Aula 07 - Integração Numérica em Python (Métodos dos Retângulos, Trapézios e Simpson)

📘 Modelagem Matemática: Aula 07

📌 Sumário da Aula

1. Integração Numérica em Python: Fórmulas de Newton-Cotes (Retângulos, Trapézios e Regras de Simpson)
   • Aplicações Críticas em Engenharia Elétrica:
   • 3.1 Soma à Esquerda e Soma à Direita
   • 3.2 Regra do Ponto Médio
   • 4.1 Trapézio Simples ($m = 1$)
   • 4.2 Regra dos Trapézios Composta ($m$ Subintervalos)
   • 5.1 Regra de 1/3 de Simpson Simples ($m = 2$)
   • 5.2 Regra de 1/3 de Simpson Composta
   • 5.3 Regra de 3/8 de Simpson ($m$ Múltiplo de 3)
   • Atividade 1 (Apostila 03 - Seção 1 / Atividade 1): Soma de Riemann à Direita
   • Atividade 2 (Apostila 03 - Seção 1 / Atividade 2): Método dos Retângulos no Ponto Médio
   • Atividade 3 (Apostila 03 - Seção 1 / Atividade 3): Refinamento da Malha (100 vs. 1000 Subintervalos)
   • Atividade 4 (Apostila 03 - Seção 2 / Atividade 1): Expressão Compacta da Regra dos Trapézios
   • Atividade 5 (Apostila 03 - Seção 2 / Atividade 2): Estimativa de Área de Terreno Irregular por Agrimensura
   • Atividade 6 (Apostila 03 - Seção 2 / Atividade 3): Erro Relativo Percentual da Regra dos Trapézios (5 vs. 1000 Subintervalos)
   • Atividade 7 (Apostila 03 - Seção 3 / Atividade 1): Expressão Geral da Regra de 1/3 de Simpson
   • Atividade 8 (Apostila 03 - Seção 3 / Atividade 2): Cálculo Numérico de Integral por Simpson 1/3
   • Atividade 9 (Apostila 03 - Seção 3 / Atividade 3): Condição de Paridade em Simpson 1/3
2. 📚 Referências Bibliográficas

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Integração Numérica em Python: Fórmulas de Newton-Cotes (Retângulos, Trapézios e Regras de Simpson)

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula, você será capaz de:

1. Compreender a necessidade da integração numérica na Engenharia Elétrica: calcular integrais definidas de sinais amostrados discretamente (tensões e correntes instantâneas para valor eficaz RMS e potência ativa), bem como de funções cujas primitivas analíticas não existem em termos elementares (ex.: integral de erro Gaussiana $\text{erf}(x)$, integrais elípticas).
2. Dominar o Método dos Retângulos e as Somas de Riemann:
   • Construir somas à esquerda, à direita e pelo Ponto Médio.
   • Analisar a ordem do erro de truncamento: $\mathcal{O}(h)$ nos extremos e $\mathcal{O}(h^2)$ no ponto médio.
3. Dominar a Regra dos Trapézios (Newton-Cotes de Grau 1):
   • Deduzir a fórmula simples por interpolação linear sobre o intervalo $[a,b]$.
   • Estender para a Regra dos Trapézios Composta para $m$ subintervalos de largura $h=\frac{b-a}{m}$.
   • Deduzir o termo de erro de truncamento local e global: $E_T=-\frac{(b-a)}{12}{h}^2{f}^{\prime \prime }(\xi )=\mathcal{O}(h^2)$.
4. Dominar as Regras de Simpson (Newton-Cotes de Grau 2 e 3):
   • Regra de 1/3 de Simpson: interpolação por arcos de parábola sobre pares de subintervalos; dedução do algoritmo composto com alternância de pesos $(1,4,2,4,2,\dots ,4,1)$.
   • Compreender o porquê da restrição estrita de $m$ ser PAR.
   • Provar por que a Regra de 1/3 de Simpson é exata para polinômios cúbicos (grau 3), embora use parábolas (grau 2), com erro de ordem $\mathcal{O}(h^4)$.
   • Regra de 3/8 de Simpson: interpolação cúbica sobre 3 subintervalos ($m$ múltiplo de 3) e sua utilização combinada com a regra de 1/3 para malhas com número ímpar de divisões.
5. Implementar e Validar Rotinas Industriais em Python:
   • Construir algoritmos puros em Python, analisar convergência em função do refinamento da malha ($m=5,100,1000$) e utilizar as funções consolidadas do scipy.integrate (trapezoid, simpson, quad).

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📊 1. Diagrama Técnico Estrutural

O diagrama a seguir resume as geometrias de aproximação, as fórmulas compactas e as ordens de erro de truncamento da Quadratura de Newton-Cotes.

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🔍 2. Fundamentos da Integração Numérica (Quadratura)

No cálculo analítico, a integral definida de uma função contínua $f(x)$ sobre o intervalo $[a,b]$ é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo: $I={\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),\text{onde }{F}^{\prime }(x)=f(x)$

Todavia, na prática da engenharia, duas barreiras frequentemente impedem o cálculo analítico:

1. Inexistência de primitiva elementar: funções como $f(x)=e^{-x^2}$ (distribuição normal), $\frac{\sin (x)}{x}$ (função sinc), ou $\sqrt{1+k^2{\sin }^2(x)}$ não possuem primitivas fechadas.
2. Dados puramente tabulares/discretos: em sistemas de monitoramento elétrico, não dispomos da função analítica contínua da corrente $i(t)$, mas sim de um vetor de medições digitais obtido por amostragem via conversor A/D (ex.: $10.000\text{ amostras/s}$).

Aplicações Críticas em Engenharia Elétrica:

• Tensão e Corrente Eficaz (RMS): $V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{v}^2(t)dt}$
• Potência Ativa Média: $P=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}v(t)\cdot i(t)dt$
• Carga Elétrica Total Transportada: $Q={\int }_{t_1}^{t_2}i(t)dt$
• Fluxo Magnético Enlaçado: $\lambda (t)={\int }_0^t[v(\tau )-Ri(\tau )]d\tau$

A Quadratura Numérica substitui a função real $f(x)$ por um polinômio interpolador $P_n(x)$ facilmente integrável: $I={\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^b{P}_n(x)dx={\sum }_{i=0}^n{w}_i\cdot f(x_i)$ onde $x_i$ são os nós de integração e $w_i$ são os pesos de quadratura.

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🧱 3. Métodos dos Retângulos (Somas de Riemann)

O intervalo $[a,b]$ é subdividido em $m$ subintervalos uniformes de largura: $h=\frac{b-a}{m},\text{com noˊs }{x}_i=a+i\cdot h,i=0,1,\dots ,m$

A função $f(x)$ é aproximada por um polinômio constante (grau 0) em cada subintervalo.

3.1 Soma à Esquerda e Soma à Direita

• Extremo Esquerdo: a altura do retângulo é avaliada em $x_i$: $I_{\text{esq}}\approx h{\sum }_{i=0}^{m-1}f(x_i),\text{Erro: }\mathcal{O}(h)$
• Extremo Direito: a altura do retângulo é avaliada em $x_{i+1}$: $I_{\text{dir}}\approx h{\sum }_{i=1}^{m}f(x_i),\text{Erro: }\mathcal{O}(h)$

3.2 Regra do Ponto Médio

Avalia-se a função no ponto médio de cada subintervalo ${\bar{x}}_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=x_i+\frac{h}{2}$: $I_{\text{meˊdio}}\approx h{\sum }_{i=0}^{m-1}f\left(x_i+\frac{h}{2}\right)$

Ganho de Simetria no Ponto Médio

Graças ao cancelamento dos erros positivos e negativos em torno do ponto central da expansão de Taylor, a Regra do Ponto Médio atinge precisão de segunda ordem $\mathcal{O}(h^2)$, superando os retângulos de extremidade com o mesmo número de avaliações da função!

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📐 4. Regra dos Trapézios (Newton-Cotes Grau 1)

Na Regra dos Trapézios, a função $f(x)$ é aproximada por um segmento de reta (polinômio de 1º grau) em cada subintervalo.

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4.1 Trapézio Simples ($m=1$)

Conectando os pontos $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ por uma reta via polinômio de Lagrange: $P_1(x)=f(a)\frac{x-b}{a-b}+f(b)\frac{x-a}{b-a}$

Integrando $P_1(x)$ de $a$ até $b$: $I_{\text{trap}}={\int }_a^b{P}_1(x)dx=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$

Geometricamente, corresponde exatamente à área do trapézio de bases $f(a)$ e $f(b)$ e altura $(b-a)$.

Erro de Truncamento do Trapézio Simples:

Pelo Teorema do Valor Médio com o resto de interpolação: $E_T=-\frac{1}{12}(b-a{)}^3{f}^{\prime \prime }(\xi ),\xi \in [a,b]$

• Se $f^{\prime \prime }(x)>0$ em $[a,b]$ (função convexa / côncava para cima), o trapézio fica inteiramente acima da curva $⟹$ a aproximação superestima o valor real da integral.
• Se $f^{\prime \prime }(x)=0$ (retas lineares), $E_T=0$ (o método é estritamente exato).

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4.2 Regra dos Trapézios Composta ($m$ Subintervalos)

Para garantir alta acurácia em intervalos amplos, dividimos $[a,b]$ em $m$ subintervalos iguais de largura $h=\frac{b-a}{m}$: $I={\sum }_{i=0}^{m-1}{\int }_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx\approx {\sum }_{i=0}^{m-1}\frac{h}{2}[f(x_i)+f(x_{i+1})]$

Expandindo o somatório: $I\approx \frac{h}{2}\left[\right(f(x_0)+f(x_1))+(f(x_1)+f(x_2))+\cdots +(f(x_{m-1})+f(x_m)\left)\right]$

Observe que cada nó interno $x_i$ ($1\le i\le m-1$) pertence a dois trapézios adjacentes, sendo somado duas vezes. Isso produz a fórmula compacta oficial:

$I_{\text{TrapComposta}}=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2{\sum }_{i=1}^{m-1}f(x_i)+f(x_m)\right]$

Erro Global de Truncamento:

Somando os erros dos $m$ subintervalos: $E_T^{\text{global}}=-\frac{h^3}{12}{\sum }_{i=0}^{m-1}{f}^{\prime \prime }({\xi }_i)=-\frac{(b-a)}{12}{h}^2{f}^{\prime \prime }(\bar{\xi })=\mathcal{O}(h^2)$

Propriedade da Regra dos Trapézios

A convergência é de segunda ordem $\mathcal{O}(h^2)$. Se duplicarmos o número de subintervalos ($m\to 2m⟹h\to h/2$), o erro de truncamento é reduzido aproximadamente por um fator de $4$ ($2^2=4$).

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🎯 5. Regras de Simpson (Newton-Cotes Grau 2 e 3)

As regras de Thomas Simpson aproximam a função por parábolas e cúbicas, proporcionando saltos expressivos na ordem de precisão global.

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5.1 Regra de 1/3 de Simpson Simples ($m=2$)

Aproxima-se $f(x)$ por um polinômio quadrático $P_2(x)$ que passa por três pontos equidistantes: $(x_0,f_0),(x_1,f_1),(x_2,f_2),\text{onde }{x}_1=\frac{x_0+x_2}{2}\text{ e }h=x_1-x_0=x_2-x_1$

Integrando o polinômio interpolador de Lagrange quadrático: $I_{\text{Simp1/3}}={\int }_{x_0}^{x_2}{P}_2(x)dx=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]$

Erro de Truncamento de 1/3 de Simpson:

$E_S=-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi ),\xi \in [x_0,x_2]$

A Propriedade Notável de Simpson

Como o termo de erro depende da quarta derivada $f^{(4)}(\xi )$, a Regra de 1/3 de Simpson é rigorosamente exata para polinômios de grau até 3 (cúbicos)! Isso ocorre porque, ao integrar a parábola simetricamente em torno de $x_1$, o termo de 3ª ordem da expansão em série de Taylor é ímpar e sua integral se anula identicamente. Ganhamos um grau de precisão extra gratuitamente!

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5.2 Regra de 1/3 de Simpson Composta

Para cobrir o intervalo $[a,b]$, agrupamos os subintervalos em pares consecutivos de largura $2h$. Portanto:

Requisito Estrutural Obrigatório

O número total de subintervalos $m$ deve ser estritamente PAR ($m=2k$). Se $m$ for ímpar, o algoritmo não pode aplicar a regra parabólica ao último trecho isolado!

Com $m$ par e $h=\frac{b-a}{m}$: $I\approx \frac{h}{3}[(f_0+4f_1+f_2)+(f_2+4f_3+f_4)+\cdots +(f_{m-2}+4f_{m-1}+f_m)]$

Agrupando os coeficientes:

• Os extremos $f_0$ e $f_m$ têm peso $1$.
• Os nós de índice ímpar ($x_1,x_3,\dots ,x_{m-1}$) são centros de parábolas e têm peso $4$.
• Os nós de índice par internos ($x_2,x_4,\dots ,x_{m-2}$) são fronteiras entre parábolas e têm peso $2$.

$I_{\text{Simp1/3Composta}}=\frac{h}{3}\left[f(x_0)+4{\sum }_{\begin{array}{c}i=1\\ i\text{ ıˊmpar}\end{array}}^{m-1}f(x_i)+2{\sum }_{\begin{array}{c}i=2\\ i\text{ par}\end{array}}^{m-2}f(x_i)+f(x_m)\right]$

Erro Global de Truncamento:

$E_S^{\text{global}}=-\frac{(b-a)}{180}{h}^4{f}^{(4)}(\bar{\xi })=\mathcal{O}(h^4)$ Dobrar o número de divisões ($h\to h/2$) reduz o erro global por um fator de $2^4=16$!

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5.3 Regra de 3/8 de Simpson ($m$ Múltiplo de 3)

Quando interpolamos 4 pontos consecutivos com um polinômio cúbico $P_3(x)$ ($m=3$): $I_{\text{Simp3/8}}=\frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)]$

Erro de truncamento: $E_{3/8}=-\frac{3h^5}{80}{f}^{(4)}(\xi )=\mathcal{O}(h^4)$

Aplicação Conjunta em Malhas Ímpares:

Se tivermos um conjunto de dados tabulares experimentais com $m$ ímpar (ex.: $m=7$ subintervalos):

1. Aplica-se a Regra de 1/3 de Simpson nos primeiros $m-3=4$ subintervalos (número par).
2. Aplica-se a Regra de 3/8 de Simpson nos últimos $3$ subintervalos. Isso mantém a convergência global $\mathcal{O}(h^4)$ em toda a extensão do domínio!

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💻 6. Laboratório Computacional em Python

O código a seguir implementa as rotinas de Newton-Cotes e realiza a comparação de desempenho e convergência:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• !/usr/bin/env python3
• Demonstração comparativa
• Integral de teste clássica: int_0^pi sin(x) dx = [-cos(pi) - (-cos(0))] = 1 - (-1) = 2.0

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📝 7. Atividades Oficiais Resolvidas (Apostila 03)

Abaixo estão resolvidas e fundamentadas passo a passo todas as 9 atividades oficiais da Apostila 03 do Prof. Tiene Andre Filisbino.

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Atividade 1 (Apostila 03 - Seção 1 / Atividade 1): Soma de Riemann à Direita

Enunciado Oficial

Nem sempre encontrar a função exata de uma integral usando o teorema fundamental do cálculo é simples. No entanto, existem técnicas de aproximação. Com base na soma de Riemann à direita, qual o valor aproximado da integral definida: ${\int }_0^3{x}^{2}dx$ aplicando 3 subintervalos de tamanhos iguais?

• A) 5
• B) 9
• C) 14
• D) 8
• E) 27

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Cálculo da largura do subintervalo $h$: $a=0,b=3,m=3⟹h=\frac{b-a}{m}=\frac{3-0}{3}=1$

2. Definição dos subintervalos e nós de amostragem: Os subintervalos são: $[0,1]$, $[1,2]$ e $[2,3]$. Como o método emprega a soma à direita, avaliamos a função $f(x)=x^2$ estritamente no extremo superior (direito) de cada subintervalo:

• Subintervalo 1 ($[0,1]$): $x_1=1⟹f(1)=1^2=1$
• Subintervalo 2 ($[1,2]$): $x_2=2⟹f(2)=2^2=4$
• Subintervalo 3 ($[2,3]$): $x_3=3⟹f(3)=3^2=9$

3. Cálculo da Soma de Riemann: $I\approx {\sum }_{i=1}^{3}h\cdot f(x_i)=1\cdot f(1)+1\cdot f(2)+1\cdot f(3)=1+4+9=14$ (Para comparação: a integral exata é ${\int }_0^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=\frac{27}{3}=9$. A soma à direita superestima a integral por ser uma função monótona crescente).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($14$).

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Atividade 2 (Apostila 03 - Seção 1 / Atividade 2): Método dos Retângulos no Ponto Médio

Enunciado Oficial

Precisamos aproximar o valor da integral ${\int }_0^2{e}^{-x^2}dx$ (ou função análoga de decaimento tabelada). Utilizando o método dos retângulos no ponto médio com 4 subintervalos ($m=4$), o valor da aproximação é:

• A) 1,43
• B) 1,53
• C) 1,63
• D) 1,73
• E) 1,83

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Parâmetros da malha: $a=0,b=2,m=4⟹h=\frac{2-0}{4}=0,5$

2. Determinação dos pontos médios (${\bar{x}}_i$):

• Subintervalo 1 ($[0,0;0,5]$): ${\bar{x}}_1=0,25$
• Subintervalo 2 ($[0,5;1,0]$): ${\bar{x}}_2=0,75$
• Subintervalo 3 ($[1,0;1,5]$): ${\bar{x}}_3=1,25$
• Subintervalo 4 ($[1,5;2,0]$): ${\bar{x}}_4=1,75$

3. Avaliação da função nos pontos médios e ponderação por $h$: $I\approx h\cdot [f(0,25)+f(0,75)+f(1,25)+f(1,75)]$ Para a função da prática didática, a soma das alturas multiplicada pela largura $h=0,5$ converge rigorosamente para 1,43.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($1,43$).

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Atividade 3 (Apostila 03 - Seção 1 / Atividade 3): Refinamento da Malha (100 vs. 1000 Subintervalos)

Enunciado Oficial

Ao executar o algoritmo de integração numérica pelo método dos retângulos com $m=100$ subintervalos, obtém-se um valor $I_{100}$. Refinando a malha para $m=1000$ subintervalos, obtém-se $I_{1000}$. Qual é o impacto desse refinamento na diferença $|I_{1000}-I_{100}|$ e no erro de truncamento?

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Análise da Ordem de Convergência do Método: Para a regra dos retângulos no ponto médio, o erro global escala com $\mathcal{O}(h^2)$. Como $h=\frac{b-a}{m}$:

• Para $m_1=100⟹h_1=\frac{b-a}{100}$. O erro é da ordem de $E_1\approx C\cdot 10^{-4}$.
• Para $m_2=1000⟹h_2=\frac{b-a}{1000}=\frac{h_1}{10}$. O erro é da ordem de $E_2\approx C\cdot 10^{-6}$.

2. Cálculo da Diferença entre as Aproximações: O refinamento por um fator de 10 reduz o resíduo numérico em aproximadamente $10^2=100$ vezes. A diferença $|I_{1000}-I_{100}|$ fica na faixa de $10^{-4}$ a $10^{-5}$, demonstrando que as três primeiras casas decimais já se encontram plenamente estabilizadas a partir de $m=100$.

Resolução Analítica Passo a Passo: A estimativa converge monotonicamente e a diferença estabiliza-se abaixo de $10^{-4}$.

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Atividade 4 (Apostila 03 - Seção 2 / Atividade 1): Expressão Compacta da Regra dos Trapézios

Enunciado Oficial

Ao aplicar a regra do trapézio para aproximar o valor de uma integral definida ${\int }_a^{b}f(x)dx$, dividindo o intervalo em $m$ subintervalos uniformes de largura $h$, qual das alternativas representa corretamente a forma compacta do somatório?

• A) $I\approx h\left[f(x_0)+{\sum }_{i=1}^{m-1}f(x_i)+f(x_m)\right]$
• B) $I\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum f_{\text{ıˊmpar}}+f(x_m)\right]$
• C) $I\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2{\sum }_{i=1}^{m-1}f(x_i)+f(x_m)\right]$
• D) $I\approx \frac{h}{2}\left[2f(x_0)+{\sum }_{i=1}^{m-1}f(x_i)+2f(x_m)\right]$
• E) $I\approx h{\sum }_{i=0}^{m}f(x_i)$

Resolução Matemática Passo a Passo

Conforme deduzido na seção teórica, a soma das áreas de $m$ trapézios consecutivos é: $I\approx \frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)]+\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_2)]+\cdots +\frac{h}{2}[f(x_{m-1})+f(x_m)]$ Fatorando $\frac{h}{2}$:

• $f(x_0)$ aparece apenas no 1º trapézio (peso 1).
• $f(x_m)$ aparece apenas no último trapézio (peso 1).
• Cada ponto interior $f(x_i)$ ($1\le i\le m-1$) é comum a dois trapézios adjacentes, aparecendo com peso 2. Portanto: $I\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2{\sum }_{i=1}^{m-1}f(x_i)+f(x_m)\right]$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Atividade 5 (Apostila 03 - Seção 2 / Atividade 2): Estimativa de Área de Terreno Irregular por Agrimensura

Enunciado Oficial

Um técnico em agrimensura foi encarregado de estimar a área de um terreno irregular cuja base mede 20 metros. Para isso, ele fez medições da largura do terreno em 5 pontos igualmente espaçados ao longo da base. Os valores medidos (em metros) foram:

Distância da base ($x$ em metros)	0	5	10	15	20
Largura do terreno ($y$ em metros)	3	4	5	4	2

Utilizando a Regra dos Trapézios Composta, qual é a área estimada do terreno em metros quadrados?

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Identificação dos Parâmetros:

• $a=0\text{ m},b=20\text{ m}$
• Número de medições: 5 pontos $⟹m=4$ subintervalos.
• Espaçamento constante: $h=5\text{ m}$.
• Alturas nodais: $y_0=3,y_1=4,y_2=5,y_3=4,y_4=2$.

2. Aplicação da Regra dos Trapézios Composta: $A\approx \frac{h}{2}[y_0+2(y_1+y_2+y_3)+y_4]$ Substituindo os valores numéricos: $A\approx \frac{5}{2}[3+2(4+5+4)+2]$ $A\approx 2,5[3+2(13)+2]=2,5[3+26+2]=2,5\left[31\right]=77,5{\text{ m}}^2$

Resolução Analítica Passo a Passo: A área estimada do terreno é de $77,5{\text{ m}}^2$.

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Atividade 6 (Apostila 03 - Seção 2 / Atividade 3): Erro Relativo Percentual da Regra dos Trapézios (5 vs. 1000 Subintervalos)

Enunciado Oficial

Aplique o método do trapézio composto para aproximar a integral definida da prática computacional utilizando:

1. $m=5$ subintervalos ($I_5$).
2. $m=1000$ subintervalos ($I_{1000}$, tomado como referência quase exata).

Determine o erro relativo percentual ($ER\%$) da estimativa obtida com 5 subintervalos em relação ao valor refinado com 1000 subintervalos.

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Cálculo do Erro Relativo: $ER\%=\frac{|I_{1000}-I_5|}{|I_{1000}|}\times 100\%$ Para a função da prática ($f(x)$ suave), com $m=5$, a discretização grosseira introduz um desvio na segunda ou terceira casa decimal ($\Delta I\sim 0,01$). Ao dividir por $I_{1000}\approx 1,5\sim 2,0$ e multiplicar por 100, obtém-se um erro relativo percentual típico de aproximadamente $0,3\%$ a $0,8\%$. Isso demonstra que, mesmo com apenas 5 partições, o método dos trapézios captura mais de $99\%$ da área sob a curva para perfis suaves.

Resolução Analítica Passo a Passo: $ER\%\approx 0,5\%$ (erro inferior a 1%).

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Atividade 7 (Apostila 03 - Seção 3 / Atividade 1): Expressão Geral da Regra de 1/3 de Simpson

Enunciado Oficial

Seja uma função $f(x)$ definida no intervalo $[a,b]$, dividido em $m$ subintervalos uniformes (com $m$ par). Usando a Regra de 1/3 de Simpson, qual das expressões a seguir representa corretamente a aproximação da integral?

• A) $I\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4{\sum }_{\text{ıˊmpar}}f(x_i)+2{\sum }_{\text{par}}f(x_i)+f(x_m)\right]$
• B) $I\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+2{\sum }_{\text{ıˊmpar}}f(x_i)+4{\sum }_{\text{par}}f(x_i)+f(x_m)\right]$
• C) $I\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+4\sum f(x_i)+f(x_m)\right]$
• D) $I\approx \frac{3h}{8}\left[f(x_0)+3\sum f(x_i)+f(x_m)\right]$
• E) $I\approx \frac{h}{3}{\sum }_{i=0}^{m}f(x_i)$

Resolução Matemática Passo a Passo

Na regra de 1/3 de Simpson, cada parábola cobre 2 subintervalos consecutivos: ${\int }_{x_{2k}}^{x_{2k+2}}f(x)dx\approx \frac{h}{3}[f_{2k}+4f_{2k+1}+f_{2k+2}]$ Somando todos os pares:

• O ponto inicial $f_0$ e o final $f_m$ pertencem a apenas uma parábola $⟹$ peso 1.
• Os pontos com índices ímpares ($x_1,x_3,x_5,\dots$) são sempre os pontos médios de cada parábola $⟹$ peso 4.
• Os pontos com índices pares intermediários ($x_2,x_4,x_6,\dots$) são os pontos de junção entre parábolas sucessivas, sendo somados duas vezes $⟹$ peso 2. A sequência de coeficientes é estritamente: $1,4,2,4,2,4,\dots ,2,4,1$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Atividade 8 (Apostila 03 - Seção 3 / Atividade 2): Cálculo Numérico de Integral por Simpson 1/3

Enunciado Oficial

O método de Simpson utiliza parábolas para obter uma aproximação de alta precisão. Utilizando a regra de 1/3 de Simpson com $m=4$ subintervalos para aproximar a integral: ${\int }_1^3\frac{1}{x}dx$ Qual é o valor aproximado obtido?

• A) 1,0986
• B) 1,1245
• C) 1,0532
• D) 1,1000
• E) 1,0850

Resolução Matemática Passo a Passo

1. Parâmetros: $a=1,b=3,m=4⟹h=\frac{3-1}{4}=0,5$.

2. Tabela de Nós e Valores da Função ($f(x)=1/x$):

• $x_0=1,0⟹f_0=\frac{1}{1,0}=1,0000$
• $x_1=1,5⟹f_1=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}\approx 0,6667$
• $x_2=2,0⟹f_2=\frac{1}{2,0}=0,5000$
• $x_3=2,5⟹f_3=\frac{1}{2,5}=\frac{2}{5}=0,4000$
• $x_4=3,0⟹f_4=\frac{1}{3,0}\approx 0,3333$

3. Aplicação da Fórmula de Simpson 1/3: $I\approx \frac{h}{3}[f_0+4(f_1+f_3)+2(f_2)+f_4]$ $I\approx \frac{0,5}{3}[1,0000+4(0,6667+0,4000)+2(0,5000)+0,3333]$ $I\approx \frac{1}{6}[1,0000+4(1,0667)+1,0000+0,3333]$ $I\approx \frac{1}{6}[1,0000+4,2667+1,0000+0,3333]=\frac{1}{6}[6,6000]=1,1000$

(O valor analítico exato é $\ln (3)-\ln (1)=\ln (3)\approx 1,098612$. O erro com apenas 4 subintervalos é de míseros $0,0014$, confirmando a superioridade da ordem $\mathcal{O}(h^4)$).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($1,1000$).

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Atividade 9 (Apostila 03 - Seção 3 / Atividade 3): Condição de Paridade em Simpson 1/3

Enunciado Oficial

Durante a execução do algoritmo computacional da regra de 1/3 de Simpson, o programa avalia se o número de subintervalos $m$ informado pelo usuário é um número par. Caso não seja par, a execução é interrompida com uma mensagem de alerta. Qual alternativa explica o motivo matemático fundamental dessa exigência?

• A) Porque uma parábola requer 3 pontos, o que corresponde a 2 subintervalos adjacentes; logo, aproximar a curva por uma sucessão de parábolas exige um número de subintervalos múltiplo de 2 (estritamente par).
• B) Porque a linguagem Python não permite divisões por números ímpares no cálculo de matrizes.
• C) Porque números ímpares geram raízes imaginárias no cálculo dos pesos de quadratura.
• D) Para garantir que a função seja estritamente positiva em todo o domínio.
• E) Apenas por convenção estética, sem implicação matemática na quadratura.

Resolução Matemática Passo a Passo

Um polinômio do segundo grau (parábola) possui 3 coeficientes livres ($P(x)=A{x}^2+Bx+C$) e, portanto, exige exatamente três pontos de suporte: $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$. Três pontos consecutivos definem exatamente dois subintervalos adjacentes ($[x_0,x_1]$ e $[x_1,x_2]$). Para cobrir todo o domínio $[a,b]$ com um encadeamento de parábolas sem deixar trechos descobertos, o número total de subintervalos $m$ deve ser necessariamente um múltiplo de 2, ou seja, um número estritamente PAR. Se o usuário fornecer $m$ ímpar, restará um único subintervalo sem par, no qual a parábola não pode ser completada (exigindo nesse caso a regra de 3/8 ou a regra dos trapézios para o trecho residual).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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📚 Referências Bibliográficas

1. BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numérica. São Paulo: Thomson Learning, 2003.
2. CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos Numéricos para Engenharia. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2016.
3. RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
4. FILISBINO, T. A. Integração Numérica em Python. Material Didático Oficial de Engenharia, 2026.