🌊 Aula 04 - Mecanismos de Transferência de Calor - Condução (Fourier), Convecção (Newton) e Radiação Térmica

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Diferenciar os três mecanismos físicos de transferência de calor: Condução em sólidos/fluidos estáticos, Convecção em fluidos em movimento e Radiação eletromagnética através do meio ou vácuo.
2. Formular e aplicar a Lei de Fourier para a condução unidimensional e multidimensional em coordenadas cartesianas e cilíndricas.
3. Deduzir o conceito de Resistência Térmica e construir circuitos térmicos equivalentes por analogia elétrica direta com a Lei de Ohm ($R_{\text{th}}=\Delta T/q$).
4. Analisar a condução radial em cabos cilíndricos e deduzir analiticamente o Raio Crítico de Isolamento Térmico ($r_{\text{cr}}=k/h$).
5. Aplicar a Lei do Resfriamento de Newton para convecção térmica forçada e natural, compreendendo os números adimensionais de Nusselt ($\text{Nu}$), Prandtl ($\text{Pr}$), Grashof ($\text{Gr}$) e Rayleigh ($\text{Ra}$).
6. Formular a transferência de calor por radiação térmica através da Lei de Stefan-Boltzmann, definindo emissividade superficial ($\epsilon$), corpo negro, corpo cinzento e coeficiente linearizado de radiação ($h_r$).
7. Calcular o balanço de energia permanente com geração volumétrica interna de calor por efeito Joule ($q^{\prime \prime \prime }={\rho }_{\text{elec}}{J}^2$) em barramentos e cabos isolados.
8. Projetar sistemas de dissipação térmica de semicondutores de potência (IGBTs e tiristores) e avaliar o efeito da radiação na refrigeração de subestações.

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1. 🔬 Mecanismos Fundamentais de Transferência de Calor

A transferência de calor é a energia térmica em trânsito motivada exclusivamente pela existência de um gradiente espacial de temperatura ($\nabla T\ne 0$). O fluxo de calor ocorre espontaneamente da região de maior temperatura para a de menor temperatura, em estrita concordância com a Segunda Lei da Termodinâmica.

Distinguem-se três modos elementares:

Mecanismo Físico	Meio de Propagação	Equação Constitutiva Governante	Propriedade Termofísica Chave
Condução	Sólidos ou fluidos estáticos (nível molecular)	Lei de Fourier: ${\mathbf{q}}^{\prime \prime }=-k\nabla T$	Condutividade térmica $k[\text{W/(m}\cdot \text{K)}]$
Convecção	Fluidos em movimento sobre superfícies sólidas	Lei de Newton: $q^{\prime \prime }=h(T_s-T_{\infty })$	Coeficiente convectivo $h[{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}]$
Radiação	Ondas eletromagnéticas (não exige matéria)	Stefan-Boltzmann: $q^{\prime \prime }=\epsilon \sigma (T_s^4-T_{\text{viz}}^4)$	Emissividade superficial $\epsilon$ (adimensional)

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2. 🧱 Condução Térmica e Lei de Fourier

2.1 Formulação Vetorial da Lei de Fourier

Em um meio isotrópico contínuo, a densidade de fluxo de calor condutivo ${\mathbf{q}}^{\prime \prime }$ (${\text{W/m}}^2$) é diretamente proporcional ao gradiente local de temperatura: $\boxed{{\mathbf{q}}^{\prime \prime }=-k\cdot \nabla T=-k\left(\frac{\partial T}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial T}{\partial z}\hat{k}\right)}$

Onde:

• $k$ é a Condutividade Térmica do material ($\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ ou $\text{W/(m}{\cdot }^{\circ }\text{C)}$). O sinal negativo decorre da Segunda Lei da Termodinâmica: o calor flui no sentido do gradiente decrescente de temperatura.

Para condução unidimensional permanente através de uma parede plana de espessura $L$ e área transversal $A$: $q=-kA\frac{dT}{dx}=kA\frac{T_1-T_2}{L}$

Ordens de Grandeza de Condutividade Térmica ( $k$)

• Cobre eletrolítico comercial (barramentos): $k\approx 390\text{ a }400\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$
• Alumínio liga 1350 (cabos aéreos): $k\approx 205\text{ a }215\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$
• Aço estrutural de baixo carbono: $k\approx 50\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$
• Polietileno reticulado (XLPE para cabos isolados): $k\approx 0,28\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$
• Borracha etileno-propileno (EPR): $k\approx 0,25\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$
• Papel Kraft isolante impregnado em óleo: $k\approx 0,17\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$
• Ar parado a $20^{\circ }\text{C}$: $k\approx 0,026\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$

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2.2 Equação Geral da Difusão de Calor com Geração Interna

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica a um elemento infinitesimal $dx\cdot dy\cdot dz$ com taxa de geração volumétrica de calor $q^{\prime \prime \prime }$ (${\text{W/m}}^3$) e propriedades constantes: $\boxed{\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}+\frac{q^{\prime \prime \prime }}{k}=\frac{1}{{\alpha }_{\text{dif}}}\frac{\partial T}{\partial t}}$

Onde ${\alpha }_{\text{dif}}=\frac{k}{\rho \cdot c_p}$ é a Difusividade Térmica (${\text{m}}^2/\text{s}$), que quantifica a velocidade com que o material propaga perturbações térmicas transientes.

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2.3 Circuito Térmico Equivalente (Analogia Elétrica com a Lei de Ohm)

A transferência de calor estacionária unidimensional é formalmente isomórfica à condução de corrente elétrica contínua: $\text{Potencial Eleˊtrico }\Delta V⟺\text{Diferenc¸a de Temperatura }\Delta T$ $\text{Corrente Eleˊtrica }I⟺\text{Taxa de Fluxo de Calor }q$ $\text{Resisteˆncia Eleˊtrica }{R}_e=\frac{\Delta V}{I}⟺\text{Resisteˆncia Teˊrmica }{R}_{\text{th}}=\frac{\Delta T}{q}[\text{K/W}]$

1. Resistência Térmica de Condução em Parede Plana: $q=\frac{T_1-T_2}{L/(kA)}⟹\boxed{R_{\text{cond,plana}}=\frac{L}{k\cdot A}}$
2. Resistência Térmica de Condução em Cilindro Coaxial Oco (Comprimento $L$): Integrando em coordenadas cilíndricas $q=-k(2\pi rL)\frac{dT}{dr}$: ${\int }_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r}=-\frac{2\pi kL}{q}{\int }_{T_1}^{T_2}dT⟹q=\frac{2\pi kL(T_1-T_2)}{\ln (r_2/r_1)}$ $\boxed{R_{\text{cond,cil}}=\frac{\ln (r_2/r_1)}{2\pi \cdot k\cdot L}}$
3. Resistência Térmica de Convecção Externa: $q=hA(T_s-T_{\infty })⟹\boxed{R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot A}}$

Para paredes compostas por camadas em série, a resistência global é a soma algébrica direta: $R_{\text{total}}=\sum R_i⟹q=\frac{\Delta T_{\text{total}}}{R_{\text{total}}}$

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3. 🎯 O Raio Crítico de Isolamento Térmico ($r_{\text{cr}}$)

Considere um cabo condutor elétrico cilíndrico de raio metálico externo $r_1$, revestido por uma camada de material isolante polimérico de raio externo $r$ e condutividade $k_{\text{iso}}$, imerso em um ambiente fluido com coeficiente convectivo $h$:

A resistência térmica total por unidade de comprimento ($L=1\text{ m}$) é: $R_{\text{total}}^{\prime }=R_{\text{cond}}^{\prime }+R_{\text{conv}}^{\prime }=\frac{\ln (r/r_1)}{2\pi k_{\text{iso}}}+\frac{1}{2\pi rh}$

Deseja-se determinar o efeito do aumento da espessura do isolante (aumento de $r$):

• À medida que $r$ cresce, a resistência condutiva interna aumenta logaritmicamente ($\frac{\ln (r/r_1)}{2\pi k}\uparrow$).
• Simultaneamente, a área superficial externa ($A=2\pi rL$) expande-se, fazendo a resistência convectiva externa diminuir ($\frac{1}{2\pi rh}\downarrow$).

Derivando $R_{\text{total}}^{\prime }$ em relação a $r$ e igualando a zero para encontrar o ponto crítico extremo: $\frac{d{R}_{\text{total}}^{\prime }}{dr}=\frac{1}{2\pi k_{\text{iso}}\cdot r}-\frac{1}{2\pi h\cdot r^2}=0$ Multiplicando por $2\pi r^2$: $\frac{r}{k_{\text{iso}}}-\frac{1}{h}=0⟹\boxed{r_{\text{cr}}=\frac{k_{\text{iso}}}{h}}$

Avaliando a segunda derivada: ${\frac{d^2{R}_{\text{total}}^{\prime }}{d{r}^2}|}_{r=r_{\text{cr}}}=-\frac{1}{2\pi k_{\text{iso}}{r}^2}+\frac{2}{2\pi h{r}^3}=\frac{1}{2\pi r_{\text{cr}}^3}\left[\frac{2}{h}-\frac{r_{\text{cr}}}{k_{\text{iso}}}\right]=\frac{1}{2\pi r_{\text{cr}}^3}\left[\frac{2}{h}-\frac{1}{h}\right]=\frac{1}{2\pi r_{\text{cr}}^{3}h}>0$ Como a segunda derivada é estritamente positiva, o ponto crítico $r_{\text{cr}}$ corresponde a um mínimo global de resistência térmica (ou seja, um máximo absoluto de dissipação de calor!).

Teorema do Raio Crítico em Engenharia Elétrica

• Caso 1: Cabos Elétricos de Pequeno Calibre ($r_1<r_{\text{cr}}$): Para isolantes poliméricos convencionais ($k_{\text{iso}}\approx 0,28\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$) em ar parado ($h\approx 10{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$): $r_{\text{cr}}=\frac{0,28}{10}=0,028\text{ m}=28\text{ mm}$ Como a grande maioria dos cabos de baixa e média tensão possui raio metálico $r_1<28\text{ mm}$, a adição da capa isolante plástica reduz a resistência térmica total e AUMENTA a capacidade de dissipação de calor! O cabo isolado opera mais frio do que o cabo nu sob a mesma corrente elétrica.
• Caso 2: Tubulações de Vapor e Grandes Barramentos ($r_1>r_{\text{cr}}$): Qualquer camada adicional de isolante aumenta a resistência térmica e reduz a dissipação, exercendo a função tradicional de isolamento térmico conservativo.

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4. 💨 Convecção Térmica e Números Adimensionais

A taxa de calor transferida por convecção entre uma superfície a $T_s$ e um fluido a $T_{\infty }$ obedece à Lei de Newton do Resfriamento: $\boxed{q=h\cdot A\cdot (T_s-T_{\infty })}$

O coeficiente de película convectivo $h$ não é uma propriedade do material, mas sim um coeficiente fenomenológico governado pelo regime hidrodinâmico, geometria da superfície, rugosidade e propriedades termofísicas do fluido.

4.1 Grupos Adimensionais Fundamentais

1. Número de Nusselt ($\text{Nu}$): Razão entre a transferência de calor real convectiva e a condução térmica pura no fluido estático: $\boxed{\text{Nu}=\frac{h\cdot L_c}{k_{\text{fluido}}}}$
2. Número de Prandtl ($\text{Pr}$): Razão entre as difusividades moleculares de quantidade de movimento (viscosidade cinemática $\nu$) e difusividade térmica (${\alpha }_{\text{dif}}$): $\boxed{\text{Pr}=\frac{\nu }{{\alpha }_{\text{dif}}}=\frac{\mu \cdot c_p}{k_{\text{fluido}}}}$
   • Metais líquidos (mercúrio, sódio): $\text{Pr}\approx 0,01$ (condução domina)
   • Ar e gases: $\text{Pr}\approx 0,71$
   • Água líquida a $20^{\circ }\text{C}$: $\text{Pr}\approx 7,0$
   • Óleo mineral isolante a $40^{\circ }\text{C}$: $\text{Pr}\approx 100\text{ a }200$ (camada limite hidrodinâmica muito mais espessa que a térmica)
3. Número de Grashof ($\text{Gr}$) e Rayleigh ($\text{Ra}$) em Convecção Natural: Governam o escoamento gerado exclusivamente por forças de empuxo térmico decorrentes de gradientes de densidade no campo gravitacional: $\boxed{\text{Gr}=\frac{g\cdot \beta \cdot (T_s-T_{\infty })\cdot L_c^3}{{\nu }^2}}$ $\boxed{\text{Ra}=\text{Gr}\cdot \text{Pr}=\frac{g\cdot \beta \cdot (T_s-T_{\infty })\cdot L_c^3}{\nu \cdot {\alpha }_{\text{dif}}}}$
   • Placas verticais (aletas de radiador): Transição de convecção natural laminar para turbulenta ocorre em $\text{Ra}\approx 10^9$.

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5. ☀️ Radiação Térmica e Lei de Stefan-Boltzmann

A radiação térmica é a radiação eletromagnética emitida por qualquer corpo com temperatura termodinâmica absoluta superior ao zero absoluto ($T>0\text{ K}$), decorrente de transições eletrônicas e oscilações vibracionais atômicas na faixa espectral de $0,1\mu \text{m}$ a $100\mu \text{m}$ (ultravioleta, visível e infravermelho).

5.1 Emissão de Corpo Negro e Superfícies Cinzentas

1. Corpo Negro Ideal: Emissor e absorvedor termodinâmico perfeito ($\epsilon ={\alpha }_{\text{abs}}=1$). A potência emissiva total é regida pela Lei de Stefan-Boltzmann: $\boxed{E_b(T)=\sigma \cdot T^4[{\text{W/m}}^2]}$ Onde $\sigma =5,67037\cdot 10^{-8}{\text{ W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ é a Constante de Stefan-Boltzmann e $T$ deve ser expressa rigorosamente em Kelvin ($\text{K}$).
2. Superfície Cinzenta Real: Emite uma fração da radiação do corpo negro correspondente à sua Emissividade Hemisférica Total ($\epsilon$) ($0\le \epsilon \le 1$): $E(T)=\epsilon \cdot \sigma \cdot T^4$

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5.2 Troca Líquida de Radiação com a Vizinhança

Para um corpo convexo de área $A$ e emissividade $\epsilon$ a uma temperatura $T_s$, completamente cercado por uma vizinhança ampla e isotérmica a $T_{\text{viz}}$: $\boxed{q_{\text{rad}}=\epsilon \cdot \sigma \cdot A\cdot \left(T_s^4-T_{\text{viz}}^4\right)}$

Linearizando a equação com o Coeficiente de Transferência de Calor por Radiação ($h_r$): $q_{\text{rad}}=h_r\cdot A\cdot (T_s-T_{\text{viz}})$ $\boxed{h_r=\epsilon \cdot \sigma \cdot (T_s+T_{\text{viz}})\cdot (T_s^2+T_{\text{viz}}^2)}$

A transferência total de calor na superfície externa é a soma simultânea de convecção e radiação: $q_{\text{total}}=q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}=(h_c+h_r)\cdot A\cdot (T_s-T_{\infty })$

Influência Crítica da Pintura em Barramentos Elétricos

• O cobre polido e oxidado levemente possui emissividade muito baixa: ${\epsilon }_{\text{Cu}}\approx 0,05\text{ a }0,15$. Ele dissipa calor quase que unicamente por convecção.
• Ao pintar o barramento com tinta fosca (preta, cinza ou vermelha), a emissividade térmica no infravermelho salta para $\epsilon \approx 0,90\text{ a }0,95$.
• A perda radiativa adicional reduz a temperatura de operação do barramento em $10^{\circ }\text{C}$ a $15^{\circ }\text{C}$ para a mesma corrente nominal, ou permite elevar a capacidade de corrente admissível (ampacidade) em até $20\%$ com o mesmíssimo consumo de cobre!

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6. 🎨 Diagrama Conceitual Validado

O diagrama vetorial abaixo sintetiza os circuitos térmicos equivalentes de condução, a curva hiperbólica do raio crítico em cabos cilíndricos, os mecanismos de convecção e a troca radiativa de Stefan-Boltzmann em equipamentos elétricos.

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7. 🔌 Aplicações Reais em Engenharia Elétrica

7.1 Balanço Térmico e Ampacidade em Cabos Subterrâneos (Norma IEC 60287)

A máxima corrente elétrica contínua que um cabo de potência subterrâneo pode conduzir sem degradar o isolamento polimérico (ex.: $T_{\text{maˊx}}=90^{\circ }\text{C}$ para XLPE) é governada pelo equilíbrio estrito de calor: $q_{\text{gerado}}^{\prime \prime \prime }=q_{\text{dissipado}}$ A geração de calor por unidade de comprimento decorre das perdas Joule nos condutores e perdas dielétricas na isolação: $q^{\prime }=I^2\cdot R_{\text{ac}}(T)$ O calor dissipa-se radialmente através de uma série de resistências térmicas cilíndricas: $R_{\text{total}}^{\prime }=R_{\text{isolac¸a˜o}}^{\prime }+R_{\text{capa}}^{\prime }+R_{\text{leito\_areia}}^{\prime }+R_{\text{solo}}^{\prime }$ Onde $R_{\text{solo}}^{\prime }=\frac{{\rho }_{\text{teˊrmica,solo}}}{2\pi }\ln \left(\frac{2u}{d_e}\right)$, sendo ${\rho }_{\text{teˊrmica,solo}}$ a resistividade térmica do solo (em $\text{K}\cdot \text{m/W}$) e $u$ a profundidade de enterramento. Solos ressecados no verão possuem altíssima resistividade térmica (${\rho }_{\text{solo}}>2,0\text{ K}\cdot \text{m/W}$), criando uma barreira térmica que sufoca o cabo e exige o desclassificação (derating) imediata da ampacidade da linha para prevenir o colapso por rigidez dielétrica.

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7.2 Dimensionamento de Dissipadores Térmicos para Módulos IGBT

Em inversores de frequência industriais e conversores de turbinas eólicas, módulos semicondutores IGBT operam chaveando centenas de ampères a frequências de vários kilohertz. A potência térmica dissipada por perdas de condução e comutação ($P_{\text{diss}}$) deve ser drenada da junção semicondutora microscópica ($T_j\le 150^{\circ }\text{C}$) para o ar ambiente ($T_a\approx 40^{\circ }\text{C}$).

Modela-se o circuito térmico em série: $T_j-T_a=P_{\text{diss}}\cdot \left(R_{\theta ,jc}+R_{\theta ,cs}+R_{\theta ,sa}\right)$ Onde:

• $R_{\theta ,jc}$ é a resistência térmica interna junção-carcaça (dado do fabricante do IGBT, ex.: $0,12\text{ K/W}$).
• $R_{\theta ,cs}$ é a resistência térmica de contato carcaça-dissipador (minimizada pela aplicação de pasta térmica à base de prata ou óxido de zinco, ex.: $0,05\text{ K/W}$).
• $R_{\theta ,sa}$ é a resistência térmica do dissipador aletado para o ar ambiente.

Isolando a resistência máxima admissível do dissipador de alumínio: $R_{\theta ,sa}\le \frac{T_{j,\text{maˊx}}-T_a}{P_{\text{diss}}}-(R_{\theta ,jc}+R_{\theta ,cs})$ A partir de $R_{\theta ,sa}$, o engenheiro seleciona no catálogo o perfil extrudado de alumínio, o número e espaçamento ideal de aletas e a vazão forçada de ventilação requerida.

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8. 📝 Questões de Fixação de Concursos Resolvidas Passo a Passo

Questão 1 (PETROBRAS - Engenheiro de Equipamentos Júnior)

Um cabo elétrico cilíndrico de cobre de raio metálico nu $r_1=5,0\text{ mm}$ ($0,005\text{ m}$) transporta uma corrente alternada constante, dissipando por efeito Joule uma taxa de calor uniforme de $q^{\prime }=40,0\text{ W/m}$ por unidade de comprimento. O cabo é revestido por uma camada isolante de polímero com condutividade térmica $k_{\text{iso}}=0,20\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$. O cabo isolado está suspenso em ar ambiente à temperatura $T_{\infty }=30^{\circ }\text{C}$, e o coeficiente de transferência de calor por convecção externa na superfície é $h=10,0{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$. Despreze a radiação e a resistência térmica interna do cobre.

Pede-se: a) O valor do Raio Crítico de Isolamento ($r_{\text{cr}}$) em milímetros. b) A temperatura da superfície metálica do cobre ($T_1$) quando o cabo estiver completamente desprovido de isolante (cabo nu, com $r=r_1=5\text{ mm}$). c) A espessura ótima de isolamento polimérico ($\Delta r=r_{\text{cr}}-r_1$) para maximizar a dissipação térmica e a correspondente temperatura no cobre ($T_{1,\text{oˊtima}}$). d) A temperatura $T_1$ caso se aplique uma camada excessiva de isolamento de raio externo $r=50\text{ mm}$.

💡 Resolução Passo a Passo:

a) Raio Crítico de Isolamento ($r_{\text{cr}}$): $r_{\text{cr}}=\frac{k_{\text{iso}}}{h}=\frac{0,20\text{ W/(m}\cdot \text{K)}}{10,0{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}}=0,020\text{ m}=20,0\text{ mm}$

b) Temperatura do cobre para cabo nu ($r=r_1=5\text{ mm}=0,005\text{ m}$): Sem isolamento, a única resistência térmica por metro é a de convecção na superfície externa do cobre de área $A^{\prime }=2\pi r_1\cdot 1$: $R_{\text{nu}}^{\prime }=\frac{1}{2\pi \cdot r_1\cdot h}=\frac{1}{2\pi \cdot (0,005\text{ m})\cdot (10,0{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)})}=\frac{1}{0,10\pi }\approx 3,1831\text{ K/W}$ Como $q^{\prime }=\frac{T_1-T_{\infty }}{R_{\text{nu}}^{\prime }}$: $T_{1,\text{nu}}=T_{\infty }+q^{\prime }\cdot R_{\text{nu}}^{\prime }=30^{\circ }\text{C}+(40,0\text{ W/m})\cdot (3,1831\text{ K/W})=30+127,32=157,32^{\circ }\text{C}$

c) Espessura ótima de isolamento e temperatura correspondente ($r=r_{\text{cr}}=20\text{ mm}$): A espessura de polímero a ser adicionada é: $\Delta r=r_{\text{cr}}-r_1=20,0\text{ mm}-5,0\text{ mm}=15,0\text{ mm}$ A resistência térmica total por metro com $r=r_{\text{cr}}=0,020\text{ m}$ é: $R_{\text{total}}^{\prime }=\frac{\ln (r_{\text{cr}}/r_1)}{2\pi k_{\text{iso}}}+\frac{1}{2\pi r_{\text{cr}}h}$

• Resistência condutiva do polímero: $R_{\text{cond}}^{\prime }=\frac{\ln (20/5)}{2\pi \cdot 0,20}=\frac{\ln (4)}{0,40\pi }=\frac{1,38629}{1,25664}\approx 1,1032\text{ K/W}$
• Resistência convectiva externa: $R_{\text{conv}}^{\prime }=\frac{1}{2\pi \cdot (0,020)\cdot (10,0)}=\frac{1}{0,40\pi }\approx 0,7958\text{ K/W}$
• Resistência total crítica mínima: $R_{\text{total,mıˊn}}^{\prime }=1,1032+0,7958=1,8990\text{ K/W}$ A nova temperatura no núcleo metálico de cobre é: $T_{1,\text{oˊtima}}=T_{\infty }+q^{\prime }\cdot R_{\text{total,mıˊn}}^{\prime }=30^{\circ }\text{C}+(40,0)\cdot (1,8990)=30+75,96=105,96^{\circ }\text{C}$

Redução Drástica de Temperatura

Adicionar $15\text{ mm}$ de isolante plástico derrubou a temperatura do cobre de $157,3^{\circ }\text{C}$ para $106,0^{\circ }\text{C}$ (uma redução de mais de $51^{\circ }\text{C}$!), comprovando fisicamente que para condutores finos o isolamento atua resfriando o cabo.

d) Temperatura para camada grossa ($r=50\text{ mm}=0,050\text{ m}>r_{\text{cr}}$): $R_{\text{cond}}^{\prime }=\frac{\ln (50/5)}{2\pi \cdot 0,20}=\frac{\ln (10)}{0,40\pi }=\frac{2,30258}{1,25664}\approx 1,8323\text{ K/W}$ $R_{\text{conv}}^{\prime }=\frac{1}{2\pi \cdot (0,050)\cdot (10,0)}=\frac{1}{\pi }\approx 0,3183\text{ K/W}$ $R_{\text{total}}^{\prime }=1,8323+0,3183=2,1506\text{ K/W}$ $T_1=30+(40,0)\cdot (2,1506)=30+86,02=116,02^{\circ }\text{C}$ Como esperado, para $r>r_{\text{cr}}$, a resistência térmica volta a subir ($2,15\text{ K/W}>1,90\text{ K/W}$), elevando a temperatura para $116^{\circ }\text{C}$.

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Questão 2 (ELETROBRAS / ELETRONUCLEAR - Engenheiro Mecânico)

A parede plana de uma câmara de transformador a seco é composta por três camadas em série:

1. Chapa interna de aço inoxidável: espessura $L_1=5\text{ mm}$ ($0,005\text{ m}$), $k_1=15\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$.
2. Camada intermediária de manta isolante de lã de rocha: espessura $L_2=50\text{ mm}$ ($0,050\text{ m}$), $k_2=0,040\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$.
3. Chapa externa de aço carbono: espessura $L_3=3\text{ mm}$ ($0,003\text{ m}$), $k_3=45\text{ W/(m}\cdot \text{K)}$.

O ar quente no interior da câmara está a $T_{\infty ,i}=85^{\circ }\text{C}$ com coeficiente convectivo interno $h_i=25{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$. O ar ambiente externo está a $T_{\infty ,e}=25^{\circ }\text{C}$ com coeficiente convectivo externo $h_e=10{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$. A área total da parede é $A=8,0{\text{ m}}^2$.

Determine: a) A resistência térmica total do sistema $R_{\text{total}}$ em $\text{K/W}$. b) A taxa de transferência de calor perdida através da parede $q$ em Watts. c) O coeficiente global de transferência de calor $U$ em ${\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$. d) A temperatura da superfície metálica externa da chapa de aço carbono ($T_{s,e}$).

💡 Resolução Passo a Passo:

a) Resistência térmica total do sistema: Calculando cada resistência térmica associada à área $A=8,0{\text{ m}}^2$:

• Convecção interna: $R_{\text{conv},i}=\frac{1}{h_i\cdot A}=\frac{1}{25\cdot 8,0}=\frac{1}{200}=0,0050\text{ K/W}$
• Condução no aço inoxidável: $R_{\text{cond},1}=\frac{L_1}{k_1\cdot A}=\frac{0,005}{15\cdot 8,0}=\frac{0,005}{120}\approx 0,000042\text{ K/W}$
• Condução na lã de rocha: $R_{\text{cond},2}=\frac{L_2}{k_2\cdot A}=\frac{0,050}{0,040\cdot 8,0}=\frac{0,050}{0,320}=0,15625\text{ K/W}$
• Condução no aço carbono: $R_{\text{cond},3}=\frac{L_3}{k_3\cdot A}=\frac{0,003}{45\cdot 8,0}=\frac{0,003}{360}\approx 0,0000083\text{ K/W}$
• Convecção externa: $R_{\text{conv},e}=\frac{1}{h_e\cdot A}=\frac{1}{10\cdot 8,0}=\frac{1}{80}=0,01250\text{ K/W}$

Somando todas as resistências em série: $R_{\text{total}}=0,0050+0,000042+0,15625+0,0000083+0,01250\approx 0,1738\text{ K/W}$ Observa-se que a manta de lã de rocha representa praticamente $90\%$ de toda a resistência térmica do arranjo ($0,15625/0,1738\approx 89,9\%$).

b) Taxa total de calor dissipada ($q$): $q=\frac{T_{\infty ,i}-T_{\infty ,e}}{R_{\text{total}}}=\frac{85^{\circ }\text{C}-25^{\circ }\text{C}}{0,1738\text{ K/W}}=\frac{60\text{ K}}{0,1738\text{ K/W}}\approx 345,22\text{ W}$

c) Coeficiente global de transferência de calor ($U$): $q=U\cdot A\cdot \Delta T_{\text{total}}⟹U=\frac{1}{A\cdot R_{\text{total}}}$ $U=\frac{1}{(8,0{\text{ m}}^2)\cdot (0,1738\text{ K/W})}=\frac{1}{1,3904}\approx 0,7192{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$

d) Temperatura da superfície externa ($T_{s,e}$): O calor que sai da superfície externa dissipa-se exclusivamente por convecção para o ar externo: $q=\frac{T_{s,e}-T_{\infty ,e}}{R_{\text{conv},e}}⟹T_{s,e}=T_{\infty ,e}+q\cdot R_{\text{conv},e}$ $T_{s,e}=25^{\circ }\text{C}+(345,22\text{ W})\cdot (0,0125\text{ K/W})=25+4,315\approx 29,32^{\circ }\text{C}$ A carcaça externa opera fria e segura para o toque humano ($29,3^{\circ }\text{C}$).

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Questão 3 (MARINHA DO BRASIL - Corpo de Engenheiros)

Um módulo conversor de potência constituído por um conjunto de transistores IGBT dissipa continuamente uma potência elétrica térmica de $P_{\text{diss}}=600\text{ W}$. Para evitar a queima dos semicondutores, os módulos são montados sobre um dissipador de alumínio extrudado provido de aletas resfriadas por ventilação forçada em ar a $T_a=35^{\circ }\text{C}$. Os parâmetros térmicos das interfaces fornecidos pelo catálogo são:

• Resistência térmica interna junção-carcaça: $R_{\theta ,jc}=0,08\text{ K/W}$.
• Resistência térmica da pasta de silicone na interface carcaça-dissipador: $R_{\theta ,cs}=0,03\text{ K/W}$.
• A temperatura máxima admissível de operação na junção do silício é $T_{j,\text{maˊx}}=125^{\circ }\text{C}$.

Adotando um coeficiente de segurança que limita a temperatura de junção a $T_{j,\text{projeto}}=110^{\circ }\text{C}$: a) Calcule a resistência térmica máxima admissível do dissipador de aletas ($R_{\theta ,sa}$). b) Sabendo que o dissipador selecionado possui área total de troca térmica molhada pelo ar de $A_{\text{aletas}}=0,65{\text{ m}}^2$, determine o coeficiente convectivo médio $h$ necessário que os ventiladores axiais devem proporcionar.

💡 Resolução Passo a Passo:

a) Resistência térmica máxima do dissipador ($R_{\theta ,sa}$): A equação do circuito térmico em série junção-ambiente é: $T_j-T_a=P_{\text{diss}}\cdot R_{\theta ,\text{total}}=P_{\text{diss}}\cdot \left(R_{\theta ,jc}+R_{\theta ,cs}+R_{\theta ,sa}\right)$ Substituindo os valores de projeto: $110^{\circ }\text{C}-35^{\circ }\text{C}=(600\text{ W})\cdot \left(0,08+0,03+R_{\theta ,sa}\right)$ $75=600\cdot (0,11+R_{\theta ,sa})$ Dividindo por 600: $0,11+R_{\theta ,sa}=\frac{75}{600}=0,125\text{ K/W}$ $\boxed{R_{\theta ,sa}\le 0,125-0,11=0,015\text{ K/W}}$ O dissipador deve apresentar uma resistência térmica de convecção não superior a $0,015\text{ K/W}$.

b) Coeficiente convectivo $h$ requerido: A resistência térmica do dissipador com eficiência de aleta ${\eta }_a\approx 1,0$ é: $R_{\theta ,sa}=\frac{1}{h\cdot A_{\text{aletas}}}$ Isolando $h$: $h=\frac{1}{R_{\theta ,sa}\cdot A_{\text{aletas}}}=\frac{1}{(0,015\text{ K/W})\cdot (0,65{\text{ m}}^2)}=\frac{1}{0,00975}\approx 102,56{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ Os motoventiladores devem ser dimensionados para manter um regime turbulento de ventilação com $h\ge 103{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$.

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Questão 4 (CESPE / CEBRASPE - Polícia Federal - Perito Criminal de Engenharia)

Um barramento retangular de cobre em uma subestação elétrica opera a uma temperatura de regime permanente de $T_s=77^{\circ }\text{C}$ ($350\text{ K}$) em uma sala blindada cujas paredes de concreto e ar ambiente circundante estão a $T_{\infty }=T_{\text{viz}}=27^{\circ }\text{C}$ ($300\text{ K}$). A área superficial total de troca do barramento é $A=2,0{\text{ m}}^2$. O coeficiente convectivo natural ao ar é $h_c=8,0{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)}$. A constante de Stefan-Boltzmann é $\sigma =5,67\cdot 10^{-8}{\text{ W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$. Considere dois cenários operacionais:

• Cenário A: Cobre novo polido com emissividade ${\epsilon }_A=0,10$.
• Cenário B: Cobre pintado com tinta preta fosca isolante com emissividade ${\epsilon }_B=0,90$.

Julgue os itens a seguir como CERTOS (C) ou ERRADOS (E): I. No Cenário A, a perda de calor por convecção responde por mais de $85\%$ de toda a dissipação térmica do barramento. II. A aplicação da tinta no Cenário B eleva a taxa de calor por radiação em exatamente $9$ vezes, resultando em um aumento de mais de $70\%$ na dissipação térmica total do barramento para o mesmo nível de temperatura. III. O calor transferido por radiação depende linearmente da diferença de temperaturas $(T_s-T_{\text{viz}})$ em qualquer faixa de operação.

💡 Resolução e Julgamento Analítico:

Análise do Item I e II (Cálculos das parcelas térmicas):

• Taxa de convecção natural (comum aos dois cenários): $q_{\text{conv}}=h_c\cdot A\cdot (T_s-T_{\infty })=(8,0{\text{ W/(m}}^2\cdot \text{K)})\cdot (2,0{\text{ m}}^2)\cdot (77-27\text{ K})=16,0\cdot 50=800\text{ W}$

• Fator de radiação térmica de quarta potência: $T_s^4-T_{\text{viz}}^4=(350{)}^4-(300{)}^4=1,500625\cdot 10^{10}-0,810000\cdot 10^{10}=0,690625\cdot 10^{10}{\text{ K}}^4$

• Taxa de radiação no Cenário A (${\epsilon }_A=0,10$): $q_{\text{rad},A}={\epsilon }_A\sigma A(T_s^4-T_{\text{viz}}^4)=(0,10)\cdot (5,67\cdot 10^{-8})\cdot (2,0)\cdot (0,690625\cdot 10^{10})$ $q_{\text{rad},A}=(0,10)\cdot (11,34\cdot 10^{-8})\cdot (6,90625\cdot 10^9)\approx 78,32\text{ W}$ Calor total no Cenário A: $q_{\text{total},A}=800+78,32=878,32\text{ W}$ Fração convectiva no Cenário A: $\frac{q_{\text{conv}}}{q_{\text{total},A}}=\frac{800}{878,32}\approx 91,08\%>85\%$ O Item I está plenamente CERTO.

• Taxa de radiação no Cenário B (${\epsilon }_B=0,90$): $q_{\text{rad},B}=\frac{{\epsilon }_B}{{\epsilon }_A}\cdot q_{\text{rad},A}=9\cdot 78,32\approx 704,88\text{ W}$ Calor total no Cenário B: $q_{\text{total},B}=800+704,88=1504,88\text{ W}$ Aumento percentual de dissipação total: $\Delta \%=\frac{1504,88-878,32}{878,32}\times 100\%=\frac{626,56}{878,32}\times 100\%\approx 71,34\%>70\%$ A taxa radiativa aumentou exatamente 9 vezes e a dissipação global cresceu $71,3\%$. O Item II está plenamente CERTO.

Análise do Item III: ERRADO. Pela Lei de Stefan-Boltzmann, a radiação é intrinsecamente proporcional à diferença das quartas potências das temperaturas absolutas: $q_{\text{rad}}\propto (T_s^4-T_{\text{viz}}^4)$ A linearização $q_{\text{rad}}=h_{r}A(T_s-T_{\text{viz}})$ é uma aproximação prática matemática cujo coeficiente $h_r=\epsilon \sigma (T_s+T_{\text{viz}})(T_s^2+T_{\text{viz}}^2)$ é fortemente dependente do nível térmico das temperaturas e não uma constante. Portanto, afirmar que a radiação depende linearmente em qualquer faixa é ERRADO.

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9. 📌 Resumo Conceitual & Fórmulas Críticas Consolidadas

Modo / Fenômeno	Equação Constitutiva / Definição	Significado e Unidade SI
Lei de Fourier (Condução)	${\mathbf{q}}^{\prime \prime }=-k\nabla T,q=\frac{kA}{L}\Delta T$	Taxa condutiva; $k$ é a condutividade térmica ($\text{W/(m}\cdot \text{K)}$).
Resistência Térmica em Parede Plana	$R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}$	Resistência térmica analógica à Lei de Ohm ($\text{K/W}$).
Resistência em Cilindro Coaxial	$R_{\text{cond,cil}}=\frac{\ln (r_2/r_1)}{2\pi kL}$	Condução radial através de isolamento cilíndrico de cabos.
Raio Crítico de Isolamento	$r_{\text{cr}}=\frac{k_{\text{iso}}}{h}$	Raio no qual a dissipação é máxima; se $r<r_{\text{cr}}$, isolar resfria!
Lei de Newton (Convecção)	$q=hA(T_s-T_{\infty }),R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}$	Troca térmica fluido-sólido governada pelo coeficiente $h$.
Número de Nusselt	$\text{Nu}=\frac{h{L}_c}{k_f}$	Adimensional que mede o ganho de troca convectiva vs condução pura.
Número de Prandtl	$\text{Pr}=\frac{\nu }{{\alpha }_{\text{dif}}}=\frac{\mu c_p}{k}$	Razão entre a difusão molecular de momento e calor no fluido.
Radiação de Stefan-Boltzmann	$q_{\text{rad}}=\epsilon \sigma A(T_s^4-T_{\text{viz}}^4)$	Troca radiativa eletromagnética; $\sigma =5,67\cdot 10^{-8}{\text{ W/(m}}^2{\text{K}}^4)$.
Coeficiente Linearizado de Radiação	$h_r=\epsilon \sigma (T_s+T_{\text{viz}})(T_s^2+T_{\text{viz}}^2)$	Permite acoplar a radiação em circuitos térmicos lineares em série.