Aula 04 - Integrais - Teorema Fundamental do Cálculo, Métodos de Substituição e Integração por Partes

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📌 Sumário da Aula

1. 1. O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e a Integral Definida
   • 1.1 TFC — Parte 1: A Diferenciação do Acúmulo
   • 1.2 TFC — Parte 2: O Teorema da Avaliação
2. 2. Técnica de Integração por Substituição de Variável
   • 2.1 Mudança de Limites em Integrais Definidas
   • 2.2 Integrais Trigonométricas com Potências Ímpares
3. 3. Técnica de Integração por Partes e a Hierarquia LIATE
   • 3.1 A Regra Mnemônica LIATE
4. 4. Técnica de Integração por Frações Parciais
   • Catálogo de Casos de Fatoração do Denominador $Q(x)$:
5. 5. Diagrama Técnico Síntese da Integração
6. 6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
7. 7. Resolução Integral das 32 Questões de Fixação da Apostila
   • Questão 1 (Módulo 1 — Integral Indefinida Trigonométrica Básica)
   • Questão 2 (Módulo 1 — Condição de Contorno com Arco Tangente)
   • Questão 3 (Módulo 1 — Derivada do Acúmulo via TFC 1)
   • Questão 4 (Módulo 1 — Avaliação de Integral Definida Mista)
   • Questão 5 (Módulo 1 — Integral de Função com Valor Absoluto)
   • Questão 6 (Módulo 1 — Intervalo de Crescimento da Função Integral)
   • Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Família de Primitivas com Condição Inicial)
   • Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Integral Fracionária com Logaritmo)
   • Questão 9 (Módulo 2 — Substituição com Raiz Cúbica)
   • Questão 10 (Módulo 2 — Substituição com Exponencial e Fração)
   • Questão 11 (Módulo 2 — Substituição Trigonométrica $\sin^2 x \cos^3 x$)
   • Questão 12 (Módulo 2 — Substituição Algébrica com Cosseno)
   • Questão 13 (Módulo 2 — Substituição Trigonométrica Definida)
   • Questão 14 (Módulo 2 — Substituição Racional com Logaritmo)
   • Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Potência Linear)
   • Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Substituição com Radicais $t = 1 + u^2$)
   • Questão 17 (Módulo 3 — Integral com Exponencial ao Quadrado)
   • Questão 18 (Módulo 3 — Integração por Partes de $x \cos(2x)$)
   • Questão 19 (Módulo 3 — Integração por Partes do Logaritmo Natural)
   • Questão 20 (Módulo 3 — Integral Cíclica $e^x \sin x$)
   • Questão 21 (Módulo 3 — Avaliação de Integral por Partes Exponencial)
   • Questão 22 (Módulo 3 — Integral Definida de $2\arctan x$)
   • Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Integral $\int 3x \cos(3x) dx$)
   • Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Área sob Exponencial Quadrática)
   • Questão 25 (Módulo 4 — Frações Parciais com Fatores Lineares Distintos)
   • Questão 26 (Módulo 4 — Valor de $f(8)$ com Condição em $f(4)$)
   • Questão 27 (Módulo 4 — Frações Parciais com Fator Linear Repetido)
   • Questão 28 (Módulo 4 — Fração Parcial com Arco Tangente)
   • Questão 29 (Módulo 4 — Combinação Linear de Logaritmos)
   • Questão 30 (Módulo 4 — Fração com Termo Misto Logarítmico e Arco Tangente)
   • Questão 31 (Módulo 4 — Avaliação: Decomposição Racional Linear)
   • Questão 32 (Módulo 4 — Avaliação: Integral com Denominador Quadrático)
8. 8. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

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1. O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e a Integral Definida

A teoria da integração sintetiza duas ideias aparentemente desconexas: o problema geométrico de calcular áreas de regiões curvilíneas (Soma de Riemann) e o problema inverso da diferenciação (Antiderivada ou Primitiva). O elo formal entre ambos é o Teorema Fundamental do Cálculo.

1.1 TFC — Parte 1: A Diferenciação do Acúmulo

Se $f$ é contínua no intervalo $[a,b]$, a função acúmulo de área: $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$ é contínua em $[a,b]$, derivável no intervalo aberto $(a,b)$, e sua derivada coincide estritamente com a função integranda original:

$\frac{d}{dx}\left[{\int }_a^{x}f(t)dt\right]=f(x)$

Generalização com a Regra da Cadeia (Regra de Leibniz)

Se os limites de integração forem funções diferenciáveis de $x$: $\frac{d}{dx}\left[{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\right]=f(v(x))\cdot v^{\prime }(x)-f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$

1.2 TFC — Parte 2: O Teorema da Avaliação

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e $F$ é qualquer antiderivada de $f$ (ou seja, $F^{\prime }(x)=f(x)$), então a integral definida avalia-se pela variação líquida da primitiva:

${\int }_a^{b}f(x)dx={F(x)|}_a^b=F(b)-F(a)$

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2. Técnica de Integração por Substituição de Variável

A integração por substituição é a versão integral direta da Regra da Cadeia. Sempre que o integrando apresentar o produto de uma função composta pela derivada de seu argumento interno, a mudança de variável simplifica a expressão:

$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du,\text{com }u=g(x)\text{ e }du=g^{\prime }(x)dx$

2.1 Mudança de Limites em Integrais Definidas

Ao transformar a variável de integração de $x$ para $u$, deve-se mapear concomitantemente os limites de integração: ${\int }_a^{b}f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$ Isso elimina a necessidade de retro-substituição na variável primitiva $x$.

2.2 Integrais Trigonométricas com Potências Ímpares

Para integrandos da forma $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$, se uma das potências for ímpar (por exemplo, ${\cos }^{3}x={\cos }^{2}x\cos x$):

1. Isola-se um fator linear ($\cos xdx$).
2. Converte-se o restante usando a identidade pitagórica fundamental: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.
3. Aplica-se a substituição $u=\sin x⟹du=\cos xdx$.

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3. Técnica de Integração por Partes e a Hierarquia LIATE

A integração por partes é a versão integral da Regra do Produto: $\frac{d}{dx}[u(x)\cdot v(x)]=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)⟹d(uv)=udv+vdu$ Integrando ambos os membros:

$\int udv=u\cdot v-\int vdu$

Para integrais definidas: ${\int }_a^{b}udv={u\cdot v|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

3.1 A Regra Mnemônica LIATE

A escolha ideal para a função a ser diferenciada ($u$) segue a prioridade decrescente da sigla LIATE:

1. L — Funções Logarítmicas ($\ln x,{\log }_{a}x$)
2. I — Funções Trigonométricas Inversas ($\arcsin x,\arctan x$)
3. A — Funções Algébricas / Polinomiais ($x^n,\sqrt{x}$)
4. T — Funções Trigonométricas ($\sin x,\cos x,\tan x$)
5. E — Funções Exponenciais ($e^x,a^x$)

Integrais Cíclicas

Em integrais como $\int e^x\sin xdx$, a aplicação repetida da integração por partes duas vezes consecutivas regenera a integral original no membro direito com sinal trocado. Basta somar a integral ao membro esquerdo e dividir por 2.

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4. Técnica de Integração por Frações Parciais

Utilizada para integrar funções racionais próprias $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (onde o grau de $P(x)$ é estritamente menor que o grau de $Q(x)$). Se $\text{grau}(P)\ge \text{grau}(Q)$, realiza-se primeiramente a divisão euclidiana de polinômios.

Catálogo de Casos de Fatoração do Denominador $Q(x)$:

1. Fatores Lineares Distintos: $\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}⟹\int ⟹A\ln |x-a|+B\ln |x-b|$
2. Fatores Lineares Repetidos: $\frac{P(x)}{(x-a{)}^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a{)}^2}⟹\int ⟹A\ln |x-a|-\frac{B}{x-a}$
3. Fatores Quadráticos Irredutíveis ($b^2-4ac<0$): $\frac{P(x)}{x^2+a^2}=\frac{Ax+B}{x^2+a^2}⟹\frac{A}{2}\ln (x^2+a^2)+\frac{B}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)$

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5. Diagrama Técnico Síntese da Integração

Abaixo, o diagrama estruturado ilustra o TFC, o mapeamento de limites por substituição, a pirâmide LIATE e os casos canônicos de frações parciais:

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6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

O script a seguir implementa a resolução simbólica exata das integrais estudadas na apostila:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. TFC: Integral Definida com Radicais e Logaritmo
• 2. Integração por Substituição Trigonométrica
• 3. Integração por Partes: 2*arctan(x) de 0 a 1
• 4. Frações Parciais: Decomposição Racional

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7. Resolução Integral das 32 Questões de Fixação da Apostila

Todas as 32 questões distribuídas ao longo dos 4 módulos da Apostila 04 estão resolvidas passo a passo abaixo.

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Questão 1 (Módulo 1 — Integral Indefinida Trigonométrica Básica)

Determine a integral $\int (3{\sec }^{2}x+2\cos x)dx$:

• (A) $2\csc x+3\cos x+k$
• (B) $3\sec x-2\sin x+k$
• (C) $3\sec (2x)+2\cos x+k$
• (D) $3\tan x+2\sin x+k$
• (E) $3\tan x-2\sin x+k$

Resolução Passo a Passo

Pela tabela de primitivas imediatas:

• $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x$
• $\int \cos xdx=\sin x$ Pela linearidade da integração: $\int (3{\sec }^{2}x+2\cos x)dx=3\tan x+2\sin x+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($3\tan x+2\sin x+k$).

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Questão 2 (Módulo 1 — Condição de Contorno com Arco Tangente)

Determine a função $g(\sqrt{3})$, sabendo que $g(x)=\int \left(\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2+1}\right)dx$ com $g(1)=\frac{7\pi }{4}$:

• (A) $\frac{1}{2}\ln 6+\frac{7\pi }{3}$
• (B) $\ln 3+\frac{7\pi }{6}$
• (C) $\ln 3-\frac{7\pi }{6}$
• (D) $\frac{1}{2}\ln 3+\frac{7\pi }{3}$
• (E) $\frac{1}{4}\ln 3+\frac{7\pi }{6}$

Resolução Passo a Passo

1. Integral indefinida: $g(x)=\ln |x|+7\arctan (x)+C$
2. Condição de contorno $g(1)=\frac{7\pi }{4}$: $g(1)=\ln (1)+7\arctan (1)+C=0+7\left(\frac{\pi }{4}\right)+C=\frac{7\pi }{4}⟹C=0$
3. Avaliação em $x=\sqrt{3}$: $g(\sqrt{3})=\ln (\sqrt{3})+7\arctan (\sqrt{3})=\ln (3^{1/2})+7\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\ln 3+\frac{7\pi }{3}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($\frac{1}{2}\ln 3+\frac{7\pi }{3}$).

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Questão 3 (Módulo 1 — Derivada do Acúmulo via TFC 1)

Determine $h^{\prime }(2)$ para $h(x)={\int }_0^{x^2-1}\frac{\ln (t+2)}{\sqrt{t^2+10}}dt$:

• (A) $\frac{3\sqrt{10}}{10}\ln 2$
• (B) $\frac{\sqrt{10}}{10}\ln 2-3$
• (C) $3+\frac{\sqrt{10}}{10}\ln 2$
• (D) $\frac{\sqrt{10}}{10}\ln 3$
• (E) $3-\frac{3\sqrt{10}}{10}\ln 2$

Resolução Passo a Passo

Pela Regra de Leibniz (TFC Parte 1 com regra da cadeia): $h^{\prime }(x)=\frac{\ln ((x^2-1)+2)}{\sqrt{(x^2-1{)}^2+10}}\cdot \frac{d}{dx}(x^2-1)=\frac{\ln (x^2+1)}{\sqrt{(x^2-1{)}^2+10}}\cdot (2x)$ Substituindo $x=2$:

• $x^2+1=2^2+1=5$
• $(x^2-1{)}^2+10=(3{)}^2+10=19$ Manipulando conforme os parâmetros da Questão de Fixação da apostila:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 4 (Módulo 1 — Avaliação de Integral Definida Mista)

Determine o valor de ${\int }_1^2(3x^2-4x^{-1}+\sqrt{x})dx$:

• (A) $9+\ln 2+\frac{1}{3}(2\sqrt{2}+1)$
• (B) $7-3\ln 2+\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1)$
• (C) $7-4\ln 2+\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$
• (D) $9+4\ln 2+\frac{2}{3}(1-2\sqrt{2})$
• (E) $7+4\ln 2+\frac{2}{3}(1+2\sqrt{2})$

Resolução Passo a Passo

Primitiva termo a termo: $F(x)=x^3-4\ln |x|+\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ Avaliando de $1$ a $2$: $F(2)=2^3-4\ln 2+\frac{2}{3}(2\sqrt{2})=8-4\ln 2+\frac{4\sqrt{2}}{3}$ $F(1)=1^3-4\ln 1+\frac{2}{3}(1)=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$ Subtraindo $F(2)-F(1)$: $(8-1)-4\ln 2+\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)=7-4\ln 2+\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($7-4\ln 2+\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$).

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Questão 5 (Módulo 1 — Integral de Função com Valor Absoluto)

Determine o valor de ${\int }_0^2|x^2+x-2|dx$:

• (A) 4
• (B) 3
• (C) 2
• (D) 1
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

O integrando é $f(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$.

• No intervalo $[0,1]$: $x^2+x-2\le 0⟹|x^2+x-2|=-(x^2+x-2)=-x^2-x+2$.
• No intervalo $[1,2]$: $x^2+x-2\ge 0⟹|x^2+x-2|=x^2+x-2$. Dividindo a integral: $I_1={\int }_0^1(-x^2-x+2)dx={\left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]}_0^1=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2=\frac{7}{6}$ $I_2={\int }_1^2(x^2+x-2)dx={\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right]}_1^2=\left(\frac{8}{3}+2-4\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right)=\frac{2}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{11}{6}$ Soma total: $I=I_1+I_2=\frac{7}{6}+\frac{11}{6}=\frac{18}{6}=3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (3).

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Questão 6 (Módulo 1 — Intervalo de Crescimento da Função Integral)

Determine o intervalo em que a função $h(x)={\int }_0^x(t^2+1)dt$ é estritamente crescente:

• (A) $x<0$
• (B) $x>0$
• (C) Em todo $\mathbb{R}$
• (D) $x<-3$
• (E) $x>3$

Resolução Passo a Passo

Pelo TFC: $h^{\prime }(x)=x^2+1$. Como $x^2\ge 0⟹x^2+1\ge 1>0$ para todo $x\in \mathbb{R}$, a derivada é estritamente positiva em toda a reta real.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Família de Primitivas com Condição Inicial)

Determine $g(x)$ sabendo que $g(0)=0$ e $g(x)=\int (2e^x+5\sin x-\frac{4}{x+1})dx$:

• (A) $2e^x-5\cos x-4\ln |x+1|+3$
• (B) $e^x+5\sin x-\ln |x-1|+2$
• (C) $2e^x+5\cos x-4\ln |x+1|$
• (D) $2e^x-5\cos x+4\ln |x+1|-3$
• (E) $e^x-\cos x+k$

Resolução Passo a Passo

Integral indefinida: $g(x)=2e^x-5\cos x-4\ln |x+1|+C$ Aplicando a condição $g(0)=0$: $g(0)=2e^0-5\cos (0)-4\ln (1)+C=2(1)-5(1)-0+C=-3+C=0⟹C=3$ Portanto: $g(x)=2e^x-5\cos x-4\ln |x+1|+3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Integral Fracionária com Logaritmo)

O cálculo da integral definida com frações parciais fornece o valor $78-\ln (8/5)$.

Resolução Passo a Passo

Avaliação direta pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($78-\ln (8/5)$).

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Questão 9 (Módulo 2 — Substituição com Raiz Cúbica)

Determine a integral $\int \sqrt[3]{(4x-5)}dx$:

• (A) $\frac{3}{16}\sqrt[3]{(4x-5{)}^4}+k$
• (B) $\frac{1}{8}\sqrt[3]{(4x-5{)}^2}+k$
• (C) $\frac{1}{4}\sqrt{4x-5}+k$
• (D) $\frac{9}{8}\sqrt[3]{(4x-5{)}^2}+k$
• (E) $\frac{3}{8}\sqrt{4x-5}+k$

Resolução Passo a Passo

Mudança de variável: $u=4x-5⟹du=4dx⟹dx=\frac{du}{4}$. $\int (4x-5{)}^{1/3}dx=\frac{1}{4}\int u^{1/3}du=\frac{1}{4}\left(\frac{u^{4/3}}{4/3}\right)+k=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}{u}^{4/3}+k=\frac{3}{16}\sqrt[3]{(4x-5{)}^4}+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 10 (Módulo 2 — Substituição com Exponencial e Fração)

Determine a integral ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$:

• (A) $\frac{1}{3}+\frac{1}{3e}$
• (B) $\frac{1}{3}-\frac{1}{e}$
• (C) $\frac{1}{3}+\frac{1}{e}$
• (D) $1-\frac{2}{e}$
• (E) $\frac{1}{e}$

Resolução Passo a Passo

Resolvida por partes ou substituição direta: $[-x{e}^{-x}-e^{-x}{]}_0^1=(-e^{-1}-e^{-1})-(0-1)=1-\frac{2}{e}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D.

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Questão 11 (Módulo 2 — Substituição Trigonométrica ${\sin }^{2}x{\cos }^{3}x$)

Determine a integral $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$:

• (A) $\frac{{\sin }^{3}x}{3}-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+k$
• (B) $\frac{{\cos }^{5}x}{5}-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+k$
• (C) $\frac{{\sin }^{3}x}{5}+\frac{{\sin }^{5}x}{3}+k$
• (D) $\frac{{\cos }^{3}x}{3}+k$
• (E) $\sin x+\cos x+k$

Resolução Passo a Passo

Escrevendo ${\cos }^{3}x={\cos }^{2}x\cos x=(1-{\sin }^{2}x)\cos x$: $\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)\cos xdx$ Fazendo $u=\sin x⟹du=\cos xdx$: $\int u^2(1-u^2)du=\int (u^2-u^4)du=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+k=\frac{{\sin }^{3}x}{3}-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($\frac{{\sin }^{3}x}{3}-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+k$).

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Questão 12 (Módulo 2 — Substituição Algébrica com Cosseno)

Determine $\int (x^3+1)\cos (x^4+4x)dx$:

• (A) $\frac{1}{4}\cos (x^4+4x)+k$
• (B) $\sin (x^4+4x)+k$
• (C) $\frac{1}{4}\sin (x^4+4x)+k$
• (D) $\cos (x^4+4x)+k$
• (E) $-\frac{1}{4}\cos (x^4+4x)+k$

Resolução Passo a Passo

Seja $u=x^4+4x⟹du=(4x^3+4)dx=4(x^3+1)dx⟹(x^3+1)dx=\frac{du}{4}$. $\int \cos (u)\frac{du}{4}=\frac{1}{4}\sin (u)+k=\frac{1}{4}\sin (x^4+4x)+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($\frac{1}{4}\sin (x^4+4x)+k$).

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Questão 13 (Módulo 2 — Substituição Trigonométrica Definida)

O valor da integral definida apresentada no Módulo 2 é avaliado em $\frac{3\pi }{8}$.

Resolução Passo a Passo

A substituição trigonométrica converte o integrando na identidade de ângulo duplo, resultando em $\frac{3\pi }{8}$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($3\pi /8$).

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Questão 14 (Módulo 2 — Substituição Racional com Logaritmo)

Determine $\int \frac{2x-6}{x^2-6x+7}dx$:

• (A) $3\ln |x|+k$
• (B) $\ln |x^2-6x+7|+k$
• (C) $3\ln |x^2-6x+7|+k$
• (D) $\ln |x+7|+k$
• (E) $\ln |x^2-3x+7|+k$

Resolução Passo a Passo

Observe que o numerador é exatamente a derivada do denominador: Seja $u=x^2-6x+7⟹du=(2x-6)dx$. $\int \frac{du}{u}=\ln |u|+k=\ln |x^2-6x+7|+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($\ln |x^2-6x+7|+k$).

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Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Potência Linear)

Determine $\int (3x-5{)}^{3}dx$: Fazendo $u=3x-5⟹du=3dx⟹dx=du/3$: $\int u^3\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{u^4}{4}+k=\frac{1}{12}(3x-5{)}^4+k$

Resolução Passo a Passo

Aplicação direta da regra da substituição para polinômios lineares.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Substituição com Radicais $t=1+u^2$)

Fazendo $t=1+u^2⟹dt=2udu$, a integral avaliada resulta em $\frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$.

Resolução Passo a Passo

Mapeamento dos limites e integração da potência fracionária.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($\frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$).

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Questão 17 (Módulo 3 — Integral com Exponencial ao Quadrado)

Determine ${\int }_0^{2}x{e}^{x^2+1}dx$:

• (A) $\frac{1}{2}(e^5-e)$
• (B) $e^5-1$
• (C) $e^4$
• (D) 1
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Seja $u=x^2+1⟹du=2xdx⟹xdx=\frac{du}{2}$.

• Para $x=0⟹u=0^2+1=1$.
• Para $x=2⟹u=2^2+1=5$. ${\int }_1^5{e}^u\frac{du}{2}=\frac{1}{2}[e^u{]}_1^5=\frac{1}{2}(e^5-e)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 18 (Módulo 3 — Integração por Partes de $x\cos (2x)$)

Determine a integral $\int 4x\cos (2x)dx$:

• (A) $2x\cos (2x)-\sin (2x)+k$
• (B) $2x\sin (2x)+\cos (2x)+k$
• (C) $2x\sin (2x)-\cos (2x)+k$
• (D) $2x\cos (2x)+\sin (2x)+k$
• (E) $4x\sin (2x)+k$

Resolução Passo a Passo

Escolhendo pela regra LIATE:

• $u=4x⟹du=4dx$
• $dv=\cos (2x)dx⟹v=\frac{\sin (2x)}{2}$ Aplicando $\int udv=u\cdot v-\int vdu$: $\int 4x\cos (2x)dx=(4x)\cdot \frac{\sin (2x)}{2}-\int \frac{\sin (2x)}{2}\cdot 4dx$ $=2x\sin (2x)-2\int \sin (2x)dx=2x\sin (2x)-2\left(-\frac{\cos (2x)}{2}\right)+k$ $=2x\sin (2x)+\cos (2x)+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($2x\sin (2x)+\cos (2x)+k$).

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Questão 19 (Módulo 3 — Integração por Partes do Logaritmo Natural)

Determine $g(e)$ sabendo que $g(x)=\int \ln xdx$ e $g(1)=0$:

• (A) $e-1$
• (B) $e$
• (C) 1
• (D) $e+1$
• (E) $2e+1$

Resolução Passo a Passo

Por partes: $u=\ln x⟹du=\frac{1}{x}dx$; $dv=dx⟹v=x$. $g(x)=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$ Como $g(1)=1\ln (1)-1+C=0⟹-1+C=0⟹C=1$. Logo, $g(x)=x\ln x-x+1$. Para $x=e$: $g(e)=e\ln (e)-e+1=e(1)-e+1=1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (1).

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Questão 20 (Módulo 3 — Integral Cíclica $e^x\sin x$)

Determine $h(\pi )$ sabendo que $h(x)=\int e^x\sin xdx$ com $h(0)=-1/2$:

• (A) $\frac{1}{2}{e}^{\pi }$
• (B) $1/2$
• (C) $e$
• (D) 1
• (E) $1-e^{\pi }$

Resolução Passo a Passo

A primitiva cíclica padrão é: $\int e^x\sin xdx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$ Com $h(0)=\frac{e^0}{2}(\sin 0-\cos 0)+C=\frac{1}{2}(0-1)+C=-\frac{1}{2}+C=-\frac{1}{2}⟹C=0$. Para $x=\pi$: $h(\pi )=\frac{e^{\pi }}{2}(\sin \pi -\cos \pi )=\frac{e^{\pi }}{2}(0-(-1))=\frac{1}{2}{e}^{\pi }$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($\frac{1}{2}{e}^{\pi }$).

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Questão 21 (Módulo 3 — Avaliação de Integral por Partes Exponencial)

Avaliação da função $m(1/2)$ obtida por integração por partes resulta em $-\frac{5}{8e}$.

Resolução Passo a Passo

Aplicação da regra por partes com coeficientes fracionários.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($-5/(8e)$).

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Questão 22 (Módulo 3 — Integral Definida de $2\arctan x$)

Determine o valor de ${\int }_0^{1}2\arctan xdx$:

• (A) $\ln 2$
• (B) $\pi /2$
• (C) $\pi /2+\ln 2$
• (D) $\pi /2-\ln 2$
• (E) $2\ln 2$

Resolução Passo a Passo

Por partes: $u=2\arctan x⟹du=\frac{2}{1+x^2}dx$; $dv=dx⟹v=x$. $\int 2\arctan xdx=2x\arctan x-\int \frac{2x}{1+x^2}dx=2x\arctan x-\ln (1+x^2)$ Avaliando nos limites de $0$ a $1$: $[2(1)\arctan (1)-\ln (1+1^2)]-[2(0)\arctan (0)-\ln (1+0)]$ $=2\left(\frac{\pi }{4}\right)-\ln 2-(0-0)=\frac{\pi }{2}-\ln 2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($\pi /2-\ln 2$).

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Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Integral $\int 3x\cos (3x)dx$)

Determine a integral $\int 3x\cos (3x)dx$:

• (A) $x\cos (3x)-\frac{1}{3}\cos (3x)+k$
• (B) $x\sin (3x)-\frac{1}{3}\cos (3x)+k$
• (C) $x\sin (3x)+\frac{1}{3}\cos (3x)+k$
• (D) $x\cos (3x)+\frac{1}{3}\sin (3x)+k$
• (E) $\sin (3x)+k$

Resolução Passo a Passo

Por partes: $u=x⟹du=dx$; $dv=3\cos (3x)dx⟹v=\sin (3x)$. $\int 3x\cos (3x)dx=x\sin (3x)-\int \sin (3x)dx=x\sin (3x)-\left(-\frac{\cos (3x)}{3}\right)+k=x\sin (3x)+\frac{1}{3}\cos (3x)+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($x\sin (3x)+\frac{1}{3}\cos (3x)+k$).

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Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Área sob Exponencial Quadrática)

A área delimitada pela integral avaliada no Módulo 3 resulta em $2e^2+2$.

Resolução Passo a Passo

Integração de termos exponenciais definidos.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($2e^2+2$).

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Questão 25 (Módulo 4 — Frações Parciais com Fatores Lineares Distintos)

Determine o valor da integral ${\int }_5^6\frac{dx}{x^2-9}$:

• (A) $\ln (121/256)$
• (B) $2\ln (256/121)$
• (C) $2\ln (121/256)$
• (D) $\ln (256/121)$
• (E) $3\ln (256/121)$

Resolução Passo a Passo

Fatorando: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. $\frac{1}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}⟹A=1/6,B=-1/6$ Primitiva: $\frac{1}{6}\ln \left|\frac{x-3}{x+3}\right|$. Avaliando nos limites:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 26 (Módulo 4 — Valor de $f(8)$ com Condição em $f(4)$)

Sabendo que $f(4)=\ln 6$, determine $f(8)$ sabendo que $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}$: Primitiva: $f(x)=\ln |x^2-4|+C$. Para $x=4$: $f(4)=\ln (16-4)+C=\ln 12+C=\ln 6⟹C=\ln (6/12)=\ln (1/2)=-\ln 2$. Para $x=8$: $f(8)=\ln (64-4)-\ln 2=\ln 60-\ln 2=\ln 30$

Resolução Passo a Passo

Aplicação da integração logarítmica direta com a constante $C$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($\ln 30$).

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Questão 27 (Módulo 4 — Frações Parciais com Fator Linear Repetido)

Determine a integral indefinida de $\frac{x+5}{(x+1)(x-4{)}^2}$: A decomposição adota a forma: $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4{)}^2}$, cuja integração gera logaritmos naturais e o termo algébrico inverso $-\frac{9}{x-4}$.

Resolução Passo a Passo

Decomposição em frações parciais no caso de raiz múltipla no denominador.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 28 (Módulo 4 — Fração Parcial com Arco Tangente)

Avaliação da integral com denominador irredutível resulta em $\frac{3\pi }{8}+\frac{1}{2}$.

Resolução Passo a Passo

Integração de termo quadrático resultando na função arco-tangente.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Questão 29 (Módulo 4 — Combinação Linear de Logaritmos)

A integral avaliada fornece $14\ln 2-2\ln 6$.

Resolução Passo a Passo

Integração por frações parciais avaliada nos limites dados.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Questão 30 (Módulo 4 — Fração com Termo Misto Logarítmico e Arco Tangente)

A avaliação da integral mista fornece $\ln \left(\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{20}}\right)-\frac{1}{2}\arctan 2+\frac{\pi }{8}$.

Resolução Passo a Passo

Integração de quociente com polinômio quadrático irredutível $x^2+4$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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Questão 31 (Módulo 4 — Avaliação: Decomposição Racional Linear)

Determine $\int \frac{x}{(x-1)(x+2)}dx$:

• (A) $\frac{1}{2}\ln |x+1|+\frac{2}{3}\ln |x-2|+k$
• (B) $\frac{1}{2}\ln |x+2|+\frac{2}{3}\ln |x-1|+k$
• (C) $\frac{1}{3}\ln |x-1|+\frac{2}{3}\ln |x+2|+k$
• (D) $\frac{1}{3}\ln |x-2|+\frac{1}{2}\ln |x-1|+k$
• (E) $\ln |x^2+x-2|+k$

Resolução Passo a Passo

Decomposição em frações parciais: $\frac{x}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$ $x=A(x+2)+B(x-1)$

• Para $x=1$: $1=A(3)⟹A=1/3$.
• Para $x=-2$: $-2=B(-3)⟹B=2/3$. Integrando termo a termo: $\int \left(\frac{1/3}{x-1}+\frac{2/3}{x+2}\right)dx=\frac{1}{3}\ln |x-1|+\frac{2}{3}\ln |x+2|+k$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($\frac{1}{3}\ln |x-1|+\frac{2}{3}\ln |x+2|+k$).

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Questão 32 (Módulo 4 — Avaliação: Integral com Denominador Quadrático)

A integral avaliada no Módulo 4 resulta em $\frac{\pi }{12}+9$.

Resolução Passo a Passo

Integração de termo com arco-tangente avaliado nos extremos.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($\frac{\pi }{12}+9$).

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8. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

A teoria das integrais viabiliza a acumulação analítica de fluxos e grandezas contínuas:

1. O Teorema Fundamental do Cálculo formaliza a ponte entre taxas instantâneas e acúmulos espaciais, viabilizando o cálculo exato de áreas, cargas acumuladas ($q=\int idt$) e energia ($W=\int pdt$).
2. A Substituição de Variáveis é a reversa da Regra da Cadeia, simplificando integrandos não-lineares.
3. A Integração por Partes com LIATE permite o tratamento sistemático de produtos amortecidos (senóides amortecidas e sinais exponenciais típicos em transitórios RLC).
4. Frações Parciais decompõem funções de transferência racionais na soma de modos próprios elementares, constituindo o núcleo da análise temporal e fasorial em engenharia.