Aula 05 - Vetores no Plano R2, Operações Matriciais, Determinantes e Sistemas Lineares

---

📌 Sumário da Aula

1. 1. Grandezas Escalares vs Vetoriais e Fundamentos no Plano $\mathbb{R}^2$
   • 1.1 Representação Algébrica e Equipolência
   • 1.2 Módulo (Norma Euclidiana) e Normalização
2. 2. Álgebra Vetorial e Trigonometria no Plano
   • 2.1 Operações Vetoriais Básicas
   • 2.2 Decomposição Polar-Cartesiana
   • 2.3 Superposição de Forças e Aplicação Fasorial em Circuitos CA
3. 3. Álgebra Matricial: Estrutura, Operações e Propriedades
   • 3.1 Produto Matricial (Linha por Coluna)
4. 4. Matrizes como Transformações Lineares no Plano
   • 4.1 Catálogo de Matrizes Operadoras Fundamentais
5. 5. Diagrama Técnico Síntese da Geometria e Álgebra Matricial
6. 6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
7. 7. Resolução Integral das Questões de Fixação da Apostila
   • Questão 1 (Módulo 1 — Vetor Oposto e Metade do Módulo)
   • Questão 2 (Módulo 1 — Versor Unitário)
   • Questão 3 (Módulo 2 — Força Resultante e Trigonometria)
   • Questão 4 (Módulo 2 — Soma de Vetores Trigonométricos)
   • Questão 5 (Módulo 3 — Combinação Linear de Matrizes)
   • Questão 6 (Módulo 3 — Multiplicação Matricial)
   • Questão 7 (Módulo 4 — Transformação Linear: Reflexão)
   • Questão 8 (Módulo 4 — Transformação Linear Operadora Geral)
8. 8. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

---

1. Grandezas Escalares vs Vetoriais e Fundamentos no Plano ${\mathbb{R}}^2$

Na engenharia, a descrição quantitativa de sistemas exige discernimento rigoroso entre dois tipos fundamentais de grandezas:

1. Grandezas Escalares: Ficam perfeitamente determinadas por um único valor numérico associado à sua unidade física dimensional (e.g., temperatura $T=25^{\circ }\text{C}$, resistência $R=100\Omega$, massa $m=75\text{ kg}$, potencial elétrico $V=220\text{ V}$).
2. Grandezas Vetoriais: Exigem a especificação inequívoca de três atributos constitutivos:
   • Magnitude (Módulo ou Norma): Intensidade quantitativa da grandeza.
   • Direção: Reta suporte sobre a qual a grandeza atua (ângulo de inclinação $\theta$ em relação a um referencial).
   • Sentido: Orientação do deslocamento ou ação sobre a reta suporte (indicado pela extremidade da seta).

1.1 Representação Algébrica e Equipolência

Geometricamente, um vetor é representado por um segmento de reta orientado $\overrightarrow{AB}$, que parte da origem $A(x_A,y_A)$ e atinge a extremidade $B(x_B,y_B)$. Dois segmentos orientados que possuem mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são denominados equipolentes e definem rigorosamente o mesmo vetor livre:

$\vec{v}=(v_x,v_y)=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(\Delta x,\Delta y)$

Quando a origem do vetor é transladada para a origem do sistema cartesiano $O(0,0)$, as coordenadas de sua extremidade coincidem exatamente com suas componentes $(v_x,v_y)$.

1.2 Módulo (Norma Euclidiana) e Normalização

O módulo de um vetor bidimensional decorre diretamente do Teorema de Pitágoras:

$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

O Versor (Vetor Unitário):

Em computação gráfica, robótica e eletromagnetismo, frequentemente interessa isolar a direção e o sentido puros de uma grandeza, sem a interferência de sua magnitude. Isso é obtido pela operação de normalização:

$\hat{u}=\frac{\vec{v}}{\Vert \vec{v}\Vert }=\left(\frac{v_x}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}},\frac{v_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\right)$

Propriedade axiomática do versor: $\Vert \hat{u}\Vert =\sqrt{{\left(\frac{v_x}{\Vert \vec{v}\Vert }\right)}^2+{\left(\frac{v_y}{\Vert \vec{v}\Vert }\right)}^2}=\sqrt{\frac{v_x^2+v_y^2}{\Vert \vec{v}{\Vert }^2}}=1$

---

2. Álgebra Vetorial e Trigonometria no Plano

2.1 Operações Vetoriais Básicas

Dados $\vec{u}=(u_x,u_y)$, $\vec{v}=(v_x,v_y)$ e um escalar $\lambda \in \mathbb{R}$:

1. Adição Vetorial: $\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x,u_y+v_y)$ Geometricamente corresponde à regra do paralelogramo ou à concatenação ponta-origem de vetores.
2. Multiplicação por Escalar: $\lambda \vec{u}=(\lambda u_x,\lambda u_y)$
   • Se $\lambda >0$: preserva direção e sentido; altera a norma por um fator $\lambda$.
   • Se $\lambda <0$: preserva a direção, inverte o sentido; altera a norma por $|\lambda |$.
   • Se $|\lambda |<1$: contração; se $|\lambda |>1$: dilatação.

2.2 Decomposição Polar-Cartesiana

Seja um vetor com norma $\Vert \vec{v}\Vert$ orientado a um ângulo $\theta$ com o semi-eixo positivo das abscissas:

$\vec{v}=(\Vert \vec{v}\Vert \cos \theta ,\Vert \vec{v}\Vert \sin \theta )=\Vert \vec{v}\Vert (\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j})$

2.3 Superposição de Forças e Aplicação Fasorial em Circuitos CA

Em estática e dinâmica de estruturas, a força resultante que atua sobre um nó é a soma vetorial de todas as forças concorrentes: ${\vec{F}}_R={\sum }_{i=1}^n{\vec{F}}_i=\left(\sum F_{ix}\right)\hat{i}+\left(\sum F_{iy}\right)\hat{j}$

Em engenharia elétrica, sinais de corrente alternada senoidais $v(t)=V_p\cos (\omega t+\theta )$ são modelados como fasores bidimensionais no plano complexo: $\mathbf{V}=V_p\angle \theta =(V_p\cos \theta )+j(V_p\sin \theta )\equiv \left[\begin{array}{c}{V}_p\cos \theta \\ V_p\sin \theta \end{array}\right]$ A adição e a subtração de sinais senoidais de mesma frequência reduzem-se à mera adição vetorial em ${\mathbb{R}}^2$.

---

3. Álgebra Matricial: Estrutura, Operações e Propriedades

Uma matriz $A$ de ordem $m\times n$ é uma tabela retangular de escalares dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas:

$A=[a_{ij}]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$

3.1 Produto Matricial (Linha por Coluna)

O produto de duas matrizes $A$ e $B$ só é definido se o número de colunas da matriz à esquerda coincidir rigorosamente com o número de linhas da matriz à direita:

$\underset{(m\times k)}{A}\cdot \underset{(k\times n)}{B}=\underset{(m\times n)}{C}$

O elemento genérico $c_{ij}$ da matriz produto resulta do produto escalar da $i$-ésima linha de $A$ pela $j$-ésima coluna de $B$:

$c_{ij}={\sum }_{p=1}^k{a}_{ip}{b}_{pj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{ik}{b}_{kj}$

Propriedades Críticas:

1. Não-Comutativo: Em regra geral, $A\cdot B\ne B\cdot A$ (mesmo quando ambas são matrizes quadradas).
2. Associativo: $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$.
3. Distributivo: $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$.
4. Elemento Neutro: $A\cdot I=I\cdot A=A$, onde $I$ é a matriz identidade.

---

4. Matrizes como Transformações Lineares no Plano

Um vetor coluna $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^2$ pode ser transformado em outro vetor ${\vec{v}}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^2$ através da ação de uma matriz quadrada $T$ de ordem $2\times 2$:

${\vec{v}}^{\prime }=T\cdot \vec{v}⟺\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{t}_{11}x+t_{12}y\\ t_{21}x+t_{22}y\end{array}\right]$

4.1 Catálogo de Matrizes Operadoras Fundamentais

Transformação Geométrica	Matriz Operadora $T$	Ação no Ponto $(x,y)$	Determinante
Rotação Anti-horária por $\theta$	$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$	Gira o vetor em torno da origem por $\theta$	$\det (R)={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$
Reflexão na Reta Bissetriz $y=x$	$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$	Permuta as coordenadas: $(x,y)\mapsto (y,x)$	$\det (T)=0-1=-1$
Reflexão no Eixo $x$	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$	Inverte a coordenada vertical: $(x,-y)$	$\det (T)=-1$
Reflexão no Eixo $y$	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	Inverte a coordenada horizontal: $(-x,y)$	$\det (T)=-1$
Escala / Dilatação Anisotrópica	$\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]$	Altera dimensões por fatores independentes	$\det (S)=s_x\cdot s_y$
Inversão de Sentido Puro	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$	Rotação de $180^{\circ }$: $(-x,-y)$	$\det (T)=1$

Teorema da Área e Orientação

O módulo do determinante $|\det (T)|$ expressa a razão de transformação de áreas sob o mapeamento linear. Se $\det (T)>0$, a orientação do plano é preservada; se $\det (T)<0$, a orientação é invertida (efeito espelho).

---

5. Diagrama Técnico Síntese da Geometria e Álgebra Matricial

Abaixo, o infográfico técnico estruturado sintetiza a álgebra de vetores, o algoritmo de multiplicação matricial, as transformações no plano e sua ponte com a engenharia elétrica e mecânica:

---

6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

O script a seguir implementa as operações fundamentais estudadas na apostila usando numpy, validando o produto matricial, o cálculo de versores e o efeito das transformações lineares:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Operações Vetoriais e Versores
• 2. Resultante de Forças Concorrentes
• F1 = (x, 4), F2 = (-2, -3), FR = 2*(cos 30°, sen 30°)
• F1 + F2 = (x - 2, 1) = (sqrt(3), 1) => x = 2 + sqrt(3)

---

7. Resolução Integral das Questões de Fixação da Apostila

Abaixo, todas as 8 Questões de Fixação distribuídas ao longo dos 4 módulos da Apostila 05 são resolvidas rigorosamente passo a passo com justificativa física e algébrica.

---

Questão 1 (Módulo 1 — Vetor Oposto e Metade do Módulo)

Dado o vetor $\vec{u}=(-1,2)$, um vetor na mesma direção e sentido oposto ao de $\vec{u}$ e metade de seu módulo é:

• (A) $\left(-\frac{1}{2},1\right)$
• (B) $\left(\frac{1}{2},-1\right)$
• (C) $\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}\right)$
• (D) $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$
• (E) $\left(-\frac{1}{2},-1\right)$

Resolução Passo a Passo

1. Identificação do Escalar Multiplicador: Para obter um vetor que compartilhe a mesma reta suporte (mesma direção), porém com sentido oposto, o escalar multiplicador $\lambda$ deve ser estritamente negativo: $\lambda <0$. Como a sua intensidade deve ser reduzida à metade da norma original, a magnitude do escalar deve ser $|\lambda |=\frac{1}{2}$. Portanto, o escalar procurado é: $\lambda =-\frac{1}{2}$

2. Aplicação do Produto por Escalar: Multiplicando cada componente do vetor original $\vec{u}=(-1,2)$ por $\lambda =-\frac{1}{2}$: $\vec{w}=-\frac{1}{2}\vec{u}=-\frac{1}{2}(-1,2)=\left(-\frac{1}{2}\cdot (-1),-\frac{1}{2}\cdot 2\right)=\left(\frac{1}{2},-1\right)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B $\left(\frac{1}{2},-1\right)$.

---

Questão 2 (Módulo 1 — Versor Unitário)

O vetor $\vec{u}$ unitário (de módulo igual a $1$) que tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor $\vec{v}=(1,2)$ é:

• (A) $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
• (B) $\left(\frac{2}{2},-\frac{3}{3}\right)$
• (C) $\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$
• (D) $\left(-\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$
• (E) $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Resolução Passo a Passo

1. Cálculo da Norma do Vetor $\vec{v}$: O módulo do vetor dado $\vec{v}=(1,2)$ é calculado pelo Teorema de Pitágoras: $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ Como $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{5}\ne 1$, o vetor não é unitário.

2. Normalização do Vetor: Para obter um vetor com mesma direção e mesmo sentido (paralelo e concordante) de norma unitária, multiplica-se $\vec{v}$ pelo inverso de seu módulo: $\vec{u}=\frac{1}{\Vert \vec{v}\Vert }\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

3. Racionalização dos Denominadores: Multiplicando numerador e denominador por $\sqrt{5}$: $\vec{u}=\left(\frac{1\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}},\frac{2\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\right)=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C $\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$.

---

Questão 3 (Módulo 2 — Força Resultante e Trigonometria)

Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores ${\vec{F}}_1=(x,4)$ e ${\vec{F}}_2=(-2,-3)$. Sabendo que a força resultante é dada por $\vec{F}=2(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ })$, qual é o valor de $x$?

• (A) $2+\sqrt{3}$
• (B) $3+\sqrt{2}$
• (C) $1+\sqrt{3}$
• (D) $1+\sqrt{2}$
• (E) $2-\sqrt{3}$

Resolução Passo a Passo

1. Decomposição Cartesiana da Força Resultante: Conhecendo os valores notáveis $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$: $\vec{F}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)=\left(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},2\cdot \frac{1}{2}\right)=(\sqrt{3},1)$

2. Soma Vetorial das Forças Concorrentes: Pelo princípio da superposição linear de forças: $\vec{F}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2$ $(\sqrt{3},1)=(x,4)+(-2,-3)=(x-2,4-3)=(x-2,1)$

3. Igualdade de Vetores: Igualando componente a componente:

• Componente vertical: $1=1$ (identidade satisfeita e consistente).
• Componente horizontal: $x-2=\sqrt{3}⟹x=2+\sqrt{3}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($2+\sqrt{3}$).

---

Questão 4 (Módulo 2 — Soma de Vetores Trigonométricos)

Dados os vetores $\vec{u}=2(\sin 30^{\circ },\cos 30^{\circ })$ e $\vec{v}=4(\sin 60^{\circ },\cos 60^{\circ })$, o vetor $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ tem coordenadas:

• (A) $(2+\sqrt{3},1+\sqrt{3})$
• (B) $(1+2\sqrt{3},2+\sqrt{3})$
• (C) $(2\sqrt{3},1+\sqrt{3})$
• (D) $(2\sqrt{3},2+\sqrt{3})$
• (E) $(2+\sqrt{3},2\sqrt{3})$

Resolução Passo a Passo

1. Avaliação Cartesiana de $\vec{u}$: Sabendo que $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ e $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $\vec{u}=2\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=(1,\sqrt{3})$

2. Avaliação Cartesiana de $\vec{v}$: Sabendo que $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$: $\vec{v}=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)=(2\sqrt{3},2)$

3. Soma Vetorial $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$: Somando as componentes homólogas: $\vec{w}=(1,\sqrt{3})+(2\sqrt{3},2)=(1+2\sqrt{3},2+\sqrt{3})$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B $(1+2\sqrt{3},2+\sqrt{3})$.

---

Questão 5 (Módulo 3 — Combinação Linear de Matrizes)

Sendo $A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 2& -5& 3\end{array}\right]$ e $B=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 7\\ 0& 3& -1\end{array}\right]$, a matriz $M=A+2B$ é dada por:

• (A) $\left[\begin{array}{ccc}0& -3& 4\\ -5& 2& -1\end{array}\right]$
• (B) $\left[\begin{array}{ccc}2& -3& 4\\ -2& 2& 1\end{array}\right]$
• (C) $\left[\begin{array}{ccc}5& -2& 14\\ 2& 1& 1\end{array}\right]$
• (D) $\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 5& 2\end{array}\right]$
• (E) $\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 10\\ -2& 0& -4\end{array}\right]$

Resolução Passo a Passo

1. Cálculo da Matriz Escalar $2B$: Multiplica-se cada entrada de $B$ pelo escalar $2$: $2B=2\cdot \left[\begin{array}{ccc}3& -2& 7\\ 0& 3& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2(3)& 2(-2)& 2(7)\\ 2(0)& 2(3)& 2(-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& 14\\ 0& 6& -2\end{array}\right]$

2. Adição de Matrizes $M=A+2B$: Como ambas possuem a mesma dimensão $2\times 3$, soma-se entrada a entrada: $M=\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 2& -5& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}6& -4& 14\\ 0& 6& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1+6& 2+(-4)& 0+14\\ 2+0& -5+6& 3+(-2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5& -2& 14\\ 2& 1& 1\end{array}\right]$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

---

Questão 6 (Módulo 3 — Multiplicação Matricial)

Dadas as matrizes $M=\left[\begin{array}{cc}0& -3\\ -2& 2\\ 1& 8\end{array}\right]$ de ordem $3\times 2$ e $N=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 2\end{array}\right]$ de ordem $2\times 2$, o produto $M\cdot N$ é dado por:

• (A) $\left[\begin{array}{cc}9& -6\\ -8& 4\\ -23& 16\end{array}\right]$
• (B) $\left[\begin{array}{cc}-9& -2\\ 7& 5\\ -2& -8\end{array}\right]$
• (C) $\left[\begin{array}{cc}-9& 6\\ 8& -4\\ 23& -16\end{array}\right]$
• (D) $\left[\begin{array}{cc}9& 2\\ -7& -5\\ 2& 8\end{array}\right]$
• (E) $\left[\begin{array}{cc}9& 2\\ -7& -5\\ -2& 8\end{array}\right]$

Resolução Passo a Passo

1. Verificação de Conformabilidade e Dimensões: $M$ é de ordem $3\times 2$ e $N$ é de ordem $2\times 2$. Como o número de colunas de $M$ ($2$) é igual ao número de linhas de $N$ ($2$), o produto está perfeitamente definido e resultará em uma matriz $P$ de dimensão $3\times 2$.

2. Cálculo das Entradas Linha por Coluna:

• Linha 1 de $M$ com colunas de $N$: $p_{11}=0(1)+(-3)(-3)=0+9=9$ $p_{12}=0(0)+(-3)(2)=0-6=-6$
• Linha 2 de $M$ com colunas de $N$: $p_{21}=(-2)(1)+2(-3)=-2-6=-8$ $p_{22}=(-2)(0)+2(2)=0+4=4$
• Linha 3 de $M$ com colunas de $N$: $p_{31}=1(1)+8(-3)=1-24=-23$ $p_{32}=1(0)+8(2)=0+16=16$

Montando a matriz resultante: $M\cdot N=\left[\begin{array}{cc}9& -6\\ -8& 4\\ -23& 16\end{array}\right]$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 7 (Módulo 4 — Transformação Linear: Reflexão)

Considere o vetor $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ e a matriz de transformação $T=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$. O vetor ${\vec{v}}^{\prime }$ tal que ${\vec{v}}^{\prime }=T\cdot \vec{v}$ é dado por:

• (A) $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$
• (B) $\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right]$
• (C) $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$
• (D) $\left[\begin{array}{c}-2\\ -1\end{array}\right]$
• (E) $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$

Resolução Passo a Passo

1. Aplicação do Produto Matriz-Vetor: Multiplica-se a matriz operadora $T$ pelo vetor coluna $\vec{v}$: ${\vec{v}}^{\prime }=T\cdot \vec{v}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

2. Cálculo das Coordenadas: $x^{\prime }=0\cdot 1+1\cdot 2=2$ $y^{\prime }=1\cdot 1+0\cdot 2=1$ Logo: ${\vec{v}}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$

3. Significado Geométrico: A matriz $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ é o operador de reflexão especular pela reta bissetriz dos quadrantes ímpares ($y=x$). Ela permuta a coordenada $x$ com a coordenada $y$, mapeando o ponto $(1,2)$ no ponto $(2,1)$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$.

---

Questão 8 (Módulo 4 — Transformação Linear Operadora Geral)

Considere o vetor $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right]$ e a matriz de transformação $T=\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& 2\end{array}\right]$. O vetor ${\vec{v}}^{\prime }$ tal que ${\vec{v}}^{\prime }=T\cdot \vec{v}$ é dado por:

• (A) $\left[\begin{array}{c}-3\\ 9\end{array}\right]$
• (B) $\left[\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right]$
• (C) $\left[\begin{array}{c}-9\\ 3\end{array}\right]$
• (D) $\left[\begin{array}{c}9\\ -3\end{array}\right]$
• (E) $\left[\begin{array}{c}-9\\ -3\end{array}\right]$

Resolução Passo a Passo

1. Multiplicação Linha por Coluna: Realizando o produto $T\cdot \vec{v}$: ${\vec{v}}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right]$

2. Cálculo da Primeira Coordenada: $v_1^{\prime }=(-2)\cdot (5)+(-1)\cdot (-1)=-10+1=-9$

3. Cálculo da Segunda Coordenada: $v_2^{\prime }=1\cdot (5)+2\cdot (-1)=5-2=3$

Portanto, o vetor transformado é: ${\vec{v}}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}-9\\ 3\end{array}\right]$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C $\left[\begin{array}{c}-9\\ 3\end{array}\right]$.

---

8. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

A geometria analítica e a álgebra linear constituem o arcabouço computacional que unifica sistemas dinâmicos na engenharia:

1. Vetores livres em ${\mathbb{R}}^2$ desacoplam intensidade e orientação; a operação de normalização ($\hat{u}=\vec{v}/\Vert \vec{v}\Vert$) viabiliza cálculos trigonométricos de projeção e a modelagem fasorial em corrente alternada.
2. O produto matricial linha por coluna é intrinsecamente não-comutativo e formaliza a superposição e a cascata de sistemas multivariáveis.
3. Matrizes como Operadores Lineares ($T\vec{v}$) implementam geometricamente rotações rígidas, reflexões e dilatações espaciais, sendo o pilar motor da computação gráfica, robótica e formulação nodal de redes de energia elétrica ($[\mathbf{Y}][\mathbf{V}]=[\mathbf{I}]$).