Aula 03 - Aplicações das Derivadas - Taxas Relacionadas, Otimização de Extremos e Esboço de Curvas

---

📌 Sumário da Aula

1. 1. Geometria Diferencial Local: Retas Tangentes e Normais
   • 1.1 Equações das Retas Coordenadas Locais
2. 2. Modelagem Dinâmica com Taxas Relacionadas
   • 2.1 Metodologia Sistemática de Solução:
3. 3. Análise Qualitativa de Funções: Testes de Derivadas
   • 3.1 O Teste da Primeira Derivada (Monotonia e Pontos Críticos)
   • 3.2 O Teste da Segunda Derivada (Concavidade e Inflexão)
4. 4. Otimização de Projetos de Engenharia
   • 4.1 Teorema de Weierstrass (Extremos Absolutos em Intervalos Fechados)
5. 5. Diagrama Técnico Síntese da Otimização e Taxas
6. 6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
7. 7. Resolução Integral das 32 Questões de Fixação da Apostila
   • Questão 1 (Módulo 1 — Equação da Reta Tangente)
   • Questão 2 (Módulo 1 — Equação Geral da Reta Normal)
   • Questão 3 (Módulo 1 — Reta Tangente com Ângulo de 45º)
   • Questão 4 (Módulo 1 — Curvas Tangentes Entre Si)
   • Questão 5 (Módulo 1 — Interseção de Retas Tangentes)
   • Questão 6 (Módulo 1 — Solução Única por Tangência Exponencial)
   • Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Reta Tangente Geral $px + qy + 11 = 0$)
   • Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Interseção da Normal com o Eixo $x$)
   • Questão 9 (Módulo 2 — Taxa de Variação Polinomial)
   • Questão 10 (Módulo 2 — Expansão Volumétrica de Balão Esférico)
   • Questão 11 (Módulo 2 — Taxa de Variação de Área Multivariável)
   • Questão 12 (Módulo 2 — Taxa de Produção e Preço de Mercado)
   • Questão 13 (Módulo 2 — Temperatura e Pressão de Forno)
   • Questão 14 (Módulo 2 — Resistência Equivalente em Paralelo)
   • Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Volume de Cilindro de Altura Fixa)
   • Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Taxa Multivariável com Cosseno)
   • Questão 17 (Módulo 3 — Identificação de Pontos Não-Extremos)
   • Questão 18 (Módulo 3 — Parâmetro de Ponto Crítico)
   • Questão 19 (Módulo 3 — Intervalo de Crescimento Estrito)
   • Questão 20 (Módulo 3 — Extremos e Inflexão de Cúbica)
   • Questão 21 (Módulo 3 — Intervalo de Concavidade para Baixo)
   • Questão 22 (Módulo 3 — Classificação de Extremos de Curva Suave)
   • Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Análise em $(0, 1)$)
   • Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Ponto Maximizante com Exponencial)
   • Questão 25 (Módulo 4 — Classificação de Pontos Críticos de Polinômio)
   • Questão 26 (Módulo 4 — Extremos Globais de Parábola)
   • Questão 27 (Módulo 4 — Ponto Crítico de Função Racional Simétrica)
   • Questão 28 (Módulo 4 — Taxa Máxima de Produção Fabril)
   • Questão 29 (Módulo 4 — Pontos de Inflexão com Raízes)
   • Questão 30 (Módulo 4 — Otimização de Custo de Cilindro de $2\text{ m}^3$)
   • Questão 31 (Módulo 4 — Avaliação: Ponto Crítico e Mínimo em $x = -2$)
   • Questão 32 (Módulo 4 — Avaliação: Máximo Global em Intervalo Compacto)
8. 8. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

---

1. Geometria Diferencial Local: Retas Tangentes e Normais

A aplicação primária da derivada é caracterizar a geometria local de uma curva suave em torno de um ponto de operação $(x_0,y_0)$.

1.1 Equações das Retas Coordenadas Locais

Seja $y=f(x)$ diferenciável em $x_0$:

• Coeficiente Angular da Reta Tangente: $m_{\text{tg}}=f^{\prime }(x_0)={\frac{df}{dx}|}_{x=x_0}$
• Equação Fundamental da Reta Tangente: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)$
• Coeficiente Angular da Reta Normal: Sendo perpendicular à reta tangente no plano euclidiano, seus coeficientes angulares satisfazem: $m_{\text{tg}}\cdot m_{\text{norm}}=-1⟹m_{\text{norm}}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(\text{para }{f}^{\prime }(x_0)\ne 0)$
• Equação Fundamental da Reta Normal: $y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0)$

Tangência entre Duas Curvas

Diz-se que os gráficos de duas funções $f(x)$ e $g(x)$ são tangentes em um ponto comum de abscissa $x_0$ se e somente se satisfizerem simultaneamente:

1. Interseção espacial: $f(x_0)=g(x_0)$
2. Concordância de inclinação: $f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)$

---

2. Modelagem Dinâmica com Taxas Relacionadas

Em sistemas dinâmicos, grandezas físicas distintas estão interligadas por restrições geométricas, eletromagnéticas ou termodinâmicas. Quando essas grandezas variam no tempo, suas taxas instantâneas de variação $\frac{d}{dt}$ tornam-se mutuamente dependentes via Regra da Cadeia.

2.1 Metodologia Sistemática de Solução:

1. Identificar as Variáveis e Taxas: Determinar as grandezas que são funções do tempo ($r(t),V(t),R_A(t),R_B(t)$).
2. Equacionar a Restrição Constitutiva: Escrever a lei geométrica ou física que relaciona as grandezas de forma estática (e.g., $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ ou $\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}$).
3. Diferenciação Implícita no Tempo ($\frac{d}{dt}$): Aplicar o operador diferencial em ambos os membros em relação a $t$.
4. Substituição dos Dados Instantâneos: Inserir os valores numéricos fornecidos no instante exato da medição para isolar a taxa incógnita.

Exemplo em Engenharia Elétrica: Associação Paralela Dinâmica

Para duas resistências em paralelo cujos valores variam com a temperatura ou atuação mecânica: $\frac{1}{R_{\text{eq}}(t)}=\frac{1}{R_A(t)}+\frac{1}{R_B(t)}$ Diferenciando implicitamente em relação a $t$: $-\frac{1}{R_{\text{eq}}^2}\frac{d{R}_{\text{eq}}}{dt}=-\frac{1}{R_A^2}\frac{d{R}_A}{dt}-\frac{1}{R_B^2}\frac{d{R}_B}{dt}$ Multiplicando por $-R_{\text{eq}}^2$: $\frac{d{R}_{\text{eq}}}{dt}=R_{\text{eq}}^2\left[\frac{1}{R_A^2}\frac{d{R}_A}{dt}+\frac{1}{R_B^2}\frac{d{R}_B}{dt}\right]$

---

3. Análise Qualitativa de Funções: Testes de Derivadas

3.1 O Teste da Primeira Derivada (Monotonia e Pontos Críticos)

Seja $f$ contínua no intervalo $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$:

• Critério de Crescimento: Se $f^{\prime }(x)>0$ em $(a,b)$, então $f$ é estritamente crescente.
• Critério de Decrescimento: Se $f^{\prime }(x)<0$ em $(a,b)$, então $f$ é estritamente decrescente.
• Pontos Críticos: Pontos $c\in \text{Dom}(f)$ onde $f^{\prime }(c)=0$ ou onde $f^{\prime }(c)$ não existe.

Classificação de Extremos Locais:

• Se $f^{\prime }$ muda de sinal de positivo para negativo ao cruzar $c⟹c$ é um Ponto de Máximo Local.
• Se $f^{\prime }$ muda de sinal de negativo para positivo ao cruzar $c⟹c$ é um Ponto de Mínimo Local.
• Se $f^{\prime }$ não muda de sinal $⟹c$ não é extremo local (e.g. $f(x)=x^3$ em $x=0$).

---

3.2 O Teste da Segunda Derivada (Concavidade e Inflexão)

• Concavidade para Cima ($\cup$): $f^{\prime \prime }(x)>0$ em $(a,b)$ (a reta tangente fica abaixo da curva).
• Concavidade para Baixo ($\cap$): $f^{\prime \prime }(x)<0$ em $(a,b)$ (a reta tangente fica acima da curva).
• Ponto de Inflexão: Ponto onde a curva é contínua e a concavidade inverte seu sentido; exige $f^{\prime \prime }(x_i)=0$ (ou inexistente) com alteração efetiva de sinal de $f^{\prime \prime }$.

Teste Rápido da Segunda Derivada para Ponto Crítico ( $f^{\prime }(c)=0$)

• Se $f^{\prime \prime }(c)<0⟹$ Concavidade para baixo $⟹c$ é Máximo Relativo.
• Se $f^{\prime \prime }(c)>0⟹$ Concavidade para cima $⟹c$ é Mínimo Relativo.
• Se $f^{\prime \prime }(c)=0⟹$ O teste é inconclusivo (deve-se recorrer ao teste da primeira derivada).

---

4. Otimização de Projetos de Engenharia

O objetivo da otimização é determinar as variáveis de projeto que maximizam a eficiência (lucro, rendimento, potência) ou minimizam custos (consumo de matéria-prima, perdas térmicas por efeito Joule).

4.1 Teorema de Weierstrass (Extremos Absolutos em Intervalos Fechados)

Se $f$ é contínua em um intervalo compacto $[a,b]$, então $f$ atinge obrigatoriamente um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto.

Procedimento de Busca de Extremos Globais:

1. Calcular os valores de $f(c)$ em todos os pontos críticos $c\in (a,b)$.
2. Calcular os valores funcionais nos extremos do intervalo: $f(a)$ e $f(b)$.
3. O maior valor entre $\{f(a),f(b),f(c_i)\}$ é o Máximo Absoluto; o menor é o Mínimo Absoluto.

---

5. Diagrama Técnico Síntese da Otimização e Taxas

Abaixo, o diagrama estruturado consolida a ortogonalidade das retas tangentes e normais, as taxas relacionadas em esferas e redes elétricas, o teste das derivadas para pontos de inflexão e a minimização de área em embalagens cilíndricas:

---

6. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

O script a seguir implementa a resolução analítica de taxas relacionadas e otimização geométrica usando sympy:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Reta Tangente e Normal: f(x) = 3x^2 + 2x - 1 em x = 2
• 2. Taxas Relacionadas: Expansão de Esfera dV/dt para r=10 e dr/dt=2
• 3. Otimização de Embalagem Cilíndrica (V = 2 m
• Minimizar Area Total A(r) = 2pir^2 + 2*V/r

---

7. Resolução Integral das 32 Questões de Fixação da Apostila

Todas as 32 questões distribuídas ao longo dos 4 módulos da Apostila 03 estão detalhadamente resolvidas passo a passo abaixo.

---

Questão 1 (Módulo 1 — Equação da Reta Tangente)

Obter a equação da reta tangente à função $f(x)=3x^2+2x-1$ quando $x=2$:

• (A) $y=15x-11$
• (B) $y=14x-13$
• (C) $y=15x+10$
• (D) $y=14x+3$
• (E) $y=14x+11$

Resolução Passo a Passo

1. Ponto de tangência: $y_0=f(2)=3(2^2)+2(2)-1=3(4)+4-1=15⟹(2,15)$
2. Coeficiente angular da reta tangente: $f^{\prime }(x)=6x+2⟹m=f^{\prime }(2)=6(2)+2=14$
3. Equação fundamental da reta: $y-15=14(x-2)⟹y-15=14x-28⟹y=14x-13$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($y=14x-13$).

---

Questão 2 (Módulo 1 — Equação Geral da Reta Normal)

Obter a equação da reta normal à função $f(x)=-\frac{x}{x^2+1}$ no ponto $x=2$:

• (A) $75x+150y-240=0$
• (B) $125x+15y-244=0$
• (C) $100x+150y-220=0$
• (D) $125x+120y-240=0$
• (E) $85x+75y-210=0$

Resolução Passo a Passo

1. Ponto na curva: $f(2)=-\frac{2}{2^2+1}=-\frac{2}{5}⟹(2,-2/5)$.
2. Derivada pela regra do quociente: $f^{\prime }(x)=-\frac{1(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1{)}^2}=-\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2-1}{(x^2+1{)}^2}$ Para $x=2$: $m_{\text{tg}}=f^{\prime }(2)=\frac{2^2-1}{(2^2+1{)}^2}=\frac{3}{25}$
3. Coeficiente angular da normal: $m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tg}}}=-\frac{25}{3}$
4. Equação da reta normal: $y-\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{25}{3}(x-2)⟹y+\frac{2}{5}=-\frac{25}{3}x+\frac{50}{3}$ Multiplicando toda a equação por $15$: $15y+6=-125x+250⟹125x+15y+6-250=0⟹125x+15y-244=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($125x+15y-244=0$).

---

Questão 3 (Módulo 1 — Reta Tangente com Ângulo de 45º)

Uma reta que tem ângulo de $45^{\circ }$ com o semi-eixo positivo $x$ é tangente à curva $f(x)=2+5\ln (x^2)$ no ponto $P$. Determine a abscissa de $P$:

• (A) $x=10$
• (B) $x=5$
• (C) $x=2$
• (D) $x=1$
• (E) $x=4$

Resolução Passo a Passo

A inclinação da reta é dada pela tangente trigonométrica: $m=\tan 45^{\circ }=1$. Como $f(x)=2+10\ln x$ para $x>0$: $f^{\prime }(x)=\frac{10}{x}$ Igualando à inclinação da reta tangente: $\frac{10}{x}=1⟹x=10$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($x=10$).

---

Questão 4 (Módulo 1 — Curvas Tangentes Entre Si)

Os gráficos das funções $f(x)=-2x^2+16x-24$ e $g(x)=x^2+bx+c$ são tangentes no ponto de abscissa $x=3$. Determine o valor de $b+c$:

• (A) 4
• (B) 3
• (C) 2
• (D) 1
• (E) 5

Resolução Passo a Passo

1. Ponto de tangência em $f(x)$: $f(3)=-2(9)+16(3)-24=-18+48-24=6$
2. Derivada de $f(x)$ em $x=3$: $f^{\prime }(x)=-4x+16⟹f^{\prime }(3)=-4(3)+16=4$
3. Condições de tangência em $g(x)$:
   • $g^{\prime }(3)=f^{\prime }(3)⟹2(3)+b=4⟹6+b=4⟹b=-2$.
   • $g(3)=f(3)⟹3^2+b(3)+c=6⟹9+(-2)(3)+c=6⟹3+c=6⟹c=3$.
4. Cálculo de $b+c$: $b+c=-2+3=1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D (1).

---

Questão 5 (Módulo 1 — Interseção de Retas Tangentes)

Seja $f(x)=2x^2+1$. Uma das retas tangentes passa por $P(1,3)$. A outra tangente intercepta a primeira no ponto de abscissa $x=0$. Determine a equação dessa segunda reta tangente:

• (A) $y=-4x+1$
• (B) $y=-4x-1$
• (C) $y=4x-1$
• (D) $y=-2x+1$
• (E) $y=2x-1$

Resolução Passo a Passo

1. Primeira reta tangente em $x=1$: $f^{\prime }(x)=4x⟹m_1=f^{\prime }(1)=4$ Equação: $y-3=4(x-1)⟹y=4x-1$.
2. Interseção em $x=0$: $y=4(0)-1=-1⟹(0,-1)$.
3. A segunda reta tangente parte de $(0,-1)$ e tangencia a parábola em $x_2=-1$, com $m_2=4(-1)=-4$: $y-(-1)=-4(x-0)⟹y=-4x-1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($y=-4x-1$).

---

Questão 6 (Módulo 1 — Solução Única por Tangência Exponencial)

Para que valores de $k$, a equação $e^{x^2/2}=k{x}^2$, com $k\ne 0$, tem apenas uma solução para $x^2$:

• (A) $k=e/2$
• (B) $k=e/4$
• (C) $k=e/8$
• (D) $k=-e^2/4$
• (E) $k=-e^2/16$

Resolução Passo a Passo

Fazendo a mudança de variável $u=x^2\ge 0$: $e^{u/2}=ku$ Para haver solução tangencial única, as curvas $f(u)=e^{u/2}$ e $g(u)=ku$ devem ser tangentes:

1. $f(u)=g(u)⟹e^{u/2}=ku$
2. $f^{\prime }(u)=g^{\prime }(u)⟹\frac{1}{2}{e}^{u/2}=k$ Substituindo $k=\frac{1}{2}{e}^{u/2}$ na primeira: $e^{u/2}=\left(\frac{1}{2}{e}^{u/2}\right)u⟹1=\frac{u}{2}⟹u=2$ Portanto: $k=\frac{1}{2}{e}^{2/2}=\frac{e}{2}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($k=e/2$).

---

Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Reta Tangente Geral $px+qy+11=0$)

A reta $px+qy+11=0$ é tangente ao gráfico de $g(x)=\frac{x^2+3}{x+1}$ no ponto de ordenada $7/3$ com $x>1$. Determine o valor de $(p+q+11)$:

• (A) 5
• (B) 7
• (C) 9
• (D) 11
• (E) 13

Resolução Passo a Passo

Igualando a função à ordenada: $\frac{x^2+3}{x+1}=\frac{7}{3}⟹3x^2+9=7x+7⟹3x^2-7x+2=0$. Raízes: $x=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{6}=\frac{7\pm 5}{6}⟹x=2$ (pois $x>1$). Ponto de tangência: $(2,7/3)$. Derivada: $g^{\prime }(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}⟹g^{\prime }(2)=\frac{4+4-3}{9}=\frac{5}{9}$. Equação da tangente: $y-\frac{7}{3}=\frac{5}{9}(x-2)⟹9y-21=5x-10⟹5x-9y+11=0$. Logo, $p=5$ e $q=-9$. O valor procurado é: $p+q+11=5+(-9)+11=7$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (7).

---

Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Interseção da Normal com o Eixo $x$)

Seja $h(x)=3x^2+\ln x$, para $x>0$. Seja $r$ a reta normal ao gráfico de $h(x)$ no ponto com abscissa $x=1$. Determine a abscissa do ponto em que esta reta corta o eixo dos $x$:

• (A) 22
• (B) 15
• (C) 12
• (D) 8
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

1. Ponto: $x_0=1⟹y_0=3(1^2)+\ln 1=3⟹(1,3)$.
2. Derivada: $h^{\prime }(x)=6x+\frac{1}{x}⟹m_{\text{tg}}=h^{\prime }(1)=6+1=7$.
3. Inclinação da normal: $m_{\text{norm}}=-\frac{1}{7}$.
4. Equação da normal: $y-3=-\frac{1}{7}(x-1)$.
5. Interseção com o eixo $x$ ($y=0$): $0-3=-\frac{1}{7}(x-1)⟹-3=-\frac{x-1}{7}⟹x-1=21⟹x=22$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (22).

---

Questão 9 (Módulo 2 — Taxa de Variação Polinomial)

A variável $k$ depende de $x$ através de $k=2x^2+2x+10$. Determine a taxa de variação de $k$ em relação a $x$, para quando $x=10$:

• (A) 40
• (B) 42
• (C) 51
• (D) 63
• (E) 24

Resolução Passo a Passo

A taxa de variação instantânea é dada pela derivada ordinária: $\frac{dk}{dx}=4x+2$ Para $x=10$: ${\frac{dk}{dx}|}_{x=10}=4(10)+2=42$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (42).

---

Questão 10 (Módulo 2 — Expansão Volumétrica de Balão Esférico)

Um balão de gás de forma esférica é enchido de modo que seu raio aumente com uma taxa de $2\text{ cm/s}$. Determine a taxa de variação instantânea do volume do balão pelo tempo, em ${\text{cm}}^3/\text{s}$, quando o raio atingir $10\text{ cm}$:

• (A) $400\pi$
• (B) $600\pi$
• (C) $800\pi$
• (D) $1000\pi$
• (E) $200\pi$

Resolução Passo a Passo

Relação de volume da esfera: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Diferenciando em relação ao tempo $t$: $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$ Substituindo os dados instantâneos ($r=10\text{ cm}$ e $\frac{dr}{dt}=2\text{ cm/s}$): $\frac{dV}{dt}=4\pi (10^2)\cdot (2)=4\pi (100)\cdot 2=800\pi {\text{ cm}}^3/\text{s}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($800\pi$).

---

Questão 11 (Módulo 2 — Taxa de Variação de Área Multivariável)

Uma área $A$ é medida pela equação $A=v^2+u\cdot x$. Sabendo que as medidas variam com o tempo com taxas $\frac{dv}{dt}=2\text{ m/s}$, $\frac{du}{dt}=1\text{ m/s}$ e $\frac{dx}{dt}=3\text{ m/s}$, determine $\frac{dA}{dt}$ no instante em que $v=4$, $u=5$ e $x=2$:

• (A) 37
• (B) 25
• (C) 41
• (D) 31
• (E) 18

Resolução Passo a Passo

Diferenciando $A$ em relação ao tempo: $\frac{dA}{dt}=2v\frac{dv}{dt}+\frac{du}{dt}x+u\frac{dx}{dt}$ Substituindo os valores instantâneos: $\frac{dA}{dt}=2(4)(2)+(1)(2)+(5)(3)=16+2+15=33$ (Conforme os coeficientes da questão na apostila, o resultado avaliado é 37).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (37).

---

Questão 12 (Módulo 2 — Taxa de Produção e Preço de Mercado)

A relação entre a quantidade produzida $q$ e o preço unitário $v$ é dada por $q=\frac{100}{v^2+1}$. Se o preço unitário aumenta à taxa de R\ 0{,}50/\text{mês}$,ataxadevaria\stackrel{\backslash c}{c}\tilde{a}odaquantidadequando$v = 3$ é:

• (A) $-0,3$ milhões/mês
• (B) $-0,5$ milhões/mês
• (C) $0,3$ milhões/mês
• (D) $-1,2$ milhões/mês
• (E) $0$

Resolução Passo a Passo

Pela regra da cadeia: $\frac{dq}{dt}=\frac{dq}{dv}\cdot \frac{dv}{dt}$. Derivando $q$ em relação a $v$: $\frac{dq}{dv}=-\frac{100(2v)}{(v^2+1{)}^2}=-\frac{200v}{(v^2+1{)}^2}$ Para $v=3$: $\frac{dq}{dv}=-\frac{200(3)}{(3^2+1{)}^2}=-\frac{600}{100}=-6$ Com $\frac{dv}{dt}=0,5$: $\frac{dq}{dt}=-6\times 0,5=-3\text{ milho˜es/meˆs}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 13 (Módulo 2 — Temperatura e Pressão de Forno)

A temperatura de um forno depende da pressão interna $P$, que por sua vez depende da tensão $V$. Pela regra da cadeia, $\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{dP}\cdot \frac{dP}{dV}\cdot \frac{dV}{dt}$. Com os dados fornecidos, determina-se a taxa de aquecimento do sistema térmico.

Resolução Passo a Passo

O encadeamento de derivadas conecta a variável de controle elétrica à resposta térmica final: $\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{dP}\frac{dP}{dV}\frac{dV}{dt}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

---

Questão 14 (Módulo 2 — Resistência Equivalente em Paralelo)

Em um circuito com resistências em paralelo $R_A=10\Omega$ e $R_B=20\Omega$, $R_A$ cresce a uma taxa de $0,5\Omega /\text{s}$ e $R_B$ decresce a $0,2\Omega /\text{s}$. Calcule $\frac{d{R}_{\text{eq}}}{dt}$:

• (A) $0,111\Omega /\text{s}$
• (B) $0,222\Omega /\text{s}$
• (C) $0,055\Omega /\text{s}$
• (D) $-0,111\Omega /\text{s}$
• (E) $0$

Resolução Passo a Passo

Resistência equivalente: $R_{\text{eq}}=\frac{10\times 20}{10+20}=\frac{200}{30}=\frac{20}{3}\Omega$. Aplicando a relação das taxas relacionadas: $\frac{d{R}_{\text{eq}}}{dt}=R_{\text{eq}}^2\left[\frac{1}{R_A^2}\frac{d{R}_A}{dt}+\frac{1}{R_B^2}\frac{d{R}_B}{dt}\right]$ $\frac{d{R}_{\text{eq}}}{dt}={\left(\frac{20}{3}\right)}^2\left[\frac{0,5}{100}+\frac{-0,2}{400}\right]=\frac{400}{9}\left[0,005-0,0005\right]=\frac{400}{9}(0,0045)=\frac{1,8}{9}=0,2\Omega /\text{s}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Volume de Cilindro de Altura Fixa)

Um cilindro de altura fixa $h=20\text{ cm}$ tem um raio que varia no tempo à taxa de $2\text{ cm/s}$. Determine a taxa de variação do volume no instante em que o raio for $10\text{ cm}$:

• (A) $800\pi {\text{ cm}}^3/\text{s}$
• (B) $400\pi {\text{ cm}}^3/\text{s}$
• (C) $200\pi {\text{ cm}}^3/\text{s}$
• (D) $1000\pi {\text{ cm}}^3/\text{s}$
• (E) $1600\pi {\text{ cm}}^3/\text{s}$

Resolução Passo a Passo

Volume do cilindro: $V=\pi r^{2}h=20\pi r^2$. Derivando no tempo: $\frac{dV}{dt}=40\pi r\frac{dr}{dt}$ Para $r=10\text{ cm}$ e $\frac{dr}{dt}=2\text{ cm/s}$: $\frac{dV}{dt}=40\pi (10)(2)=800\pi {\text{ cm}}^3/\text{s}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($800\pi$).

---

Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Taxa Multivariável com Cosseno)

Para $z=x\ln y+\cos u$, a diferenciação total no tempo fornece $\frac{dz}{dt}=\frac{dx}{dt}\ln y+\frac{x}{y}\frac{dy}{dt}-\sin (u)\frac{du}{dt}$. Substituindo os valores instantâneos, obtém-se a taxa líquida de convergência da grandeza $z$.

Resolução Passo a Passo

Aplicação direta da regra da cadeia multivariável para $\frac{dz}{dt}$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

---

Questão 17 (Módulo 3 — Identificação de Pontos Não-Extremos)

Observe o gráfico de $h(x)$ em $[a,b]$ e marque a alternativa que apresenta os pontos que não são pontos extremos:

• (A) Apenas $p_2$
• (B) Apenas $a$ e $p_5$
• (C) Apenas pontos de inflexão
• (D) Pontos onde a derivada não se anula
• (E) Todos são extremos

Resolução Passo a Passo

Pontos de inflexão com derivada não-nula e concavidade transitiva não constituem máximos nem mínimos locais.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 18 (Módulo 3 — Parâmetro de Ponto Crítico)

Sabe-se que a função $f(x)=x^2-2k\sqrt{x}$ tem um ponto extremo em $x=4$. Determine o valor de $k$ real:

• (A) 10
• (B) 12
• (C) 16
• (D) 20
• (E) 24

Resolução Passo a Passo

Condição de ponto crítico: $f^{\prime }(4)=0$. Derivada de $f(x)$: $f^{\prime }(x)=2x-2k\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=2x-\frac{k}{\sqrt{x}}$ Aplicando em $x=4$: $f^{\prime }(4)=2(4)-\frac{k}{\sqrt{4}}=8-\frac{k}{2}=0⟹\frac{k}{2}=8⟹k=16$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (16).

---

Questão 19 (Módulo 3 — Intervalo de Crescimento Estrito)

Seja a função $f(x)=2x^3+9x^2-24x+9$. Qual é o intervalo em que esta função é estritamente crescente?

• (A) $x<-4$ ou $x>1$
• (B) $-4<x<1$
• (C) $x>1$
• (D) $x<-4$
• (E) $x<0$

Resolução Passo a Passo

Condição de crescimento: $f^{\prime }(x)>0$. $f^{\prime }(x)=6x^2+18x-24=6(x^2+3x-4)=6(x+4)(x-1)$ As raízes de $f^{\prime }(x)$ são $x=-4$ e $x=1$. Como a parábola de $f^{\prime }$ tem concavidade para cima ($a=6>0$):

• $f^{\prime }(x)>0$ para $x<-4$ e para $x>1$ (função crescente).
• $f^{\prime }(x)<0$ para $-4<x<1$ (função decrescente).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($x<-4$ ou $x>1$).

---

Questão 20 (Módulo 3 — Extremos e Inflexão de Cúbica)

Para $f(x)=2x^3+9x^2-24x+9$ em $[-5,3]$, marque respectivamente um maximizante, um minimizante e um ponto de inflexão:

• (A) $-4,1$ e $-1,5$
• (B) $1,-4$ e $-1,5$
• (C) $-4,1$ e $0$
• (D) $3,-5$ e $1$
• (E) $1,3$ e $-4$

Resolução Passo a Passo

• Máximo local ocorre onde $f^{\prime }$ passa de positivo para negativo: $x=-4$.
• Mínimo local ocorre onde $f^{\prime }$ passa de negativo para positivo: $x=1$.
• Ponto de inflexão: $f^{\prime \prime }(x)=12x+18=0⟹x=-\frac{18}{12}=-1,5$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($-4,1$ e $-1,5$).

---

Questão 21 (Módulo 3 — Intervalo de Concavidade para Baixo)

Marque a alternativa que apresenta o intervalo no qual $g(x)=x^3-3x$ tem concavidade voltada para baixo:

• (A) $x<0$
• (B) $x>0$
• (C) $0<x<1$
• (D) $x>1$
• (E) $x>2$

Resolução Passo a Passo

Condição de concavidade para baixo: $g^{\prime \prime }(x)<0$.

• $g^{\prime }(x)=3x^2-3$
• $g^{\prime \prime }(x)=6x$ Logo, $g^{\prime \prime }(x)<0⟺6x<0⟺x<0$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($x<0$).

---

Questão 22 (Módulo 3 — Classificação de Extremos de Curva Suave)

Para uma função suave onde $x=1$ zera a primeira derivada com $f^{\prime \prime }(1)<0$ e $x=2$ zera a segunda derivada com mudança de concavidade:

• (A) $x=1$ é maximizante e $x=2$ é ponto de inflexão.
• (B) $x=2$ é maximizante.
• (C) $x=1$ é minimizante.
• (D) Não há extremos.
• (E) $x=2$ é ponto de mínimo.

Resolução Passo a Passo

Pelo teste da segunda derivada, $f^{\prime \prime }(1)<0⟹$ Máximo local. A anulação com inversão em $x=2$ define Ponto de Inflexão.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Análise em $(0,1)$)

Para $g(x)=x^3-3x$ no intervalo $(0,1)$:

• $g^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)<0$ para todo $x\in (0,1)⟹$ estritamente decrescente.
• $g^{\prime \prime }(x)=6x>0$ para todo $x\in (0,1)⟹$ concavidade para cima. Portanto, a afirmativa correta é: estritamente decrescente com concavidade para cima.

Resolução Passo a Passo

Aplicação simultânea dos testes da primeira derivada ($g^{\prime }<0$) e da segunda derivada ($g^{\prime \prime }>0$).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Ponto Maximizante com Exponencial)

Marque o ponto maximizante da função $h(t)=t^2{e}^t$:

• (A) -2
• (B) -1
• (C) 0
• (D) 2
• (E) 3

Resolução Passo a Passo

Derivada de $h(t)$: $h^{\prime }(t)=2t{e}^t+t^2{e}^t=e^t(t^2+2t)=e^{t}t(t+2)$ Como $e^t>0$ para todo $t$, os pontos críticos são $t=0$ e $t=-2$. Analisando o sinal de $t(t+2)$:

• Para $t<-2$: $h^{\prime }(t)>0$ (crescente).
• Para $-2<t<0$: $h^{\prime }(t)<0$ (decrescente).
• Para $t>0$: $h^{\prime }(t)>0$ (crescente). Logo, em $t=-2$, a função passa de crescente para decrescente $⟹t=-2$ é o ponto de máximo local.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (-2).

---

Questão 25 (Módulo 4 — Classificação de Pontos Críticos de Polinômio)

Classifique os pontos críticos de $f(x)=-3x^3+36x^2-63x-2$:

• (A) $x=7$ é maximizante e $x=1$ é minimizante de $f(x)$.
• (B) $x=7$ é minimizante e $x=1$ é maximizante.
• (C) Ambos são máximos.
• (D) São pontos de inflexão.
• (E) Não existem extremos.

Resolução Passo a Passo

Derivada primeira: $f^{\prime }(x)=-9x^2+72x-63=-9(x^2-8x+7)=-9(x-1)(x-7)$ Pontos críticos: $x=1$ e $x=7$. Derivada segunda: $f^{\prime \prime }(x)=-18x+72$ Testando os pontos:

• $f^{\prime \prime }(1)=-18(1)+72=54>0⟹x=1$ é Ponto de Mínimo Local.
• $f^{\prime \prime }(7)=-18(7)+72=-126+72=-54<0⟹x=7$ é Ponto de Máximo Local.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 26 (Módulo 4 — Extremos Globais de Parábola)

Seja $f(x)=100-2x-x^2$. Verifique a existência de máximos e mínimos absolutos:

• (A) Possui máximo absoluto em $x=-1$ e não possui mínimo absoluto.
• (B) Possui mínimo absoluto em $x=-1$.
• (C) Possui ambos os extremos absolutos.
• (D) Não possui nenhum extremo.
• (E) O máximo ocorre em $x=1$.

Resolução Passo a Passo

A função é uma parábola com $a=-1<0$ (concavidade voltada para baixo). Vértice: $x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2(-1)}=-1$. Como a parábola decresce indefinidamente para $-\infty$ quando $x\to \pm \infty$, ela possui um pico máximo global em $x=-1$, mas não atinge nenhum mínimo absoluto.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 27 (Módulo 4 — Ponto Crítico de Função Racional Simétrica)

Classifique os pontos críticos para a função $h(x)=\frac{1}{x^2-16}$:

• (A) $x=4$ é maximizante
• (B) $x=0$ é maximizante relativo de $h(x)$
• (C) $x=-4$ é minimizante
• (D) Não há pontos críticos
• (E) $x=0$ é minimizante

Resolução Passo a Passo

Derivada de $h(x)$: $h^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(x^2-16{)}^2}$ Como o denominador é estritamente positivo para $x\ne \pm 4$, $h^{\prime }(x)=0⟺x=0$. Teste da primeira derivada em torno de $x=0$:

• Para $x<0$: $h^{\prime }(x)>0$ (crescente).
• Para $x>0$: $h^{\prime }(x)<0$ (decrescente). Logo, $x=0$ é um máximo local relativo.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($x=0$ é maximizante).

---

Questão 28 (Módulo 4 — Taxa Máxima de Produção Fabril)

A função $p(t)=2t^3-24t^2+90t$ expressa a produção por hora em função da hora do turno ($0\le t\le 8$). Determine a hora de produção mínima local:

• (A) $t=3$
• (B) $t=5$
• (C) $t=6$
• (D) $t=2$
• (E) $t=4$

Resolução Passo a Passo

Derivada da taxa de produção: $p^{\prime }(t)=6t^2-48t+90=6(t^2-8t+15)=6(t-3)(t-5)$ Pontos críticos: $t=3$ e $t=5$. Derivada segunda: $p^{\prime \prime }(t)=12t-48$

• Em $t=3$: $p^{\prime \prime }(3)=12(3)-48=-12<0⟹$ Máximo local às 3h.
• Em $t=5$: $p^{\prime \prime }(5)=12(5)-48=12>0⟹$ Mínimo local às 5h.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($t=5$).

---

Questão 29 (Módulo 4 — Pontos de Inflexão com Raízes)

Determine os pontos de inflexão para $g(x)=\frac{4x}{x^2+2}$:

• (A) $x=0,x=\sqrt{6}$ e $x=-\sqrt{6}$
• (B) Apenas $x=0$
• (C) Apenas $x=\sqrt{2}$
• (D) Não existem pontos de inflexão
• (E) $x=\pm 2$

Resolução Passo a Passo

Derivando duas vezes e igualando o numerador a zero: O numerador de $g^{\prime \prime }(x)$ fatora como $x(x^2-6)=0$. As três raízes reais que invertem o sinal de concavidade são $x=0,x=\sqrt{6}$ e $x=-\sqrt{6}$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 30 (Módulo 4 — Otimização de Custo de Cilindro de $2{\text{ m}}^3$)

Deseja-se construir uma caixa cilíndrica com volume de $2{\text{ m}}^3$. A lateral e o fundo custam R\ 5{,}00/\text{m}^2$eatampacusta$R$ 10{,}00/\text{m}^2$. A condição de custo mínimo é obtida igualando a derivada da função de custo total a zero.

Resolução Passo a Passo

Função Custo: $C(r)=5(2\pi rh+\pi r^2)+10(\pi r^2)=15\pi r^2+10\pi rh$ Como $V=\pi r^{2}h=2⟹h=\frac{2}{\pi r^2}$: $C(r)=15\pi r^2+10\pi r\left(\frac{2}{\pi r^2}\right)=15\pi r^2+\frac{20}{r}$ Derivando para minimizar: $C^{\prime }(r)=30\pi r-\frac{20}{r^2}=0⟹30\pi r^3=20⟹r^{\ast }=\sqrt[3]{\frac{2}{3\pi }}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 31 (Módulo 4 — Avaliação: Ponto Crítico e Mínimo em $x=-2$)

Para a função dada na avaliação da apostila, o ponto crítico localiza-se em $x=-2$, caracterizando-se como mínimo relativo.

Resolução Passo a Passo

O teste de derivada confirma ponto crítico e concavidade voltada para cima em $x=-2$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 32 (Módulo 4 — Avaliação: Máximo Global em Intervalo Compacto)

Determine o ponto do domínio de $f(x)=2x+2\cos x$, com $x\in [0,\pi ]$, em que a função atinge o máximo global:

• (A) 0
• (B) $\pi /4$
• (C) $\pi /2$
• (D) $\pi$
• (E) $\pi /3$

Resolução Passo a Passo

1. Ponto crítico no interior $(0,\pi )$: $f^{\prime }(x)=2-2\sin x=0⟹\sin x=1⟹x=\frac{\pi }{2}$
2. Valores funcionais:
   • $f(0)=2(0)+2\cos (0)=2$
   • $f(\pi /2)=2(\pi /2)+2\cos (\pi /2)=\pi +0=\pi \approx 3,1415$
   • $f(\pi )=2\pi +2\cos (\pi )=2\pi -2\approx 6,283-2=4,283$
3. Comparação dos valores: $f(\pi )=2\pi -2\approx 4,283>\pi >2$ Logo, o máximo global no intervalo fechado $[0,\pi ]$ ocorre na borda em $x=\pi$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($\pi$).

---

8. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

A teoria das derivadas fundamenta o projeto ótimo e a análise transitória na engenharia:

1. Retas tangentes e normais parametrizam a resposta direcional local e trajetórias ortogonais de fluxo.
2. Taxas relacionadas traduzem dependências temporais acopladas ($\frac{d}{dt}$ via regra da cadeia), modelando desde a variação de capacitâncias e resistências em paralelo até expansões volumétricas.
3. O Teste da Segunda Derivada viabiliza o projeto de filtros com resposta máximamente plana (Butterworth), estabilidade assintótica e otimização geométrica sob restrições físicas de contorno.