🔌 Aula 05 - Circuitos de Segunda Ordem (RLC Série e Paralelo) e Regimes de Amortecimento

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📍 Disciplina: 02 Circuitos Elétricos | ⚡ Área: 03 Teoria Eletromagnética e Circuitos | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Circuitos de Segunda Ordem (Módulos 1, 2 e 3) ⬅️ Aula Anterior: 04 - Circuitos de 1ª Ordem RC/RL | ➡️ MOC Geral da Disciplina: 02 Circuitos Elétricos 🔗 Continuidade Curricular: 03 Laboratório de Circuitos Elétricos e 01 Eletricidade e Magnetismo

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao término desta aula, o engenheiro eletricista dominará com precisão analítica:

1. A dedução formal das Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem para as configurações canônicas RLC Série e RLC Paralelo a partir das Leis de Kirchhoff e das relações constitutivas integro-diferenciais.
2. O cálculo exato dos parâmetros fundamentais de segunda ordem: a frequência angular de ressonância não-amortecida (${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$), o coeficiente de amortecimento de Neper ($\alpha$) e o Fator de Qualidade ($Q$).
3. A caracterização e resolução analítica dos três regimes de amortecimento:
   • Superamortecido ($\alpha >{\omega }_0$): raízes reais e distintas negativas, resposta não-oscilatória lenta.
   • Criticamente Amortecido ($\alpha ={\omega }_0$): raiz real dupla, resposta mais rápida possível sem sobretensão (overshoot).
   • Subamortecido ($\alpha <{\omega }_0$): par de raízes complexas conjugadas, resposta senoidal oscilatória amortecida na frequência ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}$.
4. A determinação sistemática das constantes de integração ($A_1,A_2$ ou $B_1,B_2$) através da imposição rigorosa do par de condições iniciais no instante pós-manobra ($x(0^{+})$ e ${\frac{dx}{dt}|}_{0^{+}}$).
5. A análise de transitórios e sobretensões em manobras de Sistemas Elétricos de Potência, compreendendo a física de surtos decorrentes da energização de bancos de capacitores e linhas de transmissão.

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🗺️ Mapa Conceitual de Circuitos de Segunda Ordem e Polos no Plano s

Diagrama Arquitetural de Circuitos RLC e Amortecimento

O diagrama abaixo sintetiza a equação característica canônica de segunda ordem, os parâmetros $\alpha$ e ${\omega }_0$ para as topologias série e paralelo, as formas de onda temporais comparadas e a localização dos polos no plano complexo $s$.

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Circuitos RLC de 2ª Ordem e Lugar das Raízes no Plano $s$

Alterne entre as topologias RLC Série e RLC Paralelo, acione os atalhos para os regimes Subamortecido ($\zeta <1$), Criticamente Amortecido ($\zeta =1$), Superamortecido ($\zeta >1$) e LC Puro ($\zeta =0$), e visualize em tempo real o sobressinal $M_p\%$, a frequência amortecida ${\omega }_d$ e os polos sobre a circunferência de raio ${\omega }_0$: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_circuitos_rlc_transitorios_plano_s.html]])

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1. Modelagem Matemática de Circuitos de Segunda Ordem

Um circuito é estritamente classificado como de segunda ordem quando sua dinâmica temporal é regida por uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Isso ocorre fisicamente quando a rede contém dois elementos armazenadores de energia independentes: tipicamente um indutor ($L$) e um capacitor ($C$), cujos estados de energia magnética ($w_L=\frac{1}{2}L{i}_L^2$) e eletrostática ($w_C=\frac{1}{2}C{v}_C^2$) podem ser trocados mutuamente ao longo do tempo.

1.1 Dedução Analítica do Circuito RLC Série

Considere a malha fechada formada por um resistor $R$, um indutor $L$ e um capacitor $C$ conectados em série com uma fonte de excitação $v_s(t)$:

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKV) ao longo do percurso fechado:

$$v_R(t)+v_L(t)+v_C(t)=v_s(t)$$

Substituindo as relações constitutivas de cada elemento em função da corrente de malha $i(t)$:

$$R\cdot i(t)+L\frac{di(t)}{dt}+v_C(t)=v_s(t)$$

Como todos os componentes compartilham a mesma corrente de série que flui através do capacitor:

$$i(t)=C\frac{d{v}_C(t)}{dt}⟹\frac{di(t)}{dt}=C\frac{d^2{v}_C(t)}{d{t}^2}$$

Substituindo essas derivadas na equação de malha:

$$R\left(C\frac{d{v}_C}{dt}\right)+L\left(C\frac{d^2{v}_C}{d{t}^2}\right)+v_C(t)=v_s(t)$$

Reorganizando os termos e dividindo toda a equação pelo coeficiente líder $LC$:

$$\boxed{\frac{d^2{v}_C(t)}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{d{v}_C(t)}{dt}+\frac{1}{LC}{v}_C(t)=\frac{v_s(t)}{LC}}$$

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1.2 Dedução Analítica do Circuito RLC Paralelo

Considere agora um nó comum onde estão conectados em paralelo um resistor $R$, um indutor $L$, um capacitor $C$ e uma fonte independente de corrente $i_s(t)$:

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) no nó superior:

$$i_R(t)+i_L(t)+i_C(t)=i_s(t)$$

Substituindo as relações constitutivas dos ramos em função da tensão nodal compartilhada $v(t)$:

$$\frac{v(t)}{R}+i_L(t)+C\frac{dv(t)}{dt}=i_s(t)$$

A tensão nos terminais do nó é a própria tensão desenvolvida sobre o indutor:

$$v(t)=L\frac{d{i}_L(t)}{dt}⟹\frac{dv(t)}{dt}=L\frac{d^2{i}_L(t)}{d{t}^2}$$

Substituindo na equação nodal da LKC:

$$\frac{L}{R}\frac{d{i}_L}{dt}+i_L(t)+C\left(L\frac{d^2{i}_L}{d{t}^2}\right)=i_s(t)$$

Dividindo toda a equação por $LC$:

$$\boxed{\frac{d^2{i}_L(t)}{d{t}^2}+\frac{1}{RC}\frac{d{i}_L(t)}{dt}+\frac{1}{LC}{i}_L(t)=\frac{i_s(t)}{LC}}$$

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2. A Equação Característica Canônica e Parâmetros Universais

Ambas as equações diferenciais deduzidas (série e paralelo) enquadram-se na mesma forma canônica universal de segunda ordem:

$$\boxed{\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}+2\alpha \frac{dx(t)}{dt}+{\omega }_0^{2}x(t)=f(t)}$$

onde $x(t)$ é a variável de estado de interesse ($v_C(t)$ no circuito série; $i_L(t)$ no circuito paralelo).

2.1 A Equação Característica Algébrica

Para determinar a resposta natural (solução homogênea, com $f(t)=0$), propõe-se uma solução na forma exponencial $x_h(t)=A{e}^{st}$. Substituindo na EDO homogênea:

$$s^{2}A{e}^{st}+2\alpha sA{e}^{st}+{\omega }_0^{2}A{e}^{st}=0⟹(s^2+2\alpha s+{\omega }_0^2)A{e}^{st}=0$$

Como $A{e}^{st}\ne 0$ para todo $t$ finito, obtém-se a Equação Característica:

$$\boxed{s^2+2\alpha s+{\omega }_0^2=0}$$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, as raízes características (polos da função de transferência) são:

$$\boxed{s_{1,2}=-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}}$$

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2.2 Tabela Comparativa de Parâmetros: RLC Série vs RLC Paralelo

Parâmetro Fundamental	Notação / Unidade	Circuito RLC Série	Circuito RLC Paralelo
Frequência de Ressonância Não-Amortecida	${\omega }_0$ [$\text{rad/s}$]	${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$	${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
Fator de Amortecimento de Neper	$\alpha$ [$\text{Np/s}$]	$\alpha =\frac{R}{2L}$	$\alpha =\frac{1}{2RC}$
Fator de Amortecimento Adimensional	$\zeta$ [adimensional]	$\zeta =\frac{\alpha }{{\omega }_0}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$	$\zeta =\frac{\alpha }{{\omega }_0}=\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
Fator de Qualidade da Ressonância	$Q$ [adimensional]	$Q=\frac{{\omega }_0}{2\alpha }=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$	$Q=\frac{{\omega }_0}{2\alpha }=R\sqrt{\frac{C}{L}}$
Relação entre $Q$ e $\zeta$	—	$Q=\frac{1}{2\zeta }$	$Q=\frac{1}{2\zeta }$

Dualidade entre Série e Paralelo

Observe a inversão rigorosa no papel da resistência $R$:

• No circuito RLC Série, aumentar $R$ aumenta as perdas Joule na malha, elevando $\alpha$ ($\alpha \propto R$).
• No circuito RLC Paralelo, diminuir $R$ drena mais corrente pelo resistor, aumentando o amortecimento ($\alpha \propto 1/R$). O resistor de amortecimento infinito ($R\to \infty$) no circuito paralelo equivale à ausência de perdas ($\alpha =0$, circuito ressonante puro LC).

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3. Os Três Regimes de Amortecimento

A natureza matemática das raízes $s_{1,2}$ e o perfil qualitativo da resposta temporal $x(t)$ dependem exclusivamente da relação entre o fator de amortecimento $\alpha$ e a frequência de ressonância ${\omega }_0$ (ou seja, do sinal do discriminante $\Delta ={\alpha }^2-{\omega }_0^2$).

3.1 Regime Superamortecido ($\alpha >{\omega }_0⟺\zeta >1$)

Neste regime, o amortecimento dissipativo do sistema predomina amplamente sobre as forças reativas de troca de energia entre $L$ e $C$.

• Discriminante: ${\alpha }^2-{\omega }_0^2>0$ (estritamente positivo).
• Polos no Plano $s$: Duas raízes reais, distintas e estritamente negativas: $s_1=-\alpha +\sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}<0,s_2=-\alpha -\sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}<0$ onde $|s_2|>|s_1|$ (o polo $s_1$ está mais próximo do eixo imaginário e governa o decaimento assintótico longo).
• Expressão da Resposta Natural: $$\boxed{x_n(t)=A_1{e}^{s_{1}t}+A_2{e}^{s_{2}t}}(t\ge 0)$$
• Características Físicas: A resposta é uma soma de duas exponenciais decrescentes. O sinal não oscila; ele retorna ao regime de repouso de forma relativamente lenta e monótona.

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3.2 Regime Criticamente Amortecido ($\alpha ={\omega }_0⟺\zeta =1$)

O amortecimento crítico representa o limite exato de transição entre o regime oscilatório e o regime não-oscilatório.

• Discriminante: ${\alpha }^2-{\omega }_0^2=0$.
• Polos no Plano $s$: Uma raiz real dupla (de multiplicidade 2): $s_1=s_2=-\alpha =-{\omega }_0$
• Expressão da Resposta Natural: Pela teoria das equações diferenciais lineares com raízes repetidas: $$\boxed{x_n(t)=(A_1+A_{2}t)e^{-\alpha t}}(t\ge 0)$$
• Características Físicas: É o regime que proporciona o retorno mais rápido possível ao estado permanente sem que ocorra nenhuma oscilação ou sobretensão (overshoot). Por esse motivo, é o regime almejado no projeto de galvanômetros, servomecanismos de posicionamento, amortecedores veiculares e filtros de potência.

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3.3 Regime Subamortecido ($\alpha <{\omega }_0⟺0\le \zeta <1$)

Neste regime, a energia armazenada oscila intensamente entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor antes de ser gradativamente dissipada pelo resistor.

• Discriminante: ${\alpha }^2-{\omega }_0^2<0$ (estritamente negativo).
• Polos no Plano $s$: Um par de raízes complexas conjugadas localizadas no semiplano esquerdo: $s_{1,2}=-\alpha \pm j\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}=-\alpha \pm j{\omega }_d$ onde ${\omega }_d$ é a Frequência Angular Amortecida: $\boxed{{\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}}[\text{rad/s}]$
• Expressão da Resposta Natural: Aplicando a Fórmula de Euler ($e^{\pm j{\omega }_{d}t}=\cos {\omega }_{d}t\pm j\sin {\omega }_{d}t$): $$\boxed{x_n(t)=e^{-\alpha t}\left[B_1\cos ({\omega }_{d}t)+B_2\sin ({\omega }_{d}t)\right]}(t\ge 0)$$ Alternativamente, expressa na forma de amplitude e fase: $$x_n(t)=M{e}^{-\alpha t}\cos ({\omega }_{d}t-\theta )$$ onde $M=\sqrt{B_1^2+B_2^2}$ e $\theta =\arctan (B_2/B_1)$.
• Características Físicas: A resposta exibe oscilações senoidais na frequência ${\omega }_d$, confinadas dentro de um envelope exponencial amortecedor decrescente $\pm M{e}^{-\alpha t}$. O sistema apresenta ultrapassagens pronunciadas (overshoots) que podem submeter os componentes a solicitações dielétricas perigosas.

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4. Determinação das Constantes a Partir das Condições Iniciais

A solução completa da resposta ao degrau de segunda ordem é:

$$x(t)=x(\infty )+x_n(t)$$

Como a equação diferencial é de 2ª ordem, existem duas constantes de integração arbitrárias ($A_1,A_2$ ou $B_1,B_2$) que exigem a determinação rigorosa de duas condições de contorno em $t=0^{+}$:

Protocolo Sistemático de Condições Iniciais

1. Primeira Condição: Valor Inicial $x(0^{+})$ Pelo princípio da continuidade das variáveis de estado fundamentais: $v_C(0^{+})=v_C(0^{-})\text{e}{i}_L(0^{+})=i_L(0^{-})$ Iguala-se a equação geral da variável calculada em $t=0$ ao valor numérico $x(0^{+})$: $x(0)=x(\infty )+x_n(0)=x(0^{+})$

2. Segunda Condição: Taxa Inicial de Variação ${\frac{dx}{dt}|}_{t=0^{+}}$ Obtém-se essa derivada aplicando as Leis de Kirchhoff ao circuito exatamente no instante $t=0^{+}$:

   • Para Circuito RLC Série (onde a variável principal é $x(t)=v_C(t)$): Pela relação constitutiva do capacitor: $\boxed{{\frac{d{v}_C}{dt}|}_{t=0^{+}}=\frac{i_C(0^{+})}{C}=\frac{i_L(0^{+})}{C}}$
   • Para Circuito RLC Paralelo (onde a variável principal é $x(t)=i_L(t)$): Pela relação constitutiva do indutor: $\boxed{{\frac{d{i}_L}{dt}|}_{t=0^{+}}=\frac{v_L(0^{+})}{L}=\frac{v_C(0^{+})}{L}}$

Diferencia-se a equação analítica de $x(t)$ em relação ao tempo, aplica-se $t=0$ e iguala-se ao valor obtido pela análise estática em $t=0^{+}$. Resolve-se o sistema linear resultante de duas equações a duas incógnitas.

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5. Aplicações Práticas: Sobretensões em Chaveamento de Bancos de Capacitores

Na engenharia de Sistemas Elétricos de Potência (SEP) e subestações industriais, o chaveamento de bancos de capacitores para correção do fator de potência cria uma malha RLC série composta pela indutância equivalente da rede ($L_{eq}\approx \text{reataˆncia de curto-circuito}$), pela capacitância do banco ($C$) e pela baixíssima resistência dos condutores e barramentos ($R\ll 1\Omega$).

Como $R$ é ínfimo:

$$\alpha =\frac{R}{2L}\approx 0⟹\alpha \ll {\omega }_0⟹\zeta \approx 0(\text{Regime Fortemente Subamortecido})$$

No instante do fechamento do disjuntor em um ponto de pico da senoide da rede ($V_{\text{pico}}$), se o capacitor estiver inicialmente descarregado ($v_C(0^{+})=0$):

$$v_C(t)\approx V_{\text{pico}}-V_{\text{pico}}\cos ({\omega }_{0}t)=V_{\text{pico}}(1-\cos {\omega }_{0}t)$$

Quando ${\omega }_{0}t=\pi$ rad ($180^{\circ }$):

$$v_C(\text{pico})=V_{\text{pico}}[1-(-1)]=\boxed{2,0\cdot V_{\text{pico}}}$$

Risco Operacional de Sobretensão Transitória (TRT)

A tensão nos terminais do banco pode atingir o dobro da tensão nominal de pico ($2,0\text{ p.u.}$) em frequências da ordem de centenas de Hertz a dezenas de kilohertz. Caso ocorra reacendimento do arco elétrico no polo do disjuntor (restrike), essa sobretensão pode se amplificar teoricamente para até $3,0$ ou $4,0\text{ p.u.}$, deflagrando a queima dos dielétricos ou a destruição de para-raios adjacentes.

Mitigações de Engenharia: Instalação de reatores de amortecimento de inserção (inrush reactors), resistores de pré-inserção mecânica na manobra do disjuntor e relés com chaveamento sincronizado no zero da tensão.

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6. Exercícios Práticos Resolvidos Passo a Passo (Mão na Massa)

🏋️ Mão na Massa 01: Circuito RLC Série Subamortecido

Enunciado: Um circuito RLC série possui $R=20\Omega$, $L=0,1\text{ H}$ e $C=50\mu \text{F}$. O circuito é alimentado a partir de $t=0$ por uma fonte contínua de tensão de $V_s=100\text{ V}$. O indutor e o capacitor encontravam-se inicialmente desenergizados ($i_L(0^{-})=0$ e $v_C(0^{-})=0$).

1. Determine a frequência de ressonância não-amortecida ${\omega }_0$ e o coeficiente de amortecimento $\alpha$.
2. Classifique o regime de amortecimento do circuito.
3. Calcule a frequência angular amortecida ${\omega }_d$ e os polos do sistema $s_{1,2}$.
4. Obtenha a expressão analítica completa da tensão no capacitor $v_C(t)$ para $t\ge 0$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Cálculo dos Parâmetros Fundamentais

• Frequência de ressonância não-amortecida:

  $${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0,1\times (50\times 10^{-6})}}=\frac{1}{\sqrt{5\times 10^{-6}}}=\frac{1}{2,236\times 10^{-3}}\approx 447,21\text{ rad/s}$$

  ${\omega }_0^2=\frac{1}{5\times 10^{-6}}=200.000{\text{ (rad/s)}}^2$

• Coeficiente de amortecimento de Neper (RLC Série):

  $$\alpha =\frac{R}{2L}=\frac{20\Omega }{2\times 0,1\text{ H}}=\frac{20}{0,2}=100\text{ Np/s}$$

  ${\alpha }^2=10.000{\text{ (Np/s)}}^2$

Passo 2: Classificação do Regime Comparando $\alpha$ e ${\omega }_0$:

$$\alpha =100\text{ Np/s}<{\omega }_0=447,21\text{ rad/s}⟹\alpha <{\omega }_0$$

Portanto, o circuito opera no Regime Subamortecido.

Passo 3: Frequência Amortecida e Polos

$${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}=\sqrt{200.000-10.000}=\sqrt{190.000}\approx 435,89\text{ rad/s}$$

Os polos característicos são o par complexo conjugado:

$$\boxed{s_{1,2}=-100\pm j435,89{\text{ s}}^{-1}}$$

Passo 4: Expressão da Resposta ao Degrau A resposta completa é a soma do valor de regime permanente com a resposta natural subamortecida:

• Regime permanente ($t\to \infty$): o indutor age como curto e o capacitor como circuito aberto, logo $v_C(\infty )=V_s=100\text{ V}$.
• Resposta natural: $v_C(t)=100+e^{-100t}\left[B_1\cos (435,89t)+B_2\sin (435,89t)\right]$

Passo 5: Imposição das Condições Iniciais

1. Tensão inicial em $t=0^{+}$: $v_C(0^{+})=0\text{ V}⟹100+e^0[B_1\cos (0)+B_2\sin (0)]=0⟹100+B_1=0⟹B_1=-100\text{ V}$

2. Derivada inicial da tensão em $t=0^{+}$: ${\frac{d{v}_C}{dt}|}_{t=0^{+}}=\frac{i_C(0^{+})}{C}=\frac{i_L(0^{+})}{C}=\frac{0}{C}=0\text{ V/s}$ Diferenciando $v_C(t)$ pela regra do produto: $\frac{d{v}_C}{dt}=-100e^{-100t}[B_1\cos ({\omega }_{d}t)+B_2\sin ({\omega }_{d}t)]+e^{-100t}[-B_1{\omega }_d\sin ({\omega }_{d}t)+B_2{\omega }_d\cos ({\omega }_{d}t)]$ Avaliando em $t=0$: ${\frac{d{v}_C}{dt}|}_0=-100B_1+{\omega }_d{B}_2=0$ Substituindo $B_1=-100$ e ${\omega }_d=435,89$: $-100(-100)+435,89B_2=0⟹10000+435,89B_2=0⟹B_2=-\frac{10000}{435,89}\approx -22,94\text{ V}$

Portanto, a equação temporal completa da tensão é:

$$\boxed{v_C(t)=100-e^{-100t}\left[100\cos (435,89t)+22,94\sin (435,89t)\right]\text{ V}}(t\ge 0)$$

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🏋️ Mão na Massa 02: Dimensionamento de Resistor para Amortecimento Crítico

Enunciado: Um filtro automotivo RLC paralelo possui indutor $L=5\text{ mH}$ e capacitor $C=20\mu \text{F}$. Deseja-se que a resposta transitória à injeção de corrente atinja o regime estacionário o mais rápido possível sem apresentar nenhuma oscilação ou sobressinal (amortecimento crítico).

1. Determine o valor da resistência $R$ necessária para garantir o regime criticamente amortecido.
2. Calcule o valor da raiz dupla resultante dos polos do sistema.
3. Se a mesma indutância e capacitância fossem conectadas em série, qual seria a resistência necessária para obter o amortecimento crítico?

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Frequência de Ressonância Natural ${\omega }_0$

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{(5\times 10^{-3}\text{ H})\times (20\times 10^{-6}\text{ F})}}=\frac{1}{\sqrt{100\times 10^{-9}}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-7}}}=\frac{1}{3,1623\times 10^{-4}}\approx 3162,28\text{ rad/s}$$

Passo 2: Condição de Amortecimento Crítico em RLC Paralelo Para o circuito paralelo:

$$\alpha =\frac{1}{2RC}$$

Impondo a condição crítica $\alpha ={\omega }_0$:

$$\frac{1}{2R_{\text{paralelo}}C}={\omega }_0⟹R_{\text{paralelo}}=\frac{1}{2{\omega }_{0}C}=\frac{1}{2C}\sqrt{LC}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

Substituindo os valores numéricos:

$$R_{\text{paralelo}}=\frac{1}{2\times (3162,28)\times (20\times 10^{-6})}=\frac{1}{0,12649}\approx 7,91\Omega$$

Verificando pela raiz da impedância característica:

$$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{5\times 10^{-3}}{20\times 10^{-6}}}=\sqrt{250}\approx 15,81\Omega ⟹R_{\text{paralelo}}=\frac{Z_0}{2}=\frac{15,81}{2}\approx 7,91\Omega$$

Passo 3: Raiz Dupla Característica

$$s_1=s_2=-\alpha =-{\omega }_0=-3162,28{\text{ s}}^{-1}$$

Passo 4: Comparativo com o Caso RLC Série Para o circuito RLC série, a condição crítica é:

$$\alpha =\frac{R}{2L}={\omega }_0⟹R_{\text{seˊrie}}=2{\omega }_{0}L=2L\frac{1}{\sqrt{LC}}=2\sqrt{\frac{L}{C}}=2Z_0$$ $$R_{\text{seˊrie}}=2\times 15,81\Omega =31,62\Omega$$

Relação Notável de Projeto

Para os mesmos elementos $L$ e $C$, a resistência para amortecimento crítico em série é exatamente 4 vezes maior que a resistência para amortecimento crítico em paralelo: $\frac{R_{\text{seˊrie}}}{R_{\text{paralelo}}}=\frac{2Z_0}{Z_0/2}=4$

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🏋️ Mão na Massa 03: Circuito RLC com Condições Iniciais Simultâneas

Enunciado: Em um circuito RLC série sem fontes externas para $t\ge 0$, temos $R=80\Omega$, $L=1\text{ H}$ e $C=625\mu \text{F}$. No instante imediatamente anterior à chave ser manobrada ($t=0^{-}$), o indutor conduzia uma corrente $i_L(0^{-})=2\text{ A}$ e o capacitor sustentava uma tensão $v_C(0^{-})=40\text{ V}$.

1. Calcule $\alpha$ e ${\omega }_0$ e classifique o circuito.
2. Determine as raízes da equação característica.
3. Obtenha a expressão da corrente da malha $i(t)$ para $t\ge 0$.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Parâmetros do Circuito

• Coeficiente de amortecimento: $\alpha =\frac{R}{2L}=\frac{80}{2\times 1}=40\text{ Np/s}$
• Frequência de ressonância: ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{1\times 625\times 10^{-6}}}=\frac{1}{25\times 10^{-3}}=40\text{ rad/s}$

Como $\alpha ={\omega }_0=40$, o circuito opera no Regime Criticamente Amortecido.

Passo 2: Raiz Dupla

$$s_1=s_2=-\alpha =-40{\text{ s}}^{-1}$$

Passo 3: Forma Geral da Corrente $i(t)$ Para amortecimento crítico sem fontes externas:

$$i(t)=(A_1+A_{2}t)e^{-40t}$$

Passo 4: Condições Iniciais da Corrente

1. Em $t=0^{+}$: $i(0^{+})=i_L(0^{+})=2\text{ A}⟹(A_1+0)e^0=2⟹\boxed{A_1=2\text{ A}}$

2. Taxa de variação inicial ${\frac{di}{dt}|}_{0^{+}}$: Pela LKV na malha em $t=0^{+}$ (sem fontes externas): $v_R(0^{+})+v_L(0^{+})+v_C(0^{+})=0⟹Ri(0^{+})+L{\frac{di}{dt}|}_{0^{+}}+v_C(0^{+})=0$ Substituindo os valores conhecidos ($R=80\Omega$, $i(0^{+})=2\text{ A}$, $L=1\text{ H}$, $v_C(0^{+})=40\text{ V}$): $80(2)+1\cdot {\frac{di}{dt}|}_{0^{+}}+40=0⟹160+{\frac{di}{dt}|}_{0^{+}}+40=0⟹{\frac{di}{dt}|}_{0^{+}}=-200\text{ A/s}$

3. Determinando a constante $A_2$: Diferenciando $i(t)$: $\frac{di}{dt}=A_2{e}^{-40t}-40(A_1+A_{2}t)e^{-40t}$ Avaliando em $t=0$: ${\frac{di}{dt}|}_0=A_2-40A_1=-200$ Como $A_1=2$: $A_2-40(2)=-200⟹A_2-80=-200⟹\boxed{A_2=-120\text{ A/s}}$

Portanto, a corrente da malha é descrita por:

$$\boxed{i(t)=(2-120t)e^{-40t}\text{ A}}(t\ge 0)$$

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7. Questões de Concursos e Exames Oficiais com Gabarito Comentado

📝 Questão 01 — Sercomtel-PR - 2015 - Parâmetros Fundamentais do Circuito RLC

Órgão: Companhia de Telecomunicações / Engenheiro Eletricista
Enunciado: Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante) consiste em um resistor ($R$), um indutor ($L$) e um capacitor ($C$), conectados em série ou em paralelo. O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem, visto que qualquer tensão ou corrente pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem. Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem matematicamente o comportamento dinâmico e o regime de qualquer circuito RLC. Assinale a alternativa que indica corretamente esses dois parâmetros:

• A) Frequência de ressonância (${\omega }_0$) e Fator de amortecimento de Neper ($\alpha$).
• B) Fator de potência e Reatância indutiva.
• C) Constante de tempo de carga ($\tau$) e Tensão de pico a pico.
• D) Frequência de corte a $-3\text{ dB}$ e Ganho de malha aberta.
• E) Impedância característica e Admitância nodal.

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A
• Justificativa: Os dois coeficientes universais da equação diferencial canônica de 2ª ordem são a frequência angular não-amortecida (${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$) e o fator de amortecimento de Neper ($\alpha$, dado por $R/2L$ em série ou $1/2RC$ em paralelo). A relação entre $\alpha$ e ${\omega }_0$ define unicamente se o circuito será superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido.

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📝 Questão 02 — Petrobras / CESPE - Engenharia Elétrica - Análise de Chaveamento

Enunciado: Um circuito RLC paralelo composto por uma fonte de corrente independente contínua de $10\text{ A}$, um resistor de $R=50\Omega$, um indutor de $L=0,2\text{ H}$ e um capacitor de $C=20\mu \text{F}$ opera em regime permanente com a fonte conectada. A respeito desse circuito, julgue os itens a seguir:

1. No regime permanente estacionário com a fonte conectada, a tensão sobre o capacitor é nula.
2. O fator de amortecimento de Neper do circuito paralelo vale $\alpha =500\text{ Np/s}$.
3. O circuito opera no regime subamortecido.

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Análise do Item 1 (CERTO): Em regime permanente CC ($t\to \infty$), o indutor comporta-se como um curto-circuito ideal. Como todos os elementos estão em paralelo, a tensão em todos os ramos é idêntica à tensão no indutor: $v_C(\infty )=v_L(\infty )=0\text{ V}$. O item está CERTO.
• Análise do Item 2 (CERTO): Para a configuração paralela: $\alpha =\frac{1}{2RC}=\frac{1}{2\times 50\times (20\times 10^{-6})}=\frac{1}{100\times 20\times 10^{-6}}=\frac{1}{2\times 10^{-3}}=500\text{ Np/s}$ O item está CERTO.
• Análise do Item 3 (CERTO): Calculando ${\omega }_0$: ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0,2\times 20\times 10^{-6}}}=\frac{1}{\sqrt{4\times 10^{-6}}}=\frac{1}{2\times 10^{-3}}=500\text{ rad/s}$ Como $\alpha =500\text{ Np/s}$ e ${\omega }_0=500\text{ rad/s}$, temos $\alpha ={\omega }_0$. Portanto, o circuito opera no regime criticamente amortecido (e não subamortecido). Logo, o item 3 está ERRADO.

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📝 Questão 03 — FUMARC - 2018 - Fator de Qualidade em Circuitos RLC

Enunciado: Em um circuito RLC série, os valores dos componentes são $R=10\Omega$, $L=100\text{ mH}$ e $C=10\mu \text{F}$. O Fator de Qualidade ($Q$) deste circuito ressonante é igual a:

• A) $10$
• B) $5$
• C) $1$
• D) $0,1$
• E) $0,01$

Gabarito e Justificativa Comentada:

• Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($Q=10$)
• Resolução Formal: O Fator de Qualidade para o circuito RLC série é: $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ Substituindo os parâmetros: $Q=\frac{1}{10\Omega }\sqrt{\frac{100\times 10^{-3}\text{ H}}{10\times 10^{-6}\text{ F}}}=\frac{1}{10}\sqrt{\frac{10^{-1}}{10^{-5}}}=\frac{1}{10}\sqrt{10^4}=\frac{1}{10}\times 100=10$ Alternativa A correta.

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8. Resumo Técnico Comparativo de Bancada

Propriedade / Regime	Superamortecido	Criticamente Amortecido	Subamortecido
Condição de Amortecimento	$\alpha >{\omega }_0$ ($\zeta >1$)	$\alpha ={\omega }_0$ ($\zeta =1$)	$\alpha <{\omega }_0$ ($0\le \zeta <1$)
Fator de Qualidade ($Q$)	$Q<0,5$	$Q=0,5$	$Q>0,5$
Raízes da Característica ($s_{1,2}$)	Duas reais distintas negativas	Uma real dupla negativa: $-\alpha$	Par complexo conjugado: $-\alpha \pm j{\omega }_d$
Perfil da Forma de Onda	Decaimento monótono lento	Acomodação rápida monótona	Oscilações com sobretensão
Frequência de Oscilação	Não há oscilação	Não há oscilação	${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}$
Solução Homogênea $x_n(t)$	$A_1{e}^{s_{1}t}+A_2{e}^{s_{2}t}$	$(A_1+A_{2}t)e^{-\alpha t}$	$e^{-\alpha t}[B_1\cos {\omega }_{d}t+B_2\sin {\omega }_{d}t]$
Aplicação Típica	Relés temporizados	Instrumentos e ponteiros	Circuitos de rádio, ignição, lasers

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9. Referências Bibliográficas

1. SADIKU, Matthew N. O.; ALEXANDER, Charles K. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2013. (Capítulo 8: Circuitos de Segunda Ordem).
2. BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. (Capítulo 17: Ressonância RLC).
3. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016. (Capítulo 8: Resposta Natural e ao Degrau de Circuitos RLC).
4. OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. (Análise de Transitórios de Sistemas de 2ª Ordem).
5. Apostila do Curso: Circuitos de Segunda Ordem - Módulos 1, 2 e 3.