🎛️ Aula 03 - Circuitos Seletivos em Frequência, Filtros Passivos e Ressonância Série-Paralelo

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📍 Disciplina: 03 Laboratório de Circuitos Elétricos | ⚡ Área: 03 Teoria Eletromagnética e Circuitos | 🏠 Hub Principal 📄 Apostila Base: Introdução aos circuitos seletivos em frequência ⬅️ Aula Anterior: 02 - Potência em CA e Trifásicos | ➡️ Próxima Aula: 04 - Transformada de Laplace e Transitórios

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🎯 Objetivos de Aprendizagem e Competências de Engenharia

1. Modelagem de Redes Seletivas: Formular a função de transferência no domínio da frequência complexa $\mathbf{H}(j\omega )=\frac{{\mathbf{V}}_{\text{out}}(j\omega )}{{\mathbf{V}}_{\text{in}}(j\omega )}$ para as topologias clássicas de filtros passivos de 1ª ordem (Passa-Baixas e Passa-Altas RC e RL).
2. Construção e Análise de Diagramas de Bode: Traçar as assíntotas de magnitude ($20{\log }_{10}|\mathbf{H}|$) e fase ($\angle \mathbf{H}$), compreendendo a taxa de atenuação em alta frequência ($-20\text{ dB/deˊcada}$ ou $-6\text{ dB/oitava}$) e o ponto de meia-potência ($-3,01\text{ dB}$).
3. Fenômeno da Ressonância Eletromagnética: Analisar em profundidade a ressonância em circuitos RLC série e paralelo, determinando a frequência natural ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$, as tensões e correntes internas magnificadas e a condição de impedância puramente resistiva.
4. Parâmetros de Qualidade e Seletividade: Dedução e cálculo do Fator de Qualidade ($Q$), da Largura de Banda ($\text{BW}={\omega }_0/Q$) e das frequências de corte de meia-potência (${\omega }_1,{\omega }_2$) para filtros passa-faixa e rejeita-faixa (notch).
5. Metodologia de Ensaio Experimental: Executar a varredura em frequência com gerador de áudio/RF e osciloscópio, identificando experimentalmente a frequência de corte a $-3\text{ dB}$, a defasagem de $\pm 45^{\circ }$ e validando os resultados com simulação computacional SPICE (.ac dec).

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🖼️ Visão Sinóptica: Diagrama Conceitual de Filtros e Ressonância

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Ressonância em Alta Frequência, Ondas Estacionárias e Carta de Smith

Explore a equivalência entre circuitos ressonantes série/paralelo e seções de linha de transmissão de $\lambda /4$ e $\lambda /2$, inspecionando a inversão de impedância $Z_{\text{in}}(d)$, os nós e ventres de tensão/corrente ($\text{ROE / VSWR}$) e o mapeamento de impedâncias e admitâncias na Carta de Smith: 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_linhas_transmissao_ondas_estacionarias_smith.html]])

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1. Filtros Passivos de Primeira Ordem: Topologias RC e RL

Um filtro elétrico é um circuito linear projetado para permitir a passagem sem distorção de sinais cujas frequências pertençam a uma faixa desejada (banda de passagem) e atenuar fortemente sinais de outras frequências (banda de rejeição).

1.1 Filtro Passa-Baixas RC (Low-Pass Filter)

Considere uma fonte de entrada senoidal ${\mathbf{V}}_{\text{in}}$ aplicada à associação em série de um resistor $R$ e um capacitor $C$. A saída ${\mathbf{V}}_{\text{out}}$ é tomada sobre o capacitor. Pelo divisor de tensão fasorial: $\mathbf{H}(j\omega )\triangleq \frac{{\mathbf{V}}_{\text{out}}}{{\mathbf{V}}_{\text{in}}}=\frac{{\mathbf{Z}}_C}{R+{\mathbf{Z}}_C}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\boxed{\frac{1}{1+j\omega RC}}$

Definindo a Frequência de Corte Angular (${\omega }_c$): ${\omega }_c\triangleq \frac{1}{RC}[\text{rad/s}]⟹f_c=\frac{1}{2\pi RC}[\text{Hz}]$ Reescreve-se a função de transferência na forma normalizada: $\mathbf{H}(j\omega )=\frac{1}{1+j\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}$

• Módulo da Função de Transferência: $|\mathbf{H}(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2}}$
• Fase da Função de Transferência: $\theta (\omega )=-\arctan \left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)$

Comportamento Limítrofe:

1. Baixas Frequências ($\omega \to 0$): $|\mathbf{H}(0)|=1⟹|\mathbf{H}(0){|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}(1)=0\text{ dB},\theta (0)=0^{\circ }$ O capacitor atua como circuito aberto ($X_C\to \infty$); o sinal passa integralmente sem atenuação nem atraso.
2. Frequência de Corte ($\omega ={\omega }_c$): $|\mathbf{H}(j{\omega }_c)|=\frac{1}{\sqrt{1+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071$ $|\mathbf{H}(j{\omega }_c){|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx -3,01\text{ dB},\theta ({\omega }_c)=-\arctan (1)=-45^{\circ }$ A potência entregue à carga reduz-se à metade da potência máxima ($P_{\text{out}}=V_{\text{out}}^2/R_L=\frac{1}{2}{P}_{\text{in}}$). Por isso, ${\omega }_c$ é denominado ponto de meia-potência (half-power frequency).
3. Altas Frequências ($\omega \gg {\omega }_c$): $|\mathbf{H}(j\omega )|\approx \frac{{\omega }_c}{\omega }⟹|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}\approx 20{\log }_{10}\left(\frac{{\omega }_c}{\omega }\right)=-20{\log }_{10}\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)$ A cada década de aumento na frequência ($\omega \to 10\omega$), o ganho decai de $-20\text{ dB}$ (ou $-6\text{ dB/oitava}$). A fase assintótica tende a $-90^{\circ }$.

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1.2 Filtro Passa-Altas RC (High-Pass Filter)

Invertendo-se a posição física dos componentes, a saída ${\mathbf{V}}_{\text{out}}$ é tomada diretamente sobre o resistor $R$: $\mathbf{H}(j\omega )=\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}=\boxed{\frac{j\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}{1+j\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}}$ onde ${\omega }_c=\frac{1}{RC}$.

• Módulo: $|\mathbf{H}(j\omega )|=\frac{\frac{\omega }{{\omega }_c}}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2}}$
• Fase: $\theta (\omega )=+90^{\circ }-\arctan \left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)=\arctan \left(\frac{{\omega }_c}{\omega }\right)$

Comportamento Limítrofe:

• Para $\omega \to 0$: $|\mathbf{H}|\to 0$ (bloqueio total de corrente contínua CC), ganho sobe a $+20\text{ dB/deˊcada}$, fase $+90^{\circ }$.
• Para $\omega ={\omega }_c$: $|\mathbf{H}|=\frac{1}{\sqrt{2}}⟹-3,01\text{ dB}$, fase $\theta =+45^{\circ }$.
• Para $\omega \gg {\omega }_c$: $|\mathbf{H}|\to 1⟹0\text{ dB}$, fase $\theta \to 0^{\circ }$.

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2. Diagramas Assintóticos de Bode

O método desenvolvido por Hendrik Wade Bode decompõe funções de transferência no domínio logarítmico, permitindo o traçado manual rápido e preciso das curvas de resposta em frequência.

2.1 Eixos de Representação

• Eixo das Abscissas (Horizontal): Escala logarítmica da frequência angular (${\log }_{10}\omega$ ou ${\log }_{10}f$). O intervalo entre duas frequências com razão $10$ é uma década; o intervalo com razão $2$ é uma oitava.
• Eixo das Ordenadas (Vertical):
  • Gráfico de Magnitude: Ganho em decibéis ($|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}|\mathbf{H}|$).
  • Gráfico de Fase: Ângulo de fase $\theta$ em graus lineares ($-180^{\circ }$ a $+180^{\circ }$).

2.2 Regras Práticas para Polos e Zeros Simples

1. Polo Simples em $s=-{\omega }_c$ ($\frac{1}{1+s/{\omega }_c}$):
   • Magnitude: Assíntota horizontal em $0\text{ dB}$ para $\omega <{\omega }_c$; assíntota inclinada com inclinação de $-20\text{ dB/deˊcada}$ para $\omega >{\omega }_c$.
   • Correção Real: No ponto de quebra $\omega ={\omega }_c$, a curva real passa exatamente $3\text{ dB}$ abaixo do ponto de encontro das assíntotas.
   • Fase: $0^{\circ }$ para $\omega \le 0,1{\omega }_c$; $-45^{\circ }$ exatamente em $\omega ={\omega }_c$; $-90^{\circ }$ para $\omega \ge 10{\omega }_c$. Variação linear de $-45^{\circ }/\text{deˊcada}$.
2. Zero Simples na Origem ($s$ ou $j\omega$):
   • Magnitude: Reta passando por $0\text{ dB}$ em $\omega =1\text{ rad/s}$ com inclinação perpétua de $+20\text{ dB/deˊcada}$.
   • Fase: Constante e igual a $+90^{\circ }$ para qualquer frequência.

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3. Circuitos RLC Ressonantes de Segunda Ordem

A ressonância é uma condição eletrodinâmica em que a reatância indutiva ($X_L$) e a reatância capacitiva ($X_C$) anulam-se mutuamente, tornando a impedância total vista pela fonte puramente resistiva. A tensão e a corrente da fonte entram em rigorosa fase ($\theta =0^{\circ }$, $\text{FP}=1,00$).

3.1 Circuito RLC Ressonante Série

Considere a associação em série de $R$, $L$ e $C$ alimentada por fonte senoidal $\mathbf{V}$: $\mathbf{Z}(j\omega )=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$

A condição de ressonância impõe a parte imaginária nula: $\text{Im}\{\mathbf{Z}(j{\omega }_0)\}=0⟹{\omega }_{0}L-\frac{1}{{\omega }_{0}C}=0⟹{\omega }_0^2=\frac{1}{LC}$ $\boxed{{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}[\text{rad/s}]⟹f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}[\text{Hz}]}$

Características na Ressonância Série:

1. Impedância Mínima: $|\mathbf{Z}({\omega }_0)|=R$ (a impedância atinge o valor mínimo absoluto).
2. Corrente Máxima: $\mathbf{I}({\omega }_0)=\frac{\mathbf{V}}{R}\angle 0^{\circ }$ (a corrente da fonte atinge o pico máximo).
3. Magnificação de Tensão nos Reativos: A tensão no indutor e no capacitor na frequência de ressonância é: $V_L({\omega }_0)={\omega }_{0}LI({\omega }_0)={\omega }_{0}L\frac{V}{R}=Q\cdot V$ $V_C({\omega }_0)=\frac{1}{{\omega }_{0}C}I({\omega }_0)=\frac{1}{{\omega }_{0}RC}V=Q\cdot V$ Se o circuito possuir um alto Fator de Qualidade (ex: $Q=50$), a tensão desenvolvida sobre os terminais do indutor e do capacitor será cinquenta vezes maior que a tensão da fonte de alimentação! No laboratório, isso exige capacitores com tensão nominal de isolamento dimensionada para $Q\cdot V_m$.

3.2 Circuito RLC Ressonante Paralelo

Considere $R$, $L$ e $C$ conectados em paralelo alimentados por fonte de corrente ou tensão: $\mathbf{Y}(j\omega )=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)$ Condição de ressonância: ${\omega }_{0}C-\frac{1}{{\omega }_{0}L}=0⟹\boxed{{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

Características na Ressonância Paralelo:

1. Admitância Mínima / Impedância Máxima: $|\mathbf{Y}({\omega }_0)|=\frac{1}{R}⟹|{\mathbf{Z}}_p({\omega }_0)|=R$.
2. Corrente Total da Fonte Mínima: $\mathbf{I}({\omega }_0)=\frac{\mathbf{V}}{R}$.
3. Magnificação de Corrente nos Ramos Internos: As correntes reativas internas circulam entre $L$ e $C$ com amplitude $I_L=I_C=Q\cdot I_{\text{fonte}}$, formando uma corrente de tanque oscilante de alta energia.

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4. Fator de Qualidade ($Q$), Largura de Banda ($\text{BW}$) e Seletividade

4.1 Definição Universal Energética de $Q$

O Fator de Qualidade (ou Fator de Mérito) é definido a partir da relação fundamental entre a energia armazenada e a energia dissipada por ciclo: $Q\triangleq 2\pi \frac{\text{Energia Maˊxima Armazenada}}{\text{Energia Dissipada por Ciclo}}={\omega }_0\frac{W_{\text{armazenada}}}{P_{\text{dissipada}}}$

• Para o Circuito RLC Série: $Q_s=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}RC}=\boxed{\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}$
• Para o Circuito RLC Paralelo: $Q_p=\frac{R}{{\omega }_{0}L}={\omega }_{0}RC=\boxed{R\sqrt{\frac{C}{L}}}$

4.2 Largura de Banda ($\text{BW}$) e Frequências de Meia-Potência

A Largura de Banda (Bandwidth - $\text{BW}$) é o intervalo contínuo de frequências entre as frequências de corte inferior (${\omega }_1$) e superior (${\omega }_2$) onde a potência dissipada na resistência é pelo menos a metade da potência máxima de ressonância ($P\ge P_{\text{maˊx}}/2⟺I\ge I_{\text{maˊx}}/\sqrt{2}$): $\boxed{\text{BW}\triangleq {\omega }_2-{\omega }_1=\frac{{\omega }_0}{Q}[\text{rad/s}]⟺B_f=f_2-f_1=\frac{f_0}{Q}[\text{Hz}]}$

As frequências de corte exatas são raízes da equação $|\mathbf{Z}(j\omega )|=\sqrt{2}R$: ${\omega }_{1,2}=\mp \frac{R}{2L}+\sqrt{{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2+\frac{1}{LC}}=\mp \frac{\text{BW}}{2}+\sqrt{{\left(\frac{\text{BW}}{2}\right)}^2+{\omega }_0^2}$

Propriedade da média geométrica: ${\omega }_0=\sqrt{{\omega }_1\cdot {\omega }_2}$

Para circuitos de Alta Seletividade ($Q\ge 10$), a curva de resposta em frequência torna-se altamente estreita e simétrica em relação a ${\omega }_0$. Pode-se adotar a excelente aproximação: ${\omega }_1\approx {\omega }_0-\frac{\text{BW}}{2},{\omega }_2\approx {\omega }_0+\frac{\text{BW}}{2}$

Parâmetro	Circuito de Baixo $Q$ ($Q<5$)	Circuito de Alto $Q$ ($Q>10$)
Forma da Curva	Larga, achatada, assimétrica	Estreita, pico agudo, simétrica
Largura de Banda ($\text{BW}$)	Grande (baixa seletividade)	Pequena (alta seletividade)
Magnificação de Tensão ($Q\cdot V$)	Baixa	Elevada (risco de sobretensão)
Aplicações Típicas	Filtros de áudio de banda larga	Sintonizadores de RF, filtros notch

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5. Simulação SPICE de Circuitos Seletivos

A análise computacional de filtros passivos e ressonantes no LTspice é configurada com a diretiva .ac:

* Netlist de Filtro Passa-Faixa RLC Serie
V1 in 0 AC 1.0 0
R1 in n1 10
L1 n1 n2 10m
C1 n2 0 100n
* Diretiva de Simulacao: 100 pontos por decada de 100 Hz a 100 kHz
.ac dec 100 100 100k
.plot ac V(n2)
.meas ac f_res MAX mag(V(n2))
.meas ac f_corte_low TRIG mag(V(n2))=0.707 FALL=1

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6. Exercícios Resolvidos Passo a Passo e Questões de Fixação

Questão 01 (Oficial - Caderno Didático EnsineMe / UFRJ)

Enunciado: Um filtro passa-baixas passivo RC de primeira ordem foi projetado para atenuar ruídos de alta frequência em um canal de instrumentação biomédica. O resistor utilizado tem valor nominal de $R=1\text{ k}\Omega$ e o capacitor é de $C=100\text{ nF}$. a) Determine a frequência de corte angular ${\omega }_c$ em $\text{rad/s}$ e a frequência de corte $f_c$ em $\text{Hz}$. b) Calcule o ganho de tensão em magnitude linear $|\mathbf{H}|$ e em decibéis $|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}$ para as frequências: $f=0,1f_c$, $f=f_c$ e $f=10f_c$. c) Calcule o ângulo de defasagem $\theta$ para as três frequências do item anterior.

Resolução Detalhada: a) Frequência de corte: ${\omega }_c=\frac{1}{RC}=\frac{1}{1000\times 100\times 10^{-9}}=\frac{1}{10^{-4}}=\boxed{10000\text{ rad/s}=10^4\text{ rad/s}}$ $f_c=\frac{{\omega }_c}{2\pi }=\frac{10000}{2\pi }\approx \boxed{1591,55\text{ Hz}\approx 1,59\text{ kHz}}$

b) Ganho em magnitude: A função de magnitude é $|\mathbf{H}|=\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_c{)}^2}}$:

1. Para $f=0,1f_c$ ($f/f_c=0,1$): $|\mathbf{H}|=\frac{1}{\sqrt{1+0,01}}=\frac{1}{\sqrt{1,01}}\approx 0,9950$ $|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}(0,9950)\approx \boxed{-0,043\text{ dB}}$
2. Para $f=f_c$ ($f/f_c=1$): $|\mathbf{H}|=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071$ $|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}(0,7071)\approx \boxed{-3,01\text{ dB}}$
3. Para $f=10f_c$ ($f/f_c=10$): $|\mathbf{H}|=\frac{1}{\sqrt{1+100}}=\frac{1}{\sqrt{101}}\approx 0,0995$ $|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}(0,0995)\approx \boxed{-20,04\text{ dB}}$

c) Fase $\theta (f)=-\arctan (f/f_c)$:

1. Para $f=0,1f_c$: $\theta =-\arctan (0,1)\approx \boxed{-5,71^{\circ }}$.
2. Para $f=f_c$: $\theta =-\arctan (1)=\boxed{-45,00^{\circ }}$.
3. Para $f=10f_c$: $\theta =-\arctan (10)\approx \boxed{-84,29^{\circ }}$.

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Questão 02 (Oficial - Caderno Didático EnsineMe / UFRJ)

Enunciado: Em um circuito ressonante série RLC, os componentes possuem os seguintes valores: $R=2\Omega$, $L=1\text{ mH}$ e $C=10\mu \text{F}$. O circuito é alimentado por uma fonte senoidal de $V_{\text{in}}=10\angle 0^{\circ }{\text{ V}}_{\text{rms}}$. a) Calcule a frequência de ressonância natural ${\omega }_0$ e $f_0$. b) Determine o fator de qualidade $Q$ do circuito. c) Determine a largura de banda $\text{BW}$ em $\text{rad/s}$ e as frequências de corte de meia-potência ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$. d) Calcule as amplitudes das tensões nos terminais do indutor ($V_L$) e do capacitor ($V_C$) na frequência de ressonância.

Resolução Detalhada: a) Frequência de ressonância natural: ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-3}\times 10\times 10^{-6}}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-8}}}=\frac{1}{10^{-4}}=\boxed{10000\text{ rad/s}=10\text{ krad/s}}$ $f_0=\frac{10000}{2\pi }\approx \boxed{1591,55\text{ Hz}}$

b) Fator de qualidade $Q$: $Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{10000\times 1\times 10^{-3}}{2}=\frac{10}{2}=\boxed{5,00}$ Alternativamente: $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{10^{-3}}{10^{-5}}}=\frac{1}{2}\sqrt{100}=\frac{10}{2}=5,00$

c) Largura de banda $\text{BW}$: $\text{BW}=\frac{{\omega }_0}{Q}=\frac{10000}{5}=\boxed{2000\text{ rad/s}}$ Cálculo das frequências de corte exatas: ${\omega }_{1,2}=\mp \frac{\text{BW}}{2}+\sqrt{{\left(\frac{\text{BW}}{2}\right)}^2+{\omega }_0^2}=\mp 1000+\sqrt{1000^2+10000^2}=\mp 1000+\sqrt{10^6+10^8}$ $\sqrt{101\times 10^6}\approx 10049,88\text{ rad/s}$ ${\omega }_1=-1000+10049,88=\boxed{9049,88\text{ rad/s}}$ ${\omega }_2=+1000+10049,88=\boxed{11049,88\text{ rad/s}}$ Verificação: ${\omega }_2-{\omega }_1=11049,88-9049,88=2000\text{ rad/s}$ e ${\omega }_0=\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}=\sqrt{9049,88\times 11049,88}=10000\text{ rad/s}$.

d) Corrente e tensões na ressonância: Na ressonância, $\mathbf{Z}({\omega }_0)=R=2\Omega$. $I({\omega }_0)=\frac{V_{\text{in}}}{R}=\frac{10}{2}=5{\text{ A}}_{\text{rms}}$ Tensões nos reativos: $V_L({\omega }_0)=X_{L}I=({\omega }_{0}L)I=(10000\times 10^{-3})\times 5=10\times 5=\boxed{50{\text{ V}}_{\text{rms}}}$ $V_C({\omega }_0)=X_{C}I=\left(\frac{1}{{\omega }_{0}C}\right)I=\left(\frac{1}{10000\times 10^{-5}}\right)\times 5=10\times 5=\boxed{50{\text{ V}}_{\text{rms}}}$ Verifica-se que $V_L=V_C=Q\cdot V_{\text{in}}=5\times 10\text{ V}=50{\text{ V}}_{\text{rms}}$, confirmando a magnificação de tensão.

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Questão 03 (Petrobras - Engenharia Elétrica / Filtro Rejeita-Faixa Notch)

Enunciado: Deseja-se projetar um filtro passivo rejeita-faixa (notch) RLC série para eliminar o ruído da rede elétrica de $60\text{ Hz}$ que contamina uma linha de instrumentação. A saída é tomada sobre a associação LC em série (tensão $V_{LC}$). Sabendo que o indutor disponível no laboratório possui $L=500\text{ mH}$, determine: a) O valor da capacitância $C$ para sintonizar a frequência de ressonância estritamente em $60\text{ Hz}$. b) O valor da resistência $R$ para que a largura de banda do filtro seja de ${\text{BW}}_f=6\text{ Hz}$. c) O ganho em decibéis na frequência de $60\text{ Hz}$ e em frequências muito afastadas da ressonância.

Resolução Detalhada: a) Cálculo de $C$: ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi \times 60\approx 376,99\text{ rad/s}$ ${\omega }_0^2=\frac{1}{LC}⟹C=\frac{1}{{\omega }_0^{2}L}=\frac{1}{(376,99{)}^2\times 0,50}=\frac{1}{142122\times 0,50}=\frac{1}{71061}\approx 14,07\times 10^{-6}\text{ F}=\boxed{14,07\mu \text{F}}$

b) Cálculo de $R$: A largura de banda angular é $\text{BW}=2\pi \times {\text{BW}}_f=2\pi \times 6=12\pi \approx 37,70\text{ rad/s}$. Como $\text{BW}=\frac{R}{L}$: $R=\text{BW}\times L=37,70\times 0,50=\boxed{18,85\Omega }$ Fator de qualidade resultante: $Q=\frac{f_0}{{\text{BW}}_f}=\frac{60}{6}=10,00$

c) Análise do ganho: A função de transferência com saída sobre $LC$ é: $\mathbf{H}(j\omega )=\frac{{\mathbf{Z}}_L+{\mathbf{Z}}_C}{R+{\mathbf{Z}}_L+{\mathbf{Z}}_C}=\frac{j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}{R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}$

• Em $f=60\text{ Hz}$ ($\omega ={\omega }_0$): ${\omega }_{0}L-\frac{1}{{\omega }_{0}C}=0⟹\mathbf{H}(j{\omega }_0)=\frac{0}{R}=0⟹|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}=\boxed{-\infty \text{ dB}}$ (eliminação total ideal).
• Para $\omega \to 0$ (CC): ${\mathbf{Z}}_C\to \infty ⟹\mathbf{H}\to 1⟹|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}=0\text{ dB}$.
• Para $\omega \to \infty$: ${\mathbf{Z}}_L\to \infty ⟹\mathbf{H}\to 1⟹|\mathbf{H}{|}_{\text{dB}}=0\text{ dB}$.

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Questão 04 (Concurso Marinha CP-CEM / Ressonância Paralelo com Bobina Real)

Enunciado: Em um ensaio de bancada, um circuito tanque ressonante em paralelo é montado utilizando um capacitor ideal de $C=2\text{ nF}$ em paralelo com uma bobina real que apresenta indutância $L=200\mu \text{H}$ e resistência interna de perdas $R_s=10\Omega$. a) Deduza a expressão exata da frequência de ressonância ${\omega }_r$ na qual a admitância vista pela fonte torna-se puramente real. b) Calcule o valor numérico de ${\omega }_r$ e compare com a frequência natural ideal ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$. c) Calcule a impedância de entrada na ressonância ($R_{\text{eq}}$).

Resolução Detalhada: a) A admitância do ramo da bobina é: ${\mathbf{Y}}_{\text{bobina}}=\frac{1}{R_s+j\omega L}=\frac{R_s-j\omega L}{R_s^2+{\omega }^2{L}^2}$ A admitância total do circuito paralelo é: ${\mathbf{Y}}_{\text{tot}}={\mathbf{Y}}_{\text{bobina}}+j\omega C=\frac{R_s}{R_s^2+{\omega }^2{L}^2}+j\left(\omega C-\frac{\omega L}{R_s^2+{\omega }^2{L}^2}\right)$ Para ressonância, a parte imaginária (susceptância total) deve anular-se: $\omega C-\frac{\omega L}{R_s^2+{\omega }^2{L}^2}=0⟹C(R_s^2+{\omega }^2{L}^2)=L$ $R_s^2+{\omega }^2{L}^2=\frac{L}{C}⟹{\omega }^2{L}^2=\frac{L}{C}-R_s^2$ $\boxed{{\omega }_r=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R_s^2}{L^2}}={\omega }_0\sqrt{1-\frac{R_s^{2}C}{L}}}$

b) Cálculo numérico: ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{200\times 10^{-6}\times 2\times 10^{-9}}}=\frac{1}{\sqrt{4\times 10^{-13}}}=\frac{1}{6,3245\times 10^{-7}}\approx 1,5811\times 10^6\text{ rad/s}$ $\frac{R_s^2}{L^2}=\frac{10^2}{(200\times 10^{-6}{)}^2}=\frac{100}{4\times 10^{-8}}=2,5\times 10^9{\text{ rad}}^2/{\text{s}}^2$ ${\omega }_0^2=\frac{1}{4\times 10^{-13}}=2,5\times 10^{12}{\text{ rad}}^2/{\text{s}}^2$ ${\omega }_r=\sqrt{2,5\times 10^{12}-2,5\times 10^9}=\sqrt{2,4975\times 10^{12}}\approx \boxed{1,5803\times 10^6\text{ rad/s}}$ A frequência de ressonância é ligeiramente inferior à ideal devido à resistência série da bobina ($f_r\approx 251,5\text{ kHz}$).

c) Impedância na ressonância: Como a parte imaginária é nula: $G=\frac{R_s}{R_s^2+{\omega }_r^2{L}^2}=\frac{R_s}{L/C}=\frac{R_{s}C}{L}$ $R_{\text{eq}}=\frac{1}{G}=\frac{L}{R_{s}C}=\frac{200\times 10^{-6}}{10\times 2\times 10^{-9}}=\frac{200\times 10^{-6}}{2\times 10^{-8}}=\boxed{10000\Omega =10\text{ k}\Omega }$ O circuito tanque paralelo apresenta uma resistência dinâmica equivalente elevadíssima ($10\text{ k}\Omega$), comportando-se como carga de altíssima impedância na ressonância.

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Questão 05 (Diagrama de Bode de Filtro Passa-Altas Ativo / Op-Amp)

Enunciado: Em uma montagem de laboratório, constrói-se um filtro passa-altas de primeira ordem invertendo utilizando um Amplificador Operacional ideal, onde a rede de entrada é um capacitor $C_1=10\text{ nF}$ em série com um resistor $R_1=10\text{ k}\Omega$, e o ramo de realimentação negativa é formado por um resistor $R_2=100\text{ k}\Omega$. a) Deduza a função de transferência $\mathbf{H}(s)={\mathbf{V}}_{\text{out}}(s)/{\mathbf{V}}_{\text{in}}(s)$. b) Identifique o ganho na banda de passagem ($A_v$) e a frequência de corte $f_c$. c) Trace o comportamento assintótico de Bode de magnitude.

Resolução Detalhada: a) Pela configuração inversora ideal: $\mathbf{H}(s)=-\frac{{\mathbf{Z}}_f}{{\mathbf{Z}}_{\text{in}}}=-\frac{R_2}{R_1+\frac{1}{s{C}_1}}=-\frac{s{R}_2{C}_1}{1+s{R}_1{C}_1}=-\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\frac{s{R}_1{C}_1}{1+s{R}_1{C}_1}$ No domínio da frequência ($s=j\omega$): $\mathbf{H}(j\omega )=-A_0\frac{j\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}{1+j\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}$

b) Parâmetros:

• Ganho na banda de passagem em altas frequências ($\omega \gg {\omega }_c$): $A_0=\frac{R_2}{R_1}=\frac{100\text{ k}\Omega }{10\text{ k}\Omega }=10⟹|A_0{|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}(10)=\boxed{+20\text{ dB}}$
• Frequência de corte angular: ${\omega }_c=\frac{1}{R_1{C}_1}=\frac{1}{10^4\times 10^{-8}}=10000\text{ rad/s}⟹f_c=\frac{10000}{2\pi }\approx \boxed{1591,55\text{ Hz}}$

c) Diagrama de Bode:

• Para $f\ll f_c$: a magnitude sobe a $+20\text{ dB/deˊcada}$.
• Em $f=f_c$: o ganho é $20\text{ dB}-3\text{ dB}=+17\text{ dB}$.
• Para $f\gg f_c$: a magnitude estabiliza-se na assíntota horizontal constante de $+20\text{ dB}$.

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Questão 06 (Medição Experimental de Frequência de Corte por Defasagem)

Enunciado: Em uma aula prática no laboratório de circuitos elétricos, o estudante não dispõe de um voltímetro com escala de dB precisa para determinar a frequência de corte de um filtro passa-baixas passivo RC desconhecido. O professor orienta-o a utilizar o osciloscópio de duplo canal no modo Y-t e ajustar a frequência do gerador de sinais até que a defasagem temporal entre a tensão de saída e a de entrada seja de exatamente $\Delta t=25\mu \text{s}$, constatando que o período completo da onda na tela mede $T=200\mu \text{s}$. a) Verifique se o estudante atingiu a frequência de corte do filtro. b) Calcule o valor da frequência de corte em $\text{Hz}$. c) Sabendo que o resistor do circuito foi medido em multímetro digital e possui $R=4,7\text{ k}\Omega$, determine o valor da capacitância $C$.

Resolução Detalhada: a) Cálculo da defasagem angular experimental: $\theta =\left(\frac{\Delta t}{T}\right)\times 360^{\circ }=\left(\frac{25\mu \text{s}}{200\mu \text{s}}\right)\times 360^{\circ }=\frac{1}{8}\times 360^{\circ }=\boxed{45^{\circ }}$ Como a defasagem em um filtro passa-baixas de 1ª ordem é de exatamente $-45^{\circ }$ na frequência de corte ($\theta ({\omega }_c)=-\arctan ({\omega }_c/{\omega }_c)=-45^{\circ }$), o estudante atingiu com rigor exato a frequência de corte.

b) Frequência de corte: $f_c=\frac{1}{T}=\frac{1}{200\times 10^{-6}\text{ s}}=\frac{10^6}{200}=\boxed{5000\text{ Hz}=5\text{ kHz}}$

c) Cálculo da capacitância: ${\omega }_c=2\pi f_c=2\pi \times 5000\approx 31415,9\text{ rad/s}$ $C=\frac{1}{{\omega }_{c}R}=\frac{1}{31415,9\times 4700}=\frac{1}{147654867}\approx 6,77\times 10^{-9}\text{ F}=\boxed{6,77\text{ nF}}$

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7. Roteiro Experimental de Laboratório: Levantamento de Curva de Bode

1. Montagem do Circuito

• Montar o filtro Passa-Baixa: $R=1,0\text{ k}\Omega$ em série com $C=100\text{ nF}$.
• Conectar o Gerador de Funções na entrada ($V_{\text{in}}=2,00{\text{ V}}_{\text{pp}}$ constante).

2. Conexão dos Instrumentos

• CH1 do osciloscópio: na entrada $V_{\text{in}}$ (monitorar amplitude constante).
• CH2 do osciloscópio: na saída $V_{\text{out}}$ (sobre o capacitor $C$).
• Ambas as garras de terra no nó de referência do gerador.

3. Tabela de Pontos de Medição em Bancada

| Frequência $f$ [Hz] | $V_{\text{in}}$ [$V_{\text{pp}}$] | $V_{\text{out}}$ [$V_{\text{pp}}$] | Ganho $|\mathbf{H}|$ | Ganho [dB] | $\Delta t$ [$\mu$s] | Fase $\theta$ [°] | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 100 Hz | 2,00 | | | | | | | 500 Hz | 2,00 | | | | | | | 1,0 kHz | 2,00 | | | | | | | 1,59 kHz ($f_c$) | 2,00 | | | | | | | 3,0 kHz | 2,00 | | | | | | | 5,0 kHz | 2,00 | | | | | | | 10 kHz | 2,00 | | | | | | | 20 kHz | 2,00 | | | | | |

4. Pós-Processamento e Validação Teórica

• Plotar Ganho [dB] vs $\log (f)$ e Fase [°] vs $\log (f)$ em escala semi-logarítmica.
• Identificar a frequência experimental de corte onde o ganho decai $-3,01\text{ dB}$ e a defasagem atinge $-45^{\circ }$.

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8. Bibliografia Recomendada e Normas Técnicas

1. ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
2. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2016.
3. SEDRA, Adel S.; SMITH, Kenneth C. Microelectronic Circuits. 7th ed. Oxford University Press, 2014.
4. HAYT JR., William H.; KEMMERLY, Jack E.; DURBIN, Steven M. Análise de Circuitos em Engenharia. 8. ed. McGraw-Hill, 2014.
5. BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. Pearson, 2012.