📐 Aula 01: Razões, Proporções, Matemática Financeira Básica e Regra de Três

Integração Curricular & Contexto

• Disciplina: Matemática Instrumental | 01 Matemática e Estatística | Hub Principal
• Material Didático Oficial: Complemento analítico e aprofundamento da apostila A matemática do dia a dia.
• Próxima Aula: 📈 Aula 02: Plano Cartesiano, Relações e Interpretação Gráfica de Dados
• Objetivo da Aula: Dominar a aritmética fundamental e álgebra elementar de suporte à engenharia, a teoria formal de razões, proporções e constante de proporcionalidade, algoritmos de regra de três simples e composta, fatores multiplicativos de porcentagem, regimes de juros simples e compostos, e resolução de equações polinomiais de 1º e 2º graus.

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Conjuntos Numéricos e Fundamentos da Aritmética Operacional
   • Prioridade Operatória Rígida (PEMDAS / BMA):
2. 2. Razões, Proporções e Constante de Proporcionalidade
   • 2.1 Propriedade Fundamental das Proporções
   • 2.2 Grandezas Diretamente Proporcionais (D.P.)
   • 2.3 Grandezas Inversamente Proporcionais (I.P.)
   • 2.4 Divisão Proporcional em Partes Diretas e Inversas
3. 3. Diagrama Conceitual Unificado de Proporções e Finanças
4. 4. Algoritmo Geral da Regra de Três Simples e Composta
   • Formulação Matemática Universal da Regra Composta:
5. 5. Porcentagem e Fatores de Variação Multiplicativa
   • 5.1 Fator de Aumento e Fator de Redução
   • 5.2 Variações Sucessivas e a Armadilha da Base Móvel
6. 6. Matemática Financeira: Juros Simples vs. Juros Compostos
   • 6.1 Regime de Juros Simples (Crescimento Linear / P.A.)
   • 6.2 Regime de Juros Compostos (Crescimento Exponencial / P.G.)
   • 6.3 Análise Comparativa Temporal e Ponto de Equivalência
7. 7. Equações Algébricas Elementares do 1º e 2º Graus
   • 7.1 Equações Lineares do 1º Grau
   • 7.2 Equações Quadráticas, Bhaskara e Relações de Girard
8. 8. 📝 Estudo de Caso Prático Resolvido Passo a Passo
   • Enunciado do Problema:
   • Solução Passo a Passo:
9. 9. 📚 Questões Resolvidas das Materiais Teóricos de Referência
   • Questão 01 — Problema de Idades com Equação do 1º Grau
   • Questão 02 — Sistema Linear de Equações e Propriedades Numéricas
   • Questão 03 — Fator de Aumento Percentual
   • Questão 04 — Proporção Direta e Propriedade das Diferenças
   • Questão 05 — Regra de Três Simples Inversa
   • Questão 06 — Regra de Três Composta
   • Questão 07 — Cálculo de Prazo em Regime de Juros Simples
   • Questão 08 — Carteira de Investimentos (Juros Simples e Compostos)
10. 10. Resumo Conceitual da Aula e Conexões Curriculares

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1. Conjuntos Numéricos e Fundamentos da Aritmética Operacional

A matemática instrumental fundamenta toda a modelagem quantitativa das ciências exatas. A evolução dos sistemas numéricos reflete a necessidade física de descrever medidas contínuas e discretas:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

graph TD
    N["Naturais (ℕ): Contagem {0, 1, 2, ...}"] --> Z["Inteiros (ℤ): Negativos e Simetria {... -2, -1, 0, 1, 2 ...}"]
    Z --> Q["Racionais (ℚ): Frações irredutíveis p/q (q ≠ 0)"]
    Q --> R["Reais (ℝ): União com Irracionais (𝕀 = {π, e, √2, ...})"]
    R --> C["Complexos (ℂ): Fasores e Impedâncias a + jb"]

Prioridade Operatória Rígida (PEMDAS / BMA):

Em qualquer expressão algébrica na engenharia, a ordem hierárquica estrita de avaliação é:

1. Parênteses, Colchetes e Chaves (de dentro para fora: $(\dots )\to [\dots ]\to \{\dots \}$);
2. Expoentes e Radicais ($x^n,\sqrt[n]{x}$);
3. Multiplicações e Divisões (na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita);
4. Adições e Subtrações (da esquerda para a direita).

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2. Razões, Proporções e Constante de Proporcionalidade

2.1 Propriedade Fundamental das Proporções

Uma razão quantifica a comparação multiplicativa entre duas grandezas homogêneas ou heterogêneas $a$ e $b$ (com $b\ne 0$): $r=\frac{a}{b}$

Uma proporção é a afirmação formal de igualdade entre duas razões equivalentes: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ Onde $a$ e $d$ denominam-se extremos, e $b$ e $c$ denominam-se meios.

Teorema Fundamental das Proporções

Em toda proporção válida, o produto dos extremos é rigorosamente igual ao produto dos meios: $\boxed{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺a\cdot d=b\cdot c}$

2.2 Grandezas Diretamente Proporcionais (D.P.)

Duas variáveis $x$ e $y$ são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre seus valores correspondentes permanece estritamente constante para qualquer ponto do domínio: $\frac{y}{x}=k⟺\boxed{y=k\cdot x}$ Onde $k\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ é a constante de proporcionalidade direta.

• Graficamente, a relação é representada por uma linha reta que passa obrigatoriamente pela origem $(0,0)$;
• Multiplicar a grandeza independente $x$ por um fator $\lambda$ implica multiplicar a grandeza dependente $y$ exatamente pelo mesmo fator $\lambda$.
• Exemplos na Engenharia: Primeira Lei de Ohm ($V=R\cdot I$), alongamento elástico na Lei de Hooke ($F=k\cdot \Delta x$), vazão mássica em tubulação de seção constante ($\dot{m}=\rho A\cdot v$).

2.3 Grandezas Inversamente Proporcionais (I.P.)

Duas grandezas $x$ e $y$ são ditas inversamente proporcionais quando o produto entre elas permanece estritamente constante: $x\cdot y=k⟺\boxed{y=\frac{k}{x}}$ Onde $k\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ é a constante de proporcionalidade inversa.

• Graficamente, a relação descreve um ramo de hipérbole equilátera;
• Multiplicar a grandeza $x$ por um fator $\lambda$ implica dividir a grandeza $y$ por esse mesmo fator $\lambda$.
• Exemplos na Engenharia: Relação corrente-tensão em transformadores ideais com potência aparente fixa ($I=\frac{S}{V}$), Lei de Boyle-Mariotte para gases ideais isotérmicos ($P\cdot V=\text{cte}$), resistência elétrica em função da área da seção transversal ($R=\rho \frac{\ell }{A}$).

2.4 Divisão Proporcional em Partes Diretas e Inversas

Deseja-se particionar uma quantidade total $N$ em partes $x,y,z$ proporcionais a coeficientes $a,b,c$:

1. Divisão Diretamente Proporcional: $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k⟹x=ka,y=kb,z=kc$ Como $x+y+z=N$: $k(a+b+c)=N⟹k=\frac{N}{a+b+c}$
2. Divisão Inversamente Proporcional: Equivale a dividir diretamente pelos inversos dos coeficientes $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$: $x\cdot a=y\cdot b=z\cdot c=k⟹x=\frac{k}{a},y=\frac{k}{b},z=\frac{k}{c}$ $k\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=N⟹k=\frac{N}{\sum \frac{1}{a_i}}$

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3. Diagrama Conceitual Unificado de Proporções e Finanças

O diagrama técnico vetorial abaixo sintetiza os fundamentos das proporções, classificação de grandezas e o comportamento gráfico comparativo entre juros simples e compostos:

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4. Algoritmo Geral da Regra de Três Simples e Composta

A regra de três é o método operacional sistemático para determinar um valor desconhecido a partir do equilíbrio proporcional entre grandezas interdependentes.

flowchart TD
    Passo1["1. Identificar as Grandezas e Listar os Valores em Tabela"] --> Passo2["2. Localizar a Grandeza Incógnita (Coluna contendo 'x')"]
    Passo2 --> Passo3["3. Comparar Cada Grandeza Par a Par com a Incógnita"]
    Passo3 --> Passo4{"A relação é D.P. ou I.P.?"}
    Passo4 -- "Direta (D.P.)" --> Mantem["Mantém a razão original (x1 / x2 = a1 / a2)"]
    Passo4 -- "Inversa (I.P.)" --> Inverte["Inverte a razão correspondente (x1 / x2 = a2 / a1)"]
    Mantem --> Passo5["4. Montar a Equação de Equilíbrio Proporcional"]
    Inverte --> Passo5
    Passo5 --> Passo6["5. Resolver o Sistema Linear para Isolar 'x'"]

Formulação Matemática Universal da Regra Composta:

Se a grandeza incógnita $Y$ depende das variáveis $X_1,X_2,\dots ,X_n$, onde algumas são diretamente proporcionais e outras inversamente proporcionais: $\frac{Y_1}{Y_2}={\prod }_{i\in \text{D.P.}}\left(\frac{X_{i,1}}{X_{i,2}}\right)\times {\prod }_{j\in \text{I.P.}}\left(\frac{X_{j,2}}{X_{j,1}}\right)$

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5. Porcentagem e Fatores de Variação Multiplicativa

A porcentagem é uma razão centesimal cujo denominador é fixado em $100$: $p\%=\frac{p}{100}=i(\text{taxa unitaˊria decimal})$

5.1 Fator de Aumento e Fator de Redução

O trabalho algébrico com variações percentuais na engenharia deve ser conduzido exclusivamente através de fatores multiplicadores ($F$), eliminando cálculos intermediários de somas e subtrações:

Fatores Multiplicativos

• Fator de Aumento (+i%): $\boxed{F_{aumento}=1+i=1+\frac{p}{100}}$ Exemplo: Aumento de $7\%$ sobre R\,4{,}00 \implies F = 1 + 0{,}07 = 1{,}07 \implies V_{novo} = 4{,}00 \times 1{,}07 = R$,4{,}28$.
• Fator de Desconto (-i%): $\boxed{F_{desconto}=1-i=1-\frac{p}{100}}$ Exemplo: Desconto de $15\%$ sobre R\,200{,}00 \implies F = 1 - 0{,}15 = 0{,}85 \implies V_{novo} = 200 \times 0{,}85 = R$,170{,}00$.

5.2 Variações Sucessivas e a Armadilha da Base Móvel

Quando um valor sofre sucessivas variações percentuais $i_1,i_2,\dots ,i_n$, o fator resultante é o produto estrito de todos os fatores multiplicativos parciais: $\boxed{F_{global}=F_1\times F_2\times \cdots \times F_n=(1\pm i_1)(1\pm i_2)\dots (1\pm i_n)}$

A Falácia da Soma de Porcentagens

Um aumento de $20\%$ seguido de uma redução de $20\%$ NÃO mantém o valor inicial constante! $F_{global}=(1+0,20)\times (1-0,20)=1,20\times 0,80=0,96$ O resultado final é uma perda líquida de $4\%$ ($1-0,96=0,04$), pois a taxa de decréscimo incidiu sobre uma base inflacionada maior.

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6. Matemática Financeira: Juros Simples vs. Juros Compostos

A matemática financeira modela a variação do valor do capital ao longo do tempo mediante uma taxa de juros $i$ e um horizonte temporal $t$.

6.1 Regime de Juros Simples (Crescimento Linear / P.A.)

Nos juros simples, o rendimento de cada período é constante, pois a taxa percentual incide sempre e exclusivamente sobre o Capital Inicial ($C$): $\boxed{J=C\cdot i\cdot t}$ $\boxed{M(t)=C+J=C(1+i\cdot t)}$

• Natureza Matemática: O montante $M(t)$ é uma função linear de 1º grau no tempo $t$. A evolução temporal constitui uma Progressão Aritmética (P.A.) de razão $r=C\cdot i$.
• Regra Dimensional Obrigatória: A taxa $i$ e o tempo $t$ devem estar expressos rigorosamente na mesma unidade temporal (se $i$ for anual, $t$ deve estar em anos; se $i$ for mensal, $t$ deve estar em meses).

6.2 Regime de Juros Compostos (Crescimento Exponencial / P.G.)

Nos juros compostos, os juros gerados ao final de cada período são incorporados ao montante, passando eles próprios a render juros no período seguinte (“juros sobre juros” ou capitalização contínua):

• Período 1: $M_1=C(1+i)$
• Período 2: $M_2=M_1(1+i)=C(1+i{)}^2$
• Período $t$: $\boxed{M(t)=C(1+i{)}^t}$ $\boxed{J=M(t)-C=C\left[(1+i{)}^t-1\right]}$
• Natureza Matemática: O montante é uma função estritamente exponencial. A evolução temporal constitui uma Progressão Geométrica (P.G.) de razão $q=1+i$.

6.3 Análise Comparativa Temporal e Ponto de Equivalência

Intervalo de Tempo ($t$)	Comparação dos Montantes	Explicação Físico-Matemática
$0<t<1$ período	$M_{\text{simples}}>M_{\text{compostos}}$	Para frações de período ($t<1$), a função côncava exponencial cresce mais lentamente que a reta tangente
$t=1$ período	$M_{\text{simples}}=M_{\text{compostos}}$	Ponto de Tangência e Equivalência Exata: $C(1+i\cdot 1)=C(1+i{)}^1$
$t>1$ períodos	$M_{\text{compostos}}\gg M_{\text{simples}}$	A taxa de variação exponencial ($\frac{dM}{dt}\propto M$) domina dramaticamente a taxa linear constante

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7. Equações Algébricas Elementares do 1º e 2º Graus

7.1 Equações Lineares do 1º Grau

Toda equação linear com uma incógnita pode ser reduzida à forma canônica: $a\cdot x+b=0(a\ne 0)⟺\boxed{x=-\frac{b}{a}}$

7.2 Equações Quadráticas, Bhaskara e Relações de Girard

A equação polinomial de 2º grau é expressa por: $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0(a\ne 0)$

O discriminante ($\Delta$) determina a natureza das raízes no plano complexo: $\boxed{\Delta =b^2-4ac}$

• Se $\Delta >0$: duas raízes reais e distintas ($x_1\ne x_2\in \mathbb{R}$);
• Se $\Delta =0$: uma única raiz real dupla ($x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\in \mathbb{R}$);
• Se $\Delta <0$: duas raízes complexas conjugadas ($x_{1,2}=\alpha \pm j\beta \in \mathbb{C}$).

A fórmula resolutiva clássica de Bhaskara é: $\boxed{x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}}$

Relações de Girard (Soma e Produto):

$\boxed{S=x_1+x_2=-\frac{b}{a},P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}}$ Permite reconstruir a equação fatorada: $a(x-x_1)(x-x_2)=x^2-Sx+P=0$

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8. 📝 Estudo de Caso Prático Resolvido Passo a Passo

Enunciado do Problema:

Uma planta industrial de processamento contínuo possui três bombas d’água principais que operando juntas durante $8\text{ horas por dia}$ consomem $2400\text{ kWh}$ de energia elétrica em um período de $10\text{ dias}$.

1. Determine o consumo previsto de energia elétrica caso a indústria ative uma quarta bomba idêntica e passe a operar as quatro bombas durante $12\text{ horas por dia}$ ao longo de $15\text{ dias}$.
2. Se a tarifa de energia contratada pela concessionária é de R\,0{,}50\text{ por kWh}$comprevis\tilde{a}odereajustetarif\acute{a}riode$+8%$noin\acute{ı}ciodom\hat{e}sedescontofinanceiroporpontualidadede$3%$, calcule a fatura total estimada.

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Solução Passo a Passo:

Passo 1: Modelagem por Regra de Três Composta

Identificação das grandezas:

• $E$: Energia elétrica consumida em $\text{kWh}$ (grandeza incógnita $x$);
• $B$: Número de bombas em operação (D.P.: mais bombas consomem mais energia);
• $H$: Horas diárias de operação (D.P.: mais horas consomem mais energia);
• $D$: Número de dias de operação (D.P.: mais dias consomem mais energia).

Montagem da proporção com todas as grandezas diretamente proporcionais: $\frac{2400}{x}=\left(\frac{B_1}{B_2}\right)\times \left(\frac{H_1}{H_2}\right)\times \left(\frac{D_1}{D_2}\right)$ $\frac{2400}{x}=\left(\frac{3}{4}\right)\times \left(\frac{8}{12}\right)\times \left(\frac{10}{15}\right)$

Simplificando cada fração: $\frac{3}{4}=0,75;\frac{8}{12}=\frac{2}{3};\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ $\frac{2400}{x}=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$

Multiplicando em cruz: $x=2400\times 3=\boxed{7200\text{ kWh}}$

Passo 2: Faturamento Financeiro com Variações Sucessivas

• Custo base original da energia: $\text{Custo Base}=7200\text{ kWh}\times R\$0,50/\text{kWh}=R\$3.600,00$
• Fator de reajuste tarifário (+8%): $F_1=1+0,08=1,08$
• Fator de desconto por pontualidade (-3%): $F_2=1-0,03=0,97$
• Fator global acumulado: $F_{global}=1,08\times 0,97=1,0476(+4,76\%)$

Valor total final da fatura: $\text{Fatura Final}=3.600,00\times 1,0476=\boxed{R\$3.771,36}$

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9. 📚 Questões Resolvidas das Materiais Teóricos de Referência

Esta seção reúne e resolve passo a passo todas as 8 questões conceituais e numéricas presentes na Material Teórico de Referência A matemática do dia a dia.

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Questão 01 — Problema de Idades com Equação do 1º Grau

Enunciado Oficial

(Adaptada de PETROBRÁS – 2010) Laura disse para a sua filha Ana: “Daqui a 2 anos, terei o dobro da sua idade”. Se hoje Ana tem 20 anos, qual é a idade atual de Laura?

• (A) 40
• (B) 42
• (C) 44
• (D) 46
• (E) 48

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (B)

Dedução Matemática:

1. Seja $x$ a idade atual de Laura e seja $A_{hoje}=20\text{ anos}$ a idade atual de Ana.
2. Projetando as idades para daqui a 2 anos ($t=+2$):
   • Idade futura de Ana: $A_{futuro}=20+2=22\text{ anos}$;
   • Idade futura de Laura: $L_{futuro}=x+2$.
3. Pela condição do enunciado, no instante futuro a idade de Laura será o dobro da de Ana: $x+2=2\times A_{futuro}$ $x+2=2\times 22$ $x+2=44⟹x=44-2=\boxed{42\text{ anos}}$

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Questão 02 — Sistema Linear de Equações e Propriedades Numéricas

Enunciado Oficial

(CEFET/MG – 2018) Numa família com 7 filhos, sou o caçula e 14 anos mais novo que o primogênito de minha mãe. Dentre os filhos, o quarto tem a terça parte da idade do irmão mais velho, acrescida de 7 anos. Se a soma de nossas três idades é 42, então minha idade é um número:

• (A) Divisível por 5
• (B) Divisível por 3
• (C) Primo
• (D) Par
• (E) Maior que 10

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (C)

Dedução Matemática Completa:

1. Definindo as variáveis dos três filhos mencionados:
   • $P$: Idade do primogênito (irmão mais velho);
   • $Q$: Idade do quarto filho;
   • $C$: Idade do caçula (narrador do problema).
2. Transcrevendo as relações do texto para equações algébricas:
   • O caçula é 14 anos mais novo que o primogênito: $C=P-14$;
   • O quarto filho tem a terça parte da idade do primogênito mais 7 anos: $Q=\frac{P}{3}+7$;
   • A soma das três idades é 42 anos: $P+Q+C=42$.
3. Substituindo as expressões de $C$ e $Q$ na equação da soma: $P+\left(\frac{P}{3}+7\right)+(P-14)=42$ $2P+\frac{P}{3}-7=42$ $\frac{6P+P}{3}=42+7=49$ $\frac{7P}{3}=49⟹7P=147⟹P=\frac{147}{7}=21\text{ anos}$
4. Calculando a idade do caçula ($C$): $C=P-14=21-14=\boxed{7\text{ anos}}$
5. Analisando as alternativas para o número $7$:
   • $7$ é um número primo (possui exatamente dois divisores positivos: $1$ e ele mesmo).

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Questão 03 — Fator de Aumento Percentual

Enunciado Oficial

Em um posto de gasolina, o valor atual do etanol é de R$ 4,00. Sabendo que o etanol sofrerá um aumento de 7% no seu valor, qual será o novo valor do etanol?

• (A) R$ 4,18
• (B) R$ 4,21
• (C) R$ 4,28
• (D) R$ 4,32
• (E) R$ 4,50

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (C)

Dedução Matemática:

1. O aumento é de $7\%$, logo a taxa unitária é $i=0,07$.
2. O fator de multiplicação vale: $F=1+i=1+0,07=1,07$
3. Aplicando sobre o valor original de R\,4{,}00: $$V_{novo} = 4{,}00 \times 1{,}07 = \boxed{R\,4{,}28}$$

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Questão 04 — Proporção Direta e Propriedade das Diferenças

Enunciado Oficial

A diferença entre dois números é 100. Sabendo que o maior está para 15, assim como o menor está para 5, então a soma desses números é:

• (A) 120
• (B) 180
• (C) 200
• (D) 250
• (E) 300

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (C)

Dedução Matemática:

1. Sejam $x$ e $y$ os números, com $x>y$.
2. Do enunciado, temos: $x-y=100\text{e}\frac{x}{15}=\frac{y}{5}=k$
3. Expressando $x$ e $y$ em função da constante de proporcionalidade $k$: $x=15k,y=5k$
4. Substituindo na equação da diferença: $15k-5k=100⟹10k=100⟹k=10$
5. Obtendo os valores dos números: $x=15(10)=150$ $y=5(10)=50$
6. Calculando a soma pedida: $x+y=150+50=\boxed{200}$

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Questão 05 — Regra de Três Simples Inversa

Enunciado Oficial

Com uma certa quantia em dinheiro, eu posso comprar 21 garrafas de vinho tinto no valor de R$12,00.Seeuescolhergarrafasdevinhobranco,cujovalor\acute{e}R$ 14,00, quantas garrafas de vinho branco eu posso comprar?

• (A) 15
• (B) 17
• (C) 18
• (D) 19
• (E) 20

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (C)

Dedução Matemática:

1. A quantia total disponível em dinheiro ($Q$) é constante: $Q=\text{Prec¸o Unitaˊrio}\times \text{Quantidade}=12\times 21=R\$252,00$
2. Como o preço unitário e a quantidade comprada são grandezas inversamente proporcionais (I.P.): $14\times N=252⟹N=\frac{252}{14}=\boxed{18\text{ garrafas}}$

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Questão 06 — Regra de Três Composta

Enunciado Oficial

Uma família com três pessoas consome, em média, 12 m³ de água a cada 20 dias. Se mais uma pessoa se juntar a essa família, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana?

• (A) 5,6 m³
• (B) 6 m³
• (C) 6,6 m³
• (D) 7 m³
• (E) 8 m³

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (A)

Dedução Matemática Completa:

1. Grandezas envolvidas:
   • Volume de água ($V$ em ${\text{m}}^3$): $V_1=12$, $V_2=x$;
   • Número de pessoas na família ($P$): $P_1=3$, $P_2=3+1=4$;
   • Tempo ($T$ em dias): $T_1=20\text{ dias}$, $T_2=1\text{ semana}=7\text{ dias}$.
2. Ambas as grandezas são diretamente proporcionais ao volume de água consumido (mais pessoas $⟹$ mais água; mais dias $⟹$ mais água).
3. Montando a proporção composta: $\frac{12}{x}=\frac{P_1}{P_2}\times \frac{T_1}{T_2}$ $\frac{12}{x}=\frac{3}{4}\times \frac{20}{7}$
4. Simplificando os termos: $\frac{12}{x}=\frac{3\times 20}{4\times 7}=\frac{60}{28}=\frac{15}{7}$
5. Multiplicando em cruz: $15x=12\times 7=84⟹x=\frac{84}{15}=\boxed{5,6{\text{ m}}^3}$

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Questão 07 — Cálculo de Prazo em Regime de Juros Simples

Enunciado Oficial

Se João aplicar um capital de R$9.000,00aumataxaanualde15$ 5.400,00 de juros simples?

• (A) 2 anos
• (B) 3 anos
• (C) 4 anos
• (D) 5 anos
• (E) 6 anos

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (C)

Dedução Matemática:

1. Dados do problema:
   • Capital inicial: $C=9.000$;
   • Taxa de juros simples anual: $i=15\%=0,15\text{ a.a.}$;
   • Juros acumulados: $J=5.400$.
2. Aplicando a fórmula de juros simples ($J=C\cdot i\cdot t$): $5.400=9.000\times 0,15\times t$ $5.400=1.350\times t$ $t=\frac{5.400}{1.350}=\boxed{4\text{ anos}}$

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Questão 08 — Carteira de Investimentos (Juros Simples e Compostos)

Enunciado Oficial

Com o aumento do dólar em relação ao real, Pedro resolveu aplicar seu capital de US$ 15.000,00 em dois tipos de investimento: aplicou 30% desse valor em um investimento que rende juros simples de 4% ao mês e o restante do valor em um investimento que rende juros compostos de 5% ao mês. Sabendo que ambas as aplicações terão duração de 3 meses, o lucro que esse investimento renderá para Pedro é de, aproximadamente:

• (A) US$ 1.000,00
• (B) US$ 2.000,00
• (C) US$ 3.000,00
• (D) US$ 4.000,00
• (E) US$ 5.000,00

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (B)

Dedução Matemática Completa:

1. Divisão do capital total de \text{US}\,15.000{,}00$:
   • Aplicação 1 (Juros Simples, 30%): $C_1=0,30\times 15.000=\text{US}\$4.500,00$ Taxa $i_1=4\%=0,04\text{ a.m.}$, prazo $t=3\text{ meses}$. $J_1=C_1\cdot i_1\cdot t=4.500\times 0,04\times 3=\text{US}\$540,00$
   • Aplicação 2 (Juros Compostos, 70%): $C_2=15.000-4.500=\text{US}\$10.500,00$ Taxa $i_2=5\%=0,05\text{ a.m.}$, prazo $t=3\text{ meses}$. $M_2=C_2(1+i_2{)}^t=10.500\times (1+0,05{)}^3=10.500\times (1,05{)}^3$ $(1,05{)}^3=1,157625$ $M_2=10.500\times 1,157625=\text{US}\$12.155,06$ $J_2=M_2-C_2=12.155,06-10.500=\text{US}\$1.655,06$
2. Calculando o lucro total acumulado ($J_{total}$): $J_{total}=J_1+J_2=540,00+1.655,06=\text{US}\$2.195,06$
3. O valor obtido aproxima-se com exatidão da ordem de grandeza de \boxed{\text{US}\,2.000{,}00}$ (Alternativa B).

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10. Resumo Conceitual da Aula e Conexões Curriculares

graph TD
    MatDia["Matemática Instrumental (Aritmética e Álgebra)"] --> Razoes["Razões, Proporções e Constante k"]
    MatDia --> Regra3["Regra de Três (Simples e Composta / D.P. e I.P.)"]
    MatDia --> Fin["Matemática Financeira"]
    MatDia --> Eq["Equações Polinomiais (1º e 2º Graus / Bhaskara)"]
    
    Fin --> Simples["Juros Simples: J = C·i·t | Linear (P.A.)"]
    Fin --> Comp["Juros Compostos: M = C(1+i)ᵗ | Exponencial (P.G.)"]

Conexão com a Próxima Aula

O domínio das relações de proporcionalidade e das equações polinomiais de 1º e 2º graus constitui a base analítica direta para a formalização do Plano Cartesiano, Relações Binárias e Representação Gráfica de Funções, que serão aprofundados na Aula 02.