Aula 04 - Conceitos Fundamentais de Tensão e Deformação - Tensões Normais e Cisalhantes

🏗️ Aula 04 - Tensão, Deformação e Elasticidade: Lei de Hooke e Tensor de Cauchy

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Definir formalmente o conceito mecânico de tensão como limite diferencial de forças internas superficiais (${\mathbf{T}}^{(n)}=d\mathbf{F}/dA$), decompondo-o em tensão normal ($\sigma$) e tensão cisalhante tangencial ($\tau$).
2. Compreender a formulação matemática matricial do Tensor de Tensões de Cauchy tridimensional, provando sua simetria intrínseca (${\tau }_{ij}={\tau }_{ji}$) a partir da conservação do momento angular de um elemento infinitesimal.
3. Quantificar as deformações no contínuo elástico através da deformação linear específica ($\epsilon =\Delta L/L_0$) e da distorção angular de cisalhamento ($\gamma =\pi /2-{\theta }^{\prime }$ em radianos).
4. Analisar o efeito lateral de contração expresso pelo Coeficiente de Poisson ($\nu =-{\epsilon }_{\text{lat}}/{\epsilon }_{\text{axial}}$) e formular a variação volumétrica específica ($e=\Delta V/V_0$).
5. Aplicar a Lei de Hooke Generalizada para sólidos elásticos lineares e isotrópicos, deduzindo a relação fundamental entre as constantes elásticas ($G=E/[2(1+\nu )]$) e incorporando o efeito acoplado de expansão e tensão térmica (${\sigma }_{\text{teˊrmica}}=-E\alpha \Delta T$) em barramentos elétricos rígidos e condutores aéreos de alumínio.

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Conceito Mecânico de Tensão e Vetor Tensão de Cauchy
2. 2. O Tensor de Tensões de Cauchy em Três Dimensões
3. 3. Cinemática das Deformações: Extensões e Distorções Angulares
4. 4. Coeficiente de Poisson e Dilatação Volumétrica
5. 5. Lei de Hooke Generalizada e Tensões Térmicas em Barramentos
6. 6. Síntese Visual de Tensões e Relações Constitutivas
7. 7. Exercícios Resolvidos de Concursos e Aplicações Práticas
8. 8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

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1. Conceito Mecânico de Tensão e Vetor Tensão de Cauchy

A intensidade mecânica da solicitação interna em um meio contínuo sólido não é quantificada pela força resultante bruta, mas sim pela distribuição dessa força sobre a unidade de área transversal:

1.1 O Postulado de Cauchy (1822)

Consideremos um corpo sólido em equilíbrio seccionado por um plano fictício com vetor unitário normal $\hat{n}$. Em um elemento de área infinitesimal $\Delta A$ ao redor de um ponto $P$, atua uma força interna resultante $\Delta \mathbf{F}$. O Vetor Tensão de Tração (${\mathbf{T}}^{(\hat{n})}$) no ponto $P$ associado ao plano de orientação $\hat{n}$ é o limite diferencial:

$\boxed{{\mathbf{T}}^{(\hat{n})}=\underset{\Delta A\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta A}=\frac{d\mathbf{F}}{dA}}$

1.2 Decomposição Ortogonal: Tensão Normal e Tensão Cisalhante

O vetor tensão ${\mathbf{T}}^{(\hat{n})}$ pode ser projetado em duas componentes perpendiculares canônicas:

1. Tensão Normal ($\sigma$): Projeção escalar paralela ao vetor normal $\hat{n}$ (perpendicular ao plano da seção): $\sigma ={\mathbf{T}}^{(\hat{n})}\cdot \hat{n}$
   • Se $\sigma >0$: Tensão de Tração (tende a separar a matéria).
   • Se $\sigma <0$: Tensão de Compressão (tende a prensar a matéria).
2. Tensão Cisalhante ou Tangencial ($\tau$): Componente contida no plano da seção transversal, perpendicular a $\hat{n}$: $\tau =\sqrt{|{\mathbf{T}}^{(\hat{n})}{|}^2-{\sigma }^2}$ Mede a tendência de deslizamento ou cisalhamento mútuo entre planos atômicos adjacentes.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de tensão é o Pascal: $1\text{ Pa}=1{\text{ N/m}}^2,1\text{ MPa}=10^6{\text{ N/m}}^2=1{\text{ N/mm}}^2,1\text{ GPa}=10^9{\text{ N/m}}^2=10^3\text{ MPa}$

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2. O Tensor de Tensões de Cauchy em Três Dimensões

Para descrever o estado de tensão completo em um ponto $P$ do material em todas as infinitas direções espaciais possíveis, analisa-se um elemento de volume infinitesimal cúbico com faces orientadas segundo os eixos cartesianos $x,y,z$:

Morfologia do Cubo Infinitesimal no Espaço Tridimensional

Um elemento de volume infinitesimal $dx\cdot dy\cdot dz$ submetido ao tensor de Cauchy apresenta:

1. Faces Perpendiculares ao Eixo $x$: Tensão normal ${\sigma }_{xx}$ orientada em $\hat{i}$ e tensões cisalhantes tangenciais $a{u}_{xy}$ (em $\hat{j}$) e $a{u}_{xz}$ (em $\hat{k}$).
2. Faces Perpendiculares ao Eixo $y$: Tensão normal ${\sigma }_{yy}$ orientada em $\hat{j}$ e tensões cisalhantes tangenciais $a{u}_{yx}$ (em $\hat{i}$) e $a{u}_{yz}$ (em $\hat{k}$).
3. Faces Perpendiculares ao Eixo $z$: Tensão normal ${\sigma }_{zz}$ orientada em $\hat{k}$ e tensões cisalhantes tangenciais $a{u}_{zx}$ (em $\hat{i}$) e $a{u}_{zy}$ (em $\hat{j}$).

2.1 Representação Matricial do Tensor

Em cada uma das três faces mutuamente ortogonais atuam 1 tensão normal e 2 tensões cisalhantes, totalizando 9 componentes escalares agrupadas na matriz do Tensor de Tensões de Cauchy ($[\sigma ]$):

$[\sigma ]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]$

Regra de Nomenclatura dos Índices:

• O primeiro subíndice indica a direção do vetor normal à face em que a tensão atua.
• O segundo subíndice indica a direção em que a tensão atua.

2.2 Teorema da Reciprocidade das Tensões Cisalhantes (Simetria de Cauchy)

Aplicando a equação de equilíbrio rotacional de momentos em relação aos eixos que passam pelo centro do cubo infinitesimal ($\sum M_z=0$): $({\tau }_{xy}\cdot dydz)\cdot dx-({\tau }_{yx}\cdot dxdz)\cdot dy=0⟹{\tau }_{xy}\cdot dxdydz={\tau }_{yx}\cdot dxdydz$

$\boxed{{\tau }_{xy}={\tau }_{yx},{\tau }_{xz}={\tau }_{zx},{\tau }_{yz}={\tau }_{zy}}$

A matriz do tensor de tensões é estritamente simétrica, possuindo apenas seis componentes independentes ($3$ tensões normais e $3$ tensões cisalhantes).

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3. Cinemática das Deformações: Extensões e Distorções Angulares

Sob a ação do tensor de tensões, o corpo rígido fictício sofre deformação contínua real, caracterizada pela alteração das distâncias interatômicas e dos ângulos entre linhas de matéria:

3.1 Deformação Específica Linear ($\epsilon$)

A variação relativa no comprimento de um segmento infinitesimal originalmente orientado na direção $x$ é a deformação linear específica:

$\boxed{{\epsilon }_x=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta L-\Delta x}{\Delta x}=\frac{\partial u}{\partial x}}$

Onde $u(x,y,z)$ é o campo de deslocamentos na direção $x$. A deformação é uma grandeza puramente adimensional (expressa em $\text{m/m}$, $\text{mm/m}$ ou porcentagem $\%$).

• Se $\epsilon >0$: Extensão / Alongamento longitudinal.
• Se $\epsilon <0$: Contração / Encurtamento.

3.2 Deformação Específica Angular ou Distorção ($\gamma$)

A variação angular sofrida por dois segmentos infinitesimais originalmente perpendiculares entre si (formando $90^{\circ }=\pi /2\text{ rad}$) é a distorção de cisalhamento:

$\boxed{{\gamma }_{xy}=\frac{\pi }{2}-{\theta }^{\prime }=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}[\text{rad}]}$

Mede a alteração de forma (distorção rômbica) sem alteração primária de comprimento.

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4. Coeficiente de Poisson e Dilatação Volumétrica

4.1 O Efeito de Siméon Denis Poisson (1829)

Quando uma barra cilíndrica de metal homogêneo e isotrópico (como cobre ou alumínio) é submetida a uma força de tração uniaxial na direção $x$ (${\sigma }_x>0$), ela não apenas se alonga na direção longitudinal (${\epsilon }_x>0$), mas também contrai-se transversalmente e simultaneamente em todas as direções laterais (${\epsilon }_y<0$ e ${\epsilon }_z<0$). O Coeficiente de Poisson ($\nu$) é a razão adimensional negativa entre a deformação lateral e a deformação axial:

$\boxed{\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{lateral}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}=-\frac{{\epsilon }_y}{{\epsilon }_x}=-\frac{{\epsilon }_z}{{\epsilon }_x}}$

Valores experimentais típicos para materiais de engenharia:

• Cobre eletrolítico: $\nu \approx 0,34$.
• Alumínio estrutural 1350: $\nu \approx 0,33$.
• Aço carbono estrutural: $\nu \approx 0,30$.
• Concreto armado: $\nu \approx 0,15\text{ a }0,20$.
• Borracha incompressível: $\nu \approx 0,499\approx 0,50$.

4.2 Dilatação Volumétrica Específica ($e$)

A variação relativa de volume de um elemento sujeito a deformações tridimensionais vale: $e=\frac{\Delta V}{V_0}=(1+{\epsilon }_x)(1+{\epsilon }_y)(1+{\epsilon }_z)-1\approx {\epsilon }_x+{\epsilon }_y+{\epsilon }_z$ Sob tração uniaxial (${\epsilon }_y={\epsilon }_z=-\nu {\epsilon }_x$):

$\boxed{e={\epsilon }_x\cdot (1-2\nu )}$

Como para os metais condutores $\nu \approx 0,33<0,50$, o termo $(1-2\nu )>0$, o que significa que o volume macroscópico do cabo tracionado aumenta ligeiramente sob tração pura.

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5. Lei de Hooke Generalizada e Tensões Térmicas em Barramentos

Para materiais elásticos, lineares, homogêneos e isotrópicos submetidos a pequenos deslocamentos, o Princípio da Superposição permite correlacionar tensões e deformações tridimensionais:

5.1 Equações Constitutivas Tridimensionais (Com Efeito Térmico)

Quando um corpo é submetido tanto a um estado triaxial de tensões quanto a uma variação homogênea de temperatura $\Delta T=T-T_0$, a deformação total é a soma da parcela mecânica com a parcela de dilatação térmica livre (${\epsilon }_{\text{teˊrmica}}=\alpha \Delta T$):

$\boxed{{\epsilon }_x=\frac{1}{E}\left[{\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z)\right]+\alpha \Delta T}$ $\boxed{{\epsilon }_y=\frac{1}{E}\left[{\sigma }_y-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_z)\right]+\alpha \Delta T}$ $\boxed{{\epsilon }_z=\frac{1}{E}\left[{\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)\right]+\alpha \Delta T}$

Para as deformações angulares de cisalhamento puro:

$\boxed{{\gamma }_{xy}=\frac{{\tau }_{xy}}{G},{\gamma }_{yz}=\frac{{\tau }_{yz}}{G},{\gamma }_{xz}=\frac{{\tau }_{xz}}{G}}$

Onde:

• $E$: Módulo de Elasticidade Longitudinal (Módulo de Young), em $\text{GPa}$ ou $\text{MPa}$.
• $G$: Módulo de Elasticidade Transversal (Módulo de Cisalhamento), em $\text{GPa}$ ou $\text{MPa}$.
• $\alpha$: Coeficiente de Dilatação Térmica Linear, em ${}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ (${\alpha }_{\text{Al}}\approx 23\times 10^{-6}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$, ${\alpha }_{\text{Cu}}\approx 17\times 10^{-6}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$, ${\alpha }_{\text{Ac¸o}}\approx 12\times 10^{-6}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$).

5.2 Relação de Compatibilidade Elástica Fundamental

Pela mecânica dos meios contínuos isotrópicos, as constantes $E,G$ e $\nu$ não são independentes, relacionando-se pela equação exata:

$\boxed{G=\frac{E}{2\cdot (1+\nu )}}$

5.3 Tensões Térmicas em Barramentos Eletrolíticos com Vínculos Rígidos

Em subestações blindadas ou painéis elétricos industriais de alta corrente, barras rígidas de cobre eletrolítico conectam disjuntores e transformadores. Se as extremidades do barramento forem impedidas rigidamente de se expandir (${\epsilon }_x=0$) ao longo de um comprimento $L$: ${\epsilon }_x=\frac{{\sigma }_x}{E}+\alpha \Delta T=0$

$\boxed{{\sigma }_{\text{teˊrmica}}=-E\cdot \alpha \cdot \Delta T}$

O sinal negativo indica que um aquecimento ($\Delta T>0$) induz uma violenta tensão de compressão axial. Se $\Delta T=60^{\circ }\text{C}$ em barra de cobre ($E=120\text{ GPa},\alpha =17\times 10^{-6}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$): ${\sigma }_{\text{teˊrmica}}=-(120\times 10^3\text{ MPa})\times (17\times 10^{-6})\times 60\approx -122,4\text{ MPa}$ Essa compressão térmica colossal gera força axial suficiente para flambar o barramento ou arrancar os isoladores de porcelana de suporte, tornando obrigatória a inclusão de juntas de dilatação flexíveis laminadas de cobre.

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6. Síntese Visual de Tensões e Relações Constitutivas

O diagrama técnico consolidado apresenta o tensor tridimensional de tensões de Cauchy, as deformações lineares e angulares acopladas ao efeito de Poisson e a Lei de Hooke generalizada:

Interpretação Prática do Diagrama

O Painel 1 formaliza a definição matemática de Cauchy e a simetria matricial ${\tau }_{ij}={\tau }_{ji}$. O Painel 2 mapeia as deformações normais $\epsilon$ e distorções $\gamma$, deduzindo o coeficiente de Poisson $\nu$ e a dilatação volumétrica. O Painel 3 expõe a Lei de Hooke tridimensional com expansão térmica e detalha as propriedades dos condutores de Cobre, Alumínio e Aço.

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7. Exercícios Resolvidos de Concursos e Aplicações Práticas

Questão 01 (Marinha do Brasil - Corpo de Engenheiros / Engenharia Naval-Elétrica)

Enunciado: Uma barra condutora retangular de cobre eletrolítico ($E=120\text{ GPa}$, seção transversal $A_0=40\text{ mm}\times 10\text{ mm}=400{\text{ mm}}^2$) é submetida a uma força axial de tração de $P=48\text{ kN}$. Considere um plano de corte inclinado que intercepta a barra formando um ângulo de $\theta =30^{\circ }$ com a seção transversal reta perpendicular (o vetor normal ao plano inclinado $\hat{n}$ forma um ângulo de $\theta =30^{\circ }$ com o eixo longitudinal da barra). Determine: a) A tensão normal média (${\sigma }_0$) atuante na seção reta perpendicular original. b) A área real da seção oblíqua inclinada ($A_{\theta }$). c) As componentes de Tensão Normal (${\sigma }_{\theta }$) e Tensão Cisalhante (${\tau }_{\theta }$) atuantes sobre o plano inclinado a $30^{\circ }$ em $\text{MPa}$. d) Qual o ângulo $\theta$ para o qual a tensão cisalhante atinge seu valor máximo absoluto e qual é esse valor?

Resolução Detalhada:

Passo 1: Tensão normal na seção reta original (${\sigma }_0$): ${\sigma }_0=\frac{P}{A_0}=\frac{48000\text{ N}}{400{\text{ mm}}^2}=120{\text{ N/mm}}^2=\boxed{120\text{ MPa}}$

Passo 2: Área da seção oblíqua ($A_{\theta }$): Geometricamente, a projeção da área inclinada sobre o plano reto é $A_0=A_{\theta }\cdot \cos \theta$: $A_{\theta }=\frac{A_0}{\cos (30^{\circ })}=\frac{400{\text{ mm}}^2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{800}{\sqrt{3}}\approx 461,88{\text{ mm}}^2$

$\boxed{A_{\theta }\approx 461,9{\text{ mm}}^2}$

Passo 3: Tensões normal e cisalhante no plano inclinado: Decompondo a força axial $P$ nas direções normal ($P_n$) e tangencial ($P_t$) ao plano inclinado:

• Força Normal: $P_n=P\cdot \cos \theta$
• Força Tangencial de Cisalhamento: $P_t=P\cdot \sin \theta$

As tensões valem: ${\sigma }_{\theta }=\frac{P_n}{A_{\theta }}=\frac{P\cos \theta }{A_0/\cos \theta }=\frac{P}{A_0}\cdot {\cos }^2\theta ={\sigma }_0\cdot {\cos }^2\theta$ ${\tau }_{\theta }=\frac{P_t}{A_{\theta }}=\frac{P\sin \theta }{A_0/\cos \theta }=\frac{P}{A_0}\cdot \sin \theta \cos \theta =\frac{{\sigma }_0}{2}\cdot \sin (2\theta )$

Substituindo ${\sigma }_0=120\text{ MPa}$ e $\theta =30^{\circ }$: $\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹{\cos }^2(30^{\circ })=\frac{3}{4}=0,75$ ${\sigma }_{\theta }=120\text{ MPa}\times 0,75=\boxed{90,0\text{ MPa}}$

$\sin (2\theta )=\sin (60^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660$ ${\tau }_{\theta }=\frac{120\text{ MPa}}{2}\times 0,8660=60\times 0,8660=\boxed{51,96\text{ MPa}}$

Passo 4: Ângulo de cisalhamento máximo: A função ${\tau }_{\theta }=\frac{{\sigma }_0}{2}\sin (2\theta )$ atinge valor extremo quando $\sin (2\theta )=1$: $2\theta =90^{\circ }⟹\boxed{\theta =45^{\circ }}$ ${\tau }_{\text{maˊx}}=\frac{{\sigma }_0}{2}=\frac{120\text{ MPa}}{2}=\boxed{60,0\text{ MPa}}$ Interpretação Física: Nos ensaios de tração de barras metálicas dúcteis, o escorregamento de planos atômicos e a estricção iniciam-se exatamente a $45^{\circ }$ em relação ao eixo de tração, onde o cisalhamento atinge seu valor máximo absoluto.

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Questão 02 (Transmissora / ONS - Engenharia de Cabos Condutores e Catenária)

Enunciado: Um cabo condutor de alumínio puro para linha aérea de transmissão de $138\text{ kV}$ possui diâmetro externo de $D_0=20,0\text{ mm}$ e comprimento inicial de $L_0=300\text{ metros}$ entre duas torres de ancoragem. Propriedades mecânicas da liga de alumínio:

• Módulo de Elasticidade: $E=70\text{ GPa}=70000\text{ MPa}$
• Coeficiente de Poisson: $\nu =0,33$
• Área da seção transversal metálica: $A_0=\frac{\pi D_0^2}{4}=\frac{\pi (20{)}^2}{4}\approx 314,16{\text{ mm}}^2$

Sob forte vento transversal e tração de catenária, a força axial de tração traciona o cabo com $T=35,0\text{ kN}=35000\text{ N}$. Determine: a) A tensão normal longitudinal (${\sigma }_x$, em $\text{MPa}$) e a deformação longitudinal específica (${\epsilon }_x$). b) O alongamento total do vão do cabo ($\Delta L$, em centímetros). c) A contração lateral específica (${\epsilon }_y$) e a redução no diâmetro do condutor ($\Delta D$, em micrômetros). d) A variação volumétrica total do cabo ($\Delta V$, em ${\text{cm}}^3$).

Resolução Detalhada:

Passo 1: Tensão e deformação longitudinal: ${\sigma }_x=\frac{T}{A_0}=\frac{35000\text{ N}}{314,16{\text{ mm}}^2}\approx 111,41\text{ MPa}$

Pela Lei de Hooke uniaxial: ${\epsilon }_x=\frac{{\sigma }_x}{E}=\frac{111,41\text{ MPa}}{70000\text{ MPa}}\approx 0,0015916=1,5916\times 10^{-3}(1592\mu \epsilon )$

$\boxed{{\sigma }_x\approx 111,4\text{ MPa},{\epsilon }_x\approx 1,59\times 10^{-3}}$

Passo 2: Alongamento longitudinal ($\Delta L$): $\Delta L={\epsilon }_x\cdot L_0=(1,5916\times 10^{-3})\times 300\text{ m}\approx 0,4775\text{ m}=47,75\text{ cm}$

$\boxed{\Delta L\approx 47,8\text{ cm}}$ (O cabo alonga-se quase meio metro sob a ação da tração de vento!).

Passo 3: Contração transversal de Poisson e redução de diâmetro: ${\epsilon }_{\text{lat}}=-\nu \cdot {\epsilon }_x=-0,33\times (1,5916\times 10^{-3})\approx -0,0005252=-5,252\times 10^{-4}$

A variação no diâmetro é: $\Delta D={\epsilon }_{\text{lat}}\cdot D_0=(-5,252\times 10^{-4})\times 20,0\text{ mm}\approx -0,0105\text{ mm}=-10,5\mu \text{m}$

$\boxed{\Delta D\approx -10,5\mu \text{m}}$

Passo 4: Variação volumétrica total ($\Delta V$): O volume inicial do condutor no vão é: $V_0=A_0\cdot L_0=(314,16\times 10^{-6}{\text{ m}}^2)\times 300\text{ m}=0,094248{\text{ m}}^3=94248{\text{ cm}}^3$

A dilatação volumétrica específica sob tração uniaxial vale: $e=\frac{\Delta V}{V_0}={\epsilon }_x\cdot (1-2\nu )=(1,5916\times 10^{-3})\times (1-2\times 0,33)$ $1-0,66=0,34$ $e=(1,5916\times 10^{-3})\times 0,34\approx 5,4114\times 10^{-4}$

A variação absoluta de volume é: $\Delta V=e\cdot V_0=(5,4114\times 10^{-4})\times 94248{\text{ cm}}^3\approx 51,0{\text{ cm}}^3$

$\boxed{\Delta V\approx +51,0{\text{ cm}}^3}$

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Questão 03 (Petrobras - Engenharia de Equipamentos / Elétrica e Automação)

Enunciado: Em uma subestação de plataforma offshore, um barramento rígido de cobre eletrolítico OFHC possui seção retangular de $80\text{ mm}\times 10\text{ mm}$ ($A=800{\text{ mm}}^2$) e comprimento de $L=6,0\text{ metros}$. O barramento foi instalado e parafusado rigidamente entre dois suportes fixos indeformáveis à temperatura ambiente de $T_1=25^{\circ }\text{C}$ ($\Delta L=0$, restrição axial total). Propriedades físicas do cobre:

• Módulo de Elasticidade: $E=120\text{ GPa}=120000\text{ MPa}$
• Coeficiente de Dilatação Térmica Linear: $\alpha =17\times 10^{-6}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$
• Limite de Escoamento do Cobre Eletrolítico: ${\sigma }_{\text{esc}}=220\text{ MPa}$

Durante a operação de partida com carga plena de geradores turbogás, as perdas Joule por efeito de corrente elevam a temperatura do barramento para $T_2=85^{\circ }\text{C}$ ($\Delta T=+60^{\circ }\text{C}$). Determine: a) A tensão térmica axial de compressão induzida no barramento (${\sigma }_{\text{teˊrmica}}$, em $\text{MPa}$). b) A força axial total de empuxo ($F_{\text{teˊrmica}}$, em $\text{kN}$) transmitida contra os suportes isoladores cerâmicos da subestação. c) Avalie a margem de segurança contra escoamento do cobre e recomende a medida preventiva de projeto necessária para evitar falha mecânica.

Resolução Detalhada:

Passo 1: Tensão térmica com restrição axial total: A deformação total do barramento é impedida pelos apoios rígidos: ${\epsilon }_{\text{total}}={\epsilon }_{\text{elaˊstica}}+{\epsilon }_{\text{teˊrmica}}=0$ $\frac{{\sigma }_{\text{teˊrmica}}}{E}+\alpha \Delta T=0⟹{\sigma }_{\text{teˊrmica}}=-E\cdot \alpha \cdot \Delta T$ $\Delta T=85^{\circ }\text{C}-25^{\circ }\text{C}=60^{\circ }\text{C}$ ${\sigma }_{\text{teˊrmica}}=-(120000\text{ MPa})\times (17\times 10^{-6}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1})\times 60^{\circ }\text{C}$ ${\sigma }_{\text{teˊrmica}}=-120000\times 0,00102=-122,4\text{ MPa}$

$\boxed{{\sigma }_{\text{teˊrmica}}=122,4\text{ MPa}(\text{Compressa˜o})}$

Passo 2: Força axial transmitida aos suportes: $F_{\text{teˊrmica}}=|{\sigma }_{\text{teˊrmica}}|\cdot A=122,4{\text{ N/mm}}^2\times 800{\text{ mm}}^2=97920\text{ N}\approx 97,92\text{ kN}$

$\boxed{F_{\text{teˊrmica}}\approx 97,9\text{ kN}(\approx 9,8\text{ toneladas-forc¸a!})}$

Passo 3: Margem de segurança e recomendação:

• Em relação ao escoamento do cobre (${\sigma }_{\text{esc}}=220\text{ MPa}$): $\text{Fator de Seguranc¸a}=\frac{220\text{ MPa}}{122,4\text{ MPa}}\approx 1,80$
• Embora o cobre não atinja o escoamento plástico, uma força de empuxo horizontal de quase 10 toneladas atuando sobre isoladores pedestais cerâmicos (cuja resistência ao esforço cortante na base é limitada) causará a quebra frágil da porcelana ou flambagem lateral da barra de $6\text{ metros}$.
• Recomendação Obrigatória de Projeto: Inclusão de juntas de dilatação de expansão de tiras flexíveis de cobre (expansion joints) a cada 3 metros, permitindo a dilatação livre de $\Delta L=\alpha L\Delta T=17\times 10^{-6}\times 6\times 60\approx 6,12\text{ mm}$ e reduzindo as tensões térmicas a zero.

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Questão 04 (Furnas - Engenharia de Subestações / Mecânica dos Fixadores)

Enunciado: O suporte de fixação de uma cadeia de isoladores de ancoragem de linha de $230\text{ kV}$ a uma viga de aço de pórtico é realizado através de uma conexão de manilha com pino passante de aço de alta resistência de diâmetro $d=24\text{ mm}$. A conexão opera em cisalhamento duplo: a força de tração da cadeia de isoladores ($T=90\text{ kN}$) é equilibrada por duas chapas laterais, seccionando o pino em dois planos de corte paralelos. Dados do pino de aço temperado:

• Tensão admissível ao cisalhamento: ${\tau }_{\text{adm}}=140\text{ MPa}$ Determine: a) A área da seção transversal resistente de cada plano de corte do pino em ${\text{mm}}^2$. b) A tensão média de cisalhamento (${\tau }_{\text{meˊd}}$) atuante no pino sob a carga de $90\text{ kN}$. c) Verifique a conformidade da conexão segundo o critério de segurança admissível.

Resolução Detalhada:

Passo 1: Área de corte do pino: $A_{\text{pino}}=\frac{\pi \cdot d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (24\text{ mm}{)}^2}{4}=\frac{\pi \times 576}{4}=144\pi \approx 452,39{\text{ mm}}^2$

$\boxed{A_{\text{pino}}\approx 452,4{\text{ mm}}^2}$

Passo 2: Tensão média sob cisalhamento duplo: No cisalhamento duplo, a carga total $T=90\text{ kN}$ é dividida igualmente entre os dois planos de corte: $V_{\text{plano}}=\frac{T}{2}=\frac{90\text{ kN}}{2}=45\text{ kN}=45000\text{ N}$

A tensão média de cisalhamento em cada plano vale: ${\tau }_{\text{meˊd}}=\frac{V_{\text{plano}}}{A_{\text{pino}}}=\frac{45000\text{ N}}{452,39{\text{ mm}}^2}\approx 99,47\text{ MPa}$

$\boxed{{\tau }_{\text{meˊd}}\approx 99,5\text{ MPa}}$

Passo 3: Verificação de conformidade: ${\tau }_{\text{meˊd}}=99,5\text{ MPa}\le {\tau }_{\text{adm}}=140\text{ MPa}$ $\text{Margem de Seguranc¸a}=\frac{140-99,5}{140}\times 100\%\approx 28,9\%$ A conexão em cisalhamento duplo encontra-se plenamente aprovada e conforme os critérios de segurança da norma ABNT NBR 5422.

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8. Referências Bibliográficas e Normas Técnicas

• HIBBELER, Russell C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2018.
• BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; DEWOLF, John T.; MAZUREK, David F. Mecânica dos Materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
• TIMOSHENKO, Stephen P.; GERE, James M. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
• ABNT NBR 5422: Projeto de linhas aéreas de transmissão de energia elétrica.
• ABNT NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios.