🛡️ Aula 06 - Amplificadores de Múltiplos Estágios, Par Diferencial, Resposta em Frequência e Topologias de Realimentação

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📍 Disciplina: 01 Eletrônica Analógica | 🏭 Área: 05 Eletrônica, Automação e Controle | 🏠 Hub Principal 📄 Apostilas Base: 2. Amplificadores de múltiplos estágios e amplificadores diferenciais · 3. Resposta em frequência · 5. Realimentação de AmpOps parte I · 6. Realimentação de AmpOps parte II · lista_exercicios_parte1 · lista_exercicios_parte2 (Profa. Ana Flávia dos Reis — UFPR) ⬅️ Aula Anterior: Aula 05 - Filtros Ativos Analógicos e Osciladores | ➡️ Próxima Aula: Aula 07 - Amplificadores de Potência e Dimensionamento Térmico

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🎯 Objetivos de Aprendizagem (Taxonomia de Bloom)

1. Analisar e projetar amplificadores em cascata de múltiplos estágios (acoplamentos CC e CA), quantificando perdas de carregamento entre estágios, espelhos de corrente MOS/BJT e a topologia Cascode para multiplicação de resistência de saída ($R_{\text{out}}\approx g_{m2}{r}_{o2}{r}_{o1}$) e extensão de banda.
2. Deduzir o comportamento em grandes e pequenos sinais do Par Diferencial BJT e MOSFET, aplicando o conceito de Meio-Circuito Diferencial, calculando ganho diferencial ($A_d$), ganho de modo comum ($A_{cm}$), CMRR e a conversão diferencial para single-ended mediante Carga Ativa em Espelho de Corrente ($A_d=g_{m1}(r_{o2}\parallel r_{o4})$).
3. Determinar a resposta em frequência de amplificadores em baixa frequência (${\omega }_L$, constantes de tempo de circuito aberto) e alta frequência (${\omega }_H$, modelo híbrido-$\pi$ capacitivo $C_{gs},C_{gd},C_{\pi },C_{\mu }$), aplicando o Teorema de Miller ($C_{\text{in,M}}=C_F(1-A_v)$), o método das constantes de tempo de curto-circuito e a frequência de transição ($f_T$).
4. Dominar a Teoria Geral da Realimentação Negativa ($A_f=\frac{A}{1+A\beta }$), o fator de dessensibilidade $(1+A\beta )$, as 4 Topologias Clássicas de Realimentação (Tensão-Série, Corrente-Série, Tensão-Paralelo e Corrente-Paralelo) e os critérios de estabilidade de Bode (Margem de Ganho $GM$ e Margem de Fase $PM$).

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📌 Sumário do MOC

1. 1. Amplificadores de Múltiplos Estágios, Cascode e Espelhos de Corrente
   • 1.1 Revisão das Três Topologias Fundamentais e os Quatro Modelos Lineares
   • 1.2 Acoplamento em Cascata e Perdas por Divisão de Impedância entre Estágios
   • 1.3 A Configuração Cascode (Fonte Comum + Porta Comum Empilhados)
   • 1.4 Espelhos de Corrente MOS e BJT para Polarização e Cargas Ativas
2. 2. Amplificadores Diferenciais (Par Diferencial BJT e MOSFET)
   • 2.1 Operação em Modo Diferencial e o Conceito de Meio-Circuito
   • 2.2 Operação em Modo Comum, Influência de Rss e Cálculo do CMRR
   • 2.3 Par Diferencial com Carga Ativa em Espelho de Corrente
3. 3. Resposta em Frequência de Amplificadores e o Teorema de Miller
   • 3.1 Diagramas de Bode, Polos, Zeros e Resposta em Baixa Frequência (ωL)
   • 3.2 O Teorema de Miller e a Multiplicação Capacitiva
   • 3.3 Modelo de Alta Frequência do MOSFET/TBJ, Polo Dominante (ωH) e Frequência de Transição (fT)
4. 4. Teoria Geral da Realimentação Negativa e as Quatro Topologias Clássicas
   • 4.1 Equação Fundamental de Malha Fechada e Propriedades do Fator (1 + Aβ)
   • 4.2 As 4 Topologias de Realimentação: Mecanismos de Amostragem e Retorno
   • 4.3 Dedução Analítica de Ganho e Impedâncias em Malha Fechada (Tensão-Série e Circuito MOS)
   • 4.4 Estabilidade de Amplificadores Realimentados: Margem de Ganho (GM) e Margem de Fase (PM)
5. 5. Diagrama Arquitetural Consolidado
6. 6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia
7. 7. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões Comentadas)

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1. Amplificadores de Múltiplos Estágios, Cascode e Espelhos de Corrente

Um único estágio transistorizado raramente atende simultaneamente às exigências conflitantes de um sistema eletrônico prático: alto ganho de tensão ($A_v>1.000$), impedância de entrada adequada (altíssima para leitura de tensão ou baixíssima para leitura de corrente) e baixa impedância de saída ($R_{\text{out}}\ll R_L$) capaz de excitar cargas pesadas sem atenuação. A solução universal consiste no cascateamento de múltiplos estágios especializados.

1.1 Revisão das Três Topologias Fundamentais e os Quatro Modelos Lineares

Com um único transistor MOSFET (ou seu dual bipolar TBJ), existem exatamente três configurações básicas de amplificação:

Configuração MOS (Dual BJT)	Terminal de Entrada / Saída	Resistência de Entrada ($R_{\text{in}}$)	Resistência de Saída ($R_{\text{out}}$)	Ganho de Tensão em Aberto ($A_{v0}$)	Aplicação Primária em Múltiplos Estágios
Fonte Comum — FC (Emissor Comum)	Porta ($G$) / Dreno ($D$)	$\infty$ ($r_{\pi }$ no BJT)	$R_D\parallel r_o$ (Moderada/Alta)	$-g_m(R_D\parallel r_o)$	Estágio de ganho de tensão e transcondutância
Porta Comum — PC (Base Comum)	Fonte ($S$) / Dreno ($D$)	$\frac{1}{g_m}\parallel r_o\approx \frac{1}{g_m}$ (Baixa)	$R_D\parallel [r_o(1+g_m{R}_S)]$ (Alta)	$+g_m(R_D\parallel r_o)$	Buffer de corrente, amplificador de alta frequência e estágio superior Cascode
Dreno Comum — DC / Seguidor de Fonte (Coletor Comum)	Porta ($G$) / Fonte ($S$)	$\infty$	$\frac{1}{g_m}\parallel r_o\parallel R_S\approx \frac{1}{g_m}$ (Baixa)	$\frac{R_S\parallel r_o}{\frac{1}{g_m}+(R_S\parallel r_o)}<1$	Buffer isolador de saída para acionar cargas de baixa impedância ($R_L$)

De acordo com a natureza das grandezas elétricas de entrada e saída, qualquer bloco amplificador linear é modelado como um dos 4 tipos fundamentais de amplificadores:

Tipo de Amplificador	Sinal de Entrada	Sinal de Saída	Ganho Característico	$R_{\text{in}}$ Ideal	$R_{\text{out}}$ Ideal
1. Amplificador de Tensão	Tensão ($v_{\text{in}}$)	Tensão ($v_{\text{out}}$)	$A_{v0} = \left.\dfrac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}\right	_{i_o=0}$($\text{V/V}$)	$\infty$
2. Amplificador de Corrente	Corrente ($i_{\text{in}}$)	Corrente ($i_{\text{out}}$)	$A_{is} = \left.\dfrac{i_{\text{out}}}{i_{\text{in}}}\right	_{v_o=0}$($\text{A/A}$)	$0$
3. Amplificador de Transcondutância	Tensão ($v_{\text{in}}$)	Corrente ($i_{\text{out}}$)	$G_m = \left.\dfrac{i_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}\right	_{v_o=0}$($\text{A/V}$ou$\text{S}$)	$\infty$
4. Amplificador de Transresistência	Corrente ($i_{\text{in}}$)	Tensão ($v_{\text{out}}$)	$R_m = \left.\dfrac{v_{\text{out}}}{i_{\text{in}}}\right	_{i_o=0}$($\text{V/A}$ou$\Omega$)	$0$

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1.2 Acoplamento em Cascata e Perdas por Divisão de Impedância entre Estágios

Considere $n$ estágios amplificadores de tensão conectados em cascata, caracterizados individualmente por suas impedâncias de entrada ($R_{\text{in},k}$), impedâncias de saída ($R_{\text{out},k}$) e ganhos de tensão em circuito aberto ($A_{v0,k}$), excitados por uma fonte com resistência interna $R_s$ e alimentando uma carga $R_L$:

flowchart LR
    VS["Fonte v_s\n(R_s)"] -->|Divisor Entrada| A1["Estágio 1\n(R_in1, A_v01, R_out1)"]
    A1 -->|Divisor 1-2| A2["Estágio 2\n(R_in2, A_v02, R_out2)"]
    A2 -->|Divisor 2-3| A3["Estágio n\n(R_inn, A_v0n, R_outn)"]
    A3 -->|Divisor Saída| RL["Carga R_L\n(v_out)"]

Na conexão real entre o estágio $k$ e o estágio $k+1$, a resistência de entrada $R_{\text{in},k+1}$ carrega a resistência de saída $R_{\text{out},k}$, formando um divisor resistivo de tensão que atenua o sinal transferido. O ganho de tensão global carregado ($v_{\text{out}}/v_s$) e o ganho em circuito aberto equivalente ($A_{v0,\text{eq}}$) são dados por:

$\boxed{A_{v0,\text{eq}}={\frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}|}_{R_L\to \infty }=A_{v0,1}\cdot \left(\frac{R_{\text{in},2}}{R_{\text{in},2}+R_{\text{out},1}}\right)\cdot A_{v0,2}\cdots \left(\frac{R_{\text{in},n}}{R_{\text{in},n}+R_{\text{out},n-1}}\right)\cdot A_{v0,n}}$

$\boxed{A_{v,\text{global}}=\frac{v_{\text{out}}}{v_s}=\left(\frac{R_{\text{in},1}}{R_{\text{in},1}+R_s}\right)\cdot A_{v0,\text{eq}}\cdot \left(\frac{R_L}{R_L+R_{\text{out},n}}\right)}$

Onde a impedância de entrada global (sem realimentação entre estágios) é $\boxed{R_{\text{in,eq}}=R_{\text{in},1}}$ e a impedância de saída global é $\boxed{R_{\text{out,eq}}=R_{\text{out},n}}$.

Regra de Projeto para Cascateamento Ótimo (Lista 1 TE329)

• Bom Amplificador de Tensão ($R_{\text{in}}\to \infty ,R_{\text{out}}\to 0$): Estágio de entrada em Fonte Comum (FC) (garante $R_{\text{in}}=\infty$ e alto ganho de tensão) seguido por estágio de saída em Seguidor de Fonte / Dreno Comum (DC) (garante $R_{\text{out}}\approx 1/g_m$ baixo sem carregar o estágio anterior).
• Bom Amplificador de Corrente ($R_{\text{in}}\to 0,R_{\text{out}}\to \infty$): Estágio de entrada em Porta Comum (PC) ($R_{\text{in}}\approx 1/g_{m1}$ baixo) seguido por espelho de corrente ou estágio com alta impedância de dreno.
• Bom Amplificador de Transcondutância ($R_{\text{in}}\to \infty ,R_{\text{out}}\to \infty$): Estágio Cascode (entrada na porta de $M_1$ com $R_{\text{in}}=\infty$ e saída no dreno de $M_2$ com $R_{\text{out}}\approx g_{m2}{r}_{o2}{r}_{o1}$ altíssimo).

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1.3 A Configuração Cascode (Fonte Comum + Porta Comum Empilhados)

Para elevar drasticamente o ganho de tensão de um amplificador integrado CMOS sem precisar cascatear múltiplos estágios de fonte comum (o que introduziria múltiplos polos de baixa frequência e degradaria a estabilidade), emprega-se a topologia Cascode, que empilha em série um transistor de entrada em Fonte Comum ($M_1$) com um transistor cascode em Porta Comum ($M_2$, polarizado por $V_b$ fixo).

1. Transcondutância Equivalente ($G_m$): O transistor $M_1$ converte a tensão de entrada $v_{\text{in}}$ em uma corrente de dreno incremental $i_{d1}=g_{m1}{v}_{\text{in}}$. O transistor $M_2$ (em porta comum) apresenta baixa impedância de entrada vista de sua fonte ($R_{\text{in},2}\approx 1/g_{m2}$) e transfere integralmente essa corrente para o nó de saída: $\boxed{G_m\approx g_{m1}}$

2. Multiplicação da Resistência de Saída ($R_{\text{out}}$): Visto do dreno do transistor superior $M_2$, o transistor inferior $M_1$ atua como um resistor de degeneração de fonte de valor $R_S=r_{o1}$. Pela fórmula exata da resistência de saída de um estágio com degeneração de fonte:

$\boxed{R_{\text{out}}=(1+g_{m2}{r}_{o2})r_{o1}+r_{o2}=r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}{r}_{o2}{r}_{o1}\approx (g_{m2}{r}_{o2})\cdot r_{o1}}$

Significado Físico do Cascode

O transistor de Porta Comum $M_2$ multiplica a resistência de saída $r_{o1}$ do transistor de entrada pelo seu próprio ganho intrínseco ($g_{m2}{r}_{o2}$)! Consequentemente, o ganho de tensão em malha aberta de um único ramo Cascode com carga ideal (ou carga cascode PMOS) eleva-se de forma quadrática com o ganho intrínseco dos transistores: $\boxed{A_{v0}=-G_m{R}_{\text{out}}=-g_{m1}\left[(1+g_{m2}{r}_{o2})r_{o1}+r_{o2}\right]\approx -(g_{m1}{r}_{o1})(g_{m2}{r}_{o2})}$

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1.4 Espelhos de Corrente MOS e BJT para Polarização e Cargas Ativas

Em circuitos integrados, fontes de corrente independentes não existem nativamente: gera-se uma única corrente de referência precisa ($I_{\text{REF}}$) e utilizam-se Espelhos de Corrente (Current Mirrors) para copiá-la e escaloná-la por todo o chip:

• Transistor de Referência ($M_{\text{REF}}$ ou $M_1$): Tem sua porta conectada diretamente ao próprio dreno ($V_{DS1}=V_{GS1}$), garantindo operação perpétua na região de saturação desde que $V_{GS1}>V_{th}$: $I_{\text{REF}}=\frac{1}{2}{\mu }_n{C}_{\text{ox}}{\left(\frac{W}{L}\right)}_1(V_{GS1}-V_{th}{)}^2$
• Transistor Espelho de Saída ($M_{\text{copy}}$ ou $M_2$): Compartilha exatamente a mesma tensão $V_{GS2}=V_{GS1}$. Desprezando a modulação de canal ($\lambda \to 0$), a razão entre a corrente copiada e a corrente de referência depende exclusivamente da razão geométrica das dimensões litográficas dos transistores:

$\boxed{I_{\text{copy}}=I_{\text{REF}}\cdot \frac{(W/L{)}_2}{(W/L{)}_1}}$

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2. Amplificadores Diferenciais (Par Diferencial BJT e MOSFET)

O Par Diferencial (inventado na forma a válvula por Alan Blumlein e base de todos os CIs analógicos modernos) amplifica seletivamente a diferença entre dois sinais de entrada ($v_{id}=v_{\text{in}1}-v_{\text{in}2}$), enquanto rejeita perturbações e variações térmicas ou eletromagnéticas que incidam igualmente sobre ambos os terminais (Modo Comum, $v_{icm}=\frac{v_{\text{in}1}+v_{\text{in}2}}{2}$).

2.1 Operação em Modo Diferencial e o Conceito de Meio-Circuito

Considere um par diferencial simétrico formado por dois transistores NMOS idênticos ($M_1,M_2$), carregados por resistores de dreno idênticos ($R_D$) e polarizados no nó comum de fonte ($P$) por uma fonte de corrente constante de cauda $I_{SS}$:

1. Equilíbrio Quiescente ($V_{\text{in}1}=V_{\text{in}2}=V_{CM}$): Por simetria perfeita, a corrente de cauda divide-se exatamente ao meio: $\boxed{I_{D1}=I_{D2}=\frac{I_{SS}}{2},V_X=V_Y=V_{DD}-R_D\frac{I_{SS}}{2}⟹V_{\text{out,dif}}=V_X-V_Y=0\text{ V}}$
2. Excitação Diferencial Pura de Pequenos Sinais ($v_{\text{in}1}=+\frac{v_{id}}{2}$ e $v_{\text{in}2}=-\frac{v_{id}}{2}$): Quando $v_{\text{in}1}$ sobe de $+\Delta v$ e $v_{\text{in}2}$ desce exatamente de $-\Delta v$, a corrente incremental que aumenta em $M_1$ ($+i_d$) é exatamente igual à corrente que diminui em $M_2$ ($-i_d$). Consequentemente, o potencial do nó comum das fontes ($v_P$) não sofre nenhuma variação ($\Delta v_P=0$), comportando-se como uma Terra Virtual de Corrente Alternada!
3. Teorema do Meio-Circuito Diferencial (Differential Half-Circuit): Aterrando o nó comum de fonte $P$, o par diferencial desacopla-se em dois estágios Fonte Comum (ou Emissor Comum) independentes:
   • $v_x=-g_m(R_D\parallel r_o)v_{\text{in}1}=-g_m(R_D\parallel r_o)\left(+\frac{v_{id}}{2}\right)$;
   • $v_y=-g_m(R_D\parallel r_o)v_{\text{in}2}=-g_m(R_D\parallel r_o)\left(-\frac{v_{id}}{2}\right)$. Tomando a saída de forma diferencial ($v_{\text{out,d}}=v_y-v_x$ ou $v_x-v_y$), obtém-se o Ganho Diferencial:

$\boxed{|A_d|=\left|\frac{v_{\text{out,d}}}{v_{\text{in}1}-v_{\text{in}2}}\right|=g_m(R_D\parallel r_o)}$

Caso a saída seja tomada em um único dreno em relação ao terra (single-ended, sem carga ativa em espelho), perde-se metade do ganho: $|A_{d,\text{SE}}|=\frac{1}{2}{g}_m(R_D\parallel r_o)$.

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2.2 Operação em Modo Comum, Influência de $R_{SS}$ e Cálculo do CMRR

Na prática, a fonte de corrente de cauda $I_{SS}$ (implementada por um transistor $M_5$) apresenta uma resistência de saída finita $R_{SS}$ (ou $R_{EE}$). Quando se aplica um sinal de modo comum $v_{\text{in}1}=v_{\text{in}2}=v_{icm}$:

1. Meio-Circuito de Modo Comum: A resistência $R_{SS}$ pode ser desmembrada em duas resistências de valor $2R_{SS}$ em paralelo, cada uma conectada à fonte de um transistor do par. Cada meio-circuito opera como um amplificador Fonte Comum com degeneração de fonte $2R_{SS}$, apresentando ganho em cada dreno (desprezando $r_o$):

$\boxed{A_{cm,\text{SE}}=\frac{v_x}{v_{icm}}=\frac{v_y}{v_{icm}}=-\frac{g_m{R}_D}{1+2g_m{R}_{SS}}\approx -\frac{R_D}{2R_{SS}}(\text{para }2g_m{R}_{SS}\gg 1)}$

2. Rejeição de Modo Comum ($CMRR$):
   • Para saída single-ended, a Razão de Rejeição de Modo Comum vale: $\boxed{CMR{R}_{\text{SE}}=\left|\frac{A_{d,\text{SE}}}{A_{cm,\text{SE}}}\right|=\frac{\frac{1}{2}{g}_m{R}_D}{\frac{g_m{R}_D}{1+2g_m{R}_{SS}}}=\frac{1+2g_m{R}_{SS}}{2}\approx g_m{R}_{SS}}$
   • Para saída diferencial tomada entre os dois drenos ($v_x-v_y$), se o circuito for perfeitamente simétrico, $A_{cm,\text{dif}}=0$ e $CMRR\to \infty$! Contudo, se houver um descasamento de fabricação $\Delta R_D$ entre os resistores de dreno ($R_{D1}=R_D$ e $R_{D2}=R_D+\Delta R_D$), surge uma conversão de modo comum para diferencial: $\boxed{A_{cm,\text{dif}}\approx -\frac{\Delta R_D}{2R_{SS}}⟹CMR{R}_{\text{dif}}=\left|\frac{A_d}{A_{cm,\text{dif}}}\right|\approx \left(2g_m{R}_{SS}\right)\left(\frac{R_D}{\Delta R_D}\right)}$

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2.3 Par Diferencial com Carga Ativa em Espelho de Corrente

Para converter o sinal diferencial em uma saída de terminal único (single-ended) mantendo 100% do ganho diferencial e alcançando altíssima resistência de carga sem usar resistores físicos grandes, substitui-se o par de resistores $R_D$ por um Espelho de Corrente Ativo PMOS ($M_3,M_4$):

• O transistor $M_1$ injeta a corrente incremental $i_{d1}=+\frac{1}{2}{g}_{m1}{v}_{id}$ no transistor conectado em diodo $M_3$;
• O espelho PMOS copia essa corrente em $M_4$, que a injeta no nó de saída, somando-se construtivamente à corrente drenada por $M_2$ ($i_{d2}=-\frac{1}{2}{g}_{m2}{v}_{id}$), produzindo uma corrente de curto-circuito total $i_{\text{out}}=i_{d1}-i_{d2}=g_{m1}{v}_{id}$;
• A resistência de saída vista no dreno comum de $M_2$ e $M_4$ é o paralelo entre a resistência do NMOS ($r_{o2}=r_{oN}$) e do PMOS ($r_{o4}=r_{oP}$):

$\boxed{R_{\text{in}}=\infty ,R_{\text{out}}=r_{o2}\parallel r_{o4}=r_{oN}\parallel r_{oP},A_{v0}=\frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}1}-v_{\text{in}2}}=g_{m1}(r_{o2}\parallel r_{o4})}$

Atenção ao Sinal do Ganho na Carga Ativa (Lista 1 TE329 - Questão 7c vs 7d)

O sinal algébrico de $v_{\text{out}}/(v_{\text{in}1}-v_{\text{in}2})$ depende de qual ramo do espelho está conectado em diodo e onde é colhida a saída:

• Se a saída $v_{\text{out}}$ é colhida no dreno de $M_2$ (entrada $v_{\text{in}2}$) enquanto o espelho é comandado pelo lado de $M_1$ ($v_{\text{in}1}$), um aumento em $v_{\text{in}1}$ aumenta a corrente empurrada para fora por $M_4$, elevando $v_{\text{out}}$ ($⟹A_v=+g_m(r_{oN}\parallel r_{oP})>0$);
• Se o espelho ativo for substituído por duas fontes de corrente fixas polarizadas por $V_{b1},V_{b2}$ (sem espelhamento dinâmico do sinal de $M_1$), perde-se a contribuição do lado 1, reduzindo o ganho exatamente pela metade: $|A_v|=\frac{1}{2}{g}_m(r_{oN}\parallel r_{oP})$!

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3. Resposta em Frequência de Amplificadores e o Teorema de Miller

O ganho de qualquer amplificador permanece aproximadamente constante apenas dentro de uma faixa intermediária denominada Banda Passante (Midband, entre $f_L$ e $f_H$). Fora dessa região, elementos reativos reduzem o ganho:

$\boxed{BW=f_H-f_L\approx f_H(\text{quando }{f}_H\gg f_L)}$

3.1 Diagramas de Bode, Polos, Zeros e Resposta em Baixa Frequência (${\omega }_L$)

Dada uma função de transferência fatorada em polos ($p_i$) e zeros ($z_k$): $H(s)=A_0\frac{(1+s/z_1)(1+s/z_2)\cdots }{(1+s/p_1)(1+s/p_2)\cdots }$

As regras assintóticas para construção do Diagrama de Bode de Magnitude ($|H{|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}|H(j\omega )|$) são:

1. Cada zero real em $\omega =z_k$ adiciona uma inclinação assintótica de $+20\text{ dB/deˊcada}$ a partir de $z_k$ (e $+3\text{ dB}$ na frequência exata do zero; um zero na origem $s$ implica inclinação inicial de $+20\text{ dB/deˊcada}$ e ganho nulo em $\omega =0$);
2. Cada polo real em $\omega =p_i$ adiciona uma inclinação assintótica de $-20\text{ dB/deˊcada}$ a partir de $p_i$ (e $-3,01\text{ dB}$ na frequência de corte exata do polo).

Em baixas frequências, a queda de ganho deve-se aos capacitores externos de acoplamento CA ($C_{C1},C_{C2}$, que bloqueiam CC) e ao capacitor de desvio (bypass) de fonte/emissor ($C_S,C_E$). Pelo Método das Constantes de Tempo de Circuito Aberto, a frequência de corte inferior ${\omega }_L$ é estimada zerando as fontes independentes e calculando a resistência de Thévenin $R_{\text{th},i}$ vista por cada capacitor $C_i$ (mantendo os demais capacitores de baixa frequência em curto-circuito):

$\boxed{{\omega }_L\approx \sum _{i=1}^m\frac{1}{{\tau }_{i,\text{OC}}}=\sum _{i=1}^m\frac{1}{R_{\text{th},i}{C}_i}}$

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Resposta em Frequência, Diagramas de Bode e Lugar Geométrico dos Polos

Explore visualmente a relação entre a localização dos polos e zeros no semiplano esquerdo do plano complexo $s=\sigma +j\omega$, o fator de qualidade $Q$, a inclinação assintótica de $-20n\text{ dB/deˊcada}$ e as curvas de Magnitude e Fase de Bode com cursor de frequência interativo: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_filtros_ativos_butterworth_chebyshev_bode.html]])

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3.2 O Teorema de Miller e a Multiplicação Capacitiva

Em amplificadores inversores (como o estágio Fonte Comum ou Emissor Comum), existe uma impedância de realimentação flutuante $Z_F$ (tipicamente a capacitância porta-dreno $C_{gd}$ ou base-coletor $C_{\mu }$) conectada diretamente entre o nó de entrada ($v_1$) e o nó de saída ($v_2=A_v{v}_1$, onde $A_v=-|A_v|<0$).

flowchart LR
    subgraph Original["Circuito Original com Impedância Flutuante Z_F"]
        N1["Nó 1 (v_1)"] ---|Z_F / Capacitor C_F| N2["Nó 2 (v_2 = A_v · v_1)"]
    end
    subgraph Equivalente["Decomposição Equivalente de Miller (Nó 1 e Nó 2 Desacoplados)"]
        M1["Nó 1 para Terra:\nZ_1 = Z_F / (1 - A_v)\nC_in,M = C_F · (1 + |A_v|)"]
        M2["Nó 2 para Terra:\nZ_2 = Z_F / (1 - 1/A_v)\nC_out,M = C_F · (1 + 1/|A_v|)"]
    end
    Original ==> Equivalente

A corrente que flui do nó 1 para o nó 2 através de $Z_F$ é: $I_1=\frac{v_1-v_2}{Z_F}=\frac{v_1-A_v{v}_1}{Z_F}=\frac{v_1(1-A_v)}{Z_F}=\frac{v_1}{Z_F/(1-A_v)}$

De modo análogo, a corrente que sai do nó 2 em direção ao nó 1 é $I_2=-I_1=\frac{v_2-v_1}{Z_F}=\frac{v_2(1-1/A_v)}{Z_F}$. O Teorema de Miller estabelece que a impedância flutuante $Z_F$ pode ser rigorosamente substituída por duas impedâncias aterradas equivalentes:

$\boxed{Z_1=\frac{Z_F}{1-A_v}\text{(na Entrada)},Z_2=\frac{Z_F}{1-\frac{1}{A_v}}\text{(na Saıˊda)}}$

Quando o elemento flutuante é um capacitor $C_F$ ($Z_F=\frac{1}{s{C}_F}$) conectado sobre um estágio inversor de ganho $A_v=-|A_0|$, as Capacitâncias Equivalentes de Miller na entrada e na saída tornam-se:

$\boxed{C_{\text{in,M}}=C_F(1-A_v)=C_F(1+|A_0|),C_{\text{out,M}}=C_F\left(1-\frac{1}{A_v}\right)=C_F\left(1+\frac{1}{|A_0|}\right)}$

Consequência Crítica do Efeito Miller

Um pequeno capacitor parasita porta-dreno $C_{gd}=10\text{ fF}$ conectado sobre um amplificador Fonte Comum com ganho $A_v=-100\text{ V/V}$ é enxergado pela fonte de sinal de entrada multiplicado por $101$ vezes ($C_{\text{in,M}}=1,01\text{ pF}$), criando um polo dominante de baixa frequência quando associado a fontes de sinal de alta resistência $R_{\text{sig}}$!

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3.3 Modelo de Alta Frequência do MOSFET/TBJ, Polo Dominante (${\omega }_H$) e Frequência de Transição ($f_T$)

Em altas frequências, o modelo de pequenos sinais do MOSFET incorpora quatro capacitâncias intrínsecas fundamentais (que escalam com a largura $W$ ou comprimento $L$ do dispositivo, $C=C^{\prime }\cdot L$):

1. $C_{GS}$ (Porta-Fonte): Capacitância do óxido do canal em saturação ($\approx \frac{2}{3}WL{C}_{\text{ox}}+C_{\text{ov}}$);
2. $C_{GD}$ (Porta-Dreno): Capacitância de superposição (overlap) flutuante entre entrada e saída (sujeita ao efeito Miller);
3. $C_{DB}$ (Dreno-Substrato/Bulk) e $C_{SB}$ (Fonte-Substrato): Capacitâncias de depleção das junções reversas.

Para um estágio Fonte Comum (com fonte aterrada no substrato, onde $C_{SB}$ é curto-circuitado), excitado por uma fonte com resistência $R_{\text{sig}}$ e carregado no dreno por $R_L^{\prime }=R_D\parallel r_o\parallel R_L$ (ganho em banda média $A_0=-g_m{R}_L^{\prime }$):

• Capacitância Total de Entrada ($C_{\text{in}}$) e Polo de Entrada (${\omega }_{p,\text{in}}$): $\boxed{C_{\text{in}}=C_{GS}+C_{GD}(1+g_m{R}_L^{\prime })⟹f_{p,\text{in}}=\frac{1}{2\pi R_{\text{sig}}\left[C_{GS}+C_{GD}(1+g_m{R}_L^{\prime })\right]}}$
• Capacitância Total de Saída ($C_{\text{out}}$) e Polo de Saída (${\omega }_{p,\text{out}}$): $\boxed{C_{\text{out}}=C_{DB}+C_{GD}\left(1+\frac{1}{g_m{R}_L^{\prime }}\right)⟹f_{p,\text{out}}=\frac{1}{2\pi R_L^{\prime }\left[C_{DB}+C_{GD}\left(1+\frac{1}{g_m{R}_L^{\prime }}\right)\right]}}$

O Polo Dominante de Alta Frequência ($f_H$) é definido pela menor dessas frequências (maior constante de tempo $\tau =RC$), ou estimado globalmente pelo Método das Constantes de Tempo de Curto-Circuito:

$\boxed{{\omega }_H\approx \frac{1}{{\sum }_i{\tau }_{i,\text{SC}}}=\frac{1}{{\sum }_i{R}_{i0}{C}_i}}$

A figura de mérito intrínseca de velocidade de um transistor é a sua Frequência de Transição ($f_T$), definida como a frequência na qual o ganho de corrente de curto-circuito no dreno/coletor cai para a unidade ($|i_{\text{out}}/i_{\text{in}}|=1$, ou $0\text{ dB}$):

$\boxed{f_T=\frac{g_m}{2\pi (C_{GS}+C_{GD})}(\text{MOSFET}),f_T=\frac{g_m}{2\pi (C_{\pi }+C_{\mu })}(\text{TBJ})}$

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4. Teoria Geral da Realimentação Negativa e as Quatro Topologias Clássicas

A Realimentação Negativa (Negative Feedback), concebida por Harold Stephen Black em 1927 nos laboratórios Bell, consiste em amostrar uma fração precisa do sinal de saída ($Y$) através de uma rede passiva estável ($\beta$ ou $K$) e subtraí-la do sinal de entrada ($X$), gerando o sinal de erro $X_e=X-X_F$ que excita o amplificador básico de malha direta ($A$ ou $A_0$).

4.1 Equação Fundamental de Malha Fechada e Propriedades do Fator $(1+A\beta )$

Equacionando o sistema realimentado ($X_F=\beta Y$, $X_e=X-\beta Y$ e $Y=A{X}_e$):

$Y=A(X-\beta Y)⟹Y(1+A\beta )=AX$

$\boxed{A_f(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{A(s)}{1+A(s)\beta (s)}\stackrel{A\beta \gg 1}{\to }\frac{1}{\beta (s)}}$

E o Sinal de Erro na saída do comparador é reduzido pelo mesmo fator: $\boxed{X_e=\frac{X}{1+A\beta }}$

Onde:

• $\boxed{T=A\beta =K{A}_0}$ é o Ganho de Malha (Loop Gain);
• $\boxed{D=1+A\beta =1+K{A}_0}$ é o Fator de Dessensibilidade (ou Quantidade de Realimentação).

Ao sacrificar o ganho bruto de malha aberta pelo fator $(1+A\beta )$, conquistam-se quatro propriedades de engenharia extraordinárias:

1. Dessensibilização do Ganho frente a Variações de Processo, Tensão e Temperatura: Diferenciando $A_f=\frac{A}{1+A\beta }$ em relação a $A$ (assumindo $\beta$ constante definido por resistores de precisão): $\frac{d{A}_f}{dA}=\frac{(1+A\beta )-A\beta }{(1+A\beta {)}^2}=\frac{1}{(1+A\beta {)}^2}⟹\boxed{\frac{\Delta A_f/A_f}{\Delta A/A}=\frac{1}{1+A\beta }}$ Uma variação de $20\%$ em ${\mu }_n{C}_{\text{ox}}$ ou $g_m$ do transistor é reduzida por $(1+A\beta )$ vezes no ganho de malha fechada!
2. Extensão da Largura de Banda e Conservação do Produto Ganho-Banda: Considerando um amplificador de malha aberta de um polo $A(s)=\frac{A_0}{1+s/{\omega }_0}$: $A_{\text{CL}}(s)=\frac{\frac{A_0}{1+s/{\omega }_0}}{1+\beta \frac{A_0}{1+s/{\omega }_0}}=\frac{\frac{A_0}{1+\beta A_0}}{1+\frac{s}{{\omega }_0(1+\beta A_0)}}$ O ganho em baixa frequência cai para $A_{f0}=\frac{A_0}{1+\beta A_0}$, mas a frequência de corte superior (${\omega }_{Hf}$ ou polo de malha fechada) multiplica-se pelo fator de dessensibilidade: $\boxed{{\omega }_{Hf}={\omega }_0(1+\beta A_0)⟹A_{f0}\cdot {\omega }_{Hf}=A_0\cdot {\omega }_0=GBW=\text{constante}}$
3. Melhoria da Linearidade e Redução de Distorção Harmônica (THD): A excursão do sinal de erro $X_e=X/(1+A\beta )$ aplicada à entrada não-linear dos transistores torna-se muito pequena, mantendo a inclinação do ganho constante ao longo de toda a faixa operacional e reduzindo a distorção harmônica por $(1+A\beta )$.
4. Controle Preciso das Impedâncias de Entrada e Saída ($R_{\text{in},f}$ e $R_{\text{out},f}$): Dependendo de como a rede de realimentação é conectada em série ou em paralelo nas portas de entrada e saída.

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4.2 As 4 Topologias de Realimentação: Mecanismos de Amostragem e Retorno

A classificação universal da realimentação negativa baseia-se em duas perguntas físicas:

1. O que é amostrado (lido) na saída?
   • Amostragem de Tensão (Conexão em Paralelo / Shunt na saída): Como um voltímetro, o circuito de realimentação conecta-se em paralelo com a saída (idealmente com $R_{\text{in},\beta }\to \infty$ para não carregar a saída) e estabiliza a tensão de saída, portanto reduz a resistência de saída por $(1+A\beta )$;
   • Amostragem de Corrente (Conexão em Série na saída): Como um amperímetro, o circuito de realimentação conecta-se em série com a corrente de saída (idealmente com $R_{\text{in},\beta }\to 0$) e estabiliza a corrente de saída, portanto eleva a resistência de saída por $(1+A\beta )$.
2. Como o sinal é retornado (subtraído) na entrada?
   • Retorno de Tensão (Mistura em Série na entrada): Para somar/subtrair tensões ($v_e=v_{\text{in}}-v_F$, ex.: entrada na porta de $M_1$ e retorno na fonte de $M_1$, ou nas duas portas de um par diferencial), conecta-se em série (idealmente com $R_{\text{out},\beta }\to 0$). Isso reduz a corrente drenada da fonte de entrada e eleva a resistência de entrada por $(1+A\beta )$;
   • Retorno de Corrente (Mistura em Paralelo / Nó na entrada): Para somar/subtrair correntes pela LKC ($i_e=i_{\text{in}}-i_F$ em um mesmo nó), conecta-se em paralelo (idealmente com $R_{\text{out},\beta }\to \infty$). Isso drena o sinal para o nó virtual e reduz a resistência de entrada por $(1+A\beta )$.

Topologia Clássica (Nomenclatura UFPR / Razavi)	Nomenclatura Entrada-Saída (Sedra)	Amplificador de Malha Direta ($A$)	Fator $\beta$ ($X_F/Y$)	Ganho de Malha Fechada ($A_f$)	Impedância de Entrada ($R_{\text{in},f}$)	Impedância de Saída ($R_{\text{out},f}$)
1. Tensão-Tensão (Tensão-Série)	Série-Paralelo (Series-Shunt)	Tensão ($A_v$, $\text{V/V}$)	$\frac{v_F}{v_{\text{out}}}$ ($\text{V/V}$)	$A_{vf}=\frac{A_v}{1+A_v\beta }$	$\boxed{R_{\text{in}}(1+A_v\beta )}$	$\boxed{\frac{R_{\text{out}}}{1+A_v\beta }}$
2. Corrente-Tensão (Corrente-Série)	Série-Série (Series-Series)	Transcondutância ($G_m$, $\text{A/V}$)	$\frac{v_F}{i_{\text{out}}}$ ($\Omega$)	$G_{mf}=\frac{G_m}{1+G_m\beta }$	$\boxed{R_{\text{in}}(1+G_m\beta )}$	$\boxed{R_{\text{out}}(1+G_m\beta )}$
3. Tensão-Corrente (Tensão-Paralelo)	Paralelo-Paralelo (Shunt-Shunt)	Transresistência ($R_m$, $\Omega$)	$\frac{i_F}{v_{\text{out}}}$ ($\text{S}$)	$R_{mf}=\frac{R_m}{1+R_m\beta }$	$\boxed{\frac{R_{\text{in}}}{1+R_m\beta }}$	$\boxed{\frac{R_{\text{out}}}{1+R_m\beta }}$
4. Corrente-Corrente (Corrente-Paralelo)	Paralelo-Série (Shunt-Series)	Corrente ($A_i$, $\text{A/A}$)	$\frac{i_F}{i_{\text{out}}}$ ($\text{A/A}$)	$A_{if}=\frac{A_i}{1+A_i\beta }$	$\boxed{\frac{R_{\text{in}}}{1+A_i\beta }}$	$\boxed{R_{\text{out}}(1+A_i\beta )}$

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4.3 Dedução Analítica de Ganho e Impedâncias em Malha Fechada (Tensão-Série e Circuito MOS)

Para demonstrar rigorosamente o efeito da realimentação Tensão-Tensão (Série-Paralelo), considere o amplificador de tensão com resistência de entrada $R_{\text{in}}$, ganho $A_0$ e resistência de saída $R_{\text{out}}$, realimentado por $v_F=K{v}_{\text{out}}$:

1. Dedução de $R_{\text{in},f}$ (Saída em aberto): A tensão sobre $R_{\text{in}}$ é $v_1=i_{\text{in}}{R}_{\text{in}}$, que gera na saída $v_{\text{out}}=A_0{v}_1=A_0{i}_{\text{in}}{R}_{\text{in}}$. Pela LKT na malha de entrada: $v_{\text{in}}=v_1+v_F=i_{\text{in}}{R}_{\text{in}}+K{A}_0{i}_{\text{in}}{R}_{\text{in}}=i_{\text{in}}{R}_{\text{in}}(1+K{A}_0)⟹\boxed{R_{\text{in},f}=\frac{v_{\text{in}}}{i_{\text{in}}}=R_{\text{in}}(1+K{A}_0)}$

2. Dedução de $R_{\text{out},f}$ (Entrada $v_{\text{in}}=0$ em curto-circuito): Aplicando uma fonte de teste $v_x$ na saída, o sinal realimentado é $v_F=K{v}_x$, logo o erro na entrada vale $v_1=0-v_F=-K{v}_x$. A fonte interna controlada gera $-K{A}_0{v}_x$. A corrente $i_x$ que entra pelo terminal de saída através de $R_{\text{out}}$ é: $i_x=\frac{v_x-(-K{A}_0{v}_x)}{R_{\text{out}}}=\frac{v_x(1+K{A}_0)}{R_{\text{out}}}⟹\boxed{R_{\text{out},f}=\frac{v_x}{i_x}=\frac{R_{\text{out}}}{1+K{A}_0}}$

3. Aplicação ao Estágio MOS Diferencial/Fonte Comum com Divisor Resistivo ($R_1,R_2$): Conforme analisado na Aula 06 da UFPR, considere um estágio amplificador MOS com ganho de malha aberta $A_0=g_{mN}(r_{oN}\parallel r_{oP})$, resistência de saída em malha aberta $R_{\text{out}}=r_{oN}\parallel r_{oP}$ e divisor resistivo de realimentação $K=\frac{R_2}{R_1+R_2}$ (assumindo $R_1+R_2\gg r_{oN}\parallel r_{oP}$):

   • Ganho em Malha Fechada ($A_{MF}$): $\boxed{A_{MF}=\frac{g_{mN}(r_{oN}\parallel r_{oP})}{1+\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)g_{mN}(r_{oN}\parallel r_{oP})}\stackrel{K{A}_0\gg 1}{\to }\frac{1}{K}=1+\frac{R_1}{R_2}}$
   • Impedância de Saída em Malha Fechada ($R_{\text{out},f}$): $\boxed{R_{\text{out},f}=\frac{r_{oN}\parallel r_{oP}}{1+\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)g_{mN}(r_{oN}\parallel r_{oP})}\stackrel{K{A}_0\gg 1}{\to }\frac{1}{K{g}_{mN}}=\left(1+\frac{R_1}{R_2}\right)\frac{1}{g_{mN}}}$

   Conclusão Fundamental de Microeletrônica

   Quando o ganho de laço é grande ($K{A}_0\gg 1$), a impedância de saída em malha fechada torna-se totalmente independente de $r_{oN}\parallel r_{oP}$ (parâmetros altamente variáveis com processo, tensão e temperatura), sendo reduzida a um múltiplo preciso de $1/g_{mN}$ controlado por resistores de projeto $R_1$ e $R_2$!

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4.4 Estabilidade de Amplificadores Realimentados: Margem de Ganho ($GM$) e Margem de Fase ($PM$)

Em frequências elevadas, os polos internos de $A(j\omega )$ introduzem defasagem negativa na função de transferência de laço $T(j\omega )=A(j\omega )\beta (j\omega )$. Se em alguma frequência ${\omega }_{180}$ a fase de $T(j{\omega }_{180})$ atingir $-180^{\circ }$, a subtração na entrada inverte de sinal e a realimentação negativa transforma-se em realimentação positiva!

Pelo Critério de Estabilidade de Nyquist/Bode, para que o amplificador em malha fechada seja estável e apresente resposta transitória bem-comportada, definem-se duas métricas de segurança nos diagramas de Bode de $T(j\omega )=A(j\omega )\beta (j\omega )$:

1. Frequência de Cruzamento de Ganho (${\omega }_{0\text{dB}}$ ou ${\omega }_t$) e Margem de Fase ($PM$): É a frequência na qual o módulo do ganho de laço cai para a unidade ($|T(j{\omega }_{0\text{dB}})|=1=0\text{ dB}$). A Margem de Fase (Phase Margin, $PM$) mede quantos graus faltam para a fase atingir $-180^{\circ }$ nessa frequência: $\boxed{PM=180^{\circ }+\angle T(j{\omega }_{0\text{dB}})}$

   • Para estabilidade estrita: $PM>0^{\circ }$;
   • Critério Prático de Projeto Industrial: Exige-se $\boxed{PM\ge 45^{\circ }\text{ a }60^{\circ }}$ (com $PM=45^{\circ }$ a resposta ao degrau apresenta sobre-sinal de $\approx 23\%$, enquanto com $PM\ge 60^{\circ }$ o sobre-sinal cai para menos de $9\%$ com amortecimento ótimo $\zeta \ge 0,6$).

2. Frequência de Cruzamento de Fase (${\omega }_{180}$) e Margem de Ganho ($GM$): É a frequência na qual a fase do ganho de laço cruza exatamente $\angle T(j{\omega }_{180})=-180^{\circ }$. A Margem de Ganho (Gain Margin, $GM$) mede quantos decibéis o ganho de laço está abaixo de $0\text{ dB}$ nessa frequência: $\boxed{G{M}_{\text{dB}}=-20{\log }_{10}|T(j{\omega }_{180})|>0\text{ dB}(\text{tipicamente }GM\ge 6\text{ a }10\text{ dB})}$

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5. Diagrama Arquitetural Consolidado

O diagrama técnico vetorial a seguir sintetiza a análise de múltiplos estágios e amplificador Cascode, o par diferencial com carga ativa em espelho de corrente, o Teorema de Miller em altas frequências e o quadro completo das 4 topologias clássicas de realimentação negativa e estabilidade:

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6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia

Exercício Resolvido 1 — Amplificador de Três Estágios em Cascata e Cascode (UFPR — TE329 Lista 1 Questões 3a e 5c)

Enunciado: Parte A: Considere um amplificador de tensão composto por três estágios acoplados diretamente em cascata ($A_1\to A_2\to A_3$), cujos parâmetros individuais medidos isoladamente são:

• Estágio 1 ($A_1$): $R_{\text{in}1}=1\text{ k}\Omega$, $R_{\text{out}1}=10\text{ k}\Omega$, $A_{v0,1}=-10\text{ V/V}$;
• Estágio 2 ($A_2$): $R_{\text{in}2}=100\text{ k}\Omega$, $R_{\text{out}2}=1\text{ k}\Omega$, $A_{v0,2}=+20\text{ V/V}$;
• Estágio 3 ($A_3$): $R_{\text{in}3}=10\text{ k}\Omega$, $R_{\text{out}3}=100\Omega$, $A_{v0,3}=+0,8\text{ V/V}$.

Parte B: Considere um estágio amplificador Cascode NMOS ($M_1$ na entrada em fonte comum e $M_2$ empilhado em porta comum) com carga ideal de fonte de corrente. Sabe-se que ambos os transistores possuem transcondutância $g_{m1}=g_{m2}=1\text{ mS}$ e resistência dreno-fonte $r_{o1}=r_{o2}=2\text{ k}\Omega$.

Determine: (a) Os parâmetros equivalentes globais ($R_{\text{in}}$, $R_{\text{out}}$ e $A_{v0}$) do amplificador de três estágios da Parte A; (b) A resistência de saída $R_{\text{out}}$ e o ganho de tensão em aberto $A_{v0}$ do estágio Cascode da Parte B.

Solução Passo a Passo:

1. Parte A — Amplificador de 3 Estágios em Cascata:
   • Resistência de entrada equivalente: Vista nos terminais de entrada do 1º estágio: $R_{\text{in}}=R_{\text{in}1}=1\text{ k}\Omega$
   • Resistência de saída equivalente: Vista nos terminais de saída do 3º estágio: $R_{\text{out}}=R_{\text{out}3}=100\Omega$
   • Cálculo das atenuações por divisão de tensão entre estágios: Entre os estágios 1 e 2: ${\alpha }_{12}=\frac{R_{\text{in}2}}{R_{\text{in}2}+R_{\text{out}1}}=\frac{100\text{ k}\Omega }{100\text{ k}\Omega +10\text{ k}\Omega }=\frac{100}{110}=\frac{10}{11}\approx 0,9091$ Entre os estágios 2 e 3: ${\alpha }_{23}=\frac{R_{\text{in}3}}{R_{\text{in}3}+R_{\text{out}2}}=\frac{10\text{ k}\Omega }{10\text{ k}\Omega +1\text{ k}\Omega }=\frac{10}{11}\approx 0,9091$
   • Ganho de tensão global em aberto ($A_{v0}$): $A_{v0}=A_{v0,1}\cdot {\alpha }_{12}\cdot A_{v0,2}\cdot {\alpha }_{23}\cdot A_{v0,3}=(-10)\times \left(\frac{10}{11}\right)\times 20\times \left(\frac{10}{11}\right)\times 0,8=-\frac{16.000}{121}\approx -132,2\text{ V/V}$
2. Parte B — Análise do Estágio Cascode ($g_m=1\text{ mS},r_o=2\text{ k}\Omega$):
   • Resistência de saída exata do Cascode: $R_{\text{out}}=(1+g_{m2}{r}_{o2})r_{o1}+r_{o2}=(1+1\text{ mS}\times 2\text{ k}\Omega )\times 2\text{ k}\Omega +2\text{ k}\Omega =(1+2)\times 2\text{ k}\Omega +2\text{ k}\Omega =8\text{ k}\Omega$
   • Ganho de tensão do Cascode: $A_{v0}=-g_{m1}{R}_{\text{out}}=-1\text{ mS}\times 8\text{ k}\Omega =-8\text{ V/V}$ (Nota: Usando a aproximação assintótica da aula $R_{\text{out}}\approx g_{m2}{r}_{o2}{r}_{o1}=4\text{ k}\Omega$ ou incluindo a soma de $r_{o1}+r_{o2}$, obtém-se exatamente $8\text{ k}\Omega$ e $A_{v0}=-8\text{ V/V}$, quadruplicando o ganho de um único estágio FC que seria $-g_m{r}_o=-2\text{ V/V}$!)

$\boxed{\text{Parte A: }{R}_{\text{in}}=1\text{ k}\Omega ,R_{\text{out}}=100\Omega ,A_{v0}=-132,2\text{ V/V}|\text{Parte B: }{R}_{\text{out}}=8\text{ k}\Omega ,A_{v0}=-8\text{ V/V}}$

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Exercício Resolvido 2 — Par Diferencial MOS com Carga Resistiva e com Carga Ativa (UFPR — TE329 Lista 1 Questão 7a, 7b e 7d)

Enunciado: Analise duas topologias de amplificadores diferenciais NMOS ($M_1,M_2$) polarizadas por uma fonte de corrente de cauda ideal de $I_{SS}=2\text{ mA}$:

• Topologia 1 (Questão 7a — Carga Resistiva): Cargas de dreno $R_D=5\text{ k}\Omega$ em cada ramo, saída tomada diferencialmente entre os drenos. Dados: $V_t=0,5\text{ V}$, $V_{GS}=1,0\text{ V}$ e ${\lambda }_n=0,2{\text{ V}}^{-1}$.
• Topologia 2 (Questão 7d — Carga Ativa em Espelho de Corrente): Par diferencial PMOS de entrada ($M_3,M_4$) com carga ativa em espelho de corrente NMOS ($M_1,M_2$) e saída single-ended. Dados: $I_{SS}=2\text{ mA}$, ${\mu }_p{C}_{\text{ox}}(W/L)=1,5{\text{ mA/V}}^2$, ${\mu }_n{C}_{\text{ox}}(W/L)=2,0{\text{ mA/V}}^2$, ${\lambda }_p=0,1{\text{ V}}^{-1}$ e ${\lambda }_n=0,2{\text{ V}}^{-1}$.

Determine: Para ambas as topologias, calcule a resistência de entrada ($R_{\text{in}}$), a resistência de saída ($R_{\text{out}}$) e o ganho diferencial em aberto ($A_{v0}$).

Solução Passo a Passo:

1. Topologia 1 (Par Diferencial com Carga Resistiva $R_D=5\text{ k}\Omega$):
   • Em equilíbrio, cada transistor conduz $I_{D1}=I_{D2}=I_{SS}/2=1\text{ mA}$.
   • Com $V_{OV}=V_{GS}-V_t=1,0-0,5=0,5\text{ V}$, a transcondutância e a resistência de saída de cada NMOS são: $g_{m1}=\frac{2I_{D1}}{V_{OV}}=\frac{2\times 1\text{ mA}}{0,5\text{ V}}=4\text{ mS},r_{o1}=\frac{1}{{\lambda }_n{I}_{D1}}=\frac{1}{0,2\times 1\text{ mA}}=5\text{ k}\Omega$
   • Resistência de entrada nas portas MOS: $R_{\text{in}}=\infty$.
   • Resistência de saída (por ramo / meio-circuito): $R_{\text{out}}=R_D\parallel r_{o1}=5\text{ k}\Omega \parallel 5\text{ k}\Omega =2,5\text{ k}\Omega$ (ou diferencialmente entre os dois drenos $2(R_D\parallel r_o)=5\text{ k}\Omega$).
   • Ganho diferencial: $A_{v0}=-g_{m1}(R_D\parallel r_{o1})=-4\text{ mS}\times (5\text{ k}\Omega \parallel 5\text{ k}\Omega )=-4\text{ mS}\times 2,5\text{ k}\Omega =-10\text{ V/V}$
2. Topologia 2 (Par Diferencial PMOS com Espelho de Corrente Ativo NMOS):
   • Cada ramo conduz $I_D=I_{SS}/2=1\text{ mA}$.
   • Transcondutância do par diferencial de entrada PMOS ($M_3,M_4$): $g_{mP}=\sqrt{2\left({\mu }_p{C}_{\text{ox}}\frac{W}{L}\right)I_D}=\sqrt{2\times 1,5{\text{ mA/V}}^2\times 1\text{ mA}}=\sqrt{3}\text{ mS}\approx 1,732\text{ mS}$
   • Resistências de saída dreno-fonte do PMOS ($r_{oP}$) e do NMOS ($r_{oN}$): $r_{oP}=\frac{1}{{\lambda }_p{I}_D}=\frac{1}{0,1\times 1\text{ mA}}=10\text{ k}\Omega ,r_{oN}=\frac{1}{{\lambda }_n{I}_D}=\frac{1}{0,2\times 1\text{ mA}}=5\text{ k}\Omega$
   • Resistência de saída no nó single-ended: $R_{\text{out}}=r_{oP}\parallel r_{oN}=\frac{10\text{ k}\Omega \times 5\text{ k}\Omega }{10\text{ k}\Omega +5\text{ k}\Omega }=3,33\text{ k}\Omega$
   • Ganho de tensão diferencial com espelho de corrente ativo: $A_{v0}=g_{mP}(r_{oP}\parallel r_{oN})=1,732\text{ mS}\times 3,333\text{ k}\Omega \approx +5,77\text{ V/V}\approx 5,8\text{ V/V}$

$\boxed{\text{Topologia 1: }{R}_{\text{out,dif}}=5\text{ k}\Omega ,A_{v0}=-10\text{ V/V}|\text{Topologia 2: }{R}_{\text{out}}=3,33\text{ k}\Omega ,A_{v0}=+5,8\text{ V/V}}$

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Exercício Resolvido 3 — Resposta em Alta Frequência e Polo Dominante de Miller (UFPR — TE329 Aula 03 / Lista 2 Questão 4a)

Enunciado: Um amplificador em configuração Fonte Comum utiliza um transistor NMOS com comprimento de canal $L=10\mu \text{m}$, polarizado para apresentar transcondutância $g_m=2\text{ mS}$ e resistência de saída $r_o=10\text{ k}\Omega$. O dreno é carregado por um resistor $R_D=10\text{ k}\Omega$ conectado a $V_{DD}$, e a porta é excitada por uma fonte de sinal $v_{\text{in}}$ com resistência série $R_S=100\text{ k}\Omega$. As capacitâncias parasitas por unidade de comprimento do processo valem:

• $C_{GS}^{\prime }=2\text{ fF/}\mu \text{m}$, $C_{GD}^{\prime }=1\text{ fF/}\mu \text{m}$, $C_{SB}^{\prime }=2\text{ fF/}\mu \text{m}$ e $C_{DB}^{\prime }=2\text{ fF/}\mu \text{m}$.

Determine: As capacitâncias intrínsecas totais do dispositivo, os polos de entrada e de saída aplicando o Teorema de Miller, a frequência do polo dominante em $\text{MHz}$ e a função de transferência aproximada de polo dominante.

Solução Passo a Passo:

1. Cálculo das Capacitâncias Parasitas para $L=10\mu \text{m}$: $C_{GS}=C_{GS}^{\prime }\cdot L=2\text{ fF/}\mu \text{m}\times 10\mu \text{m}=20\text{ fF}$ $C_{GD}=C_{GD}^{\prime }\cdot L=1\text{ fF/}\mu \text{m}\times 10\mu \text{m}=10\text{ fF}$ $C_{DB}=C_{DB}^{\prime }\cdot L=2\text{ fF/}\mu \text{m}\times 10\mu \text{m}=20\text{ fF}$ (Como a fonte está aterrada ao substrato, $C_{SB}$ está em curto-circuito).

2. Ganho em Banda Média ($A_0$) e Resistência Equivalente de Dreno ($R_D^{\prime }$): $R_D^{\prime }=R_D\parallel r_o=10\text{ k}\Omega \parallel 10\text{ k}\Omega =5\text{ k}\Omega$ $A_0=-g_m(R_D\parallel r_o)=-2\text{ mS}\times 5\text{ k}\Omega =-10\text{ V/V}⟹|A_0|=10$

3. Aplicação do Teorema de Miller sobre o Capacitor Flutuante $C_{GD}=10\text{ fF}$:

   • Capacitância de Miller refletida na entrada: $C_{\text{in,M}}=C_{GD}(1+|A_0|)=10\text{ fF}\times (1+10)=110\text{ fF}$
   • Capacitância total vista no nó de entrada (porta): $C_{\text{in}}=C_{GS}+C_{\text{in,M}}=20\text{ fF}+110\text{ fF}=130\text{ fF}$
   • Capacitância total vista no nó de saída (dreno): $C_{\text{out}}=C_{DB}+C_{GD}\left(1+\frac{1}{|A_0|}\right)=20\text{ fF}+10\text{ fF}\times (1+0,1)=31\text{ fF}$

4. Cálculo das Frequências dos Polos de Entrada e Saída:

   • Polo de Entrada ($f_{p,\text{in}}$): Associado a $R_S=100\text{ k}\Omega$ e $C_{\text{in}}=130\text{ fF}$: $f_{p,\text{in}}=\frac{1}{2\pi R_S{C}_{\text{in}}}=\frac{1}{2\pi \times 100\times 10^3\Omega \times 130\times 10^{-15}\text{ F}}=\frac{1}{2\pi \times 1,3\times 10^{-8}\text{ s}}\approx 12,243\text{ MHz}$
   • Polo de Saída ($f_{p,\text{out}}$): Associado a $R_D^{\prime }=5\text{ k}\Omega$ e $C_{\text{out}}=31\text{ fF}$: $f_{p,\text{out}}=\frac{1}{2\pi R_D^{\prime }{C}_{\text{out}}}=\frac{1}{2\pi \times 5\times 10^3\Omega \times 31\times 10^{-15}\text{ F}}\approx 1.026,8\text{ MHz}=1,027\text{ GHz}$ Como $f_{p,\text{in}}\ll f_{p,\text{out}}$, o polo de entrada é o polo dominante ($f_H=12,243\text{ MHz}$, ${\omega }_{p1}=2\pi f_{p,\text{in}}\approx 7,692\times 10^7\text{ rad/s}$):

$\boxed{f_{\text{dom}}=12,243\text{ MHz},H(s)\approx \frac{-10}{1+\frac{s}{2\pi \times 12,243\times 10^6}}}$

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Exercício Resolvido 4 — Projeto de Ganho de Malha para Dessensibilização e Extensão de Banda (UFPR — TE329 Lista 2 Questão 13 e Aula 05)

Enunciado:

1. Em um sistema amplificador CMOS realimentado, o parâmetro tecnológico ${\mu }_n{C}_{\text{ox}}$ do estágio direto pode sofrer uma variação de até $\frac{\Delta A}{A}=20\%$ devido a flutuações de fabricação e temperatura. Qual é o ganho de malha mínimo ($T=A\beta$) necessário para assegurar que o ganho em malha fechada ($A_f$) sofra uma variação inferior a $5\%$?
2. Suponha um amplificador cujo ganho em malha aberta possui valor estático $A_0=200\text{ V/V}$ e polo dominante em ${\omega }_0=1.000\text{ rad/s}$. Calcule o novo ganho em malha fechada e a nova largura de banda para fatores de realimentação $K=0,1$ e $K=0,2$.

Solução Passo a Passo:

1. Cálculo do Ganho de Malha Mínimo para Dessensibilização: Pela relação de dessensibilização diferencial: $\frac{\Delta A_f/A_f}{\Delta A/A}=\frac{1}{1+A\beta }⟹1+A\beta \ge \frac{20\%}{5\%}=4⟹\boxed{T_{\min }=(A\beta {)}_{\min }=3}$ (Nota: Utilizando a expressão exata para grandes variações de $-20\%$, $\frac{0,8A}{1+0,8A\beta }=0,95\frac{A}{1+A\beta }⟹0,8(1+A\beta )=0,95(1+0,8A\beta )⟹0,04A\beta =0,15⟹A\beta =3,75$).

2. Extensão da Largura de Banda ($A_0=200,{\omega }_0=1.000\text{ rad/s}$):

   • Em Malha Aberta ($K=0$): $A_{f0}=200\text{ V/V}$ e ${\omega }_H={\omega }_0=1.000\text{ rad/s}$ ($GBW=200.000\text{ rad/s}$).
   • Para $K=0,1$: Fator de dessensibilidade $D=1+K{A}_0=1+0,1\times 200=21$: $A_{f0}=\frac{200}{21}\approx 9,52\text{ V/V},{\omega }_{Hf}=21\times {\omega }_0=21.000\text{ rad/s}$
   • Para $K=0,2$: Fator de dessensibilidade $D=1+K{A}_0=1+0,2\times 200=41$: $A_{f0}=\frac{200}{41}\approx 4,88\text{ V/V},{\omega }_{Hf}=41\times {\omega }_0=41.000\text{ rad/s}$

$\boxed{(A\beta {)}_{\min }=3\text{ (ou }3,75\text{)},K=0,1⟹{\omega }_{Hf}=21{\omega }_0,K=0,2⟹{\omega }_{Hf}=41{\omega }_0}$

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7. 🎓 Verificando o Aprendizado (Questões Comentadas)

Bloco 1: Impedâncias da Rede de Realimentação e Topologias (Lista 2 TE329)

Questão 1 — Impedâncias Ideais do Bloco de Realimentação na Amostragem e no Retorno (Lista 2 TE329 - Questões 7 a 10)

Enunciado: A respeito das impedâncias ideais de entrada e saída do bloco de realimentação ($\beta$) quando conectado a um amplificador principal nos quatro esquemas clássicos de realimentação negativa, analise as proposições abaixo:

I. Quando o bloco de realimentação faz uma leitura (amostragem) de tensão na saída (conexão em paralelo, como um voltímetro), sua resistência de entrada vista pela saída do amplificador deve ser idealmente infinita ($R_{\text{in},\beta }\to \infty$), para não drenar corrente nem carregar o nó de saída.
II. Quando o bloco de realimentação faz uma leitura (amostragem) de corrente na saída (conexão em série, como um amperímetro), sua resistência de entrada deve ser idealmente nula ($R_{\text{in},\beta }\to 0$), para não provocar queda de tensão parasita em série com a carga.
III. Quando o bloco de realimentação retorna uma tensão em série com a entrada ($v_e=v_{\text{in}}-v_F$), sua resistência de saída deve ser idealmente baixa/nula ($R_{\text{out},\beta }\to 0$), ao passo que quando retorna uma corrente em paralelo num nó de entrada ($i_e=i_{\text{in}}-i_F$), sua resistência de saída deve ser idealmente alta/infinita ($R_{\text{out},\beta }\to \infty$, fonte de corrente ideal de Norton).

Assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
B) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
C) Apenas a afirmativa II está correta.
D) Todas as afirmativas (I, II e III) estão corretas. (Correta)
E) Nenhuma das afirmativas está correta.

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa D está correta.

• I é verdadeira: Medir tensão exige conexão em paralelo (shunt); para não perturbar a tensão medida, o sensor de tensão deve apresentar impedância infinita ($R_{\text{in},\beta }\to \infty$).
• II é verdadeira: Medir corrente exige interromper o ramo e conectar em série; para não alterar a corrente que flui para a carga, o sensor de corrente deve apresentar impedância nula ($R_{\text{in},\beta }\to 0$).
• III é verdadeira: Uma fonte de tensão de realimentação conectada em série pela LKT deve ter resistência Thévenin nula ($R_{\text{out},\beta }\to 0$), enquanto uma fonte de corrente de realimentação conectada em paralelo a um nó pela LKC deve ter resistência Norton infinita ($R_{\text{out},\beta }\to \infty$).

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Bloco 2: Resposta em Frequência e Configuração Porta Comum vs Fonte Comum (Lista 2 TE329)

Questão 2 — Eliminação do Efeito Miller na Configuração Porta Comum (Lista 2 TE329 - Questão 4a vs 4b)

Enunciado: Compare dois circuitos amplificadores construídos exatamente com o mesmo transistor MOSFET ($L=10\mu \text{m}$, $g_m=2\text{ mS}$, $r_o=10\text{ k}\Omega$, $C_{GS}=20\text{ fF}$, $C_{GD}=10\text{ fF}$, $C_{DB}=20\text{ fF}$) e o mesmo resistor de dreno $R_D=10\text{ k}\Omega$:

• No Circuito A (Fonte Comum), o sinal $v_{\text{in}}$ (com resistência $R_S=100\text{ k}\Omega$) é aplicado à porta, apresentando polo dominante em $f_H\approx 12,24\text{ MHz}$.
• No Circuito B (Porta Comum — Questão 4b), a porta é aterrada em CA e o sinal $v_{\text{in}}$ é aplicado à fonte, mantendo a saída no dreno.

Por que o Circuito B (Porta Comum) eleva a frequência do polo para $f_H\approx 159,15\text{ MHz}$ (mais de $13$ vezes maior)?

A) Porque na configuração Porta Comum as capacitâncias $C_{GS}$ e $C_{GD}$ tornam-se negativas.
B) Porque na configuração Porta Comum a porta está aterrada em CA, isolando eletricamente a entrada (fonte) da saída (dreno); assim, $C_{GD}$ fica conectado diretamente entre o dreno e o terra (sem sofrer multiplicação de Miller por $1+|A_v|$), e a impedância vista na fonte cai para $\approx 1/g_m=500\Omega$, transferindo o polo dominante para o nó de saída com constante de tempo ${\tau }_{\text{out}}=(R_D\parallel r_o)(C_{GD}+C_{DB})$ muito menor ($f_H\approx 100\text{ a }159\text{ MHz}$). (Correta)
C) Porque o estágio Porta Comum não possui ganho de tensão ($A_v=0$).
D) Porque o Teorema de Miller divide a capacitância $C_{GD}$ por $100$ na configuração Fonte Comum.
E) Porque a frequência de transição $f_T$ do MOSFET dobra quando a porta é aterrada.

Justificativa Técnica Oficial:

Alternativa B está correta. No estágio Fonte Comum (Circuito A), o capacitor $C_{GD}$ conecta a entrada (porta, alta impedância $R_S=100\text{ k}\Omega$) à saída (dreno, ganho inversor $-10$), sofrendo severa multiplicação de Miller ($C_{\text{in}}=130\text{ fF}⟹f_{p,\text{in}}=12,24\text{ MHz}$). Já no estágio Porta Comum (Circuito B), a porta está em terra CA: não há capacitor flutuante entre entrada e saída (ausência de efeito Miller!), a impedância do nó de entrada (fonte) é baixíssima ($\approx 1/g_m=500\Omega$), e o polo de saída depende apenas de $R_{\text{out}}=R_D\parallel r_o=5\text{ k}\Omega$ (ou $10\text{ k}\Omega$) com $C_{GD}+C_{DB}=10\text{ fF}\text{ a }30\text{ fF}$ ($f_p=\frac{1}{2\pi \times 10\text{ k}\Omega \times 100\text{ fF}}=159,15\text{ MHz}$). Essa é a razão fundamental pela qual o transistor superior do Cascode opera em Porta Comum!