Aula 04: Ondas Eletromagnéticas Planas no Vácuo e em Dielétricos e Vetor de Poynting

Visão Geral & Objetivos Pedagógicos

Esta aula aborda a propagação de ondas eletromagnéticas planas uniformes (ondas TEM). Deduzimos a equação de onda a partir das Equações de Maxwell, definindo a velocidade de fase ($v_p$), comprimento de onda ($\lambda$), número de onda ($\beta$) e a impedância intrínseca ($\eta$). Investigamos a propagação em meios dissipativos reais, definindo a constante de atenuação ($\alpha$), a tangente de perdas ($\tan \delta$) e a profundidade pelicular (Skin Depth $\delta$). Analisamos os estados de polarização da onda (linear, circular e elíptica), o fluxo de potência pelo Vetor de Poynting e os fenômenos de reflexão e refração em fronteiras planas.

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1. Mapa Conceitual da Aula

O infográfico abaixo sintetiza a estrutura de campos transversais (TEM), a atenuação por efeito pelicular em bons condutores, os estados de polarização e as condições de reflexão em interfaces normais.

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2. A Equação de Onda e a Onda Plana Uniforme (TEM)

No espaço livre de cargas livres (${\rho }_v=0$) e sem correntes de condução ($\vec{J}=0$), as Equações de Maxwell para um meio linear, homogêneo e isotrópico (LHI) são:

$\nabla \cdot \vec{E}=0$

$\nabla \cdot \vec{H}=0$

$\nabla \times \vec{E}=-\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$

$\nabla \times \vec{H}=\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Tomando o rotacional da Lei de Faraday:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=-\mu \frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \vec{H})=-\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

Usando a identidade do cálculo vetorial $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}=0-{\nabla }^2\vec{E}$:

$\boxed{{\nabla }^2\vec{E}-\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=0}\text{e}\boxed{{\nabla }^2\vec{H}-\mu \epsilon \frac{{\partial }^2\vec{H}}{\partial t^2}=0}$

Estas são as Equações de Onda Tridimensionais Homogêneas.

2.1 A Equação de Helmholtz no Regime Harmônico

Para campos senoidais em frequência angular $\omega$ representados por fasores ($\vec{E}(\vec{r},t)=\text{Re}\{{\vec{E}}_s(\vec{r})e^{j\omega t}\}$), a derivada temporal é substituída por $j\omega$:

$\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}⟹-{\omega }^2{\vec{E}}_s$

Substituindo na equação de onda:

${\nabla }^2{\vec{E}}_s+{\omega }^2\mu \epsilon {\vec{E}}_s=0⟹\boxed{{\nabla }^2{\vec{E}}_s+k^2{\vec{E}}_s=0}$

Onde $k=\omega \sqrt{\mu \epsilon }$ é o número de onda (ou constante de fase $\beta$). Esta é a célebre Equação de Helmholtz.

2.2 Estrutura da Onda Transversal Eletromagnética (TEM)

Considere uma onda plana uniforme propagando-se na direção $+z$, polarizada linearmente na direção $x$:

• Uniforme significa que os campos não variam nas direções transversais: $\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}=0$.
• O campo elétrico é dado por: ${\vec{E}}_s(z)=E_0{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_x$.

Pela Lei de Faraday fasorial ($\nabla \times {\vec{E}}_s=-j\omega \mu {\vec{H}}_s$):

$\nabla \times {\vec{E}}_s=\left|\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_x& {\hat{a}}_y& {\hat{a}}_z\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ E_0{e}^{-j\beta z}& 0& 0\end{array}\right|=\frac{\partial }{\partial z}(E_0{e}^{-j\beta z}){\hat{a}}_y=-j\beta E_0{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_y$

Igualando a $-j\omega \mu {\vec{H}}_s$:

$-j\beta E_0{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_y=-j\omega \mu {\vec{H}}_s⟹{\vec{H}}_s(z)=\frac{\beta }{\omega \mu }{E}_0{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_y$

Como $\beta =\omega \sqrt{\mu \epsilon }$:

$\frac{\beta }{\omega \mu }=\frac{\omega \sqrt{\mu \epsilon }}{\omega \mu }=\sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}=\frac{1}{\eta }$

Portanto, o campo magnético é ortogonal a $\vec{E}$ e vibra em ${\hat{a}}_y$:

$\boxed{{\vec{H}}_s(z)=\frac{E_0}{\eta }{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_y=H_0{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_y}$

2.3 Grandezas Fundamentais de Propagação

1. Velocidade de Fase ($v_p$): $\boxed{v_p=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}=\frac{c}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}}$ No vácuo: $c\approx 3,00\times 10^8\text{ m/s}$.

2. Comprimento de Onda ($\lambda$): A distância percorrida pela onda em um período temporal completo ($T=1/f$): $\boxed{\lambda =\frac{v_p}{f}=\frac{2\pi }{\beta }}$

3. Constante de Fase ($\beta$): $\boxed{\beta =\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{v_p}=\omega \sqrt{\mu \epsilon }\left(\frac{\text{rad}}{\text{m}}\right)}$

4. Impedância Intrínseca do Meio ($\eta$): Expressa a razão vetorial entre as intensidades dos campos elétrico e magnético: $\boxed{\eta =\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}=\sqrt{\frac{{\mu }_r}{{\epsilon }_r}}\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}={\eta }_0\sqrt{\frac{{\mu }_r}{{\epsilon }_r}}(\Omega )}$ No vácuo: ${\eta }_0=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}\approx 120\pi \Omega \approx 376,73\Omega \approx 377\Omega$

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3. Propagação em Meios com Perdas e Efeito Pelicular (Skin Depth)

Quando o meio material possui condutividade não nula ($\sigma >0$), a circulação de corrente de condução dissipa energia por efeito Joule ($\vec{J}=\sigma \vec{E}$), amortecendo a onda eletromagnética ao longo de sua trajetória.

3.1 A Constante de Propagação Complexa ($\gamma$)

A Lei de Ampère fasorial em um meio dissipativo é:

$\nabla \times {\vec{H}}_s=(\sigma +j\omega \epsilon ){\vec{E}}_s=j\omega \epsilon \left(1-j\frac{\sigma }{\omega \epsilon }\right){\vec{E}}_s$

A equação de onda torna-se:

${\nabla }^2{\vec{E}}_s-{\gamma }^2{\vec{E}}_s=0$

Onde $\gamma$ é a Constante de Propagação Complexa:

$\boxed{\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{j\omega \mu (\sigma +j\omega \epsilon )}}$

• $\alpha$ é a Constante de Atenuação ($\text{Np/m}$ ou $\text{dB/m}$).
• $\beta$ é a Constante de Fase ($\text{rad/m}$).

A solução temporal real para uma onda propagando em $+z$ é:

$\boxed{\vec{E}(z,t)=E_0{e}^{-\alpha z}\cos (\omega t-\beta z){\hat{a}}_x}$

A amplitude do campo elétrico decresce exponencialmente com o fator $e^{-\alpha z}$.

3.2 Tangente de Perdas ($\tan \delta$)

Definimos a razão entre a corrente de condução e a corrente de deslocamento como a Tangente de Perdas:

$\boxed{\tan \delta =\frac{|{\vec{J}}_c|}{|{\vec{J}}_d|}=\frac{\sigma }{\omega \epsilon }}$

• Dielétrico Perfeito (Sem Perdas): $\sigma =0⟹\tan \delta =0,\alpha =0,\beta =\omega \sqrt{\mu \epsilon }$.
• Dielétrico com Baixa Perda ($\tan \delta \ll 1⟺\sigma \ll \omega \epsilon$): Usando expansão em série de Taylor: $\alpha \approx \frac{\sigma }{2}\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}\text{e}\beta \approx \omega \sqrt{\mu \epsilon }$
• Bom Condutor ($\tan \delta \gg 1⟺\sigma \gg \omega \epsilon$): $\gamma =\sqrt{j\omega \mu \sigma }=\sqrt{\omega \mu \sigma }\left(\frac{1+j}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\frac{\omega \mu \sigma }{2}}+j\sqrt{\frac{\omega \mu \sigma }{2}}$ Portanto, em bons condutores: $\boxed{\alpha =\beta =\sqrt{\pi f\mu \sigma }=\sqrt{\frac{\omega \mu \sigma }{2}}}$

3.3 A Profundidade Pelicular / Penetração (Skin Depth $\delta$)

A Profundidade Pelicular $\delta$ é definida como a distância espacial $z=\delta$ na qual a amplitude dos campos $\vec{E}$ e $\vec{H}$ cai para $\frac{1}{e}\approx 36,8\%$ de seu valor na superfície condutora:

$\alpha \cdot \delta =1⟹\boxed{\delta =\frac{1}{\alpha }=\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}=\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu \sigma }}(\text{m})}$

A densidade de corrente de condução associada é $\vec{J}(z)=\sigma \vec{E}(z)=J_0{e}^{-z/\delta }{e}^{-jz/\delta }$. Quase $99\%$ de toda a potência e corrente elétrica em um condutor de RF concentram-se em uma casca superficial de espessura $3\delta$ a $5\delta$.

A Resistência de Folha Superficial ($R_s$) equivalente de uma chapa condutora de espessura $w\ge \delta$ por unidade de comprimento é:

$\boxed{R_s=\frac{1}{\sigma \delta }=\sqrt{\frac{\pi f\mu }{\sigma }}(\Omega /\square )}$

Exemplo Prático: Cobre Eletrolítico ( $\sigma =5,8\times 10^7\text{ S/m}$)

• Em $f=60\text{ Hz}$: $\delta =\frac{1}{\sqrt{\pi \times 60\times 4\pi \times 10^{-7}\times 5,8\times 10^7}}\approx 8,5\text{ mm}$.
• Em $f=10\text{ MHz}$: $\delta \approx 20,7\mu \text{m}$.
• Em $f=1\text{ GHz}$ (telefonia celular): $\delta \approx 2,1\mu \text{m}$. Por essa razão física, cabos coaxiais de alta frequência utilizam condutores centrais tubulares ocos ou banhados a prata, pois o interior do cobre maciço não conduz corrente útil e apenas agrega peso.

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4. Estados de Polarização da Onda Eletromagnética

A polarização de uma onda plana uniforme descreve a trajetória geométrica traçada pela extremidade do vetor campo elétrico instantâneo $\vec{E}(z,t)$ em um ponto fixo no espaço (por exemplo, em $z=0$) ao longo do tempo.

Considere uma onda genérica com componentes nas direções $x$ e $y$:

$\vec{E}(z,t)=E_{0x}\cos (\omega t-\beta z){\hat{a}}_x+E_{0y}\cos (\omega t-\beta z+{\delta }_{\varphi }){\hat{a}}_y$

Onde ${\delta }_{\varphi }={\varphi }_y-{\varphi }_x$ é a diferença de fase entre as duas componentes.

4.1 Polarização Linear

Ocorre quando:

• ${\delta }_{\varphi }=0$ ou ${\delta }_{\varphi }=\pm \pi$: as duas componentes vibram rigorosamente em fase (ou oposição de fase).
• Ou quando uma das componentes é identicamente nula ($E_{0x}=0$ ou $E_{0y}=0$). A ponta do vetor $\vec{E}$ traça um segmento de reta no plano transversal $xy$ inclinado de um ângulo $\theta =\arctan (E_{0y}/E_{0x})$.

4.2 Polarização Circular

Ocorre quando:

1. As amplitudes das duas componentes são idênticas: $E_{0x}=E_{0y}=E_0$.
2. A diferença de fase é de um quarto de período ($\pm 90^{\circ }$): ${\delta }_{\varphi }=\pm \frac{\pi }{2}$.

A magnitude do vetor resultante permanece perfeitamente constante ($|\vec{E}|=E_0$) e sua ponta gira uniformemente descrevendo um círculo perfeito com velocidade angular $\omega$:

• Polarização Circular à Direita (RHCP): O vetor gira no sentido horário olhando na direção de propagação (${\delta }_{\varphi }=-\pi /2$).
• Polarização Circular à Esquerda (LHCP): O vetor gira no sentido anti-horário (${\delta }_{\varphi }=+\pi /2$).

4.3 Polarização Elíptica

Representa o caso geral. Ocorre sempre que as condições de circularidade e linearidade não são satisfeitas:

• Amplitudes desiguais ($E_{0x}\ne E_{0y}$) com ${\delta }_{\varphi }\ne 0,\pi$.
• Ou amplitudes iguais com defasagem arbitrária ${\delta }_{\varphi }\ne 0,\pm \pi /2,\pi$. A extremidade do vetor descreve uma elipse com semi-eixos maior e menor no plano transversal.

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5. Densidade de Potência e o Vetor de Poynting Médio

Para uma onda eletromagnética plana TEM propagando-se em um meio genérico com impedância intrínseca complexa $\eta =|\eta |e^{j{\theta }_{\eta }}$ e constante de atenuação $\alpha$:

${\vec{E}}_s(z)=E_0{e}^{-\alpha z}{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_x$

${\vec{H}}_s(z)=\frac{E_0}{|\eta |}{e}^{-\alpha z}{e}^{-j\beta z}{e}^{-j{\theta }_{\eta }}{\hat{a}}_y$

O Vetor de Poynting Médio no Tempo é:

${\vec{S}}_{\text{med}}=\frac{1}{2}\text{Re}\{{\vec{E}}_s\times {\vec{H}}_s^{\ast }\}=\frac{1}{2}\text{Re}\left\{(E_0{e}^{-\alpha z}{e}^{-j\beta z}{\hat{a}}_x)\times \left(\frac{E_0}{|\eta |}{e}^{-\alpha z}{e}^{+j\beta z}{e}^{+j{\theta }_{\eta }}{\hat{a}}_y\right)\right\}$

$\boxed{{\vec{S}}_{\text{med}}=\frac{1}{2}\frac{E_0^2}{|\eta |}{e}^{-2\alpha z}\cos ({\theta }_{\eta }){\hat{a}}_z\left(\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}\right)}$

Para um meio sem perdas ($\alpha =0$, ${\theta }_{\eta }=0$, $\eta$ real):

$\boxed{{\vec{S}}_{\text{med}}=\frac{1}{2}\frac{E_0^2}{\eta }{\hat{a}}_z=\frac{1}{2}\eta H_0^2{\hat{a}}_z}$

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6. Reflexão e Transmissão Normal em Fronteiras Planas

Considere uma onda plana uniforme propagando-se no Meio 1 (${\epsilon }_1,{\mu }_1,{\eta }_1$) que incide normalmente sobre a fronteira plana $z=0$ com o Meio 2 (${\epsilon }_2,{\mu }_2,{\eta }_2$).

6.1 Equações de Fronteira e Coeficientes de Fresnel

1. Onda Incidente: ${\vec{E}}_i(z)=E_{i0}{e}^{-j{\beta }_{1}z}{\hat{a}}_x$, ${\vec{H}}_i(z)=\frac{E_{i0}}{{\eta }_1}{e}^{-j{\beta }_{1}z}{\hat{a}}_y$.
2. Onda Refletida: ${\vec{E}}_r(z)=E_{r0}{e}^{+j{\beta }_{1}z}{\hat{a}}_x$, ${\vec{H}}_r(z)=-\frac{E_{r0}}{{\eta }_1}{e}^{+j{\beta }_{1}z}{\hat{a}}_y$.
3. Onda Transmitida: ${\vec{E}}_t(z)=E_{t0}{e}^{-j{\beta }_{2}z}{\hat{a}}_x$, ${\vec{H}}_t(z)=\frac{E_{t0}}{{\eta }_2}{e}^{-j{\beta }_{2}z}{\hat{a}}_y$.

Pela continuidade das componentes tangenciais em $z=0$: $E_{i0}+E_{r0}=E_{t0}$ $H_{i0}+H_{r0}=H_{t0}⟹\frac{E_{i0}}{{\eta }_1}-\frac{E_{r0}}{{\eta }_1}=\frac{E_{t0}}{{\eta }_2}$

Resolvendo o sistema linear:

$\boxed{\Gamma =\frac{E_{r0}}{E_{i0}}=\frac{{\eta }_2-{\eta }_1}{{\eta }_2+{\eta }_1}}(\text{Coeficiente de Reflexa˜o})$

$\boxed{\tau =\frac{E_{t0}}{E_{i0}}=\frac{2{\eta }_2}{{\eta }_2+{\eta }_1}=1+\Gamma }(\text{Coeficiente de Transmissa˜o})$

6.2 Conservação de Potência

Calculando as densidades médias de potência incidente, refletida e transmitida:

$S_i=\frac{1}{2}\frac{E_{i0}^2}{{\eta }_1},S_r=\frac{1}{2}\frac{E_{r0}^2}{{\eta }_1}=|\Gamma {|}^2{S}_i,S_t=\frac{1}{2}\frac{E_{t0}^2}{{\eta }_2}=|\tau {|}^2\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}{S}_i$

A conservação de energia impõe que a potência transmitida deve ser igual à potência incidente menos a refletida:

$1=|\Gamma {|}^2+|\tau {|}^2\frac{{\eta }_1}{{\eta }_2}$

6.3 Incidência em Condutor Perfeito (${\sigma }_2\to \infty$)

Em um condutor perfeito, a impedância intrínseca é identicamente nula (${\eta }_2=0$):

$\Gamma =\frac{0-{\eta }_1}{0+{\eta }_1}=-1\text{e}\tau =0$

Toda a onda incidente é refletida com inversão de fase ($180^{\circ }$). A superposição da onda incidente com a refletida no Meio 1 gera uma Onda Estacionária Pura:

$E_{\text{total}}(z)=E_{i0}(e^{-j{\beta }_{1}z}-e^{+j{\beta }_{1}z})=-2j{E}_{i0}\sin ({\beta }_{1}z)$

$E_{\text{total}}(z,t)=2E_{i0}\sin ({\beta }_{1}z)\sin (\omega t)$

O campo elétrico anula-se periodicamente nos nós localizados em $z=-\frac{n\pi }{{\beta }_1}=-n\frac{{\lambda }_1}{2}$. O fluxo líquido de potência médio temporal é rigorosamente zero ($S_{\text{med}}=0$).

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7. Exercícios Oficiais Resolvidos Passo a Passo

A seguir, apresentamos a resolução integral e detalhada das questões do caderno oficial da disciplina (04 - EXERCÍCIO - Aplicações de Eletromagnetismo na Engenharia.pdf).

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Questão 1 (Lista Oficial — Barra com Motor Linear CC em Trilhos no Regime Permanente)

Enunciado Oficial: Uma barra condutora móvel fecha um circuito sobre trilhos condutores paralelos horizontais sem atrito, alimentada por uma bateria de tensão $V=20\text{ V}$. A resistência elétrica total do circuito vale $R=10\Omega$. O arranjo encontra-se imerso em um campo magnético uniforme perpendicular de intensidade $B=1\text{ T}$. Ao deslocar-se, a barra sofre uma força mecânica de resistência paralela aos trilhos constante de $F_{\text{res}}=1\text{ N}$ (independente da velocidade). Supondo o comprimento da barra $L=1\text{ m}$, determine o valor da velocidade que a barra atingirá no regime permanente do movimento.

Resolução Passo a Passo:

1. Equação Circuital com fem Contraeletromotriz: Ao deslocar-se com velocidade $v$, a barra gera uma fem de movimento oposta à bateria: ${\mathcal{E}}_c=BLv$ A corrente elétrica que flui no circuito é: $I=\frac{V-{\mathcal{E}}_c}{R}=\frac{V-BLv}{R}$

2. Força Motora de Laplace: A corrente $I$ interagindo com o campo magnético gera uma força motora que acelera a barra: $F_{\text{mot}}=ILB=\left(\frac{V-BLv}{R}\right)LB$

3. Condição de Regime Permanente: No regime permanente, a aceleração anula-se ($dv/dt=0$), equilibrando a força motora magnética com a força resistente mecânica constante: $F_{\text{mot}}=F_{\text{res}}$ $\frac{(V-BL{v}_{\text{perm}})LB}{R}=F_{\text{res}}$

4. Isolamento e Cálculo da Velocidade Terminal: $(V-BL{v}_{\text{perm}})LB=R\cdot F_{\text{res}}$ $V-BL{v}_{\text{perm}}=\frac{R\cdot F_{\text{res}}}{LB}$ $BL{v}_{\text{perm}}=V-\frac{R\cdot F_{\text{res}}}{LB}⟹\boxed{v_{\text{perm}}=\frac{V}{BL}-\frac{R\cdot F_{\text{res}}}{B^2{L}^2}}$

5. Substituição dos Dados:

   • $V=20\text{ V}$
   • $B=1\text{ T}$
   • $L=1\text{ m}$
   • $R=10\Omega$
   • $F_{\text{res}}=1\text{ N}$

   $v_{\text{perm}}=\frac{20}{1\times 1}-\frac{10\times 1}{1^2\times 1^2}=20-10=10\text{ m/s}$ Alternativa Correta: B

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Questão 2 (Lista Oficial — Propagação de Onda em Meio Dielétrico com ${\mu }_r=4$ e ${\epsilon }_r=4$)

Enunciado Oficial: Uma onda eletromagnética plana com frequência de $f=300\text{ kHz}=300\times 10^3\text{ Hz}$ propaga-se em um meio dielétrico de baixa perda com permissividade elétrica relativa ${\epsilon }_r=4$ e permeabilidade magnética relativa ${\mu }_r=4$. Determine a velocidade de propagação $v_p$ da onda e seu comprimento de onda $\lambda$ neste meio.

Resolução Passo a Passo:

1. Cálculo da Velocidade de Fase ($v_p$): $v_p=\frac{c}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}=\frac{3,00\times 10^8}{\sqrt{4\times 4}}=\frac{3,00\times 10^8}{\sqrt{16}}=\frac{3,00\times 10^8}{4}=7,50\times 10^7\text{ m/s}$

2. Cálculo do Comprimento de Onda ($\lambda$): $\lambda =\frac{v_p}{f}=\frac{7,50\times 10^7\text{ m/s}}{300\times 10^3\text{ Hz}}=\frac{7,50\times 10^7}{3,0\times 10^5}=2,5\times 10^2\text{ m}=250\text{ m}$ Alternativa Correta: A

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Questão 3 (Lista Oficial — Campo Elétrico Associado a Campo Magnético Harmônico)

Enunciado Oficial: Uma onda eletromagnética plana propaga-se em um meio sem perda com impedância intrínseca $\eta =400\pi \Omega$. O campo magnético é expresso por $\vec{H}(y,t)=\frac{3}{2}\cos (\omega t-\beta y){\hat{a}}_z\text{ A/m}$. Determine o valor vetorial do campo elétrico associado no instante $t=0$ e posição $y=\pi \text{ m}$, sabendo que para esse ponto o argumento trigonométrico fornece $\cos (\beta y)=-1$ e a propagação ocorre na direção $+y$.

Resolução Passo a Passo:

1. Relação de Módulos e Sentido de Poynting: Como a onda propaga-se em $+{\hat{a}}_y$, e $\vec{H}$ está alinhado com ${\hat{a}}_z$: ${\hat{a}}_k={\hat{a}}_E\times {\hat{a}}_H⟹{\hat{a}}_y={\hat{a}}_E\times {\hat{a}}_z⟹{\hat{a}}_E={\hat{a}}_x$ Pois ${\hat{a}}_x\times {\hat{a}}_z=-{\hat{a}}_y$, logo para dar $+{\hat{a}}_y$ o campo elétrico deve estar em $-{\hat{a}}_x$. Portanto: $\vec{E}(y,t)=-\eta H(y,t){\hat{a}}_x$

2. Cálculo da Amplitude do Campo Elétrico: $E_0=\eta \cdot H_0=(400\pi )\times \left(\frac{3}{2}\right)=600\pi \text{ V/m}$

3. Avaliação no Ponto $t=0,y=\pi$: $\vec{E}(y,t)=-600\pi \cos (\omega t-\beta y){\hat{a}}_x$ Com o termo cossenoidal avaliado na fase especificada: $\vec{E}=-600\pi {\hat{a}}_x\text{ V/m}\text{ou}-600\pi \hat{\mathbf{x}}\text{ V/m}$ Alternativa Correta: B

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Questão 4 (Lista Oficial — Número de Onda e Comprimento de Onda em $600\text{ MHz}$)

Enunciado Oficial: Uma onda eletromagnética plana com frequência $f=600\text{ MHz}=600\times 10^6\text{ Hz}$ propaga-se em um meio dielétrico sem perdas com ${\epsilon }_r=9$ e ${\mu }_r=1$. Determine o número de onda (constante de fase $\beta$) e o comprimento de onda $\lambda$.

Resolução Passo a Passo:

1. Velocidade de Fase: $v_p=\frac{c}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}=\frac{3,00\times 10^8}{\sqrt{1\times 9}}=\frac{3,00\times 10^8}{3}=1,00\times 10^8\text{ m/s}$

2. Comprimento de Onda ($\lambda$): $\lambda =\frac{v_p}{f}=\frac{1,00\times 10^8\text{ m/s}}{600\times 10^6\text{ Hz}}=\frac{1}{6}\text{ m}\approx 0,167\text{ m}$

3. Número de Onda ($\beta$): $\beta =\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{1/6}=12\pi \text{ rad/m}$ Alternativa Correta: B

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Questão 5 (Lista Oficial — Equação Temporal do Campo Magnético Harmônico)

Enunciado Oficial: Uma onda plana harmônica com frequência de $600\text{ MHz}$ propaga-se no sentido positivo de $x$ em um meio com condutividade nula ($\sigma =0$), ${\epsilon }_r=4$ e ${\mu }_r=1$. A amplitude do campo elétrico vale $E_0=120\pi \text{ V/m}$. Determine a expressão analítica do módulo do campo magnético $H(x,t)$.

Resolução Passo a Passo:

1. Velocidade e Frequência Angular: $v_p=\frac{c}{\sqrt{4}}=\frac{3\times 10^8}{2}=1,5\times 10^8\text{ m/s}$ $\omega =2\pi f=2\pi (600\times 10^6)=12\times 10^8\pi \text{ rad/s}$

2. Constante de Fase ($\beta$): $\beta =\frac{\omega }{v_p}=\frac{12\times 10^8\pi }{1,5\times 10^8}=8\pi \text{ rad/m}$

3. Impedância Intrínseca e Amplitude $H_0$: $\eta ={\eta }_0\sqrt{\frac{{\mu }_r}{{\epsilon }_r}}=(120\pi )\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{120\pi }{2}=60\pi \Omega$ $H_0=\frac{E_0}{\eta }=\frac{120\pi }{60\pi }=2\text{ A/m}$

4. Expressão Analítica de $H(x,t)$: Como a onda propaga-se em $+x$: $\boxed{H(x,t)=2\cos (12\times 10^8\pi t-8\pi x)\text{ A/m}}$ Alternativa Correta: B

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Questão 6 (Lista Oficial — Torque Inicial em Bobina Girante com Espiras Paralelas)

Enunciado Oficial: Uma bobina condutora quadrada com lado $L=10\text{ cm}=0,10\text{ m}$ encontra-se no ar, conectada a uma fonte de $V=20\text{ V}$. A bobina é composta por $N=100$ espiras associadas em paralelo, onde cada espira apresenta resistência individual $R_{\text{esp}}=1\Omega$. Na região existe um campo magnético uniforme de densidade $B=0,5\text{ T}$. A bobina está montada em um eixo de rotação que coincide com a normal ortogonal ao campo na partida. Determine o torque mecânico inicial resultante na bobina.

Resolução Passo a Passo:

1. Corrente por Espira e Corrente Total: Cada espira tem resistência $R=1\Omega$ e está conectada à mesma ddp $V=20\text{ V}$: $I_{\text{esp}}=\frac{V}{R_{\text{esp}}}=\frac{20}{1}=20\text{ A}$ A corrente total nos condutores das 100 espiras agrupadas é $I_{\text{total}}=100\times 20=2000\text{ A}$, ou de forma equivalente, $N=100$ condutores conduzindo $20\text{ A}$ cada.

2. Área da Bobina: $A=L^2=(0,10{)}^2=0,01{\text{ m}}^2$

3. Momento Dipolar Magnético ($\vec{m}$): $m=N\cdot I_{\text{esp}}\cdot A=100\times 20\times 0,01=20\text{ A}\cdot {\text{m}}^2$

4. Cálculo do Torque Magnético: Com a bobina no ângulo de máximo conjugado ($\sin (90^{\circ })=1$): $\tau =m\cdot B=20\times 0,5=10\text{ N}\cdot \text{m}$ Alinhado ao longo do eixo de rotação axial $\hat{z}$: $\vec{\tau }=10\hat{\mathbf{z}}\text{ N}\cdot \text{m}$ Alternativa Correta: A

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Questão 7 (Lista Oficial — Conversão de Fasor para Domínio do Tempo Real)

Enunciado Oficial: Um campo elétrico harmônico propaga-se em um meio dissipativo com fasor expresso em coordenadas cartesianas por: ${\vec{E}}_s(z)=20e^{(-2-j4)z}{\hat{a}}_y(\text{V/m})$ Determine a expressão do campo elétrico real instantâneo $\vec{E}(z,t)$ no domínio do tempo.

Resolução Passo a Passo:

1. Decomposição do Expoente Fasorial: $e^{(-2-j4)z}=e^{-2z}{e}^{-j4z}$

   • Fator de atenuação espacial real: $e^{-2z}⟹\alpha =2\text{ Np/m}$.
   • Fator de fase: $e^{-j4z}⟹\beta =4\text{ rad/m}$.

2. Conversão pelo Operador Parte Real: $\vec{E}(z,t)=\text{Re}\{{\vec{E}}_s(z)e^{j\omega t}\}=\text{Re}\{20e^{-2z}{e}^{-j4z}{e}^{j\omega t}{\hat{a}}_y\}$ $\vec{E}(z,t)=\text{Re}\{20e^{-2z}{e}^{j(\omega t-4z)}{\hat{a}}_y\}$ Lembrando a fórmula de Euler $\text{Re}\{e^{j\theta }\}=\cos \theta$: $\boxed{\vec{E}(z,t)=20e^{-2z}\cos (\omega t-4z){\hat{a}}_y(\text{V/m})}$ Alternativa Correta: D

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Questão 8 (Lista Oficial — Barra Condutora sob Resistência Nula com Bateria de $50\text{ V}$)

Enunciado Oficial: Considere uma barra condutora móvel sobre trilhos condutores de comprimento $L=1\text{ m}$, fechando um circuito de resistência $R=20\Omega$, alimentado por uma bateria de $V=50\text{ V}$ sob campo magnético $B=1\text{ T}$ perpendicular. Não há atrito mecânico ($F_{\text{res}}=0$). Determine a velocidade final que a barra atingirá no regime permanente do movimento.

Resolução Passo a Passo:

1. Condição de Regime Permanente sem Atrito: Sem força de resistência mecânica, a corrente no regime permanente deve anular-se ($I=0$), caso contrário haveria aceleração contínua: $I=\frac{V-BL{v}_{\text{perm}}}{R}=0$
2. Igualdade entre Tensão da Fonte e fem: $V=BL{v}_{\text{perm}}⟹v_{\text{perm}}=\frac{V}{BL}$
3. Cálculo Numérico: $v_{\text{perm}}=\frac{50}{1\times 1}=50\text{ m/s}$ Alternativa Correta: B

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8. Resumo Estruturado & Fórmulas de Bolso

Grandeza / Relação	Expressão Matemática	Unidade (SI)	Descrição Física / Aplicação
Velocidade de Fase	$v_p=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}=\frac{c}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}$	$\text{m/s}$	Velocidade de propagação da frente de fase.
Constante de Fase	$\beta =\frac{2\pi }{\lambda }=\omega \sqrt{\mu \epsilon }$	$\text{rad/m}$	Taxa espacial de variação da fase senoidal.
Impedância Intrínseca	$\eta =\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}={\eta }_0\sqrt{\frac{{\mu }_r}{{\epsilon }_r}}$	$\Omega$	Relação de amplitudes $E/H$ no meio dielétrico.
Atenuação em Condutor	$\alpha \approx \sqrt{\pi f\mu \sigma }$	$\text{Np/m}$	Amortecimento exponencial do campo no metal.
Profundidade Pelicular	$\delta =\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu \sigma }}$	$\text{m}$	Espessura da casca de condução de corrente em RF.
Resistência de Folha	$R_s=\frac{1}{\sigma \delta }=\sqrt{\frac{\pi f\mu }{\sigma }}$	$\Omega /\square$	Resistência superficial efetiva de condutores.
Vetor de Poynting	${\vec{S}}_{\text{med}}=\frac{1}{2}\text{Re}\{\vec{E}\times {\vec{H}}^{\ast }\}$	${\text{W/m}}^2$	Fluxo médio de potência eletromagnética irradiada.
Coeficiente de Reflexão	$\Gamma =\frac{{\eta }_2-{\eta }_1}{{\eta }_2+{\eta }_1}$	—	Razão entre onda refletida e incidente na fronteira.
Coeficiente Transmissão	$\tau =\frac{2{\eta }_2}{{\eta }_2+{\eta }_1}=1+\Gamma$	—	Razão entre onda transmitida e incidente.
Ângulo de Brewster	$\tan {\theta }_B=\sqrt{\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}}$	$\text{rad}$	Ângulo de incidência com reflexão nula (pol. paralela).

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9. Próximos Passos & Navegação

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