças Divididas de Newton:
   • Construir a tabela triangular de diferenças divididas de ordem $0,1,2,\dots ,n$.
   • Avaliar polinômios de forma eficiente pelo Algoritmo de Horner.
   • Compreender a modularidade incremental: adicionar novos pontos de amostragem sem recalcular os coeficientes anteriores.
4. Analisar as Limitações de Alta Ordem e o Fenômeno de Runge:
   • Identificar a instabilidade e divergência periférica de polinômios interpoladores de grau elevado em malhas uniformes.
   • Mitigar oscilações espúrias via Nós de Chebyshev e Splines Cúbicas (Natural, Fixada e Periódica).
5. Dominar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ):
   • Formular a minimização dos resíduos verticais $e_i=y_i-f(x_i)$ via função de erro quadrático $S=\sum e_i^2$.
   • Deduzir o Sistema de Equações Normais de Gauss através de derivadas parciais ($\nabla S=0$) e na forma matricial $(X^{T}X)\mathbf{a}=X^T\mathbf{y}$ via projeção ortogonal.
   • Executar transformações de linearização para modelos físicos não lineares clássicos: exponencial ($y=\alpha e^{\beta x}$), potência ($y=\alpha x^{\beta }$) e crescimento saturado/Michaelis-Menten ($y=\frac{\alpha x}{\beta +x}$).
   • Quantificar a qualidade do ajuste através do Coeficiente de Determinação ($R^2$) e erro quadrático médio (RMSE).
6. Implementar e Validar Rotinas Científicas em Python:
   • Utilizar scipy.interpolate (lagrange, interp1d, CubicSpline) e numpy.linalg (polyfit, lstsq).

---

📊 1. Diagramas Técnicos Estruturais

Abaixo estão os esquemas conceituais completos que sintetizam a teoria de interpolação e a dedução geométrica do ajuste por mínimos quadrados.

Diagrama 1: Interpolação Polinomial, Diferenças Divididas e Fenômeno de Runge

Diagrama 2: Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) e Linearização de Modelos

---

📐 2. PARTE I: Interpolação Polinomial

Dada uma tabela com $n+1$ pontos amostrais discretos e distintos: $(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n),\text{com }{x}_i\ne x_j\text{ para }i\ne j$

O problema da interpolação polinomial consiste em encontrar um único polinômio $P_n(x)$ de grau no máximo $n$ que coincida rigorosamente com os dados em todos os nós: $P_n(x_i)=y_i,\forall i\in \{0,1,\dots ,n\}$

Teorema da Existência e Unicidade

Para qualquer conjunto de $n+1$ pontos com abcissas distintas, existe um e apenas um polinômio de grau menor ou igual a $n$ que interpola esses pontos. As formas de Vandermonde, Lagrange e Newton produzem algebricamente o mesmo polinômio, diferindo apenas na eficiência algorítmica e estabilidade numérica.

---

2.1 Formulação Clássica de Lagrange

A abordagem de Joseph-Louis Lagrange expressa o polinômio interpolador como uma combinação linear dos valores nodais $y_i$, ponderados por funções de base polinomiais $L_i(x)$:

$P_n(x)={\sum }_{i=0}^n{y}_i\cdot L_i(x)$

Onde cada polinômio de Lagrange $L_i(x)$ é de grau $n$ e satisfaz a propriedade do Delta de Kronecker: $L_i(x_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{se }i=j\\ 0,& \text{se }i\ne j\end{array}$

A expressão explícita de $L_i(x)$ é dada pelo produtório: $L_i(x)={\prod }_{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\frac{(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_1)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}$

Caso Particular: Interpolação Linear ($n=1$, dois pontos $(x_0,y_0)$ e $(x_1,y_1)$)

$L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1},L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ $P_1(x)=y_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+y_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

Limitação Operacional de Lagrange:

Se um novo par de medições $(x_{n+1},y_{n+1})$ for adquirido no laboratório, todas as bases $L_i(x)$ devem ser completamente recalculadas do zero, pois o denominador e o numerador de cada $L_i(x)$ incorporam o novo nó.

---

2.2 Formulação de Newton por Diferenças Divididas

Para contornar a rigidez de Lagrange, Sir Isaac Newton propôs expressar o polinômio na base triangularizada: $P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots +a_n(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{n-1})$

Os coeficientes $a_k$ correspondem exatamente às Diferenças Divididas de ordem $k$: $a_k=f[x_0,x_1,\dots ,x_k]$

Definição Recursiva de Diferenças Divididas:

• Ordem 0: $f[x_i]=y_i$
• Ordem 1: $f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i}$
• Ordem 2: $f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}$
• Ordem Geral $k$: $f[x_i,x_{i+1},\dots ,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots ,x_{i+k}]-f[x_i,\dots ,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$

Tabela de Diferenças Divididas (exemplo para 4 pontos):

$x_i$	$f[x_i]$	1ª Ordem	2ª Ordem	3ª Ordem
$x_0$	$f[x_0]$
		$f[x_0,x_1]$
$x_1$	$f[x_1]$		$f[x_0,x_1,x_2]$
		$f[x_1,x_2]$		$f[x_0,x_1,x_2,x_3]$
$x_2$	$f[x_2]$		$f[x_1,x_2,x_3]$
		$f[x_2,x_3]$
$x_3$	$f[x_3]$

Vantagem Superior de Newton: Adição Incremental

Os coeficientes do polinômio são simplesmente os elementos da primeira linha da tabela (em negrito). Se adicionarmos um novo ponto $(x_4,y_4)$, apenas uma nova diagonal inferior é calculada na tabela; os coeficientes $a_0,a_1,a_2,a_3$ permanecem inalterados!

Avaliação Eficiente: Algoritmo de Horner Aninhado

Para avaliar $P_n(x)$ computacionalmente com $O(n)$ multiplicações (evitando o cálculo repetido de potências): $P_n(x)=a_0+(x-x_0)(a_1+(x-x_1)(a_2+\cdots +(x-x_{n-1})a_n\left)\right)$

---

2.3 Fenômeno de Runge e Splines Cúbicas

Ao tentar aproximar funções contínuas por polinômios de grau elevado ($n\ge 8$) em pontos igualmente espaçados, observa-se uma violenta instabilidade perto dos extremos do intervalo: $f(x)=\frac{1}{1+25x^2},x\in [-1,1]$ À medida que $n\to \infty$, o erro de interpolação nos extremos diverge: ${\lim }_{n\to \infty }\max |f(x)-P_n(x)|=\infty$. Isso é o Fenômeno de Runge.

Soluções de Engenharia para o Fenômeno de Runge:

1. Nós de Chebyshev: concentrar as amostragens nas bordas do domínio usando as raízes do polinômio de Chebyshev: $x_k=\cos \left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi \right),k=0,1,\dots ,n$
2. Splines Cúbicas (Interpolação Polinomial por Partes): Em vez de ajustar um único polinômio de grau $n$ para todo o domínio, ajusta-se um polinômio cúbico $S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3$ em cada subintervalo $[x_i,x_{i+1}]$, impondo continuidade até a 2ª derivada ($C^2$):
   • $S_i(x_i)=y_i$ e $S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$ (interpolação)
   • $S_{i-1}^{\prime }(x_i)=S_i^{\prime }(x_i)$ (continuidade de inclinação/velocidade)
   • $S_{i-1}^{\prime \prime }(x_i)=S_i^{\prime \prime }(x_i)$ (continuidade de curvatura/aceleração) A determinação dos coeficientes resulta em um sistema linear tridiagonal, resolvido em tempo linear $O(n)$ via Algoritmo de Thomas.

---

📉 3. PARTE II: Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados (MMQ)

No mundo real dos sistemas elétricos (leituras de transformadores, curvas $V\times I$ de painéis fotovoltaicos, dinâmica térmica de cabos condutores), os dados contêm ruído de medição e imprecisões de sensores. Forçar uma curva a passar exatamente por cada ponto pontual resultaria em sobreajuste (overfitting).

O objetivo do Ajuste de Curvas é encontrar uma função paramétrica $f(x;a_0,a_1,\dots ,a_m)$, com $m\ll n$, que capture a tendência física global subjacente.

---

3.1 Dedução Analítica da Reta de Regressão Linear

Seja o modelo linear de reta: ${\hat{y}}_i=f(x_i)=a_0+a_1{x}_i$

Para cada ponto amostrado $(x_i,y_i)$, o resíduo vertical (erro individual) é: $e_i=y_i-{\hat{y}}_i=y_i-(a_0+a_1{x}_i)$

O critério dos mínimos quadrados minimiza a soma dos quadrados dos resíduos $S(a_0,a_1)$: $S(a_0,a_1)={\sum }_{i=1}^n{e}_i^2={\sum }_{i=1}^n[y_i-(a_0+a_1{x}_i){]}^2$

Para encontrar o mínimo global, igualamos o vetor gradiente a zero ($\nabla S=0$):

$\frac{\partial S}{\partial a_0}=-2{\sum }_{i=1}^n[y_i-(a_0+a_1{x}_i)]=0⟹{\sum }_{i=1}^n{y}_i-n{a}_0-a_1{\sum }_{i=1}^n{x}_i=0$

$\frac{\partial S}{\partial a_1}=-2{\sum }_{i=1}^n{x}_i[y_i-(a_0+a_1{x}_i)]=0⟹{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i-a_0{\sum }_{i=1}^n{x}_i-a_1{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2=0$

Isolando as incógnitas $a_0$ e $a_1$, obtemos o Sistema de Equações Normais de Gauss:

undefined