04 - Transformadores - Teoria e Aplicações

⚡ Transformadores: Teoria, Modelagem Matemática, Ensaios e Aplicações

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• Plano de Ensino / Conteúdo Programático: Módulo 04 (Transformadores monofásicos e trifásicos, circuitos equivalentes, parâmetros operacionais, harmônicos de excitação e acionamentos elétricos).
• Material do Cofre: Complemento analítico e prático da apostila Transformadores e do acervo universitário da UFPR (TE323 / TE146 — Conversão Eletromecânica de Energia I: Capítulo 3 — Transformadores de Energia, Lista de Exercícios Transformadores, Aulas de Exercícios 1–3, Provas P1 e Trabalho Final de Simulação PSIM).
• Videoaula Associada: Prof. Igor Pizetta - Electrical Machines: Transformers
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📌 Sumário do MOC

1. 1. Importância dos Transformadores e Tipos Construtivos
   • 1.1 Por que o Transformador viabiliza o Sistema Elétrico de Potência?
   • 1.2 Formas Construtivas de Núcleo
2. 2. O Transformador Ideal
   • 2.1 Hipóteses do Modelo Ideal
   • 2.2 Relação de Transformação ($a$)
   • 2.3 Reflexão (Referência) de Impedâncias
3. 3. Teoria do Transformador Real Monofásico
4. 4. Circuitos Equivalentes (Exato e Aproximado)
   • 4.1 Circuito Equivalente Exato (Referido ao Primário)
   • 4.2 Circuito Equivalente Aproximado
5. 5. Determinação de Parâmetros por Ensaios
   • 5.1 Ensaio a Vazio (*Open-Circuit Test*)
   • 5.2 Ensaio em Curto-Circuito (*Short-Circuit Test*)
   • 📝 Exercício Resolvido 1: Determinação Completa dos Parâmetros
6. 6. O Sistema Por Unidade (PU) Aplicado a Transformadores
   • 6.1 Equações de Base
   • 6.2 A Grandeza Invariante do Transformador em PU
7. 7. Regulação de Tensão ($VR$) e Rendimento ($\eta$)
   • 7.1 Regulação de Tensão Percentual ($VR$)
   • 7.2 Rendimento ($\eta$)
   • 📝 Exercício Resolvido 2: Regulação de Tensão e Rendimento sob Carga
8. 8. Comutadores de Derivação (Taps) e Operação em Paralelo
   • 8.1 Comutadores de Derivação (NLTC e OLTC)
   • 8.2 Polaridade ABNT e Operação em Paralelo de Transformadores
9. 9. Autotransformadores: Teoria e Vantagem de Potência Passante
   • 9.1 Relações de Tensão e Corrente
   • 9.2 Vantagem de Potência Aparente e Condução vs. Transformação
   • 📝 Exercício Resolvido 3: Autotransformador e Capacidade de Potência
10. 10. Transformadores Trifásicos, Análise Harmônica e Cargas Desequilibradas
    • 10.1 Grupos de Ligação e Bancos Monofásicos vs. Núcleo Único
    • 10.2 Corrente de Excitação Não-Senoidal e a Física do 3º Harmônico
    • 10.3 Comportamento Harmônico e Desequilíbrio por Tipo de Conexão ($Y\text{-}Y, Y\text{-}\Delta, \Delta\text{-}Y, \Delta\text{-}\Delta$)
    • 10.4 Operação em Delta Aberto ($V\text{-}V$) sob Contingência
    • 10.5 Estudo de Caso Experimental em PSIM: Bancos Trifásicos sob Cargas Equilibradas e Desequilibradas (UFPR — TE323)
    • 10.6 Exercícios Resolvidos de Provas e Listas (UFPR — TE323 / TE146)
11. 11. Fenômenos Transitórios e Transformadores de Instrumentação (TP e TC)
    • 11.1 Corrente de Magnetização Transitória (*Inrush Current*)
    • 11.2 Transformadores de Instrumentação
12. 12. 🎯 Verificando o Aprendizado (Questões de Fixação da Apostila 04)

• Módulo 1 — Transformador Monofásico sob Carga e Queda de Tensão
• Módulo 2 — Transformadores Trifásicos, Alimentadores e Perdas Joule
• Módulo 3 — Transformadores Especiais: Conexão Zig-Zag e Autotransformadores

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1. Importância dos Transformadores e Tipos Construtivos

O transformador é uma máquina elétrica estática que, por indução eletromagnética mútua, transfere energia elétrica em corrente alternada entre dois ou mais enrolamentos sob a mesma frequência, operando tipicamente com alteração dos níveis de tensão e corrente.

flowchart LR
    G["⚡ Geração (13,8 kV)"] --> TE["Transformador Elevador"]
    TE --> LT["Linha de Transmissão (500 kV)"]
    LT --> TA["Transformador Abaixador"]
    TA --> C["🏭 Consumidores (380 / 220 V)"]
### 1.1 Por que o Transformador viabiliza o Sistema Elétrico de Potência?

A potência ativa transmitida por uma linha trifásica é:
$$P = \sqrt{3} \cdot V_L \cdot I_L \cdot \cos\theta \implies I_L = \frac{P}{\sqrt{3} \cdot V_L \cdot \cos\theta}$$

As perdas por Efeito Joule nos condutores de resistência $R_{\text{linha}}$ são dadas por:
$$P_{\text{perda}} = 3 \cdot R_{\text{linha}} \cdot I_L^2 = 3 \cdot R_{\text{linha}} \cdot \left( \frac{P}{\sqrt{3} \cdot V_L \cdot \cos\theta} \right)^2 = \frac{P^2 \cdot R_{\text{linha}}}{V_L^2 \cdot \cos^2\theta}$$

> [!important] Relação Quadrática Inversa
> 
> Elevando-se a tensão de transmissão $V_L$ por um fator de $10\times$, a corrente $I_L$ reduz-se por $10\times$ e as **perdas ôhmicas de transmissão caem por um fator de $100\times$ ($V^2$)**, reduzindo a bitola necessária de cobre/alumínio e o custo das torres.

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### 1.2 Formas Construtivas de Núcleo

Os transformadores de potência são fisicamente construídos em duas topologias principais:

1. **Tipo Núcleo Envolvido (*Core Form*):**
   - Os enrolamentos cilíndricos envolvem as pernas de ferro do núcleo.
   - O enrolamento de baixa tensão (BT) é montado internamente (mais próximo do ferro para baratear o isolamento), e o de alta tensão (AT) externamente.
   - Muito utilizado em níveis de alta e extra-alta tensão.

2. **Tipo Núcleo Envolvente (*Shell Form*):**
   - O núcleo magnético envolve os enrolamentos por fora.
   - Proporciona excelente blindagem mecânica contra esforços de curto-circuito e caminhos de menor relutância para o fluxo.

* **Laminação do Núcleo:** Os núcleos são construídos com lâminas delgadas ($0{,}27\text{ mm}$ a $0{,}35\text{ mm}$) de aço-silício de grão orientado (GO), eletricamente isoladas entre si por óxidos ou vernizes (ex: Carlite), mitigando as correntes parasitas de Foucault:
  $$P_e = k_e \cdot f^2 \cdot B_{\text{max}}^2 \cdot t^2 \quad [\text{W/kg}]$$
  *onde $t$ é a espessura da lâmina.*

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## 2. O Transformador Ideal

O transformador ideal é um modelo matemático de referência sem perdas nem dispersão.

![[trafo_ideal_esquematico.svg]]


### 2.1 Hipóteses do Modelo Ideal
1. **Permeabilidade infinita do ferro ($\mu \to \infty$):** Relutância magnética nula ($\mathcal{R} \to 0$), de modo que a corrente necessária para estabelecer fluxo é nula ($\mathcal{F} = N i = 0$).
2. **Dispersão nula de fluxo ($\phi_{l1} = \phi_{l2} = 0$):** $100\%$ do fluxo magnético está contido estritamente no núcleo acoplando ambas as bobinas ($\phi_1 = \phi_2 = \phi_m$).
3. **Resistência elétrica dos condutores nula ($R_1 = R_2 = 0$):** Não há perdas Joule no enrolamento.
4. **Sem perdas no ferro:** Não há correntes parasitas nem laço de histerese ($P_{\text{núcleo}} = 0$).

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### 2.2 Relação de Transformação ($a$)

Pela [[Aula 05 - Indução Eletromagnética, Lei de Faraday-Lenz, Indutância e Energia Magnética|Lei de Faraday]] aplicada às duas bobinas:
$$v_1(t) = N_1 \frac{d\phi(t)}{dt} \qquad v_2(t) = N_2 \frac{d\phi(t)}{dt}$$

Dividindo uma pela outra:
$$\boxed{ \frac{v_1(t)}{v_2(t)} = \frac{\mathbf{V}_1}{\mathbf{V}_2} = \frac{N_1}{N_2} = a }$$

Pela hipótese de relutância nula ($\sum \mathcal{F} = 0$):
$$\mathcal{F}_{\text{líquida}} = N_1 i_1(t) - N_2 i_2(t) = 0 \implies N_1 i_1(t) = N_2 i_2(t)$$
$$\boxed{ \frac{i_1(t)}{i_2(t)} = \frac{\mathbf{I}_1}{\mathbf{I}_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{a} }$$

* **Conservação da Potência Complexa:**
  $$\mathbf{S}_1 = \mathbf{V}_1 \cdot \mathbf{I}_1^* = (a \mathbf{V}_2) \cdot \left(\frac{\mathbf{I}_2}{a}\right)^* = \mathbf{V}_2 \cdot \mathbf{I}_2^* = \mathbf{S}_2$$
  *A potência aparente, ativa e reativa que entra no primário é rigorosamente igual à entregue pelo secundário.*

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### 2.3 Reflexão (Referência) de Impedâncias

Se uma impedância $\mathbf{Z}_L = \frac{\mathbf{V}_2}{\mathbf{I}_2}$ está conectada aos terminais do secundário, a impedância aparente $\mathbf{Z}'_L$ vista pela fonte conectada ao primário é:

$$\mathbf{Z}'_L = \frac{\mathbf{V}_1}{\mathbf{I}_1} = \frac{a \cdot \mathbf{V}_2}{\left( \frac{\mathbf{I}_2}{a} \right)} = a^2 \cdot \frac{\mathbf{V}_2}{\mathbf{I}_2} = a^2 \cdot \mathbf{Z}_L$$

$$\boxed{ \mathbf{Z}'_L = a^2 \cdot \mathbf{Z}_L }$$

> [!tip] Regra Geral de Conversão de Impedâncias
> 
> - **Do secundário para o primário:** Multiplica-se por $a^2$.
> - **Do primário para o secundário:** Divide-se por $a^2$.

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## 3. Teoria do Transformador Real Monofásico

Em transformadores reais de potência, as quatro hipóteses ideais são violadas:

$$\begin{aligned}
  \text{Fluxo Total Primário:} & \quad \phi_1 = \phi_m + \phi_{l1} \\
  \text{Fluxo Total Secundário:} & \quad \phi_2 = \phi_m - \phi_{l2}
\end{aligned}$$


1. **Perdas por Efeito Joule nos Enrolamentos:** Modeladas pelas resistências $R_1$ (primário) e $R_2$ (secundário).
2. **Fluxos Dispersos de Fuga ($\phi_{l1}$ e $\phi_{l2}$):** Linhas de campo que se fecham pelo ar/óleo, enlaçando apenas um enrolamento. Pela linearidade do ar, esses fluxos são proporcionais às respectivas correntes e produzem quedas indutivas reativas:
   $$e_{l1} = N_1 \frac{d\phi_{l1}}{dt} = L_{l1} \frac{di_1}{dt} \iff \mathbf{V}_{l1} = j X_1 \mathbf{I}_1 \quad (X_1 = \omega L_{l1})$$
   $$e_{l2} = N_2 \frac{d\phi_{l2}}{dt} = L_{l2} \frac{di_2}{dt} \iff \mathbf{V}_{l2} = j X_2 \mathbf{I}_2 \quad (X_2 = \omega L_{l2})$$
3. **Corrente de Excitação ($\mathbf{I}_\phi$):** Para manter o fluxo mútuo $\phi_m$ em um ferro com permeabilidade finita $\mu$, o primário deve consumir uma corrente em vazio:
   $$\mathbf{I}_\phi = \mathbf{I}_c + \mathbf{I}_m$$
   - $\mathbf{I}_m$ (**Corrente de Magnetização**): Cria o fluxo no núcleo; está em fase com o fluxo e $90^\circ$ atrasada da tensão induzida $E_1$. É modelada por uma reatância em derivação $X_m$.
   - $\mathbf{I}_c$ (**Corrente de Perdas no Ferro**): Fornece a potência dissipada por histerese e correntes de Foucault. Está em fase com $E_1$. É modelada por uma resistência em derivação $R_c$.

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## 4. Circuitos Equivalentes (Exato e Aproximado)

### 4.1 Circuito Equivalente Exato (Referido ao Primário)

Elimina-se o acoplamento magnético ideal transferindo todas as grandezas do secundário para o primário via relação de espiras $a$:

![[trafo_circuito_exato.svg]]

Onde:
$$\mathbf{V}'_2 = a \cdot \mathbf{V}_2 \qquad \mathbf{I}'_2 = \frac{\mathbf{I}_2}{a} \qquad R'_2 = a^2 \cdot R_2 \qquad X'_2 = a^2 \cdot X_2$$

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### 4.2 Circuito Equivalente Aproximado

Em transformadores de potência de médio e grande porte, a corrente de excitação em vazio $\mathbf{I}_\phi$ é muito pequena (tipicamente $1\%$ a $3\%$ da corrente nominal de plena carga).  
Portanto, a queda de tensão em $R_1 + jX_1$ causada por $\mathbf{I}_\phi$ é desprezível. Pode-se deslocar o ramo de magnetização ($R_c \parallel jX_m$) diretamente para a entrada:

![[trafo_circuito_aproximado.svg]]


Definem-se os **parâmetros série equivalentes referidos ao primário**:

$$\boxed{ R_{\text{eq, 1}} = R_1 + a^2 \cdot R_2 }$$
$$\boxed{ X_{\text{eq, 1}} = X_1 + a^2 \cdot X_2 }$$
$$\boxed{ \mathbf{Z}_{\text{eq, 1}} = R_{\text{eq, 1}} + j X_{\text{eq, 1}} }$$

E os parâmetros referidos ao secundário:
$$R_{\text{eq, 2}} = \frac{R_{\text{eq, 1}}}{a^2} = \frac{R_1}{a^2} + R_2 \qquad X_{\text{eq, 2}} = \frac{X_{\text{eq, 1}}}{a^2} = \frac{X_1}{a^2} + X_2$$

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## 5. Determinação de Parâmetros por Ensaios

Os quatro parâmetros fundamentais ($R_c, X_m, R_{\text{eq}}, X_{\text{eq}}$) são obtidos experimentalmente através de dois ensaios padronizados.

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### 5.1 Ensaio a Vazio (*Open-Circuit Test*)

* **Montagem:** O enrolamento de Alta Tensão (AT) é mantido em circuito aberto. O enrolamento de Baixa Tensão (BT) é alimentado na sua **tensão nominal** ($V_{\text{nominal}}$).
* **Instrumentos de Medição:** Voltímetro ($V_{oc}$), Amperímetro ($I_{oc}$), Wattímetro ($P_{oc}$).mermaid
flowchart LR
    Fonte["⚡ Fonte CA (Vnom, BT)"] --> W["Wattímetro (Poc)"]
    W --> A["Amperímetro (Ioc)"]
    A --> BT["(BT) Transformador (AT)"]
    W -.-> V["Voltímetro (Voc)"]
    BT --- Aberto["Terminais AT em Aberto"]

Como o secundário está aberto ($I_2=0$), a corrente consumida é apenas ${\mathbf{I}}_{\varphi }$. A queda nos enrolamentos $R+jX$ é desprezível, e a leitura do wattímetro $P_{oc}$ representa essencialmente as perdas no núcleo ferromagnético.

Dedução dos Parâmetros do Ramo de Magnetização:

1. Fator de Potência a Vazio: $\cos {\theta }_{oc}=\frac{P_{oc}}{V_{oc}\cdot I_{oc}}⟹{\theta }_{oc}=\arccos \left(\frac{P_{oc}}{V_{oc}\cdot I_{oc}}\right)$

2. Admitância de Excitação (${\mathbf{Y}}_{\varphi }$): ${\mathbf{Y}}_{\varphi }=\frac{I_{oc}}{V_{oc}}\angle -{\theta }_{oc}=G_c-j{B}_m=\frac{1}{R_c}-j\frac{1}{X_m}$

3. Cálculo Direto das Componentes em Paralelo: $\boxed{R_c=\frac{V_{oc}^2}{P_{oc}}}$ $I_c=\frac{V_{oc}}{R_c}{I}_m=\sqrt{I_{oc}^2-I_c^2}$ $\boxed{X_m=\frac{V_{oc}}{I_m}}$ (Os valores obtidos referem-se ao lado alimentado no ensaio, geralmente o lado de baixa tensão).

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5.2 Ensaio em Curto-Circuito (Short-Circuit Test)

• Montagem: O enrolamento de Baixa Tensão (BT) é colocado em curto-circuito franco através de uma barra de cobre de impedância desprezível. O enrolamento de Alta Tensão (AT) é alimentado com uma tensão reduzida ajustável até que a corrente atinja exatamente o valor da corrente nominal ($I_{\text{nominal}}$).
• Instrumentos de Medição: Voltímetro ($V_{sc}$), Amperímetro ($I_{sc}$), Wattímetro ($P_{sc}$).

Como a tensão aplicada $V_{sc}$ é muito baixa ($2\%$ a $10\%$ da nominal), o fluxo no núcleo é proporcionalmente ínfimo, de modo que as perdas no ferro tornam-se completamente desprezíveis ($P_{\text{ferro}}\approx 0$).
A leitura do wattímetro $P_{sc}$ mede estritamente as perdas Joule no cobre dos enrolamentos.

Dedução dos Parâmetros Série Equivalentes:

1. Fator de Potência em Curto-Circuito: $\cos {\theta }_{sc}=\frac{P_{sc}}{V_{sc}\cdot I_{sc}}⟹{\theta }_{sc}=\arccos \left(\frac{P_{sc}}{V_{sc}\cdot I_{sc}}\right)$

2. Impedância Série Equivalente: $\boxed{Z_{\text{eq}}=\frac{V_{sc}}{I_{sc}}}$

3. Resistência e Reatância Equivalentes: $\boxed{R_{\text{eq}}=\frac{P_{sc}}{I_{sc}^2}}$ $\boxed{X_{\text{eq}}=\sqrt{Z_{\text{eq}}^2-R_{\text{eq}}^2}}$ (Os valores calculados referem-se ao lado instrumentado no ensaio, geralmente o lado de alta tensão).

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📝 Exercício Resolvido 1: Determinação Completa dos Parâmetros

Enunciado

Um transformador de distribuição monofásico possui os seguintes dados de placa: $S_{\text{nom}}=20\text{ kVA},8.000\text{ V}/240\text{ V},60\text{ Hz}$

Os ensaios de laboratório forneceram as seguintes leituras:

• Ensaio a Vazio (alimentado pelo lado de Baixa Tensão - 240 V): $V_{oc}=240\text{ V},I_{oc}=1,68\text{ A},P_{oc}=120\text{ W}$
• Ensaio em Curto-Circuito (alimentado pelo lado de Alta Tensão - 8.000 V): $V_{sc}=400\text{ V},I_{sc}=2,50\text{ A},P_{sc}=240\text{ W}$

Pede-se:

1. A relação de espiras nominal $a$.
2. Os valores dos parâmetros do ramo de magnetização ($R_c$ e $X_m$) referidos ao lado de baixa tensão e ao lado de alta tensão.
3. Os valores da impedância equivalente ($R_{\text{eq}}$ e $X_{\text{eq}}$) referidos ao lado de alta tensão e ao lado de baixa tensão.
4. Desenhar o circuito equivalente aproximado referido ao lado primário de alta tensão.

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Resolução Passo a Passo:

1. Relação de Espiras ($a$)

$a=\frac{V_{1,\text{nom}}}{V_{2,\text{nom}}}=\frac{8.000}{240}=\frac{100}{3}\approx 33,333$ $a^2={\left(\frac{100}{3}\right)}^2=\frac{10.000}{9}\approx 1.111,11$

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2. Parâmetros de Excitação (do Ensaio a Vazio em 240 V)

• Resistência de perdas no núcleo referida à Baixa Tensão ($R_{c,\text{BT}}$): $R_{c,\text{BT}}=\frac{V_{oc}^2}{P_{oc}}=\frac{240^2}{120}=\frac{57.600}{120}=480\mathbf{\Omega }$

• Corrente de perdas no ferro ($I_c$): $I_c=\frac{V_{oc}}{R_{c,\text{BT}}}=\frac{240}{480}=0,50\text{ A}$

• Corrente de magnetização ($I_m$): $I_m=\sqrt{I_{oc}^2-I_c^2}=\sqrt{(1,68{)}^2-(0,50{)}^2}=\sqrt{2,8224-0,25}=\sqrt{2,5724}\approx 1,6039\text{ A}$

• Reatância de magnetização referida à Baixa Tensão ($X_{m,\text{BT}}$): $X_{m,\text{BT}}=\frac{V_{oc}}{I_m}=\frac{240}{1,6039}\approx 149,64\mathbf{\Omega }$

• Referindo ao lado de Alta Tensão (multiplica-se por $a^2$): $R_{c,\text{AT}}=a^2\cdot R_{c,\text{BT}}=1.111,11\times 480\approx 533,33\text{ k}\mathbf{\Omega }(533.333\Omega )$ $X_{m,\text{AT}}=a^2\cdot X_{m,\text{BT}}=1.111,11\times 149,64\approx 166,27\text{ k}\mathbf{\Omega }(166.267\Omega )$

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3. Parâmetros Série (do Ensaio em Curto-Circuito em Alta Tensão)

• Corrente nominal no lado de alta tensão: $I_{\text{nom, AT}}=\frac{S_{\text{nom}}}{V_{\text{nom, AT}}}=\frac{20.000}{8.000}=2,50\text{ A}$

• Módulo da impedância equivalente em Alta Tensão: $Z_{\text{eq, AT}}=\frac{V_{sc}}{I_{sc}}=\frac{400}{2,50}=160\mathbf{\Omega }$

• Resistência equivalente em Alta Tensão: $R_{\text{eq, AT}}=\frac{P_{sc}}{I_{sc}^2}=\frac{240}{(2,50{)}^2}=\frac{240}{6,25}=38,40\mathbf{\Omega }$

• Reatância equivalente em Alta Tensão: $X_{\text{eq, AT}}=\sqrt{Z_{\text{eq, AT}}^2-R_{\text{eq, AT}}^2}=\sqrt{160^2-38,40^2}\approx 155,32\mathbf{\Omega }$

• Referindo ao lado de Baixa Tensão (divide-se por $a^2$): $R_{\text{eq, BT}}=\frac{R_{\text{eq, AT}}}{a^2}=\frac{38,40}{1.111,11}\approx 0,03456\mathbf{\Omega }(34,56\text{ m}\Omega )$ $X_{\text{eq, BT}}=\frac{X_{\text{eq, AT}}}{a^2}=\frac{155,32}{1.111,11}\approx 0,13979\mathbf{\Omega }(139,79\text{ m}\Omega )$

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4. Circuito Equivalente Referido ao Primário (Alta Tensão):

Parâmetros Consolidados no Primário (Alta Tensão):

• Ramo Série: $R_{\text{eq, AT}}=38,40\Omega X_{\text{eq, AT}}=155,32\Omega$
• Ramo de Excitação: $R_{c,\text{AT}}=533,33\text{ k}\Omega X_{m,\text{AT}}=166,27\text{ k}\Omega$

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6. O Sistema Por Unidade (PU) Aplicado a Transformadores

O Sistema Por Unidade (Per-Unit System) normaliza tensões, correntes, potências e impedâncias em relação a grandezas de base:

$\text{Valor em PU}=\frac{\text{Valor Real na Unidade}}{\text{Valor Base na Mesma Unidade}}$

6.1 Equações de Base

1. Potência Base: Escolhe-se uma base comum para todo o sistema (normalmente a potência nominal da máquina): $S_{\text{base}}=S_{\text{nom}}[\text{VA}]$
2. Tensões Base: Definem-se em cada região com a relação nominal de espiras: $V_{\text{base, 1}}=V_{1,\text{nom}}{V}_{\text{base, 2}}=V_{2,\text{nom}}$
3. Correntes Base: $I_{\text{base, 1}}=\frac{S_{\text{base}}}{V_{\text{base, 1}}}{I}_{\text{base, 2}}=\frac{S_{\text{base}}}{V_{\text{base, 2}}}$
4. Impedâncias Base: $Z_{\text{base, 1}}=\frac{V_{\text{base, 1}}}{I_{\text{base, 1}}}=\frac{V_{\text{base, 1}}^2}{S_{\text{base}}}{Z}_{\text{base, 2}}=\frac{V_{\text{base, 2}}^2}{S_{\text{base}}}$

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6.2 A Grandeza Invariante do Transformador em PU

Calculando $Z_{\text{eq}}$ em PU no lado 1: $Z_{\text{eq, 1, pu}}=\frac{Z_{\text{eq, 1}}}{Z_{\text{base, 1}}}=\frac{Z_{\text{eq, 1}}}{\frac{V_{1,\text{nom}}^2}{S_{\text{base}}}}$

No lado 2: $Z_{\text{eq, 2, pu}}=\frac{Z_{\text{eq, 2}}}{Z_{\text{base, 2}}}=\frac{\frac{Z_{\text{eq, 1}}}{a^2}}{\frac{{\left(\frac{V_{1,\text{nom}}}{a}\right)}^2}{S_{\text{base}}}}=\frac{Z_{\text{eq, 1}}}{\frac{V_{1,\text{nom}}^2}{S_{\text{base}}}}=Z_{\text{eq, 1, pu}}$

$\boxed{Z_{\text{eq, pu, primaˊrio}}\equiv Z_{\text{eq, pu, secundaˊrio}}}$

Vantagem Crucial do Sistema PU

Em cálculos de curto-circuito e fluxo de potência, o transformador ideal intermediário desaparece completamente em PU ($a=1,0\text{ pu}$), e a impedância percentual do transformador é idêntica independentemente do enrolamento em que seja calculada!

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7. Regulação de Tensão ($VR$) e Rendimento ($\eta$)

Figura 4.7: Triângulo de potências, fluxo de potência ativa/reativa e influência do fator de potência na regulação de tensão.

7.1 Regulação de Tensão Percentual ($VR$)

A regulação de tensão mede a capacidade do transformador de sustentar sua tensão terminal nos bornes de carga quando passa da condição sem carga (vazio) para plena carga:

$\boxed{VR=\frac{|V_{2,\text{vazio}}|-|V_{2,\text{plena carga}}|}{|V_{2,\text{plena carga}}|}\times 100\%=\frac{\left|\frac{{\mathbf{V}}_1}{a}\right|-|{\mathbf{V}}_2|}{|{\mathbf{V}}_2|}\times 100\%}$

Pela malha elétrica do circuito equivalente referido ao secundário: $\frac{{\mathbf{V}}_1}{a}={\mathbf{V}}_2+R_{\text{eq, 2}}{\mathbf{I}}_2+j{X}_{\text{eq, 2}}{\mathbf{I}}_2$

Comportamento em Função do Fator de Potência da Carga:

1. Carga Indutiva (FP Atrasado): A queda de tensão através de $j{X}_{\text{eq}}$ soma-se vetorialmente com ${\mathbf{V}}_2$, tornando $|{\mathbf{V}}_1/a|>|{\mathbf{V}}_2|⟹\mathbf{VR}>0$ (tensão cai com a carga).
2. Carga Resistiva ($FP=1$): Queda de tensão pequena e positiva $⟹\mathbf{VR}>0$.
3. Carga Capacitiva (FP Adiantado): A corrente adiantada faz a queda $j{X}_{\text{eq}}{\mathbf{I}}_2$ girar no plano complexo no sentido de subtrair de ${\mathbf{V}}_1/a$, podendo ocorrer $|{\mathbf{V}}_2|>|{\mathbf{V}}_1/a|⟹\mathbf{VR}<0$.
   (Efeito Ferranti em transformadores: a tensão de saída sobe quando o transformador alimenta cabos longos ou bancos capacitivos).

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7.2 Rendimento ($\eta$)

A eficiência de um transformador é a razão entre a potência ativa de saída e a de entrada:

$\eta =\frac{P_{\text{saıˊda}}}{P_{\text{entrada}}}\times 100\%=\frac{P_{\text{saıˊda}}}{P_{\text{saıˊda}}+P_{\text{perdas}}}\times 100\%$

As perdas dividem-se em:

1. Perdas no Cobre (Variáveis com o quadrado da corrente): $P_{\text{cobre}}=I_2^2\cdot R_{\text{eq, 2}}=I_1^2\cdot R_{\text{eq, 1}}$
2. Perdas no Ferro/Núcleo (Constantes com a tensão): $P_{\text{nuˊcleo}}=\frac{V_1^2}{R_c}\approx P_{oc}$

Logo: $\boxed{\eta =\frac{V_2\cdot I_2\cdot \cos {\theta }_2}{V_2\cdot I_2\cdot \cos {\theta }_2+P_{\text{nuˊcleo}}+I_2^2\cdot R_{\text{eq, 2}}}\times 100\%}$

Condição de Rendimento Máximo:

Derivando $\eta$ em relação à corrente de carga $I_2$ e igualando a zero: $\frac{d\eta }{d{I}_2}=0⟹\boxed{P_{\text{cobre}}(I_2)=P_{\text{nuˊcleo}}}$ O rendimento máximo de um transformador ocorre no ponto de carga em que as perdas variáveis no cobre igualam-se exatamente às perdas fixas no ferro.

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Regulação de Tensão, Efeito Ferranti, Rendimento $\eta (\alpha )$ e 3º Harmônico Trifásico

Experimente em tempo real a variação do índice de carregamento $\alpha =S/S_n$, do fator de potência da carga $\cos {\theta }_2$ (observando o diagrama fasorial girar até a inversão negativa da regulação no Efeito Ferranti capacitivo) e o ponto ótimo de rendimento máximo ($P_{fe}=P_{cu}$): 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_transformadores_regulacao_harmonicos_trifasicos.html]])

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📝 Exercício Resolvido 2: Regulação de Tensão e Rendimento sob Carga

Enunciado

Utilizando o transformador do Exercício 1 ($20\text{ kVA},8.000\text{ V}/240\text{ V}$), com os seguintes parâmetros conhecidos:

• $R_{\text{eq, 1}}=38,40\Omega$ e $X_{\text{eq, 1}}=155,32\Omega$
• Perdas no ferro: $P_{\text{nuˊcleo}}=120\text{ W}$
• O transformador alimenta uma carga nominal ($20\text{ kVA}$) em tensão secundária nominal $V_2=240\text{ V}$ com fator de potência $FP=0,80$ indutivo (atrasado).

Calcule:

1. A tensão necessária no primário (${\mathbf{V}}_1$).
2. A regulação de tensão percentual ($VR$).
3. O rendimento da máquina ($\eta$) sob essa condição operacional.

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Resolução Passo a Passo:

1. Cálculo da Tensão Primária (${\mathbf{V}}_1$)

• Trabalhando com as grandezas referidas ao primário ($a=\frac{8.000}{240}=33,333$): $V_2^{\prime }=a\cdot V_2=33,333\times 240=8.000\text{ V}\angle 0^{\circ }$

• Corrente de carga referida ao primário: $I_2^{\prime }=\frac{S_{\text{nom}}}{V_2^{\prime }}=\frac{20.000}{8.000}=2,50\text{ A}$ Como o fator de potência é $0,80$ indutivo atrasado: $\theta =-\arccos (0,80)=-36,87^{\circ }$ ${\mathbf{I}}_2^{\prime }=2,50\angle -36,87^{\circ }\text{ A}=(2,00-j1,50)\text{ A}$

• Queda de tensão na impedância equivalente:

  \Delta \mathbf{V} &= (38{,}40 + j155{,}32) \cdot (2{,}00 - j1{,}50) \\ &= [38{,}40 \cdot 2{,}00 - 155{,}32 \cdot (-1{,}50)] + j[155{,}32 \cdot 2{,}00 + 38{,}40 \cdot (-1{,}50)] \\ &= 309{,}78 + j 253{,}04\text{ V} \end{aligned}$$

• Tensão resultante da fonte no primário: ${\mathbf{V}}_1=8.000+309,78+j253,04=8.309,78+j253,04\text{ V}$ $|{\mathbf{V}}_1|=\sqrt{(8.309,78{)}^2+(253,04{)}^2}\approx 8.313,63\text{ V}$ ${\mathbf{V}}_1=8.313,63\angle 1,74^{\circ }\text{ V}$

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2. Regulação de Tensão ($VR$)

$\frac{|{\mathbf{V}}_1|}{a}=\frac{8.313,63}{33,333}\approx 249,41\text{ V}$ $VR=\frac{249,41-240}{240}\times 100\%=\frac{9,41}{240}\times 100\%\approx 3,92\%$

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3. Rendimento ($\eta$)

• Potência útil de saída: $P_{\text{saıˊda}}=S\cdot \cos \theta =20.000\times 0,80=16.000\text{ W}=16\text{ kW}$

• Perdas no cobre em plena carga: $P_{\text{cobre}}=(I_2^{\prime }{)}^2\cdot R_{\text{eq, 1}}=(2,50{)}^2\cdot 38,40=240\text{ W}$

• Perdas fixas no núcleo (ferro): $P_{\text{nuˊcleo}}=120\text{ W}$

• Perdas totais: $P_{\text{perdas}}=240+120=360\text{ W}$

• Rendimento: $\eta =\frac{16.000}{16.000+360}\times 100\%=\frac{16.000}{16.360}\times 100\%\approx 97,80\%$

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8. Comutadores de Derivação (Taps) e Operação em Paralelo

8.1 Comutadores de Derivação (NLTC e OLTC)

Devido às quedas de tensão ao longo dos alimentadores de distribuição ($R_{\text{linha}}\cdot I$), a tensão que chega às subestações e consumidores varia com a carga ao longo do dia.
Para manter a tensão de saída dentro dos limites regulatórios exigidos pela ANEEL (PRODIST), os enrolamentos dos transformadores possuem derivações (taps) que alteram discretamente a relação de espiras.

Posição do Tap	Tensão Primária Selecionada	Variação Percentual	Aplicação Típica
Tap 1	$8.400\text{ V}$	$+5,0\%$	Tensão de rede persistentemente alta
Tap 2	$8.200\text{ V}$	$+2,5\%$	Compensação leve de sobretensão
Tap 3	$8.000\text{ V}$	Nominal (0%)	Operação de referência
Tap 4	$7.800\text{ V}$	$-2,5\%$	Compensação leve de subtensão
Tap 5	$7.600\text{ V}$	$-5,0\%$	Fim de linha longa / queda severa

• Taps sem Carga (NLTC - No-Load Tap Changer): Exige o desligamento completo da máquina para alterar o comutador manualmente através de chave rotativa no topo da carcaça (típico em transformadores de poste: $\pm 2\times 2,5\%$).
• Comutadores Sob Carga (OLTC - On-Load Tap Changer): Equipados com mecanismos automáticos que intercalam resistores/reatores durante a transição mecânica para comutar entre derivações sob plena carga sem abrir o circuito nem gerar arco destrutivo (padrão em transformadores de força em subestações de transmissão).

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8.2 Polaridade ABNT e Operação em Paralelo de Transformadores

Marcação de Terminais e Polaridade (ABNT NBR 5356)

A norma brasileira convenciona marcar os terminais do enrolamento de Alta Tensão com a letra $H$ ($H_1,H_2$) e os do lado de Baixa Tensão com a letra $X$ ($X_1,X_2$), onde o índice $1$ designa o início do enrolamento (ponto de mesma polaridade instantânea) e o índice $2$ o término:

• Polaridade Subtrativa: Os terminais de mesma polaridade ($H_1$ e $X_1$) estão fisicamente alinhados do mesmo lado da caixa do transformador. Ao interligar $H_1$ com $X_1$ e aplicar tensão no lado $H$, o voltímetro entre $H_2$ e $X_2$ lê a diferença $V_H-V_X$.
• Polaridade Aditiva: Os terminais homólogos ($H_1$ e $X_1$) estão em posições diagonalmente opostas na tampa (buchas adjacentes são $H_1$ e $X_2$). Ao interligar buchas adjacentes ($H_1$ com $X_2$), o voltímetro entre as outras duas buchas lê a soma $V_H+V_X$.

Condições para Operação em Paralelo e Divisão de Carga

Dois ou mais transformadores operam em paralelo quando seus primários são alimentados pelo mesmo barramento de entrada e seus secundários entregam potência a um mesmo barramento de carga. As vantagens incluem maior confiabilidade, facilidade de manutenção sem interrupção total e operação do banco próximo ao rendimento máximo conforme a demanda oscila.

Para operação ideal em paralelo, exigem-se 4 condições:

1. Mesmas polaridades instantâneas (e mesmo grupo/deslocamento angular em transformadores trifásicos — condição mandatória; violá-la equivale a um curto-circuito franco!).
2. Mesma relação de transformação ($a_A=a_B$) e tensões nominais idênticas. Se as tensões secundárias em vazio diferirem (${\dot{E}}_{2,A}\ne {\dot{E}}_{2,B}$), surge uma corrente circulante interna mesmo sem carga externa, aquecendo as bobinas por efeito Joule: $\boxed{{\dot{I}}_{\text{circ}}=\frac{{\dot{E}}_{2,A}-{\dot{E}}_{2,B}}{{\mathbf{Z}}_{\text{eq},2A}+{\mathbf{Z}}_{\text{eq},2B}}[\text{A}]}$
3. Impedâncias percentuais (em PU na própria base) iguais: Como os secundários estão em paralelo, a queda de tensão interna sob carga é obrigatoriamente idêntica em ambas as máquinas ($\Delta {\dot{V}}_{2,A}=\Delta {\dot{V}}_{2,B}$): ${\mathbf{Z}}_{\text{eq},2A}\cdot {\dot{I}}_{2,A}={\mathbf{Z}}_{\text{eq},2B}\cdot {\dot{I}}_{2,B}⟹\boxed{\frac{{\dot{I}}_{2,A}}{{\dot{I}}_{2,B}}=\frac{{\mathbf{S}}_{2,A}}{{\mathbf{S}}_{2,B}}=\frac{{\mathbf{Z}}_{\text{eq},2B}}{{\mathbf{Z}}_{\text{eq},2A}}}$ A potência aparente divide-se em proporção inversamente proporcional às impedâncias equivalentes em Ohms. Para que cada máquina carregue exatamente uma fração proporcional à sua potência nominal ($S_A/S_{\text{nom},A}=S_B/S_{\text{nom},B}$), suas impedâncias em PU (na própria base) devem ser iguais ($Z_{\text{pu},A}=Z_{\text{pu},B}$).
4. Mesma relação $X_{\text{eq}}/R_{\text{eq}}$ (mesmo ângulo de impedância ${\theta }_{\text{eq}}$): Caso os argumentos das impedâncias divirjam (${\theta }_{\text{eq},A}\ne {\theta }_{\text{eq},B}$), as correntes ${\dot{I}}_{2,A}$ e ${\dot{I}}_{2,B}$ ficam defasadas entre si, de modo que a soma aritmética das potências aparentes excede a potência resultante entregue à carga ($|{\mathbf{S}}_A|+|{\mathbf{S}}_B|>|{\mathbf{S}}_A+{\mathbf{S}}_B|$), reduzindo a capacidade máxima útil do banco.

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9. Autotransformadores: Teoria e Vantagem de Potência Passante

O autotransformador conecta o enrolamento primário e o secundário física e galvanicamente em série sobre o mesmo núcleo magnético, compartilhando parte das espiras.

9.1 Relações de Tensão e Corrente

• Tensão no lado de baixa: $V_L=V_C$
• Tensão no lado de alta: $V_H=V_C+V_{SE}$
• Relação de transformação do autotransformador: $\boxed{\frac{V_H}{V_L}=\frac{V_{SE}+V_C}{V_C}=\frac{N_{SE}+N_C}{N_C}=1+\frac{N_{SE}}{N_C}}$

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9.2 Vantagem de Potência Aparente e Condução vs. Transformação

A potência aparente nominal como autotransformador ($S_{IO}$) relaciona-se com a potência nominal dos enrolamentos como transformador isolado convencional de dois enrolamentos ($S_W$) por:

$S_{IO}=V_H\cdot I_H=(V_{SE}+V_C)\cdot I_{SE}=V_{SE}\cdot I_{SE}+V_C\cdot I_{SE}$

Como a capacidade máxima dos enrolamentos como transformador isolado é $S_W=V_{SE}\cdot I_{SE}=V_C\cdot I_C$:

$\boxed{\frac{S_{IO}}{S_W}=\frac{N_{SE}+N_C}{N_{SE}}=1+\frac{N_C}{N_{SE}}}$

A potência aparente total divide-se em duas parcelas físicas:

1. Potência Transformada por Indução Eletromagnética ($S_{\text{ind}}$): $S_{\text{ind}}=S_W=S_{IO}\cdot \left(\frac{N_{SE}}{N_{SE}+N_C}\right)$
2. Potência Conduzida Eletricamente via Conexão Galvânica ($S_{\text{cond}}$): $S_{\text{cond}}=S_{IO}-S_W=S_{IO}\cdot \left(\frac{N_C}{N_{SE}+N_C}\right)$

Regra Prática de Dimensionamento

Quanto mais próximas forem as tensões $V_H$ e $V_L$ (ou seja, $N_C\gg N_{SE}$), maior é a vantagem de potência passante. Quase toda a potência flui por condução direta, permitindo usar um equipamento fisicamente minúsculo, muito mais leve, mais barato e com perdas desprezíveis em relação a um transformador isolado convencional!

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📝 Exercício Resolvido 3: Autotransformador e Capacidade de Potência

Enunciado

Um transformador convencional isolado de $10\text{ kVA}$, $60\text{ Hz}$, $600\text{ V}/120\text{ V}$ deve ser religado como autotransformador elevador para alimentar uma carga em $720\text{ V}$ a partir de uma fonte de $600\text{ V}$.

Pede-se:

1. Identificar o enrolamento comum ($N_C$) e o enrolamento série ($N_{SE}$) e fazer o esquema de ligação.
2. Determinar a potência aparente nominal máxima ($S_{IO}$) como autotransformador.
3. Calcular a parcela de potência conduzida eletricamente e a parcela transformada por indução magnética.
4. O ganho percentual na capacidade de potência da máquina.

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Resolução Passo a Passo:

1. Esquema de Ligação

• A tensão de entrada é $V_L=600\text{ V}$. Portanto, o enrolamento de $600\text{ V}$ opera como Enrolamento Comum ($V_C=600\text{ V}$).
• A tensão de saída desejada é $V_H=720\text{ V}=600\text{ V}+120\text{ V}$. Portanto, o enrolamento de $120\text{ V}$ é colocado em série aditiva como Enrolamento Série ($V_{SE}=120\text{ V}$).

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2. Potência Nominal do Autotransformador ($S_{IO}$)

• A corrente nominal do enrolamento de $120\text{ V}$ (enrolamento série) no transformador original é: $I_{SE,\text{nom}}=\frac{S_W}{V_{SE}}=\frac{10.000\text{ VA}}{120\text{ V}}=83,33\text{ A}$

• Essa mesma corrente máxima é a corrente de saída em alta tensão $I_H$ do autotransformador: $I_H=I_{SE}=83,33\text{ A}$

• A potência aparente total entregue à carga em $720\text{ V}$ é: $\boxed{S_{IO}=V_H\cdot I_H=720\text{ V}\times 83,33\text{ A}=60.000\text{ VA}=60\text{ kVA}}$

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3. Parcelas Conduzida e Transformada

• Potência Transformada Indutivamente: $S_{\text{ind}}=S_W=10\text{ kVA}(16,67\%)$

• Potência Conduzida por Contato Elétrico: $S_{\text{cond}}=S_{IO}-S_W=60\text{ kVA}-10\text{ kVA}=50\text{ kVA}(83,33\%)$

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4. Ganho de Potência

$\text{Ganho}=\frac{S_{IO}}{S_W}=\frac{60\text{ kVA}}{10\text{ kVA}}=6\times (\text{Aumento de }500\%)$

Conclusão: Um núcleo magnético projetado originalmente para apenas $10\text{ kVA}$ consegue alimentar com segurança uma carga de $60\text{ kVA}$ conectado como autotransformador!

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10. Transformadores Trifásicos, Análise Harmônica e Cargas Desequilibradas

10.1 Grupos de Ligação e Bancos Monofásicos vs. Núcleo Único

A transformação trifásica pode ser implementada de duas maneiras construtivas:

1. Banco de Três Transformadores Monofásicos Independentes: Três unidades monofásicas isoladas interconectadas externamente. Oferece máxima confiabilidade (basta manter uma única unidade monofásica reserva na subestação) e total independência magnética entre as fases.
2. Transformador Trifásico de Núcleo Único (3 ou 5 Colunas): Como num sistema trifásico equilibrado a soma instantânea dos três fluxos magnéticos defasados de $120^{\circ }$ é identicamente nula (${\varphi }_A(t)+{\varphi }_B(t)+{\varphi }_C(t)=0$), fundem-se os núcleos e elimina-se a coluna central de retorno, reduzindo drasticamente o peso de aço-silício, o volume de óleo isolante e o custo global.

Configuração	Relação de Linha ($V_{L1}/V_{L2}$)	Deslocamento Angular	Vantagens / Aplicações
Y - Y	$a=\frac{N_1}{N_2}$	$0^{\circ }$	Permite neutro acessível nos dois lados; suscetível a harmônicos de 3ª ordem e instabilidade de neutro a menos que haja aterramento ou enrolamento terciário em triângulo ($\Delta$).
Y - $\Delta$	$\sqrt{3}\cdot a$	$\pm 30^{\circ }$	Muito estável; confina o 3º harmônico na malha $\Delta$; padrão de subestações abaixadoras no final da transmissão.
$\Delta$ - Y	$\frac{a}{\sqrt{3}}$	$\pm 30^{\circ }$	Padrão mundial em geração/elevação e em distribuição secundária ($13,8\text{ kV}/220\text{-}127\text{ V}$ ou $380\text{-}220\text{ V}$) — isola harmônicos de sequência zero do lado primário e fornece neutro sólido para cargas monofásicas no secundário.
$\Delta$ - $\Delta$	$a=\frac{N_1}{N_2}$	$0^{\circ }$	Suporta operação em $\Delta$ aberto ($V\text{-}V$) em emergência com $57,7\%$ da capacidade nominal caso um dos transformadores monofásicos saia de operação.

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10.2 Corrente de Excitação Não-Senoidal e a Física do 3º Harmônico

Em um transformador real operando próximo ao joelho de saturação da curva $B\text{-}H$ do aço-silício, quando uma fonte impõe uma tensão puramente senoidal $v_1(t)=V_{\text{maˊx}}\cos (\omega t)$, a Lei de Faraday força o fluxo mútuo no núcleo a ser estritamente senoidal: $\varphi (t)={\Phi }_{\text{maˊx}}\sin (\omega t)$

Entretanto, devido à não-linearidade (saturação magnética) e ao laço de histerese do material ferromagnético, para produzir os picos do fluxo senoidal ${\Phi }_{\text{maˊx}}$, o núcleo exige picos desproporcionalmente elevados de intensidade de campo magnético $H(t)$ e, consequentemente, uma corrente de excitação $i_{\varphi }(t)=i_m(t)+i_c(t)$ fortemente não-senoidal (pontiaguda e simétrica em meia-onda). Pela série de Fourier, uma onda periódica com simetria de meia-onda ($i_{\varphi }(t+T/2)=-i_{\varphi }(t)$) contém apenas harmônicos ímpares, sendo amplamente dominada pelo 3º harmônico ($3\omega$, ou $180\text{ Hz}$ em redes de $60\text{ Hz}$): $i_{\varphi }(t)=I_1\sin (\omega t-{\theta }_1)+I_3\sin (3\omega t-{\theta }_3)+I_5\sin (5\omega t-{\theta }_5)+\dots$

Por que os 3ºs Harmônicos nas Três Fases estão em Fase entre Si (Sequência Zero)?

Considere as três fases equilibradas defasadas de $120^{\circ }$ na frequência fundamental ($\omega$):

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