Aula 05: Linhas de Transmissão em Alta Frequência, Carta de Smith e Guias de Onda

Visão Geral & Objetivos Pedagógicos

Esta aula consolida a teoria aplicada de propagação guiada de ondas eletromagnéticas em frequências de RF e micro-ondas. Formulamos o modelo de parâmetros distribuídos ($RLGC$) e deduzimos as Equações dos Telegrafistas, definindo a impedância característica $Z_0$ e a constante de propagação $\gamma$. Analisamos os fenômenos de reflexão na carga ($Z_L$), onda estacionária e a Razão de Onda Estacionária (ROE / VSWR). Exploramos a teoria e o uso analítico da Carta de Smith para casamento de impedâncias por toco (stub matching). Por fim, investigamos os guias de onda retangulares metálicos, seus modos fundamentais $TE$ e $TM$, a frequência de corte $f_c$ e a relação relativística entre velocidade de fase ($v_p$) e de grupo ($v_g$).

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1. Mapa Conceitual da Aula

O infográfico abaixo sintetiza a célula infinitesimal $RLGC$, as relações de onda estacionária, o mapeamento conforme da Carta de Smith e a dispersão em guias de onda retangulares.

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Linhas de Transmissão em Alta Frequência, Ondas Estacionárias e Carta de Smith

Simule terminações clássicas (Linha Casada, Circuito Aberto, Curto-Circuito, Carga Puramente Reativa e Carga Complexa $R_L+j{X}_L$), visualize em tempo real as ondas progressiva e regressiva formando o padrão estacionário $|V(z)|$ e $|I(z)|$, meça ${\Gamma }_L$, $\text{ROE / VSWR}$, Perda de Retorno ($RL$) e rotacione $z_{\text{in}}(d)$ e $y_L$ na Carta de Smith Interativa: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_linhas_transmissao_ondas_estacionarias_smith.html]])

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2. Modelo de Parâmetros Distribuídos e Equações dos Telegrafistas

Quando as dimensões físicas de um circuito elétrico $l$ tornam-se comparáveis ou superiores a um décimo do comprimento de onda do sinal elétrico transmitido ($l\gtrsim 0,1\lambda$), os efeitos de retardo de propagação e de reflexão tornam-se dominantes. A teoria clássica de circuitos concentrados de Kirchhoff falha e é obrigatório o emprego da Teoria de Linhas de Transmissão com Parâmetros Distribuídos.

Uma linha de transmissão bifilar uniforme é modelada por uma cascata de células infinitesimais de comprimento $\Delta z$, descritas por quatro parâmetros distribuídos por unidade de comprimento:

• $R$: Resistência série dos condutores metálicos por unidade de comprimento ($\Omega /\text{m}$).
• $L$: Indutância série dos condutores por unidade de comprimento ($\text{H/m}$).
• $G$: Condutância de fuga transversal do meio dielétrico isolante ($\text{S/m}$).
• $C$: Capacitância transversal entre os condutores ($\text{F/m}$).

2.1 Dedução das Equações dos Telegrafistas

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) na malha da célula infinitesimal:

$v(z,t)-R\Delta zi(z,t)-L\Delta z\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+\Delta z,t)=0$

Dividindo por $\Delta z$ e tomando o limite $\Delta z\to 0$:

$-{\lim }_{\Delta z\to 0}\frac{v(z+\Delta z,t)-v(z,t)}{\Delta z}=Ri(z,t)+L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$

$\boxed{\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}}$

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) no nó superior:

$i(z,t)-G\Delta zv(z+\Delta z,t)-C\Delta z\frac{\partial v(z+\Delta z,t)}{\partial t}-i(z+\Delta z,t)=0$

Dividindo por $\Delta z$ e tomando o limite $\Delta z\to 0$:

$\boxed{\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-Gv(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}}$

Estas são as Equações dos Telegrafistas no Domínio do Tempo (Oliver Heaviside, 1885).

2.2 Formulação Fasorial no Regime Harmônico

No regime senoidal permanente com frequência angular $\omega$, substituímos $\frac{\partial }{\partial t}\to j\omega$:

$\boxed{\frac{d{V}_s(z)}{dz}=-(R+j\omega L)I_s(z)}$

$\boxed{\frac{d{I}_s(z)}{dz}=-(G+j\omega C)V_s(z)}$

Derivando a primeira equação em relação a $z$ e substituindo a segunda:

$\frac{d^2{V}_s(z)}{d{z}^2}=-(R+j\omega L)\frac{d{I}_s(z)}{dz}=-(R+j\omega L)[-(G+j\omega C)V_s(z)]$

$\boxed{\frac{d^2{V}_s(z)}{d{z}^2}-{\gamma }^2{V}_s(z)=0}\text{e}\boxed{\frac{d^2{I}_s(z)}{d{z}^2}-{\gamma }^2{I}_s(z)=0}$

Onde $\gamma$ é a Constante de Propagação da Linha:

$\boxed{\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}$

A solução geral para a onda de tensão é a superposição de uma onda incidente que propaga em $+z$ e uma onda refletida que propaga em $-z$:

$V_s(z)=V_0^{+}{e}^{-\gamma z}+V_0^{-}{e}^{+\gamma z}$

Substituindo na equação dos telegrafistas para obter a corrente:

$I_s(z)=-\frac{1}{R+j\omega L}\frac{d{V}_s(z)}{dz}=\frac{\gamma }{R+j\omega L}(V_0^{+}{e}^{-\gamma z}-V_0^{-}{e}^{+\gamma z})$

Definindo a Impedância Característica da Linha ($Z_0$):

$\boxed{Z_0=\frac{R+j\omega L}{\gamma }=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}(\Omega )}$

A corrente resultante é expressa por:

$\boxed{I_s(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}{e}^{-\gamma z}-\frac{V_0^{-}}{Z_0}{e}^{+\gamma z}=I_0^{+}{e}^{-\gamma z}-I_0^{-}{e}^{+\gamma z}}$

2.3 Linha de Transmissão Sem Perdas ($R=0,G=0$)

Para linhas com isolamento perfeito e condutores de alta condutividade em alta frequência:

$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}(\text{resisteˆncia pura real})$

$\gamma =j\omega \sqrt{LC}⟹\alpha =0\text{e}\beta =\omega \sqrt{LC}$

$v_p=\frac{\omega }{\beta }=\frac{1}{\sqrt{LC}}\text{e}\lambda =\frac{v_p}{f}=\frac{2\pi }{\beta }$

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3. Coeficiente de Reflexão, Onda Estacionária e Impedância de Entrada

Considere uma linha sem perdas de comprimento $l$, alimentada por um gerador em $z=-l$ e terminada por uma impedância de carga genérica $Z_L$ conectada na posição $z=0$.

3.1 Coeficiente de Reflexão de Tensão na Carga (${\Gamma }_L$)

Na carga ($z=0$), a razão entre tensão e corrente deve satisfazer a Lei de Ohm $V_s(0)/I_s(0)=Z_L$:

$Z_L=\frac{V_0^{+}+V_0^{-}}{\frac{V_0^{+}}{Z_0}-\frac{V_0^{-}}{Z_0}}=Z_0\frac{V_0^{+}+V_0^{-}}{V_0^{+}-V_0^{-}}$

Isolando a razão entre a amplitude da onda refletida e a onda incidente, definimos o Coeficiente de Reflexão de Tensão na Carga (${\Gamma }_L$):

$\boxed{{\Gamma }_L=\frac{V_0^{-}}{V_0^{+}}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|{\Gamma }_L|e^{j{\theta }_L}}$

• Carga Casada ($Z_L=Z_0$): ${\Gamma }_L=0$ (toda a potência é absorvida pela carga; não há reflexão).
• Curto-Circuito ($Z_L=0$): ${\Gamma }_L=-1=1e^{j\pi }$ (reflexão total com inversão de fase).
• Circuito Aberto ($Z_L\to \infty$): ${\Gamma }_L=+1=1e^{j0}$ (reflexão total em fase).
• Carga Puramente Reativa ($Z_L=j{X}_L$): $|{\Gamma }_L|=\left|\frac{j{X}_L-Z_0}{j{X}_L+Z_0}\right|\equiv 1$ (toda a energia é refletida; a carga reativa não consome potência média).

3.2 Razão de Onda Estacionária (ROE / VSWR)

A superposição da onda incidente com a refletida gera um padrão de interferência estacionária ao longo da linha. A magnitude da tensão varia periodicamente entre um valor máximo $V_{\max }$ (interferência construtiva) e um mínimo $V_{\min }$ (interferência destrutiva):

$V_{\max }=|V_0^{+}|(1+|{\Gamma }_L|)\text{e}{V}_{\min }=|V_0^{+}|(1-|{\Gamma }_L|)$

A Razão de Onda Estacionária de Tensão (VSWR ou ROE) é definida por:

$\boxed{s=\text{ROE}=\frac{V_{\max }}{V_{\min }}=\frac{1+|{\Gamma }_L|}{1-|{\Gamma }_L|}}$

• Para carga casada: $|{\Gamma }_L|=0⟹s=1,0$ (linha plana, ideal).
• Para reflexão total: $|{\Gamma }_L|=1⟹s\to \infty$ (onda puramente estacionária).
• Em engenharia de telecomunicações, transmissores toleram tipicamente $s\le 1,5$ (onde $|{\Gamma }_L|\le 0,20$, correspondendo a menos de $4\%$ de potência refletida).

3.3 A Equação da Impedância de Entrada ($Z_{\text{in}}$)

A uma distância $d=-z$ medida a partir da carga em direção ao gerador, o coeficiente de reflexão local é:

$\Gamma (d)={\Gamma }_L{e}^{-2j\beta d}$

A impedância aparente $Z_{\text{in}}(d)=V_s(-d)/I_s(-d)$ vista olhando para a carga é expressa pela fundamental Fórmula da Impedância de Entrada:

$\boxed{Z_{\text{in}}(d)=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_0\tan (\beta d)}{Z_0+j{Z}_L\tan (\beta d)}}$

3.4 Casos Especiais Notáveis

1. Linha em Curto-Circuito ($Z_L=0$): $Z_{\text{in, cc}}(d)=j{Z}_0\tan (\beta d)$
   • Se $0<d<\lambda /4$: $\tan (\beta d)>0⟹Z_{\text{in}}$ comporta-se como um indutor puro ($X_L=Z_0\tan (\beta d)$).
   • Se $\lambda /4<d<\lambda /2$: $\tan (\beta d)<0⟹Z_{\text{in}}$ comporta-se como um capacitor puro.
2. Linha em Circuito Aberto ($Z_L\to \infty$): $Z_{\text{in, ca}}(d)=-j{Z}_0\cot (\beta d)$
   • Se $0<d<\lambda /4$: $\cot (\beta d)>0⟹Z_{\text{in}}$ comporta-se como um capacitor puro ($X_C=-Z_0\cot (\beta d)$).
3. Transformador de Quarto de Onda ($d=\lambda /4⟹\beta d=\pi /2$): Dividindo numerador e denominador por $\tan (\beta d)\to \infty$: $\boxed{Z_{\text{in}}\left(\frac{\lambda }{4}\right)=\frac{Z_0^2}{Z_L}}$ Permite casar perfeitamente uma linha de impedância $Z_1$ com uma carga $Z_L$ real pura inserindo uma seção de $\lambda /4$ com impedância característica intermediária: $Z_{0,\text{transf}}=\sqrt{Z_1{Z}_L}$
4. Linha de Meia Onda ($d=\lambda /2⟹\beta d=\pi$): Como $\tan (\pi )=0$: $\boxed{Z_{\text{in}}\left(\frac{\lambda }{2}\right)=Z_L}$ Uma linha de meia onda reproduz exatamente a impedância de sua terminação.

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4. A Carta de Smith e Casamento de Impedâncias

Concebida por Phillip H. Smith em 1939, a Carta de Smith é uma representação gráfica engenhosa baseada em uma transformação conforme bilinear que mapeia todo o semiplano direito do plano complexo de impedâncias normalizadas no interior do círculo unitário do coeficiente de reflexão complexo $\Gamma$.

4.1 Equações Fundamentais dos Círculos da Carta

Definindo a impedância normalizada $z$:

$z=\frac{Z}{Z_0}=r+jx$

O coeficiente de reflexão complexo $\Gamma ={\Gamma }_r+j{\Gamma }_i$ é expresso por:

$\Gamma =\frac{z-1}{z+1}⟺z=\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }=\frac{1+({\Gamma }_r+j{\Gamma }_i)}{1-({\Gamma }_r+j{\Gamma }_i)}$

Separando as partes real e imaginária ($z=r+jx$):

$r=\frac{1-{\Gamma }_r^2-{\Gamma }_i^2}{(1-{\Gamma }_r{)}^2+{\Gamma }_i^2}\text{e}x=\frac{2{\Gamma }_i}{(1-{\Gamma }_r{)}^2+{\Gamma }_i^2}$

Reorganizando algebricamente na forma canônica de equações de circunferências:

• Círculos de Resistência Normalizada Constante ($r$): $\boxed{{\left({\Gamma }_r-\frac{r}{r+1}\right)}^2+{\Gamma }_i^2={\left(\frac{1}{r+1}\right)}^2}$ Todas as circunferências têm centros em $(\frac{r}{r+1},0)$ e raio $R_r=\frac{1}{r+1}$, passando obrigatoriamente pelo ponto de circuito aberto $(1,0)$.
• Círculos de Reatância Normalizada Constante ($x$): $\boxed{({\Gamma }_r-1{)}^2+{\left({\Gamma }_i-\frac{1}{x}\right)}^2={\left(\frac{1}{x}\right)}^2}$ Arcos ortogonais aos círculos de resistência, com centros em $(1,1/x)$ e raio $R_x=1/|x|$. O semiplano superior ($x>0$) representa reatâncias indutivas, e o inferior ($x<0$) representa reatâncias capacitivas.

4.2 Propriedades Operacionais na Carta

1. Centro da Carta: Localizado na origem $\Gamma =0$, correspondendo a $z=1+j0⟹Z=Z_0$ (condição de casamento perfeito, $s=1$).
2. Borda Externa: Círculo unitário $|\Gamma |=1$ ($r=0$, reatância pura sem dissipação).
3. Círculo de ROE Constante: Traçado com compasso centrado na origem e raio $|{\Gamma }_L|$.
4. Deslocamento na Linha:
   • Mover-se em direção ao gerador (afastando-se da carga): girar no sentido horário.
   • Mover-se em direção à carga: girar no sentido anti-horário.
   • Uma volta de $360^{\circ }$ na carta corresponde a uma translação espacial de meio comprimento de onda ($\lambda /2$).

4.3 Casamento de Impedância por Toco Simples (Single-Stub Matching)

O objetivo é conectar em paralelo (shunt) a uma distância $d$ da carga uma seção de linha de transmissão (toco ou stub) de comprimento $l_s$ terminada em curto ou aberto, de modo que a admitância vista pelo gerador torne-se casada ($Y_{\text{in}}=Y_0⟺y_{\text{in}}=1+j0$).

Procedimento Passo a Passo:

1. Converte-se a impedância da carga para admitância normalizada $y_L=1/z_L$ (ponto diametralmente oposto na carta).
2. Gira-se no sentido horário (em direção ao gerador) sobre o círculo de ROE constante até interceptar o círculo de condutância unitária ($g=1$, círculo $r=1$ no plano de admitância). A coordenada angular deste deslocamento define a distância física $d$ de posicionamento do toco.
3. Neste ponto, a admitância de entrada da linha é $y=1+jb$.
4. O toco em paralelo deve fornecer uma susceptância exatamente conjugada: $y_{\text{stub}}=-jb$
5. Determina-se o comprimento $l_s$ do toco a partir de sua terminação (curto $y\to \infty$ ou aberto $y=0$) até atingir a susceptância $-jb$. A soma das admitâncias resulta em $y_{\text{total}}=(1+jb)+(-jb)=1+j0$, eliminando integralmente as reflexões em direção à fonte.

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5. Guias de Onda Retangulares Metálicos

Em frequências na faixa de micro-ondas (acima de $1\text{ a }3\text{ GHz}$), as perdas dielétricas e o efeito pelicular em linhas coaxiais tornam-se proibitivos. Utilizam-se então tubos metálicos condutores ocos de seção transversal retangular $a\times b$ ($a>b$), denominados Guias de Onda Retangulares.

Ao contrário de linhas bifilares e coaxiais, um duto oco com um único condutor fechado não suporta o modo fundamental TEM, pois a circulação de $\vec{E}$ em qualquer laço transversal fecharia sem abraçar corrente líquida, exigindo $E=0$ em toda a seção.

5.1 Modos de Propagação: TE e TM

A propagação ocorre por reflexões oblíquas múltiplas nas paredes metálicas, dividindo-se em duas famílias modais fundamentais:

• Modos Transversais Elétricos ($T{E}_{mn}$): $E_z=0$ e $H_z\ne 0$ (o campo elétrico é puramente transversal à direção de propagação $z$).
• Modos Transversais Magnéticos ($T{M}_{mn}$): $H_z=0$ e $E_z\ne 0$ (o campo magnético é puramente transversal).

Onde os índices inteiros $m$ e $n$ indicam o número de meios-ciclos de variação senoidal dos campos ao longo das dimensões $a$ (largura) e $b$ (altura).

5.2 Frequência de Corte ($f_{c,mn}$)

Para que um modo se propague no guia com atenuação nula (regime passante), a frequência de excitação $f$ deve superar rigorosamente a sua Frequência de Corte:

$\boxed{f_{c,mn}=\frac{1}{2\pi \sqrt{\mu \epsilon }}\sqrt{{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2}=\frac{c}{2\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}\sqrt{{\left(\frac{m}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{b}\right)}^2}}$

O Comprimento de Onda de Corte é:

$\boxed{{\lambda }_{c,mn}=\frac{2}{\sqrt{{\left(\frac{m}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{b}\right)}^2}}}$

• Se $f<f_c$: A constante de propagação é puramente real ($\gamma =\alpha$). O guia atua como um atenuador exponencial (modo evanescente); não há propagação de potência.
• Se $f>f_c$: A constante de propagação é puramente imaginária ($\gamma =j{\beta }_g$). A onda propaga-se livremente.

5.3 O Modo Dominante $T{E}_{10}$

O modo que possui a menor frequência de corte (modo fundamental dominante) em um guia com $a>b$ é o modo $T{E}_{10}$ ($m=1,n=0$):

$\boxed{f_{c,10}=\frac{c}{2a\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}=\frac{v_p}{2a}}⟹\boxed{{\lambda }_{c,10}=2a}$

A Faixa de Operação Mono-Modo

Para guias comerciais com proporção padrão $a=2b$:

• Modo $T{E}_{10}$: $f_c=\frac{c}{2a}$.
• Próximos modos ($T{E}_{20}$ e $T{E}_{01}$): $f_c=\frac{c}{a}=2f_{c,10}$. O guia deve ser excitado estritamente na faixa de frequência: $1,25f_{c,10}\le f\le 1,90f_{c,10}$ Garantindo a propagação exclusiva do modo $T{E}_{10}$ e prevenindo a distorção por dispersão intermodal.

5.4 Velocidade de Fase, Velocidade de Grupo e Relação de Rayleigh

No interior do guia, a constante de fase ${\beta }_g$ é:

${\beta }_g=\beta \sqrt{1-{\left(\frac{f_c}{f}\right)}^2}=\frac{2\pi }{\lambda }\sqrt{1-{\left(\frac{f_c}{f}\right)}^2}$

O comprimento de onda no guia é maior que no espaço livre:

$\boxed{{\lambda }_g=\frac{2\pi }{{\beta }_g}=\frac{\lambda }{\sqrt{1-(f_c/f{)}^2}}>\lambda }$

1. Velocidade de Fase ($v_p$): A velocidade com que os nós e ventres de interferência se deslocam: $\boxed{v_p=\frac{\omega }{{\beta }_g}=\frac{c}{\sqrt{1-(f_c/f{)}^2}}>c}$ A velocidade de fase é superior à velocidade da luz no vácuo. Isso não viola a Teoria da Relatividade Especial de Einstein, pois a fase pura de uma onda monocromática infinita não transporta energia nem modulação de dados.
2. Velocidade de Grupo ($v_g$): A velocidade real com que um pacote de onda, pulso de energia ou envelope de sinal transita: $\boxed{v_g=\frac{d\omega }{d{\beta }_g}=c\sqrt{1-{\left(\frac{f_c}{f}\right)}^2}<c}$
3. Relação de Rayleigh: Multiplicando as duas velocidades membro a membro: $\boxed{v_p\cdot v_g=c^2}$

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6. Exercícios Oficiais e de Concursos Resolvidos Passo a Passo

Questão 1 (Problema Aplicado — Transformador de Quarto de Onda)

Enunciado: Uma linha de transmissão sem perdas de alta frequência com impedância característica $Z_1=50\Omega$ deve ser casada com uma antena puramente resistiva de carga $R_L=200\Omega$ operando em $f=600\text{ MHz}$.

1. Determine a impedância característica necessária $Z_0$ para uma seção de transformador de quarto de onda ($\lambda /4$) que realize o casamento perfeito entre a linha e a antena.
2. Calcule o comprimento físico exato $l$ da seção de quarto de onda no ar.
3. Se a antena for conectada diretamente à linha de $50\Omega$ sem o transformador, determine o coeficiente de reflexão ${\Gamma }_L$ e a razão de onda estacionária (VSWR $s$).

Resolução Passo a Passo:

1. Dimensionamento do Transformador de $\lambda /4$: Pela fórmula do transformador de quarto de onda: $Z_{\text{in}}=\frac{Z_0^2}{R_L}$ Para que a linha de $50\Omega$ veja uma impedância de entrada casada ($Z_{\text{in}}=Z_1=50\Omega$): $50=\frac{Z_0^2}{200}⟹Z_0^2=50\times 200=10000⟹\boxed{Z_0=\sqrt{10000}=100\Omega }$

2. Cálculo do Comprimento Físico ($l=\lambda /4$): No ar ($v_p\approx c=3,00\times 10^8\text{ m/s}$): $\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3,00\times 10^8\text{ m/s}}{600\times 10^6\text{ Hz}}=0,50\text{ m}=50\text{ cm}$ O comprimento físico do toco é: $l=\frac{\lambda }{4}=\frac{50\text{ cm}}{4}=12,5\text{ cm}=0,125\text{ m}$

3. Conexão Direta sem Casamento:

   • Coeficiente de reflexão: ${\Gamma }_L=\frac{R_L-Z_1}{R_L+Z_1}=\frac{200-50}{200+50}=\frac{150}{250}=+0,60$
   • Razão de Onda Estacionária: $s=\frac{1+|{\Gamma }_L|}{1-|{\Gamma }_L|}=\frac{1+0,60}{1-0,60}=\frac{1,60}{0,40}=4,0$ Análise Técnica: Com $s=4,0$, a fração de potência refletida é $|{\Gamma }_L{|}^2=(0,60{)}^2=0,36=36\%$. Mais de um terço de toda a potência do transmissor seria rejeitada e retornaria ao amplificador de potência final, provocando aquecimento destrutivo sem o transformador!

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Questão 2 (Problema Aplicado — Dimensionamento de Guia de Onda Retangular Banda X)

Enunciado: Um guia de onda retangular comercial padrão WR-90 para a Banda X possui dimensões internas $a=2,286\text{ cm}$ e $b=1,016\text{ cm}$ com preenchimento de ar (${\epsilon }_r=1,{\mu }_r=1$).

1. Determine a frequência de corte $f_{c,10}$ do modo dominante fundamental $T{E}_{10}$.
2. Determine as frequências de corte dos dois modos de ordem superior imediatos ($T{E}_{20}$ e $T{E}_{01}$).
3. Calcule o comprimento de onda no guia ${\lambda }_g$, a velocidade de fase $v_p$ e a velocidade de grupo $v_g$ quando o guia é excitado com uma frequência de operação de $f=10,0\text{ GHz}$.

Resolução Passo a Passo:

1. Frequência de Corte do Modo $T{E}_{10}$: $a=2,286\times 10^{-2}\text{ m}$ $f_{c,10}=\frac{c}{2a}=\frac{3,00\times 10^8\text{ m/s}}{2\times (2,286\times 10^{-2}\text{ m})}=\frac{3,00\times 10^8}{0,04572}\approx 6,56\times 10^9\text{ Hz}=6,56\text{ GHz}$

2. Frequências de Corte dos Modos $T{E}_{20}$ e $T{E}_{01}$:

   • Modo $T{E}_{20}$ ($m=2,n=0$): $f_{c,20}=\frac{c}{2}\sqrt{{\left(\frac{2}{a}\right)}^2}=\frac{c}{a}=2\times f_{c,10}=2\times 6,56\text{ GHz}=13,12\text{ GHz}$
   • Modo $T{E}_{01}$ ($m=0,n=1$): $b=1,016\times 10^{-2}\text{ m}$ $f_{c,01}=\frac{c}{2b}=\frac{3,00\times 10^8}{2\times (1,016\times 10^{-2})}=\frac{3,00\times 10^8}{0,02032}\approx 14,76\text{ GHz}$ Banda Mono-Modo: O guia opera com propagação livre e exclusiva do modo $T{E}_{10}$ em toda a faixa de $6,56\text{ GHz}<f<13,12\text{ GHz}$, englobando com folga a banda de radares de $8,2\text{ a }12,4\text{ GHz}$.

3. Propagação em $f=10,0\text{ GHz}$:

   • Fator de corte: $\frac{f_{c,10}}{f}=\frac{6,56}{10,0}=0,656$ $\sqrt{1-{\left(\frac{f_c}{f}\right)}^2}=\sqrt{1-(0,656{)}^2}=\sqrt{1-0,4303}=\sqrt{0,5697}\approx 0,7548$
   • Comprimento de onda no vácuo: $\lambda =\frac{c}{f}=\frac{3,00\times 10^8}{10\times 10^9}=0,030\text{ m}=3,0\text{ cm}$
   • Comprimento de onda no guia (${\lambda }_g$): ${\lambda }_g=\frac{\lambda }{\sqrt{1-(f_c/f{)}^2}}=\frac{3,0\text{ cm}}{0,7548}\approx 3,97\text{ cm}$
   • Velocidade de Fase ($v_p$): $v_p=\frac{c}{\sqrt{1-(f_c/f{)}^2}}=\frac{3,00\times 10^8}{0,7548}\approx 3,97\times 10^8\text{ m/s}>\mathbf{c}$
   • Velocidade de Grupo ($v_g$): $v_g=c\sqrt{1-{\left(\frac{f_c}{f}\right)}^2}=(3,00\times 10^8)\times 0,7548\approx 2,26\times 10^8\text{ m/s}<\mathbf{c}$
   • Conferência de Rayleigh: $v_p\cdot v_g=(3,974\times 10^8)\times (2,264\times 10^8)\approx 9,00\times 10^{16}=c^2$

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7. Resumo Estruturado & Fórmulas de Bolso

Relação / Conceito	Expressão Matemática	Unidade (SI)	Aplicação e Significado Físico
Telegrafistas (Tensão)	$\frac{\partial v}{\partial z}=-Ri-L\frac{\partial i}{\partial t}$	$\text{V/m}$	Queda de tensão por resistência e autoindução em linha.
Telegrafistas (Corrente)	$\frac{\partial i}{\partial z}=-Gv-C\frac{\partial v}{\partial t}$	$\text{A/m}$	Fuga de corrente por condução e deslocamento dielétrico.
Impedância Característica	$Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\to \sqrt{\frac{L}{C}}$	$\Omega$	Razão natural entre onda incidente de tensão e corrente.
Reflexão na Carga	${\Gamma }_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$	—	Coeficiente complexo de reflexão de tensão em $z=0$.
VSWR / ROE	$s=\frac{1+\Vert {\Gamma }_L\Vert }{1-\Vert {\Gamma }_L\Vert }$	—	Razão de onda estacionária (critério de casamento).
Impedância de Entrada	$Z_{\text{in}}(l)=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_0\tan (\beta l)}{Z_0+j{Z}_L\tan (\beta l)}$	$\Omega$	Impedância aparente refletida para os terminais da fonte.
Transformador $\lambda /4$	$Z_{\text{in}}=\frac{Z_0^2}{Z_L}$	$\Omega$	Inversor e casador de impedâncias em alta frequência.
Linha em Curto 1/4	$Z_{\text{in}}=j{Z}_0\tan (\beta l)$	$\Omega$	Fabricação de reatores indutivos e ressonadores RF.
Corte no Guia $T{E}_{10}$	$f_{c,10}=\frac{c}{2a}$	$\text{Hz}$	Frequência mínima para propagação em guia retangular.
Velocidade de Grupo	$v_g=c\sqrt{1-(f_c/f{)}^2}$	$\text{m/s}$	Velocidade real de transporte de energia e sinais.
Relação de Rayleigh	$v_p\cdot v_g=c^2$	${\text{m}}^2/{\text{s}}^2$	Vínculo fundamental entre dispersão de fase e grupo.

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8. Próximos Passos & Navegação

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