🔄 Aula 04 - Aplicação da Transformada de Laplace na Análise de Circuitos Transitórios e Funções de Rede

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📍 Disciplina: 03 Laboratório de Circuitos Elétricos | ⚡ Área: 03 Teoria Eletromagnética e Circuitos | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Transformada de Laplace na Análise de Circuitos ⬅️ Aula Anterior: 03 - Filtros Passivos e Ressonância | ➡️ Próxima Disciplina: 01 Instalações Elétricas Prediais e Industriais

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🎯 Objetivos de Aprendizagem e Competências de Engenharia

1. Fundamentação Matemática no Domínio $s$: Compreender a definição integral da Transformada Unilateral de Laplace $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$, a variável complexa $s=\sigma +j\omega$, e suas propriedades operacionais essenciais (diferenciação, integração e teoremas do valor inicial e final).
2. Modelagem de Circuitos com Condições Iniciais: Sintetizar os modelos elétricos equivalentes de resistores, indutores ($L$) com corrente inicial $i(0^{-})$ e capacitores ($C$) com tensão inicial $v(0^{-})$ no domínio $s$ nas configurações em série e paralelo.
3. Função de Transferência de Rede ($\mathbf{H}(s)$): Derivar analiticamente a relação entrada-saída em malha aberta $H(s)=Y(s)/X(s)$, identificando as frequências complexas de zeros e polos.
4. Mapeamento no Plano $s$ e Estabilidade BIBO: Mapear a localização geométrica dos polos no plano complexo $s$ e correlacioná-los estritamente aos regimes transitórios de amortecimento (sobreamortecido, criticamente amortecido e subamortecido) e ao critério de estabilidade de entrada limitada e saída limitada (BIBO).
5. Cálculo da Resposta Temporal Completa: Aplicar o método sistemático de expansão em frações parciais (resíduos de Heaviside) e a Transformada Inversa ${\mathcal{L}}^{-1}$ para determinar as respostas natural, forçada, ao degrau unitário e ao impulso, validando ensaios de chaveamento transitório com simulação computacional SPICE (.tran).

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🖼️ Visão Sinóptica: Diagrama Conceitual da Transformada de Laplace

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Transformada de Laplace, Polos no Plano $s$ e Transitórios RLC

Simule a migração dos polos $s_{1,2}=-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}$ no Semiplano Esquerdo ($\sigma <0$), observe o ângulo $\theta =\arccos (\zeta )$, o raio natural ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ e o impacto direto na resposta temporal ao degrau $v_C(t)$ e $i_L(t)$: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_circuitos_rlc_transitorios_plano_s.html]])

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1. Fundamentos da Transformada Unilateral de Laplace

A análise fasorial clássica está restrita exclusivamente a circuitos excitados por sinais senoidais puros em regime permanente. Quando um circuito elétrico sofre chaveamento brusco, chaveamento de bancos de capacitores, partida de motores ou descargas atmosféricas, o comportamento temporal é governado por equações diferenciais lineares com condições iniciais não-nulas. A Transformada de Laplace unifica e resolve integralmente a resposta completa (transitória e permanente).

1.1 Definição Integral

A Transformada Unilateral de Laplace de uma função causal no tempo $f(t)$ (onde $f(t)=0$ para $t<0$) é definida por: $\mathcal{L}\{f(t)\}\triangleq F(s)={\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ onde:

• $s=\sigma +j\omega$ é a variável de frequência complexa (${\text{s}}^{-1}$ ou Nepers/segundo + radianos/segundo);
• O limite inferior $0^{-}$ assegura a inclusão rigorosa de singularidades no instante de chaveamento $t=0$, tais como o impulso unitário de Dirac $\delta (t)$ e descontinuidades de derivadas.

1.2 Pares de Transformada Fundamentais na Engenharia Elétrica

Nome do Sinal	Domínio do Tempo $f(t)$ ($t\ge 0$)	Domínio Complexo $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$	Região de Convergência (ROC)
Impulso Unitário (Dirac)	$\delta (t)$	$1$	Todo o plano $s$
Degrau Unitário (Heaviside)	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
Rampa Unitária	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
Exponencial Decrescente	$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$	$\text{Re}\{s\}>-a$
Senoide Pura	$\sin (\omega t)u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
Cossenoide Pura	$\cos (\omega t)u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
Senoide Amortecida	$e^{-at}\sin (\omega t)u(t)$	$\frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>-a$
Cossenoide Amortecida	$e^{-at}\cos (\omega t)u(t)$	$\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>-a$

1.3 Propriedades Operacionais Determinantes

1. Diferenciação no Tempo: $\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\}=sF(s)-f(0^{-})$ $\mathcal{L}\left\{\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}\right\}=s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f^{\prime }(0^{-})$ A derivada no tempo converte-se em multiplicação por $s$, subtraindo diretamente os termos algébricos das condições iniciais pré-chaveamento $f(0^{-})$.
2. Integração no Tempo: $\mathcal{L}\left\{{\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}=\frac{F(s)}{s}$
3. Teorema do Valor Inicial (TVI): Permite calcular o valor do sinal imediatamente após o chaveamento ($t\to 0^{+}$) sem calcular a transformada inversa: ${\lim }_{t\to 0^{+}}f(t)={\lim }_{s\to \infty }sF(s)$
4. Teorema do Valor Final (TVF): Permite determinar o regime permanente assintótico ($t\to \infty$) caso todos os polos de $sF(s)$ estejam estritamente no semiplano esquerdo: ${\lim }_{t\to \infty }f(t)={\lim }_{s\to 0}sF(s)$

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2. Circuitos Equivalentes no Domínio $s$

Para analisar um circuito linear invariante no tempo com condições iniciais arbitrárias, transforma-se cada componente para seu modelo equivalente no domínio $s$.

2.1 O Resistor Ideal

No domínio do tempo, $v(t)=Ri(t)$. Aplicando Laplace: $V(s)=RI(s)⟺{\mathbf{Z}}_R(s)=R$ O resistor não armazena energia e não possui condição inicial.

2.2 O Indutor Real com Corrente Inicial $i(0^{-})$

A lei terminal no tempo é $v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$. Aplicando a propriedade da derivada: $V(s)=L[sI(s)-i(0^{-})]=sL\cdot I(s)-L\cdot i(0^{-})$

• Modelo Série: Um indutor de impedância $sL$ em série com uma fonte de tensão independente de valor $L\cdot i(0^{-})$ com polaridade oposta ao sentido de referência da corrente.
• Modelo Paralelo: Isolando $I(s)$: $I(s)=\frac{V(s)}{sL}+\frac{i(0^{-})}{s}$ Uma admitância $\frac{1}{sL}$ em paralelo com uma fonte de corrente independente de valor $\frac{i(0^{-})}{s}$ no mesmo sentido da corrente inicial.

2.3 O Capacitor Real com Tensão Inicial $v(0^{-})$

A lei terminal no tempo é $i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$. Aplicando Laplace: $I(s)=C[sV(s)-v(0^{-})]=sC\cdot V(s)-C\cdot v(0^{-})$

• Modelo Paralelo: Uma admitância $sC$ em paralelo com uma fonte de corrente independente de valor $C\cdot v(0^{-})$.
• Modelo Série: Isolando $V(s)$: $V(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{v(0^{-})}{s}$ Um capacitor de impedância $\frac{1}{sC}$ em série com uma fonte de tensão independente de valor $\frac{v(0^{-})}{s}$ com a mesma polaridade da tensão inicial.

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3. Função de Transferência de Rede, Polos, Zeros e Estabilidade

3.1 Definição da Função de Transferência $\mathbf{H}(s)$

A Função de Transferência de uma rede linear invariante no tempo (LTI) é a razão entre a Transformada de Laplace do sinal de saída $Y(s)$ e a do sinal de entrada $X(s)$, admitindo todas as condições iniciais identicamente nulas: $\mathbf{H}(s)\triangleq {\frac{Y(s)}{X(s)}|}_{\text{C.I. }=0}=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$

Fatorando os polinômios: $\mathbf{H}(s)=K\frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{k=1}^n(s-p_k)}$

• Zeros ($z_i$): Raízes do numerador $N(s)=0$. Frequências complexas nas quais a transmissão do sinal para a saída é totalmente anulada ($\mathbf{H}(z_i)=0$).
• Polos ($p_k$): Raízes do denominador $D(s)=0$. Frequências naturais intrínsecas da rede nas quais a função diverge ao infinito ($\mathbf{H}(p_k)\to \infty$).

3.2 O Plano Complexo $s$ e a Estabilidade BIBO

A estabilidade de entrada limitada e saída limitada (BIBO - Bounded-Input Bounded-Output) exige que qualquer sinal de entrada finito resulte em uma resposta estritamente limitada para todo $t\ge 0$.

Matematicamente, a resposta natural de cada polo $p_k={\sigma }_k+j{\omega }_k$ contém o termo exponencial $e^{p_{k}t}=e^{{\sigma }_{k}t}{e}^{j{\omega }_{k}t}$:

1. Estabilidade Assintótica Estrita: Todos os polos residem estritamente no Semiplano Esquerdo (SPE) do plano $s$ ($\text{Re}\{p_k\}={\sigma }_k<0$). O termo $e^{{\sigma }_{k}t}$ decai exponencialmente a zero quando $t\to \infty$. Todos os circuitos passivos RLC com perdas resistivas reais são estritamente estáveis.
2. Estabilidade Marginal: Polos simples localizam-se exatamente sobre o Eixo Imaginário $j\omega$ (${\sigma }_k=0$) e não há polos no semiplano direito. A resposta é puramente senoidal sustentada e não-amortecida ($e^{j{\omega }_{0}t}$), típica de osciladores LC ideais sem perdas.
3. Instabilidade: Um ou mais polos residem no Semiplano Direito (SPD) (${\sigma }_k>0$) ou existem polos múltiplos sobre o eixo $j\omega$. O termo $e^{+{\sigma }_{k}t}$ cresce exponencialmente sem limite, levando amplificadores reais à saturação ou oscilação destrutiva.

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4. Regimes de Amortecimento em Circuitos RLC de Segunda Ordem

A equação característica do circuito RLC de segunda ordem (série ou paralelo) é descrita por: $s^2+2\alpha s+{\omega }_0^2=0$ onde:

• ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$: frequência de ressonância natural não-amortecida ($\text{rad/s}$);
• $\alpha$: fator de amortecimento de Neper ($\text{Np/s}$), dado por: ${\alpha }_{\text{seˊrie}}=\frac{R}{2L},{\alpha }_{\text{paralelo}}=\frac{1}{2RC}$

As raízes (polos naturais) são dadas pela fórmula de Bhaskara: $s_{1,2}=-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}$

Dependendo da relação entre $\alpha$ e ${\omega }_0$, manifestam-se três regimes dinâmicos fundamentais:

4.1 Regime Sobreamortecido ($\alpha >{\omega }_0$)

• O discriminante é positivo: $\Delta ={\alpha }^2-{\omega }_0^2>0$.
• Os polos são reais, distintos e negativos: $s_1,s_2=-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}<0$.
• Resposta no tempo: $x_n(t)=A_1{e}^{s_{1}t}+A_2{e}^{s_{2}t}$
• Comportamento Físico: A alta dissipação resistiva impede qualquer oscilação. O circuito retorna lentamente à posição de repouso sem cruzar o zero.

4.2 Regime Criticamente Amortecido ($\alpha ={\omega }_0$)

• O discriminante é nulo: $\Delta =0$.
• Os polos são reais e coincidentes: $s_1=s_2=-\alpha$.
• Resposta no tempo: $x_n(t)=(A_1+A_{2}t)e^{-\alpha t}$
• Comportamento Físico: É o limiar crítico exato entre a oscilação e o amortecimento. Representa a taxa mais rápida possível de retorno ao equilíbrio sem apresentar sobre-elevação (overshoot). É o regime ideal projetado para ponteiros de galvanômetros, instrumentos de medição e servosistemas.

4.3 Regime Subamortecido ($\alpha <{\omega }_0$)

• O discriminante é negativo: $\Delta ={\alpha }^2-{\omega }_0^2<0$.
• Os polos são complexos conjugados no SPE: $s_{1,2}=-\alpha \pm j{\omega }_d$ onde ${\omega }_d\triangleq \sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}$ é a frequência angular amortecida.
• Resposta no tempo: $x_n(t)=e^{-\alpha t}\left[B_1\cos ({\omega }_{d}t)+B_2\sin ({\omega }_{d}t)\right]=C{e}^{-\alpha t}\cos ({\omega }_{d}t-\theta )$
• Comportamento Físico: A energia oscila ciclicamente entre o campo magnético de $L$ e o campo elétrico de $C$, enquanto sua amplitude é amortecida exponencialmente pela envoltória $e^{-\alpha t}$ devido às perdas em $R$. No osciloscópio de bancada, manifesta-se como uma senoide decrescente após uma excitação em degrau.

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5. Resposta ao Impulso e Convolução

A Resposta ao Impulso $h(t)$ é a transformada inversa da função de transferência: $h(t)\triangleq {\mathcal{L}}^{-1}\{\mathbf{H}(s)\}$ Como a Transformada de Laplace de um impulso unitário é $\mathcal{L}\{\delta (t)\}=1$, a saída do circuito para uma entrada em impulso é o próprio $h(t)$.

Para qualquer sinal de entrada arbitrário $x(t)$, a saída no tempo $y(t)$ é dada pela Integral de Convolução: $\boxed{y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{0^{-}}^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau ={\int }_{0^{-}}^{t}h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$ No domínio $s$, a convolução no tempo converte-se em simples produto algébrico: $Y(s)=\mathbf{H}(s)\cdot X(s)$

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6. Exercícios Resolvidos Passo a Passo e Questões de Fixação

Questão 01 (Oficial - Caderno Didático EnsineMe / UFRJ)

Enunciado: Um circuito elétrico consiste em uma fonte de tensão constante $E=10\text{ V}$ conectada em série com um resistor $R=5\Omega$ e um indutor $L=2\text{ H}$. A chave do circuito fecha-se no instante $t=0$. Sabendo que o indutor estava inicialmente desenergizado ($i(0^{-})=0$), determine: a) O modelo do circuito no domínio da frequência complexa $s$. b) A expressão analítica da corrente $I(s)$ no domínio $s$. c) A corrente no tempo $i(t)$ através da transformada inversa de Laplace. d) Verifique a corrente no instante inicial $i(0^{+})$ e no regime permanente $i(\infty )$ aplicando os teoremas do valor inicial e final.

Resolução Detalhada: a) No domínio $s$:

• Fonte de degrau: $V(s)=\mathcal{L}\{10u(t)\}=\frac{10}{s}$.
• Resistor: $R=5\Omega$.
• Indutor: como $i(0^{-})=0$, a impedância é puramente $sL=2s$.

b) Pela Lei de Ohm no domínio $s$: $I(s)=\frac{V(s)}{R+sL}=\frac{\frac{10}{s}}{5+2s}=\frac{10}{s(2s+5)}=\frac{5}{s(s+2,5)}$

c) Expansão em frações parciais: $I(s)=\frac{5}{s(s+2,5)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2,5}$

• Coeficiente $A$: $A={\lim }_{s\to 0}[sI(s)]={\lim }_{s\to 0}\frac{5}{s+2,5}=\frac{5}{2,5}=2$
• Coeficiente $B$: $B={\lim }_{s\to -2,5}[(s+2,5)I(s)]={\lim }_{s\to -2,5}\frac{5}{s}=\frac{5}{-2,5}=-2$ Logo: $I(s)=\frac{2}{s}-\frac{2}{s+2,5}$ Aplicando a transformada inversa ${\mathcal{L}}^{-1}$: $i(t)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{2}{s}\right\}-{\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{2}{s+2,5}\right\}=\boxed{2(1-e^{-2,5t})u(t)\text{ A}}$

d) Verificação pelos teoremas:

• Teorema do Valor Inicial: $i(0^{+})={\lim }_{s\to \infty }sI(s)={\lim }_{s\to \infty }s\frac{5}{s(s+2,5)}={\lim }_{s\to \infty }\frac{5}{s+2,5}=0\text{ A}$ Confirma a continuidade física da corrente no indutor ($i(0^{+})=i(0^{-})=0$).
• Teorema do Valor Final: $i(\infty )={\lim }_{s\to 0}sI(s)={\lim }_{s\to 0}\frac{5}{s+2,5}=\frac{5}{2,5}=\boxed{2\text{ A}}$ No regime permanente CC, o indutor opera como curto-circuito ideal: $i_{\text{CC}}=\frac{E}{R}=\frac{10}{5}=2\text{ A}$.

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Questão 02 (Oficial - Caderno Didático EnsineMe / UFRJ)

Enunciado: Em um circuito RLC série sob teste, a função de transferência da corrente em relação à tensão de excitação em degrau é modelada por: $I(s)=\frac{4s+12}{s^2+6s+25}$ Determine a expressão temporal da corrente $i(t)$ para $t\ge 0$.

Resolução Detalhada:

1. Análise dos polos do denominador: $s^2+6s+25=0$ $\Delta =6^2-4(1)(25)=36-100=-64=(j8{)}^2$ $s_{1,2}=\frac{-6\pm j8}{2}=-3\pm j4$ Trata-se de um par de polos complexos conjugados, caracterizando uma resposta subamortecida com $\alpha =3$ e ${\omega }_d=4$.

2. Completando quadrados no denominador: $s^2+6s+25=(s+3{)}^2+16=(s+3{)}^2+4^2$

3. Ajustando o numerador para os pares clássicos de senoide e cossenoide amortecida: $I(s)=\frac{4s+12}{(s+3{)}^2+4^2}=\frac{4(s+3)}{(s+3{)}^2+4^2}$ Neste caso notável, o termo livre ajusta-se com precisão exata: $4(s+3)=4s+12$.

4. Transformada inversa direta: Sabendo que ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }_d^2}\right\}=e^{-at}\cos ({\omega }_{d}t)u(t)$: $i(t)=\boxed{4e^{-3t}\cos (4t)u(t)\text{ A}}$

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Questão 03 (Petrobras - Engenharia Elétrica / Resposta com Condição Inicial Não-Nula)

Enunciado: Um capacitor de $C=0,2\text{ F}$ possui uma tensão inicial de carga de $v(0^{-})=15\text{ V}$. No instante $t=0$, uma chave fecha conectando este capacitor em paralelo a um resistor de $R=10\Omega$. Utilizando o método do circuito equivalente no domínio $s$: a) Desenhe o circuito no domínio $s$ utilizando o modelo paralelo do capacitor. b) Calcule a tensão $V(s)$. c) Obtenha a tensão no tempo $v(t)$ e a constante de tempo do decaimento.

Resolução Detalhada: a) Modelo no domínio $s$:

• O resistor possui condutância $G=\frac{1}{R}=\frac{1}{10}=0,1\text{ S}$.
• O capacitor com tensão inicial $v(0^{-})=15\text{ V}$ é substituído por uma admitância $sC=0,2s$ em paralelo com uma fonte de corrente independente injetando no nó superior: $I_{\text{ci}}=C\cdot v(0^{-})=0,2\times 15=3\text{ A}$

b) Pela Lei das Correntes de Kirchhoff no nó superior: $sC\cdot V(s)+G\cdot V(s)=I_{\text{ci}}$ $(0,2s+0,1)V(s)=3$ $V(s)=\frac{3}{0,2s+0,1}=\frac{3}{0,2(s+0,5)}=\frac{15}{s+0,5}$

c) Transformada inversa: $v(t)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{15}{s+0,5}\right\}=\boxed{15e^{-0,5t}u(t)\text{ V}}$ A constante de tempo é: $\tau =\frac{1}{0,5}=2\text{ s}$ Verificação pelo produto clássico: $\tau =RC=10\times 0,2=2\text{ s}$. A tensão descarrega exponencialmente de $15\text{ V}$ até $0\text{ V}$.

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Questão 04 (Concurso Marinha CP-CEM / Função de Transferência de 2ª Ordem)

Enunciado: Em um circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente independente $i_s(t)$, a saída é a tensão sobre o circuito $v(t)$. Os parâmetros são: $R=4\Omega$, $L=0,5\text{ H}$ e $C=0,125\text{ F}$. a) Deduza a função de transferência $\mathbf{H}(s)=\frac{V(s)}{I_s(s)}$. b) Determine as localizações dos polos de $\mathbf{H}(s)$ no plano complexo $s$. c) Classifique o regime de amortecimento do circuito. d) Calcule a resposta ao impulso $h(t)$ da rede.

Resolução Detalhada: a) A admitância do circuito paralelo é: $\mathbf{Y}(s)=\frac{1}{R}+\frac{1}{sL}+sC=\frac{sLC+\frac{sL}{R}+1}{sL}$ A função de transferência $\mathbf{H}(s)$ é a impedância de entrada: $\mathbf{H}(s)=\frac{1}{\mathbf{Y}(s)}=\frac{sL}{s^{2}LC+\frac{sL}{R}+1}=\frac{\frac{s}{C}}{s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}}$ Substituindo os valores numéricos:

• $\frac{1}{C}=\frac{1}{0,125}=8$
• $\frac{1}{RC}=\frac{1}{4\times 0,125}=\frac{1}{0,5}=2$
• $\frac{1}{LC}=\frac{1}{0,5\times 0,125}=\frac{1}{0,0625}=16$ Logo: $\mathbf{H}(s)=\boxed{\frac{8s}{s^2+2s+16}}$

b) Polos do denominador: $s^2+2s+16=0$ $\Delta =2^2-4(1)(16)=4-64=-60=(j\sqrt{60}{)}^2=(j2\sqrt{15}{)}^2$ $p_{1,2}=\frac{-2\pm j2\sqrt{15}}{2}=\boxed{-1\pm j\sqrt{15}\approx -1\pm j3,873}$

c) Como os polos formam um par de números complexos conjugados com parte real negativa ($\sigma =-1<0$), o circuito é BIBO estável e seu amortecimento é subamortecido ($\alpha =1<{\omega }_0=4$).

d) Resposta ao impulso $h(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{\mathbf{H}(s)\}$: $\mathbf{H}(s)=\frac{8s}{(s+1{)}^2+15}=\frac{8(s+1)-8}{(s+1{)}^2+(\sqrt{15}{)}^2}=8\frac{s+1}{(s+1{)}^2+(\sqrt{15}{)}^2}-\frac{8}{\sqrt{15}}\frac{\sqrt{15}}{(s+1{)}^2+(\sqrt{15}{)}^2}$ Aplicando a transformada inversa: $h(t)=\boxed{\left[8e^{-t}\cos (\sqrt{15}t)-\frac{8}{\sqrt{15}}{e}^{-t}\sin (\sqrt{15}t)\right]u(t)\text{ V/A}}$

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Questão 05 (CEBRASPE / Circuito com Três Polos Reais Distintos)

Enunciado: Em uma rede de distribuição, a corrente de defeito transitória no domínio $s$ é dada por: $I(s)=\frac{s^2+3s+10}{s(s+1)(s+2)}$ Determine a corrente transitória $i(t)$ para $t>0$ utilizando o método dos resíduos de Heaviside.

Resolução Detalhada:

1. A função racional é estritamente própria (grau do numerador 2 < grau do denominador 3) com três polos simples em $p_1=0$, $p_2=-1$ e $p_3=-2$: $I(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}$

2. Cálculo dos resíduos:

• Para $s=0$: $A={\frac{s^2+3s+10}{(s+1)(s+2)}|}_{s=0}=\frac{0+0+10}{(1)(2)}=\frac{10}{2}=5$
• Para $s=-1$: $B={\frac{s^2+3s+10}{s(s+2)}|}_{s=-1}=\frac{(-1{)}^2+3(-1)+10}{(-1)(-1+2)}=\frac{1-3+10}{(-1)(1)}=\frac{8}{-1}=-8$
• Para $s=-2$: $C={\frac{s^2+3s+10}{s(s+1)}|}_{s=-2}=\frac{(-2{)}^2+3(-2)+10}{(-2)(-2+1)}=\frac{4-6+10}{(-2)(-1)}=\frac{8}{2}=4$

3. Transformada inversa: $I(s)=\frac{5}{s}-\frac{8}{s+1}+\frac{4}{s+2}$ $i(t)=\boxed{[5-8e^{-t}+4e^{-2t}]u(t)\text{ A}}$

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Questão 06 (Simulação de Chaveamento em Bancada / Ensaio de Degrau)

Enunciado: No laboratório de circuitos elétricos, aplica-se uma onda quadrada de $0$ a $5\text{ V}$ em baixa frequência ($100\text{ Hz}$) na entrada de um circuito RLC série com $R=20\Omega$, $L=10\text{ mH}$ e $C=1\mu \text{F}$. O osciloscópio monitora a tensão no capacitor $v_C(t)$. a) Calcule os valores de $\alpha$, ${\omega }_0$, ${\omega }_d$ e o fator de amortecimento $\zeta$. b) Calcule o instante do primeiro pico de sobre-elevação ($t_p$) e o valor percentual do overshoot ($M_p$).

Resolução Detalhada: a) Parâmetros característicos: ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{10\times 10^{-3}\times 1\times 10^{-6}}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-8}}}=10000\text{ rad/s}$ $\alpha =\frac{R}{2L}=\frac{20}{2\times 0,010}=\frac{20}{0,020}=1000\text{ Np/s}$ Fator de amortecimento dimensional: $\zeta =\frac{\alpha }{{\omega }_0}=\frac{1000}{10000}=\boxed{0,10}$ Como $\zeta <1$, o circuito é fortemente subamortecido. Frequência amortecida: ${\omega }_d={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}=10000\sqrt{1-0,01}=10000\sqrt{0,99}\approx \boxed{9949,87\text{ rad/s}}$

b) Cálculo do instante de pico e overshoot: O tempo de pico ocorre em meio período da oscilação amortecida: $t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=\frac{\pi }{9949,87}\approx 3,157\times 10^{-4}\text{ s}=\boxed{315,7\mu \text{s}}$ Overshoot percentual: $M_p=e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%=e^{-\frac{\pi \times 0,10}{\sqrt{0,99}}}\times 100\%=e^{-0,3157}\times 100\%\approx 0,7293\times 100\%=\boxed{72,93\%}$ Como o degrau de entrada possui amplitude de $5\text{ V}$, a tensão máxima que o estudante visualizará na tela do osciloscópio no instante $t=315,7\mu \text{s}$ será: $v_{C,\text{pico}}=5\times (1+0,7293)=\boxed{8,65\text{ V}}$

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7. Roteiro Experimental de Laboratório: Chaveamento Transitório em RLC

Roteiro Prático: Ensaio de Resposta Transitória e Regimes de Amortecimento

1. Objetivo Experimental: Visualizar em tempo real no osciloscópio digital os três regimes característicos de amortecimento de segunda ordem (subamortecido, criticamente amortecido e sobreamortecido) submetendo um circuito RLC série a um degrau repetitivo de tensão.

2. Montagem da Bancada e Instrumentação:

   • Gerador de Funções: Saída em onda quadrada, $V_{extpp}=4,0extV$ (nível de excursão de $0extV$ a $+4,0extV$), frequência $f=200extHz$ (o semiperíodo de $T/2=2,5extms$ garante tempo suficiente para que o transitório decaia completamente antes do próximo degrau).
   • Componentes Passivos: Indutor $L=10extmH$, Capacitor $C=100extnF$, Potenciômetro/Reostato linear de precisão $R=0exta5extk\Omega$.

3. Conexão dos Canais de Medição:

   • Canal CH1: Conectado diretamente à saída do gerador de ondas (utilizado como sinal de disparo / Trigger estável).
   • Canal CH2: Conectado sobre os terminais do capacitor $C$ para registro da tensão transitória $v_C(t)$.

4. Experimentação dos Três Regimes Dinâmicos:

   • Regime 1 (Subamortecido — $\zeta <1$): Ajustar o potenciômetro para R pprox 50\ \Omega.
     Observar a oscilação amortecida na resposta ao degrau. Registrar o tempo de primeiro pico $t_p$, o overshoot percentual $M_p$ e a frequência natural amortecida ${\omega }_d$.
   • Regime 2 (Criticamente Amortecido — $\zeta =1$):
     Calcular previamente a resistência crítica de projeto: undefined Ajustar o potenciômetro até que as oscilações e o sobre-sinal desapareçam integralmente, obtendo a subida monotonicamente mais rápida possível sem overshoot.
   • Regime 3 (Sobreamortecido — $\zeta >1$): Ajustar o potenciômetro para R pprox 3{,}0 ext{ k}\Omega.
     Observar a resposta assintótica lenta dominada pelo polo real dominante mais próximo da origem.

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8. Bibliografia Recomendada e Normas Técnicas

1. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
2. ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
3. OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S. Sinais e Sistemas. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
4. KUO, Benjamin C. Sistemas de Controle Automático. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
5. DORF, Richard C.; BISHOP, Robert H. Sistemas de Controle Modernos. 13. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.