Aula 03 - Força e Conjugado Eletromagnético em Sistemas com Múltiplas Excitações e Transdutores

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📍 Disciplina: 02 Conversão Eletromecânica de Energia | 🏠 Hub Principal 📄 Apostilas Base (UFPR - TE323): TE 323 - Capitulo 4 - Conversão eletromecanica de energia | Colectanea de Problemas resolvidos ⬅️ Aula Anterior: Aula 02 - Balanço Energético e Coenergia | ➡️ Próxima Aula: Aula 04 - Máquinas Rotativas de Indução e Síncronas

Metadados da Aula

• Área: 04 Sistemas Elétricos de Potência e Eletrotécnica
• Carga Horária Equivalente: 4 horas-aula teóricas e analíticas
• Pré-requisitos: Aula 02 - Balanço Energético, Álgebra Linear (Matrizes e Formas Quadráticas), Sinais e Sistemas (Produtos Trigonométricos e Médias Temporais)

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📌 Sumário da Aula

1. 🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem
2. 📋 2. Sumário Executivo e Síntese Conceitual
3. ⚡ 3. Modelagem Matricial de Sistemas com Múltiplas Excitações
   • Equações de Enlace de Fluxo e Matriz de Indutâncias
   • Expressão Matricial da Coenergia Magnética
4. 📐 4. Decomposição Rigorosa do Conjugado Eletromagnético
   • Conjugado de Relutância do Estator
   • Conjugado de Relutância do Rotor
   • Conjugado de Alinhamento Mútuo
   • Rotor Elíptico, Espira Elementar de Lorentz e Estabilidade de Pontos de Equilíbrio
5. 🔄 5. Condição Fundamental para Conjugado Médio Não-Nulo
   • Alimentação em Corrente Alternada e Frequências Angulares
   • A Velocidade Síncrona como Ressonância Mecânica
6. 🏭 6. Estudo de Caso Prático e Exercícios Resolvidos TE323
7. 📝 7. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados
8. 📚 8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

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🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem

Nas máquinas elétricas industriais e nos grandes geradores de usinas hidrelétricas e termelétricas, a conversão de energia raramente ocorre com uma única bobina de excitação. A quase totalidade das máquinas rotativas e transdutores modernos opera com múltiplos enrolamentos acoplados magneticamente:

• Motores e geradores síncronos possuem enrolamentos trifásicos no estator e enrolamento de corrente contínua no rotor;
• Máquinas de indução possuem enrolamentos trifásicos no estator e gaiola de esquilo ou rotor bobinado trifásico no rotor;
• Servomotores de ímãs permanentes e atuadores galvano-métricos combinam correntes estatóricas com fontes de excitação rotóricas.

A presença de múltiplos enrolamentos introduz acoplamentos magnéticos mútuos que variam com a posição angular relativa do rotor ($\theta$). A interação entre as correntes de cada enrolamento e a variação espacial das autoindutâncias e indutâncias mútuas dá origem a dois mecanismos físicos completamente distintos de produção de força mecânica e torque: o conjugado de relutância e o conjugado de alinhamento mútuo (eletrodinâmico).

Objetivos de Aprendizagem

• Modelar circuitos com múltiplos terminais elétricos através da matriz simétrica de indutâncias $[\mathbf{L}(\theta )]$.
• Deduzir a coenergia magnética em notação matricial e bilinear para sistemas magneticamente lineares com $n$ enrolamentos.
• Decompor o conjugado eletromagnético total nas parcelas de relutância estatórica, relutância rotórica e alinhamento mútuo.
• Demonstrar por que máquinas de rotor liso cilíndrico não produzem conjugado de relutância e dependem exclusivamente da mútua.
• Provar analiticamente as condições de frequência e velocidade angular que permitem a produção de conjugado médio contínuo não-nulo sob excitações senoidais.
• Analisar a operação eletrodinâmica de geradores síncronos de polos salientes e máquinas de relutância variável.

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📋 2. Sumário Executivo e Síntese Conceitual

Parâmetro / Termo	Notação Matemática	Natureza Física	Dependência de Excitação	Comportamento Angular
Vetor de Correntes	$\mathbf{i}=[i_1,i_2,\dots ,i_n{]}^T$	Vetor coluna de correntes nos terminais elétricos	Imposto pelas fontes externas	Variável no tempo ($t$)
Vetor de Fluxos Concatenados	$\mathbf{\lambda }=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n{]}^T$	Enlace total de fluxo em cada enrolamento	$\mathbf{\lambda }=\mathbf{L}(\theta )\cdot \mathbf{i}$	Depende de $\theta$ e $\mathbf{i}$
Matriz de Indutâncias	$\mathbf{L}(\theta )=[L_{jk}(\theta )]$	Matriz simétrica ($L_{jk}=L_{kj}$ por conservação)	Função da geometria e da permeabilidade	Periódica em $\theta$ (período $\pi$ ou $2\pi$)
Coenergia Magnética Total	$W_{\text{fld}}^{\prime }(\mathbf{i},\theta )=\frac{1}{2}{\mathbf{i}}^T\mathbf{L}(\theta )\mathbf{i}$	Energia armazenada disponível para trabalho útil	Função quadrática das correntes	Escalar dependente de $\theta$
Conjugado Total ($T_{\text{fld}}$)	$T_{\text{fld}}=\frac{1}{2}{\mathbf{i}}^T\frac{d\mathbf{L}(\theta )}{d\theta }\mathbf{i}$	Torque eletromagnético desenvolvido sobre o eixo	Soma de termos de autoindutância e mútua	Depende das derivadas espaciais $dL/d\theta$
Conjugado de Relutância	$T_{\text{rel}}=\frac{1}{2}{i}_1^2\frac{d{L}_{11}}{d\theta }+\frac{1}{2}{i}_2^2\frac{d{L}_{22}}{d\theta }$	Busca a posição de mínima relutância (máxima indutância)	Existe mesmo com apenas UMA bobina excitada	Varia com o dobro do ângulo elétrico ($\sin 2\delta$)
Conjugado de Alinhamento	$T_{\text{muˊt}}=i_1{i}_2\frac{dM(\theta )}{d\theta }$	Interação Lorentz entre os fluxos de estator e rotor	Exige corrente simultânea em AMBAS as bobinas	Varia com o ângulo elétrico direto ($\sin \delta$)

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⚡ 3. Modelagem Matricial de Sistemas com Múltiplas Excitações

Considere um sistema eletromecânico rotativo dotado de $n$ enrolamentos independentes com terminais elétricos acessíveis, imersos em um circuito magnético compartilhado onde a permeabilidade magnética é considerada constante (sistema linear sem saturação).

Equações de Enlace de Fluxo e Matriz de Indutâncias

Cada enrolamento $j\in \{1,2,\dots ,n\}$ é atravessado por um fluxo magnético resultante da soma do autofluxo gerado por sua própria corrente e dos fluxos mútuos induzidos pelas correntes que circulam nos demais enrolamentos:

${\lambda }_j=L_{j1}(\theta )i_1+L_{j2}(\theta )i_2+\cdots +L_{jn}(\theta )i_n={\sum }_{k=1}^n{L}_{jk}(\theta )i_k$

Em formato matricial compacto:

$\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{L}_{11}(\theta )& L_{12}(\theta )& \cdots & L_{1n}(\theta )\\ L_{21}(\theta )& L_{22}(\theta )& \cdots & L_{2n}(\theta )\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{n1}(\theta )& L_{n2}(\theta )& \cdots & L_{nn}(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\\ ⋮\\ i_n\end{array}\right]⟹\mathbf{\lambda }=\mathbf{L}(\theta )\cdot \mathbf{i}$

Onde:

• Os elementos da diagonal principal $L_{jj}(\theta )$ são as autoindutâncias de cada bobina;
• Os elementos fora da diagonal $L_{jk}(\theta )$ ($j\ne k$) são as indutâncias mútuas entre as bobinas $j$ e $k$;
• Pelo teorema da reciprocidade e pela natureza conservativa do campo magnético, a matriz é estritamente simétrica:

$L_{jk}(\theta )=L_{kj}(\theta )⟹\mathbf{L}(\theta )={\mathbf{L}}^T(\theta )$

Expressão Matricial da Coenergia Magnética

A coenergia magnética diferencial para $n$ terminais elétricos e uma coordenada mecânica rotativa $\theta$ é expressa por:

$d{W}_{\text{fld}}^{\prime }(\mathbf{i},\theta )={\sum }_{j=1}^n{\lambda }_{j}d{i}_j+T_{\text{fld}}d\theta ={\mathbf{\lambda }}^{T}d\mathbf{i}+T_{\text{fld}}d\theta$

Integrando a coenergia de $\mathbf{i}=0$ até $\mathbf{i}$ mantendo a posição angular fixa ($\theta =\text{cte}⟹d\theta =0$):

$W_{\text{fld}}^{\prime }(\mathbf{i},\theta )={\int }_0^{\mathbf{i}}{\mathbf{\lambda }}^{T}d{\mathbf{i}}^{\prime }={\int }_0^{\mathbf{i}}({\mathbf{i}}^{\prime }{)}^T\mathbf{L}(\theta )d{\mathbf{i}}^{\prime }$

Como $\mathbf{L}(\theta )$ é constante durante a integração em corrente, a integral de uma forma linear resulta na forma quadrática bilinear clássica:

$\boxed{W_{\text{fld}}^{\prime }(\mathbf{i},\theta )=\frac{1}{2}{\mathbf{i}}^T\mathbf{L}(\theta )\mathbf{i}=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n{L}_{jk}(\theta )i_j{i}_k}$

Para o caso fundamental de duas excitações (bobina 1 no estator e bobina 2 no rotor):

$\mathbf{L}(\theta )=\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}(\theta )& M(\theta )\\ M(\theta )& L_{22}(\theta )\end{array}\right]$

Expandindo a forma quadrática:

$W_{\text{fld}}^{\prime }(i_1,i_2,\theta )=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{i}_1& i_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}(\theta )& M(\theta )\\ M(\theta )& L_{22}(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right]$

$\boxed{W_{\text{fld}}^{\prime }(i_1,i_2,\theta )=\frac{1}{2}{L}_{11}(\theta )i_1^2+\frac{1}{2}{L}_{22}(\theta )i_2^2+M(\theta )i_1{i}_2}$

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🖼️ Representação Gráfica: Matriz de Indutâncias e Componentes do Conjugado

A figura técnica a seguir ilustra a arquitetura com duas bobinas, a variação angular das indutâncias em polos salientes e as curvas do conjugado resultante:

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📐 4. Decomposição Rigorosa do Conjugado Eletromagnético

Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais pela derivada parcial da coenergia em relação ao ângulo $\theta$ mantendo todas as correntes constantes ($\mathbf{i}=\text{cte}$):

$T_{\text{fld}}=+{\frac{\partial W_{\text{fld}}^{\prime }(\mathbf{i},\theta )}{\partial \theta }|}_{\mathbf{i}}=\frac{1}{2}{\mathbf{i}}^T\left(\frac{d\mathbf{L}(\theta )}{d\theta }\right)\mathbf{i}$

Para o sistema com estator e rotor de duas bobinas:

$\boxed{T_{\text{fld}}(i_1,i_2,\theta )=\frac{1}{2}{i}_1^2\frac{d{L}_{11}(\theta )}{d\theta }+\frac{1}{2}{i}_2^2\frac{d{L}_{22}(\theta )}{d\theta }+i_1{i}_2\frac{dM(\theta )}{d\theta }}$

Esta equação é um dos pilares mais fundamentais de toda a teoria de conversão eletromecânica e máquinas elétricas. Cada um dos três termos possui uma identidade física perfeitamente diferenciável:

1. Conjugado de Relutância do Estator: $\frac{1}{2}{i}_1^2\frac{d{L}_{11}}{d\theta }$

• Causa Física: Variação da relutância vista pelo enrolamento do estator à medida que o rotor gira. Isso ocorre quando o rotor possui polos salientes (geometria não-cilíndrica com protuberâncias de ferro).
• Independência: Ocorre mesmo se a bobina do rotor estiver em circuito aberto ($i_2=0$). Basta excitar a bobina 1 para que o rotor sinta um conjugado mecânico puxando-o para a posição onde $L_{11}$ é máxima.
• Sinal: Como $i_1^2\ge 0$, o sinal do conjugado depende unicamente do gradiente $d{L}_{11}/d\theta$.

2. Conjugado de Relutância do Rotor: $\frac{1}{2}{i}_2^2\frac{d{L}_{22}}{d\theta }$

• Causa Física: Variação da relutância vista pelo enrolamento do rotor à medida que ele gira em relação a um estator com polos salientes.
• Independência: Ocorre mesmo se a bobina do estator estiver desligada ($i_1=0$), desde que circule corrente na bobina do rotor.

3. Conjugado de Alinhamento Mútuo (Eletrodinâmico): $i_1{i}_2\frac{dM}{d\theta }$

• Causa Física: Tendência de alinhamento entre as duas linhas de campo magnético geradas independentemente pelas correntes $i_1$ e $i_2$. Corresponde à força de Lorentz entre os condutores do rotor e o campo do estator.
• Interdependência: Requer obrigatoriamente que ambas as correntes existam simultaneamente ($i_1\ne 0$ e $i_2\ne 0$).
• Presença em Rotor Liso: É o único conjugado presente em máquinas elétricas onde o estator e o rotor são ambos cilindros lisos uniformes, pois nesse caso as autoindutâncias são estritamente constantes ($d{L}_{11}/d\theta =0$ e $d{L}_{22}/d\theta =0$).

Rotor Elíptico, Espira Elementar de Lorentz e Estabilidade de Pontos de Equilíbrio

Conforme desenvolvido no Capítulo 4 da disciplina TE323 (UFPR) e na Coletânea de Problemas Resolvidos (TE146), a análise de conversores rotativos elementares integra três formulações complementares:

1. Rotor Elíptico (Dupla Saliência / Relutância Variável com $2\theta$)

Quando um rotor ferromagnético de seção elíptica (ou de dois polos salientes simétricos) gira no interior de um estator bi-excitado, a permeância do entreferro repete-se a cada meia revolução mecânica ($\Delta \theta =\pi \text{ rad}=180^{\circ }$). Assim, o segundo harmônico espacial domina a série de Fourier das autoindutâncias: $\boxed{L_{11}(\theta )=L_{s0}+L_{s2}\cos (2\theta );L_{22}(\theta )=L_{r0}+L_{r2}\cos (2\theta );M(\theta )=M_0\cos (\theta )}$ Derivando em relação a $\theta$, o conjugado eletromagnético instantâneo de uma máquina duplamente excitada com rotor elíptico vale: $\boxed{T_{\text{fld}}(i_1,i_2,\theta )=-\left(L_{s2}{i}_1^2+L_{r2}{i}_2^2\right)\sin (2\theta )-M_0{i}_1{i}_2\sin (\theta )}$ Nota-se que os termos de relutância $-\left(L_{s2}{i}_1^2+L_{r2}{i}_2^2\right)\sin (2\theta )$ possuem período de $180^{\circ }$ e independem do sentido das correntes, ao passo que o termo eletrodinâmico $-M_0{i}_1{i}_2\sin (\theta )$ possui período de $360^{\circ }$ e inverte de sentido se uma das correntes for invertida.

2. Conjugado de Giro em Bobina Elementar (Lei de Lorentz / Regra de Fleming) e Gerador Elementar CA

Para uma bobina plana de $N$ espiras de área $A=a\cdot b$ percorrida por corrente $I$ e imersa num campo magnético uniforme de densidade $B$:

• Força sobre cada condutor ativo (Regra da Mão Esquerda de Fleming — Ação Motriz): $\boxed{F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \theta [\text{N}]}$
• Conjugado Total sobre a Bobina de $N$ Espiras: Sendo $\gamma$ o ângulo entre a normal $\hat{n}$ ao plano da espira e as linhas de indução $\vec{B}$, o braço de alavanca efetivo é $d=\frac{b}{2}\sin \gamma$, resultando em: $\boxed{\tau =N\cdot B\cdot I\cdot A\cdot \sin \gamma [\text{N}\cdot \text{m}]}$ (Máximo quando o campo é paralelo ao plano da bobina, $\gamma =90^{\circ }$, e nulo quando perpendicular, $\gamma =0^{\circ }$).
• Operação como Gerador Elementar (Lei de Faraday): Girando a bobina com velocidade angular constante ${\omega }_r=2\pi f_r$, o fluxo concatenado varia como $N\Phi (t)=NBA\cos ({\omega }_{r}t)=N{\Phi }_{\text{pico}}\cos ({\omega }_{r}t)$, induzindo a força eletromotriz senoidal e seu respectivo valor eficaz: $\boxed{e(t)=-\frac{d(N\Phi )}{dt}=N\cdot {\Phi }_{\text{pico}}\cdot {\omega }_r\sin ({\omega }_{r}t)⟹E_{\text{ef}}=\frac{2\pi }{\sqrt{2}}{f}_{r}N{\Phi }_{\text{pico}}=4,44\cdot f_r\cdot N\cdot {\Phi }_{\text{pico}}[\text{V}]}$

3. Equilíbrio Dinâmico e Critério de Estabilidade Mecânica

Pela Segunda Lei de Newton para rotação ($J\frac{d{\omega }_m}{dt}=T_{\text{acel}}=T_{\text{em}}(\theta )-T_{\text{ext}}$), os pontos de equilíbrio estacionário (${\theta }_{\text{eq}}$) ocorrem quando o conjugado eletromagnético iguala o conjugado resistente externo ($T_{\text{em}}({\theta }_{\text{eq}})=T_{\text{ext}}$). Todavia, um ponto de equilíbrio só é fisicamente estável se uma pequena perturbação angular $\Delta \theta$ gerar um conjugado acelerador restaurador de sinal oposto a $\Delta \theta$: $\boxed{{\frac{\partial T_{\text{acel}}}{\partial \theta }|}_{\theta ={\theta }_{\text{eq}}}={\frac{\partial (T_{\text{em}}-T_{\text{ext}})}{\partial \theta }|}_{\theta ={\theta }_{\text{eq}}}<0⟺{\frac{\partial T_{\text{em}}(\theta )}{\partial \theta }|}_{{\theta }_{\text{eq}}}<0(\text{Equilıˊbrio Estaˊvel})}$ Nos limites de estabilidade estática ($\frac{\partial T_{\text{em}}}{\partial \theta }=0$, tipicamente $\theta =\pm 90^{\circ }$ para alinhamento mútuo ou $\theta =\pm 45^{\circ }$ para relutância pura), a máquina atinge seu conjugado máximo de pull-out; além desse ângulo, $\frac{\partial T_{\text{em}}}{\partial \theta }>0$ e o rotor perde o sincronismo.

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🔄 5. Condição Fundamental para Conjugado Médio Não-Nulo

Para que uma máquina rotativa opere continuamente como motor ou gerador fornecendo potência mecânica útil a um eixo, o valor médio no tempo do conjugado eletromagnético ($T_{\text{meˊd}}$) deve ser diferente de zero:

$T_{\text{meˊd}}=\frac{1}{T}{\int }_0^T{T}_{\text{fld}}(t)dt\ne 0$

Se o conjugado médio for zero, a máquina apenas vibrará em torno da posição de equilíbrio sem produzir rotação sustentada.

Modelagem Analítica com Excitações Harmônicas

Considere uma máquina elementar de rotor cilíndrico liso ($L_{11}=L_1=\text{cte}$, $L_{22}=L_2=\text{cte}$) onde a indutância mútua varia senoidalmente com a posição angular mecânica $\theta$:

$M(\theta )=M_0\cos (p\theta )$

Onde $p$ é o número de pares de polos magnéticos da máquina. A derivada espacial da mútua é:

$\frac{dM(\theta )}{d\theta }=-p{M}_0\sin (p\theta )$

O rotor gira com velocidade angular mecânica constante ${\omega }_m$ e ângulo inicial $\delta$:

$\theta (t)={\omega }_{m}t+\delta$

Alimentam-se os enrolamentos com correntes alternadas de frequências angulares ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$:

$i_1(t)=I_1\cos ({\omega }_{1}t)$

$i_2(t)=I_2\cos ({\omega }_{2}t)$

O conjugado instantâneo é:

$T_{\text{fld}}(t)=i_1(t)\cdot i_2(t)\cdot \frac{dM}{d\theta }=-p{M}_0{I}_1{I}_2\cdot \cos ({\omega }_{1}t)\cos ({\omega }_{2}t)\sin [p({\omega }_{m}t+\delta )]$

Aplicação das Identidades Trigonométricas de Euler

Utilizando a identidade $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$:

$i_1(t)i_2(t)=\frac{I_1{I}_2}{2}[\cos (({\omega }_1-{\omega }_2)t)+\cos (({\omega }_1+{\omega }_2)t)]$

Multiplicando agora pelo termo $\sin [p{\omega }_{m}t+p\delta ]$ e aplicando $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$, obtém-se uma soma de quatro ondas senoidais puras:

$T_{\text{fld}}(t)=-\frac{p{M}_0{I}_1{I}_2}{4}\{\sin [((p{\omega }_m+({\omega }_1-{\omega }_2))t+p\delta ]+\sin [((p{\omega }_m-({\omega }_1-{\omega }_2))t+p\delta ]$

$+\sin [((p{\omega }_m+({\omega }_1+{\omega }_2))t+p\delta ]+\sin [((p{\omega }_m-({\omega }_1+{\omega }_2))t+p\delta ]\}$

Dedução da Condição de Ressonância (Sincronismo)

Como o valor médio temporal de qualquer senoide oscilante pura $\sin ({\omega }_{\text{osc}}t+\varphi )$ em um período é identicamente zero:

$\frac{1}{T}{\int }_0^T\sin ({\omega }_{\text{osc}}t+\varphi )dt=0(\text{para }{\omega }_{\text{osc}}\ne 0)$

A única forma de o conjugado médio ser diferente de zero é se o coeficiente angular do tempo dentro de um dos senos for estritamente nulo (${\omega }_{\text{osc}}=0$). Isso congela a oscilação temporal em uma componente contínua constante!

As quatro condições de velocidade angular mecânica que tornam um dos argumentos nulo são:

$\boxed{p{\omega }_m=\pm ({\omega }_1\pm {\omega }_2)}⟹\boxed{{\omega }_m=\frac{\pm {\omega }_1\pm {\omega }_2}{p}}$

Casos Particulares de Máquinas Reais

1. Máquina Síncrona Clássica:
   • O enrolamento do rotor é excitado por corrente contínua ($\text{CC}⟹{\omega }_2=0$);
   • O estator é alimentado pela rede elétrica em $60\text{ Hz}$ (${\omega }_1={\omega }_e=2\pi \cdot 60\text{ rad/s}$);
   • A velocidade mecânica deve ser rigorosamente constante: ${\omega }_m=\frac{{\omega }_1}{p}=\frac{{\omega }_e}{p}⟹n_s=\frac{120f_1}{P}[\text{rpm}]$
   • Se o rotor girar em qualquer outra velocidade diferente de ${\omega }_m$, o conjugado oscilará com média zero e o motor travará ou perderá o passo!
2. Máquina de Indução:
   • O estator opera em ${\omega }_1$, mas as correntes do rotor são induzidas com frequência de escorregamento ${\omega }_2=s\cdot {\omega }_1$;
   • Como ${\omega }_m=(1-s)\frac{{\omega }_1}{p}$, a combinação $({\omega }_1-{\omega }_2)/p={\omega }_1(1-s)/p={\omega }_m$ satisfaz a condição de sincronismo interno em todas as velocidades de operação!

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🏭 6. Estudo de Caso Prático e Exercícios Resolvidos TE323

6.1 Estudo de Caso: Gerador Síncrono de Polos Salientes

Modelagem do Rotor Saliente

Em hidrogeradores de grande porte (como os da Usina Hidrelétrica de Itaipu ou Belo Monte), o rotor opera a baixas rotações e possui polos salientes salientes construídos com chapas de aço laminado espessas.

Devido à assimetria polar, a relutância magnética vista pelas fases do estator varia fortemente com o dobro do ângulo elétrico. Para uma fase $a$ do estator e o enrolamento de campo $f$ no rotor:

$L_{aa}(\theta )=L_0+L_2\cos (2\theta )$

$L_{ff}(\theta )=L_f=\text{constante}$

$L_{af}(\theta )=M(\theta )=M_0\cos (\theta )$

Considere os seguintes parâmetros nominais de um polo do gerador:

• $L_0=12\text{ mH}$ (indutância média de estator)
• $L_2=4\text{ mH}$ (amplitude da variação por saliência polar)
• $M_0=18\text{ mH}$ (indutância mútua máxima entre campo e armadura)
• Corrente contínua de excitação no rotor: $I_f=25\text{ A}$
• Corrente alternada na fase do estator: $i_a(t)=I_a\cos (\omega t)$ com $I_a=40\text{ A}$
• Posição angular síncrona: $\theta (t)=\omega t-\delta$, onde $\delta$ é o ângulo de carga mecânico.

Cálculo da Força Eletromotriz e Derivadas das Indutâncias

1. Derivada da autoindutância do estator: $\frac{d{L}_{aa}}{d\theta }=\frac{d}{d\theta }[L_0+L_2\cos (2\theta )]=-2L_2\sin (2\theta )$
2. Derivada da mútua: $\frac{dM}{d\theta }=\frac{d}{d\theta }[M_0\cos (\theta )]=-M_0\sin (\theta )$

Expressão do Conjugado Instantâneo

Substituindo na equação geral de decomposição do conjugado:

$T_{\text{fld}}(t)=\frac{1}{2}{i}_a^2(t)\left[-2L_2\sin (2\theta )\right]+i_a(t)I_f\left[-M_0\sin (\theta )\right]$

$T_{\text{fld}}(t)=-L_2\cdot i_a^2(t)\sin (2\theta )-M_0{I}_f\cdot i_a(t)\sin (\theta )$

Dedução do Conjugado Médio Permanente

1. Parcela de Alinhamento Mútuo ($T_{\text{muˊt, meˊd}}$): $i_a(t)\sin (\theta )=[I_a\cos (\omega t)]\cdot \sin (\omega t-\delta )$ Aplicando $\cos A\sin B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)-\sin (A-B)]$: $i_a(t)\sin (\theta )=\frac{I_a}{2}[\sin (2\omega t-\delta )-\sin (\delta )]$ A média temporal de $\sin (2\omega t-\delta )$ é zero. Resta o termo constante $-\frac{I_a}{2}\sin \delta$: $⟨-M_0{I}_f{i}_a(t)\sin (\theta )⟩=-M_0{I}_f\cdot \left(-\frac{I_a}{2}\sin \delta \right)=+\frac{1}{2}{M}_0{I}_f{I}_a\sin \delta$
2. Parcela de Relutância ($T_{\text{rel, meˊd}}$): $i_a^2(t)=I_a^2{\cos }^2(\omega t)=\frac{I_a^2}{2}[1+\cos (2\omega t)]$ $i_a^2(t)\sin (2\theta )=\frac{I_a^2}{2}[1+\cos (2\omega t)]\cdot \sin (2\omega t-2\delta )$ A média do produto $\cos (2\omega t)\sin (2\omega t-2\delta )$ resulta em $-\frac{1}{2}\sin (2\delta )$: $⟨-L_2{i}_a^2(t)\sin (2\theta )⟩=-L_2\cdot \frac{I_a^2}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\sin (2\delta )\right)=+\frac{1}{4}{L}_2{I}_a^2\sin (2\delta )$

O conjugado médio permanente resultante é:

$\boxed{T_{\text{meˊd}}(\delta )=\underset{\text{Conjugado Eletrodinaˆmico}}{\underbrace{\frac{1}{2}{M}_0{I}_f{I}_a\sin \delta }}+\underset{\text{Conjugado de Relutaˆncia}}{\underbrace{\frac{1}{4}{L}_2{I}_a^2\sin (2\delta )}}}$

Substituição Numérica

• Parcela de Excitação Mútua: $T_{\text{muˊt, max}}=\frac{1}{2}\cdot (18\times 10^{-3})\cdot 25\cdot 40=9\cdot 10^{-3}\cdot 1000=9,0\text{ N}\cdot \text{m}$
• Parcela de Relutância: $T_{\text{rel, max}}=\frac{1}{4}\cdot (4\times 10^{-3})\cdot (40{)}^2=10^{-3}\cdot 1600=1,6\text{ N}\cdot \text{m}$

O conjugado médio total como função do ângulo de carga $\delta$ é:

$T_{\text{meˊd}}(\delta )=9,0\sin \delta +1,6\sin (2\delta )\left[\text{N}\cdot \text{m}\right]$

Relevância da Parcela de Relutância no SEP

Em geradores de polos salientes, o conjugado de relutância representa entre $15\%$ e $25\%$ da capacidade total de torque da máquina. Se a excitação de corrente contínua for perdida acidentalmente ($I_f=0$), a máquina não perde imediatamente o sincronismo em cargas leves, mantendo-se acoplada à rede exclusivamente pela componente de relutância $\frac{1}{4}{L}_2{I}_a^2\sin (2\delta )$ até a atuação da proteção de perda de campo (Função 40).

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6.2 Exercícios Resolvidos de Provas e Coletânea (UFPR — TE323 / TE146)

Exercício Resolvido 1 — Conversor Eletromecânico Rotativo Elementar e Estabilidade dos Pontos de Equilíbrio (Coletânea TE146/TE323 - Problema 12)

Enunciado: Um conversor eletromecânico rotativo elementar é constituído por uma bobina no estator ($s$) e uma bobina no rotor ($r$), cujos coeficientes de autoindução e indução mútua em função do ângulo $\theta$ entre os eixos magnéticos são:

• $L_s=1,0\text{ H}$, $L_r=1,0\text{ H}$ e $M_{sr}(\theta )=0,9\cos (\theta )\text{ [H]}$.

Sabendo que as bobinas são alimentadas pelas correntes contínuas $i_s=10\text{ A}$ e $i_r=10\text{ A}$, determine: (a) A expressão da coenergia magnética $W_m^{\prime }(\theta ,i_s,i_r)$ e do conjugado eletromagnético $M_{\text{em}}(\theta )$; (b) O conjugado eletromagnético máximo e o ângulo em que ocorre; (c) Os pontos de equilíbrio possíveis no intervalo $[-\pi ,\pi ]$ quando um conjugado mecânico resistente externo $M_{\text{ext}}=45\text{ N}\cdot \text{m}$ é aplicado ao eixo, demonstrando analiticamente qual ponto é estável e qual é instável.

Solução Passo a Passo:

1. [Coenergia Magnética e Conjugado Eletromagnético]: $W_m^{\prime }(\theta ,i_s,i_r)=\frac{1}{2}{L}_s{i}_s^2+\frac{1}{2}{L}_r{i}_r^2+M_{sr}(\theta )i_s{i}_r=\frac{1}{2}{i}_s^2+\frac{1}{2}{i}_r^2+0,9i_s{i}_r\cos (\theta )$ Derivando em relação a $\theta$ mantendo as correntes constantes ($i_s=i_r=10\text{ A}$): $\boxed{M_{\text{em}}(\theta )=\frac{\partial W_m^{\prime }}{\partial \theta }=-0,9i_s{i}_r\sin (\theta )=-0,9(10)(10)\sin (\theta )=-90\sin (\theta )\text{ [N}\cdot \text{m]}}$

2. [Conjugado Máximo]: O módulo máximo ocorre para $\sin (\theta )=\mp 1⟹\theta =-\frac{\pi }{2}\text{ rad}$ ($-90^{\circ }$), valendo: $\boxed{M_{\text{em, maˊx}}=90\text{ N}\cdot \text{m}(\text{em }\theta =-\pi /2)}$

3. [Pontos de Equilíbrio e Análise de Estabilidade para $M_{\text{ext}}=45\text{ N}\cdot \text{m}$]: Pela equação dinâmica de rotação $J\frac{d{\omega }_m}{dt}=M_{\text{acel}}=M_{\text{em}}(\theta )-M_{\text{ext}}=0$: $-90\sin (\theta )=45⟹\sin (\theta )=-0,5$ No intervalo $[-\pi ,\pi ]$, existem duas soluções:

   • Ponto A: ${\theta }_A=-\frac{\pi }{6}\text{ rad}=-30^{\circ }$;
   • Ponto B: ${\theta }_B=-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}\text{ rad}=-150^{\circ }$. Avaliando a derivada restauradora $\frac{\partial M_{\text{acel}}}{\partial \theta }=\frac{d{M}_{\text{em}}}{d\theta }=-90\cos (\theta )$:
   • Em ${\theta }_A=-30^{\circ }$: ${\frac{d{M}_{\text{em}}}{d\theta }|}_A=-90\cos (-30^{\circ })=-77,94\text{ N}\cdot \text{m/rad}<0⟹$ Ponto A é ESTÁVEL (atua como uma mola torcional restauradora).
   • Em ${\theta }_B=-150^{\circ }$: ${\frac{d{M}_{\text{em}}}{d\theta }|}_B=-90\cos (-150^{\circ })=+77,94\text{ N}\cdot \text{m/rad}>0⟹$ Ponto B é INSTÁVEL (qualquer perturbação expulsa o rotor dessa posição).

Exercício Resolvido 2 — Conjugado em Bobinas Retangulares/Circulares e Gerador Elementar (TE323 - Cap. 4, Exs. 2, 3 e 4)

Enunciado: Resolva os três problemas práticos do Capítulo 4 de Conversão de Energia I (TE323 - UFPR): (a) Uma bobina retangular de dimensões $5,40\text{ cm}\times 8,50\text{ cm}$ é constituída por $N=25\text{ espiras}$ e percorrida por uma corrente $I=15\text{ mA}$. Um campo magnético uniforme $B=0,350\text{ T}$ é aplicado paralelamente ao plano da bobina. Determine o módulo do conjugado que atua sobre a bobina. (b) Uma bobina circular de raio $r=5\text{ cm}$ possui $N=30\text{ espiras}$ no plano XZ, conduzindo $I=5\text{ A}$ imersa num campo magnético uniforme paralelo à superfície da bobina ($B=1,2\text{ T}$). Determine o conjugado sobre a bobina. (c) Uma espira quadrada ($N=1$) de dimensões $10\text{ cm}\times 10\text{ cm}$ gira sob a influência de um campo uniforme $B=0,1\text{ T}$. Qual deve ser a frequência de rotação $f_r$ (em $\text{Hz}$ e $\text{rpm}$) para que apresente uma tensão eficaz induzida $E_{\text{ef}}=1,5\text{ V}$ nos seus terminais?

Solução Passo a Passo:

1. [Item (a) — Bobina Retangular]: Como o campo $\vec{B}$ é paralelo ao plano da bobina, a normal $\hat{n}$ à face da espira forma um ângulo $\gamma =90^{\circ }$ com $\vec{B}$ ($\sin 90^{\circ }=1$). Área da espira: $A=0,054\text{ m}\times 0,085\text{ m}=4,59\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$. $\boxed{\tau =N\cdot B\cdot I\cdot A\cdot \sin (90^{\circ })=25\times 0,350\times (15\times 10^{-3})\times (4,59\times 10^{-3})\times 1=6,02\times 10^{-4}\text{ N}\cdot \text{m}\approx 5,95\times 10^{-4}\text{ N}\cdot \text{m}}$

2. [Item (b) — Bobina Circular]: Área da espira circular: $A=\pi r^2=\pi \times (0,05\text{ m}{)}^2=7,854\times 10^{-3}{\text{ m}}^2$. Com campo paralelo à superfície ($\gamma =90^{\circ }$): $\boxed{\tau =N\cdot B\cdot I\cdot A\cdot \sin (90^{\circ })=30\times 1,2\times 5\times (7,854\times 10^{-3})=1,414\text{ N}\cdot \text{m}}$

3. [Item (c) — Frequência de Rotação do Gerador Elementar]: O fluxo máximo concatenado pela espira de área $A=0,10\times 0,10=0,01{\text{ m}}^2$ vale: ${\Phi }_{\text{pico}}=B\cdot A=0,1\text{ T}\times 0,01{\text{ m}}^2=1,0\times 10^{-3}\text{ Wb}$ Pela equação da FEM eficaz senoidal ($E_{\text{ef}}=4,44\cdot f_r\cdot N\cdot {\Phi }_{\text{pico}}$): $\boxed{f_r=\frac{E_{\text{ef}}}{4,44\cdot N\cdot {\Phi }_{\text{pico}}}=\frac{1,5}{4,44\times 1\times 10^{-3}}\approx 337,8\text{ Hz}(n_r=60f_r\approx 20.270\text{ rpm})}$

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📝 7. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados

Questão 01 — Petrobras / Cesgranrio — Engenheiro de Equipamentos Júnior — Elétrica

Considere uma máquina elétrica rotativa elementar com dois enrolamentos: um enrolamento no estator (bobina 1) e um enrolamento no rotor (bobina 2). Os enrolamentos são caracterizados pelas seguintes indutâncias em função da posição angular mecânica $\theta$:

• $L_{11}(\theta )=L_s$ (constante)
• $L_{22}(\theta )=L_r$ (constante)
• $L_{12}(\theta )=M(\theta )=M\cos (\theta )$

Ao alimentar o enrolamento 1 com uma corrente contínua $I_1=5\text{ A}$ e o enrolamento 2 com uma corrente contínua $I_2=10\text{ A}$, o conjugado eletromagnético desenvolvido sobre o rotor quando $\theta =30^{\circ }$, sendo $M=0,2\text{ H}$, é igual a:

• (A) $+5,0\text{ N}\cdot \text{m}$
• (B) $-5,0\text{ N}\cdot \text{m}$
• (C) $+8,66\text{ N}\cdot \text{m}$
• (D) $-8,66\text{ N}\cdot \text{m}$
• (E) $0\text{ N}\cdot \text{m}$

Resolução Comentada da Questão 01

1. Como as autoindutâncias do estator e do rotor são constantes ($L_{11}=L_s$ e $L_{22}=L_r$), suas derivadas em relação a $\theta$ são nulas: $\frac{d{L}_{11}}{d\theta }=0\text{e}\frac{d{L}_{22}}{d\theta }=0$ Portanto, os conjugados de relutância do estator e do rotor são nulos.
2. O conjugado eletromagnético provém exclusivamente da indutância mútua $M(\theta )$: $T_{\text{fld}}=i_1{i}_2\frac{dM(\theta )}{d\theta }$
3. Derivando $M(\theta )=M\cos (\theta )$ em relação a $\theta$: $\frac{dM(\theta )}{d\theta }=-M\sin (\theta )$
4. Substituindo os valores dados: $T_{\text{fld}}=I_1\cdot I_2\cdot [-M\sin (\theta )]$ $T_{\text{fld}}=5\cdot 10\cdot [-0,2\cdot \sin (30^{\circ })]$ Como $\sin (30^{\circ })=0,5$: $T_{\text{fld}}=50\cdot (-0,2\cdot 0,5)=50\cdot (-0,1)=-5,0\text{ N}\cdot \text{m}$

O sinal negativo indica que o torque atua no sentido de diminuir o ângulo $\theta$, atraindo o rotor para $\theta =0^{\circ }$ (posição de mútua indutância máxima).

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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Questão 02 — Eletrobras / CGT Eletrosul — Engenheiro Eletricista — FCC

Em uma máquina síncrona trifásica de polos salientes conectada a um barramento infinito com tensão terminal constante $V$, a equação da potência ativa gerada por fase em função do ângulo de carga $\delta$ e das reatâncias síncronas de eixo direto ($X_d$) e eixo em quadratura ($X_q$) é expressa por:

$P(\delta )=\frac{E_{f}V}{X_d}\sin \delta +\frac{V^2}{2}\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)\sin (2\delta )$

A segunda parcela dessa equação $\left[\frac{V^2}{2}\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)\sin (2\delta )\right]$ decorre fisicamente de qual fenômeno?

• (A) Da circulação de correntes parasitas de Foucault nos enrolamentos amortecedores do rotor.
• (B) Do escorregamento entre o campo magnético girante do estator e a velocidade mecânica do rotor.
• (C) Da anisotropia magnética do rotor gerada pela saliência polar, que produz uma variação periódica da relutância magnética ao longo do entreferro (Potência de Relutância).
• (D) Da saturação do ferro nas cabeças de dente do estator operando em regime de sobreexcitação.
• (E) Da assimetria resistiva existente entre as fases do enrolamento de armadura.

Resolução Comentada da Questão 02

• A alternativa (C) é a CORRETA. Em máquinas de polos salientes, o caminho magnético ao longo do entreferro não é uniforme: no eixo direto ($d$) o entreferro é estreito (alta indutância $L_d$, logo reatância $X_d$ elevada), enquanto no eixo em quadratura ($q$) o entreferro é amplo entre os polos (baixa indutância $L_q$, logo $X_q<X_d$).
• Essa anisotropia espacial produz uma variação periódica da autoindutância do estator ($L_{aa}(\theta )=L_0+L_2\cos 2\theta$). Ao interagir com as correntes de armadura, esse gradiente $dL/d\theta$ gera o torque de relutância, que se manifesta na equação de potência ativa com a dependência periódica $\sin (2\delta )$.
• Se a máquina tivesse rotor cilíndrico liso ($X_d=X_q$), o termo $\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)$ seria zero, anulando a potência de relutância.

Resolução Analítica Passo a Passo: C

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Questão 03 — Marinha do Brasil — Engenheiro Eletricista — CP-CEM

Um transdutor eletromecânico possui dois enrolamentos de excitação cujas indutâncias em função da coordenada linear $x$ são dadas por:

• $L_{11}(x)=2+\frac{1}{x}\text{[H]}$
• $L_{22}(x)=1+\frac{2}{x}\text{[H]}$
• $L_{12}(x)=L_{21}(x)=\frac{1}{x}\text{[H]}$

Onde $x$ é a posição em metros ($x>0$). Se os enrolamentos forem excitados simultaneamente com correntes contínuas $I_1=2\text{ A}$ e $I_2=3\text{ A}$, a intensidade da força mecânica de origem magnética desenvolvida pelo sistema na posição $x=0,5\text{ m}$ é:

• (A) $14\text{ N}$
• (B) $34\text{ N}$
• (C) $68\text{ N}$
• (D) $136\text{ N}$
• (E) $272\text{ N}$

Resolução Comentada da Questão 03

1. A força mecânica linear em função da coenergia magnética a correntes constantes é: $f_{\text{fld}}=\frac{1}{2}{I}_1^2\frac{d{L}_{11}}{dx}+\frac{1}{2}{I}_2^2\frac{d{L}_{22}}{dx}+I_1{I}_2\frac{d{L}_{12}}{dx}$
2. Calculando as derivadas espaciais das três indutâncias em relação a $x$: $\frac{d{L}_{11}}{dx}=\frac{d}{dx}\left(2+\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$ $\frac{d{L}_{22}}{dx}=\frac{d}{dx}\left(1+\frac{2}{x}\right)=-\frac{2}{x^2}$ $\frac{d{L}_{12}}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$
3. Na posição $x=0,5\text{ m}$, temos $x^2=(0,5{)}^2=0,25⟹\frac{1}{x^2}=4{\text{ m}}^{-2}$. ${\frac{d{L}_{11}}{dx}|}_{0,5}=-4\text{ H/m}$ ${\frac{d{L}_{22}}{dx}|}_{0,5}=-8\text{ H/m}$ ${\frac{d{L}_{12}}{dx}|}_{0,5}=-4\text{ H/m}$
4. Substituindo as correntes $I_1=2\text{ A}$ e $I_2=3\text{ A}$: $f_{\text{fld}}=\frac{1}{2}(2{)}^2(-4)+\frac{1}{2}(3{)}^2(-8)+(2)(3)(-4)$ $f_{\text{fld}}=\frac{1}{2}(4)(-4)+\frac{1}{2}(9)(-8)+6(-4)$ $f_{\text{fld}}=-8-36-24=-68\text{ N}$

A intensidade da força mecânica de atração desenvolvida pelo transdutor é de $|f_{\text{fld}}|=68\text{ N}$.

Resolução Analítica Passo a Passo: C

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Questão 04 — UNESP — Engenheiro Eletricista — Vunesp

Deseja-se projetar um motor de passo de relutância variável (VRM) monofásico. O estator possui enrolamentos excitados por pulsos de corrente $i(t)$, e o rotor é inteiramente passivo, composto apenas por dentes de ferro silício sem nenhum ímã ou enrolamento ($i_{\text{rotor}}=0$). O conjugado desenvolvido por esse motor depende exclusivamente:

• (A) Da interação entre a corrente do estator e a força contraeletromotriz gerada pela velocidade do rotor.
• (B) Da taxa de variação da autoindutância do estator em relação à posição angular do rotor ($d{L}_s/d\theta$).
• (C) Da indutância mútua entre os dentes do rotor e os polos do estator.
• (D) Do escorregamento entre o campo elétrico e o campo térmico do entreferro.
• (E) Da corrente de dispersão que salta entre as ranhuras do estator.

Resolução Comentada da Questão 04

Como o rotor não possui enrolamentos ($i_2=0$) nem ímãs permanentes, os termos de indutância mútua e relutância rotórica anulam-se identicamente na equação geral do torque: $T_{\text{fld}}=\frac{1}{2}{i}_1^2\frac{d{L}_{11}}{d\theta }+0+0=\frac{1}{2}{i}_s^2\frac{d{L}_s(\theta )}{d\theta }$ Portanto, o torque é produzido exclusivamente pelo gradiente de relutância do estator em função da rotação dos dentes salientes do rotor. O sistema sempre desenvolve um torque que força o rotor a se posicionar no ponto de alinhamento com os polos do estator, minimizando a relutância do entreferro e maximizando a autoindutância $L_s(\theta )$.

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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Questão 05 — USP / FUVEST — Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Considere um sistema com duas bobinas no qual as correntes elétricas são $i_1(t)=I_0\cos ({\omega }_{1}t)$ e $i_2(t)=I_0\cos ({\omega }_{2}t)$. A indutância mútua é dada por $M(\theta )=M_0\cos (\theta )$, e as autoindutâncias são constantes. O rotor gira a uma velocidade mecânica constante ${\omega }_m$. Para quais valores de velocidade mecânica ${\omega }_m$ o sistema é capaz de produzir um conjugado médio não-nulo ($T_{\text{meˊd}}\ne 0$)?

• (A) Exclusivamente para ${\omega }_m=0$ (máquina travada).
• (B) Apenas para ${\omega }_m={\omega }_1+{\omega }_2$.
• (C) Para ${\omega }_m=\pm ({\omega }_1\pm {\omega }_2)$.
• (D) Para qualquer velocidade ${\omega }_m>{\omega }_1$.
• (E) Para ${\omega }_m=\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}$.

Resolução Comentada da Questão 05

Conforme deduzido analiticamente na Seção 5 desta aula, o produto de correntes harmônicas $i_1(t)\cdot i_2(t)$ multiplicado pela derivada senoidal $\frac{dM}{d\theta }=-M_0\sin ({\omega }_{m}t+\delta )$ se decompõe em quatro componentes harmônicas puras cujas frequências angulares são: ${\omega }_{\text{comp}}\in \{{\omega }_m+({\omega }_1-{\omega }_2),{\omega }_m-({\omega }_1-{\omega }_2),{\omega }_m+({\omega }_1+{\omega }_2),{\omega }_m-({\omega }_1+{\omega }_2)\}$ Para que o conjugado médio no tempo seja não-nulo, uma dessas frequências deve ser estritamente zero, o que resulta nas quatro condições de velocidade angular: ${\omega }_m=\pm ({\omega }_1\pm {\omega }_2)$

Resolução Analítica Passo a Passo: C

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📚 8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

1. FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY Jr., C.; UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: com Introdução à Eletrônica de Potência. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
2. KRAUSE, Paul C.; WASYNCZUK, Oleg; PEKAREK, Scott D. Analysis of Electric Machinery and Drive Systems. 3. ed. Piscataway: IEEE Press / Wiley, 2013.
3. CHAPMAN, Stephen J. Fundamentos de Máquinas Elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2013.
4. KUNDUR, Prabha. Power System Stability and Control. New York: McGraw-Hill, 1994.
5. DEL TORO, Vincent. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
6. IEEE Std 115-2019. IEEE Guide for Test Procedures for Synchronous Machines. IEEE Power and Energy Society, New York.

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Documento homologado conforme o Padrão Ouro de Engenharia Acadêmica — Retornar ao MOC da Disciplina.