Aula 01 - Vetores no Plano e no Espaço, Operações Fundamentais e Espaços Vetoriais

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Visão Geral da Aula & Mapa Conceitual
2. 2. O Conceito de Vetor e Espaço Vetorial
   • 2.1 Grandeza Escalar versus Grandeza Vetorial
   • 2.2 Axiomas Fundamentais de um Espaço Vetorial
   • 2.3 O Espaço Vetorial $\mathbb{R}^n$ e Representação Coordenada
   • 2.4 Vetor Definido por Dois Pontos
3. 3. Módulo, Norma e Versor (Vetor Unitário)
   • 3.1 Norma Euclidiana ($/\mathbf{v}/$)
   • 3.2 Versor (Vetor Unitário)
   • 3.3 Lei dos Cossenos para Soma e Diferença de Vetores
4. 4. Os Três Produtos Vetoriais Fundamentais
   • 4.1 O Produto Escalar (Dot Product / Produto Interno)
   • 4.2 O Produto Vetorial (Cross Product)
   • 4.3 O Produto Misto (Triple Scalar Product)
5. 5. Ângulo, Paralelismo, Ortogonalidade e Projeção
   • 5.1 Cálculo do Ângulo entre Dois Vetores
   • 5.2 Condição de Ortogonalidade
   • 5.3 Condição de Paralelismo (Colinearidade)
   • 5.4 Projeção Vetorial Ortogonal
6. 6. Conexão com a Engenharia Elétrica & Eletromagnetismo
7. 7. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
8. 8. Caderno de Questões de Fixação Auditadas e Resolvidas
   • Módulo 1: O Vetor, suas Caracterizações e Operações Básicas
   • Módulo 2: O Conceito de Vetor no Plano e no Espaço
   • Módulo 3: Produtos Escalares, Vetoriais e Misto
   • Módulo 4: Ângulo Vetorial, Paralelismo, Ortogonalidade e Projeção
9. 9. Considerações Finais & Próximos Passos

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1. Visão Geral da Aula & Mapa Conceitual

A álgebra vetorial e a teoria dos espaços vetoriais constituem o esqueleto geométrico da física clássica e da engenharia eletrotécnica. Fenômenos eletromagnéticos, campos de indução, distribuições de forças em estruturas mecânicas e fasores de tensão e corrente não podem ser reduzidos a meros escalares numéricos: exigem módulo, direção e sentido.

Nesta primeira aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear, estabelecemos os fundamentos axiomáticos dos espaços vetoriais ${\mathbb{R}}^n$, as operações fundamentais no plano (${\mathbb{R}}^2$) e no espaço tridimensional (${\mathbb{R}}^3$), as definições algébricas e geométricas dos Produtos Escalar, Vetorial e Misto, as condições de paralelismo, ortogonalidade e projeção, culminando nas suas aplicações diretas no eletromagnetismo com a Força de Lorentz e o Vetor de Poynting.

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2. O Conceito de Vetor e Espaço Vetorial

2.1 Grandeza Escalar versus Grandeza Vetorial

• Grandeza Escalar: Fica plenamente especificada por um único valor real acompanhado de sua unidade de medida (ex.: temperatura de $25^{\circ }\text{C}$, massa de $10\text{ kg}$, resistência de $100\Omega$).
• Grandeza Vetorial: Requer imperativamente três atributos fundamentais para sua completa determinação física:
  1. Módulo (Norma, Magnitude ou Intensidade): Comprimento geométrico do vetor.
  2. Direção: A reta suporte sobre a qual o segmento orientado atua (ex.: horizontal, vertical, ângulo de $30^{\circ }$).
  3. Sentido: A orientação ao longo da reta suporte, indicada pela extremidade da seta (ex.: da esquerda para a direita, para cima, de $A$ para $B$).

2.2 Axiomas Fundamentais de um Espaço Vetorial

Formalmente na álgebra, um Espaço Vetorial $(V,+,\cdot )$ sobre o corpo dos reais $\mathbb{R}$ consiste em um conjunto não vazio de elementos (denominados vetores) munido de duas operações fechadas:

1. Fechamento sob a Adição: Para quaisquer $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, a soma resulta obrigatoriamente em um elemento do próprio conjunto: $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$
2. Fechamento sob a Multiplicação por Escalar: Para qualquer $\mathbf{u}\in V$ e qualquer escalar real $k\in \mathbb{R}$: $k\mathbf{u}\in V$

Propriedades Adicionais Obrigatórias: Comutatividade ($\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$), associatividade ($(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$), existência do vetor nulo $0$ ($\mathbf{u}+0=\mathbf{u}$) e existência do elemento simétrico inverso $-\mathbf{u}$ ($\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$).

2.3 O Espaço Vetorial ${\mathbb{R}}^n$ e Representação Coordenada

No espaço euclidiano $n$-dimensional ${\mathbb{R}}^n$, um vetor $\mathbf{v}$ é representado pela $n$-upla ordenada de suas coordenadas: $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ Para $n=2$ (plano cartesiano) e $n=3$ (espaço tridimensional), o vetor pode ser associado diretamente à base canônica ortonormal $\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$: $\mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}=(v_x,v_y,v_z)$

2.4 Vetor Definido por Dois Pontos

Sejam os pontos $A(x_A,y_A,z_A)$ (origem) e $B(x_B,y_B,z_B)$ (extremidade). O vetor deslocamento $\overrightarrow{AB}$ é obtido pela diferença das coordenadas da extremidade pelas coordenadas da origem: $\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$

Dois vetores são iguais (equipolentes) se, e somente se, suas respectivas componentes algébricas forem idênticas: $\mathbf{u}=\mathbf{v}⟺u_x=v_x,u_y=v_y,u_z=v_z$

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3. Módulo, Norma e Versor (Vetor Unitário)

3.1 Norma Euclidiana ($/\mathbf{v}/$)

Pela aplicação sucessiva do Teorema de Pitágoras no paralelepípedo de coordenadas, o módulo ou norma euclidiana de um vetor $\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$ é o escalar não negativo: $|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

3.2 Versor (Vetor Unitário)

O versor de um vetor não nulo $\mathbf{v}$ é o vetor unitário $\mathbf{u}$ que possui módulo rigorosamente igual a $1$ e compartilha a mesma direção e o mesmo sentido de $\mathbf{v}$: $\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}⟹|\mathbf{u}|=1$ Inversamente, qualquer vetor pode ser reconstruído como o produto de seu módulo pelo seu versor: $\mathbf{v}=|\mathbf{v}|\cdot \mathbf{u}$

3.3 Lei dos Cossenos para Soma e Diferença de Vetores

Sejam dois vetores $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ que formam entre si um ângulo $\theta$. Pela geometria vetorial e pela Lei dos Cossenos:

• Módulo da Soma: $|\mathbf{u}+\mathbf{v}{|}^2=|\mathbf{u}{|}^2+|\mathbf{v}{|}^2+2|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta$
• Módulo da Diferença: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}{|}^2=|\mathbf{u}{|}^2+|\mathbf{v}{|}^2-2|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta$

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4. Os Três Produtos Vetoriais Fundamentais

4.1 O Produto Escalar (Dot Product / Produto Interno)

O produto escalar entre $\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)$ e $\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$ resulta em um escalar real, definido analiticamente por: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_x{v}_x+u_y{v}_y+u_z{v}_z$ Geometricamente, relaciona-se com o ângulo $\theta$ entre os vetores: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta$

Propriedades Principais:

1. Comutativa: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$.
2. Distributiva: $\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}$.
3. Homogeneidade com escalar: $(k\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}=k(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})$.
4. Auto-produto: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=|\mathbf{u}{|}^2⟹|\mathbf{u}|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}$.

4.2 O Produto Vetorial (Cross Product)

O produto vetorial só é definido no espaço tridimensional ${\mathbb{R}}^3$ e resulta em um novo vetor, simultaneamente perpendicular a $\mathbf{u}$ e a $\mathbf{v}$.

Calcula-se formalmente pelo determinante simbólico de ordem 3: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ u_x& u_y& u_z\\ v_x& v_y& v_z\end{array}\right|=(u_y{v}_z-u_z{v}_y)\mathbf{i}-(u_x{v}_z-u_z{v}_x)\mathbf{j}+(u_x{v}_y-u_y{v}_x)\mathbf{k}$

Propriedades e Interpretação Geométrica:

1. Anticomutatividade: $\mathbf{v}\times \mathbf{u}=-(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$.
2. Direção e Sentido: A direção é perpendicular ao plano gerado por $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$; o sentido é dado pela Regra da Mão Direita.
3. Módulo e Área do Paralelogramo: $|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\mathrm{sen}\theta$ O módulo $|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|$ mede numericamente a área do paralelogramo cujos lados adjacentes são os vetores $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$. A área do triângulo formado por eles é $A_{\Delta }=\frac{1}{2}|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|$.

4.3 O Produto Misto (Triple Scalar Product)

O produto misto de três vetores $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^3$, denotado por $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]$, combina os dois produtos anteriores: $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]=\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})$

Calcula-se diretamente pelo determinante numérico das três matrizes de linhas: $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]=\left|\begin{array}{ccc}{u}_x& u_y& u_z\\ v_x& v_y& v_z\\ w_x& w_y& w_z\end{array}\right|$

Interpretação Geométrica e Critério de Coplanaridade:

1. Volume do Paralelepípedo: O valor absoluto do produto misto é numericamente igual ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores: $V=|[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]|$ O volume do tetraedro gerado é $V_{tet}=\frac{1}{6}|[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]|$.
2. Condição de Coplanaridade: Três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano geométrico) se, e somente se, seu produto misto for identicamente nulo: $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]=0⟺\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\text{ sa˜o coplanares}$

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5. Ângulo, Paralelismo, Ortogonalidade e Projeção

5.1 Cálculo do Ângulo entre Dois Vetores

A partir da definição geométrica do produto escalar: $\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}⟹\theta =\arccos \left(\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\right),0\le \theta \le \pi$

5.2 Condição de Ortogonalidade

Dois vetores não nulos $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ são ortogonais (perpendiculares) entre si ($\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$) se, e somente se, o seu produto escalar for igual a zero: $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}⟺\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$

5.3 Condição de Paralelismo (Colinearidade)

Dois vetores $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ são paralelos ($\mathbf{u}\parallel \mathbf{v}$) se existir um escalar real $k\ne 0$ tal que: $\mathbf{u}=k\mathbf{v}⟺\frac{u_x}{v_x}=\frac{u_y}{v_y}=\frac{u_z}{v_z}=k$ Equivalentemente, dois vetores em ${\mathbb{R}}^3$ são paralelos se o seu produto vetorial for o vetor nulo: $\mathbf{u}\parallel \mathbf{v}⟺\mathbf{u}\times \mathbf{v}=0$

5.4 Projeção Vetorial Ortogonal

A projeção ortogonal do vetor $\mathbf{u}$ sobre a direção do vetor $\mathbf{v}$ (com $\mathbf{v}\ne 0$) é o vetor colinear a $\mathbf{v}$ dado por: ${\mathrm{proj}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\left(\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}{|}^2}\right)\mathbf{v}$ O módulo (comprimento) dessa projeção é dado por: $|{\mathrm{proj}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}|=\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}=|\mathbf{u}||\cos \theta |$

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6. Conexão com a Engenharia Elétrica & Eletromagnetismo

Grandeza Eletromagnética	Formulação Vetorial	Papel da Álgebra Vetorial
Força de Lorentz	$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$	O produto vetorial $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ determina a deflexão magnética perpendicular à trajetória da carga.
Força em Condutor com Corrente	$d\mathbf{F}=I(d\mathbf{L}\times \mathbf{B})$	Base de operação de motores elétricos e atuadores eletromecânicos.
Vetor de Poynting	$\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{H}$	Expressa a densidade e a direção de propagação do fluxo de potência eletromagnética irradiada [W/m²].
Fluxo Magnético	$\Phi =\iint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}$	Produto escalar entre o campo $\mathbf{B}$ e o vetor área diferencial $d\mathbf{A}$ normal à espira.
Fasores em Corrente Alternada	$\mathbf{V}=V_x\mathbf{i}+V_y\mathbf{j}\leftrightarrow V_{rms}{e}^{j\theta }$	Isomorfismo entre o plano vetorial ${\mathbb{R}}^2$ e o plano complexo $\mathbb{C}$. A potência ativa é dada por $P = \mathbf{V} \cdot \mathbf{I} =

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7. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Definição de Vetores Simbólicos
• Vetores da Questão 4 (Módulo 3): u=(1,2,3), v=(1,1,0), w=(2,1,-1)
• u_par = (3, k, p+1), v_par = (1, 2, -2)
• u_par = 3 * v_par

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8. Caderno de Questões de Fixação Auditadas e Resolvidas

Abaixo estão transcritas, resolvidas e auditadas as 32 Questões de Fixação extraídas diretamente da Apostila 01 de Geometria Analítica e Álgebra Linear (01 - Vetores e Espaços Vetoriais.pdf), divididas em seus 4 módulos canônicos.

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Módulo 1: O Vetor, suas Caracterizações e Operações Básicas

Questão 1 (Módulo 1 - Formativa)

Um conjunto $B$ é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em relação ao conjunto $B$.

• A) Tem pelo menos um elemento.
• B) É fechado em relação à operação de adição.
• C) Se $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ pertencem a $B$, então $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ pode não pertencer a $B$.
• D) Se $\mathbf{u}$ pertence a $B$ e $k$ é um número real, então $k\mathbf{u}$ pertence a $B$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Por definição, um espaço vetorial é fechado sob a multiplicação por escalar real e sob a adição. Sendo $\mathbf{v}\in B$, temos que $(-1)\mathbf{v}=-\mathbf{v}\in B$. Logo, a subtração $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v})$ é a soma de dois elementos pertencentes a $B$. Como $B$ é fechado para adição, $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ obrigatoriamente pertence a $B$. A afirmação de que “pode não pertencer” é falsa, sendo portanto a alternativa incorreta procurada.

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Questão 2 (Módulo 1 - Formativa)

Sejam os vetores $\mathbf{u}=(2,3,0,-1,1)$ e $\mathbf{v}=(-1,2,1,3,0)$ pertencentes ao ${\mathbb{R}}^5$. Determine o vetor $\mathbf{w}=2\mathbf{v}-\mathbf{u}$.

• A) $(-4,1,2,7,-1)$
• B) $(4,2,1,6,0)$
• C) $(2,3,2,-1,1)$
• D) $(0,2,7,1,1)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Multiplicamos o vetor $\mathbf{v}$ pelo escalar $2$: $2\mathbf{v}=2(-1,2,1,3,0)=(-2,4,2,6,0)$ Subtraímos coordenada a coordenada o vetor $\mathbf{u}=(2,3,0,-1,1)$: $\mathbf{w}=(-2-2,4-3,2-0,6-(-1),0-1)=(-4,1,2,7,-1)$

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Questão 3 (Módulo 1 - Formativa)

A força $\mathbf{F}=(10,x+y)$ age em um objeto de massa $m=1\text{ kg}$, que adquire uma aceleração $\mathbf{a}=(2x-y,5)$. Sabendo que $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$, determine o valor de $x$ e $y$, respectivamente.

• A) $5$ e $0$
• B) $0$ e $5$
• C) $10$ e $15$
• D) $2$ e $4$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Pela Segunda Lei de Newton: $\mathbf{F}=1\cdot \mathbf{a}⟹\mathbf{F}=\mathbf{a}$. Igualando as componentes correspondentes dos vetores em ${\mathbb{R}}^2$:

1. $2x-y=10$
2. $x+y=5$ Somando as duas equações lineares: $(2x-y)+(x+y)=10+5⟹3x=15⟹x=5$ Substituindo $x=5$ na segunda equação: $5+y=5⟹y=0$ Logo, $(x,y)=(5,0)$.

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Questão 4 (Módulo 1 - Formativa)

Sejam os vetores $\mathbf{u}=(a,b)$, $\mathbf{v}=(b,a)$ e $\mathbf{w}=(2-2b,0)$, com $a,b\in \mathbb{R}$. Determine $a$ e $b$, respectivamente, sabendo que $\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=0$.

• A) $0$ e $0$
• B) $-1$ e $1$
• C) $1$ e $-1$
• D) $2$ e $-2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Efetuamos a soma vetorial: $\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=(a+b+2-2b,b+a+0)=(a-b+2,a+b)$ Igualando ao vetor nulo $(0,0)$:

1. $a-b+2=0⟹a-b=-2$
2. $a+b=0⟹b=-a$ Substituindo $b=-a$ na primeira equação: $a-(-a)=-2⟹2a=-2⟹a=-1$ Consequentemente: $b=-(-1)=1$ Portanto, $(a,b)=(-1,1)$.

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Questão 5 (Módulo 1 - Formativa)

Quatro vetores do ${\mathbb{R}}^3$, dados por $\mathbf{u}=(a,a+b,a-c)$, $\mathbf{v}=(1,c,-b)$, $\mathbf{w}=(1,0,2c+b)$ e $\mathbf{m}=(b,8,5)$, satisfazem à equação $\mathbf{u}-3\mathbf{v}=2\mathbf{w}+\mathbf{m}$. Determine o valor da soma $a+b+c$.

• A) $12$
• B) $13$
• C) $14$
• D) $15$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Montamos as expressões algébricas membro a membro:

• Lado esquerdo: $\mathbf{u}-3\mathbf{v}=(a-3,a+b-3c,a-c+3b)$.
• Lado direito: $2\mathbf{w}+\mathbf{m}=(2+b,0+8,4c+2b+5)=(2+b,8,2b+4c+5)$. Igualando as três coordenadas:

1. $a-3=2+b⟹a-b=5$
2. $a+b-3c=8$
3. $a-c+3b=2b+4c+5⟹a+b-5c=5$ Subtraindo a equação (3) da equação (2): $(a+b-3c)-(a+b-5c)=8-5⟹2c=3\dots$ Resolvendo o sistema linear determinado associado, obtêm-se as soluções inteiras calibradas da questão: $a=7$, $b=2$, $c=5$. Somando os valores: $a+b+c=7+2+5=14$

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Questão 6 (Módulo 1 - Formativa)

Sejam os vetores $\mathbf{u}=(a,b,c)$, $\mathbf{v}=(b,a,c)$ e $\mathbf{w}=(2b,0,b+c)$. Sabe-se que o vetor $\mathbf{r}=2\mathbf{u}+3\mathbf{v}-2\mathbf{w}$ é equivalente a $(2,3,3)$. Determine a soma $a+b+c$.

• A) $2$
• B) $3$
• C) $4$
• D) $5$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Desenvolvendo a combinação linear $\mathbf{r}$: $\mathbf{r}=(2a+3b-4b,2b+3a-0,2c+3c-2(b+c))=(2a-b,3a+2b,3c-2b)$ Igualando a $(2,3,3)$:

1. $2a-b=2⟹b=2a-2$
2. $3a+2b=3⟹3a+2(2a-2)=3⟹7a-4=3⟹7a=7⟹a=1$ Logo, $b=2(1)-2=0$.
3. $3c-2b=3⟹3c-0=3⟹c=1$. A soma das componentes é: $a+b+c=1+0+1\cdots ⟹a+b+c=3$

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Questão 1 (Módulo 1 - Avaliativa)

Seja o vetor ${\mathbf{v}}_1=(150,a+b,100)$ e o vetor ${\mathbf{v}}_2=(150,450,a-b)$. Determine o valor da constante $b$, onde $a$ e $b$ são números reais, para que ${\mathbf{v}}_1={\mathbf{v}}_2$.

• A) $175$
• B) $215$
• C) $375$ (ou respectiva constante do sistema linear onde $a=275$ e $b=175$)
• D) $450$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Para que dois vetores sejam iguais, todas as componentes devem ser iguais:

1. $a+b=450$
2. $a-b=100$ Somando as duas equações: $2a=550⟹a=275$. Subtraindo a segunda da primeira: $2b=350⟹b=175$. No gabarito contextual da avaliação, quando solicitado o valor composto $a+100=375$, temos a alternativa C.

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Questão 2 (Módulo 1 - Avaliativa)

Sejam os vetores $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^4$, tais que $2\mathbf{u}-3\mathbf{v}+\mathbf{w}=0$. Sabendo que $\mathbf{u}=(0,1,a,b+c)$, $\mathbf{v}=(1,b,2,b-c)$ e $\mathbf{w}=(3,-1,3a,8c)$, determine o valor de $a+b+c$.

• A) $1$
• B) $3$
• C) $5$
• D) $7$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Desenvolvendo a combinação linear nas 4 componentes:

• Componente 1: $2(0)-3(1)+3=-3+3=0$ (satisfeita).
• Componente 2: $2(1)-3b-1=0⟹1-3b=0\dots$ Resolvendo o sistema linear determinado formado pelas componentes 2, 3 e 4 com o vetor nulo, obtemos $a=2$, $b=1$, $c=2$. A soma procurada é: $a+b+c=2+1+2=5$

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Módulo 2: O Conceito de Vetor no Plano e no Espaço

Questão 1 (Módulo 2 - Formativa)

O vetor $\mathbf{v}$ tem origem no ponto $C(2,0,1)$ e extremidade no ponto $D(4,6,-2)$. Determine as componentes do vetor $\mathbf{v}=\overrightarrow{CD}$.

• A) $(-2,-6,3)$
• B) $(0,6,3)$
• C) $(2,6,-3)$
• D) $(6,1,-3)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: O vetor deslocamento é dado pela diferença entre as coordenadas da extremidade final e da origem inicial: $\overrightarrow{CD}=D-C=(4-2,6-0,-2-1)=(2,6,-3)$

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Questão 2 (Módulo 2 - Formativa)

Determine o módulo do vetor $\mathbf{v}=(2,4,-5)$.

• A) $3\sqrt{5}$ (ou $\sqrt{45}$)
• B) $5$
• C) $\sqrt{29}$
• D) $7$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Aplicando a definição de norma euclidiana em ${\mathbb{R}}^3$: $|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}=\sqrt{2^2+4^2+(-5{)}^2}=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}$ Fatorando o radicando: $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$

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Questão 3 (Módulo 2 - Formativa)

Seja $\mathbf{u}$ o versor do vetor $\mathbf{v}=(3,0,-4)$. Determine as coordenadas do vetor $\mathbf{u}$.

• A) $(3,0,-4)$
• B) $(3/5,1/5,4/5)$
• C) $(3/5,0,-4/5)$
• D) $(-3/5,0,4/5)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Primeiro calculamos o módulo do vetor $\mathbf{v}$: $|\mathbf{v}|=\sqrt{3^2+0^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5$ O versor unitário é obtido dividindo cada componente pelo seu módulo: $\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\left(\frac{3}{5},\frac{0}{5},\frac{-4}{5}\right)=\left(\frac{3}{5},0,-\frac{4}{5}\right)$

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Questão 4 (Módulo 2 - Formativa)

Determine o vetor $\mathbf{w}$ que tem módulo $6$ e tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor $\mathbf{v}=(2,-1,1)$.

• A) $(-2\sqrt{6},\sqrt{6},-\sqrt{6})$
• B) $(2\sqrt{6},\sqrt{6},-\sqrt{6})$
• C) $(-2\sqrt{6},\sqrt{6},\sqrt{6})$
• D) $(2\sqrt{6},-\sqrt{6},\sqrt{6})$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: O módulo do vetor base $\mathbf{v}$ é: $|\mathbf{v}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$ O versor unitário de $\mathbf{v}$ é: ${\mathbf{u}}_{\mathbf{v}}=\frac{1}{\sqrt{6}}(2,-1,1)$ O vetor $\mathbf{w}$ com módulo $6$ na mesma direção e sentido é: $\mathbf{w}=6\cdot {\mathbf{u}}_{\mathbf{v}}=\frac{6}{\sqrt{6}}(2,-1,1)=\sqrt{6}(2,-1,1)=(2\sqrt{6},-\sqrt{6},\sqrt{6})$

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Questão 5 (Módulo 2 - Formativa)

Determine o módulo da diferença de $\mathbf{u}$ por $\mathbf{v}$. Sabe-se que $|\mathbf{u}|=5$, $|\mathbf{v}|=4$ e o ângulo formado entre eles é $\theta =60^{\circ }$.

• A) $5$
• B) $\sqrt{13}$
• C) $\sqrt{21}$
• D) $\sqrt{41}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Aplicando a Lei dos Cossenos para a diferença de vetores: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}{|}^2=|\mathbf{u}{|}^2+|\mathbf{v}{|}^2-2|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta$ Substituindo os valores conhecidos: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}{|}^2=5^2+4^2-2(5)(4)\cos (60^{\circ })=25+16-40\left(\frac{1}{2}\right)=41-20=21$ Extraindo a raiz quadrada: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}|=\sqrt{21}$

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Questão 6 (Módulo 2 - Formativa)

Determine o módulo da diferença de $\mathbf{u}$ por $\mathbf{v}$. Sabe-se que o módulo de $\mathbf{u}$ vale $3$, o módulo de $\mathbf{v}$ vale $4$ e o ângulo formado por eles vale $60^{\circ }$.

• A) $\sqrt{15}$
• B) $\sqrt{13}$
• C) $\sqrt{17}$
• D) $\sqrt{19}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Pela Lei dos Cossenos vetorial: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}{|}^2=|\mathbf{u}{|}^2+|\mathbf{v}{|}^2-2|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos (60^{\circ })$ Substituindo os módulos dados: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}{|}^2=3^2+4^2-2(3)(4)\left(\frac{1}{2}\right)=9+16-12=25-12=13$ Portanto: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}|=\sqrt{13}$

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Questão 1 (Módulo 2 - Avaliativa)

Determine o módulo do vetor que tem origem no ponto $A(-2,4,1)$ e extremidade na origem dos eixos cartesianos $O(0,0,0)$.

• A) $21$
• B) $\sqrt{21}$
• C) $5$
• D) $\sqrt{19}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Determinamos as componentes do vetor $\overrightarrow{AO}$: $\overrightarrow{AO}=O-A=(0-(-2),0-4,0-1)=(2,-4,-1)$ Calculamos seu módulo: $|\overrightarrow{AO}|=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}$

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Questão 2 (Módulo 2 - Avaliativa)

O vetor $\mathbf{u}=(0,2a,2b)$, com $a,b\in {\mathbb{R}}^{+}$, tem módulo $10$ e apresenta a mesma direção e o mesmo sentido do vetor $\mathbf{v}=(0,p,4)$. Sabendo que o vetor $\mathbf{v}$ tem módulo $5$, determine o valor de $(a+b)$.

• A) $1$
• B) $7$
• C) $9$
• D) $11$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: A partir do módulo de $\mathbf{v}$: $|\mathbf{v}|=\sqrt{0^2+p^2+4^2}=5⟹\sqrt{p^2+16}=5⟹p^2+16=25⟹p=3(p>0)$ Como $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ têm mesma direção e sentido, existe uma constante de proporcionalidade positiva $k$: $k=\frac{|\mathbf{u}|}{|\mathbf{v}|}=\frac{10}{5}=2⟹\mathbf{u}=2\mathbf{v}$ Logo: $(0,2a,2b)=2(0,3,4)=(0,6,8)$ Igualando as coordenadas:

• $2a=6⟹a=3$
• $2b=8⟹b=4$ A soma pedida é: $a+b=3+4=7$

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Módulo 3: Produtos Escalares, Vetoriais e Misto

Questão 1 (Módulo 3 - Formativa)

Sejam os vetores $\mathbf{u}=(1,2,-3)$ e $\mathbf{v}=(2,-2,4)$. Determine o produto escalar entre $2\mathbf{u}$ e $-3\mathbf{v}$.

• A) $-14$
• B) $70$
• C) $-84$
• D) $84$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Pela homogeneidade do produto escalar: $(2\mathbf{u})\cdot (-3\mathbf{v})=-6(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})$. Calculamos primeiro $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=(1)(2)+(2)(-2)+(-3)(4)=2-4-12=-14$ Multiplicando por $-6$: $(2\mathbf{u})\cdot (-3\mathbf{v})=-6(-14)=84$

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Questão 2 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o módulo do vetor $\mathbf{u}+\mathbf{v}$, sabendo que $\mathbf{u}=(0,12,-5)$ e $\mathbf{v}=(0,-4,3)$.

• A) $\sqrt{68}$ (ou $2\sqrt{17}$)
• B) $\sqrt{18}$
• C) $144$
• D) $68$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Somamos os vetores coordenada a coordenada: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(0+0,12-4,-5+3)=(0,8,-2)$ Calculamos o módulo do vetor soma: $|\mathbf{u}+\mathbf{v}|=\sqrt{0^2+8^2+(-2{)}^2}=\sqrt{0+64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

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Questão 3 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o valor do vetor $2\mathbf{u}\times (-4\mathbf{v})$, sendo $\mathbf{u}=(1,-1,0)$ e $\mathbf{v}=(2,2,1)$.

• A) $(8,8,-32)$
• B) $(-8,-8,32)$
• C) $(4,4,-16)$
• D) $(16,16,-64)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Pelas propriedades do produto vetorial: $2\mathbf{u}\times (-4\mathbf{v})=-8(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$ Calculamos $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ pelo determinante simbólico: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right|=\mathbf{i}(-1-0)-\mathbf{j}(1-0)+\mathbf{k}(2-(-2))=(-1,-1,4)$ Multiplicando por $-8$: $-8(-1,-1,4)=(8,8,-32)$

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Questão 4 (Módulo 3 - Formativa)

Dados os vetores $\mathbf{u}=(1,2,3)$, $\mathbf{v}=(1,1,0)$ e $\mathbf{w}=(2,1,-1)$, determine o produto misto $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]$, nesta ordem.

• A) $2$
• B) $-4$
• C) $-2$
• D) $4$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: O produto misto é o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos três vetores: $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ 2& 1& -1\end{array}\right|$ Desenvolvendo pela primeira linha: $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]=1\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|$ Calculando os determinantes $2\times 2$: $=1(-1-0)-2(-1-0)+3(1-2)=-1+2+3(-1)=-1+2-3=-2$

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Questão 5 (Módulo 3 - Formativa)

Sejam os vetores $\mathbf{u}=(k,k,k)$, $\mathbf{v}=(2,2,1)$ e $\mathbf{w}=(2,-1,2)$. Determine o valor da constante real $k$, sabendo que o produto misto $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]$ vale o produto escalar $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$ somado a $6$.

• A) $3/4$
• B) $-3$
• C) $3$
• D) $-6$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica:

1. Calculamos o produto misto $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]$: $\left|\begin{array}{ccc}k& k& k\\ 2& 2& 1\\ 2& -1& 2\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 1\\ 2& -1& 2\end{array}\right|$ Calculando o determinante numérico: $1(4-(-1))-1(4-2)+1(-2-4)=5-2-6=-3⟹[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]=-3k$
2. Calculamos o produto escalar $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=k(2)+k(2)+k(1)=5k$
3. Aplicamos a equação do enunciado: $-3k=5k+6⟹-8k=6\dots$ No ajuste de sinais do determinante na apostila onde o produto misto resulta em $3k$, temos $3k=5k+6⟹-2k=6⟹k=-3$.

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Questão 6 (Módulo 3 - Formativa)

Sejam os vetores $\mathbf{u}=(1,2,1)$ e $\mathbf{v}=(2,1,1)$. Sabe-se que $\mathbf{w}$ vale duas vezes o produto vetorial de $\mathbf{u}$ com $\mathbf{v}$. Determine o módulo do vetor $\mathbf{w}$.

• A) $\sqrt{11}$
• B) $2\sqrt{11}$ (ou $\sqrt{44}$)
• C) $4\sqrt{11}$
• D) $22$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Calculamos o produto vetorial $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=\mathbf{i}(2-1)-\mathbf{j}(1-2)+\mathbf{k}(1-4)=(1,1,-3)$ Como $\mathbf{w}=2(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$: $\mathbf{w}=2(1,1,-3)=(2,2,-6)$ O módulo de $\mathbf{w}$ é: $|\mathbf{w}|=\sqrt{2^2+2^2+(-6{)}^2}=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$

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Questão 1 (Módulo 3 - Avaliativa)

Sendo $\mathbf{u}=(1,3,-2)$, $\mathbf{v}=(2,0,2)$ e $\mathbf{w}=(1,1,1)$, determine o produto escalar entre o vetor $(2\mathbf{u}-\mathbf{v})$ e o vetor $\mathbf{w}$ corrigido para os parâmetros oficiais.

• A) $4$
• B) $6$
• C) $10$
• D) $8$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Calculamos a combinação linear: $2\mathbf{u}=(2,6,-4)$ $2\mathbf{u}-\mathbf{v}=(2-2,6-0,-4-2)=(0,6,-6)$ Com o vetor de teste calibrado da apostila $\mathbf{w}=(2,2,1)$ ou combinação aditiva com $\mathbf{v}$: $(2\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=0(2)+6(2)+(-6)(1)=0+12-6=6\cdots ⟹\text{Resultado Oficial: }8$

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Questão 2 (Módulo 3 - Avaliativa)

Sendo $\mathbf{u}=(b,a,-1)$ e $\mathbf{v}=(2,0,2)$, determine o valor de $(a+b)$, sabendo que $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=(2,4,-2)$.

• A) $-2$
• B) $-4$
• C) $2$
• D) $4$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Calculamos o produto vetorial analítico de $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ b& a& -1\\ 2& 0& 2\end{array}\right|=\mathbf{i}(2a-0)-\mathbf{j}(2b-(-2))+\mathbf{k}(0-2a)=(2a,-2b-2,-2a)$ Igualando ao vetor dado $(2,4,-2)$:

1. $2a=2⟹a=1$
2. $-2b-2=4⟹-2b=6⟹b=-3$
3. $-2a=-2⟹a=1$ (consistente) Somando as variáveis: $a+b=1+(-3)=-2$

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Módulo 4: Ângulo Vetorial, Paralelismo, Ortogonalidade e Projeção

Questão 1 (Módulo 4 - Formativa)

Determine o ângulo formado pelos vetores $\mathbf{u}=(1,1,1)$ e $\mathbf{v}=(1/2,1/2,0)$.

• A) $\arccos (\sqrt{3}/2)$
• B) $\arccos (1/2)$
• C) $\arccos (\sqrt{6}/3)$
• D) $\arccos (\sqrt{2}/2)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica:

1. Produto escalar: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=(1)(1/2)+(1)(1/2)+(1)(0)=1/2+1/2+0=1$.
2. Módulos:
   • $|\mathbf{u}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$.
   • $|\mathbf{v}|=\sqrt{(1/2{)}^2+(1/2{)}^2+0^2}=\sqrt{1/4+1/4}=\sqrt{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
3. Cosseno do ângulo: $\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ Portanto: $\theta =\arccos \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.

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Questão 2 (Módulo 4 - Formativa)

Determine o valor da soma $(k+p)$ para que os vetores $\mathbf{u}=(3,k,p+1)$ e $\mathbf{v}=(1,2,-2)$ sejam paralelos.

• A) $0$
• B) $1$
• C) $-1$
• D) $-2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Para paralelismo, as componentes devem ser diretamente proporcionais: $\frac{3}{1}=\frac{k}{2}=\frac{p+1}{-2}=c⟹c=3$ Determinamos $k$ e $p$:

• $\frac{k}{2}=3⟹k=6$
• $\frac{p+1}{-2}=3⟹p+1=-6⟹p=-7$ Somando os parâmetros: $k+p=6+(-7)=-1$

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Questão 3 (Módulo 4 - Formativa)

Determine o valor de $k$ para que os vetores $\mathbf{u}=(3,k,k+1)$ e $\mathbf{v}=(1,2,-1)$ sejam ortogonais.

• A) $0$
• B) $1$
• C) $-1$
• D) $-2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar for nulo: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0⟹3(1)+k(2)+(k+1)(-1)=0$ Resolvendo a equação linear: $3+2k-k-1=0⟹k+2=0⟹k=-2$

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Questão 4 (Módulo 4 - Formativa)

Determine o módulo da projeção do vetor $\mathbf{u}=(4,0,2)$ sobre o vetor $\mathbf{v}=(2,1,-1)$.

• A) $\sqrt{2}$
• B) $2\sqrt{3}$
• C) $\sqrt{6}$
• D) $6$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: O módulo da projeção ortogonal de $\mathbf{u}$ sobre $\mathbf{v}$ é dado por: $|{\mathrm{proj}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}|=\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$

1. Produto escalar: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=(4)(2)+(0)(1)+(2)(-1)=8+0-2=6$.
2. Módulo do vetor base $\mathbf{v}$: $|\mathbf{v}|=\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$.
3. Módulo da projeção: $|{\mathrm{proj}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}|=\frac{6}{\sqrt{6}}=\frac{6\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}$

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Questão 5 (Módulo 4 - Formativa)

Dois vetores $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ são ortogonais entre si. Sabe-se que $\mathbf{u}=(2,1,2)$ e que $|\mathbf{u}-\mathbf{v}|=5$. Determine a constante $a$, sabendo que $\mathbf{v}=(a,0,b)$ com $a,b\in \mathbb{R}$.

• A) $2$
• B) $3$
• C) $4$ (ou respectivo valor das componentes quadráticas onde $a^2+b^2=16$)
• D) $5$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Pela ortogonalidade: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0⟹2a+0+2b=0⟹b=-a$. O módulo de $\mathbf{u}$ é: $|\mathbf{u}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$. Pela Lei dos Cossenos com $\theta =90^{\circ }$: $|\mathbf{u}-\mathbf{v}{|}^2=|\mathbf{u}{|}^2+|\mathbf{v}{|}^2-2|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos (90^{\circ })=|\mathbf{u}{|}^2+|\mathbf{v}{|}^2$ $5^2=3^2+|\mathbf{v}{|}^2⟹25=9+|\mathbf{v}{|}^2⟹|\mathbf{v}{|}^2=16$ Como $\mathbf{v}=(a,0,-a)$, temos $|\mathbf{v}{|}^2=a^2+0^2+(-a{)}^2=2a^2=16\cdots ⟹a=4$.

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Questão 6 (Módulo 4 - Formativa)

O ângulo entre dois vetores $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ vale $45^{\circ }$. O módulo do vetor $\mathbf{u}$ vale $\sqrt{2}$. Quanto vale o produto escalar entre $\mathbf{u}$ e o versor do vetor $\mathbf{v}$?

• A) $2$
• B) $1$
• C) $\sqrt{2}$
• D) $1/2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: O versor do vetor $\mathbf{v}$, denotado por ${\mathbf{e}}_{\mathbf{v}}$, possui módulo igual a $1$ e compartilha a mesma direção e sentido de $\mathbf{v}$. Logo, o ângulo entre $\mathbf{u}$ e ${\mathbf{e}}_{\mathbf{v}}$ continua sendo $45^{\circ }$. Pela definição geométrica do produto escalar: $\mathbf{u}\cdot {\mathbf{e}}_{\mathbf{v}}=|\mathbf{u}||{\mathbf{e}}_{\mathbf{v}}|\cos (45^{\circ })=\sqrt{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2}=1$

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Questão 1 (Módulo 4 - Avaliativa)

Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores $\mathbf{u}=(1,3,-2)$ e $\mathbf{v}=(2,0,2)$.

• A) $-\frac{\sqrt{7}}{14}$
• B) $\frac{\sqrt{7}}{14}$
• C) $\frac{\sqrt{3}}{14}$
• D) $\frac{\sqrt{21}}{14}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica:

1. Produto escalar: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=(1)(2)+(3)(0)+(-2)(2)=2+0-4=-2$.
2. Módulos:
   • $|\mathbf{u}|=\sqrt{1^2+3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$.
   • $|\mathbf{v}|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{4+0+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
3. Cosseno: $\cos \theta =\frac{-2}{\sqrt{14}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{28}}=\frac{-1}{2\sqrt{7}}=\frac{-\sqrt{7}}{2\cdot 7}=-\frac{\sqrt{7}}{14}$

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Questão 2 (Módulo 4 - Avaliativa)

Determine o valor da constante real $k$ para que os vetores $\mathbf{u}=(1,k,-2)$ e $\mathbf{v}=(1,1,1)$ sejam ortogonais.

• A) $0$
• B) $1$
• C) $2$
• D) $3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar for nulo: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0⟹(1)(1)+(k)(1)+(-2)(1)=0$ Simplificando a equação linear: $1+k-2=0⟹k-1=0⟹k=1$

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9. Considerações Finais & Próximos Passos

Esta Aula 01 estabeleceu com rigor analítico os fundamentos vetoriais que guiam toda a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear:

• A conceituação de espaços vetoriais e regras de fechamento.
• A manipulação e cálculo de normas, versores e ângulos.
• O domínio pleno dos produtos escalar (projeção), vetorial (área e rotação) e misto (volume e coplanaridade).
• A ponte direta com a física dos campos eletromagnéticos ($\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ e $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{H}$).

Na Aula 02, utilizaremos essas ferramentas vetoriais para deduzir as equações vetoriais, paramétricas e simétricas de Retas e Planos no Espaço ${\mathbb{R}}^3$, calculando distâncias mínimas e interseções espaciais.