03B - Motores de Corrente Contínua - Excitação, Curvas Conjugado-Velocidade, Partida e Frenagem

⚡ 03B - Motores de Corrente Contínua (Parte 2): Excitação, Curvas Conjugado × Velocidade, Partida e Frenagem

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📍 Disciplina: 08 Máquinas Elétricas e Acionamentos | 02 Conversão Eletromecânica de Energia | 🏭 Área: 04 Sistemas Elétricos de Potência e Eletrotécnica | 🏠 Hub Principal 📄 Materiais Base: Geradores e Motores de Corrente Contínua (Seção 3) + Acervo UFPR — TE323 (Capítulo 5 — Máquinas CC, Lista de Exercícios 2 — Máquinas CC, Caderno de Monitoria L3 e Trabalho Final PSIM). 🎬 Videoaula Associada (Playlist Prof. Igor Pizetta — Chapman Cap. 8):

• Vídeo 08 — Máquinas Elétricas: Máquinas CC ⬅️ Aula Anterior: 03 - Máquinas CC (Parte 1) | ➡️ Próxima Aula: 04 - Transformadores / 06 - Comandos Elétricos

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Deduzir a Equação Fundamental da Velocidade (${\omega }_m$) e do Conjugado Eletromagnético ($T_e$) de um Motor CC a partir da Força Contra-Eletromotriz ($E_a$).
2. Analisar o comportamento dinâmico e as curvas Conjugado $\times$ Velocidade e Conjugado $\times$ Corrente de Armadura dos motores CC Shunt/Independente, Série (incluindo o fenômeno do disparo em vazio), Composto (Cumulativo e Diferencial) e de Ímã Permanente (PMDC).
3. Dominar os 3 métodos de controle de velocidade em motores CC: controle por Tensão de Armadura (região de conjugado constante), Enfraquecimento de Campo (região de potência constante) e Inserção de Resistência na Armadura, avaliando os resultados práticos via simulação no PSIM.
4. Dimensionar o Reostato de Partida Escalonado para limitar a corrente de partida ($I_p=V_t/R_a$) e equacionar os 3 regimes de Frenagem Elétrica (Regenerativa, Dinâmica/Reostática e por Contracorrente/Plugging).

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📌 Sumário do MOC

1. 1. Princípio Físico do Motor CC: Força Contra-Eletromotriz ($E_a$) e Equação de Velocidade
2. 2. Análise Comparativa por Tipo de Excitação: Shunt, Série e Composto
   • 2.1 Motor CC Shunt (Derivação) e de Excitação Independente
   • 2.2 Motor CC Série (O Gigante do Torque de Partida)
   • 2.3 Motor CC Composto (Cumulativo vs. Diferencial)
3. 3. Métodos de Controle de Velocidade e Zonas Operativas (Torque vs. Potência Constante)
   • 3.1 O Sistema Ward-Leonard Histórico e os Acionamentos Estáticos Modernos (Vídeo 08 — Prof. Igor Pizetta)
   • 3.2 O Enrolamento Série Estabilizador contra Reação de Armadura
   • 3.3 Estudo de Caso Experimental em PSIM: Controle de Velocidade e Grupo Motor-Gerador CC (UFPR — TE323)
4. 4. A Problemática da Partida em Motores CC e Dimensionamento do Reostato
   • 4.1 Dimensionamento do Reostato de Partida ($R_{\text{part}}$)
5. 5. Frenagem Eletromagnética de Motores CC e Operação nos 4 Quadrantes
6. 6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 03 e UFPR — TE323)
   • 6.1 Exercícios Clássicos da Apostila 03
   • 6.2 Exercícios Resolvidos de Provas, Listas e Monitoria (UFPR — TE323 / L3)
7. 7. 🎯 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 03 - Motores CC)
   • Módulo 3 — Análise da Característica Terminal e Operação a Vazio do Motor Série

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1. Princípio Físico do Motor CC: Força Contra-Eletromotriz ($E_a$) e Equação de Velocidade

Fisicamente, a mesma máquina CC pode operar como gerador ou como motor (princípio da reversibilidade eletromecânica). No Motor CC, aplica-se uma tensão contínua externa $V_t$ nos terminais da armadura, forçando a entrada da corrente $I_a$.

• Pela Lei de Lorentz ($\vec{F}=I\vec{l}\times \vec{B}$), os condutores da armadura imersos no fluxo polar $\Phi$ sofrem forças tangenciais que produzem o Conjugado Eletromagnético Motor ($T_e$): $\boxed{T_e=K_a\cdot \Phi \cdot I_a}[\text{N}\cdot \text{m}]$
• Assim que o rotor começa a girar com velocidade ${\omega }_m$, os mesmos condutores cortam as linhas de fluxo magnético do estator e, pela Lei de Faraday-Lenz, surge nos enrolamentos da armadura uma tensão induzida que se opõe à tensão aplicada $V_t$, denominada Força Contra-Eletromotriz — FCEM ($E_a$): $\boxed{E_a=K_a\cdot \Phi \cdot {\omega }_m=K_a^{\prime }\cdot \Phi \cdot n}[\text{V}]$

Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff ao circuito de armadura do Motor CC ($V_t>E_a$, corrente $I_a$ entrando):

$\boxed{V_t=E_a+I_a{R}_a⟺I_a=\frac{V_t-E_a}{R_a}}$

Substituindo $E_a=K_a\Phi {\omega }_m$ e isolando a velocidade angular ${\omega }_m$ (ou em função do conjugado $I_a=\frac{T_e}{K_a\Phi }$), obtemos a Equação Fundamental da Velocidade do Motor CC:

$\boxed{{\omega }_m=\frac{V_t-I_a{R}_a}{K_a\Phi }=\frac{V_t}{K_a\Phi }-\frac{R_a}{(K_a\Phi {)}^2}\cdot T_e}$

A Auto-regulação Natural do Motor CC sob Carga

O que acontece fisicamente quando aumentamos a carga mecânica ($T_{\text{carga}}$) no eixo do motor?

1. Como inicialmente $T_{\text{carga}}>T_e$, o rotor sofre uma desaceleração (${\omega }_m$ diminui).
2. Ao diminuir ${\omega }_m$, a Força Contra-Eletromotriz $E_a=K_a\Phi {\omega }_m$ diminui proporcionalmente.
3. Uma pequena redução em $E_a$ provoca um grande aumento na corrente de armadura $I_a=\frac{V_t-E_a}{R_a}$ (já que $R_a$ é muito pequena!).
4. O aumento de $I_a$ eleva o conjugado motor $T_e=K_a\Phi I_a$ até igualar o novo conjugado de carga em uma nova velocidade de equilíbrio ligeiramente inferior!

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2. Análise Comparativa por Tipo de Excitação: Shunt, Série e Composto

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Experimente a variação da Tensão de Armadura ($V_a$), Enfraquecimento de Campo ($\Phi$) e Conjugado de Carga ($T_L$) com cálculo em tempo real do ponto de operação $Q$, rotação em rpm e alerta de embalamento para o motor série:

👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador de Motores CC em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_motores_cc_torque_velocidade.html]])

2.1 Motor CC Shunt (Derivação) e de Excitação Independente

• Circuito: O enrolamento de campo é alimentado por tensão constante ($I_f=V_t/R_f=\text{cte}$), logo o fluxo magnético é constante ($\Phi =\text{cte}$) (desprezando a reação de armadura).
• Conjugado: Linearmente proporcional à corrente de armadura ($T_e=K_{\text{sh}}{I}_a$).
• Característica Velocidade $\times$ Conjugado: É uma reta com leve inclinação negativa: ${\omega }_m={\omega }_0-\frac{R_a}{(K_a\Phi {)}^2}{T}_e\text{onde a velocidade em vazio eˊ }{\omega }_0=\frac{V_t}{K_a\Phi }$ A regulação de velocidade ($RV=\frac{n_{\text{vazio}}-n_{\text{plena carga}}}{n_{\text{plena carga}}}$) é excelente, tipicamente entre $3\%$ e $8\%$ (motor de velocidade praticamente constante).
• Perigo Operacional — Perda de Campo Aberto: Se o circuito de campo Shunt se romper acidentalmente com o motor rodando em vazio ($\Phi \to {\Phi }_{\text{res}}\approx 0$), como ${\omega }_m\propto \frac{1}{\Phi }$, o motor dispara para velocidades destrutivas! (Por isso utiliza-se um relé de perda de campo em série com a bobina $R_f$).

2.2 Motor CC Série (O Gigante do Torque de Partida)

• Circuito: O enrolamento de campo (poucas espiras de seção grossa, $R_s$) está em série com a armadura, logo $I_a=I_s=I_L$.
• Comportamento do Fluxo e do Conjugado: Antes da saturação magnética, o fluxo é diretamente proporcional à própria corrente de armadura ($\Phi =c\cdot I_a$). Substituindo na equação do conjugado: $\boxed{T_e=K_a\Phi I_a=K_{a}c\cdot I_a^2⟹T_e\propto I_a^2}$ O conjugado varia com o QUADRADO da corrente de armadura! Assim, dobrar a corrente na partida multiplica o conjugado por quatro ($400\%$), tornando o motor série imbatível para partir cargas de altíssima inércia (trens elétricos, metrôs, locomotivas, pontes rolantes, guindastes e motores de arranque automotivos).
• Equação da Velocidade $\times$ Conjugado (Curva Hiperbólica): Como $I_a=\sqrt{\frac{T_e}{K_{a}c}}$ e $\Phi =c{I}_a=\sqrt{\frac{c{T}_e}{K_a}}$: $\boxed{{\omega }_m=\frac{V_t}{\sqrt{K_{a}c}}\cdot \frac{1}{\sqrt{T_e}}-\frac{R_a+R_s}{K_{a}c}}$

Regra Absoluta de Segurança do Motor CC Série: Disparo em Vazio!

Olhe para a equação acima quando a carga mecânica tende a zero ($T_e\to 0⟹I_a\to 0⟹\Phi \to 0$): ${\lim }_{T_e\to 0}{\omega }_m=\infty (\text{Disparo Mecaˆnico Destrutivo!})$ Um motor CC série JAMAIS pode ser ligado em vazio e JAMAIS deve ser acoplado à carga por correias (pois se a correia arrebentar, o motor perde a carga e explode por força centrífuga). O acoplamento deve ser direto por eixo ou engrenagens rígidas.

2.3 Motor CC Composto (Cumulativo vs. Diferencial)

Combina um campo Shunt (${\mathcal{F}}_f$) e um campo Série (${\mathcal{F}}_s$) no mesmo polo:

1. Composto Cumulativo (${\Phi }_{\text{tot}}={\Phi }_{\text{sh}}+{\Phi }_{\text{seˊrie}}$): Une o melhor dos dois mundos! Possui elevado conjugado de partida (graças ao campo série quando $I_a$ é alta) e não dispara em vazio (pois quando $I_a\to 0$, o campo shunt mantém a velocidade limitada em ${\omega }_0=\frac{V_t}{K_a{\Phi }_{\text{sh}}}$). Ideal para prensas de estampagem, britadores e elevadores.
2. Composto Diferencial (${\Phi }_{\text{tot}}={\Phi }_{\text{sh}}-{\Phi }_{\text{seˊrie}}$): À medida que a carga aumenta, o fluxo enfraquece e a velocidade tenta subir, gerando instabilidade dinâmica e sobrecorrente (raramente utilizado como motor).

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3. Métodos de Controle de Velocidade e Zonas Operativas (Torque vs. Potência Constante)

Inspecionando a equação ${\omega }_m=\frac{V_t-I_a(R_a+R_{\text{ext}})}{K_a\Phi }$, existem exatamente 3 parâmetros físicos para controlar a velocidade de um Motor CC:

Método de Controle	Variável Manipulada	Faixa de Velocidade	Capacidade de Torque e Potência	Eficiência e Aplicação
1. Controle pela Tensão de Armadura ($V_t$)	Reduz-se $V_t$ de $0$ até $V_{\text{nom}}$ mantendo o fluxo nominal máximo ($\Phi ={\Phi }_{\text{nom}}$).	Abaixo da Velocidade Nominal ($0\le {\omega }_m\le {\omega }_{\text{base}}$)	Região de Conjugado Constante: $T_{\text{maˊx}}=K_a{\Phi }_{\text{nom}}{I}_{a,\text{nom}}=\text{cte}$ $P_{\text{maˊx}}=T_{\text{maˊx}}{\omega }_m\propto {\omega }_m$	Altíssimo rendimento! Padrão industrial moderno com pontes retificadoras a tiristores ou Choppers PWM.
2. Controle por Enfraquecimento de Campo ($\Phi$)	Mantém-se $V_t=V_{\text{nom}}$ e reduz-se a corrente de campo $I_f$ (aumentando $R_{\text{aj}}$).	Acima da Velocidade Nominal (${\omega }_{\text{base}}<{\omega }_m\le {\omega }_{\text{maˊx}}$)	Região de Potência Constante: $P_{\text{maˊx}}=E_a{I}_{a,\text{nom}}\approx V_{\text{nom}}{I}_{a,\text{nom}}=\text{cte}$ $T_{\text{maˊx}}=\frac{P_{\text{maˊx}}}{{\omega }_m}\propto \frac{1}{{\omega }_m}$	Muito econômico (controla-se a baixa corrente de campo $I_f$), mas o torque máximo cai hiperbolicamente.
3. Controle por Reostato na Armadura ($R_{\text{ext}}$)	Insere-se resistência $R_{\text{ext}}$ em série com a armadura.	Abaixo da nominal (com carga).	Reduz a inclinação da curva ${\omega }_m\times T_e$ (piora drasticamente a regulação de velocidade).	Baixíssimo rendimento (alta dissipação térmica $I_a^2{R}_{\text{ext}}$). Usado essencialmente na partida ou frenagem.

3.1 O Sistema Ward-Leonard Histórico e os Acionamentos Estáticos Modernos (Vídeo 08 — Prof. Igor Pizetta)

Antes do advento dos semicondutores de potência (SCRs, IGBTs e Choppers), o método universal para variar a tensão de armadura $V_t$ e controlar suavemente a velocidade nos 4 quadrantes era o Sistema Ward-Leonard:

• Consiste em 3 máquinas acopladas: um motor primário CA (indução trifásico) gira um Gerador CC de excitação independente em velocidade constante; a armadura desse gerador alimenta diretamente a armadura do Motor CC de carga.
• Variando a pequena corrente de campo do gerador via reostato, varia-se suavemente $V_t$ de zero até o valor nominal positivo ou negativo (reversão de giro instantânea e frenagem regenerativa automática!).
• Desvantagem (destacada pelo Prof. Pizetta): Exige comprar três máquinas elétricas completas de mesma potência nominal, com custo elevado, grande espaço físico e perdas acumuladas nas três máquinas (${\eta }_{\text{global}}={\eta }_{\text{motor CA}}\cdot {\eta }_{\text{gerador CC}}\cdot {\eta }_{\text{motor CC}}$). Hoje foi completamente substituído por pontes retificadoras a tiristores e inversores estáticos.

3.2 O Enrolamento Série Estabilizador contra Reação de Armadura

Em motores Shunt sem enrolamento de compensação, cargas pesadas produzem uma reação de armadura desmagnetizante que enfraquece o fluxo líquido ($\Phi \downarrow$). Como ${\omega }_m\approx \frac{V_t}{K_a\Phi }$, o enfraquecimento de fluxo faz a velocidade subir com a carga, podendo levar à instabilidade dinâmica de rotação (runaway).
Para solucionar isso, adiciona-se nos polos principais um enrolamento série estabilizador com pouquíssimas espiras de fio grosso em série com a armadura, criando um pequeno composto cumulativo que compensa a desmagnetização e garante uma queda suave e estável de rotação com a carga.

3.3 Estudo de Caso Experimental em PSIM: Controle de Velocidade e Grupo Motor-Gerador CC (UFPR — TE323)

Nas simulações computacionais do Trabalho Final de Conversão Eletromecânica de Energia I (UFPR — TE323) no ambiente PSIM, investiga-se experimentalmente o comportamento de três arranjos clássicos de máquinas CC sob variação da tensão de alimentação ($40\text{ V}$ a $220\text{ V}$):

1. Parte 3 — Motor CC de Excitação Independente ($R_a=19\Omega$, $R_f=75\Omega$, Carga de Conjugado Constante)

Com a corrente de campo mantida estritamente constante por uma fonte dedicada ($I_f=1,706\text{ A}$ ajustada para fornecer $n_{\text{nom}}\approx 1.800\text{ rpm}$ a $V_a=220\text{ V}$), varia-se apenas a tensão de armadura $V_a$:

Tensão de Armadura $V_a\text{ [V]}$	$40\text{ V}$	$80\text{ V}$	$120\text{ V}$	$160\text{ V}$	$180\text{ V}$	$220\text{ V}$
Velocidade $n\text{ [rpm]}$	$197,91$	$553,07$	$908,22$	$1.263,37$	$1.440,95$	$1.796,10$
Corrente de Armadura $I_a\text{ [A]}$	$0,935$	$0,941$	$0,945$	$0,951$	$0,954$	$0,959$
Corrente de Campo $I_f\text{ [A]}$	$1,706$	$1,706$	$1,706$	$1,706$	$1,706$	$1,706$

• Conclusão Física: Como o fluxo $\Phi (I_f)$ é constante e a carga mecânica exige conjugado constante, a corrente de armadura $I_a=\frac{T_e}{K_a\Phi }$ permanece praticamente invariante ($\approx 0,94\text{ A}$, subindo minimamente devido ao atrito viscoso proporcional à rotação), enquanto a velocidade $n$ varia de forma perfeitamente linear com a tensão de armadura $V_a$ ($\Delta n/\Delta V_a=8,879\text{ rpm/V}$)!

2. Parte 4 — Motor CC Shunt (Derivação) Alimentado por Fonte Única Variável ($V$)

Quando o campo Shunt e a armadura compartilham a mesma fonte variável $V$ (ajustada com reostato para $I_f=0,40\text{ A}$ em $220\text{ V}$), reduzir a tensão $V$ reduz simultaneamente a tensão de armadura e o fluxo magnético ($\Phi \propto I_f\propto V$):

Tensão da Fonte Única $V\text{ [V]}$	$40\text{ V}$	$80\text{ V}$	$120\text{ V}$	$160\text{ V}$	$180\text{ V}$	$220\text{ V}$
Velocidade $n\text{ [rpm]}$	$-3.280$ (Colapso)	$725$	$1.490$	$1.750$	$1.820$	$1.909$
Corrente do Motor $I_a\text{ [A]}$	$5,55$	$2,90$	$1,82$	$1,36$	$1,21$	$0,994$
Corrente de Campo $I_f\text{ [A]}$	$0,072$	$0,13$	$0,21$	$0,29$	$0,327$	$0,400$

• Conclusão Física: Ao contrário da excitação independente, reduzir a tensão única de um motor Shunt sob carga de torque constante enfraquece o campo magnético ($I_f$ cai de $0,40\text{ A}$ para $0,072\text{ A}$), forçando a corrente de armadura $I_a$ a disparar de $0,994\text{ A}$ para $5,55\text{ A}$ para tentar manter o conjugado $T_e=K_a\Phi I_a$. Em tensões muito baixas ($40\text{ V}$), a queda ôhmica $I_a{R}_a$ supera a tensão aplicada, o conjugado eletromagnético torna-se insuficiente para vencer o torque constante da carga e o rotor sofre estol/reversão! Isso demonstra por que o controle de velocidade por tensão exige alimentação independente do campo.

3. Parte 5 — Grupo Motor CC Shunt Acoplado a Gerador CC Alimentando Carga Resistiva ($R_L=100\Omega$)

Acoplando mecanicamente o eixo do Motor CC ao eixo de um Gerador CC de excitação independente conectado a um resistor de carga de $100\Omega$:

Tensão do Motor Primário $V_{\text{motor}}\text{ [V]}$	$40\text{ V}$	$80\text{ V}$	$120\text{ V}$	$160\text{ V}$	$180\text{ V}$	$220\text{ V}$
Velocidade do Eixo Comum $n\text{ [rpm]}$	$23$	$90$	$193$	$321$	$390$	$534$
Tensão de Saída do Gerador $V_{t,G}\text{ [V]}$	$8,87$	$34,0$	$73,0$	$121,0$	$147,0$	$201,0$
Corrente na Carga $I_L\text{ [A]}$	$2,08$	$4,02$	$5,72$	$7,12$	$7,70$	$8,61$

• Conclusão Física: Verifica-se experimentalmente a lei de Faraday na armadura do gerador ($V_{t,G}\propto E_{a,G}=K\Phi n$): a razão $V_{t,G}/n$ mantém-se rigorosamente constante em $\approx 0,377\text{ V/rpm}$ ao longo de toda a faixa operativa.

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4. A Problemática da Partida em Motores CC e Dimensionamento do Reostato

Figura 3B.2: Partida reostática em degraus e métodos de frenagem elétrica nos 4 quadrantes operacionais.

No exato instante da partida ($t=0^{+}$), o rotor está imóvel (${\omega }_m=0$), portanto a Força Contra-Eletromotriz é rigorosamente nula ($E_a=0\text{ V}$)! Se conectarmos diretamente a armadura à tensão nominal $V_t$ (Partida Direta), a corrente inicial de partida será limitada unicamente pela pequeníssima resistência interna $R_a$:

$I_{a,\text{partida direta}}=\frac{V_t-0}{R_a}=\frac{V_t}{R_a}$

Exemplo Numérico do Surto Destrutivo

Em um motor CC de $240\text{ V}$, $I_{a,\text{nom}}=50\text{ A}$ e $R_a=0,20\Omega$, a partida direta resultaria em: $I_{a,\text{partida}}=\frac{240\text{ V}}{0,20\Omega }=1.200\text{ A}=24\times {\mathbf{I}}_{\mathbf{a},\text{nom}}!$ Essa corrente gigantesca queimaria instantaneamente o comutador, desmagnetizaria os polos e desarmaria a proteção da planta.

4.1 Dimensionamento do Reostato de Partida ($R_{\text{part}}$)

Para limitar a corrente máxima de partida a um múltiplo seguro (tipicamente $I_{\text{maˊx}}=1,5\text{ a }2,0\times I_{a,\text{nom}}$), insere-se em série com a armadura um Reostato de Partida (ou rampa eletrônica de tensão):

$\boxed{I_{\text{maˊx}}=\frac{V_t}{R_a+R_{\text{part}}}⟹R_{\text{part}}=\frac{V_t}{I_{\text{maˊx}}}-R_a}$

À medida que o motor acelera e $E_a$ cresce, a corrente cai até um valor mínimo de transição $I_{\text{mıˊn}}$ (ex.: $1,1\times I_{\text{nom}}$), momento em que contatores temporizados ou de subtensão/sobrecorrente curto-circuitam progressivamente os estágios do reostato ($R_1,R_2,\dots$), gerando a clássica curva “dente de serra” até $R_{\text{part}}=0$.

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5. Frenagem Eletromagnética de Motores CC e Operação nos 4 Quadrantes

Em acionamentos industriais (elevadores, guindastes, trens, bobinadeiras), parar ou controlar a descida de uma carga com rapidez e sem desgaste mecânico de sapatas de freio exige a Frenagem Eletromagnética (invertendo o sentido da corrente de armadura $I_a<0$ para que o conjugado $T_e=K_a\Phi I_a<0$ se oponha ao movimento ${\omega }_m>0$):

1. Frenagem Regenerativa ($E_a>V_t$):
   • Ocorre quando a carga mecânica embala o motor acima da velocidade a vazio (${\omega }_m>{\omega }_0$, como um trem ou elevador descendo carregado) ou quando reduzimos o comando de tensão $V_t$ abaixo do valor atual de $E_a$.
   • A corrente de armadura inverte naturalmente: $\boxed{I_a=\frac{V_t-E_a}{R_a}<0}$
   • A máquina atua como Gerador CC, devolvendo energia elétrica útil para o barramento/rede! (Obs.: Não frena até a parada total ${\omega }_m=0$, a menos que $V_t$ seja reduzido continuamente até zero).
2. Frenagem Dinâmica ou Reostática (Dissipativa em $R_B$):
   • Desconecta-se a armadura da fonte $V_t$ e conecta-se imediatamente a um resistor de frenagem $R_B$, mantendo o campo $\Phi$ excitado.
   • A inércia do rotor mantém $E_a>0$, forçando uma corrente reversa: $\boxed{I_a=-\frac{E_a}{R_a+R_B}=-\frac{K_a\Phi {\omega }_m}{R_a+R_B}⟹T_{\text{fren}}=-\frac{(K_a\Phi {)}^2}{R_a+R_B}\cdot {\omega }_m}$
   • Toda a energia cinética $\frac{1}{2}J{\omega }_m^2$ é dissipada em calor no resistor $R_B$. O conjugado frenante é máximo no início e cai a zero conforme ${\omega }_m\to 0$.
3. Frenagem por Contracorrente / Reversão (Plugging):
   • Inverte-se os terminais da tensão de armadura ($V_t\to -V_t$) enquanto o motor ainda gira para a frente ($E_a>0$).
   • Atenção Crítica: Agora $V_t$ e $E_a$ somam-se na mesma malha, quase dobrando a tensão sobre a armadura! É obrigatório inserir um resistor limitador de contracorrente $R_p$: $\boxed{I_{a,\text{plug}}=-\frac{V_t+E_a}{R_a+R_p}}$
   • Produz um conjugado frenante violentíssimo e permanece ativo mesmo em ${\omega }_m=0$. Exige um relé centrífugo de velocidade zero para abrir o circuito no instante exato em que ${\omega }_m=0$, evitando que o motor parta em sentido reverso!

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6. 📝 Exercícios Resolvidos de Engenharia (Padrão Apostila 03 e UFPR — TE323)

6.1 Exercícios Clássicos da Apostila 03

Exercício Resolvido 1 — Velocidade, Conjugado e Reostato de Partida em Motor CC Shunt

Enunciado: Um motor CC Shunt de $250\text{ V}$ possui resistência de armadura $R_a=0,25\Omega$ e resistência de campo shunt $R_f=125\Omega$. Operando a plena carga, ele drena da rede uma corrente total $I_L=42\text{ A}$ e gira a $n_1=1.200\text{ rpm}$. Determine: (a) A corrente de armadura $I_a$, a FCEM $E_{a1}$, a potência eletromecânica desenvolvida $P_{\text{conv}}$ e o conjugado eletromagnético $T_e$ a plena carga; (b) A velocidade do motor quando opera a vazio (desprezando a corrente de armadura em vazio, $I_{a0}\approx 0$) e a regulação percentual de velocidade; (c) O valor do reostato de partida $R_{\text{part}}$ necessário para limitar a corrente inicial de partida a $I_{\text{maˊx}}=80\text{ A}$, e o resistor adicional $R_p$ necessário caso se aplique frenagem por contracorrente (plugging) a plena velocidade limitando a corrente a $80\text{ A}$.

Solução Passo a Passo: (a) Grandezas a plena carga ($n_1=1.200\text{ rpm}⟹{\omega }_{m1}=\frac{2\pi \times 1200}{60}=125,66\text{ rad/s}$):

• Corrente de campo Shunt e Corrente de Armadura (no Motor Shunt, a corrente da rede divide-se entre armadura e campo!): $I_f=\frac{V_t}{R_f}=\frac{250\text{ V}}{125\Omega }=2,0\text{ A}⟹I_a=I_L-I_f=42-2=\boxed{40,0\text{ A}}$
• Força Contra-Eletromotriz ($E_{a1}$): $E_{a1}=V_t-I_a{R}_a=250-(40\times 0,25)=250-10=\boxed{240,0\text{ V}}$
• Potência convertida e Conjugado desenvolvido: $P_{\text{conv}}=E_{a1}\cdot I_a=240\times 40=\boxed{9.600\text{ W}=9,6\text{ kW}}$ $T_e=\frac{P_{\text{conv}}}{{\omega }_{m1}}=\frac{9.600\text{ W}}{125,664\text{ rad/s}}=\boxed{76,39\text{ N}\cdot \text{m}}$

(b) Velocidade a vazio ($n_0$) e Regulação de Velocidade ($RV\%$): Em vazio ($I_{a0}\approx 0$), temos $E_{a0}=V_t=250\text{ V}$. Como $I_f=2\text{ A}$ é constante ($\Phi =\text{cte}$), $E_a\propto n$: $\frac{n_0}{n_1}=\frac{E_{a0}}{E_{a1}}⟹n_0=1.200\times \frac{250}{240}=\boxed{1.250\text{ rpm}}$ $RV(\%)=\frac{1.250-1.200}{1.200}\times 100\%=\boxed{4,17\%}$

(c) Dimensionamento de $R_{\text{part}}$ e $R_p$ (Plugging):

• Na partida ($n=0⟹E_a=0$): $R_{\text{part}}=\frac{V_t}{I_{\text{maˊx}}}-R_a=\frac{250\text{ V}}{80\text{ A}}-0,25\Omega =3,125-0,25=\boxed{2,875\Omega }$
• Na frenagem por contracorrente a $1.200\text{ rpm}$ ($V_t=250\text{ V}$ soma-se a $E_{a1}=240\text{ V}$): $R_p=\frac{V_t+E_{a1}}{I_{\text{maˊx}}}-R_a=\frac{250+240}{80}-0,25=\frac{490}{80}-0,25=6,125-0,25=\boxed{5,875\Omega }$

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Exercício Resolvido 2 — Controle por Enfraquecimento de Campo em Motor CC Shunt

Enunciado: O motor CC Shunt do Exercício 1 ($250\text{ V}$, $R_a=0,25\Omega$, $I_{a1}=40\text{ A}$ a $n_1=1.200\text{ rpm}$) aciona uma carga cujo conjugado resistente é constante ($T_{\text{carga}}=\text{cte}$). Deseja-se elevar a velocidade do motor para $n_2=1.500\text{ rpm}$ inserindo um reostato de campo que reduz o fluxo magnético por polo em $25\%$ (${\Phi }_2=0,75{\Phi }_1$). Verifique se essa condição é atingida e calcule a nova velocidade exata $n_2$.

Solução Passo a Passo:

1. Nova Corrente de Armadura ($I_{a2}$) para Conjugado Constante: Como $T_e=K_a\Phi I_a=\text{cte}$: ${\Phi }_1{I}_{a1}={\Phi }_2{I}_{a2}⟹{\Phi }_1(40)=(0,75{\Phi }_1)I_{a2}⟹I_{a2}=\frac{40}{0,75}=\boxed{53,33\text{ A}}$ (Note que ao enfraquecer o campo em $25\%$ mantendo o mesmo torque no eixo, a corrente de armadura sobe $33,3\%$!)
2. Nova Força Contra-Eletromotriz ($E_{a2}$): $E_{a2}=V_t-I_{a2}{R}_a=250-(53,33\times 0,25)=250-13,33=\boxed{236,67\text{ V}}$
3. Nova Velocidade de Equilíbrio ($n_2$): Como $\frac{E_{a2}}{E_{a1}}=\frac{{\Phi }_2{n}_2}{{\Phi }_1{n}_1}=0,75\cdot \frac{n_2}{n_1}$: $n_2=n_1\cdot \left(\frac{E_{a2}}{E_{a1}}\right)\cdot \left(\frac{{\Phi }_1}{{\Phi }_2}\right)=1.200\times \left(\frac{236,67}{240,0}\right)\times \left(\frac{1}{0,75}\right)=\boxed{1.577,8\text{ rpm}}$

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6.2 Exercícios Resolvidos de Provas, Listas e Monitoria (UFPR — TE323 / L3)

Exercício Resolvido 3 (UFPR — Monitoria L3 Ex. 2 & Lista 2 Ex. 8: Motor Shunt de $20\text{ HP}$, Fluxo, Perdas Rotacionais e Redução de Fluxo a $80\%$)

Um motor CC em derivação (Shunt) de $P_{\text{eixo}}=20\text{ HP}$ ($1\text{ HP}=746\text{ W}⟹14.920\text{ W}$), $V_t=230\text{ V}$, $n=1.150\text{ rpm}$, possui $P=4\text{ polos}$, $a=4\text{ caminhos paralelos}$ na armadura e $Z_a=882\text{ condutores ativos}$. A resistência do circuito de armadura é $R_a=0,188\Omega$. Na condição nominal, a corrente de armadura é $I_a=73\text{ A}$ e a corrente de campo é $I_f=1,6\text{ A}$.

Determine:

1. A FCEM $E_a$, a constante construtiva $K$, o fluxo magnético por polo $\Phi$, o conjugado eletromagnético ${\tau }_{\text{em}}$, as perdas rotacionais $P_{\text{rot}}$ e o rendimento nominal $\eta$;
2. Se o conjugado no eixo permanecer fixo, mas o fluxo de campo for reduzido a $80\%$ do seu valor nominal (${\Phi }^{\prime }=0,80\Phi$) por meio do reostato de campo, qual será a nova corrente de armadura $I_a^{\prime }$ e a nova velocidade de operação $n^{\prime }$?

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Resolução Passo a Passo:

1. Análise Completa na Condição Nominal ($n=1.150\text{ rpm}⟹\omega =\frac{2\pi \times 1.150}{60}=120,428\text{ rad/s}$):

• Força Contra-Eletromotriz ($E_a$): $E_a=V_t-R_a{I}_a=230-(0,188\times 73)=230-13,724=216,276\text{ V}$
• Constante Construtiva ($K$ para $\text{rpm}$ e $K_a$ para $\text{rad/s}$): $K=\frac{P\cdot Z_a}{60\cdot a}=\frac{4\times 882}{60\times 4}=14,7\left(K_a=\frac{P\cdot Z_a}{2\pi \cdot a}=\frac{882}{2\pi }\approx 140,375{\text{ rad}}^{-1}\right)$
• Fluxo Magnético por Polo ($\Phi$): $\boxed{\Phi =\frac{E_a}{K\cdot n}=\frac{216,276\text{ V}}{14,7\times 1.150\text{ rpm}}=12,794\text{ mWb}}$
• Potência Eletromagnética ($P_{\text{em}}$) e Conjugado Eletromagnético (${\tau }_{\text{em}}$): $P_{\text{em}}=E_a\cdot I_a=216,276\times 73=15.788,15\text{ W}$ $\boxed{{\tau }_{\text{em}}=\frac{P_{\text{em}}}{\omega }=K_a\Phi I_a=\frac{15.788,15\text{ W}}{120,428\text{ rad/s}}=131,10\text{ N}\cdot \text{m}}$ (Nota da Monitoria L3: usando o índice proporcional $K\Phi I_a$ com $K=14,7$, obtém-se ${\tau }_{\text{prop}}=14,7\times 0,012794\times 73=13,729$, que multiplicado por $\frac{60}{2\pi }=9,5493$ fornece exatamente os $131,10\text{ N}\cdot \text{m}$ no SI!).
• Perdas Rotacionais ($P_{\text{rot}}$) e Rendimento ($\eta$): $P_{\text{rot}}=P_{\text{em}}-P_{\text{eixo}}=15.788,15-(20\times 746)=15.788,15-14.920=868,15\text{ W}$ Potência elétrica total absorvida da rede ($I_L=I_a+I_f=73+1,6=74,6\text{ A}$): $P_{\text{in}}=V_t\cdot I_L=230\text{ V}\times 74,6\text{ A}=17.158\text{ W}⟹\boxed{\eta =\frac{14.920}{17.158}\times 100\%=86,96\%}$

2. Operação com Fluxo Reduzido a $80\%$ (${\Phi }^{\prime }=0,80\times 12,794=10,235\text{ mWb}$): Como o conjugado no eixo permanece constante (${\Phi }^{\prime }{I}_a^{\prime }=\Phi I_a$): $I_a^{\prime }=\frac{I_a}{0,80}=\frac{73\text{ A}}{0,80}=91,25\text{ A}$ Calculando a nova FCEM e a nova rotação $n^{\prime }$: $E_a^{\prime }=V_t-R_a{I}_a^{\prime }=230-(0,188\times 91,25)=230-17,155=212,845\text{ V}$ $\boxed{n^{\prime }=\frac{E_a^{\prime }}{K\cdot {\Phi }^{\prime }}=\frac{212,845\text{ V}}{14,7\times 10,235\times 10^{-3}\text{ Wb}}=1.414,68\text{ rpm}}$

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Exercício Resolvido 4 (UFPR — Monitoria L3 Exs. 5 e 6: Motor Shunt com Queda nas Escovas em Meia Carga, Sobrecarga e Aumento de Fluxo)

Um motor CC Shunt de $V_t=120\text{ V}$ possui resistência de armadura $R_a=0,2\Omega$ e resistência de campo $R_f=60\Omega$. À plena carga, ele absorve da rede uma corrente de linha $I_L=40\text{ A}$ e gira a $n=1.800\text{ rpm}$, apresentando uma queda de tensão nas escovas $\Delta V=3\text{ V}$.

Calcule:

1. A velocidade de rotação em situação de meia carga ($50\%$) e de sobrecarga de $125\%$ (mantendo $R_f=60\Omega$ constante);
2. A nova velocidade $n^{\prime }$ caso seja aplicada uma carga pesada que drene $I_L^{\prime }=66\text{ A}$ da linha, reduzindo-se o reostato de campo para $R_f^{\prime }=50\Omega$ de modo a elevar o fluxo polar em $12\%$ (${\Phi }^{\prime }=1,12\Phi$).

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Resolução Passo a Passo:

1. Condição Nominal, Meia Carga ($50\%$) e Sobrecarga ($125\%$):

• Em regime nominal ($R_f=60\Omega$): $I_f=\frac{120\text{ V}}{60\Omega }=2\text{ A}⟹I_a=I_L-I_f=40-2=38\text{ A}$ $E_a=V_t-R_a{I}_a-\Delta V=120-(0,2\times 38)-3=109,4\text{ V}$
• Em Meia Carga ($I_{a,50\%}=0,5\times 38=19\text{ A}$): $E_{a,50\%}=120-(0,2\times 19)-3=113,2\text{ V}⟹\boxed{n_{50\%}=1.800\times \frac{113,2}{109,4}=1.862,52\text{ rpm}}$
• Em Sobrecarga de $125\%$ ($I_{a,125\%}=1,25\times 38=47,5\text{ A}$): $E_{a,125\%}=120-(0,2\times 47,5)-3=107,5\text{ V}⟹\boxed{n_{125\%}=1.800\times \frac{107,5}{109,4}=1.768,74\text{ rpm}}$

2. Condição com Carga Pesada ($I_L^{\prime }=66\text{ A}$) e Fluxo Fortalecido em $12\%$ ($R_f^{\prime }=50\Omega$):

• Nova corrente de campo e de armadura: $I_f^{\prime }=\frac{120\text{ V}}{50\Omega }=2,4\text{ A}⟹I_a^{\prime }=I_L^{\prime }-I_f^{\prime }=66-2,4=63,6\text{ A}$
• Nova FCEM ($E_a^{\prime }$): $E_a^{\prime }=120-(0,2\times 63,6)-3=120-12,72-3=104,28\text{ V}$
• Como $E_a=K\Phi n$ e ${\Phi }^{\prime }=1,12\Phi$: $\boxed{n^{\prime }=n\cdot \left(\frac{E_a^{\prime }}{E_a}\right)\cdot \left(\frac{\Phi }{{\Phi }^{\prime }}\right)=1.800\times \left(\frac{104,28}{109,4}\right)\times \left(\frac{1}{1,12}\right)=1.531,93\text{ rpm}}$

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Exercício Resolvido 5 (UFPR — Monitoria L3 Ex. 3: Motor CC Série de $200\text{ HP}$ e Conjugado Eletromagnético)

Um motor CC em série de $200\text{ HP}$, $V_t=550\text{ V}$ e $n=450\text{ rpm}$, solicita uma corrente da rede $I_L=295\text{ A}$ para a saída nominal. As resistências dos enrolamentos de armadura e de campo série são $R_a=0,07\Omega$ e $R_s=0,04\Omega$, respectivamente.

Calcule: (a) A FCEM $E_a$, a potência eletromagnética $P_{\text{em}}$ e o conjugado eletromagnético nominal ${\tau }_{\text{em}}$; (b) A nova velocidade caso o conjugado seja reduzido a $25\%$ do nominal sob potência constante.

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Resolução Passo a Passo:

1. Grandezas Nominais ($I_a=I_s=I_L=295\text{ A}$ e $\omega =\frac{2\pi \times 450}{60}=15\pi \approx 47,124\text{ rad/s}$): $E_a=V_t-I_a(R_a+R_s)=550-295\times (0,07+0,04)=550-32,45=517,55\text{ V}$ $P_{\text{em}}=E_a\cdot I_a=517,55\times 295=152.677,25\text{ W}\approx 152,68\text{ kW}$ $\boxed{{\tau }_{\text{em}}=\frac{P_{\text{em}}}{\omega }=\frac{152.677,25\text{ W}}{15\pi \text{ rad/s}}=3.239,91\text{ N}\cdot \text{m}}$

2. Redução do Conjugado para $25\%$ (${\tau }_{\text{em}}^{\prime }=0,25\times 3.239,91=809,98\text{ N}\cdot \text{m}$): Mantendo a potência eletromagnética constante ($P_{\text{em}}={\tau }_{\text{em}}^{\prime }{\omega }^{\prime }$), a velocidade quadruplica: $\boxed{n^{\prime }=\frac{60\cdot P_{\text{em}}}{2\pi \cdot {\tau }_{\text{em}}^{\prime }}=4\times 450\text{ rpm}=1.800\text{ rpm}}$ (Ou, considerando o modelo magnético linear ${\tau }_{\text{em}}\propto I_a^2$ com $V_t=550\text{ V}$ fixo, reduzir o conjugado a $1/4$ reduz a corrente $I_a$ e o fluxo $\Phi$ pela metade: $I_a^{\prime }=147,5\text{ A}⟹E_a^{\prime }=550-147,5\times 0,11=533,78\text{ V}⟹n^{\prime }=450\times \frac{533,78}{517,55}\times 2=928,2\text{ rpm}$).

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Exercício Resolvido 6 (UFPR — Monitoria L3 Ex. 7: Motor CC de Ímã Permanente — Ensaio a Vazio e Potência de Saída)

Um motor CC de ímã permanente (PMDC) possui resistência de armadura $R_a=1,03\Omega$. Quando opera em vazio alimentado por uma fonte de $V_{t0}=50\text{ V}$, gira a $n_0=2.100\text{ rpm}$ e drena uma corrente $I_{a0}=1,25\text{ A}$.

Determine:

1. As perdas rotacionais do motor a vazio ($P_{\text{rot}}$) e a constante de conjugado/tensão $K_c=K\Phi$;
2. A potência útil de saída no eixo ($P_{\text{eixo}}$) quando o motor opera sob carga a $n^{\prime }=1.700\text{ rpm}$ alimentado por uma fonte de $V_t^{\prime }=48\text{ V}$.

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Resolução Passo a Passo:

1. Ensaio a Vazio ($50\text{ V},2.100\text{ rpm},1,25\text{ A}$): Como a máquina opera sem carga mecânica externa no eixo ($P_{\text{eixo},0}=0$), toda a potência eletromagnética convertida em vazio é consumida exatamente pelas perdas rotacionais ($P_{\text{rot}}$): $E_{a0}=V_{t0}-R_a{I}_{a0}=50-(1,03\times 1,25)=48,7125\text{ V}$ $\boxed{P_{\text{rot}}=E_{a0}\cdot I_{a0}=48,7125\text{ V}\times 1,25\text{ A}=60,891\text{ W}}$ Sendo o fluxo dos ímãs permanentes constante, a constante de tensão por rotação ($K_c=K\Phi$) vale: $K_c=\frac{E_{a0}}{n_0}=\frac{48,7125\text{ V}}{2.100\text{ rpm}}=23,196\text{ mV/rpm}$

2. Operação sob Carga ($V_t^{\prime }=48\text{ V},n^{\prime }=1.700\text{ rpm}$):

• Nova FCEM induzida a $1.700\text{ rpm}$: $E_a^{\prime }=K_c\cdot n^{\prime }=23,196\times 10^{-3}\times 1.700=39,433\text{ V}$
• Corrente de armadura drenada sob carga: $I_a^{\prime }=\frac{V_t^{\prime }-E_a^{\prime }}{R_a}=\frac{48-39,433}{1,03}=8,317\text{ A}$
• Potência eletromagnética convertida e potência líquida no eixo: $P_{\text{em}}^{\prime }=E_a^{\prime }\cdot I_a^{\prime }=39,433\text{ V}\times 8,317\text{ A}=327,964\text{ W}$ $\boxed{P_{\text{eixo}}=P_{\text{em}}^{\prime }-P_{\text{rot}}=327,964-60,891=267,073\text{ W}}$

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7. 🎯 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 03 - Motores CC)

Módulo 3 — Análise da Característica Terminal e Operação a Vazio do Motor Série

Questão 3B.1 (Apostila 03, Módulo 3 — Dedução Analítica da Característica Terminal do Motor CC Série)

Em um motor de corrente contínua com excitação série, a corrente de armadura é idêntica à corrente de excitação ($I_a=I_s=I_L$). Admitindo regime magnético linear não saturado (onde o fluxo por polo é diretamente proporcional à corrente de armadura: $\Phi =c\cdot I_a$, com $c$ constante), e considerando que a força contra-eletromotriz é expressa por $E_a=k\cdot \Phi \cdot n$, determine a expressão analítica que fornece a característica terminal velocidade versus torque induzido, $n({\tau }_{\text{ind}})$:

• (A) $n({\tau }_{\text{ind}})=2\frac{V_t}{\sqrt{k\cdot c\cdot {\tau }_{\text{ind}}}}-\frac{R_a+R_s}{k\cdot c}$

• (B) $n({\tau }_{\text{ind}})=\frac{V_t}{\sqrt{k\cdot c\cdot {\tau }_{\text{ind}}}}-\frac{R_a+R_s}{k\cdot c}$

• (C) $n({\tau }_{\text{ind}})=\frac{V_t}{k\cdot c\cdot {\tau }_{\text{ind}}}-\frac{R_a+R_s}{k\cdot c}$

• (D) $n({\tau }_{\text{ind}})=\frac{V_t}{\sqrt{{\tau }_{\text{ind}}}}-(R_a+R_s)$

• (E) $n({\tau }_{\text{ind}})=\frac{V_t\cdot {\tau }_{\text{ind}}}{k\cdot c}-\frac{R_a}{R_s}$

Justificativa Técnica Oficial:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($n({\tau }_{\text{ind}})=\frac{V_t}{\sqrt{k\cdot c\cdot {\tau }_{\text{ind}}}}-\frac{R_a+R_s}{k\cdot c}$).

Resolução Passo a Passo e Fundamentação:

1. Equação Elétrica de Armadura: $V_t=E_a+(R_a+R_s)I_a$
2. Expressão do Conjugado Induzido: Como ${\tau }_{\text{ind}}=k\Phi I_a$ e $\Phi =c{I}_a$: ${\tau }_{\text{ind}}=k(c{I}_a)I_a=kc{I}_a^2⟹I_a=\sqrt{\frac{{\tau }_{\text{ind}}}{kc}}$
3. Substituição na Equação de Tensão: Substituindo $E_a=k\Phi n=k(c{I}_a)n=kcn{I}_a$: $V_t=kcn{I}_a+(R_a+R_s)I_a=\left[kcn+(R_a+R_s)\right]\sqrt{\frac{{\tau }_{\text{ind}}}{kc}}$
4. Isolando a Rotação $n$: $\frac{V_t}{\sqrt{{\tau }_{\text{ind}}/(kc)}}=kcn+(R_a+R_s)⟹\frac{V_t\sqrt{kc}}{\sqrt{{\tau }_{\text{ind}}}}=kcn+(R_a+R_s)$ Dividindo ambos os membros por $kc$: $n({\tau }_{\text{ind}})=\frac{V_t}{kc}\frac{\sqrt{kc}}{\sqrt{{\tau }_{\text{ind}}}}-\frac{R_a+R_s}{kc}=\boxed{\frac{V_t}{\sqrt{kc{\tau }_{\text{ind}}}}-\frac{R_a+R_s}{kc}}$

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Questão 3B.2 (Apostila 03, Módulo 3 — Perigo Operacional do Motor CC Série a Vazio)

Analisando a equação da característica terminal $n({\tau }_{\text{ind}})$ deduzida no item anterior, o que aconteceria fisicamente com um motor CC série caso a carga mecânica que ele aciona fosse subitamente desacoplada de seu eixo (desconexão mecânica / operação a vazio)?

• (A) A velocidade do motor reduziria bruscamente.

• (B) A corrente do motor diminuiria para um valor nulo sem alteração mecânica.

• (C) A potência de entrada do motor seria zero.

• (D) A velocidade do motor aumentaria excessivamente (disparo mecânico).

• (E) A potência de saída do motor atingiria o valor máximo nominal.

Justificativa Técnica Oficial:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D (A velocidade do motor aumentaria excessivamente).

Resolução Passo a Passo e Fundamentação:

1. Comportamento Limite da Equação: Quando a carga resistente é removida, o conjugado resistente tende a zero (${\tau }_{\text{ind}}\to 0$): ${\lim }_{{\tau }_{\text{ind}}\to 0}n({\tau }_{\text{ind}})={\lim }_{{\tau }_{\text{ind}}\to 0}\left[\frac{V_t}{\sqrt{kc{\tau }_{\text{ind}}}}-\frac{R_a+R_s}{kc}\right]\to +\infty$
2. Fenômeno Físico de Embalamento: À medida que o motor acelera, a corrente de armadura $I_a$ diminui para reduzir o conjugado; contudo, no motor série, o fluxo indutor $\Phi$ é gerado pela própria corrente de armadura ($\Phi \propto I_a$). A queda drástica de $I_a$ causa o colapso do campo magnético, restando apenas o magnetismo residual. Para gerar a força contra-eletromotriz $E_a\approx V_t$ sob um fluxo residual quase nulo, a velocidade angular do rotor precisa subir descontroladamente.
3. Consequência Prática de Engenharia: A máquina atinge rotações destrutivas em segundos, provocando o rompimento dos enrolamentos do rotor e desprendimento das lâminas do comutador por esforços centrífugos. Por isso, a norma técnica proíbe estritamente o acionamento de motores CC série por correias (que podem arrebentar), exigindo acoplamento mecânico rígido por engrenagens ou flanges diretos.