⚡ Aula 03: Integrais Duplas, Teorema de Fubini, Coordenadas Polares e Aplicações em Engenharia

MOC da Disciplina • MOC da Área 01 ← Aula Anterior: Funções de Várias Variáveis • Próxima Aula: Integrais Triplas →

---

Integração Curricular & Contexto

• Disciplina: Cálculo de Múltiplas Variáveis
• Área: 01 Matemática e Estatística
• Material Oficial Base: Integrais Duplas
• Objetivo: Compreender a formulação de integrais duplas a partir das somas de Riemann bidimensionais, aplicar o Teorema de Fubini para o cálculo de integrais iteradas sobre regiões planas gerais dos Tipos I e II, dominar a técnica de inversão da ordem de integração em integrandos não elementares, calcular áreas, volumes e fatores de escala com o determinante Jacobiano, efetuar a mudança de coordenadas para o sistema polar ($dA=rdrd\theta$), deduzir analiticamente a integral gaussiana universal e aplicar o formalismo no cálculo de carga elétrica total em placas condutoras com densidade superficial não uniforme $\sigma (x,y)$.

---

📌 Sumário da Aula

1. 1. Conceito e Definição da Integral Dupla
   • 1.1 Somas de Riemann Bidimensionais
2. 2. O Teorema de Fubini e Regiões de Integração
   • 2.1 O Teorema de Fubini sobre Retângulos
   • 2.2 Regiões Gerais no Plano: Tipo I vs. Tipo II
   • 2.3 Inversão na Ordem de Integração
3. 3. Mudança de Variáveis e o Determinante Jacobiano
4. 4. Integrais Duplas em Coordenadas Polares
   • 4.1 O Elemento de Área em Coordenadas Polares
   • 4.2 Dedução da Integral Gaussiana Imprópria
5. 5. Aplicações Práticas em Engenharia Elétrica
   • 5.1 Carga Elétrica Total em Placas Condutoras
   • 5.2 Centro de Massa e Centro de Carga
6. 6. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy & SciPy)
7. 7. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)
   • Questão 1 — Volume sob Paraboloide Elíptico
   • Questão 2 — Carga Elétrica Total em Disco com Densidade Radial
   • Questão 3 — Inversão da Ordem de Integração
   • Questão 4 — Área de Rosácea Polar
8. 8. Considerações Finais e Próximos Passos

---

1. Conceito e Definição da Integral Dupla

1.1 Somas de Riemann Bidimensionais

Seja uma função real contínua $f(x,y)\ge 0$ definida sobre uma região fechada e limitada $R=[a,b]\times [c,d]$ no plano cartesiano $xy$. Dividindo o intervalo $[a,b]$ em $m$ subintervalos de largura $\Delta x$ e $[c,d]$ em $n$ subintervalos de largura $\Delta y$, o retângulo $R$ é subdividido em $m\times n$ pequenos sub-retângulos $R_{ij}$ de área: $\Delta A=\Delta x\Delta y$

Escolhendo um ponto amostral $(x_{ij}^{\ast },y_{ij}^{\ast })\in R_{ij}$, a soma dos volumes dos paralelepípedos elementares de base $\Delta A$ e altura $f(x_{ij}^{\ast },y_{ij}^{\ast })$ forma a Soma de Riemann Bidimensional: $S_{m,n}={\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^{n}f(x_{ij}^{\ast },y_{ij}^{\ast })\Delta A$

Tomando o limite quando a malha se torna infinitamente refinada ($\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$): ${\iint }_{R}f(x,y)dA={\lim }_{m,n\to \infty }{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^{n}f(x_{ij}^{\ast },y_{ij}^{\ast })\Delta A$

• Significado Geométrico: Se $f(x,y)\ge 0$, a integral dupla expressa o volume do sólido tridimensional delimitado superiormente pela superfície $z=f(x,y)$ e inferiormente pela região $R$ no plano $xy$;
• Cálculo de Área Plana: Se $f(x,y)\equiv 1$, a integral dupla mede diretamente a área geométrica da região $D$: $\acute{\mathrm{A}}\mathrm{rea}(D)={\iint }_{D}1dA$

---

2. O Teorema de Fubini e Regiões de Integração

2.1 O Teorema de Fubini sobre Retângulos

Se $f(x,y)$ é contínua no retângulo $R=[a,b]\times [c,d]$, a integral dupla pode ser calculada através de integrais iteradas unidimensionais, e a ordem de integração é absolutamente indiferente: ${\iint }_{R}f(x,y)dA={\int }_a^b\left[{\int }_c^{d}f(x,y)dy\right]dx={\int }_c^d\left[{\int }_a^{b}f(x,y)dx\right]dy$

Caso especial de funções fatoráveis $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$: ${\iint }_{R}g(x)h(y)dA=\left({\int }_a^{b}g(x)dx\right)\cdot \left({\int }_c^{d}h(y)dy\right)$

2.2 Regiões Gerais no Plano: Tipo I vs. Tipo II

Na maioria dos problemas de engenharia, a região de integração $D$ não é retangular:

Figura 1: Integrais Duplas, Teorema de Fubini, Mapeamento em Coordenadas Polares e Jacobiano.

1. Região do Tipo I (Faixa Vertical): A região $D$ está compreendida entre duas retas verticais $x=a$ e $x=b$, e limitada por curvas contínuas $y=g_1(x)$ (piso) e $y=g_2(x)$ (teto): ${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_a^b\left[{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy\right]dx$

2. Região do Tipo II (Faixa Horizontal): A região $D$ está compreendida entre duas retas horizontais $y=c$ e $y=d$, e limitada por curvas $x=h_1(y)$ (esquerda) e $x=h_2(y)$ (direita): ${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_c^d\left[{\int }_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dx\right]dy$

2.3 Inversão na Ordem de Integração

Algumas integrais são impossíveis de integrar na ordem original (por exemplo, ${\int }_0^1{\int }_y^1{e}^{x^2}dxdy$). Ao inverter a região de Tipo II para Tipo I ($0\le x\le 1$ e $0\le y\le x$), a integral se resolve trivialmente: ${\int }_0^1\left[{\int }_0^x{e}^{x^2}dy\right]dx={\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx={\left[\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right]}_0^1=\frac{e-1}{2}$

---

3. Mudança de Variáveis e o Determinante Jacobiano

Sejam $x=g(u,v)$ e $y=h(u,v)$ funções continuamente diferenciáveis que realizam um mapeamento bijetor de uma região $S$ no plano $uv$ sobre a região $D$ no plano $xy$.

O Determinante Jacobiano da transformação mede a taxa local de ampliação ou compressão de área: $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\det \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right]=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$

Fórmula da Mudança de Variáveis em Integrais Duplas: ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{S}f(g(u,v),h(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$

---

4. Integrais Duplas em Coordenadas Polares

4.1 O Elemento de Área em Coordenadas Polares

Nas coordenadas polares $(r,\theta )$, a relação com o plano cartesiano é: $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$ Calculando o Determinante Jacobiano da transformação polar: $\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\det \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]=r{\cos }^2\theta -(-r{\sin }^2\theta )=r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r$

Portanto, o elemento diferencial de área polar é: $dA=dxdy=rdrd\theta$

Geometricamente, o elemento diferencial de área polar corresponde a um setor anular elementar de lados ortogonais $dr$ (radial) e $rd\theta$ (arco transversal subentendido pelo ângulo infinitesimal $d\theta$): $dA=dr\cdot (rd\theta )=rdrd\theta$

4.2 Dedução da Integral Gaussiana Imprópria

Um dos resultados mais elegantes da matemática pura e da teoria da probabilidade é o cálculo da integral de Gauss $I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$: $I^2=\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2}dy\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$ Passando para coordenadas polares sobre todo o plano ${\mathbb{R}}^2$ ($0\le r<\infty$ e $0\le \theta \le 2\pi$): $I^2={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdr=2\pi {\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^{\infty }=2\pi \left(0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\pi$ Logo: $I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

---

5. Aplicações Práticas em Engenharia Elétrica

5.1 Carga Elétrica Total em Placas Condutoras

Seja uma placa condutora plana de formato geométrico $D$ cuja densidade superficial de cargas $\sigma (x,y)$ varia espacialmente em coulombs por metro quadrado (${\text{C/m}}^2$). A carga elétrica total acumulada $Q$ no eletrodo do capacitor é dada pela integral dupla da densidade de carga sobre a área: $Q={\iint }_D\sigma (x,y)dA$

5.2 Centro de Massa e Centro de Carga

Se uma placa possui densidade superficial de massa $\rho (x,y)$, a massa total $M$ e as coordenadas do centro de gravidade $(\bar{x},\bar{y})$ são: $M={\iint }_D\rho (x,y)dA$ $\bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}x\rho (x,y)dA,\bar{y}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}y\rho (x,y)dA$

Analogamente, os Momentos de Inércia em relação aos eixos $x$ e $y$ e o momento polar $I_0$: $I_x={\iint }_D{y}^2\rho (x,y)dA,I_y={\iint }_D{x}^2\rho (x,y)dA,I_0=I_x+I_y={\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)dA$

---

6. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy & SciPy)

O script a seguir calcula integrais duplas cartesianas e polares simbolicamente e numericamente para distribuições de carga:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Carga Total em Placa Retangular [0, 2] x [0, 3] com densidade sigma(x,y) = x*y
• 2. Carga em Disco Circular de Raio R = 2 com densidade polar sigma(r) = sigma0 / (1 + r
• Lembrar do jacobiano ‘r’!
• 3. Dedução Simbólica da Integral Gaussiana

---

7. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)

Abaixo, a resolução analítica detalhada dos exercícios essenciais sobre integrais duplas e coordenadas polares:

Questão 1 — Volume sob Paraboloide Elíptico

Questão 1

Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pelo paraboloide $z=4-x^2-y^2$ e inferiormente pelo plano $xy$ ($z=0$):

• A) $4\pi$

• B) $8\pi$

• C) $16\pi$

• D) $2\pi$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: B ($8\pi$)

Resolução Analítica:

1. A interseção da superfície com o plano $z=0$ define a fronteira da região $D$ no plano $xy$: $4-x^2-y^2=0⟹x^2+y^2=4$ Trata-se de um círculo de raio $R=2$ centrado na origem.
2. Mudança para coordenadas polares: $x^2+y^2=r^2$, com $0\le r\le 2$ e $0\le \theta \le 2\pi$, e $dA=rdrd\theta$: $V={\iint }_D(4-x^2-y^2)dA={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^2(4-r^2)rdr$
3. Integrando: ${\int }_0^2(4r-r^3)dr={\left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]}_0^2=2(4)-\frac{16}{4}=8-4=4$
4. Multiplicando pelo ângulo: $V=2\pi \cdot 4=8\pi$

---

Questão 2 — Carga Elétrica Total em Disco com Densidade Radial

Questão 2

Um disco condutor de raio $R=1\text{ m}$ possui densidade superficial de carga $\sigma (r)=3r^2{\text{ (C/m}}^2\text{)}$. Determine a carga elétrica total $Q$ armazenada no disco:

• A) $\frac{3\pi }{2}\text{ C}$

• B) $3\pi \text{ C}$

• C) $\frac{\pi }{2}\text{ C}$

• D) $2\pi \text{ C}$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($\frac{3\pi }{2}\text{ C}$)

Resolução Analítica:

1. A carga total é dada pela integral dupla em coordenadas polares: $Q={\iint }_D\sigma (r)dA={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1(3r^2)\cdot (rdrd\theta )$
2. Integrando na variável radial $r$: ${\int }_0^{1}3r^{3}dr={\left[\frac{3r^4}{4}\right]}_0^1=\frac{3}{4}$
3. Integrando no ângulo $\theta$: $Q=\left({\int }_0^{2\pi }d\theta \right)\cdot \frac{3}{4}=2\pi \cdot \frac{3}{4}=\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}\text{ C}$

---

Questão 3 — Inversão da Ordem de Integração

Questão 3

Calcule o valor da integral iterada ${\int }_0^4{\int }_{\sqrt{x}}^2\frac{1}{y^3+1}dydx$:

• A) $\frac{\ln 9}{3}$

• B) $\frac{\ln 3}{2}$

• C) $\frac{\ln 9}{2}$

• D) $\frac{1}{3}$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($\frac{\ln 9}{3}$)

Resolução Analítica:

1. Região original: $0\le x\le 4$ e $\sqrt{x}\le y\le 2$. Como $y=\sqrt{x}⟺x=y^2$, com $y$ variando de $0$ a $2$.
2. Invertendo para região do Tipo II: $0\le y\le 2$ e $0\le x\le y^2$: ${\int }_0^2{\int }_0^{y^2}\frac{1}{y^3+1}dxdy={\int }_0^2\frac{1}{y^3+1}\left({\int }_0^{y^2}dx\right)dy={\int }_0^2\frac{y^2}{y^3+1}dy$
3. Fazendo a substituição $u=y^3+1⟹du=3y^{2}dy⟹y^{2}dy=\frac{du}{3}$: ${\int }_1^9\frac{1}{u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}[\ln |u|{]}_1^9=\frac{1}{3}(\ln 9-\ln 1)=\frac{\ln 9}{3}$

---

Questão 4 — Área de Rosácea Polar

Questão 4

A área delimitada por uma pétala da rosácea $r=\cos (2\theta )$ no intervalo $-\pi /4\le \theta \le \pi /4$ vale:

• A) $\pi /8$

• B) $\pi /4$

• C) $\pi /2$

• D) $\pi /16$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($\pi /8$)

Resolução Analítica:

1. Área em coordenadas polares: $A={\iint }_{D}dA={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\int }_0^{\cos (2\theta )}rdrd\theta ={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\left[\frac{r^2}{2}\right]}_0^{\cos (2\theta )}d\theta =\frac{1}{2}{\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\cos }^2(2\theta )d\theta$
2. Pela identidade trigonométrica ${\cos }^2(u)=\frac{1+\cos (2u)}{2}$: $A=\frac{1}{4}{\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}(1+\cos (4\theta ))d\theta =\frac{1}{4}{\left[\theta +\frac{\sin (4\theta )}{4}\right]}_{-\pi /4}^{\pi /4}=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{4}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)+0\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{8}$

---

8. Considerações Finais e Próximos Passos

Nesta Aula 03, construímos as bases do cálculo integral em múltiplas dimensões:

• A conceituação das somas de Riemann em superfícies e volumes.
• A aplicação do Teorema de Fubini para regiões gerais dos Tipos I e II.
• A mudança de variáveis através do Determinante Jacobiano.
• O poder das coordenadas polares ($dA=rdrd\theta$) e a integração de distribuições de carga em eletrodos circulares.

Na Aula 04, expandiremos a integração para o espaço tridimensional com Integrais Triplas, Coordenadas Cilíndricas e Esféricas e Aplicações em Densidades Volumétricas de Carga e Momentos de Inércia.

---

Referências Bibliográficas Citadas

• STEWART, James. Cálculo, Volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
• GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, Volume 3. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
• HAYT, William H.; BUCK, John A. Eletromagnetismo. 8. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2014.
• Material didático oficial de Cálculo de Múltiplas Variáveis, 2026.