Aula 04 - Arquitetura e Dinâmica Eletrodinâmica de Máquinas Rotativas de Indução e Síncronas

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📍 Disciplina: 02 Conversão Eletromecânica de Energia | 🏠 Hub Principal

Metadados da Aula

• Área: 04 Sistemas Elétricos de Potência e Eletrotécnica
• Carga Horária Equivalente: 4 horas-aula teóricas e práticas
• Pré-requisitos: Aula 03 - Múltiplas Excitações, Circuitos Trifásicos em Corrente Alternada, Teoria Eletromagnética e Fasores

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📌 Sumário da Aula

1. 🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem
2. 📋 2. Sumário Executivo e Síntese Conceitual
3. ⚡ 3. Teorema de Ferraris e a Criação do Campo Girante
   • Dedução Trigonométrica da Densidade de Fluxo Resultante
   • Relação entre Velocidade Síncrona, Frequência e Número de Polos
4. 🌀 4. Dinâmica Eletromecânica da Máquina de Indução Trifásica (MIT)
   • Conceito de Escorregamento e Frequência das Correntes Rotóricas
   • Circuito Equivalente Monofásico e Resistor Fictício de Carga
   • Dedução Rigorosa da Equação de Conjugado de Kloss
5. ⚡ 5. Eletrodinâmica da Máquina Síncrona e Teoria de Blondel
   • Teoria das Duas Reações de Blondel (Eixo Direto e Quadratura)
   • Curvas V de Mordey e Controle de Potência Reativa
6. 🏭 6. Estudo de Caso Prático: Ensaio de Parâmetros e Curva Conjugado-Velocidade do MIT
7. 📝 7. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados
8. 📚 8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

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🧭 1. Contextualização e Objetivos de Aprendizagem

As máquinas elétricas rotativas de corrente alternada são a espinha dorsal de todo o sistema moderno de conversão de energia:

• Mais de $95\%$ de toda a energia elétrica gerada no planeta provém de geradores síncronos acoplados a turbinas hidráulicas, a vapor ou a gás;
• Mais de $65\%$ de toda a energia elétrica consumida no setor industrial é convertida em energia mecânica por motores de indução trifásicos (MIT), carinhosamente apelidados de “cavalos de batalha da indústria” por sua robustez, ausência de escovas e baixo custo de manutenção.

A base física unificadora de todas as máquinas rotativas de corrente alternada repousa sobre a criação do campo magnético girante no entreferro, descoberto de forma independente por Galileo Ferraris e Nikola Tesla em 1888. A velocidade mecânica com que esse campo se propaga e sua interação eletrodinâmica com os enrolamentos do rotor determinam a classificação essencial da máquina:

• Se o rotor gira exatamente na mesma velocidade do campo magnético girante ($n_r=n_s$), temos a máquina síncrona;
• Se o rotor gira com uma velocidade ligeiramente defasada da síncrona ($n_r\ne n_s$), induzindo correntes por escorregamento relativo, temos a máquina assíncrona ou de indução.

Objetivos de Aprendizagem

• Deduzir algebricamente o Teorema de Ferraris, provando que três enrolamentos espaciais defasados de $120^{\circ }$ alimentados por correntes temporais trifásicas equilibradas produzem um campo magnético girante de amplitude constante igual a $1,5B_{\text{max}}$.
• Modelar o circuito elétrico equivalente por fase do MIT, identificando o resistor fictício de conversão eletromecânica $R_r^{\prime }\frac{1-s}{s}$.
• Deduzir analiticamente a expressão clássica de Kloss para o conjugado eletromagnético do MIT em função do escorregamento.
• Aplicar a Teoria das Duas Reações de Blondel ($X_d$ e $X_q$) para modelar geradores e motores síncronos de polos salientes.
• Interpretar o diagrama fasorial da máquina síncrona, deduzindo a potência ativa e reativa em função do ângulo de carga $\delta$ e da excitação de campo.
• Analisar curvas $V$ de Mordey e ensaios normatizados de laboratório (ensaio a vazio e de rotor bloqueado).

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📋 2. Sumário Executivo e Síntese Conceitual

Aspecto / Grandeza	Motor de Indução Trifásico (MIT)	Máquina Síncrona Trifásica
Excitação do Estator	Corrente alternada trifásica simétrica	Corrente alternada trifásica simétrica
Excitação do Rotor	Induzida por escorregamento ($\text{Gaiola}$ ou Bobinado)	Corrente contínua ($\text{CC}$) ou Ímãs Permanentes
Velocidade do Rotor ($n_r$)	Sub-síncrona ($n_r<n_s$ na operação motora)	Rigorosamente síncrona ($n_r=n_s=\frac{120f}{P}$)
Frequência Rotórica	$f_r=s\cdot f_e$ ($0,5\text{ Hz}$ a $3\text{ Hz}$ em regime)	$f_r=0\text{ Hz}$ (em regime permanente CC)
Origem do Conjugado	Alinhamento eletrodinâmico entre fluxos induzidos	Alinhamento mútuo ($E_f$) + Relutância ($X_d\ne X_q$)
Controle de Fator de Potência	Sempre indutivo (consome reativos para magnetização)	Ajustável: indutivo (subexcitado) ou capacitivo (sobreexcitado)
Conjugado de Partida	Elevado ($1,5$ a $2,5\times T_{\text{nom}}$), auto-partida direta	Nulo em partida direta (requere gaiola amortecedora ou inversor)
Equação Chave de Torque	Fórmula de Kloss: $T=\frac{2T_{\text{max}}}{s/s_{\text{max}}+s_{\text{max}}/s}$	$P=\frac{3V{E}_f}{X_d}\sin \delta +\frac{3V^2}{2}\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)\sin 2\delta$

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⚡ 3. Teorema de Ferraris e a Criação do Campo Girante

Dedução Trigonométrica da Densidade de Fluxo Resultante

Considere o estator cilíndrico de uma máquina bifásica ou trifásica. Na configuração trifásica mais comum, três enrolamentos idênticos com $N$ espiras são distribuídos fisicamente na periferia interna do estator, com seus eixos magnéticos espaciais defasados mutuamente de $120^{\circ }$ mecânicos no espaço:

${\theta }_a=0^{\circ },{\theta }_b=120^{\circ },{\theta }_c=240^{\circ }$

Cada bobina, quando percorrida por corrente, gera ao longo da coordenada angular $\theta$ do entreferro uma densidade de fluxo magnético espacialmente senoidal:

$B_a(\theta )=B_{\text{max}}\cos (\theta )$

$B_b(\theta )=B_{\text{max}}\cos (\theta -120^{\circ })$

$B_c(\theta )=B_{\text{max}}\cos (\theta -240^{\circ })$

Alimentam-se esses enrolamentos com um sistema trifásico equilibrado de correntes senoidais de frequência angular ${\omega }_e=2\pi f$:

$i_a(t)=I_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t)$

$i_b(t)=I_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t-120^{\circ })$

$i_c(t)=I_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t-240^{\circ })$

A densidade de fluxo magnético instantânea gerada por cada fase é proporcional ao produto da forma de onda espacial pela corrente temporal:

$B_a(t,\theta )=B_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t)\cos (\theta )$

$B_b(t,\theta )=B_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t-120^{\circ })\cos (\theta -120^{\circ })$

$B_c(t,\theta )=B_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t-240^{\circ })\cos (\theta -240^{\circ })$

Pelo Princípio da Superposição linear em meios magnéticos não-saturados, a densidade de fluxo resultante no entreferro é a soma escalar das três componentes:

$B_{\text{res}}(t,\theta )=B_a(t,\theta )+B_b(t,\theta )+B_c(t,\theta )$

Aplicando a identidade trigonométrica do produto de cossenos $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )]$ a cada um dos três termos:

1. Fase A: $B_a=\frac{B_{\text{max}}}{2}[\cos ({\omega }_{e}t-\theta )+\cos ({\omega }_{e}t+\theta )]$
2. Fase B: $B_b=\frac{B_{\text{max}}}{2}[\cos (({\omega }_{e}t-120^{\circ })-(\theta -120^{\circ }))+\cos (({\omega }_{e}t-120^{\circ })+(\theta -120^{\circ }))]$ $B_b=\frac{B_{\text{max}}}{2}[\cos ({\omega }_{e}t-\theta )+\cos ({\omega }_{e}t+\theta -240^{\circ })]$
3. Fase C: $B_c=\frac{B_{\text{max}}}{2}[\cos (({\omega }_{e}t-240^{\circ })-(\theta -240^{\circ }))+\cos (({\omega }_{e}t-240^{\circ })+(\theta -240^{\circ }))]$ $B_c=\frac{B_{\text{max}}}{2}[\cos ({\omega }_{e}t-\theta )+\cos ({\omega }_{e}t+\theta -480^{\circ })]=\frac{B_{\text{max}}}{2}[\cos ({\omega }_{e}t-\theta )+\cos ({\omega }_{e}t+\theta -120^{\circ })]$

Somando as três parcelas:

$B_{\text{res}}(t,\theta )=\frac{3}{2}{B}_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t-\theta )+\frac{B_{\text{max}}}{2}\underset{\text{Soma de treˆs fasores equilibrados defasados de }120^{\circ }=0}{\underbrace{[\cos ({\omega }_{e}t+\theta )+\cos ({\omega }_{e}t+\theta -120^{\circ })+\cos ({\omega }_{e}t+\theta -240^{\circ })]}}$

O segundo colchete anula-se identicamente! Portanto, o campo resultante é dado por:

$\boxed{B_{\text{res}}(t,\theta )=\frac{3}{2}{B}_{\text{max}}\cos ({\omega }_{e}t-\theta )}$

Conclusão Física do Teorema de Ferraris

O campo resultante possui as seguintes propriedades essenciais:

1. Amplitude Estritamente Constante: O valor de pico é perfeitamente invariante no tempo e vale $1,5$ vezes a amplitude gerada por uma única fase ($B_{\text{gir}}=\frac{3}{2}{B}_{\text{max}}$).
2. Rotação Espacial Uniforme: O pico do campo magnético ocorre onde ${\omega }_{e}t-\theta =0⟹\theta (t)={\omega }_{e}t$. Consequentemente, o vetor campo magnético gira continuamente pelo entreferro em sentido anti-horário com velocidade angular ${\omega }_e$.
3. Inversão de Rotação: Para inverter o sentido de rotação do campo magnético girante, basta trocar a sequência de alimentação de duas fases quaisquer (por exemplo, trocar Fase B com Fase C), o que inverte o sinal de avanço temporal da onda resultante ($\cos ({\omega }_{e}t+\theta )$).

Relação entre Velocidade Síncrona, Frequência e Número de Polos

Se a máquina for enrolada para formar $P$ polos magnéticos ($p=P/2$ pares de polos), a correspondência entre o ângulo mecânico no eixo (${\theta }_{\text{mec}}$) e o ângulo elétrico das ondas (${\theta }_{\text{el}}$) é dada por:

${\theta }_{\text{el}}=\frac{P}{2}{\theta }_{\text{mec}}⟹{\omega }_e=\frac{P}{2}{\omega }_m$

Convertendo a velocidade angular mecânica ${\omega }_m$ ($\text{rad/s}$) para a velocidade de rotação $n_s$ em rotações por minuto ($\text{rpm}$), sabendo que ${\omega }_m=\frac{2\pi n_s}{60}$:

${\omega }_e=2\pi f=\frac{P}{2}\left(\frac{2\pi n_s}{60}\right)=\frac{\pi P{n}_s}{60}$

Isolando a velocidade síncrona $n_s$:

$\boxed{n_s=\frac{120\cdot f}{P}\text{[rpm]}}$

Para a frequência industrial padrão do Brasil ($f=60\text{ Hz}$):

• $P=2\text{ polos}⟹n_s=\frac{120\cdot 60}{2}=3.600\text{ rpm}$
• $P=4\text{ polos}⟹n_s=\frac{120\cdot 60}{4}=1.800\text{ rpm}$
• $P=6\text{ polos}⟹n_s=\frac{120\cdot 60}{6}=1.200\text{ rpm}$
• $P=8\text{ polos}⟹n_s=\frac{120\cdot 60}{8}=900\text{ rpm}$

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🖼️ Representação Gráfica: Campo Girante, Circuito do MIT e Equação de Kloss

A figura técnica a seguir consolida em alta definição o Teorema de Ferraris, o circuito equivalente exato do MIT e as curvas de operação da máquina síncrona:

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🌀 4. Dinâmica Eletromecânica da Máquina de Indução Trifásica (MIT)

Conceito de Escorregamento e Frequência das Correntes Rotóricas

No motor de indução, o rotor é constituído por barras condutoras curto-circuitadas por anéis terminais (rotor em gaiola de esquilo) ou por enrolamentos trifásicos conectados a anéis coletores.

Para que haja indução eletromagnética de tensão e corrente nas barras do rotor pela Lei de Faraday ($e=-d\lambda /dt$), as barras condutoras devem necessariamente “cortar” as linhas de indução do campo magnético girante do estator. Consequentemente, a velocidade mecânica do rotor $n_r$ jamais pode atingir a velocidade síncrona $n_s$ em operação motora. Se $n_r=n_s$, a velocidade relativa entre o campo e o rotor seria nula, não haveria corte de fluxo, as correntes induzidas desapareceriam e o torque cairia a zero.

Define-se a taxa de defasagem relativa de velocidade como o Escorregamento ($s$):

$\boxed{s=\frac{n_s-n_r}{n_s}=\frac{{\omega }_s-{\omega }_m}{{\omega }_s}}$

• Na partida com o rotor travado/bloqueado ($n_r=0$): $s=1$.
• Na velocidade síncrona teórica ($n_r=n_s$): $s=0$.
• Na operação motora nominal: $0<s<0,08$ (escorregamento típico entre $1\%$ e $6\%$).
• Na operação geradora (rotor tracionado acima de $n_s$): $s<0$.
• Na operação em frenagem eletrodinâmica por contra-corrente: $s>1$.

A frequência das correntes elétricas induzidas no rotor ($f_r$) é dada pela frequência de escorregamento relativo:

$\boxed{f_r=s\cdot f_e}$

Em operação nominal com $f_e=60\text{ Hz}$ e $s=0,03$ ($3\%$):

$f_r=0,03\cdot 60=1,8\text{ Hz}$

Circuito Equivalente Monofásico e Resistor Fictício de Carga

Pela teoria do transformador, a tensão induzida no rotor por fase em repouso é $E_2$. Quando o rotor gira com escorregamento $s$, a tensão induzida reduz-se para $s{E}_2$, e a reatância de dispersão do rotor torna-se $s{X}_2=s({\omega }_e{L}_{\ell 2})$. A corrente de rotor é:

$I_2=\frac{s{E}_2}{R_2+js{X}_2}=\frac{E_2}{\frac{R_2}{s}+j{X}_2}$

Dividir toda a impedância por $s$ transfere a referência de frequência do rotor para a frequência da rede do estator ($f_e$). Desse modo, o circuito do rotor pode ser conectado diretamente ao circuito do estator por meio da relação de transformação de espiras efetiva $a=N_1/N_2$.

O resistor rotórico referido ao estator ($R_2^{\prime }/s$) é matematicamente decomposto em duas parcelas em série:

$\frac{R_2^{\prime }}{s}=R_2^{\prime }+R_2^{\prime }\left(\frac{1-s}{s}\right)$

1. O primeiro termo, $R_2^{\prime }$, representa a resistência ôhmica real dos enrolamentos do rotor, responsável pelas perdas por efeito Joule no rotor ($P_{\text{joule, rot}}=3R_2^{\prime }{I}_2^{\prime 2}$).
2. O segundo termo, $R_2^{\prime }\left(\frac{1-s}{s}\right)$, é um resistor fictício puro que modela a potência mecânica total convertida no eixo do motor ($P_{\text{mec}}$).

A potência eletromagnética que cruza o entreferro ($P_{\text{gap}}$) é distribuída segundo as relações proporcionais fundamentais:

$P_{\text{gap}}=3\cdot \frac{R_2^{\prime }}{s}\cdot (I_2^{\prime }{)}^2$

$P_{\text{joule, rot}}=s\cdot P_{\text{gap}}$

$\boxed{P_{\text{mec, conv}}=(1-s)\cdot P_{\text{gap}}=3R_2^{\prime }\left(\frac{1-s}{s}\right)(I_2^{\prime }{)}^2}$

O rendimento eletromecânico intrínseco do rotor é expresso diretamente por:

${\eta }_{\text{rot}}=\frac{P_{\text{mec, conv}}}{P_{\text{gap}}}=1-s$

Dedução Rigorosa da Equação de Conjugado de Kloss

O conjugado eletromagnético interno desenvolvido pelo motor de indução é dado pelo quociente entre a potência mecânica convertida e a velocidade mecânica do rotor:

$T_{\text{fld}}=\frac{P_{\text{mec, conv}}}{{\omega }_m}=\frac{(1-s)P_{\text{gap}}}{(1-s){\omega }_s}=\frac{P_{\text{gap}}}{{\omega }_s}$

Substituindo a expressão da corrente de rotor a partir do circuito equivalente de Thévenin visto dos terminais de rotor ($V_{\text{th}},R_{\text{th}},X_{\text{th}}$):

$I_2^{\prime }(s)=\frac{V_{\text{th}}}{\sqrt{{\left(R_{\text{th}}+\frac{R_2^{\prime }}{s}\right)}^2+(X_{\text{th}}+X_2^{\prime }{)}^2}}$

O torque é:

$T(s)=\frac{3}{{\omega }_s}\cdot \frac{V_{\text{th}}^2\cdot \frac{R_2^{\prime }}{s}}{{\left(R_{\text{th}}+\frac{R_2^{\prime }}{s}\right)}^2+(X_{\text{th}}+X_2^{\prime }{)}^2}$

O conjugado máximo ($T_{\text{max}}$ ou torque de tombamento) ocorre quando a resistência aparente do rotor iguala-se à impedância de Thévenin de acoplamento (Teorema da Máxima Transferência de Potência):

$\boxed{s_{\text{max}}=\frac{R_2^{\prime }}{\sqrt{R_{\text{th}}^2+(X_{\text{th}}+X_2^{\prime }{)}^2}}}$

Desprezando a resistência do estator para simplificação analítica clássica ($R_{\text{th}}\approx 0$):

$T_{\text{max}}=\frac{3V_{\text{th}}^2}{2{\omega }_s(X_{\text{th}}+X_2^{\prime })}$

Dividindo a equação geral do torque $T(s)$ pela expressão de $T_{\text{max}}$, obtém-se a consagrada Fórmula de Kloss:

$\boxed{T(s)=\frac{2\cdot T_{\text{max}}}{\frac{s}{s_{\text{max}}}+\frac{s_{\text{max}}}{s}}}$

Interpretação das Duas Regiões da Curva de Kloss

1. Região de Baixo Escorregamento ($s\ll s_{\text{max}}$ - Regime Permanente Linear): O termo $\frac{s_{\text{max}}}{s}$ domina o denominador: $T(s)\approx 2T_{\text{max}}\cdot \frac{s}{s_{\text{max}}}\propto s$ O conjugado varia linearmente com a rotação, garantindo estabilidade natural da máquina com excelente regulação de velocidade.
2. Região de Alto Escorregamento ($s\gg s_{\text{max}}$ - Partida e Aceleração): O termo $\frac{s}{s_{\text{max}}}$ domina o denominador: $T(s)\approx 2T_{\text{max}}\cdot \frac{s_{\text{max}}}{s}\propto \frac{1}{s}$ O torque decresce com o aumento do escorregamento, o que explica por que a corrente de partida é altíssima ($6$ a $8\times I_{\text{nom}}$) enquanto o torque de partida é menor que o torque máximo.

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⚡ 5. Eletrodinâmica da Máquina Síncrona e Teoria de Blondel

Teoria das Duas Reações de Blondel (Eixo Direto e Quadratura)

Em máquinas síncronas de polos salientes (comuns em usinas hidrelétricas com turbinas Francis ou Kaplan), o entreferro não é uniforme ao longo do perímetro da máquina. Há um caminho de relutância muito menor ao longo do eixo magnético dos polos de campo (denominado eixo direto ou eixo $d$) e um caminho de alta relutância no espaço interpolar (denominado eixo em quadratura ou eixo $q$).

O engenheiro francês André Blondel propôs decompor a corrente de armadura do estator ($I_a$) em duas componentes ortogonais projetadas no referencial girante do rotor:

${\mathbf{I}}_a={\mathbf{I}}_d+{\mathbf{I}}_q$

• $I_d$: Componente de corrente no eixo direto, responsável por produzir fluxo magnetizante ou desmagnetizante alinhado com o campo dos polos do rotor. Reage com a reatância síncrona de eixo direto ($X_d$).
• $I_q$: Componente de corrente no eixo em quadratura, perpendicular ao eixo dos polos. Reage com a reatância síncrona de eixo em quadratura ($X_q$).

Devido à saliência geométrica dos polos:

$X_d>X_q$

A equação da potência ativa trifásica fornecida a um barramento de tensão $V$ é:

$\boxed{P(\delta )=\underset{\text{Poteˆncia de Excitac¸a˜o Muˊtua}}{\underbrace{\frac{3V{E}_f}{X_d}\sin \delta }}+\underset{\text{Poteˆncia de Relutaˆncia}}{\underbrace{\frac{3V^2}{2}\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)\sin (2\delta )}}}$

Onde:

• $E_f$ é a força eletromotriz interna induzida pela corrente de excitação contínua do rotor ($E_f\propto I_f$);
• $\delta$ é o ângulo de carga ou ângulo de potência (defasagem angular entre $E_f$ e a tensão terminal $V$).

Curvas V de Mordey e Controle de Potência Reativa

Um dos recursos operacionais mais notáveis da máquina síncrona no Sistema Interligado Nacional (SIN) é sua capacidade de injetar ou absorver potência reativa ($Q$) na rede simplesmente alterando a corrente de excitação contínua do rotor ($I_f$).

A equação da potência reativa fornecida por uma máquina de rotor cilíndrico liso ($X_d=X_s$) é:

$Q(\delta )=\frac{3V{E}_f}{X_s}\cos \delta -\frac{3V^2}{X_s}$

1. Operação Subexcitada ($E_f\cos \delta <V$): O gerador não produz reativos suficientes para magnetizar a si próprio e, portanto, absorve potência reativa da rede elétrica (opera com fator de potência indutivo do ponto de vista da rede como carga, ou capacitivo como gerador).
2. Operação com Excitação Normal ($E_f\cos \delta =V$): A corrente de armadura $I_a$ está em fase com a tensão $V$. A máquina opera com fator de potência unitário ($\cos \varphi =1$). A corrente de estator atinge seu valor mínimo para a potência mecânica despachada.
3. Operação Sobreexcitada ($E_f\cos \delta >V$): A corrente de campo elevada produz excesso de fluxo magnético. O gerador injeta potência reativa indutiva na rede elétrica, comportando-se exatamente como um banco de capacitores gigante, elevando a tensão da barra.

Plotando a corrente de armadura $I_a$ em função da corrente de excitação $I_f$ para diferentes patamares de potência mecânica ativa constante ($P=0\%$, $P=50\%$, $P=100\%$), obtém-se uma família de curvas características com perfil em forma da letra “V”, consagradas na literatura técnica como as Curvas V de Mordey.

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🏭 6. Estudo de Caso Prático: Ensaio de Parâmetros e Curva Conjugado-Velocidade do MIT

Descrição dos Dados de Placa e Ensaios

Um motor de indução trifásico com rotor em gaiola de $4\text{ polos}$, $60\text{ Hz}$, $380\text{ V}$ (ligação estrela), potência nominal $P_n=15\text{ kW}$ ($20\text{ cv}$), foi ensaiado em laboratório de acionamentos. Os parâmetros obtidos por fase (referidos ao estator) são:

• Resistência do estator: $R_1=0,30\Omega$
• Reatância de dispersão do estator: $X_1=0,65\Omega$
• Resistência do rotor referida ao estator: $R_2^{\prime }=0,25\Omega$
• Reatância de dispersão do rotor referida ao estator: $X_2^{\prime }=0,65\Omega$
• Reatância de magnetização: $X_m=25,0\Omega$ (muito maior que $X_1$, permitindo usar aproximação de Thévenin simplificada).

A tensão terminal de fase é:

$V_{\text{fase}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\approx 219,4\text{ V}$

A velocidade síncrona para $P=4$ e $f=60\text{ Hz}$ é:

$n_s=\frac{120\cdot 60}{4}=1.800\text{ rpm}⟹{\omega }_s=\frac{2\pi \cdot 1.800}{60}=60\pi \approx 188,5\text{ rad/s}$

Passo 1: Cálculo do Escorregamento de Conjugado Máximo ($s_{\text{max}}$)

Utilizando o circuito simplificado onde $X_{\text{total}}=X_1+X_2^{\prime }=0,65+0,65=1,30\Omega$ e $R_{\text{th}}\approx R_1=0,30\Omega$:

$s_{\text{max}}=\frac{R_2^{\prime }}{\sqrt{R_1^2+(X_1+X_2^{\prime }{)}^2}}=\frac{0,25}{\sqrt{(0,30{)}^2+(1,30{)}^2}}=\frac{0,25}{\sqrt{0,09+1,69}}=\frac{0,25}{\sqrt{1,78}}=\frac{0,25}{1,334}\approx 0,1874(18,74\%)$

A velocidade mecânica de tombamento (onde ocorre o conjugado máximo) é:

$n_{\text{tomb}}=n_s\cdot (1-s_{\text{max}})=1.800\cdot (1-0,1874)=1.800\cdot 0,8126\approx 1.463\text{ rpm}$

Passo 2: Cálculo do Conjugado Máximo ($T_{\text{max}}$)

$T_{\text{max}}=\frac{3V_{\text{fase}}^2}{2{\omega }_s\left[R_1+\sqrt{R_1^2+(X_1+X_2^{\prime }{)}^2}\right]}$

$T_{\text{max}}=\frac{3\cdot (219,4{)}^2}{2\cdot 188,5\cdot [0,30+1,334]}=\frac{3\cdot 48.136}{377\cdot 1,634}=\frac{144.409}{616}\approx 234,4\text{ N}\cdot \text{m}$

Passo 3: Cálculo do Conjugado de Partida ($T_{\text{partida}}$ no instante $s=1$)

Aplicando a equação de Kloss com $s=1$ e $s_{\text{max}}=0,1874$:

$T(s=1)=\frac{2\cdot T_{\text{max}}}{\frac{1}{s_{\text{max}}}+\frac{s_{\text{max}}}{1}}=\frac{2\cdot 234,4}{\frac{1}{0,1874}+0,1874}=\frac{468,8}{5,336+0,187}=\frac{468,8}{5,523}\approx 84,9\text{ N}\cdot \text{m}$

Relação entre conjugado de partida e conjugado máximo:

$\frac{T_{\text{partida}}}{T_{\text{max}}}=\frac{84,9}{234,4}\approx 0,362(36,2\%)$

Passo 4: Operação em Regime Nominal com Escorregamento $s=3\%$ ($0,03$)

$T(s=0,03)=\frac{2\cdot 234,4}{\frac{0,03}{0,1874}+\frac{0,1874}{0,03}}=\frac{468,8}{0,160+6,247}=\frac{468,8}{6,407}\approx 73,2\text{ N}\cdot \text{m}$

A rotação nominal é:

$n_n=1.800\cdot (1-0,03)=1.746\text{ rpm}$

A potência mecânica desenvolvida no eixo é:

$P_{\text{mec}}=T\cdot {\omega }_m=73,2\cdot \left(\frac{2\pi \cdot 1.746}{60}\right)=73,2\cdot 182,8\approx 13.380\text{ W}=13,38\text{ kW}$

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📝 7. Banco de Questões de Fixação e Concursos Auditados

Questão 01 — Petrobras / Cesgranrio — Engenheiro de Equipamentos Júnior — Elétrica

Um motor de indução trifásico de $6\text{ polos}$, $60\text{ Hz}$, possui escorregamento nominal de $4\%$ ($s=0,04$). Nessas condições, a velocidade de rotação do campo magnético girante do estator em relação à carcaça fixa da máquina e a frequência das correntes elétricas que circulam nas barras do rotor são, respectivamente:

• (A) $1.200\text{ rpm}$ e $60\text{ Hz}$
• (B) $1.152\text{ rpm}$ e $2,4\text{ Hz}$
• (C) $1.200\text{ rpm}$ e $2,4\text{ Hz}$
• (D) $1.800\text{ rpm}$ e $2,4\text{ Hz}$
• (E) $1.200\text{ rpm}$ e $0\text{ Hz}$

Resolução Comentada da Questão 01

1. A velocidade do campo magnético girante do estator em relação ao referencial fixo (carcaça) é a velocidade síncrona $n_s$: $n_s=\frac{120\cdot f}{P}=\frac{120\cdot 60}{6}=\frac{7.200}{6}=1.200\text{ rpm}$
2. A frequência das correntes elétricas induzidas no rotor depende exclusivamente do escorregamento relativo $s$: $f_r=s\cdot f_e=0,04\cdot 60\text{ Hz}=2,4\text{ Hz}$
3. Note que a velocidade mecânica do eixo do rotor é $n_r=n_s(1-s)=1.200\cdot (0,96)=1.152\text{ rpm}$, mas a questão pede a velocidade do campo girante do estator ($1.200\text{ rpm}$).

Resolução Analítica Passo a Passo: C

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Questão 02 — Eletrobras / Eletronorte — Engenheiro Eletricista — FCC

Em relação aos geradores síncronos trifásicos amplamente utilizados nas usinas hidrelétricas e termelétricas brasileiras, assinale a afirmativa correta:

• (A) Os geradores com rotor de polos salientes operam a velocidades mecânicas muito elevadas (tipicamente $3.600\text{ rpm}$) e utilizam rotor cilíndrico forjado em aço sólido para suportar as tensões centrífugas.
• (B) Ao operar um gerador síncrono conectado a uma rede infinita em regime sobreexcitado (aumentando a corrente contínua $I_f$ do rotor), a máquina passa a absorver potência reativa da rede para evitar sobretensões.
• (C) O conjugado de relutância em geradores de polos salientes decorre da diferença entre as reatâncias síncronas de eixo direto e em quadratura ($X_d\ne X_q$), sendo proporcional a $\sin (2\delta )$, o que permite a operação estável em baixos carregamentos mesmo com perda total de excitação.
• (D) A frequência da corrente gerada pelo estator é independente da rotação mecânica da turbina acoplada ao eixo da máquina.
• (E) O ângulo de carga $\delta$ representa a defasagem temporal entre a tensão terminal de fase e a corrente de fase da armadura.

Resolução Comentada da Questão 02

• A alternativa (C) é a CORRETA. A assimetria do entreferro em rotores de polos salientes faz com que a reatância de eixo direto $X_d$ seja significativamente maior que a de eixo em quadratura $X_q$. Essa variação espacial de relutância gera a parcela de potência de relutância $P_{\text{rel}}=\frac{3V^2}{2}\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)\sin (2\delta )$. Essa parcela não depende da corrente de campo $I_f$ e mantém a máquina sincronizada com a rede em cargas parciais mesmo em caso de falha de excitação.
• Análise das incorretas:
  • (A) Falso. Geradores de polos salientes são acionados por turbinas hidráulicas lentas ($n<600\text{ rpm}$). Quem opera a $3.600\text{ rpm}$ em termelétricas são os turbogeradores de rotor cilíndrico liso.
  • (B) Falso. Gerador sobreexcitado fornece potência reativa capacitiva/indutiva para a rede (eleva a tensão da barra).
  • (D) Falso. A frequência é rigidamente acoplada pela relação síncrona $f=P{n}_m/120$.
  • (E) Falso. O ângulo de carga $\delta$ é o ângulo entre a tensão terminal $V$ e a força eletromotriz interna $E_f$. A defasagem entre tensão e corrente é o ângulo de fator de potência $\varphi$.

Resolução Analítica Passo a Passo: C

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Questão 03 — Marinha do Brasil — Corpo de Engenheiros — Engenharia Elétrica

Um motor de indução trifásico possui conjugado máximo $T_{\text{max}}=200\text{ N}\cdot \text{m}$, o qual ocorre para um escorregamento de tombamento $s_{\text{max}}=0,20$. Utilizando a formulação clássica de Kloss, qual é o valor do conjugado desenvolvido pelo motor quando o escorregamento for $s=0,05$?

• (A) $47\text{ N}\cdot \text{m}$
• (B) $94\text{ N}\cdot \text{m}$
• (C) $120\text{ N}\cdot \text{m}$
• (D) $160\text{ N}\cdot \text{m}$
• (E) $190\text{ N}\cdot \text{m}$

Resolução Comentada da Questão 03

Aplicando a Fórmula de Kloss:

$T(s)=\frac{2\cdot T_{\text{max}}}{\frac{s}{s_{\text{max}}}+\frac{s_{\text{max}}}{s}}$

Substituindo os dados do problema:

• $T_{\text{max}}=200\text{ N}\cdot \text{m}$
• $s_{\text{max}}=0,20$
• $s=0,05$

Calculando as duas frações do denominador:

$\frac{s}{s_{\text{max}}}=\frac{0,05}{0,20}=0,25$

$\frac{s_{\text{max}}}{s}=\frac{0,20}{0,05}=4,00$

Somando os termos do denominador:

$\text{Denominador}=0,25+4,00=4,25$

Calculando o conjugado:

$T=\frac{2\cdot 200}{4,25}=\frac{400}{4,25}=\frac{400}{17/4}=\frac{1.600}{17}\approx 94,12\text{ N}\cdot \text{m}$

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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Questão 04 — ENADE / MEC — Engenharia Elétrica — Adaptada

Em uma indústria de transformação mecânica, um motor de indução com rotor bobinado aciona uma ponte rolante. Durante o processo de partida com carga pesada, o operador insere um banco de resistores externos em série com os enrolamentos do rotor através dos anéis coletores. A consequência direta da inserção dessa resistência adicional no circuito rotórico é:

• (A) Aumentar o valor do conjugado máximo de tombamento da máquina.
• (B) Deslocar o escorregamento onde ocorre o conjugado máximo ($s_{\text{max}}$) para valores maiores, aumentando o conjugado de partida e reduzindo a corrente de partida.
• (C) Reduzir a velocidade síncrona do campo magnético girante do estator.
• (D) Diminuir as perdas por efeito Joule totais no sistema de acionamento.
• (E) Converter a máquina de indução em um gerador síncrono.

Resolução Comentada da Questão 04

1. Pela equação de Kloss e circuito equivalente do MIT, o escorregamento de conjugado máximo é diretamente proporcional à resistência rotórica total: $s_{\text{max}}=\frac{R_2^{\prime }+R_{\text{ext}}^{\prime }}{\sqrt{R_{\text{th}}^2+(X_{\text{th}}+X_2^{\prime }{)}^2}}$
2. Ao aumentar a resistência do rotor ($R_2^{\prime }+R_{\text{ext}}^{\prime }$), o escorregamento $s_{\text{max}}$ aumenta proporcionalmente, podendo ser ajustado para $s_{\text{max}}=1$ no instante exato da partida.
3. O conjugado máximo ($T_{\text{max}}$) permanece rigorosamente constante em magnitude, pois ele depende unicamente da tensão aplicada e das reatâncias de dispersão. No entanto, o ponto de ocorrência do torque máximo é deslocado para a rotação zero ($s=1$), permitindo que o motor parta sob carga máxima com corrente de partida significativamente reduzida devido ao aumento da impedância total do rotor.

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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Questão 05 — CS-UFG — CELG D / Equatorial — Engenheiro Eletricista

Um motor síncrono trifásico opera conectado a uma rede elétrica de $13,8\text{ kV}$, acionando um compressor que consome potência mecânica constante de $2\text{ MW}$. O operador da subestação atua sobre o sistema de controle da excitação estática do rotor, aumentando gradualmente a corrente de campo $I_f$. O efeito observado nas grandezas elétricas do estator será:

• (A) A potência ativa aumentará e a corrente de armadura permanecerá invariável.
• (B) O fator de potência migrará de indutivo para capacitivo, e a corrente de armadura passará por um ponto de mínimo correspondente ao fator de potência unitário.
• (C) O conjugado eletromagnético da máquina diminuirá até provocar a perda de sincronismo do motor.
• (D) A velocidade mecânica de rotação do motor aumentará proporcionalmente à corrente de campo.
• (E) A frequência das tensões induzidas na armadura passará de $60\text{ Hz}$ para $120\text{ Hz}$.

Resolução Comentada da Questão 05

• Conforme expresso pelas Curvas V de Mordey, para uma potência mecânica ativa fixa ($P=\text{cte}=2\text{ MW}$), a corrente de armadura $I_a$ varia em formato côncavo de “V” em relação à corrente de excitação $I_f$:
  • Para correntes de campo baixas (máquina subexcitada), o motor consome reativos da rede (fator de potência indutivo) e $I_a$ é alta;
  • Ao elevar $I_f$, o motor atinge o ponto de excitação ótima onde opera com $\cos \varphi =1$, e a corrente de armadura $I_a$ atinge o valor mínimo absoluto ($I_{a,\text{min}}=P/(\sqrt{3}V)$);
  • Aumentando ainda mais $I_f$ (máquina sobreexcitada), o motor passa a fornecer potência reativa para a rede (comporta-se com fator de potência capacitivo), elevando novamente a corrente $I_a$.
• A velocidade mecânica permanece rigorosamente constante ($n=n_s$), pois trata-se de uma máquina síncrona em regime permanente acoplada à rede.

Resolução Analítica Passo a Passo: B

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📚 8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

1. FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY Jr., C.; UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: com Introdução à Eletrônica de Potência. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
2. CHAPMAN, Stephen J. Fundamentos de Máquinas Elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH / McGraw-Hill, 2013.
3. KRAUSE, Paul C.; WASYNCZUK, Oleg; PEKAREK, Scott D. Analysis of Electric Machinery and Drive Systems. 3. ed. Piscataway: IEEE Press / Wiley, 2013.
4. DEL TORO, Vincent. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
5. SEN, Paresh Chandra. Principles of Electric Machines and Power Electronics. 3. ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
6. ABNT NBR 17094-1:2018. Máquinas elétricas girantes - Motores de indução - Parte 1: Trifásicos. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro.
7. IEEE Std 112-2017. IEEE Standard Test Procedure for Polyphase Induction Motors and Generators. IEEE Industry Applications Society, New York.

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Documento homologado conforme o Padrão Ouro de Engenharia Acadêmica — Retornar ao MOC da Disciplina.