🏗️ Aula 06 - Cargas Axiais, Concentração de Tensões e Estado Plano de Tensões com Círculo de Mohr

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🎯 Objetivos de Aprendizagem

1. Calcular deformações axiais elásticas em barras sob forças concentradas e distribuídas, formulando sistemas hiperestáticos axiais pelo método da compatibilidade geométrica.
2. Quantificar tensões e deformações induzidas por gradientes térmicos ($\Delta T$) em estruturas com restrições cinemáticas.
3. Compreender os efeitos de descontinuidades geométricas e avaliar fatores teóricos de concentração de tensões ($K_t$) em chavetas, furos e entalhes de eixos de máquinas elétricas.
4. Deduzir analiticamente as equações de transformação do Estado Plano de Tensões (EPT) e construir geometricamente o Círculo de Mohr.
5. Determinar tensões principais (${\sigma }_1,{\sigma }_2$), planos principais de atuação (${\theta }_p$) e tensão de cisalhamento máxima absoluta (${\tau }_{\text{abs,maˊx}}$).
6. Aplicar critérios de falha por escoamento (Tresca e von Mises) no dimensionamento de eixos rotativos de geradores e motores submetidos a esforços combinados.
7. Analisar a estabilidade elástica de colunas esbeltas sob compressão axial, deduzindo a fórmula de Euler para a Carga Crítica de Flambagem ($P_{\text{cr}}$) e índices de esbeltez.

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1. 📏 Deformações Axiais e Sistemas Hiperestáticos

1.1 Barra Prismática sob Carga Axial Contínua e Variável

Para um elemento diferencial $dx$ de uma barra com seção transversal $A(x)$ e módulo de Young $E(x)$, sujeito a um esforço axial interno $P(x)$, a deformação axial unitária infinitesimal é dada por $\epsilon (x)=\frac{d\delta }{dx}=\frac{\sigma (x)}{E(x)}=\frac{P(x)}{E(x)A(x)}$. O alongamento total $\delta$ entre as extremidades $x=0$ e $x=L$ é obtido pela integração direta: $\boxed{\delta ={\int }_0^L\frac{P(x)}{E(x)\cdot A(x)}dx}$

Para uma barra homogênea ($E=\text{constante}$), prismática de seção uniforme ($A=\text{constante}$) e submetida a uma carga axial constante $P$: $\boxed{\delta =\frac{P\cdot L}{E\cdot A}}$

A rigidez axial da barra é definida como $k=\frac{P}{\delta }=\frac{EA}{L}$ ($\text{N/m}$), e a sua flexibilidade axial é $f=\frac{1}{k}=\frac{L}{EA}$ ($\text{m/N}$).

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1.2 Deformação Térmica e Tensões Térmicas Hiperestáticas

Quando uma barra homogênea de comprimento original $L$ sofre uma variação uniforme de temperatura $\Delta T=T_f-T_0$, ela experimenta uma deformação térmica natural livre: $\boxed{{\delta }_T=\alpha \cdot L\cdot \Delta T}$ Onde $\alpha$ é o Coeficiente de Dilatação Térmica Linear ($1{/}^{\circ }\text{C}$ ou ${\text{K}}^{-1}$).

Se a barra estiver perfeitamente engastada entre dois apoios rígidos indeformáveis separados pela distância $L$, a expansão geométrica é rigorosamente impedida: ${\delta }_{\text{total}}={\delta }_T+{\delta }_P=0$ Substituindo a deformação elástica induzida pela força de reação compressiva $R$ dos apoios: $\alpha \cdot L\cdot \Delta T-\frac{R\cdot L}{EA}=0⟹R=EA\alpha \Delta T$ A tensão térmica normal compressiva induzida nas paredes do engaste independe do comprimento da barra: $\boxed{{\sigma }_T=-\frac{R}{A}=-E\cdot \alpha \cdot \Delta T}$

Efeito Térmico em Barramentos de Subestação

Se um barramento de cobre ($E=120\text{ GPa}$, $\alpha =17\cdot 10^{-6}{\text{ K}}^{-1}$) aquecer $\Delta T=60^{\circ }\text{C}$ sob regime de sobrecarga severa e estiver biengastado rigidamente sem juntas sanfonadas de expansão: ${\sigma }_T=(120\cdot 10^9)\cdot (17\cdot 10^{-6})\cdot (60)=122,4\text{ MPa}$ Essa tensão compressiva massiva supera $60\%$ do limite de escoamento do cobre, provocando flambagem lateral e destruição mecânica dos isoladores de suporte de porcelana.

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1.3 Concentração de Tensões ($K_t$)

Descontinuidades geométricas abruptas (como furos de passagem de parafusos, rasgos de chaveta em eixos de motores e entalhes de concordância) perturbam as linhas de fluxo de tensões, gerando picos locais de tensão muito superiores à tensão média nominal. Define-se o Fator Teórico de Concentração de Tensões ($K_t$): $\boxed{K_t=\frac{{\sigma }_{\text{maˊx}}}{{\sigma }_{\text{nom}}}}$

Para uma chapa delgada de largura infinita tracionada contendo um pequeno furo circular central de raio $a$, a solução clássica da teoria da elasticidade de Kirsch demonstra que na borda do furo (para $\theta =90^{\circ }$ perpendicular à tração): ${\sigma }_{\text{maˊx}}=3\cdot {\sigma }_{\text{nom}}⟹K_t=3,0$ Para chapas de largura finita $w$ com furo de diâmetro $d$, a tensão nominal é calculada sobre a seção líquida resistente $A_{\text{liq}}=t(w-d)$: ${\sigma }_{\text{nom}}=\frac{P}{t(w-d)}$ O valor de $K_t$ é obtido a partir de ábacos normatizados de Peterson em função da razão geométrica $d/w$.

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2. 🔄 Estado Plano de Tensões (EPT) e Transformação de Tensões

2.1 Hipótese do Estado Plano de Tensões

Ocorre quando todas as tensões que atuam sobre uma das faces de um cubo elementar infinitesimal são nulas. Adotando o eixo $z$ normal à superfície da chapa ou casca fina: ${\sigma }_z=0,{\tau }_{xz}=0,{\tau }_{yz}=0$ O estado de tensão no ponto material é completamente caracterizado pelo trio de componentes no plano $xy$: $({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\tau }_{xy})$.

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2.2 Equações Analíticas de Transformação de Tensões

Deseja-se determinar o estado de tensões $({\sigma }_{x^{\prime }},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }})$ atuante em um plano inclinado cuja normal unitária $\hat{n}$ faz um ângulo $\theta$ (medido no sentido anti-horário) em relação ao eixo $x$. Isolando a cunha diferencial por equilíbrio de forças estáticas $\sum F_{x^{\prime }}=0$ e $\sum F_{y^{\prime }}=0$:

$\boxed{{\sigma }_{x^{\prime }}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta }$

$\boxed{{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta }$

A tensão normal no plano perpendicular $\theta +90^{\circ }$ é dada por: ${\sigma }_{y^{\prime }}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}-\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)\cos 2\theta -{\tau }_{xy}\sin 2\theta$

Invariante Fundamental de Tensões

Somando as duas equações de tensões normais ortogonais: ${\sigma }_{x^{\prime }}+{\sigma }_{y^{\prime }}={\sigma }_x+{\sigma }_y=\text{constante}$ A soma das tensões normais em dois planos perpendiculares quaisquer é um invariante de primeira ordem do tensor de tensões.

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2.3 Planos Principais e Tensões Principais

Os Planos Principais são os planos de orientação ${\theta }_p$ nos quais as tensões de cisalhamento são rigorosamente nulas (${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=0$). Fazendo ${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=0$: $\boxed{\tan 2{\theta }_p=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}}$

Esta equação fornece duas raízes para $2{\theta }_p$ defasadas de $180^{\circ }$, o que corresponde a dois planos ortogonais no espaço real defasados de $90^{\circ }$ entre si (${\theta }_{p1}$ e ${\theta }_{p2}={\theta }_{p1}+90^{\circ }$).

Substituindo $\cos 2{\theta }_p$ e $\sin 2{\theta }_p$ na expressão de ${\sigma }_{x^{\prime }}$, obtêm-se as Tensões Principais no plano: $\boxed{{\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}$

Onde ${\sigma }_1$ é a tensão principal máxima algébrica e ${\sigma }_2$ é a tensão principal mínima algébrica.

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2.4 Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano e Planos de Cisalhamento Máximo

Derivando a expressão de ${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ em relação a $\theta$ e igualando a zero ($\frac{d{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}}{d\theta }=0$), obtém-se a orientação dos planos de cisalhamento máximo ${\theta }_s$: $\boxed{\tan 2{\theta }_s=-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2{\tau }_{xy}}=-\frac{1}{\tan 2{\theta }_p}}$ Portanto: $2{\theta }_s=2{\theta }_p\pm 90^{\circ }⟹{\theta }_s={\theta }_p\pm 45^{\circ }$ Os planos de cisalhamento máximo atuam sempre a $45^{\circ }$ em relação aos planos principais!

O valor da Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano ($xy$) é: $\boxed{{\tau }_{\text{maˊx,in-plane}}=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}}$ Nos planos de cisalhamento máximo, a tensão normal atuante não é nula; ela equivale à tensão média: ${\sigma }_{\text{meˊd}}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}=\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2}{2}$

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3. ⭕ Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

O Círculo de Mohr é uma construção geométrica que mapeia parametricamente as equações de transformação de tensões em uma circunferência no plano cartesiano $(\sigma ,\tau )$.

Eliminando o parâmetro $\theta$ somando os quadrados de $({\sigma }_{x^{\prime }}-{\sigma }_{\text{meˊd}}{)}^2$ e $({\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}{)}^2$: $\boxed{({\sigma }_{x^{\prime }}-{\sigma }_{\text{meˊd}}{)}^2+{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}^2=R^2}$

Esta é a equação clássica de um círculo com:

• Coordenadas do Centro: $C=({\sigma }_{\text{meˊd}},0)=\left(\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2},0\right)$
• Raio da Circunferência: $R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}$

3.1 Procedimento de Construção Gráfica

1. Traçar os eixos cartesianos com a tensão normal $\sigma$ na abscissa (positiva à direita para tração) e a tensão de cisalhamento $\tau$ na ordenada.
2. Marcar o ponto $X=({\sigma }_x,-{\tau }_{xy})$ correspondente à face perpendicular ao eixo $x$.
3. Marcar o ponto $Y=({\sigma }_y,+{\tau }_{xy})$ correspondente à face perpendicular ao eixo $y$.
4. Unir os pontos $X$ e $Y$ por uma reta. A interseção dessa reta com o eixo $\sigma$ determina com precisão o Centro $C=({\sigma }_{\text{meˊd}},0)$.
5. Com a ponta do compasso em $C$, traçar a circunferência passando por $X$ e $Y$.
6. As interseções do círculo com o eixo horizontal $\sigma$ fornecem diretamente as tensões principais ${\sigma }_1={\sigma }_{\text{meˊd}}+R$ e ${\sigma }_2={\sigma }_{\text{meˊd}}-R$.
7. Um ângulo de rotação $\theta$ no elemento físico real corresponde a um giro angular de $2\theta$ no mesmo sentido ao longo do Círculo de Mohr.

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3.2 Tensão de Cisalhamento Absoluta Máxima (${\tau }_{\text{abs,maˊx}}$)

Como o estado real é tridimensional com ${\sigma }_3=0$ (tensão fora do plano), o Círculo de Mohr completo é formado por três círculos construídos com os pares $({\sigma }_1,{\sigma }_2)$, $({\sigma }_2,{\sigma }_3)$ e $({\sigma }_1,{\sigma }_3)$. A Tensão de Cisalhamento Absoluta Máxima espacial é: $\boxed{{\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{{\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}}{2}}$

• Caso 1: Se ${\sigma }_1>0$ e ${\sigma }_2<0$, então ${\sigma }_{\text{maˊx}}={\sigma }_1$ e ${\sigma }_{\text{mıˊn}}={\sigma }_2$ (com ${\sigma }_3=0$ intermediária). ${\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}=R$
• Caso 2: Se ${\sigma }_1>0$ e ${\sigma }_2>0$ (ambas trativas), então ${\sigma }_{\text{maˊx}}={\sigma }_1$ e ${\sigma }_{\text{mıˊn}}={\sigma }_3=0$. ${\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{{\sigma }_1-0}{2}=\frac{{\sigma }_1}{2}>R$
• Caso 3: Se ${\sigma }_1<0$ e ${\sigma }_2<0$ (ambas compressivas), então ${\sigma }_{\text{maˊx}}={\sigma }_3=0$ e ${\sigma }_{\text{mıˊn}}={\sigma }_2$. ${\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{0-{\sigma }_2}{2}=\frac{|{\sigma }_2|}{2}$

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4. 🛡️ Critérios de Escoamento para Materiais Dúcteis (Tresca e von Mises)

Sob carregamentos multiaxiais combinados, o escoamento plástico não depende de uma única tensão normal isolada, exigindo teorias de falha baseadas em grandezas invariantes:

4.1 Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima (Tresca)

Postula que o escoamento plástico se inicia quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta no sólido atinge a tensão de cisalhamento máxima verificada no ensaio de tração uniaxial no instante do escoamento (${\tau }_{\text{maˊx,ensaio}}=\frac{{\sigma }_y}{2}$): $\boxed{{\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{{\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}}{2}\ge \frac{{\sigma }_y}{2}⟺{\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}\ge {\sigma }_y}$

No plano de tensões principais $({\sigma }_1,{\sigma }_2)$, a fronteira de escoamento de Tresca é representada geometricamente por um hexágono regular.

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4.2 Critério da Energia de Distorção Máxima (von Mises)

Postula que o escoamento se inicia quando a densidade de energia de deformação distorcional (associada à mudança de forma, desconsiderando a variação volumétrica hidrostática) atinge a energia de distorção no escoamento por tração simples: $\boxed{{\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2\right]}\ge {\sigma }_y}$

Para o Estado Plano de Tensões (${\sigma }_3=0$): $\boxed{{\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{{\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2}\ge {\sigma }_y}$ Em termos das tensões no sistema de coordenadas original $({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\tau }_{xy})$: $\boxed{{\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{{\sigma }_x^2-{\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y^2+3{\tau }_{xy}^2}\ge {\sigma }_y}$

No plano $({\sigma }_1,{\sigma }_2)$, a fronteira de von Mises é uma elipse circunscrita ao hexágono de Tresca. O critério de von Mises apresenta maior concordância experimental para metais dúcteis (aços, ligas de cobre e alumínio), enquanto o critério de Tresca é mais conservador (margem de segurança entre $0\%$ e $15,5\%$ superior).

🕹️ Simulador Dinâmico Interativo: Estado Plano de Tensões, Círculo de Mohr ( ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\tau }_{\max }$) e Critério de Von Mises

Experimente em tempo real as tensões normais ${\sigma }_x,{\sigma }_y$, o cisalhamento ${\tau }_{xy}$ e a inclinação do plano de corte $\theta$, visualizando o diâmetro girando de $2\theta$ no Círculo de Mohr, o elemento diferencial 2D rotacionado com os vetores ${\sigma }_{x^{\prime }},{\sigma }_{y^{\prime }},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ e a verificação contra o escoamento plástico pelo Critério de Von Mises (${\sigma }^{\prime }$ e $FS={\sigma }_{\text{esc}}/{\sigma }^{\prime }$): 👉 ▶️ Clique para Abrir o Simulador em Tela Cheia no Navegador (Arquivo no cofre: [[simulador_circulo_mohr_viabilidade_economica_vpl_tir.html]])

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5. 🏛️ Estabilidade Elástica e Flambagem de Colunas de Euler

Colunas esbeltas sujeitas a forças axiais de compressão $P$ podem colapsar subitamente por perda de estabilidade geométrica lateral (flambagem elástica) sob níveis de tensão muito inferiores ao limite de escoamento do material (${\sigma }_{\text{cr}}\ll {\sigma }_y$).

5.1 Dedução da Equação Diferencial de Euler

Considere uma coluna reta homogênea biarticulada de comprimento $L$ e rigidez à flexão $EI$. Ao sofrer uma deflexão lateral perturbativa $v(x)$, o momento fletor interno em qualquer seção transversal é $M(x)=-P\cdot v(x)$. Substituindo na equação diferencial da linha elástica: $\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=\frac{M(x)}{EI}⟹\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+\frac{P}{EI}v=0$

Definindo o parâmetro de autovalor ${\lambda }^2=\frac{P}{EI}$: $\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+{\lambda }^{2}v=0$ A solução geral é: $v(x)=C_1\sin (\lambda x)+C_2\cos (\lambda x)$

Aplicando as condições de contorno cinemáticas dos apoios articulados:

1. Em $x=0⟹v(0)=0⟹C_2=0$.
2. Em $x=L⟹v(L)=0⟹C_1\sin (\lambda L)=0$.

Para uma solução fisicamente não trivial ($C_1\ne 0$ com coluna deformada): $\sin (\lambda L)=0⟹\lambda L=n\pi (n=1,2,3,\dots )$ O menor modo fundamental de flambagem ocorre para $n=1$: ${\lambda }^2={\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2⟹\frac{P_{\text{cr}}}{EI}=\frac{{\pi }^2}{L^2}$ Obtém-se a célebre Fórmula de Euler para a Carga Crítica de Flambagem: $\boxed{P_{\text{cr}}=\frac{{\pi }^2\cdot E\cdot I_{\text{mıˊn}}}{L_e^2}}$

Onde $I_{\text{mıˊn}}$ é o menor momento de inércia da seção transversal e $L_e=K\cdot L$ é o Comprimento Efetivo de Flambagem, governado pelas condições de fixação das extremidades:

• Biarticulada (pino-pino): $K=1,0⟹L_e=L$
• Biengastada (engaste-engaste): $K=0,5⟹L_e=0,5L$
• Engastada na base e Livre no topo: $K=2,0⟹L_e=2,0L$
• Engastada na base e Articulada no topo: $K\approx 0,7⟹L_e=0,7L$

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5.2 Índice de Esbeltez (${\lambda }_e$) e Tensão Crítica (${\sigma }_{\text{cr}}$)

O raio de giração da seção transversal é definido como $r_g=\sqrt{\frac{I}{A}}$. Substituindo $I=A\cdot r_g^2$ na equação de Euler, a tensão crítica normal de compressão vale: $\boxed{{\sigma }_{\text{cr}}=\frac{P_{\text{cr}}}{A}=\frac{{\pi }^{2}E}{(L_e/r_g{)}^2}=\frac{{\pi }^2\cdot E}{{\lambda }_e^2}}$

Onde ${\lambda }_e=\frac{L_e}{r_g}$ é o Índice de Esbeltez Adimensional da Coluna.

• A equação de Euler é válida estritamente para flambagem puramente elástica, o que exige que a tensão crítica não ultrapasse o limite de escoamento (${\sigma }_{\text{cr}}\le {\sigma }_y$).
• O Índice de Esbeltez Limite de Transição (${\lambda }_{\text{lim}}$) é obtido fazendo ${\sigma }_{\text{cr}}={\sigma }_y$: $\boxed{{\lambda }_{\text{lim}}=\pi \sqrt{\frac{E}{{\sigma }_y}}}$
• Para o aço estrutural comum ASTM A36 ($E=200\text{ GPa}$, ${\sigma }_y=250\text{ MPa}$): ${\lambda }_{\text{lim}}=\pi \sqrt{\frac{200\cdot 10^9}{250\cdot 10^6}}=\pi \sqrt{800}\approx 88,86\approx 89$
• Se ${\lambda }_e\ge 89$, a coluna colapsa por flambagem elástica de Euler. Se ${\lambda }_e<89$, a coluna é intermediária ou curta, falhando por escoamento inelástico (equações parabólicas de Johnson-Ostenfeld).

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6. 🎨 Diagrama Conceitual Validado

O diagrama vetorial abaixo ilustra a construção geométrica do Círculo de Mohr para o estado plano de tensões, o elemento sob tensões principais e as curvas de flambagem elástica de Euler em função do índice de esbeltez.

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7. 🔌 Aplicações Reais em Engenharia Elétrica

7.1 Eixos de Rotor de Turbogeradores Hidrelétricos sob Esforços Combinados

O eixo de aço forjado que acopla uma turbina Francis ou Kaplan ao rotor de um gerador síncrono de centenas de megawatts está sujeito a uma solicitação biaxial complexa:

1. Torque Eletromecânico Puro ($T$): Gera tensão de cisalhamento torsional máxima na superfície periférica do eixo cilíndrico de raio $c$: ${\tau }_{xy}=\frac{T\cdot c}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}$
2. Momento Fletor ($M$) e Carga Axial ($P$): Decorrentes de desalinhamento dinâmico de mancais, empuxo hidráulico axial da água e peso próprio do rotor: ${\sigma }_x=\frac{P}{A}\pm \frac{M\cdot c}{I}=\frac{4P}{\pi d^2}\pm \frac{32M}{\pi d^3}$ ${\sigma }_y=0$

O estado plano resultante $({\sigma }_x,0,{\tau }_{xy})$ exige a aplicação mandatória do critério de von Mises para garantir que a tensão equivalente não atinja o escoamento: ${\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{{\sigma }_x^2+3{\tau }_{xy}^2}\le \frac{{\sigma }_y}{\text{FS}}$ Onde $\text{FS}$ é o coeficiente de segurança normatizado contra falha por fadiga e escoamento.

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7.2 Flambagem de Cantoneiras de Aço em Torres de Transmissão Autoportantes

As torres treliçadas de linhas de transmissão em extra-alta tensão (500 kV) utilizam perfis metálicos angulares de abas iguais (cantoneiras em L de aço estrutural de alta resistência). Quando rajadas de vento transversal severas atingem a linha, os montantes da torre a barlavento entram em tração, enquanto os montantes a sotavento são submetidos a altíssimas forças axiais de compressão. Como as cantoneiras possuem rigidezes assimétricas, a flambagem ocorre invariavelmente em torno do eixo principal de menor inércia ($z-z$), onde o raio de giração $r_z$ é mínimo ($r_z\approx 0,2\cdot b$, sendo $b$ a largura da aba). O comprimento livre entre conexões parafusadas é dimensionado de modo que o índice de esbeltez $\lambda =\frac{KL}{r_z}$ não ultrapasse $120$ para barras principais e $200$ para diagonais secundárias de contraventamento (conforme norma ABNT NBR 8842 e ASCE 10-97), prevenindo o colapso catastrófico por flambagem por flexo-torção.

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8. 📝 Questões de Fixação de Concursos Resolvidas Passo a Passo

Questão 1 (PETROBRAS - Engenheiro de Equipamentos - Inspeção)

Um ponto crítico localizado na carcaça de aço de uma turbina geradora está submetido a um Estado Plano de Tensões com as seguintes componentes conhecidas: ${\sigma }_x=80\text{ MPa},{\sigma }_y=-40\text{ MPa},{\tau }_{xy}=45\text{ MPa}$

Pede-se: a) As tensões principais ${\sigma }_1$ e ${\sigma }_2$ e a tensão média ${\sigma }_{\text{meˊd}}$. b) A orientação ${\theta }_p$ dos eixos principais de tensão em relação ao eixo $x$. c) A tensão de cisalhamento máxima no plano (${\tau }_{\text{maˊx,in-plane}}$) e a tensão de cisalhamento absoluta máxima espacial (${\tau }_{\text{abs,maˊx}}$). d) A tensão equivalente de von Mises ${\sigma }_{\text{vM}}$ e a verificação de segurança sabendo que a tensão de escoamento do aço é ${\sigma }_y=350\text{ MPa}$.

💡 Resolução Passo a Passo:

a) Tensões principais (${\sigma }_1,{\sigma }_2$) e tensão média (${\sigma }_{\text{meˊd}}$): A tensão média é o centro do Círculo de Mohr: ${\sigma }_{\text{meˊd}}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}=\frac{80+(-40)}{2}=\frac{40}{2}=20\text{ MPa}$ O raio do círculo é: $R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}=\sqrt{{\left(\frac{80-(-40)}{2}\right)}^2+(45{)}^2}=\sqrt{(60{)}^2+(45{)}^2}$ $R=\sqrt{3600+2025}=\sqrt{5625}=75\text{ MPa}$ As tensões principais no plano valem: ${\sigma }_1={\sigma }_{\text{meˊd}}+R=20+75=95\text{ MPa}$ ${\sigma }_2={\sigma }_{\text{meˊd}}-R=20-75=-55\text{ MPa}$

b) Orientação dos eixos principais (${\theta }_p$): $\tan 2{\theta }_p=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}=\frac{2\cdot 45}{80-(-40)}=\frac{90}{120}=0,75$ $2{\theta }_{p1}=\arctan (0,75)\approx 36,87^{\circ }⟹{\theta }_{p1}\approx +18,43^{\circ }\text{(sentido anti-horaˊrio)}$ O segundo plano principal perpendicular situa-se a: ${\theta }_{p2}={\theta }_{p1}+90^{\circ }=18,43^{\circ }+90^{\circ }=108,43^{\circ }$ Como ${\sigma }_x>{\sigma }_y$ e ${\tau }_{xy}>0$, o ângulo ${\theta }_{p1}=+18,43^{\circ }$ corresponde rigorosamente ao plano da tensão principal máxima ${\sigma }_1=95\text{ MPa}$.

c) Tensão de cisalhamento máxima no plano e máxima absoluta: No plano $xy$: ${\tau }_{\text{maˊx,in-plane}}=R=75\text{ MPa}$ Como se trata de um Estado Plano de Tensões, a terceira tensão principal perpendicular ao plano é nula: ${\sigma }_3=0$. Ordenando as três tensões principais em ordem algébrica decrescente: ${\sigma }_1=95\text{ MPa}>{\sigma }_3=0>{\sigma }_2=-55\text{ MPa}$ A Tensão de Cisalhamento Absoluta Máxima no espaço tridimensional é: ${\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{{\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}}{2}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}=\frac{95-(-55)}{2}=\frac{150}{2}=75\text{ MPa}$ Neste caso, como ${\sigma }_1$ e ${\sigma }_2$ possuem sinais opostos, ${\tau }_{\text{abs,maˊx}}$ coincide exatamente com a tensão máxima no plano ($R$).

d) Tensão de von Mises (${\sigma }_{\text{vM}}$) e verificação de escoamento: Utilizando as tensões principais: ${\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{{\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2}=\sqrt{(95{)}^2-(95)(-55)+(-55{)}^2}$ ${\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{9025+5225+3025}=\sqrt{17275}\approx 131,43\text{ MPa}$ Comparando com o limite de escoamento do material (${\sigma }_y=350\text{ MPa}$): $\text{FS}=\frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_{\text{vM}}}=\frac{350\text{ MPa}}{131,43\text{ MPa}}\approx 2,66$ Como ${\sigma }_{\text{vM}}=131,43\text{ MPa}<350\text{ MPa}$, a estrutura opera com ampla folga de segurança elástica ($\text{FS}=2,66$), sem qualquer risco de escoamento plástico localizado.

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Questão 2 (MARINHA DO BRASIL - Corpo de Engenheiros - Engenharia Naval)

Um vaso de pressão cilíndrico de parede fina de raio interno $r=500\text{ mm}$ e espessura de parede $t=10\text{ mm}$ opera sob uma pressão interna de vapor de $p=2,0\text{ MPa}$. O vaso é construído em chapa de aço estrutural soldada com limite de escoamento ${\sigma }_y=250\text{ MPa}$. Determine: a) As tensões normais circunferenciais (tensão de aro ${\sigma }_1={\sigma }_{\theta }$) e axiais (${\sigma }_2={\sigma }_a$) atuantes na parede. b) A tensão de cisalhamento máxima no plano da casca (${\tau }_{\text{maˊx,in-plane}}$) e a tensão de cisalhamento máxima absoluta espacial (${\tau }_{\text{abs,maˊx}}$). c) O coeficiente de segurança contra o escoamento utilizando o critério de Tresca. d) O coeficiente de segurança contra o escoamento utilizando o critério de von Mises.

💡 Resolução Passo a Passo:

a) Tensões normais circunferenciais e axiais: Para vasos de parede fina ($r/t=500/10=50>10$, validando a teoria de membrana):

• Tensão circunferencial (aro): ${\sigma }_1={\sigma }_{\theta }=\frac{p\cdot r}{t}=\frac{(2,0\cdot 10^6\text{ Pa})\cdot (0,50\text{ m})}{0,01\text{ m}}=1,0\cdot 10^8\text{ Pa}=100\text{ MPa}$
• Tensão axial (longitudinal): ${\sigma }_2={\sigma }_a=\frac{p\cdot r}{2t}=\frac{{\sigma }_1}{2}=\frac{100}{2}=50\text{ MPa}$ Como não há torção nem cargas cortantes na casca, ${\tau }_{12}=0$, de modo que ${\sigma }_1$ e ${\sigma }_2$ são as próprias tensões principais.

b) Tensões de cisalhamento:

• No plano da casca ($1-2$): ${\tau }_{\text{maˊx,in-plane}}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}=\frac{100-50}{2}=25\text{ MPa}$
• No espaço tridimensional, na superfície externa do vaso a pressão radial é nula (${\sigma }_3=0$): ${\sigma }_1=100\text{ MPa}>{\sigma }_2=50\text{ MPa}>{\sigma }_3=0$ Como ambas as tensões principais no plano são trativas positivas, o menor círculo de Mohr envolve ${\sigma }_1$ e ${\sigma }_3=0$: ${\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{{\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}}{2}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_3}{2}=\frac{100-0}{2}=50\text{ MPa}$

Perigo Clássico de Inspeção

A tensão de cisalhamento máxima real que atua no vaso é de $50\text{ MPa}$ em planos inclinados a $45^{\circ }$ em relação à espessura da parede, e não os $25\text{ MPa}$ calculados apenas no plano bidimensional da casca!

c) Coeficiente de segurança pelo Critério de Tresca: ${\sigma }_{\text{eq,Tresca}}={\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}={\sigma }_1-{\sigma }_3=100-0=100\text{ MPa}$ ${\text{FS}}_{\text{Tresca}}=\frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_{\text{eq,Tresca}}}=\frac{250\text{ MPa}}{100\text{ MPa}}=2,50$

d) Coeficiente de segurança pelo Critério de von Mises: ${\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{{\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2}=\sqrt{(100{)}^2-(100)(50)+(50{)}^2}=\sqrt{10000-5000+2500}$ ${\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{7500}\approx 86,60\text{ MPa}$ ${\text{FS}}_{\text{vM}}=\frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_{\text{vM}}}=\frac{250\text{ MPa}}{86,60\text{ MPa}}\approx 2,89$ Observa-se claramente a diferença: von Mises fornece uma folga de capacidade resistente cerca de $15,5\%$ superior ao de Tresca ($\frac{2,89}{2,50}=1,155$).

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Questão 3 (ELETROBRAS / CHESF - Engenheiro Civil e Mecânico)

Uma coluna de suporte vertical de uma subestação elétrica externa possui comprimento real $L=6,0\text{ m}$ e é constituída por um tubo de aço estrutural de seção circular oca com diâmetro externo $D=150\text{ mm}$ e diâmetro interno $d=130\text{ mm}$ (espessura $t=10\text{ mm}$). As extremidades da coluna são fixadas por juntas parafusadas semirrígidas equivalentes a um engaste rígido na base inferior e uma articulação guiada no topo superior ($K=0,7$). Propriedades do aço: $E=200\text{ GPa}$ e ${\sigma }_y=280\text{ MPa}$.

Determine: a) A área da seção transversal $A$ e o momento de inércia $I$. b) O raio de giração $r_g$ e o índice de esbeltez ${\lambda }_e$ da coluna. c) O índice de esbeltez limite ${\lambda }_{\text{lim}}$ do material e confirme se a coluna falha por flambagem elástica de Euler. d) A carga crítica de flambagem de Euler $P_{\text{cr}}$ e a tensão crítica ${\sigma }_{\text{cr}}$. e) A carga axial admissível $P_{\text{adm}}$ adotando um coeficiente de segurança normatizado $\text{FS}=2,0$.

💡 Resolução Passo a Passo:

a) Área ($A$) e Momento de Inércia ($I$): $A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)=\frac{\pi }{4}\left(0,150^2-0,130^2\right)=\frac{\pi }{4}(0,0225-0,0169)=\frac{\pi }{4}(0,0056)\approx 4,3982\cdot 10^{-3}{\text{ m}}^2$ $A\approx 4398,2{\text{ mm}}^2$ O momento de inércia para tubo circular é: $I=\frac{\pi }{64}(D^4-d^4)=\frac{\pi }{64}\left(0,150^4-0,130^4\right)=\frac{\pi }{64}(5,0625\cdot 10^{-4}-2,8561\cdot 10^{-4})$ $I=\frac{\pi }{64}(2,2064\cdot 10^{-4})\approx 1,0830\cdot 10^{-5}{\text{ m}}^4=10,83\cdot 10^6{\text{ mm}}^4$

b) Raio de giração ($r_g$) e Índice de Esbeltez (${\lambda }_e$): $r_g=\sqrt{\frac{I}{A}}=\sqrt{\frac{1,0830\cdot 10^{-5}{\text{ m}}^4}{4,3982\cdot 10^{-3}{\text{ m}}^2}}=\sqrt{2,4624\cdot 10^{-3}}\approx 0,04962\text{ m}\approx 49,62\text{ mm}$ Comprimento efetivo da coluna: $L_e=K\cdot L=0,7\cdot 6,0\text{ m}=4,2\text{ m}$ Índice de esbeltez da coluna: ${\lambda }_e=\frac{L_e}{r_g}=\frac{4,2\text{ m}}{0,04962\text{ m}}\approx 84,64$

c) Índice de esbeltez limite (${\lambda }_{\text{lim}}$) e verificação do regime elástico: ${\lambda }_{\text{lim}}=\pi \sqrt{\frac{E}{{\sigma }_y}}=\pi \sqrt{\frac{200\cdot 10^9\text{ Pa}}{280\cdot 10^6\text{ Pa}}}=\pi \sqrt{714,286}\approx \pi \cdot 26,726\approx 83,96$ Comparando os índices: ${\lambda }_e=84,64\ge {\lambda }_{\text{lim}}=83,96$ Como ${\lambda }_e$ é ligeiramente superior a ${\lambda }_{\text{lim}}$, a coluna opera estritamente no regime de flambagem elástica de Euler (${\sigma }_{\text{cr}}\le {\sigma }_y$).

d) Carga crítica de Euler ($P_{\text{cr}}$) e Tensão Crítica (${\sigma }_{\text{cr}}$): $P_{\text{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L_e^2}=\frac{{\pi }^2\cdot (200\cdot 10^9\text{ Pa})\cdot (1,0830\cdot 10^{-5}{\text{ m}}^4)}{(4,2\text{ m}{)}^2}=\frac{2,1378\cdot 10^7}{17,64}\approx 1,2119\cdot 10^6\text{ N}\approx 1211,9\text{ kN}$ A tensão crítica correspondente é: ${\sigma }_{\text{cr}}=\frac{P_{\text{cr}}}{A}=\frac{1,2119\cdot 10^6\text{ N}}{4,3982\cdot 10^{-3}{\text{ m}}^2}\approx 2,755\cdot 10^8\text{ Pa}=275,5\text{ MPa}$ Observa-se que ${\sigma }_{\text{cr}}=275,5\text{ MPa}<280\text{ MPa}$, confirmando que o colapso ocorre instantes antes do escoamento do metal.

e) Carga axial admissível ($P_{\text{adm}}$): $P_{\text{adm}}=\frac{P_{\text{cr}}}{\text{FS}}=\frac{1211,9\text{ kN}}{2,0}=605,95\text{ kN}(\approx 606\text{ kN})$

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Questão 4 (PERITO CRIMINAL FEDERAL - Engenharia Mecânica / Forense)

Uma barra maciça de liga metálica condutora de seção transversal quadrada com lado $a=20\text{ mm}$ ($A=400{\text{ mm}}^2$) e comprimento $L=1,5\text{ m}$ está instalada entre dois blocos massivos e indeformáveis. À temperatura ambiente de $T_0=25^{\circ }\text{C}$, a folga axial entre a barra e um dos blocos rígidos é de exatamente ${\delta }_{\text{folga}}=0,60\text{ mm}$. Propriedades mecânicas da barra:

• Módulo de Elasticidade: $E=100\text{ GPa}$
• Coeficiente de Dilatação Térmica: $\alpha =20\cdot 10^{-6}{\text{ K}}^{-1}$
• Limite de Escoamento: ${\sigma }_y=220\text{ MPa}$

Em decorrência de um surto de corrente elétrica contínuo (efeito Joule), a temperatura da barra eleva-se uniformemente para $T_f=95^{\circ }\text{C}$ ($\Delta T=70^{\circ }\text{C}$). Pede-se: a) A dilatação térmica livre da barra ${\delta }_T$ na ausência de restrições. b) A força normal compressiva de reação $R$ desenvolvida nos engastes após o fechamento da folga. c) A tensão mecânica residual $\sigma$ instalada na barra e o coeficiente de segurança contra o escoamento.

💡 Resolução Passo a Passo:

a) Dilatação térmica livre (${\delta }_T$): ${\delta }_T=\alpha \cdot L\cdot \Delta T=(20\cdot 10^{-6}{\text{ K}}^{-1})\cdot (1500\text{ mm})\cdot (70\text{ K})=2,10\text{ mm}$ Como a expansão térmica livre ${\delta }_T=2,10\text{ mm}$ é substancialmente superior à folga geométrica existente (${\delta }_{\text{folga}}=0,60\text{ mm}$), a barra encosta firmemente nas extremidades rígidas e passa a ser comprimida.

b) Força de reação compressiva ($R$): A equação de compatibilidade geométrica de deslocamentos impõe que a expansão líquida final da barra não pode ultrapassar o tamanho da folga: ${\delta }_{\text{lıˊquido}}={\delta }_T-{\delta }_P={\delta }_{\text{folga}}$ Onde ${\delta }_P=\frac{R\cdot L}{EA}$ é a contração elástica causada pela força axial compressiva $R$. Isolando ${\delta }_P$: ${\delta }_P={\delta }_T-{\delta }_{\text{folga}}=2,10\text{ mm}-0,60\text{ mm}=1,50\text{ mm}=1,50\cdot 10^{-3}\text{ m}$ Como ${\delta }_P=\frac{R\cdot L}{EA}$, isola-se a força de reação $R$: $R=\frac{{\delta }_P\cdot E\cdot A}{L}$ Substituindo os valores numéricos: $EA=(100\cdot 10^9\text{ Pa})\cdot (400\cdot 10^{-6}{\text{ m}}^2)=4,0\cdot 10^7\text{ N}$ $R=\frac{(1,50\cdot 10^{-3}\text{ m})\cdot (4,0\cdot 10^7\text{ N})}{1,5\text{ m}}=\frac{60000}{1,5}=40000\text{ N}(40\text{ kN})$

c) Tensão mecânica normal ($\sigma$) e coeficiente de segurança ($\text{FS}$): A tensão normal de compressão induzida na barra vale: $\sigma =-\frac{R}{A}=-\frac{40000\text{ N}}{400\cdot 10^{-6}{\text{ m}}^2}=-1,0\cdot 10^8\text{ Pa}=-100\text{ MPa}$ O coeficiente de segurança contra o escoamento plástico por compressão é: $\text{FS}=\frac{{\sigma }_y}{|\sigma |}=\frac{220\text{ MPa}}{100\text{ MPa}}=2,20$ A barra resiste com total integridade elástica e margem de segurança de $2,20$.

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9. 📌 Resumo Conceitual & Fórmulas Críticas Consolidadas

Conceito / Fenômeno	Expressão Matemática Deduzida	Significado e Unidade SI
Alongamento Axial Elástico	$\delta ={\int }_0^L\frac{P(x)}{EA(x)}dx=\frac{PL}{EA}$	Deformação total em barras axiais ($\text{m}$).
Dilatação e Tensão Térmica	${\delta }_T=\alpha L\Delta T,{\sigma }_T=-E\alpha \Delta T$	Resposta mecânica a variações de temperatura ($\Delta T$).
Fator de Concentração de Tensões	$K_t=\frac{{\sigma }_{\text{maˊx}}}{{\sigma }_{\text{nom}}}$	Multiplicador de pico de tensão em descontinuidades (furos, chavetas).
Tensões Principais (EPT)	${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$	Autovalores de tensões normais extremas ($\text{Pa}$).
Círculo de Mohr (Centro e Raio)	$C=\left(\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2},0\right),R=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}$	Representação geométrica exata do tensor no plano $(\sigma ,\tau )$.
Cisalhamento Absoluto Máximo	${\tau }_{\text{abs,maˊx}}=\frac{{\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}}{2}$	Tensão cisalhante crítica espacial considerando ${\sigma }_3=0$.
Critério de Falha de Tresca	${\sigma }_{\text{maˊx}}-{\sigma }_{\text{mıˊn}}\ge {\sigma }_y$	Limite de escoamento por cisalhamento máximo (conservador).
Critério de Falha de von Mises	${\sigma }_{\text{vM}}=\sqrt{{\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2}\ge {\sigma }_y$	Energia de distorção máxima (precisão superior em metais).
Carga Crítica de Euler (Flambagem)	$P_{\text{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{(KL{)}^2}=\frac{{\pi }^{2}EA}{{\lambda }_e^2}$	Limite de estabilidade elástica em colunas esbeltas sob compressão.