⚡ Aula 03: Teoria Geral de Funções - Domínio, Imagem, Injetividade, Paridade e Composição

Integração Curricular & Contexto

• Disciplina: Matemática Instrumental | 01 Matemática e Estatística | Hub Principal
• Material Didático Oficial: Complemento analítico e aprofundamento da apostila Aprofundamento de funções.
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• Objetivo da Aula: Aprofundar a teoria formal de mapeamentos funcionais, a determinação rigorosa do domínio analítico e conjunto imagem, a classificação das funções (injetora, sobrejetora e bijetora), o Teste da Reta Horizontal, as propriedades geométricas e algébricas da função inversa ($f^{-1}$), o tratamento de funções definidas por partes, e os conceitos fundamentais de paridade, periodicidade e dilatação temporal de sinais.

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Conceito Formal de Função e Mapeamentos em Conjuntos
2. 2. Domínio, Contradomínio e Imagem
   • 2.1 Condições de Existência Analítica do Domínio em $\mathbb{R}$
   • 2.2 Determinação do Conjunto Imagem por Restrições de Domínio
3. 3. Diagrama Conceitual Unificado de Teoria de Funções
4. 4. Taxonomia das Funções: Injetora, Sobrejetora e Bijetora
   • 4.1 Função Injetora e o Teste da Reta Horizontal
   • 4.2 Função Sobrejetora
   • 4.3 Função Bijetora (Condição de Inversibilidade)
5. 5. Teoria da Função Inversa ($f^{-1}$)
   • 5.1 Simetria em Relação à Bissetriz dos Quadrantes Ímpares ($y = x$)
   • 5.2 Algoritmo de Determinação da Inversa
6. 6. Funções Definidas por Múltiplas Sentenças (Partes)
7. 7. Propriedades Funcionais Avançadas
   • 7.1 Paridade: Funções Pares e Ímpares
   • 7.2 Periodicidade e Transformações de Escala Temporal
   • 7.3 Álgebra de Funções Compostas ($g \circ f$)
8. 8. 📝 Estudo de Caso Prático Resolvido Passo a Passo
   • Enunciado do Problema:
   • Solução Passo a Passo:
9. 9. 📚 Questões Resolvidas das Materiais Teóricos de Referência
   • Questão 01 — Restrição de Domínio e Conjunto Imagem Quadrático
   • Questão 02 — Domínio de Função Racional
   • Questão 03 — Interseção de Função Bijetora com sua Inversa
   • Questão 04 — Análise de Imagem em Função por Partes
   • Questão 05 — Teste da Reta Horizontal em Gráfico Temporal
   • Questão 06 — Equação Funcional de Homogeneidade Linear
   • Questão 07 — Dilatação e Compressão de Período em Sinais
   • Questão 08 — Periodicidade Composta e Monotonicidade em Intervalos
10. 10. Resumo Conceitual da Aula e Conexões Curriculares

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1. Conceito Formal de Função e Mapeamentos em Conjuntos

Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos não vazios. Uma função $f$ de $A$ em $B$ (denotada por $f:A\to B$) é uma regra matemática unívoca que associa a cada elemento $x\in A$ um único elemento $y\in B$.

Formalmente na teoria axiomática dos conjuntos: $f\subset A\times B\text{tal que}\forall x\in A,\exists !y\in B((x,y)\in f)$

• O elemento $x$ é a variável independente (sinal de entrada);
• O elemento $y=f(x)$ é a variável dependente ou imagem de $x$ pela função $f$ (resposta do sistema).

graph LR
    subgraph Mapeamento_Funcional ["Mapeamento Formal f: A ➔ B"]
        A["Domínio A = D(f)<br/>(Todo elemento x possui flecha)"] -->|Regra f| B["Contradomínio B = CD(f)<br/>(Espaço de chegada)"]
        A -.-> Im["Conjunto Imagem Im(f)<br/>(Subconjunto de B com flechas)"]
    end

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2. Domínio, Contradomínio e Imagem

Para uma função real de variável real $f:D(f)\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$:

1. Domínio ($D(f)$): Conjunto de todos os valores de $x\in \mathbb{R}$ para os quais a expressão analítica $f(x)$ produz um número real bem definido;
2. Contradomínio ($CD(f)$): Conjunto estipulado a priori que contém todos os possíveis valores de saída (usualmente fixado como todo o conjunto $\mathbb{R}$);
3. Conjunto Imagem ($Im(f)$): Subconjunto efetivo do contradomínio formado pelos valores que são imagens de ao menos um elemento do domínio: $\boxed{Im(f)=\{y\in B\mid \exists x\in A,f(x)=y\}}$

2.1 Condições de Existência Analítica do Domínio em $\mathbb{R}$

Ao trabalhar com funções reais, três restrições fundamentais da aritmética determinam a exclusão de pontos do domínio:

Restrições Clássicas de Domínio

1. Denominadores Fracionários: A divisão por zero é indefinida no corpo dos reais: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}⟹\text{Restric¸a˜o: }Q(x)\ne 0$
2. Radicais de Índice Par: Não existem raízes pares reais de números estritamente negativos: $f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}⟹\text{Restric¸a˜o: }g(x)\ge 0$
3. Logaritmos de Qualquer Base: A função logarítmica só é real para argumentos estritamente positivos com base positiva e diferente de 1: $f(x)={\log }_b(h(x))⟹\text{Restric¸o˜es: }h(x)>0,b>0,b\ne 1$

2.2 Determinação do Conjunto Imagem por Restrições de Domínio

Quando o domínio de uma função quadrática ou trigonométrica é restrito a um subintervalo fechado $D=[a,b]$, a imagem não pode ser obtida apenas avaliando os extremos $f(a)$ e $f(b)$, pois o vértice da curva pode residir no interior do intervalo:

• Para uma parábola $f(x)=a{x}^2+bx+c$, o ponto crítico ocorre no vértice: $x_v=-\frac{b}{2a},y_v=-\frac{\Delta }{4a}=f(x_v)$
• Se $x_v\in [a,b]$, o valor $y_v$ é o extremo absoluto da função naquele trecho (mínimo se $a>0$; máximo se $a<0$). O conjunto imagem será delimitado por $y_v$ e pelo maior dos valores entre $f(a)$ e $f(b)$.

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3. Diagrama Conceitual Unificado de Teoria de Funções

O diagrama técnico vetorial abaixo sintetiza os mapeamentos em conjuntos, a taxonomia de funções (injetora, sobrejetora, bijetora), o gráfico da função inversa e as simetrias funcionais:

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4. Taxonomia das Funções: Injetora, Sobrejetora e Bijetora

A classificação de uma função explicita como os elementos do domínio conectam-se aos elementos do contradomínio.

graph TD
    Func["Classificação de Funções"] --> Inj["Injetora: Elementos distintos têm imagens distintas<br/>(x1 ≠ x2 ⟹ f(x1) ≠ f(x2))"]
    Func --> Sob["Sobrejetora: Imagem coincide com Contradomínio<br/>(Im(f) = CD(f))"]
    Inj & Sob --> Bij["Bijetora: Injetora e Sobrejetora simultaneamente<br/>(Bijeção biunívoca ⟺ Existe Inversa f⁻¹)"]

4.1 Função Injetora e o Teste da Reta Horizontal

Uma função $f:A\to B$ é injetora (ou injetiva) se elementos distintos de seu domínio são mapeados obrigatoriamente em elementos distintos do contradomínio: $\boxed{\forall x_1,x_2\in A,x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)}$ Ou, equivalentemente por contrapositiva: $f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2$

Teorema do Teste da Reta Horizontal

Uma função $y=f(x)$ é injetora se, e somente se, qualquer reta horizontal de equação $y=c$ intersectar o seu gráfico em NO MÁXIMO UM PONTO. Se uma reta horizontal cruzar a curva em dois ou mais pontos, existem múltiplos valores de $x$ produzindo a mesma saída $y$, logo a função NÃO é injetora.

• Toda função estritamente crescente ou estritamente decrescente é intrinsecamente injetora.

4.2 Função Sobrejetora

Uma função $f:A\to B$ é sobrejetora (ou sobrejetiva) se todo elemento do contradomínio $B$ for imagem de pelo menos um elemento do domínio $A$: $\boxed{\forall y\in B,\exists x\in A\text{tal que}f(x)=y⟺Im(f)=B}$

• Graficamente, ao projetar todo o gráfico de $f$ sobre o eixo vertical $y$, o segmento preenchido deve cobrir integralmente todo o contradomínio especificado.

4.3 Função Bijetora (Condição de Inversibilidade)

Uma função é bijetora (ou biunívoca) se for simultaneamente injetora e sobrejetora:

1. Cada elemento do domínio tem uma imagem exclusiva;
2. Nenhum elemento do contradomínio fica sem pré-imagem.

Teorema da Inversibilidade

Uma função admite função inversa $f^{-1}$ se, e somente se, ela for estritamente bijetora.

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5. Teoria da Função Inversa ($f^{-1}$)

Se $f:A\to B$ é bijetora, existe uma função única $f^{-1}:B\to A$, denominada função inversa, que desfaz a ação de $f$: $\boxed{f(x)=y⟺f^{-1}(y)=x}$

Propriedades fundamentais da inversa:

1. $D(f^{-1})=Im(f)$ e $Im(f^{-1})=D(f)$;
2. A composição entre $f$ e $f^{-1}$ resulta na função identidade: $(f^{-1}\circ f)(x)=x,\forall x\in A$ $(f\circ f^{-1})(y)=y,\forall y\in B$

5.1 Simetria em Relação à Bissetriz dos Quadrantes Ímpares ($y=x$)

Geometricamente, o par ordenado $(x,y)$ pertence ao gráfico de $f$ se, e somente se, o par $(y,x)$ pertence ao gráfico de $f^{-1}$. Portanto, o gráfico de $f^{-1}(x)$ é a reflexão especular bilateral do gráfico de $f(x)$ em torno da reta identidade $y=x$.

Ponto de Interseção entre $f$ e sua Inversa $f^{-1}$

Para qualquer função estritamente crescente (ou bijetora no domínio considerado), os pontos onde o gráfico de $f(x)$ encontra sua inversa $f^{-1}(x)$ residem obrigatoriamente sobre a bissetriz $y=x$: $f(x)=f^{-1}(x)⟺f(x)=x$ Essa identidade reduz a busca analítica de raízes de sistemas complexos à simples resolução da equação $f(x)=x$.

5.2 Algoritmo de Determinação da Inversa

Para encontrar analiticamente a lei de $f^{-1}(x)$:

1. Escrever a equação na forma $y=f(x)$;
2. Permutar algebricamente as variáveis: onde houver $x$ escreve-se $y$, e onde houver $y$ escreve-se $x$ ($x=f(y)$);
3. Isolar a variável $y$ em função de $x$;
4. Expressar o resultado como $y=f^{-1}(x)$ respeitando os domínios válidos.

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6. Funções Definidas por Múltiplas Sentenças (Partes)

Muitos sistemas físicos e lógicos em engenharia mudam sua lei constitutiva de acordo com o intervalo operacional (por exemplo, a condução de diodos, chaveamento PWM ou tarifação elétrica):

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x\in I_1\\ f_2(x),& x\in I_2\\ f_3(x),& x\in I_3\end{array}$

• O domínio global é a união dos subintervalos: $D(f)=I_1\cup I_2\cup I_3$ (com $I_j$ disjuntos);
• A imagem global é a união estrita das imagens parciais de cada ramo: $\boxed{Im(f)=Im(f_1)\cup Im(f_2)\cup Im(f_3)}$

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7. Propriedades Funcionais Avançadas

7.1 Paridade: Funções Pares e Ímpares

1. Função Par: O gráfico apresenta simetria axial em relação ao eixo das ordenadas $y$: $\boxed{f(-x)=f(x),\forall x\in D(f)}$ Exemplos: $f(x)=x^2$, $f(x)=\cos (x)$, $f(x)=|x|$, $f(x)=x^4-3x^2+2$.
2. Função Ímpar: O gráfico apresenta simetria central em relação à origem $(0,0)$: $\boxed{f(-x)=-f(x),\forall x\in D(f)}$ Exemplos: $f(x)=x^3$, $f(x)=\sin (x)$, $f(x)=\frac{1}{x}$, $f(x)=x^5-4x$.

Aplicação em Séries de Fourier

Na Engenharia Elétrica, toda função periódica par decompõe-se exclusivamente em termos de cosseno ($b_n=0$), enquanto funções ímpares decompõem-se exclusivamente em senos ($a_n=0$), simplificando o cálculo de harmônicas de retificadores e inversores.

7.2 Periodicidade e Transformações de Escala Temporal

Uma função é dita periódica se seus valores repetem-se em ciclos regulares idênticos. O menor número positivo $T>0$ que satisfaz a relação é o período fundamental: $\boxed{f(x+T)=f(x),\forall x\in D(f)}$

Teorema da Dilatação / Compressão Periódica:

Se uma função base $f(x)$ possui período $T$, a função modificada por um fator de escala no argumento $g(x)=f(a\cdot x)$ ($a\ne 0$) também é periódica, com novo período $T^{\prime }$ dado por: $\boxed{T^{\prime }=\frac{T}{|a|}}$

• Se $|a|>1$: o sinal sofre compressão temporal (a frequência dobra ou triplica e o período diminui: $f(2x)⟹T^{\prime }=T/2$);
• Se $0<|a|<1$: o sinal sofre dilatação temporal (o período dobra ou quadruplica: $f(x/2)⟹T^{\prime }=2T$).
• O deslocamento horizontal $h(x)=f(x+q)$ (com $q\in \mathbb{R}$) não altera o período fundamental: $T^{\prime }=T$.

7.3 Álgebra de Funções Compostas ($g\circ f$)

Dadas as funções $f:A\to B$ e $g:B\to C$, a função composta $g\circ f:A\to C$ é definida por: $\boxed{(g\circ f)(x)=g(f(x))}$

• Condição Formal de Existência: Para que $g(f(x))$ exista para todo $x\in D(f)$, é condição necessária que a imagem de $f$ esteja contida no domínio de $g$: $Im(f)\subseteq D(g)$
• Não-Comutatividade: Em geral, a ordem de composição altera o resultado: $(g\circ f)(x)\ne (f\circ g)(x)$

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8. 📝 Estudo de Caso Prático Resolvido Passo a Passo

Enunciado do Problema:

Um sensor óptico industrial de deslocamento linear possui uma função de transferência de transdução que relaciona a tensão de saída analógica $V$ (em Volts) à posição linear $x$ (em centímetros) do atuador robótico, dada por: $V(x)=\frac{2x-4}{x+1},\text{para }x\ge 0$

1. Determine o domínio físico e o conjunto imagem da tensão de saída do sensor para $x\in [0,9]\text{ cm}$.
2. Demonstre analiticamente se a função $V(x)$ é injetora no intervalo considerado.
3. Obtenha a função inversa $x=V^{-1}(V)$, permitindo que o microcontrolador calcule a posição mecânica em função da tensão analógica medida.

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Solução Passo a Passo:

1. Domínio e Conjunto Imagem:

• Restrição matemática da função: denominador não nulo $x+1\ne 0⟹x\ne -1$. Como o domínio físico de operação é restrito a $D=[0,9]$, a função é perfeitamente contínua e diferenciável em todo o intervalo.
• Avaliando a primeira derivada para testar o crescimento: $V^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{2x-4}{x+1}\right]=\frac{2(x+1)-(2x-4)(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x+2-2x+4}{(x+1{)}^2}=\frac{6}{(x+1{)}^2}$ Como $(x+1{)}^2>0$ para todo $x\ge 0$, temos $V^{\prime }(x)>0$ estritamente em todo o domínio!
• Sendo a função estritamente crescente em $[0,9]$, seu valor mínimo ocorre no extremo esquerdo e seu valor máximo no extremo direito: $V_{min}=V(0)=\frac{2(0)-4}{0+1}=-4,0\text{ V}$ $V_{max}=V(9)=\frac{2(9)-4}{9+1}=\frac{18-4}{10}=\frac{14}{10}=+1,4\text{ V}$ Portanto, o conjunto imagem é: $\boxed{Im(V)=[-4,0\text{ V};+1,4\text{ V}]}$

2. Demonstração de Injetividade:

Pela contrapositiva, supomos $V(x_1)=V(x_2)$: $\frac{2x_1-4}{x_1+1}=\frac{2x_2-4}{x_2+1}$ $(2x_1-4)(x_2+1)=(2x_2-4)(x_1+1)$ $2x_1{x}_2+2x_1-4x_2-4=2x_1{x}_2+2x_2-4x_1-4$ Cancelando os termos idênticos $2x_1{x}_2$ e $-4$: $2x_1-4x_2=2x_2-4x_1⟹6x_1=6x_2⟹x_1=x_2$ A igualdade das imagens implica rigorosamente a igualdade dos elementos de entrada. Logo, a função é estritamente injetora.

3. Obtenção da Função Inversa $x=V^{-1}(V)$:

Partindo da equação $V=\frac{2x-4}{x+1}$: $V(x+1)=2x-4$ $Vx+V=2x-4$ Isolando os termos em $x$: $Vx-2x=-V-4⟹x(V-2)=-(V+4)$ $x=\frac{-(V+4)}{V-2}=\frac{V+4}{2-V}$

Portanto, a lei da função inversa implementada no algoritmo do microcontrolador é: $\boxed{x(V)=\frac{V+4}{2-V},\text{para }V\in [-4,0;+1,4]}$

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9. 📚 Questões Resolvidas das Materiais Teóricos de Referência

Esta seção reúne e resolve passo a passo todas as 8 questões conceituais e numéricas presentes na Material Teórico de Referência Aprofundamento de funções.

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Questão 01 — Restrição de Domínio e Conjunto Imagem Quadrático

Enunciado Oficial

(PETROBRAS – 2008) Considere que $f$ é uma função definida do conjunto $D$ em $\mathbb{R}$ por: $f(x)=x^2-4x+8$. Sendo $Im(f)$ a imagem de $f$, é correto afirmar que, se:

• (A) $D=[-2,0]$, então $Im(f)={\mathbb{R}}_{+}$
• (B) $D=[2,+\infty )$, então $Im(f)=[0,4]$
• (C) $D=[2,+\infty )$, então $Im(f)={\mathbb{R}}_{+}$
• (D) $D=[0,2]$, então $Im(f)=[4,8]$
• (E) $D=[-2,0]$, então $Im(f)=[4,8]$

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (D)

Dedução Matemática Completa:

1. Reescrevendo a parábola na forma canônica (completamento de quadrados): $f(x)=(x^2-4x+4)+4=(x-2{)}^2+4$
2. O vértice da parábola situa-se no ponto: $x_v=2,y_v=f(2)=4$ Como o coeficiente quadrático é positivo ($a=1>0$), a parábola tem concavidade voltada para cima e $y_v=4$ é o valor mínimo global.
3. Analisando o domínio restrito da alternativa (D), onde $D=[0,2]$:
   • Para $x\in [0,2]$, como $x\le 2$, a função é estritamente decrescente;
   • No extremo inicial: $f(0)=(0-2{)}^2+4=4+4=8$;
   • No extremo final (vértice): $f(2)=(2-2{)}^2+4=4$.
4. Portanto, a imagem cobre exatamente o intervalo contínuo entre o mínimo e o máximo: $\boxed{Im(f)=[4,8]}$
5. Verificação dos distratores:
   • Se $D=[2,+\infty )$: $Im(f)=[4,+\infty )$ (o que invalida B e C);
   • Se $D=[-2,0]$: $f(-2)=20$ e $f(0)=8⟹Im(f)=[8,20]$ (o que invalida A e E).

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Questão 02 — Domínio de Função Racional

Enunciado Oficial

Considere a função real $f(x)=\frac{120x}{300-x}$. Podemos afirmar que o domínio da função $f$ é:

• (A) Todo número real $x$.
• (B) Todo número real $x$, exceto os números positivos.
• (C) Todo número real $x$, exceto $x=300$.
• (D) Todo número real $x$, exceto os números negativos.
• (E) Todo número real $x$, exceto $x=0$.

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (C)

Análise Técnica:

1. A função é uma fração racional cujo numerador $120x$ é definido para todo $\mathbb{R}$.
2. A única restrição algébrica decorre da impossibilidade da divisão por zero no denominador: $300-x\ne 0⟺x\ne 300$
3. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais com exceção de $300$: $\boxed{D(f)=\mathbb{R}\setminus \{300\}}$

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Questão 03 — Interseção de Função Bijetora com sua Inversa

Enunciado Oficial

Considere a função bijetora $f:[1,+\infty )\to (-\infty ,3]$ definida por $f(x)=-x^2+2x+2$, e seja $(a,b)$ o ponto de interseção de $f$ com sua inversa $f^{-1}$. O valor numérico da expressão $a+b$ é:

• (A) 2
• (B) 4
• (C) 6
• (D) 8
• (E) 9

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (B)

Dedução Matemática Completa:

1. Pela propriedade geométrica da reflexão especular de funções inversas, os gráficos de $f(x)$ e $f^{-1}(x)$ interceptam-se sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares: $f(x)=f^{-1}(x)⟺f(x)=x$
2. Igualando a lei de $f(x)$ a $x$: $-x^2+2x+2=x⟺-x^2+x+2=0⟺x^2-x-2=0$
3. Fatorando o trinômio de segundo grau: $(x-2)(x+1)=0⟹x_1=2\text{ou}{x}_2=-1$
4. Restrição do domínio: O domínio especificado no enunciado é $D(f)=[1,+\infty )$. Logo, a raiz $x=-1$ é descartada por situar-se fora do domínio, restando apenas $x=2$.
5. Para $x=2$: $y=f(2)=-(2{)}^2+2(2)+2=-4+4+2=2$
6. Assim, o ponto de interseção é $(a,b)=(2,2)$, e o valor solicitado é: $\boxed{a+b=2+2=4}$

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Questão 04 — Análise de Imagem em Função por Partes

Enunciado Oficial

Considere a função $f:[-1,2]\to \mathbb{R}$ dada por: $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \text{se }-1\le x\le 0\\ \frac{x+1}{2},& \text{se }0<x\le 1\\ -x+2,& \text{se }1<x\le 2\end{array}$ Nestas condições, é correto afirmar que:

• (A) $f$ é sobrejetora.
• (B) $f$ é injetora.
• (C) $f$ é bijetora.
• (D) $Im(f)=[0,1]$.
• (E) $D(f)=\mathbb{R}$.

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (D)

Dedução Matemática:

1. Analisando a imagem de cada sentença em seu respectivo subdomínio:
   • Trecho 1 ($-1\le x\le 0$): $f_1(x)=x^2$. Como $x$ varia de $-1$ até $0$, $x^2$ decresce continuamente de $1$ até $0$. Logo, $Im(f_1)=[0,1]$;
   • Trecho 2 ($0<x\le 1$): $f_2(x)=\frac{x+1}{2}$. Quando $x\to 0^{+}$, $f_2\to 0,5$. Quando $x=1$, $f_2(1)=\frac{2}{2}=1$. Logo, $Im(f_2)=(0,5;1]$;
   • Trecho 3 ($1<x\le 2$): $f_3(x)=-x+2$. Quando $x\to 1^{+}$, $f_3\to 1$. Quando $x=2$, $f_3(2)=0$. Logo, $Im(f_3)=[0,1)$.
2. A imagem global é a união dos três conjuntos: $Im(f)=[0,1]\cup (0,5;1]\cup [0,1)=\boxed{[0,1]}$
3. Análise dos distratores:
   • Como $Im(f)=[0,1]\ne \mathbb{R}$ (o contradomínio dado), $f$ não é sobrejetora (invalida A e C);
   • Como $f(-1)=1$ e $f(1)=1$ com $-1\ne 1$, $f$ não é injetora (invalida B);
   • O domínio explícito é $[-1,2]$, não $\mathbb{R}$ (invalida E).

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Questão 05 — Teste da Reta Horizontal em Gráfico Temporal

Enunciado Oficial

(Adaptada de UFPE – 2017) No gráfico do nível de água armazenada em uma barragem ao longo de três anos, observa-se que a curva atinge o patamar de 70 metros em múltiplos pontos e flutua sazonalmente entre períodos secos e chuvosos. Ao traçar uma reta horizontal na cota de 40 metros, essa reta intersecta o gráfico exatamente duas vezes. De acordo com o gráfico, é correto afirmar que:

• (A) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
• (B) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
• (C) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
• (D) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
• (E) O nível de 20 m não foi atingido nenhuma vez nesse período.

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (D)

Análise Gráfica:

1. A interseção geométrica de uma reta horizontal $y=40$ com a curva $y=f(t)$ fornece as soluções da equação $f(t)=40$.
2. Ocorrida em exatamente dois instantes $t_1$ e $t_2$, constata-se que o nível de $40\text{ metros}$ foi atingido exatamente duas vezes ao longo do período trienal.
3. Como consequência direta, comprova-se também pelo Teste da Reta Horizontal que a função $f(t)$ não é injetora.

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Questão 06 — Equação Funcional de Homogeneidade Linear

Enunciado Oficial

Uma função $f:{\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}_{+}$ é crescente e satisfaz a seguinte condição para todo $x\in {\mathbb{R}}_{+}$: $f(3x)=3f(x)$ Se $f(9)=27$, qual o valor de $f(1)$?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 4
• (E) 5

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (C)

Dedução Matemática:

1. Aplicando recursivamente a relação funcional dada: $f(9)=f(3\times 3)=3\times f(3)$
2. Por sua vez, avaliando $f(3)=f(3\times 1)$: $f(3)=3\times f(1)$
3. Substituindo na expressão de $f(9)$: $f(9)=3\times [3\times f(1)]=9\times f(1)$
4. Como o enunciado informa que $f(9)=27$: $27=9\times f(1)⟹f(1)=\frac{27}{9}=\boxed{3}$

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Questão 07 — Dilatação e Compressão de Período em Sinais

Enunciado Oficial

Sendo $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função periódica de período fundamental $T=2$, podemos afirmar que:

• (A) A função $g(x)=f(2x)$ é periódica de período 4.
• (B) A função $g(x)=f(2x)$ é periódica de período 1.
• (C) A função $h(x)=f(x/2)$ é periódica de período 1.
• (D) A função $h(x)=f(x+q)$, onde $q$ é uma constante positiva, não é periódica.
• (E) A função $h(x)=f(x/2)$ não é periódica.

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (B)

Dedução Matemática:

1. Pela definição formal, $f(u+2)=f(u)$ para qualquer argumento real $u$.
2. Seja $g(x)=f(2x)$. Desejamos encontrar o período $T^{\prime }$ tal que $g(x+T^{\prime })=g(x)$: $g(x+T^{\prime })=f(2(x+T^{\prime }))=f(2x+2T^{\prime })$
3. Para que $f(2x+2T^{\prime })=f(2x)$, é necessário que o deslocamento no argumento seja idêntico ao período da função base $f$: $2T^{\prime }=T=2⟹T^{\prime }=\frac{2}{2}=\boxed{1}$
4. Portanto, ao multiplicar o argumento por $2$, o período sofre compressão pela metade ($T^{\prime }=1$).
5. Note também que:
   • Para $h(x)=f(x/2)$, teríamos $T^{\prime }=\frac{2}{1/2}=4$;
   • Para $f(x+q)$, o período permanece $T=2$.

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Questão 08 — Periodicidade Composta e Monotonicidade em Intervalos

Enunciado Oficial

Considere que a função $f:[4,+\infty )\to [-3,7]$ seja periódica com período $T=6$ e seja estritamente crescente no intervalo $[4,10]$. Logo, podemos afirmar que:

• (A) $f(10)=f(25)$ e $f(4)<f(8)$
• (B) $f(12)=f(24)$ e $f(15)<f(16)$
• (C) $f(15)=f(21)$ e $f(21)<f(22)$
• (D) $f(18)=f(24)$ e $f(28)<f(27)$
• (E) $f(20)=f(11)$ e $f(24)<f(25)$

Resolução & Gabarito Comentado

Alternativa Correta: (D)

Dedução Matemática Completa:

1. Pela periodicidade de período $T=6$, para qualquer $x$ e qualquer inteiro $k$: $f(x+6k)=f(x)$ Logo: $f(24)=f(18+6)=f(18)$. A primeira igualdade de (D) é verdadeira.
2. Reduzindo os argumentos $28$ e $27$ ao intervalo fundamental $[4,10]$:
   • $f(28)=f(28-4\times 6)=f(28-24)=f(4)$;
   • $f(27)=f(27-3\times 6)=f(27-18)=f(9)$.
3. Como o enunciado estipula que $f$ é estritamente crescente no intervalo $[4,10]$: $4<9⟹f(4)<f(9)$
4. Substituindo os valores equivalentes: $f(28)<f(27)$
5. Ambas as condições da alternativa (D) são verificadas rigorosamente.

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10. Resumo Conceitual da Aula e Conexões Curriculares

graph TD
    Teoria["Teoria Geral de Funções"] --> Dom["Domínio, Contradomínio e Imagem (Restrições Analíticas)"]
    Teoria --> Classif["Injetora (Horizontal ≤ 1 corte), Sobrejetora (Im=CD) e Bijetora"]
    Teoria --> Inv["Função Inversa f⁻¹ (Simetria em y = x e Interseção f(x) = x)"]
    Teoria --> Prop["Propriedades: Paridade (Axial/Central) e Periodicidade (T' = T / |a|)"]

Conexão com a Próxima Aula

Com o domínio da teoria geral de funções, avançaremos para a Modelagem Matemática de Fenômenos com Funções Elementares na Aula 04, explorando funções afins (custo, receita, ponto de equilíbrio), funções quadráticas (trajetórias balísticas, lucros máximos), exponenciais (decaimento radioativo, carga de capacitores $RC$) e logarítmicas (escalas decibelimétricas e pH).