⚡ Aula 01: Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem - Separáveis, Lineares, Exatas e Fator Integrante

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Integração Curricular & Contexto

• Disciplina: Equações Diferenciais
• Área: 01 Matemática e Estatística
• Material Oficial Base: Equações Diferenciais de Primeira Ordem
• Objetivo: Compreender a definição, ordem, grau e linearidade de equações diferenciais ordinárias (EDOs), enunciar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf para Problemas de Valor Inicial (PVI), dominar os métodos analíticos de solução para equações de variáveis separáveis, equações lineares de 1ª ordem via Fator Integrante $\mu (x)$, equações exatas e Equação de Bernoulli, e modelar com exatidão a resposta natural e degrau de circuitos elétricos de 1ª ordem ($RC$ e $RL$) e o resfriamento térmico de transformadores.

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Classificação e Conceitos Fundamentais das EDOs
   • 1.1 Ordem, Grau e Linearidade
   • 1.2 Solução Geral vs. Particular (PVI)
   • 1.3 Teorema de Picard-Lindelöf
2. 2. EDOs de Variáveis Separáveis e Homogêneas
   • 2.1 Separação de Variáveis
   • 2.2 EDOs Homogêneas
3. 3. EDOs Lineares de 1ª Ordem e o Fator Integrante
   • 3.1 Forma Canônica
   • 3.2 Dedução do Fator Integrante $\mu(x)$
   • 3.3 Interpretação em Engenharia: Natural vs. Forçada
4. 4. EDOs Exatas e Fatores de Integração Especiais
   • 4.1 Critério de Exatidão
   • 4.2 Determinação da Solução
5. 5. Equação Diferencial de Bernoulli
6. 6. Aplicação em Engenharia Elétrica: Circuitos Transitórios de 1ª Ordem
   • 6.1 Circuito RC Série (Carga de Capacitor)
   • 6.2 Circuito RL Série (Indutor)
7. 7. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy dsolve & Matplotlib)
8. 8. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)
   • Questão 1 — Identificação de Linearidade de EDO
   • Questão 2 — Solução de EDO por Fator Integrante
   • Questão 3 — Constante de Tempo em Circuito RL
   • Questão 4 — EDO Separada de Resfriamento de Transformador
9. 9. Considerações Finais e Próximos Passos

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1. Classificação e Conceitos Fundamentais das EDOs

1.1 Ordem, Grau e Linearidade

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma relação funcional que envolve uma variável independente $x$, uma função incógnita $y=y(x)$ e uma ou mais de suas derivadas ordinárias: $F\left(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n)}\right)=0$

• Ordem: É a ordem da maior derivada que figura explicitamente na equação.
• Linearidade: Uma EDO é dita linear se a variável dependente $y$ e todas as suas derivadas aparecerem estritamente no primeiro grau e não houver produtos entre $y$ e suas derivadas nem funções transcendentais de $y$ (como $\sin y$ ou $e^y$). A forma canônica linear de 1ª ordem é: $a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$

1.2 Solução Geral vs. Particular (PVI)

• Solução Geral: Família a um parâmetro de curvas $y=\varphi (x,C)$ contendo uma constante arbitrária de integração $C$.
• Problema de Valor Inicial (PVI): Consiste em determinar uma Solução Particular única da EDO sujeita a uma condição de contorno fixada no instante $x_0$: $\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{array}$

1.3 Teorema de Picard-Lindelöf

Se $f(x,y)$ e a derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$ forem contínuas em um retângulo fechado que contém o ponto inicial $(x_0,y_0)$, então o PVI admite uma única solução diferenciável em algum intervalo aberto em torno de $x_0$.

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2. EDOs de Variáveis Separáveis e Homogêneas

2.1 Separação de Variáveis

Uma EDO de 1ª ordem é separável se puder ser fatorada na forma: $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)⟺\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx,h(y)\ne 0$ Integrando ambos os membros: $\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx+C$

2.2 EDOs Homogêneas

Uma equação $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ é homogênea se $M$ e $N$ forem funções homogêneas de mesmo grau ($f(tx,ty)=t^{k}f(x,y)$). Ela pode ser expressa como $\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$.

• Substituição canônica: Faz-se $y=v\cdot x⟹\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$, transformando a equação em uma EDO separável em $v$ e $x$.

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3. EDOs Lineares de 1ª Ordem e o Fator Integrante

3.1 Forma Canônica

Dividindo a equação linear pelo coeficiente líder $a_1(x)$, obtém-se a forma padrão: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

3.2 Dedução do Fator Integrante $\mu (x)$

Multiplica-se toda a equação por uma função desconhecida $\mu (x)>0$: $\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x)$ Deseja-se que o primeiro membro seja a derivada exata do produto $\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)\frac{dy}{dx}+{\mu }^{\prime }(x)y$. Comparando os termos: ${\mu }^{\prime }(x)=\mu (x)P(x)⟹\frac{1}{\mu }d\mu =P(x)dx⟹\ln \mu (x)=\int P(x)dx⟹\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$

Reescrevendo a equação com o fator integrante: $\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)Q(x)$ Integrando ambos os lados: $\mu (x)y=\int \mu (x)Q(x)dx+C⟹y(x)=\frac{1}{\mu (x)}\left[\int \mu (x)Q(x)dx+C\right]$

3.3 Interpretação em Engenharia: Natural vs. Forçada

A solução pode ser decomposta aditivamente em duas parcelas de altíssimo significado físico: $y(x)=\underset{y_h(x)\text{ (Resposta Natural / Transitoˊria)}}{\underbrace{C{e}^{-\int P(x)dx}}}+\underset{y_p(x)\text{ (Resposta Forc¸ada / Regime Permanente)}}{\underbrace{e^{-\int P(x)dx}\int \mu (x)Q(x)dx}}$

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4. EDOs Exatas e Fatores de Integração Especiais

4.1 Critério de Exatidão

A expressão diferencial $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ é dita exata se o primeiro membro for o diferencial total exato de alguma função potencial $\psi (x,y)$, isto é, $d\psi =Mdx+Ndy=0$. Pelo Teorema de Schwarz, a condição necessária e suficiente é: $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

4.2 Determinação da Solução

A solução geral é a curva de nível implícita: $\psi (x,y)=C$ Onde $\psi (x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$, determinando $g(y)$ pela relação $\frac{\partial \psi }{\partial y}=N(x,y)$.

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5. Equação Diferencial de Bernoulli

A Equação de Bernoulli é uma equação não linear de 1ª ordem de notável importância em aerodinâmica e dinâmica populacional: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,n\ne 0,1$

• Dividindo toda a equação por $y^n$: $y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$;
• Realizando a substituição de variável: $u=y^{1-n}⟹\frac{du}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$;
• A equação se converte rigorosamente em uma EDO Linear de 1ª Ordem em $u(x)$: $\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$

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6. Aplicação em Engenharia Elétrica: Circuitos Transitórios de 1ª Ordem

6.1 Circuito RC Série (Carga de Capacitor)

Pela Lei das Tensões de Kirchhoff (KVL) em uma malha com fonte contínua $E$, resistor $R$ e capacitor $C$: $R\cdot i(t)+v_C(t)=E$ Como $i(t)=C\frac{d{v}_C}{dt}$: $RC\frac{d{v}_C}{dt}+v_C(t)=E⟹\frac{d{v}_C}{dt}+\frac{1}{RC}{v}_C(t)=\frac{E}{RC}$ Esta é uma EDO linear de 1ª ordem com $P=\frac{1}{RC}$ e $Q=\frac{E}{RC}$. O fator integrante é $\mu (t)=e^{t/(RC)}$.

Resolvendo com a condição inicial de capacitor inicialmente descarregado ($v_C(0)=0$): $v_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau }\right),\tau =RC\text{ (Constante de Tempo)}$ A corrente instantânea de carga é: $i(t)=C\frac{d{v}_C}{dt}=\frac{E}{R}{e}^{-t/\tau }$

Figura 1: EDOs de 1ª Ordem (Separáveis, Lineares com Fator Integrante μ(x) e Resposta Transitória em Circuitos RC/RL).

6.2 Circuito RL Série (Indutor)

Para uma malha com indutor $L$ e resistor $R$: $L\frac{di}{dt}+Ri(t)=E⟹\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E}{L}$ Com $i(0)=0$, a solução analítica exata é: $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau }\right),\tau =\frac{L}{R}$ Após decorridos $5\tau$ constantes de tempo, o indutor atinge mais de $99,3\%$ de seu valor final de corrente contínua, comportando-se idealmente como um curto-circuito.

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7. 💻 Laboratório Computacional em Python (SymPy dsolve & Matplotlib)

O script a seguir resolve analiticamente EDOs de 1ª ordem com SymPy e simula os regimes transitórios de circuitos $RC$:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. EDO do Circuito RC: RCv’(t) + v(t) = E
• Solução Geral
• Solução Particular com PVI: v(0) = 0
• 2. Simulação Numérica de Circuito RC: R = 1k ohm, C = 100 uF, E = 12 V

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8. 📚 Questões de Fixação Resolvidas e Exercícios Práticos (Auditadas)

Abaixo, a resolução analítica rigorosa dos exercícios clássicos da apostila 01 - Equações Diferenciais de Primeira Ordem.pdf:

Questão 1 — Identificação de Linearidade de EDO

Questão 1

Classifique a equação diferencial $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+2xy=\cos x$ quanto à sua ordem e linearidade:

• A) EDO de 1ª ordem, linear

• B) EDO de 1ª ordem, não linear

• C) EDO de 2ª ordem, linear

• D) EDO de 2ª ordem, não linear

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A (1ª ordem, linear)

Resolução Analítica:

1. A maior derivada presente é $\frac{dy}{dx}$, de ordem 1.
2. A variável dependente $y$ e sua derivada aparecem com expoente 1 e não há termos como $y^2,\sin y,y\frac{dy}{dx}$. Dividindo por $(x^2+1)$, temos $\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{x^2+1}y=\frac{\cos x}{x^2+1}$, forma padrão perfeitamente linear.

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Questão 2 — Solução de EDO por Fator Integrante

Questão 2

Determine a solução do PVI $\frac{dy}{dx}+2y=4$ com condição inicial $y(0)=5$:

• A) $y(x)=2+3e^{-2x}$

• B) $y(x)=4+e^{-2x}$

• C) $y(x)=2+5e^{-2x}$

• D) $y(x)=3+2e^{-2x}$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($y(x)=2+3e^{-2x}$)

Resolução Analítica:

1. EDO linear com $P(x)=2$ e $Q(x)=4$.
2. Fator integrante: $\mu (x)=e^{\int 2dx}=e^{2x}$.
3. Multiplicando a EDO: $\frac{d}{dx}[e^{2x}y]=4e^{2x}⟹e^{2x}y=\int 4e^{2x}dx=2e^{2x}+C⟹y(x)=2+C{e}^{-2x}$
4. Aplicando a condição inicial $y(0)=5$: $5=2+C{e}^0⟹C=3$
5. Solução particular final: $y(x)=2+3e^{-2x}$.

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Questão 3 — Constante de Tempo em Circuito RL

Questão 3

Um indutor com indutância $L=200\text{ mH}$ é ligado em série com um resistor $R=50\Omega$ e uma fonte contínua de $100\text{ V}$. A constante de tempo $\tau$ e a corrente final em regime permanente $I_{\infty }$ são, respectivamente:

• A) $\tau =4\text{ ms}$ e $I_{\infty }=2\text{ A}$

• B) $\tau =40\text{ ms}$ e $I_{\infty }=2\text{ A}$

• C) $\tau =4\text{ s}$ e $I_{\infty }=10\text{ A}$

• D) $\tau =10\text{ ms}$ e $I_{\infty }=4\text{ A}$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($\tau =4\text{ ms}$ e $I_{\infty }=2\text{ A}$)

Resolução Analítica:

1. A constante de tempo de um circuito $RL$ é dada por: $\tau =\frac{L}{R}=\frac{200\times 10^{-3}\text{ H}}{50\Omega }=4\times 10^{-3}\text{ s}=4\text{ ms}$
2. Em regime permanente ($t\to \infty$), o indutor atua como curto-circuito ($v_L=L\frac{di}{dt}=0$): $I_{\infty }=\frac{E}{R}=\frac{100\text{ V}}{50\Omega }=2\text{ A}$

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Questão 4 — EDO Separada de Resfriamento de Transformador

Questão 4

Pela Lei de Resfriamento de Newton, a temperatura $T(t)$ de um transformador imerso em óleo satisfaz $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a)$, onde $T_a=20^{\circ }\text{C}$ é a temperatura ambiente. Se no instante $t=0$ a temperatura vale $T(0)=80^{\circ }\text{C}$, a expressão de $T(t)$ é:

• A) $T(t)=20+60e^{-kt}$

• B) $T(t)=80e^{-kt}$

• C) $T(t)=60+20e^{-kt}$

• D) $T(t)=20+80e^{-kt}$

Gabarito Comentado e Dedução Passo a Passo

Alternativa Correta: A ($T(t)=20+60e^{-kt}$)

Resolução Analítica:

1. Separando variáveis: $\frac{dT}{T-T_a}=-kdt⟹\ln |T-T_a|=-kt+C_1⟹T(t)-T_a=C{e}^{-kt}⟹T(t)=T_a+C{e}^{-kt}$
2. Aplicando $T_a=20$ e $T(0)=80$: $80=20+C{e}^0⟹C=60$
3. Solução: $T(t)=20+60e^{-kt}$.

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9. Considerações Finais e Próximos Passos

Nesta Aula 01, consolidamos o estudo rigoroso das EDOs de 1ª ordem:

• A conceituação de ordem, linearidade e os teoremas fundamentais de existência de soluções.
• Os métodos de separação de variáveis, fator integrante e equações exatas.
• A modelagem analítica e computacional da resposta natural e forçada em circuitos elétricos $RC$ e $RL$.

Na Aula 02, elevaremos a ordem do sistema para analisar Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem Homogêneas e Não Homogêneas, Equações Características, Regimes de Amortecimento e Ressonância em Circuitos RLC.

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Referências Bibliográficas Citadas

• BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
• ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 10. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
• NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2016.
• Material didático oficial de Equações Diferenciais, 2026.