Aula 03 - Esforços Solicitantes em Vigas Biapoiadas - Diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor

🏗️ Aula 03 - Esforços Solicitantes em Vigas: Diagramas de Cortante e Momento Fletor

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📍 Disciplina: 05 Mecânica dos Sólidos | ⚛️ Área: 02 Físicas e Ciências Básicas | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Vigas Biapoiadas ⬅️ Aula Anterior: 02 - Treliças Planas e Método de Ritter | ➡️ Próxima Aula: 04 - Tensão, Deformação e Lei de Hooke

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Definir e classificar os esforços internos solicitantes em elementos estruturais prismáticos (vigas): Esforço Normal ($N$), Esforço Cortante ($V$) e Momento Fletor ($M$), adotando a convenção de sinais clássica da mecânica das estruturas.
2. Formular e deduzir analiticamente as Relações Diferenciais de Equilíbrio de Schwedler ($dV/dx=-w(x)$ e $dM/dx=V(x)$), compreendendo o significado geométrico das derivadas e áreas sob as curvas.
3. Construir com precisão os Diagramas de Esforço Cortante (DEC) e Diagramas de Momento Fletor (DMF) para vigas biapoiadas com balanços e vigas em balanço engastadas, sob ações combinadas de cargas concentradas, momentos puros e cargas distribuídas uniformes e triangulares.
4. Identificar os pontos críticos de esforço cortante nulo ($V(x)=0$) que determinam a localização e magnitude dos momentos fletores máximos de projeto ($M_{\text{maˊx}}$).
5. Dimensionar estruturalmente cruzetas de linhas de distribuição de média tensão ($13,8\text{ kV}$ e $34,5\text{ kV}$) em concreto, aço galvanizado e madeira tratada segundo a norma ABNT NBR 8458, calculando a tensão máxima de flexão ($\sigma =M/W$) e verificando flechas elásticas limite.

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Tipologia de Vigas e Carregamentos Estruturais
2. 2. Convenção de Sinais e Definição dos Esforços Internos Solicitantes
3. 3. Relações Diferenciais de Equilíbrio e o Teorema das Áreas
4. 4. Metodologia de Construção dos Diagramas DEC e DMF
5. 5. Dimensionamento à Flexão em Cruzetas de Linhas de Distribuição
6. 6. Síntese Visual dos Esforços Solicitantes em Vigas
7. 7. Exercícios Resolvidos de Concursos e Aplicações Práticas
8. 8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

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1. Tipologia de Vigas e Carregamentos Estruturais

Uma viga é um elemento estrutural cujo comprimento longitudinal ($L$) é substancialmente superior às suas dimensões transversais (largura $b$ e altura $h$), projetado prioritariamente para suportar cargas aplicadas transversalmente ao seu eixo longitudinal:

1.1 Classificação Estrutural de Vigas Isostáticas

• Viga Simplesmente Apoiada (Biapoiada): Apoiada por um vínculo de 2º gênero (fixo) em uma extremidade e um vínculo de 1º gênero (móvel) na outra. Possui exatamente 3 reações incógnitas ($R_{Ax},R_{Ay},R_{By}$).
• Viga Biapoiada com Balanços: O vão principal situa-se entre os apoios, e uma ou ambas as extremidades projetam-se além dos apoios como balanços livres (caso clássico de cruzetas de postes centrais de distribuição).
• Viga em Balanço (Engastada e Livre): Possui uma extremidade rigidamente engastada em um suporte fixo (3 reações: $R_x,R_y,M_{\text{eng}}$) e a outra extremidade completamente livre.

1.2 Natureza das Ações Externas

• Cargas Concentradas ($P_i$, em $\text{kN}$ ou $\text{N}$): Forças aplicadas em áreas de contato muito reduzidas em relação ao comprimento da viga (como a força vertical do cabo condutor transmitida pelo pino do isolador sobre a cruzeta).
• Cargas Distribuídas ($w(x)$, em $\text{kN/m}$ ou $\text{N/m}$): Cargas contínuas ao longo do comprimento, como o peso próprio do perfil da viga e a pressão aerodinâmica do vento.
• Momentos Concentrados ($M_0$, em $\text{kN}\cdot \text{m}$): Pares de forças externos aplicados em pontos discretos.

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2. Convenção de Sinais e Definição dos Esforços Internos Solicitantes

Para determinar a distribuição interna de esforços que a estrutura deve suportar, realiza-se um corte transversal imaginário na coordenada genérica $x$ ao longo do eixo da viga, isolando-se a porção à esquerda da seção:

2.1 Os Três Esforços Internos Fundamentais

1. Esforço Normal ($N(x)$): Resultante de todas as forças atuantes paralelas ao eixo longitudinal da viga.
   • Convenção Positiva ($N>0$): Tração pura (vetor aponta para fora da seção transversal, tendendo a alongar a viga).
2. Esforço Cortante ($V(x)$): Resultante de todas as forças transversais perpendiculares ao eixo longitudinal.
   • Convenção Positiva ($V>0$): Tende a provocar uma rotação do elemento no sentido horário (aponta para cima na face esquerda do corte e para baixo na face direita).
3. Momento Fletor ($M(x)$): Resultante de todos os momentos estáticos das forças externas em relação ao baricentro da seção transversal.
   • Convenção Positiva ($M>0$): Tende a tracionar as fibras inferiores da viga e comprimir as fibras superiores (produz curvatura côncava para cima, formato de “sorriso”).

Regra Prática de Cálculo por Partição

Ao isolar o trecho à esquerda da seção de corte:

• $V(x)=\sum F_{y,\text{esquerda}}(\text{forc¸as para cima sa˜o positivas})$.
• $M(x)=\sum M_{\text{em relac¸a˜o ao corte, esquerda}}(\text{momentos horaˊrios sa˜o positivos})$.

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3. Relações Diferenciais de Equilíbrio e o Teorema das Áreas

Consideremos um elemento infinitesimal de viga de comprimento $dx$ submetido a uma carga distribuída transversal genérica $w(x)$ orientada para baixo:

3.1 Dedução das Relações de Schwedler

Aplicando o equilíbrio vertical ($\sum F_y=0$) no elemento de comprimento $dx$: $V-(V+dV)-w(x)\cdot dx=0⟹-dV-w(x)\cdot dx=0$

$\boxed{\frac{dV}{dx}=-w(x)}$

Aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao baricentro da face direita ($\sum M=0$): $-M+(M+dM)-V\cdot dx-w(x)\cdot dx\cdot \left(\frac{dx}{2}\right)=0$ Desprezando o termo de segunda ordem diferencial ($d{x}^2\approx 0$): $dM-V\cdot dx=0$

$\boxed{\frac{dM}{dx}=V(x)}$

Derivando a segunda relação no espaço:

$\boxed{\frac{d^{2}M}{d{x}^2}=-w(x)}$

3.2 Consequências Físicas e Geométricas Diretas

1. A inclinação da curva do Esforço Cortante ($dV/dx$) é igual ao oposto da intensidade da carga distribuída ($-w(x)$).
   • Onde $w=0$ (trecho descarregado entre cargas pontuais): $dV/dx=0⟹V(x)=\text{constante}$ (linha horizontal no DEC).
   • Onde $w(x)=w_0$ (carga uniforme): $V(x)$ é uma linha reta inclinada de inclinação $-w_0$.
2. A inclinação da curva do Momento Fletor ($dM/dx$) é rigorosamente igual ao valor instantâneo do esforço cortante $V(x)$.
   • Onde $V(x)=0$: a inclinação da reta tangente à curva de momento fletor é nula ($dM/dx=0$). Esse ponto é um ponto crítico de extremo local (Momento Fletor Máximo ou Mínimo absoluto)!
3. Teorema das Áreas: Integrando a relação diferencial entre duas seções $A$ e $B$: ${\int }_A^{B}dM={\int }_A^{B}V(x)dx⟹\boxed{M(B)-M(A)=\text{Aˊrea sob o graˊfico do DEC entre }A\text{ e }B}$

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4. Metodologia de Construção dos Diagramas DEC e DMF

Para construir com velocidade e exatidão os diagramas de engenharia:

1. Cálculo das Reações de Apoio: Determinar todas as reações vinculares no equilíbrio estático global da viga.
2. Identificação das Seções Singulares: Marcar todas as abscissas onde ocorrem cargas concentradas, início/fim de cargas distribuídas, apoios ou momentos aplicados.
3. Construção do DEC:
   • Iniciar em zero na extremidade esquerda ($x=0^{-}$).
   • Ao encontrar uma carga concentrada vertical para cima ($R_{Ay}$), o DEC dá um salto vertical para cima de valor exatamente igual a $R_{Ay}$.
   • Ao percorrer trechos com carga distribuída $w$, o DEC desce com taxa constante $-w$ por metro percorrido.
   • Ao encontrar uma carga pontual para baixo ($P$), o DEC dá um salto vertical para baixo de valor $P$.
   • Na extremidade direita, o diagrama deve fechar rigorosamente em zero ($V=0$).
4. Construção do DMF:
   • Iniciar em zero (em extremidades apoiadas ou livres sem momento aplicado) ou no valor do momento de engaste/aplicado.
   • Calcular as áreas geométricas dos polígonos do DEC (retângulos, triângulos e trapézios).
   • Somar algebricamente as áreas acumuladas para obter o valor do momento fletor em cada seção singular.
   • Onde o DEC é retangular (constante), o DMF é triangular (linear).
   • Onde o DEC é triangular (linear), o DMF é parabólico do segundo grau (com concavidade voltada para baixo se $w>0$).
   • Onde $V=0$, calcular o momento máximo correspondente.

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5. Dimensionamento à Flexão em Cruzetas de Linhas de Distribuição

As cruzetas são vigas horizontais fixadas aos postes de distribuição para afastar lateralmente os condutores energizados, garantindo distâncias mínimas de segurança de isolamento no ar segundo a ABNT NBR 5433 / NBR 8458:

Esquema de Carregamento em Cruzeta de Distribuição

Cruzeta Simétrica com 3 Fases ($P$):

• Extremidade Esquerda ($x=-L$): Condutor Fase A exercendo força vertical descendente $P$.
• Engaste Central ($x=0$): Apoio rígido no poste de concreto (força de reação vertical $R_y=3P$ e momento resistente).
• Extremidade Direita ($x=+L$): Condutor Fase C exercendo força vertical descendente $P$.
• Centro ($x=0$): Condutor Fase B exercendo carga concentrada $P$ diretamente sobre o poste.

5.1 Tensões Normais de Flexão Simples (Fórmula de Navier)

Pela teoria de vigas de Euler-Bernoulli, as deformações normais variam linearmente a partir da Linha Neutra ($LN$, eixo centróide da seção transversal onde $\sigma =0$). A tensão normal longitudinal na fibra situada à distância vertical $y$ da Linha Neutra vale:

$\boxed{\sigma (y)=\frac{M(x)\cdot y}{I_z}}$

A tensão normal máxima de tração ou compressão ocorre na fibra mais externa ($y_{\text{maˊx}}=c$):

$\boxed{{\sigma }_{\text{maˊx}}=\frac{M_{\text{maˊx}}}{W_z}}$

Onde:

• $M_{\text{maˊx}}$: Momento fletor máximo de projeto determinado pelo DMF ($\text{N}\cdot \text{m}$ ou $\text{kN}\cdot \text{cm}$).
• $I_z$: Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão (${\text{m}}^4$ ou ${\text{cm}}^4$).
• $W_z=I_z/y_{\text{maˊx}}$: Módulo de Resistência da Seção Transversal (${\text{m}}^3$ ou ${\text{cm}}^3$).
  • Para seção transversal retangular maciça de base $b$ e altura $h$: $I_z=\frac{b\cdot h^3}{12},y_{\text{maˊx}}=\frac{h}{2}⟹\boxed{W_z=\frac{b\cdot h^2}{6}}$

5.2 Critério de Resistência e Deformação Admissível

1. Critério de Resistência: A tensão atuante máxima não deve ultrapassar a tensão admissível do material com coeficiente de segurança $s\ge 2,0$: ${\sigma }_{\text{maˊx}}=\frac{M_{\text{maˊx}}}{W_z}\le {\sigma }_{\text{adm}}=\frac{{\sigma }_{\text{escoamento}}}{s}$
2. Critério de Deformação (Flecha Máxima): Para evitar desvio angular excessivo nos isoladores de pino e oscilação sob vento, a flecha máxima elástica no vão ($f_{\text{maˊx}}$) deve obedecer ao limite: $f_{\text{maˊx}}\le \frac{L}{300}$

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6. Síntese Visual dos Esforços Solicitantes em Vigas

O diagrama técnico consolidado apresenta os três esforços internos fundamentais, as relações diferenciais de Schwedler e o traçado real dos diagramas DEC e DMF em uma cruzeta de distribuição trifásica:

Interpretação Prática do Diagrama

O Painel 1 sistematiza as definições de $N,V,M$ e a convenção de sinais positivos da mecânica. O Painel 2 detalha as equações diferenciais $dV/dx=-w$ e $dM/dx=V$, destacando que o ponto de cortante nulo ($V=0$) coincide com o momento fletor máximo. O Painel 3 ilustra a cruzeta simétrica com as três fases, traçando os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores e formulando a equação de Navier $\sigma =M/W$.

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7. Exercícios Resolvidos de Concursos e Aplicações Práticas

Questão 01 (Petrobras - Engenharia Civil / Mecânica das Estruturas)

Enunciado: Uma viga biapoiada isostática com vão livre de $L=6,0\text{ metros}$ possui apoio de 2º gênero no nó A ($x=0$) e apoio de 1º gênero no nó B ($x=6\text{ m}$). A viga suporta uma carga uniformemente distribuída de $w_0=12\text{ kN/m}$ em toda a sua extensão e uma carga concentrada vertical para baixo de $P=36\text{ kN}$ aplicada exatamente no meio do vão ($x=3,0\text{ m}$). Determine: a) As reações verticais de apoio nos nós A e B. b) As equações analíticas do Esforço Cortante ($V(x)$) e do Momento Fletor ($M(x)$) para o trecho $1$ ($0\le x<3\text{ m}$) e trecho $2$ ($3\text{ m}<x\le 6\text{ m}$). c) O valor e a localização do Momento Fletor Máximo absoluto ($M_{\text{maˊx}}$) na viga.

Resolução Detalhada:

Passo 1: Reações de apoio no equilíbrio global: A carga total distribuída vale: $W_{\text{dist}}=w_0\cdot L=12\text{ kN/m}\times 6\text{ m}=72\text{ kN}$ Pela simetria de geometria e carregamento (carga concentrada no centro $x=3\text{ m}$ e distribuída simétrica): $R_{Ax}=0$ $\sum F_y=0⟹R_{Ay}+R_{By}=72\text{ kN}+36\text{ kN}=108\text{ kN}$ $R_{Ay}=R_{By}=\frac{108\text{ kN}}{2}=54\text{ kN}$

$\boxed{R_{Ay}=54\text{ kN}(\uparrow ),R_{By}=54\text{ kN}(\uparrow )}$

Passo 2: Equações analíticas para o Trecho 1 ($0\le x<3,0\text{ m}$): Seccionando a viga a uma distância $x$ à esquerda da carga concentrada:

• Esforço Cortante: $V(x)=R_{Ay}-w_0\cdot x=54-12x[\text{kN}]$
  • Em $x=0$: $V(0)=+54\text{ kN}$.
  • Em $x=3^{-}$: $V(3^{-})=54-12(3)=54-36=+18\text{ kN}$.
• Momento Fletor: $M(x)=R_{Ay}\cdot x-w_0\cdot x\cdot \left(\frac{x}{2}\right)=54x-6x^2[\text{kN}\cdot \text{m}]$
  • Em $x=0$: $M(0)=0$.
  • Em $x=3\text{ m}$: $M(3)=54(3)-6(3^2)=162-54=108\text{ kN}\cdot \text{m}$.

Passo 3: Equações analíticas para o Trecho 2 ($3,0\text{ m}<x\le 6,0\text{ m}$): Seccionando após a carga concentrada de $36\text{ kN}$:

• Esforço Cortante: $V(x)=R_{Ay}-w_0\cdot x-P=54-12x-36=18-12x[\text{kN}]$
  • Em $x=3^{+}$: $V(3^{+})=18-12(3)=18-36=-18\text{ kN}$. (Degrau vertical no DEC de $18-(-18)=36\text{ kN}$, correspondente à carga $P$).
  • Em $x=6\text{ m}$: $V(6)=18-12(6)=18-72=-54\text{ kN}$.
• Momento Fletor: $M(x)=R_{Ay}\cdot x-\frac{w_0{x}^2}{2}-P\cdot (x-3)=54x-6x^2-36(x-3)$ $M(x)=54x-6x^2-36x+108=108+18x-6x^2[\text{kN}\cdot \text{m}]$
  • Em $x=6\text{ m}$: $M(6)=108+18(6)-6(36)=108+108-216=0$.

Passo 4: Momento Fletor Máximo: O cortante muda de sinal de $+18\text{ kN}$ para $-18\text{ kN}$ na seção $x=3,0\text{ m}$. O momento fletor atinge seu valor máximo absoluto no centro do vão: $\boxed{M_{\text{maˊx}}=M(3\text{ m})=108\text{ kN}\cdot \text{m}}$

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Questão 02 (Copel - Engenharia de Distribuição / Redes Aéreas Urbanas)

Enunciado: Uma cruzeta de concreto armado simétrica para rede aérea de distribuição urbana de $13,8\text{ kV}$ (padrão Copel / ABNT NBR 8458) possui comprimento total de $L=2,40\text{ metros}$ e seção transversal retangular maciça de largura $b=90\text{ mm}$ e altura $h=90\text{ mm}$. A cruzeta é fixada rigidamente ao poste através de um parafuso central de engaste passante de aço no meio do vão ($x=1,20\text{ m}$), atuando como duas vigas em balanço idênticas de comprimento $L_{\text{balanc¸o}}=1,20\text{ m}$. A cruzeta sustenta três fases com condutores nus de alumínio:

• Fase A (extremidade esquerda, balanço $x=0$): carga vertical pontual de $P_A=120\text{ daN}=1,20\text{ kN}$.
• Fase B (centro, diretamente sobre o poste em $x=1,20\text{ m}$): $P_B=1,20\text{ kN}$.
• Fase C (extremidade direita, balanço $x=2,40\text{ m}$): $P_C=1,20\text{ kN}$. O peso próprio da cruzeta é de $w_{\text{peso}}=0,20\text{ kN/m}$ distribuído uniformemente. Pede-se: a) Determine o Momento Fletor Máximo de engastamento junto ao poste ($M_{\text{eng}}$) em $\text{kN}\cdot \text{m}$ exercido pela Fase A e peso do balanço. b) Calcule o Módulo de Resistência da seção transversal ($W_z$, em ${\text{cm}}^3$). c) Calcule a tensão normal máxima de tração devida à flexão (${\sigma }_{\text{maˊx}}$, em $\text{MPa}$) e compare com a tensão admissível à tração na flexão do concreto armado de projeto (${\sigma }_{\text{adm}}=18\text{ MPa}$).

Resolução Detalhada:

Passo 1: Momento fletor no engaste do poste ($x=1,20\text{ m}$): Isolando o semi-balanço esquerdo de comprimento $l=1,20\text{ m}$:

• Carga pontual da Fase A na ponta ($d_A=1,20\text{ m}$): $M_1=P_A\cdot l=1,20\text{ kN}\times 1,20\text{ m}=1,44\text{ kN}\cdot \text{m}$
• Carga distribuída de peso próprio do braço ($w=0,20\text{ kN/m}$ com braço de alavanca $l/2=0,60\text{ m}$): $M_2=\frac{w\cdot l^2}{2}=\frac{0,20\text{ kN/m}\times (1,20\text{ m}{)}^2}{2}=\frac{0,20\times 1,44}{2}=0,144\text{ kN}\cdot \text{m}$

O momento fletor total máximo atuante na seção engastada da cruzeta junto ao poste vale: $M_{\text{maˊx}}=M_1+M_2=1,44+0,144=1,584\text{ kN}\cdot \text{m}$

$\boxed{M_{\text{maˊx}}=1,584\text{ kN}\cdot \text{m}=1584\text{ N}\cdot \text{m}=158,4\text{ kN}\cdot \text{cm}}$

Passo 2: Módulo de resistência de seção ($W_z$): A seção é quadrada com $b=90\text{ mm}=9\text{ cm}$ e $h=90\text{ mm}=9\text{ cm}$: $W_z=\frac{b\cdot h^2}{6}=\frac{9\text{ cm}\times (9\text{ cm}{)}^2}{6}=\frac{9\times 81}{6}=\frac{729}{6}=121,5{\text{ cm}}^3=121,5\times 10^{-6}{\text{ m}}^3$

$\boxed{W_z=121,5{\text{ cm}}^3}$

Passo 3: Tensão normal máxima e conformidade: Pela fórmula de Navier: ${\sigma }_{\text{maˊx}}=\frac{M_{\text{maˊx}}}{W_z}=\frac{1584\text{ N}\cdot \text{m}}{121,5\times 10^{-6}{\text{ m}}^3}\approx 13037037\text{ Pa}\approx 13,04\text{ MPa}$

$\boxed{{\sigma }_{\text{maˊx}}\approx 13,04\text{ MPa}}$

Avaliação de Conformidade: Como ${\sigma }_{\text{maˊx}}=13,04\text{ MPa}\le {\sigma }_{\text{adm}}=18,0\text{ MPa}$, a cruzeta opera a $72,4\%$ de sua capacidade admissível, atendendo plenamente aos critérios de segurança estrutural da Copel e ABNT NBR 8458.

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Questão 03 (Furnas - Engenharia de Manutenção / Subestações de Alta Tensão)

Enunciado: Um tubo cilíndrico oco de liga de alumínio 6063-T6 com diâmetro externo $D=100\text{ mm}$ e espessura de parede $t=5\text{ mm}$ (diâmetro interno $d=90\text{ mm}$) é utilizado como barramento rígido aéreo em um pórtico de subestação de $138\text{ kV}$. O vão livre entre isoladores pedestais de sustentação é de $L=8,0\text{ metros}$. Dados da seção tubular oca:

• Momento de Inércia: $I_z=\frac{\pi (D^4-d^4)}{64}=\frac{\pi (100^4-90^4)}{64}=\frac{\pi (100000000-65610000)}{64}=\frac{\pi \times 34390000}{64}\approx 1,688\times 10^6{\text{ mm}}^4=168,8{\text{ cm}}^4$
• Raio externo: $c=D/2=50\text{ mm}=5,0\text{ cm}$
• Módulo de Resistência: $W_z=\frac{I_z}{c}=\frac{168,8{\text{ cm}}^4}{5,0\text{ cm}}=33,76{\text{ cm}}^3=33,76\times 10^{-6}{\text{ m}}^3$

Durante um evento severo de vento e gelo, a carga distribuída total vertical (peso próprio do tubo mais condutores de derivação) é de $w=0,15\text{ kN/m}=150\text{ N/m}$. Considere a viga como simplesmente apoiada nos pedestais nas extremidades. Determine: a) O Momento Fletor Máximo no meio do vão ($M_{\text{maˊx}}$). b) A tensão máxima de tração por flexão na fibra inferior do tubo de alumínio em $\text{MPa}$. c) A flecha elástica máxima central ($f_{\text{maˊx}}$), sabendo que o módulo de elasticidade do alumínio é $E=70\text{ GPa}=70\times 10^9{\text{ N/m}}^2$, dada pela fórmula clássica: $f_{\text{maˊx}}=\frac{5\cdot w\cdot L^4}{384\cdot E\cdot I_z}$

Resolução Detalhada:

Passo 1: Momento Fletor Máximo: Para viga simplesmente apoiada com carga uniforme: $M_{\text{maˊx}}=\frac{w\cdot L^2}{8}=\frac{150\text{ N/m}\times (8,0\text{ m}{)}^2}{8}=\frac{150\times 64}{8}=150\times 8=1200\text{ N}\cdot \text{m}$

$\boxed{M_{\text{maˊx}}=1200\text{ N}\cdot \text{m}=1,20\text{ kN}\cdot \text{m}}$

Passo 2: Tensão normal máxima de flexão: ${\sigma }_{\text{maˊx}}=\frac{M_{\text{maˊx}}}{W_z}=\frac{1200\text{ N}\cdot \text{m}}{33,76\times 10^{-6}{\text{ m}}^3}\approx 35545023\text{ Pa}\approx 35,55\text{ MPa}$

$\boxed{{\sigma }_{\text{maˊx}}\approx 35,5\text{ MPa}}$ Como o limite de escoamento da liga 6063-T6 é $f_y\approx 170\text{ MPa}$, a margem de segurança contra flexão é superior a $4,7\times$.

Passo 3: Flecha máxima no centro do vão: $L^4=8^4=4096{\text{ m}}^4$ $I_z=1,688\times 10^6{\text{ mm}}^4=1,688\times 10^{-6}{\text{ m}}^4$ $E\cdot I_z=(70\times 10^9{\text{ N/m}}^2)\times (1,688\times 10^{-6}{\text{ m}}^4)=118160\text{ N}\cdot {\text{m}}^2$

$f_{\text{maˊx}}=\frac{5\times (150\text{ N/m})\times (4096{\text{ m}}^4)}{384\times 118160\text{ N}\cdot {\text{m}}^2}=\frac{3072000}{45373440}\approx 0,0677\text{ m}=67,7\text{ mm}$

$\boxed{f_{\text{maˊx}}\approx 67,7\text{ mm}\approx 6,8\text{ cm}}$ Verificação da Norma IEEE 605: O limite recomendado de flecha para barramentos tubulares rígidos em subestações para evitar oscilações harmônicas sob vento é $f_{\text{lim}}=L/150=8000/150=53,3\text{ mm}$. Como $67,7\text{ mm}>53,3\text{ mm}$, recomenda-se instalar um apoio pedestal intermediário a $4\text{ m}$ ou aumentar a espessura da parede do tubo para $8\text{ mm}$.

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Questão 04 (Chesf - Engenheiro Mecânico / Estruturas Hidráulicas e Eletromecânicas)

Enunciado: Uma viga mestra de rolamento de ponte rolante de casa de força de hidrelétrica de vão $L=10\text{ metros}$ recebe um par de forças móveis (rodas da cabeceira da ponte) de intensidade $P_1=P_2=100\text{ kN}$ separadas por uma distância fixa entre eixos de $d=2,0\text{ metros}$. Pelo Teorema de Barret para pontes rolantes, o Momento Fletor Absoluto Máximo ocorre sob a roda mais próxima do centro quando o meio do vão da viga ($L/2=5,0\text{ m}$) divide ao meio a distância entre a resultante das duas cargas ($R=200\text{ kN}$ no ponto médio do eixo) e a carga mais próxima. Determine: a) A posição exata $x$ da roda 1 na viga para a qual ocorre o momento fletor absoluto máximo. b) O valor numérico do Momento Fletor Máximo Absoluto ($M_{\text{maˊx, abs}}$) em $\text{kN}\cdot \text{m}$.

Resolução Detalhada:

Passo 1: Aplicação do Teorema de Barret: A resultante $R=P_1+P_2=200\text{ kN}$ localiza-se a $d/2=1,0\text{ m}$ de cada roda. Pelo Teorema de Barret, o centro do vão ($L/2=5,0\text{ m}$) deve ficar a meia distância entre a resultante e a roda 1. Distância entre a resultante e a roda 1: $1,0\text{ m}$. Meia distância: $e=0,50\text{ m}$. Logo, a roda 1 deve ser posicionada a: $x_1=\frac{L}{2}-\frac{d}{4}=5,0-0,50=4,50\text{ metros a partir do apoio esquerdo A}$ A roda 2 localiza-se em $x_2=x_1+d=4,50+2,00=6,50\text{ metros}$. A resultante $R=200\text{ kN}$ atua em $x_R=5,50\text{ metros}$.

$\boxed{x_1=4,50\text{ m}}$

Passo 2: Reação no apoio A ($R_A$): Tomando momentos em relação ao apoio B ($x=10\text{ m}$): $\sum M_B=0⟹R_A\cdot L-R\cdot (L-x_R)=0$ $R_A\times 10-200\times (10-5,50)=0$ $10R_A=200\times 4,50=900⟹R_A=90\text{ kN}$

$\boxed{R_A=90\text{ kN}}$

Passo 3: Momento Fletor Absoluto Máximo (sob a roda 1 em $x=4,50\text{ m}$): O momento sob a roda 1 é obtido isolando o trecho à esquerda: $M_{\text{maˊx, abs}}=R_A\cdot x_1=90\text{ kN}\times 4,50\text{ m}=405\text{ kN}\cdot \text{m}$

$\boxed{M_{\text{maˊx, abs}}=405\text{ kN}\cdot \text{m}}$ Nota de Projeto: Este valor governa o dimensionamento da viga de perfil I soldado de aço de alta resistência da ponte rolante para içamento seguro de rotores de turbina Francis/Kaplan.

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8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

• HIBBELER, Russell C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2018.
• BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; DEWOLF, John T.; MAZUREK, David F. Mecânica dos Materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
• ABNT NBR 8458: Cruzetas de concreto armado para redes de distribuição e subtransmissão de energia elétrica.
• ABNT NBR 5433: Redes de distribuição aérea de energia elétrica com condutores nus.
• IEEE Std 605: IEEE Guide for Bus Design in Air Insulated Substations.