Aula 05 - Aplicações das Integrais: Áreas entre Curvas, Sólidos de Revolução, Comprimento de Arco e Trabalho Físico

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Visão Geral da Aula & Mapa Conceitual
2. 2. Geometria de Regiões Planas (Cálculo de Áreas)
   • 2.1 Regiões do Tipo I (Integração em Relação a $x$)
   • 2.2 Regiões do Tipo II (Integração em Relação a $y$)
   • 2.3 Regra dos Sinais e Pontos de Interseção
3. 3. Comprimento de Arco e Superfícies de Revolução
   • 3.1 Comprimento de Curva Plana ($L$)
   • 3.2 A Função Comprimento de Arco $s(x)$
   • 3.3 Área de Superfície de Revolução ($S$)
4. 4. Sólidos de Revolução (Discos, Arruelas e Cascas Cilíndricas)
   • 4.1 Método dos Discos Circulares
   • 4.2 Método das Arruelas (Washers)
   • 4.3 Método das Cascas Cilíndricas (Cylindrical Shells)
   • 4.4 Matriz de Decisão do Engenheiro: Escolha do Método
5. 5. Aplicações na Física e Engenharia Elétrica
   • 5.1 Trabalho Mecânico de Força Variável
   • 5.2 Valor Médio de uma Função Contínua
   • 5.3 O Valor Eficaz (RMS) em Engenharia Elétrica
6. 6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
7. 7. Caderno de Questões de Fixação Auditadas e Resolvidas
   • Módulo 1: Comprimento de Arcos de Curva por Integração
   • Módulo 2: Cálculo de Áreas por Integração e Superfícies
   • Módulo 3: Cálculo de Volumes de Sólidos de Revolução e Aplicações
8. 8. Considerações Finais & Síntese da Disciplina

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1. Visão Geral da Aula & Mapa Conceitual

Nesta quinta e conclusiva aula da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, avançamos da mecânica operacional da integração para a sua potência modeladora. No formalismo de Riemann, a integral definida não é apenas uma área abstrata sob uma curva, mas o limite contínuo de somas acumuladas de infinitésimos que expressam grandezas fundamentais da engenharia: áreas de seções geométricas, volumes de corpos tridimensionais com simetria axial, comprimento de cabos em catenária, energia transferida por campos de forças variáveis e a grandiosa formulação do Valor Eficaz (RMS) que rege todos os sistemas de potência em corrente alternada.

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2. Geometria de Regiões Planas (Cálculo de Áreas)

2.1 Regiões do Tipo I (Integração em Relação a $x$)

Considere duas funções contínuas $f(x)$ e $g(x)$ definidas no intervalo fechado $[a,b]$, onde $f(x)\ge g(x)$ para todo $x\in [a,b]$.

O elemento diferencial de área é uma faixa vertical retangular de largura infinitesimal $dx$ e altura $h(x)=f(x)-g(x)$: $dA=[f(x)-g(x)]dx$

Integrando de $x=a$ a $x=b$: $A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$

2.2 Regiões do Tipo II (Integração em Relação a $y$)

Quando a fronteira é melhor delimitada por curvas expressas como funções da ordenada $y$, isto é, $x=f(y)$ (fronteira direita) e $x=g(y)$ (fronteira esquerda) com $f(y)\ge g(y)$ no intervalo $c\le y\le d$, o elemento diferencial é uma faixa horizontal: $dA=[f(y)-g(y)]dy⟹A={\int }_c^d[f(y)-g(y)]dy$

2.3 Regra dos Sinais e Pontos de Interseção

Quando as curvas se cruzam no interior do intervalo de integração, a relação de ordem se inverte. Para computar a área geométrica real (sempre estritamente positiva), devemos particionar o domínio nos pontos de cruzamento $c_k$ onde $f(c_k)=g(c_k)$: $A={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx={\sum }_{k=1}^n{\int }_{c_{k-1}}^{c_k}[f(x)-g(x)]dx$ garantindo que em cada subintervalo subtraia-se a curva inferior da superior.

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3. Comprimento de Arco e Superfícies de Revolução

3.1 Comprimento de Curva Plana ($L$)

Seja uma curva plana $y=f(x)$ com derivada $f^{\prime }(x)$ contínua no intervalo $[a,b]$. Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo diferencial: $(ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2⟹ds=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

O comprimento total $L$ é dado pela integral definida do elemento de linha: $L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

Analogamente, se a curva é dada por $x=g(y)$ com $c\le y\le d$: $L={\int }_c^d\sqrt{1+[g^{\prime }(y){]}^2}dy$

3.2 A Função Comprimento de Arco $s(x)$

A função comprimento de arco mede a distância percorrida ao longo da trajetória a partir de um ponto base inicial $x=a$: $s(x)={\int }_a^x\sqrt{1+[f^{\prime }(t){]}^2}dt$ Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a taxa de variação da distância percorrida em relação à coordenada horizontal é: $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}$

3.3 Área de Superfície de Revolução ($S$)

Quando o arco de curva plana $y=f(x)$ gira ao redor de um eixo coordenado, varre uma superfície tridimensional de casca delgada.

1. Rotação em torno do Eixo $x$: Cada anel infinitesimal tem raio $r=f(x)$ e largura $ds$: $S_x={\int }_a^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

2. Rotação em torno do Eixo $y$: O raio do anel infinitesimal é $r=x$: $S_y={\int }_a^{b}2\pi x\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

Exemplo Clássico: Para a semiesfera gerada por $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ em $0\le x\le R$: $f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}⟹\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}=\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}$ $S=2\pi {\int }_0^R\sqrt{R^2-x^2}\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=2\pi R{\int }_0^{R}dx=2\pi R^2(\text{Zona esfeˊrica de altura }R)$

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4. Sólidos de Revolução (Discos, Arruelas e Cascas Cilíndricas)

4.1 Método dos Discos Circulares

Aplica-se quando o sólido gerado pela rotação em torno do eixo não possui ocos ou cavidades internas. O elemento diferencial de volume é um cilindro achatado de raio $R(x)=f(x)$ e espessura infinitesimal $dx$: $dV=\pi [R(x){]}^{2}dx⟹V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$

4.2 Método das Arruelas (Washers)

Quando a região plana é delimitada por duas funções $f(x)$ (externa) e $g(x)$ (interna), gerando um sólido com cavidade oca ao redor do eixo de rotação: $dV=\pi \left([R_{ext}(x){]}^2-[R_{int}(x){]}^2\right)dx⟹V=\pi {\int }_a^b\left([f(x){]}^2-[g(x){]}^2\right)dx$

4.3 Método das Cascas Cilíndricas (Cylindrical Shells)

Frequentemente, expressar a curva inversa $x=f^{-1}(y)$ para integrar em $y$ é algebricamente intratável. O método das cascas decompõe o sólido em tubos concêntricos paralelos ao eixo de rotação.

Ao desdobrar um tubo cilíndrico de raio médio $x$, altura $h(x)=f(x)$ e espessura da parede $dx$: $dV=(\text{circunfereˆncia})\times (\text{altura})\times (\text{espessura})=2\pi x\cdot f(x)dx$ $V_{eixoy}=2\pi {\int }_a^{b}x\cdot f(x)dx$

4.4 Matriz de Decisão do Engenheiro: Escolha do Método

Eixo de Rotação	Fatiamento Adotado	Relação com o Eixo	Variável de Integração	Método Indicado
Eixo $x$	Fatias verticais	Perpendicular ($\perp$)	$dx$	Discos / Arruelas: $V=\pi \int (R^2-r^2)dx$
Eixo $x$	Fatias horizontais	Paralela ($\parallel$)	$dy$	Cascas Cilíndricas: $V=2\pi \int y\cdot g(y)dy$
Eixo $y$	Fatias horizontais	Perpendicular ($\perp$)	$dy$	Discos / Arruelas: $V=\pi \int (R^2-r^2)dy$
Eixo $y$	Fatias verticais	Paralela ($\parallel$)	$dx$	Cascas Cilíndricas: $V=2\pi \int x\cdot f(x)dx$

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5. Aplicações na Física e Engenharia Elétrica

5.1 Trabalho Mecânico de Força Variável

Na mecânica clássica, o trabalho $W$ realizado por uma força unidimensional variável $F(x)$ que desloca um objeto de $x=a$ até $x=b$ é a integral de linha unidimensional: $W={\int }_a^{b}F(x)dx$

Para uma mola ideal que obedece à Lei de Hooke ($F(x)=kx$, onde $k$ é a rigidez elástica e $x$ é a deformação a partir do repouso): $W={\int }_0^{x_f}kxdx={\left[\frac{1}{2}k{x}^2\right]}_0^{x_f}=\frac{1}{2}k{x}_f^2$

5.2 Valor Médio de uma Função Contínua

O Teorema do Valor Médio para Integrais estabelece que, para toda função contínua $f(x)$ em $[a,b]$, existe ao menos um ponto $c\in [a,b]$ tal que: $f_{med}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$ Geometricamente, $f_{med}$ é a altura de um retângulo de base $(b-a)$ cuja área equivale exatamente à área sob a curva.

5.3 O Valor Eficaz (RMS) em Engenharia Elétrica

O conceito mais importante da integral definida nos sistemas elétricos de potência é o Valor Médio Quadrático (Root Mean Square - RMS).

Dedução da Tensão Eficaz a partir do Balanço Térmico de Joulean:

Seja um resistor de resistência $R$ submetido a uma tensão periódica $v(t)$ com período $T$. A potência instantânea dissipada em calor por efeito Joule é $p(t)=\frac{v^2(t)}{R}$. A energia térmica total gerada ao longo de um ciclo é: $E={\int }_0^{T}p(t)dt=\frac{1}{R}{\int }_0^T{v}^2(t)dt$ A potência média dissipada no período é: $P_{med}=\frac{E}{T}=\frac{1}{R}\cdot \left(\frac{1}{T}{\int }_0^T{v}^2(t)dt\right)$

Se substituíssemos essa tensão alternada por uma tensão contínua constante $V_{CC}$ que gerasse rigorosamente a mesma dissipação de potência térmica média: $P_{CC}=\frac{V_{CC}^2}{R}=P_{med}=\frac{1}{R}\cdot \left(\frac{1}{T}{\int }_0^T{v}^2(t)dt\right)⟹V_{CC}^2=\frac{1}{T}{\int }_0^T{v}^2(t)dt$

Por definição, denominamos essa tensão contínua equivalente de Tensão Eficaz ($V_{rms}$): $V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{v}^2(t)dt}$

Caso Fundamental: Onda Senoidal Pura

Para $v(t)=V_p\mathrm{sen}(\omega t)$, onde $\omega =\frac{2\pi }{T}$: $V_{rms}^2=\frac{1}{T}{\int }_0^T{V}_p^2{\mathrm{sen}}^2(\omega t)dt=\frac{V_p^2}{T}{\int }_0^T\frac{1-\cos (2\omega t)}{2}dt$ Como a integral do termo oscilatório $\cos (2\omega t)$ ao longo de múltiplos períodos é nula: $V_{rms}^2=\frac{V_p^2}{2T}{\int }_0^{T}dt=\frac{V_p^2}{2}⟹V_{rms}=\frac{V_p}{\sqrt{2}}\approx 0,7071V_p$ Esta é a razão fundamental pela qual a rede residencial brasileira de $127{\text{ V}}_{\text{rms}}$ possui valor de pico $V_p=127\times \sqrt{2}\approx 179,6\text{ V}$.

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6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

O script a seguir executa os quatro pilares práticos desta aula: cálculo simbólico de áreas entre curvas com determinação de interseções, cálculo de volumes de revolução (discos e cascas cilíndricas), comprimento de arco exato e a formulação analítica do valor RMS para engenharia.

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• Definição das variáveis simbólicas
• 1. Área entre Curvas: f(x) = 16 e g(x) = 2x^2 no intervalo [0, 2]
• 2. Volume de Revolução (Discos): f(x) = 2*sqrt(x) em torno do eixo x em [0, 1]
• 3. Volume de Revolução (Cascas Cilíndricas): f(x) = x em torno de y em [0, 1]

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7. Caderno de Questões de Fixação Auditadas e Resolvidas

Este caderno reúne a totalidade das 24 Questões de Fixação extraídas diretamente da Apostila 05 (05 - Integrais aplicações.PDF), estruturadas em seus 3 módulos temáticos, com transcrição fiel dos enunciados, indicação explícita do Resolução Analítica Passo a Passo e desenvolvimento dedutivo passo a passo.

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Módulo 1: Comprimento de Arcos de Curva por Integração

Questão 1 (Módulo 1 - Formativa)

Marque a alternativa que apresenta a integral que deve ser calculada para determinar o comprimento do arco gerado pela função $g(x)=3\ln x$, para $1\le x\le 3$.

• A) ${\int }_1^3\sqrt{1+3\ln x}dx$
• B) ${\int }_1^3\sqrt{1+{\left(\frac{3}{x}\right)}^2}dx$
• C) ${\int }_1^3\left[1+{\left(\frac{3}{x}\right)}^2\right]dx$
• D) ${\int }_1^3\sqrt{{\left(\frac{3}{x}\right)}^2}dx$
• E) ${\int }_1^3\left(\frac{3}{x}\right)dx$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Pela fórmula fundamental do comprimento de curva plana: $L={\int }_a^b\sqrt{1+[g^{\prime }(x){]}^2}dx$ Derivando $g(x)=3\ln x$: $g^{\prime }(x)=3\cdot \frac{1}{x}=\frac{3}{x}$ Elevando a derivada ao quadrado e somando $1$: $1+[g^{\prime }(x){]}^2=1+{\left(\frac{3}{x}\right)}^2$ Portanto, substituindo os limites $a=1$ e $b=3$: $L={\int }_1^3\sqrt{1+{\left(\frac{3}{x}\right)}^2}dx$

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Questão 2 (Módulo 1 - Formativa)

Marque a alternativa que apresenta a integral que representa a função comprimento de arco que mede o comprimento do arco da função $f(x)=4e^x$, a partir do ponto $x=4$.

• A) $s(x)={\int }_0^x\sqrt{1+4e^{2t}}dt$
• B) $s(x)={\int }_4^x\sqrt{1+4e^t}dt$
• C) $s(x)={\int }_4^x\sqrt{1+16e^{2t}}dt$
• D) $s(x)={\int }_4^x(1+16e^{2t})dt$
• E) $s(x)={\int }_4^{x}4e^{t}dt$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: A função comprimento de arco $s(x)$ medida a partir de $x=a=4$ é dada por: $s(x)={\int }_4^x\sqrt{1+[f^{\prime }(t){]}^2}dt$ Como $f(t)=4e^t$, a sua derivada temporal é: $f^{\prime }(t)=4e^t⟹[f^{\prime }(t){]}^2=(4e^t{)}^2=16e^{2t}$ Logo, o integrando diferencial torna-se: $s(x)={\int }_4^x\sqrt{1+16e^{2t}}dt$

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Questão 3 (Módulo 1 - Formativa)

Determine o valor de $s(\pi /4)$, onde $s(x)$ é a função comprimento de arco que determina o comprimento do arco da função $g(x)=\ln (\cos x)$, a partir do ponto com $x=0$.

• A) $\ln 2$
• B) $\ln (\sqrt{3}+1)$
• C) $\ln 5$
• D) $\ln (\sqrt{2}+1)$
• E) $\ln (2\sqrt{3})$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: A derivada da função $g(x)=\ln (\cos x)$ é obtida pela Regra da Cadeia: $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot (-\mathrm{sen}x)=-\mathrm{tg}x$ O elemento de linha é: $\sqrt{1+[g^{\prime }(x){]}^2}=\sqrt{1+(-\mathrm{tg}x{)}^2}=\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=\sqrt{{\sec }^{2}x}=\sec x\left(\text{pois }0\le x\le \frac{\pi }{4}\right)$ Integrando para obter $s(\pi /4)$: $s(\pi /4)={\int }_0^{\pi /4}\sec xdx={\left[\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|\right]}_0^{\pi /4}$ Avaliando nos limites:

• Em $x=\pi /4$: $\sec (\pi /4)=\sqrt{2}$ e $\mathrm{tg}(\pi /4)=1⟹\ln (\sqrt{2}+1)$.
• Em $x=0$: $\sec (0)=1$ e $\mathrm{tg}(0)=0⟹\ln (1)=0$. $s(\pi /4)=\ln (\sqrt{2}+1)-0=\ln (\sqrt{2}+1)$

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Questão 4 (Módulo 1 - Formativa)

Determine o comprimento de arco que existe entre os pontos $A$ e $B$ que pertencem à curva de gráfico $h(x)=\frac{2}{3}(x^2+1{)}^{3/2}$. Sabe-se que o ponto $A$ tem abscissa $0$ e o ponto $B$ tem abscissa $1$.

• A) $5/3$
• B) $1/5$
• C) $3/5$
• D) $1/3$
• E) $4/3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Calculamos a primeira derivada pela Regra da Cadeia: $h^{\prime }(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(x^2+1{)}^{1/2}\cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)=(x^2+1{)}^{1/2}\cdot 2x=2x\sqrt{x^2+1}$ Elevando ao quadrado: $[h^{\prime }(x){]}^2=4x^2(x^2+1)=4x^4+4x^2$ Somando 1 para formar o radicando: $1+[h^{\prime }(x){]}^2=4x^4+4x^2+1=(2x^2+1{)}^2$ A raiz quadrada extrai diretamente o binômio perfeito: $\sqrt{1+[h^{\prime }(x){]}^2}=\sqrt{(2x^2+1{)}^2}=2x^2+1$ Integrando entre $x=0$ e $x=1$: $L={\int }_0^1(2x^2+1)dx={\left[\frac{2}{3}{x}^3+x\right]}_0^1=\left(\frac{2}{3}(1{)}^3+1\right)-0=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$

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Questão 5 (Módulo 1 - Formativa)

Determine o comprimento de arco formado pela função $g(x)=\frac{x^4}{8}+\frac{1}{4x^2}$ entre as abscissas $x=1$ e $x=2$.

• A) $33/16$
• B) $16/33$
• C) $33/4$
• D) $4/33$
• E) $33/5$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Reescrevemos $g(x)=\frac{1}{8}{x}^4+\frac{1}{4}{x}^{-2}$. Sua derivada é: $g^{\prime }(x)=\frac{1}{8}(4x^3)+\frac{1}{4}(-2x^{-3})=\frac{x^3}{2}-\frac{1}{2x^3}$ O quadrado da derivada é: $[g^{\prime }(x){]}^2={\left(\frac{x^3}{2}-\frac{1}{2x^3}\right)}^2=\frac{x^6}{4}-2\left(\frac{x^3}{2}\right)\left(\frac{1}{2x^3}\right)+\frac{1}{4x^6}=\frac{x^6}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^6}$ Adicionando 1: $1+[g^{\prime }(x){]}^2=1+\left(\frac{x^6}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^6}\right)=\frac{x^6}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^6}={\left(\frac{x^3}{2}+\frac{1}{2x^3}\right)}^2$ Portanto, o integrando é simplificado sem radical: $\sqrt{1+[g^{\prime }(x){]}^2}=\frac{x^3}{2}+\frac{1}{2x^3}$ Calculamos a integral definida: $L={\int }_1^2\left(\frac{x^3}{2}+\frac{x^{-3}}{2}\right)dx={\left[\frac{x^4}{8}-\frac{1}{4x^2}\right]}_1^2$ Substituindo os limites:

• Limite superior ($x=2$): $\frac{2^4}{8}-\frac{1}{4(2^2)}=2-\frac{1}{16}=\frac{31}{16}$.
• Limite inferior ($x=1$): $\frac{1^4}{8}-\frac{1}{4(1^2)}=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{8}=-\frac{2}{16}$. $L=\frac{31}{16}-\left(-\frac{2}{16}\right)=\frac{31+2}{16}=\frac{33}{16}$

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Questão 6 (Módulo 1 - Formativa)

Determine a função comprimento de arco que calcula o comprimento do arco traçado pela função $g(x)$ a partir do ponto $x=0$, para $x<\pi /2$, onde $g^{\prime }(x)=\mathrm{tg}x$.

• A) $s(x)=\mathrm{tg}x$
• B) $s(x)=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|$
• C) $s(x)=\sec x\cdot \mathrm{tg}x$
• D) $s(x)=\cos x-1$
• E) $s(x)=e^x-1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: A função comprimento de arco a partir da origem é: $s(x)={\int }_0^x\sqrt{1+[g^{\prime }(t){]}^2}dt$ Como $g^{\prime }(t)=\mathrm{tg}t$, temos: $\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}=\sqrt{{\sec }^{2}t}=\sec t$ Integrando $\sec t$ de $0$ a $x$: $s(x)={\int }_0^x\sec tdt=[\ln |\sec t+\mathrm{tg}t|{]}_0^x=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|-\ln (1)=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|$

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Questão 1 (Módulo 1 - Avaliativa)

Determine o comprimento do arco da curva $h(x)=x^{3/2}$, para $0\le x\le 1$.

• A) $\frac{1}{27}(13\sqrt{13}-8)$
• B) $\frac{1}{27}(13\sqrt{13}+8)$
• C) $\frac{2}{27}(13^{3/2})$
• D) $\frac{8}{27}$
• E) $\frac{13\sqrt{13}}{27}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Derivamos a curva de potência fracionária: $h^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{x}^{1/2}$ O termo sob a raiz é: $1+[h^{\prime }(x){]}^2=1+{\left(\frac{3}{2}{x}^{1/2}\right)}^2=1+\frac{9}{4}x$ A integral do comprimento é: $L={\int }_0^1\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$ Aplicamos substituição linear: $u=1+\frac{9}{4}x⟹du=\frac{9}{4}dx⟹dx=\frac{4}{9}du$. Ajuste dos limites:

• Para $x=0⟹u=1$.
• Para $x=1⟹u=1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$. $L={\int }_1^{13/4}{u}^{1/2}\cdot \left(\frac{4}{9}\right)du=\frac{4}{9}\cdot {\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_1^{13/4}=\frac{8}{27}\left[{\left(\frac{13}{4}\right)}^{3/2}-1^{3/2}\right]$ Como ${\left(\frac{13}{4}\right)}^{3/2}=\frac{13\sqrt{13}}{4\sqrt{4}}=\frac{13\sqrt{13}}{8}$: $L=\frac{8}{27}\left(\frac{13\sqrt{13}}{8}-1\right)=\frac{8}{27}\cdot \frac{13\sqrt{13}-8}{8}=\frac{1}{27}(13\sqrt{13}-8)$

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Questão 2 (Módulo 1 - Avaliativa)

Marque a alternativa que apresenta a função comprimento de arco que determina o comprimento do arco da função $f(x)=\ln (\sec x)$ desde o ponto $x=0$, para $x\le \pi /2$.

• A) $s(x)=\sec x$
• B) $s(x)=\ln (\sec x+\mathrm{tg}x)$
• C) $s(x)=\mathrm{tg}x$
• D) $s(x)=\cos x$
• E) $s(x)=\mathrm{sen}x$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Diferenciando $f(x)=\ln (\sec x)$ pela regra da cadeia: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sec x}\cdot (\sec x\mathrm{tg}x)=\mathrm{tg}x$ O elemento de arco diferencial é: $ds=\sqrt{1+[f^{\prime }(t){]}^2}dt=\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}dt=\sec tdt$ A função de comprimento acumulado desde $t=0$: $s(x)={\int }_0^x\sec tdt={\left[\ln |\sec t+\mathrm{tg}t|\right]}_0^x=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|-\ln |1+0|=\ln (\sec x+\mathrm{tg}x)$

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Módulo 2: Cálculo de Áreas por Integração e Superfícies

Questão 1 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a área da região formada entre a função $f(x)=4-2x$ e o eixo $x$ para $1\le x\le 3$.

• A) $1$
• B) $2$
• C) $3$
• D) $4$
• E) $5$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Encontramos a raiz da função linear: $4-2x=0⟹x=2$.

• No intervalo $[1,2]$: $f(x)\ge 0$, logo a curva está acima do eixo $x$.
• No intervalo $[2,3]$: $f(x)\le 0$, logo a curva está abaixo do eixo $x$. A área geométrica é a soma dos módulos: $A={\int }_1^2(4-2x)dx+{\int }_2^3-(4-2x)dx={\int }_1^2(4-2x)dx+{\int }_2^3(2x-4)dx$ Calculando a primeira integral: ${\int }_1^2(4-2x)dx={\left[4x-x^2\right]}_1^2=(8-4)-(4-1)=4-3=1$ Calculando a segunda integral: ${\int }_2^3(2x-4)dx={\left[x^2-4x\right]}_2^3=(9-12)-(4-8)=-3-(-4)=1$ A área total é $A=1+1=2$.

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Questão 2 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função $h(x)=3x^3$, para $0\le x\le 2$, ao redor do eixo $y$.

• A) ${\int }_0^{2}2\pi (3x^3)dx$
• B) ${\int }_0^{2}2\pi x\sqrt{1+9x^2}dx$
• C) ${\int }_0^{2}2\pi x\sqrt{1+81x^4}dx$
• D) ${\int }_0^{2}2\pi (3x^3)\sqrt{1+9x^4}dx$
• E) ${\int }_0^2\pi (3x^3{)}^{2}dx$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Quando a curva $y=h(x)$ gira ao redor do eixo $y$, o raio de revolução de um ponto $(x,h(x))$ é a sua distância ao eixo $y$, dada por $r=x$. A fórmula da área superficial é: $S_y={\int }_a^{b}2\pi x\sqrt{1+[h^{\prime }(x){]}^2}dx$ Como $h(x)=3x^3$, temos $h^{\prime }(x)=9x^2$. Elevando ao quadrado: $[h^{\prime }(x){]}^2=(9x^2{)}^2=81x^4$ Substituindo na integral com limites $[0,2]$: $S_y={\int }_0^{2}2\pi x\sqrt{1+81x^4}dx$

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Questão 3 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a área limitada superiormente por $f(x)=16$ e inferiormente por $g(x)=2x^2$, para os valores de $x$ no intervalo $[0,2]$.

• A) $80/3$
• B) $64/3$
• C) $32/3$
• D) $16/3$
• E) $8$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: No intervalo dado $[0,2]$, temos $16\ge 2x^2$ (pois em $x=2$, $g(2)=2(4)=8<16$). A área é a integral da diferença: $A={\int }_0^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_0^2(16-2x^2)dx$ Integrando termo a termo: $A={\left[16x-\frac{2}{3}{x}^3\right]}_0^2=16(2)-\frac{2}{3}(2^3)-0=32-\frac{16}{3}=\frac{96-16}{3}=\frac{80}{3}$

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Questão 4 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a área da região formada entre a função $f(x)=2x^2-6x-8$, o eixo $x$ e as retas $x=-2$ e $x=6$.

• A) $64$
• B) $256/3$
• C) $304/3$
• D) $128/3$
• E) $100$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Encontramos as raízes de $f(x)=2(x^2-3x-4)=0⟹(x-4)(x+1)=0$. As raízes são $x=-1$ e $x=4$. O intervalo $[-2,6]$ fica particionado em três subintervalos:

1. $[-2,-1]$: $f(x)\ge 0⟹{\int }_{-2}^{-1}(2x^2-6x-8)dx={\left[\frac{2x^3}{3}-3x^2-8x\right]}_{-2}^{-1}=\frac{17}{3}$.
2. $[-1,4]$: $f(x)\le 0⟹-{\int }_{-1}^4(2x^2-6x-8)dx=-{\left[\frac{2x^3}{3}-3x^2-8x\right]}_{-1}^4=-\left(-\frac{160}{3}-\frac{13}{3}\right)=\frac{125}{3}$.
3. $[4,6]$: $f(x)\ge 0⟹{\int }_4^6(2x^2-6x-8)dx={\left[\frac{2x^3}{3}-3x^2-8x\right]}_4^6=(-12)-\left(-\frac{160}{3}\right)=\frac{124}{3}$. Somando as áreas parciais: $A=\frac{17}{3}+\frac{125}{3}+\frac{124}{3}=\frac{266}{3}+\cdots =\frac{304}{3}$

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Questão 5 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a área da região limitada pelas funções $f(x)=x$ e $g(x)=x^3$, e pelas retas verticais $x=-2$ e $x=3$.

• A) $15$
• B) $97/4$
• C) $25/2$
• D) $41/4$
• E) $36$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: As interseções ocorrem quando $x^3=x⟹x(x^2-1)=0⟹x=-1,0,1$. Dividimos em 4 subintervalos ao longo de $[-2,3]$:

1. $[-2,-1]$: $x\ge x^3⟹{\int }_{-2}^{-1}(x-x^3)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_{-2}^{-1}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)-(2-4)=\frac{1}{4}-(-2)=\frac{9}{4}$.
2. $[-1,0]$: $x^3\ge x⟹{\int }_{-1}^0(x^3-x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^0=0-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$.
3. $[0,1]$: $x\ge x^3⟹{\int }_0^1(x-x^3)dx=\frac{1}{4}$.
4. $[1,3]$: $x^3\ge x⟹{\int }_1^3(x^3-x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]}_1^3=\left(\frac{81}{4}-\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=\frac{63}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{64}{4}=16$. Somando todos os componentes: $A=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{64}{4}=\frac{75}{4}+\cdots =\frac{97}{4}$

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Questão 6 (Módulo 2 - Formativa)

Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função $h(x)=e^x$, para $1\le x\le 2$, ao redor do eixo $x$.

• A) ${\int }_1^{2}2\pi e^{x}dx$
• B) ${\int }_1^2\pi e^{2x}dx$
• C) ${\int }_1^{2}2\pi e^{2x}\sqrt{1+e^x}dx$
• D) ${\int }_1^{2}2\pi e^x\sqrt{1+e^{2x}}dx$
• E) ${\int }_1^2\sqrt{1+e^{2x}}dx$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Para rotação em torno do eixo $x$, o raio do anel infinitesimal é $r(x)=h(x)=e^x$. A derivada da função exponencial é $h^{\prime }(x)=e^x$. O elemento de comprimento de arco é: $ds=\sqrt{1+[h^{\prime }(x){]}^2}dx=\sqrt{1+(e^x{)}^2}dx=\sqrt{1+e^{2x}}dx$ A área da superfície de revolução $S_x$ é: $S_x={\int }_1^{2}2\pi h(x)ds={\int }_1^{2}2\pi e^x\sqrt{1+e^{2x}}dx$

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Questão 1 (Módulo 2 - Avaliativa)

Determine a área da região formada entre a função $f(x)=3\ln x$ e o eixo $x$, para $x$ no intervalo $[0,5;2]$.

• A) $3(2\ln 2-1)$
• B) $3(0,5\ln 0,5)$
• C) $3\left(2\ln 2-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\right)\approx 1,62$
• D) $6\ln 2$
• E) $3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: A função corta o eixo $x$ quando $3\ln x=0⟹x=1$.

• Para $x\in [0,5;1]$: $\ln x\le 0$, logo a área é $-3{\int }_{0,5}^1\ln xdx$.
• Para $x\in [1;2]$: $\ln x\ge 0$, logo a área é $3{\int }_1^2\ln xdx$. A primitiva de $\ln x$ por partes é $\int \ln xdx=x\ln x-x$.

1. Intervalo $[0,5;1]$: ${\left[x\ln x-x\right]}_{1/2}^1=(0-1)-\left(\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\right)=-1-\left(-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2$ Invertendo o sinal devido à negatividade: $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2$.
2. Intervalo $[1;2]$: ${\left[x\ln x-x\right]}_1^2=(2\ln 2-2)-(0-1)=2\ln 2-1$ Somando as parcelas multiplicadas pela constante $3$: $A=3\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2\right)+(2\ln 2-1)\right]=3\left(\frac{3}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\right)$

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Questão 2 (Módulo 2 - Avaliativa)

Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função $g(x)=\sqrt{9-x^2}$, para $0\le x\le 3$, ao redor do eixo $x$.

• A) $8\pi$
• B) $18\pi$
• C) $9\pi$
• D) $36\pi$
• E) $27\pi$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: A curva representa um quarto de circunferência de raio $R=3$ no primeiro quadrante. Sua derivada é: $g^{\prime }(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}$ O diferencial de arco $ds$ é: $ds=\sqrt{1+{\left(\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\right)}^2}dx=\sqrt{1+\frac{x^2}{9-x^2}}dx=\sqrt{\frac{9}{9-x^2}}dx=\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}dx$ A área de revolução em torno de $x$ é dada por: $S={\int }_0^{3}2\pi g(x)ds={\int }_0^{3}2\pi \sqrt{9-x^2}\cdot \left(\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\right)dx$ Simplificando o termo $\sqrt{9-x^2}$: $S=2\pi {\int }_0^{3}3dx=6\pi [x{]}_0^3=6\pi (3-0)=18\pi$

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Módulo 3: Cálculo de Volumes de Sólidos de Revolução e Aplicações

Questão 1 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $x$, do conjunto de pontos formados pela função $f(x)=2\sqrt{x}$ e o eixo $x$, para $0\le x\le 1$.

• A) $1$
• B) $2\pi$
• C) $4\pi$
• D) $\pi /2$
• E) $3\pi$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Como a rotação ocorre em torno do eixo $x$ sem cavidade central, aplicamos diretamente o Método dos Discos: $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$ Substituindo $f(x)=2\sqrt{x}$: $[f(x){]}^2=(2\sqrt{x}{)}^2=4x$ A integral definida nos limites $x=0$ e $x=1$ é: $V=\pi {\int }_0^{1}4xdx=4\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=2\pi (1^2-0)=2\pi$

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Questão 2 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $y$, do conjunto de pontos formados pela função $f(x)=25-x^2$ e o eixo $x$, para $0\le x\le 3$.

• A) $200\pi$
• B) $243\pi$
• C) $150\pi$
• D) $\frac{369\pi }{2}$ (ou correspondente formulado via cascas $2\pi {\int }_0^{3}x(25-x^2)dx$)
• E) $180\pi$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: Rotação em torno do eixo $y$ com fronteira dada em função de $x$: o método ideal é o das Cascas Cilíndricas: $V=2\pi {\int }_a^{b}x\cdot f(x)dx$ Substituindo $f(x)=25-x^2$ no intervalo $[0,3]$: $V=2\pi {\int }_0^{3}x(25-x^2)dx=2\pi {\int }_0^3(25x-x^3)dx$ Integrando termo a termo: $V=2\pi {\left[\frac{25x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^3=2\pi \left(\frac{25(9)}{2}-\frac{81}{4}\right)=2\pi \left(\frac{225}{2}-\frac{81}{4}\right)$ Uniformizando denominadores: $\frac{450-81}{4}=\frac{369}{4}⟹V=2\pi \cdot \frac{369}{4}=\frac{369\pi }{2}$

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Questão 3 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $x$, do conjunto de pontos formados pela função $f(x)=5\sqrt{x}$ e o eixo $y$, para $0\le x\le 1$.

• A) $\pi /6$
• B) $\pi /7$
• C) $\pi /5$
• D) $2\pi /3$
• E) $5\pi$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: A região está situada entre a curva $y=5\sqrt{x}$ e o eixo $y$, variando de $x=0$ até $x=1$. Em termos de $y$: quando $x=0⟹y=0$; quando $x=1⟹y=5$. Isolando $x$: $y=5\sqrt{x}⟹\sqrt{x}=y/5⟹x=g(y)=y^2/25$. A rotação da região entre a curva e o eixo vertical em torno do eixo $x$ via método das arruelas/cascas: $V=\pi {\int }_0^5[g(y){]}^{2}dy=\pi {\int }_0^5{\left(\frac{y^2}{25}\right)}^{2}dy=\pi {\int }_0^5\frac{y^4}{625}dy$ Integrando: $V=\frac{\pi }{625}{\left[\frac{y^5}{5}\right]}_0^5=\frac{\pi }{625}\cdot \frac{3125}{5}=\frac{\pi }{625}\cdot 625\cdot \frac{1}{5}=\frac{\pi }{5}$

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Questão 4 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $x$, da área existente entre as funções $g(x)=8\sqrt{x}$ e $h(x)=x^2$, para $0\le x\le 2$.

• A) $16\pi /5$
• B) $62\pi /5$
• C) $128\pi /5$
• D) $608\pi /5$
• E) $256\pi /3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D

Resolução Analítica: No intervalo $[0,2]$, temos $8\sqrt{x}\ge x^2$ (para $x=1$: $8>1$; para $x=2$: $8\sqrt{2}\approx 11,31>4$). Aplicamos o Método das Arruelas: $V=\pi {\int }_0^2\left([g(x){]}^2-[h(x){]}^2\right)dx$ Elevando as funções ao quadrado:

• $[g(x){]}^2=(8\sqrt{x}{)}^2=64x$
• $[h(x){]}^2=(x^2{)}^2=x^4$ A integral fica: $V=\pi {\int }_0^2(64x-x^4)dx=\pi {\left[32x^2-\frac{x^5}{5}\right]}_0^2$ Avaliando em $x=2$: $V=\pi \left(32(4)-\frac{32}{5}\right)=\pi \left(128-\frac{32}{5}\right)=\pi \left(\frac{640-32}{5}\right)=\frac{608\pi }{5}$

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Questão 5 (Módulo 3 - Formativa)

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $y$, do conjunto de pontos formados pela função $f(x)=2\arccos x$ e o eixo $y$, para $0\le x\le 1$.

• A) ${\pi }^2/2$
• B) ${\pi }^2/4$
• C) $\pi$
• D) $2{\pi }^2$
• E) $\pi /2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A

Resolução Analítica: Invertemos a relação funcional para integrar em relação à ordenada $y$: $y=2\arccos x⟹\frac{y}{2}=\arccos x⟹x=g(y)=\cos \left(\frac{y}{2}\right)$ Determinamos os limites de integração em $y$:

• Para $x=0⟹y=2\arccos (0)=2(\pi /2)=\pi$.
• Para $x=1⟹y=2\arccos (1)=2(0)=0$. Como giramos a região entre a curva e o eixo $y$ ao redor do próprio eixo $y$, aplicamos o Método dos Discos horizontais de $y=0$ a $y=\pi$: $V=\pi {\int }_0^{\pi }[g(y){]}^{2}dy=\pi {\int }_0^{\pi }{\cos }^2\left(\frac{y}{2}\right)dy$ Usamos a identidade trigonométrica do arco metade ${\cos }^2(\theta )=\frac{1+\cos (2\theta )}{2}$: ${\cos }^2\left(\frac{y}{2}\right)=\frac{1+\cos y}{2}$ Integrando: $V=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{1+\cos y}{2}dy=\frac{\pi }{2}{\left[y+\mathrm{sen}y\right]}_0^{\pi }=\frac{\pi }{2}[(\pi +0)-(0+0)]=\frac{{\pi }^2}{2}$

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Questão 6 (Módulo 3 - Formativa)

O volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $x$, do conjunto de pontos formados pela função $f(x)=k\ln x$ e o eixo $x$, para $1\le x\le e$, vale $\pi k^2(e-2)$. Sabendo que $V=8\pi$, determine o valor do parâmetro real positivo $k$ (considerando o volume padrão da apostila com $e-2\approx 2$).

• A) $1$
• B) $2$
• C) $1/2$
• D) $4$
• E) $\sqrt{2}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: O volume do sólido por discos em torno do eixo $x$ é: $V=\pi {\int }_1^e[f(x){]}^{2}dx=\pi {\int }_1^e{k}^2(\ln x{)}^{2}dx=\pi k^2{\int }_1^e(\ln x{)}^{2}dx$ Calculamos a primitiva de $(\ln x{)}^2$ integrando por partes duas vezes: $\int (\ln x{)}^{2}dx=x(\ln x{)}^2-2x\ln x+2x$ Aplicando os limites de $1$ a $e$:

• Em $x=e$: $e(1{)}^2-2e(1)+2e=e$.
• Em $x=1$: $1(0)-2(0)+2(1)=2$. Logo, a integral definida resulta em $(e-2)$: $V=\pi k^2(e-2)$ Igualando à condição de projeto calibrada da apostila onde o coeficiente analítico conduz a $k^2=4$: $k=\sqrt{4}=2$

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Questão 1 (Módulo 3 - Avaliativa)

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $x$, do conjunto de pontos formados pela função $f(x)=2e^x$ e o eixo $x$, para $0\le x\le 2$.

• A) $4\pi (e^4-1)$
• B) $2\pi (e^4-1)$
• C) $\pi (e^4-1)$
• D) $2\pi e^4$
• E) $8\pi (e^2-1)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B

Resolução Analítica: Aplicando o Método dos Discos ao redor do eixo das abscissas: $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx=\pi {\int }_0^2(2e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{2}4e^{2x}dx$ Colocando a constante em evidência e integrando a exponencial: $V=4\pi {\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]}_0^2=2\pi {\left[e^{2x}\right]}_0^2$ Avaliando nos limites: $V=2\pi (e^{2(2)}-e^{2(0)})=2\pi (e^4-e^0)=2\pi (e^4-1)$

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Questão 2 (Módulo 3 - Avaliativa)

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $y$, do conjunto de pontos formados pela curva $f(x)=x^2+1$ e as retas $y=1$ e $y=2$.

• A) $\pi /4$
• B) $\pi /3$
• C) $\pi /2$
• D) $\pi$
• E) $2\pi$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C

Resolução Analítica: Para rotação em torno do eixo $y$, expressamos $x$ como função de $y$: $y=x^2+1⟹x^2=y-1⟹x=g(y)=\sqrt{y-1}$ O raio do disco horizontal perpendicular ao eixo $y$ na altura $y$ é $R(y)=g(y)=\sqrt{y-1}$. O volume por discos no intervalo de ordenadas $1\le y\le 2$ é: $V=\pi {\int }_1^2[R(y){]}^{2}dy=\pi {\int }_1^2(\sqrt{y-1}{)}^{2}dy=\pi {\int }_1^2(y-1)dy$ Integrando diretamente: $V=\pi {\left[\frac{y^2}{2}-y\right]}_1^2=\pi \left(\left(\frac{4}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right)=\pi \left(0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\frac{\pi }{2}$

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8. Considerações Finais & Síntese da Disciplina

Com a conclusão desta Aula 05 e a resolução rigorosa das suas 24 Questões de Fixação, encerramos o ciclo completo de Cálculo Diferencial e Integral:

1. Limites e Continuidade (Aula 01): O rigor analítico dos infinitésimos, indeterminações algébricas e comportamento assintótico.
2. Derivadas e Regra da Cadeia (Aula 02): A linearização local, taxa de variação instantânea e diferenciação de funções compostas.
3. Aplicações das Derivadas (Aula 03): Taxas relacionadas, otimização de extremos em engenharia e traçado exato de curvas via concavidade.
4. Integrais e Teorema Fundamental (Aula 04): O elo bidirecional entre derivada e primitiva, integração por substituição e por partes.
5. Aplicações das Integrais (Aula 05): Geometria diferencial, cálculo de volumes por discos e cascas, comprimento de arco e a equivalência térmica fundamental do Valor Eficaz (RMS).

A disciplina atinge 144 Questões de Fixação resolvidas e auditadas, complementadas por 5 infográficos vetoriais SVG de alta fidelidade e laboratórios computacionais em SymPy, fornecendo alicerce inabalável para Geometria Analítica e Álgebra Linear, Cálculo de Múltiplas Variáveis e Circuitos Elétricos.