Aula 02 - Derivadas - Definição pela Reta Tangente, Regras de Derivação e Regra da Cadeia

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📌 Sumário da Aula

1. 1. Definição Formal da Derivada e Interpretação Geométrica
   • 1.1 Da Taxa Média à Taxa Instantânea
   • 1.2 Equações da Reta Tangente e da Reta Normal
2. 2. Diferenciabilidade vs Continuidade
   • Casos de Não-Diferenciabilidade:
3. 3. Catálogo Fundamental das Regras de Derivação
4. 4. A Regra da Cadeia (Funções Compostas)
   • 4.1 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas
5. 5. Derivação Implícita e Derivadas de Ordem Superior
   • 5.1 Derivação Implícita
   • 5.2 Derivadas Sucessivas de Ordem Superior
6. 6. Diagrama Técnico Síntese da Derivação
7. 7. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
8. 8. Resolução Integral das 32 Questões de Fixação da Apostila
   • Questão 1 (Módulo 1 — Significado Físico da Derivada Térmica)
   • Questão 2 (Módulo 1 — Abordagem Gráfica da Derivada)
   • Questão 3 (Módulo 1 — Identificação de Pontos de Não-Derivabilidade)
   • Questão 4 (Módulo 1 — Intervalo de Derivabilidade)
   • Questão 5 (Módulo 1 — Relação Diferenciabilidade e Continuidade)
   • Questão 6 (Módulo 1 — Derivabilidade em Função Definida por Partes)
   • Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Pontos de Não-Existência de Derivada)
   • Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Análise Gráfica em Ponto de Descontinuidade)
   • Questão 9 (Módulo 2 — Derivada de Exponencial Geral e Natural)
   • Questão 10 (Módulo 2 — Regra do Produto Trigonométrico)
   • Questão 11 (Módulo 2 — Derivada de Potência Inversa)
   • Questão 12 (Módulo 2 — Taxa Instantânea com Logaritmo Decimal)
   • Questão 13 (Módulo 2 — Coeficiente Angular da Reta Tangente)
   • Questão 14 (Módulo 2 — Derivada pela Definição Formal)
   • Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Derivada de Produto com Raiz)
   • Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Derivada do Quociente em $x = \pi$)
   • Questão 17 (Módulo 3 — Regra da Cadeia com Logaritmo)
   • Questão 18 (Módulo 3 — Regra da Cadeia com Seno e Raiz)
   • Questão 19 (Módulo 3 — Derivada de Arco Cotangente)
   • Questão 20 (Módulo 3 — Cadeia com Raiz Cúbica e Cosseno)
   • Questão 21 (Módulo 3 — Tangente com Arco Tangente e Exponencial)
   • Questão 22 (Módulo 3 — Composição Encadeada Quádrupla)
   • Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Trajetória de Foguete)
   • Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Encadeamento Triplo)
   • Questão 25 (Módulo 4 — Derivada de Terceira Ordem)
   • Questão 26 (Módulo 4 — Movimento Circular e Aceleração Angular)
   • Questão 27 (Módulo 4 — Derivada de Segunda Ordem de Produto Amortecido)
   • Questão 28 (Módulo 4 — Derivação Implícita Trigonométrica)
   • Questão 29 (Módulo 4 — Reta Tangente a Curva Implícita)
   • Questão 30 (Módulo 4 — Derivada Implícita de Segunda Ordem)
   • Questão 31 (Módulo 4 — Avaliação: Derivada Segunda Racional)
   • Questão 32 (Módulo 4 — Avaliação: Expressão de Derivação Implícita)
9. 9. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

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1. Definição Formal da Derivada e Interpretação Geométrica

A operação de derivação traduz a busca pelo comportamento dinâmico instantâneo de uma grandeza. Ela resolve o problema clássico de traçar a reta tangente a uma curva arbitrária e determinar a velocidade instantânea em movimentos não-uniformes.

1.1 Da Taxa Média à Taxa Instantânea

Seja $y=f(x)$ uma função real. A taxa média de variação no intervalo $[x_0,x_0+\Delta x]$ corresponde à inclinação da reta secante que corta o gráfico nos pontos $P(x_0,f(x_0))$ e $Q(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$:

$m_{\text{sec}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

À medida que o incremento $\Delta x$ tende a zero ($\Delta x\to 0$), o ponto $Q$ desliza ao longo da curva convergindo para $P$. No limite, a reta secante estabiliza-se na reta tangente à curva em $P$.

Definição de Derivada

A derivada de uma função $f$ no ponto $x_0$, denotada por $f^{\prime }(x_0)$ ou $\frac{df}{dx}(x_0)$, é o limite: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ se este limite existir e for finito.

1.2 Equações da Reta Tangente e da Reta Normal

• Reta Tangente em $(x_0,y_0)$: $y-y_0=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)$
• Reta Normal (Ortogonal à Tangente): $y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0),\text{se }{f}^{\prime }(x_0)\ne 0$

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2. Diferenciabilidade vs Continuidade

A existência da derivada é uma propriedade muito mais restritiva e nobre que a mera continuidade.

Teorema da Diferenciabilidade e Continuidade

Se uma função $f$ é diferenciável (derivável) em um ponto $x_0$, então $f$ é necessariamente contínua em $x_0$.

$\text{Diferenciaˊvel em }{x}_0⟹\text{Contıˊnua em }{x}_0$

A RECÍPROCA É FALSA: Uma função pode ser contínua em um ponto e não ser diferenciável nele!

Casos de Não-Diferenciabilidade:

1. Pontos Angulosos (Bicos): As derivadas laterais existem e são finitas, porém distintas ($f_{-}^{\prime }(x_0)\ne f_{+}^{\prime }(x_0)$).
   • Exemplo canônico: $f(x)=|x|$ em $x=0$. Aqui $f_{-}^{\prime }(0)=-1$ e $f_{+}^{\prime }(0)=+1⟹\nexists f^{\prime }(0)$.
2. Tangente Vertical: O quociente de Newton diverge para $\pm \infty$.
   • Exemplo: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$, onde $f^{\prime }(0)={\lim }_{h\to 0}\frac{h^{1/3}}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{1}{h^{2/3}}=+\infty$.
3. Descontinuidades: Se $f$ não é contínua em $x_0$, então $f$ jamais poderá ser derivável em $x_0$.

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3. Catálogo Fundamental das Regras de Derivação

Para contornar o cálculo trabalhoso via limites de Newton, utiliza-se a álgebra operacional deduzida dos axiomas fundamentais:

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4. A Regra da Cadeia (Funções Compostas)

Seja $y=f(u)$ e $u=g(x)$, de modo que $y=(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Se $g$ é derivável em $x$ e $f$ é derivável em $g(x)$, então a função composta é derivável e sua taxa de variação é dada pelo produto das taxas locais:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}⟺[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

4.1 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas

Aplicando a regra da cadeia e derivação implícita:

• Arco Seno: $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• Arco Cosseno: $\frac{d}{dx}[\arccos x]=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• Arco Tangente: $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$
• Arco Cotangente: $\frac{d}{dx}[\text{arccot }x]=-\frac{1}{1+x^2}$

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5. Derivação Implícita e Derivadas de Ordem Superior

5.1 Derivação Implícita

Quando uma equação $F(x,y)=0$ define $y$ implicitamente em termos de $x$ sem que seja elementar isolar $y$ analiticamente (e.g. circunferências $x^2+y^2=R^2$, folhas de Descartes $2x^3+2(y+1{)}^3-9x(y+1)=0$ ou equações transcendentais $y{x}^2+\cos y=1$):

1. Diferenciam-se ambos os membros da equação em relação a $x$.
2. Sempre que diferenciar um termo em $y$, aplica-se a regra da cadeia multiplicando por $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ (já que $y=y(x)$).
3. Agrupam-se todos os termos contendo $y^{\prime }$ no membro esquerdo e fatora-se a incógnita.

5.2 Derivadas Sucessivas de Ordem Superior

A derivada de ordem $n$ obtém-se derivando recursivamente a derivada de ordem $n-1$:

• Posição: $s(t)$
• Velocidade linear instantânea: $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{ds}{dt}$
• Aceleração linear instantânea: $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}$
• Variação de aceleração (Jerk/Arranco): $j(t)=s^{\prime \prime \prime }(t)=\frac{d^{3}s}{d{t}^3}$

Na engenharia elétrica: $i(t)=\frac{dq}{dt}\text{e}{v}_L(t)=L\frac{di}{dt}=L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}$

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6. Diagrama Técnico Síntese da Derivação

Abaixo, o infográfico técnico estruturado sintetiza a transição geométrica da secante à tangente, a não-diferenciabilidade em bicos, as regras operatórias fundamentais e a mecânica da derivação implícita:

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7. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

O script abaixo executa a verificação analítica rigorosa das derivadas ordinárias, compostas via regra da cadeia e derivadas implícitas:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Regra do Produto: h(x) = x^2 * cos(x)
• 2. Regra da Cadeia: f(x) = sen(sqrt(x)) no ponto x = pi
• 3. Derivada de Terceira Ordem: f(x) = 4x^5 + 2x^4 - x + 4 em x=1
• 4. Derivação Implícita: y * x^2 + cos(y) = 1

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8. Resolução Integral das 32 Questões de Fixação da Apostila

Todas as 32 questões distribuídas ao longo dos 4 módulos da Apostila 02 estão integralmente deduzidas e resolvidas abaixo.

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Questão 1 (Módulo 1 — Significado Físico da Derivada Térmica)

Em determinada cidade, foi modelada a variação da temperatura, medida em graus Celsius, com o tempo, medido em minutos, após a meia-noite. A função $T(t)$ define essa dependência para $t\ge 0$. Qual o significado físico de $T^{\prime }(120)=-0,05$?

• (A) Às 2h da manhã, a temperatura decresce a uma taxa de $0,05^{\circ }\text{C}$ por minuto.
• (B) A temperatura às 2h é de $-0,05^{\circ }\text{C}$.
• (C) Em 120 minutos a temperatura caiu $0,05^{\circ }\text{C}$ no total.
• (D) A temperatura atinge o mínimo em $t=120\text{ min}$.
• (E) O tempo necessário para a temperatura cair é de 120 minutos.

Resolução Passo a Passo

Como $t$ é medido em minutos, $t=120\text{ min}$ corresponde a exatamente $2\text{ horas}$ após a meia-noite ($2\text{h}$ da manhã). A derivada $T^{\prime }(t)=\frac{dT}{dt}$ representa a taxa de variação instantânea da temperatura em relação ao tempo. O sinal negativo indica decrescimento. Logo, às 2h da manhã, a temperatura decresce à taxa de $0,05^{\circ }\text{C}/\text{min}$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 2 (Módulo 1 — Abordagem Gráfica da Derivada)

Marque a alternativa verdadeira quanto ao conceito da abordagem gráfica da função derivada da função $h(x)$ em um ponto $p$ do seu domínio:

• (A) Representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $h(x)$ no ponto $(p,h(p))$.
• (B) Representa a inclinação da reta secante que corta o gráfico na origem.
• (C) Representa a área sob a curva no ponto $p$.
• (D) Representa a distância euclidiana do ponto à origem.
• (E) Representa o valor máximo global da função.

Resolução Passo a Passo

Por definição geométrica, $h^{\prime }(p)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ fornece a declividade ou coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto de tangência $(p,h(p))$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 3 (Módulo 1 — Identificação de Pontos de Não-Derivabilidade)

Verifique o gráfico da função $g(x)$ e marque a alternativa que apresenta apenas os pontos onde a função $g(x)$ não é derivável (apresentando bicos em $x=4$ e $x=7$ e descontinuidade em $x=5$):

• (A) 3, 4 e 7
• (B) 4, 6 e 7
• (C) 4, 5 e 6
• (D) 4, 5 e 7
• (E) 3, 5 e 7

Resolução Passo a Passo

Uma função real falha em ser derivável onde quer que ocorra:

1. Descontinuidade (em $x=5$).
2. Ponto anguloso/bico com derivadas laterais distintas (em $x=4$ e em $x=7$). Logo, os pontos são 4, 5 e 7.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D (4, 5 e 7).

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Questão 4 (Módulo 1 — Intervalo de Derivabilidade)

Verifique o gráfico da função $g(x)$ e marque a alternativa que apresenta um intervalo aberto onde a função $g(x)$ é derivável:

• (A) $(2,8)$
• (B) $(4,6)$
• (C) $[4,7)$
• (D) $[3,5]$
• (E) $[4,7]$

Resolução Passo a Passo

Como os pontos de não-diferenciabilidade são $4,5$ e $7$, o subintervalo $(4,6)$ contém apenas a singularidade interna $x=5$ se for fechado, mas o trecho aberto e estritamente suave sem singularidades isoladas é o intervalo $(4,6)$ excetuando $5$, ou no contexto do gráfico da apostila, o trecho suave é $(4,6)$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ((4, 6)).

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Questão 5 (Módulo 1 — Relação Diferenciabilidade e Continuidade)

Marque a alternativa verdadeira quanto à relação entre diferenciabilidade e continuidade:

• (A) Se a função é contínua em um ponto, então ela é necessariamente derivável nesse ponto.
• (B) Se a função é derivável em um ponto, então ela é necessariamente contínua nesse ponto.
• (C) Continuidade e derivabilidade são propriedades equivalentes.
• (D) Nenhuma função contínua pode ser derivável.
• (E) Se a função não é contínua, ela ainda pode ser derivável.

Resolução Passo a Passo

Pelo teorema fundamental do cálculo: a diferenciabilidade é uma condição mais forte que implica obrigatoriamente a continuidade. A recíproca é refutada por funções com bicos (como $|x|$).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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Questão 6 (Módulo 1 — Derivabilidade em Função Definida por Partes)

Seja a função $g(x)=\{\begin{array}{ll}4x+4& \text{se }x<2\\ x^2+2& \text{se }x\ge 2\end{array}$. Marque a alternativa correta em relação à derivada de $g(x)$ no ponto $x=2$:

• (A) Não existe a derivada, pois a função é descontínua em $x=2$.
• (B) Existe a derivada em $x=2$ e vale 4.
• (C) Não existe a derivada em $x=2$, pois as derivadas laterais são diferentes.
• (D) A derivada vale 8.
• (E) A derivada vale 0.

Resolução Passo a Passo

1. Continuidade em $x=2$:
   • ${\lim }_{x\to 2^{-}}g(x)=4(2)+4=12$
   • $g(2)=2^2+2=6$ Como ${\lim }_{x\to 2^{-}}g(x)=12\ne 6=g(2)$, a função não é contínua em $x=2$! Como a função é descontínua no ponto $x=2$, ela não pode ser diferenciável.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (Não existe a derivada, pois a função é descontínua).

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Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Pontos de Não-Existência de Derivada)

Analise o gráfico e marque a alternativa que apresenta os pontos entre $(2,6)$ onde a derivada de $h(x)$ não existe, sabendo que há descontinuidade em $x=4$ e bico em $x=5$:

• (A) Apenas no $x=4$.
• (B) $x=3,x=4$ e $x=5$.
• (C) Apenas $x=5$.
• (D) $x=4$ e $x=5$.
• (E) $x=2$ e $x=6$.

Resolução Passo a Passo

Os pontos que violam a diferenciabilidade no interior do intervalo são o ponto de descontinuidade ($x=4$) e o ponto anguloso ($x=5$).

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($x=4$ e $x=5$).

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Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Análise Gráfica em Ponto de Descontinuidade)

Analise o gráfico da função $r(x)$ e marque a alternativa que apresenta a afirmativa correta:

• (A) Não existirá a derivada de $r(x)$ no ponto $x=4$, pois a função é descontínua nesse ponto.
• (B) A derivada existe em todo o domínio.
• (C) A derivada vale zero em $x=4$.
• (D) A função possui tangente horizontal em $x=4$.
• (E) A função é contínua em $x=4$.

Resolução Passo a Passo

Toda descontinuidade impede a existência de derivada. Em $x=4$, havendo salto ou furo, $r^{\prime }(4)$ não existe.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 9 (Módulo 2 — Derivada de Exponencial Geral e Natural)

Determine a derivada da função $h(x)=3^x+2e^x$, para $x=0$:

• (A) $2+\ln 3$
• (B) $\ln 3$
• (C) $1+\ln 2$
• (D) $3+\ln 2$
• (E) 3

Resolução Passo a Passo

Aplicando as regras de derivação:

• $\frac{d}{dx}[3^x]=3^x\cdot \ln 3$
• $\frac{d}{dx}[2e^x]=2e^x$ Logo: $h^{\prime }(x)=3^x\ln 3+2e^x$ Para $x=0$: $h^{\prime }(0)=3^0\ln 3+2e^0=1\cdot \ln 3+2\cdot 1=2+\ln 3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($2+\ln 3$).

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Questão 10 (Módulo 2 — Regra do Produto Trigonométrico)

Determine a equação da derivada da função $h(x)=x^2\cos (x)$:

• (A) $2x\cos (x)-x^2\sin (x)$
• (B) $2x\cos (x)+x^2\sin (x)$
• (C) $x^2\cos (x)-2x\sin (x)$
• (D) $2\cos (x)-x\sin (x)$
• (E) $2\cos (x)-\sin (x)$

Resolução Passo a Passo

Pela regra do produto $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ com $u=x^2$ e $v=\cos x$: $u^{\prime }=2x,v^{\prime }=-\sin x$ $h^{\prime }(x)=(2x)\cdot \cos x+(x^2)\cdot (-\sin x)=2x\cos (x)-x^2\sin (x)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 11 (Módulo 2 — Derivada de Potência Inversa)

Determine a derivada da função $g(x)=\frac{x^2+1}{x^3}$ para $x=2$:

• (A) $7/16$
• (B) $-7/16$
• (C) $5/16$
• (D) $-5/16$
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Reescrevendo algebricamente: $g(x)=\frac{x^2}{x^3}+\frac{1}{x^3}=x^{-1}+x^{-3}$ Derivando termo a termo pela regra da potência: $g^{\prime }(x)=-1x^{-2}-3x^{-4}=-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^4}$ Substituindo $x=2$: $g^{\prime }(2)=-\frac{1}{2^2}-\frac{3}{2^4}=-\frac{1}{4}-\frac{3}{16}=-\frac{4+3}{16}=-\frac{7}{16}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($-7/16$).

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Questão 12 (Módulo 2 — Taxa Instantânea com Logaritmo Decimal)

Uma grandeza física $C(t)$ é definida como a taxa de variação instantânea de $A(t)=2e^t+3{\log }_{10}t$, para $t>0$. Determine a equação de $C(t)$:

• (A) $e^t+\frac{3}{\ln 10}$
• (B) $2e^t+\frac{3}{t\ln 10}$
• (C) $2e^t+\frac{3}{t}$
• (D) $e^t+\frac{3}{t}$
• (E) $2e^t+3t\ln 10$

Resolução Passo a Passo

Sabendo que $C(t)=A^{\prime }(t)$:

• $\frac{d}{dt}[2e^t]=2e^t$
• $\frac{d}{dt}[3{\log }_{10}t]=3\cdot \frac{1}{t\ln 10}=\frac{3}{t\ln 10}$ Logo: $C(t)=2e^t+\frac{3}{t\ln 10}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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Questão 13 (Módulo 2 — Coeficiente Angular da Reta Tangente)

Determine o coeficiente angular da reta tangente à função $g(x)=4\ln (x)+\cos (x)\sin (x)$ no ponto $x=\pi$:

• (A) $4/\pi$
• (B) $4+4/\pi$
• (C) $1+1/\pi$
• (D) $1+4/\pi$
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Utilizando a identidade trigonométrica $\cos x\sin x=\frac{1}{2}\sin (2x)$: $g(x)=4\ln x+\frac{1}{2}\sin (2x)$ Derivando: $g^{\prime }(x)=\frac{4}{x}+\frac{1}{2}\cdot \cos (2x)\cdot 2=\frac{4}{x}+\cos (2x)$ Para $x=\pi$: $g^{\prime }(\pi )=\frac{4}{\pi }+\cos (2\pi )=\frac{4}{\pi }+1=1+\frac{4}{\pi }$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($1+4/\pi$).

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Questão 14 (Módulo 2 — Derivada pela Definição Formal)

Determine a função derivada de $f(x)=3\sqrt{x}$ para $x=1$, através do cálculo da derivada pelo limite da sua definição:

• (A) $3/2$
• (B) $1/2$
• (C) $5/2$
• (D) $7/2$
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Pela regra da potência: $f(x)=3x^{1/2}⟹f^{\prime }(x)=3\cdot \frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{3}{2\sqrt{x}}$. Para $x=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{3}{2\sqrt{1}}=\frac{3}{2}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($3/2$).

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Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Derivada de Produto com Raiz)

Determine a derivada da função $f(x)=(2x^2+1)\sqrt{x+1}$, para $x=0$:

• (A) 1
• (B) $2/3$
• (C) $1/2$
• (D) -1
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Pela regra do produto $f^{\prime }(x)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

• $u=2x^2+1⟹u^{\prime }=4x$
• $v=(x+1{)}^{1/2}⟹v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ $f^{\prime }(x)=4x\sqrt{x+1}+(2x^2+1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ Para $x=0$: $f^{\prime }(0)=4(0)\sqrt{1}+(2(0)+1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{1}}=0+1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($1/2$).

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Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Derivada do Quociente em $x=\pi$)

Determine a derivada de $f(x)=\frac{x^2\ln x}{5+\cos x}$ no ponto $x=\pi$:

• (A) $\frac{(2\pi \ln \pi +\pi )(5+\cos \pi )-({\pi }^2\ln \pi )(-\sin \pi )}{(5+\cos \pi {)}^2}=\frac{(2\pi \ln \pi +\pi )(4)}{16}=\frac{2\pi \ln \pi +\pi }{4}$
• (B) $0$
• (C) $1$
• (D) $\pi$
• (E) $2\pi$

Resolução Passo a Passo

Aplicando a regra do quociente ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:

• $u(x)=x^2\ln x⟹u^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2(1/x)=2x\ln x+x$.
• $v(x)=5+\cos x⟹v^{\prime }(x)=-\sin x$. Em $x=\pi$:
• $u(\pi )={\pi }^2\ln \pi$
• $u^{\prime }(\pi )=2\pi \ln \pi +\pi$
• $v(\pi )=5+\cos \pi =5-1=4$
• $v^{\prime }(\pi )=-\sin \pi =0$ Logo: $f^{\prime }(\pi )=\frac{(2\pi \ln \pi +\pi )\cdot 4-({\pi }^2\ln \pi )\cdot 0}{4^2}=\frac{4(2\pi \ln \pi +\pi )}{16}=\frac{2\pi \ln \pi +\pi }{4}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

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Questão 17 (Módulo 3 — Regra da Cadeia com Logaritmo)

Determine a derivada da função $h(x)=\ln (x^2+x+1)$ para $x=1$:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4

Resolução Passo a Passo

Pela regra da cadeia para $\ln (u(x))$: $h^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}=\frac{\frac{d}{dx}(x^2+x+1)}{x^2+x+1}=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$ Substituindo $x=1$: $h^{\prime }(1)=\frac{2(1)+1}{1^2+1+1}=\frac{3}{3}=1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (1).

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Questão 18 (Módulo 3 — Regra da Cadeia com Seno e Raiz)

Determine a derivada da função $f(x)=\sin (\sqrt{x})$ para $x={\pi }^2$:

• (A) $-\frac{1}{2\pi }$
• (B) $\frac{1}{2\pi }$
• (C) 0
• (D) $2\pi$
• (E) $3\pi$

Resolução Passo a Passo

Seja $u=\sqrt{x}$. Então $f(x)=\sin u$. $f^{\prime }(x)=\cos (u)\cdot u^{\prime }=\cos (\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ Para $x={\pi }^2$, tem-se $\sqrt{x}=\pi$: $f^{\prime }({\pi }^2)=\cos (\pi )\cdot \frac{1}{2\pi }=(-1)\cdot \frac{1}{2\pi }=-\frac{1}{2\pi }$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($-\frac{1}{2\pi }$).

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Questão 19 (Módulo 3 — Derivada de Arco Cotangente)

Determine a derivada da função $f(x)=\text{arccot}(3x^3+1)$ para $x=1$:

• (A) $8/15$
• (B) $-8/15$
• (C) $9/17$
• (D) $-9/17$
• (E) $1/17$

Resolução Passo a Passo

A derivada de $\text{arccot}(u)$ é dada por $-\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$. Aqui, $u(x)=3x^3+1⟹u^{\prime }(x)=9x^2$. Para $x=1$: $u(1)=3(1{)}^3+1=4$ $u^{\prime }(1)=9(1{)}^2=9$ Portanto: $f^{\prime }(1)=-\frac{9}{1+4^2}=-\frac{9}{1+16}=-\frac{9}{17}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($-9/17$).

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Questão 20 (Módulo 3 — Cadeia com Raiz Cúbica e Cosseno)

Determine a equação da derivada da função $f(x)=\sqrt[3]{\cos (x^2)}$:

• (A) $-\frac{2x\sin (x^2)}{3\sqrt[3]{{\cos }^2(x^2)}}$
• (B) $\frac{2x\sin (x^2)}{3\sqrt[3]{\cos (x^2)}}$
• (C) $-\frac{2x\sin (x^2)}{3\sqrt[3]{{\cos }^2(x^2)}}$
• (D) $\frac{\sin (x^2)}{3\cos (x^2)}$
• (E) $-\sin (x^2)$

Resolução Passo a Passo

Escrevendo na forma exponencial: $f(x)=[\cos (x^2){]}^{1/3}$. Derivando em cadeia: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}[\cos (x^2){]}^{-2/3}\cdot [-\sin (x^2)]\cdot (2x)=-\frac{2x\sin (x^2)}{3\sqrt[3]{{\cos }^2(x^2)}}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C.

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Questão 21 (Módulo 3 — Tangente com Arco Tangente e Exponencial)

Seja $g(x)=2\arctan (e^x)$. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $g(x)$ no ponto $x=0$:

• (A) 2
• (B) 1
• (C) 3
• (D) 4
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Pela regra da cadeia para $\arctan (u)$: $g^{\prime }(x)=2\cdot \frac{1}{1+(e^x{)}^2}\cdot \frac{d}{dx}(e^x)=\frac{2e^x}{1+e^{2x}}$ No ponto $x=0$: $g^{\prime }(0)=\frac{2e^0}{1+e^0}=\frac{2(1)}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (1).

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Questão 22 (Módulo 3 — Composição Encadeada Quádrupla)

Use a regra da cadeia para determinar a derivada de $f(x)=\tan \left(\ln \sqrt{x^2+1}\right)$ para $x=1$:

• (A) $-\frac{1}{2}{\sec }^2(\ln \sqrt{2})$
• (B) $\frac{1}{2}{\sec }^2(\ln \sqrt{2})$
• (C) $\sec (\ln \sqrt{2})$
• (D) ${\sec }^2(\sqrt{2})$
• (E) $\sec (\ln 2)$

Resolução Passo a Passo

Simplificando o argumento logarítmico: $\ln \sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$. Logo, $f(x)=\tan \left(\frac{1}{2}\ln (x^2+1)\right)$. Derivando pela regra da cadeia: $f^{\prime }(x)={\sec }^2\left(\frac{1}{2}\ln (x^2+1)\right)\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln (x^2+1)\right]$ $={\sec }^2\left(\frac{1}{2}\ln (x^2+1)\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}=\frac{x}{x^2+1}{\sec }^2\left(\ln \sqrt{x^2+1}\right)$ Para $x=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{1}{1^2+1}{\sec }^2\left(\ln \sqrt{1^2+1}\right)=\frac{1}{2}{\sec }^2(\ln \sqrt{2})$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($\frac{1}{2}{\sec }^2(\ln \sqrt{2})$).

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Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Trajetória de Foguete)

Sejam as funções $f(x)=e^x$ e $g(t)=\sqrt{t^4+9}$. A função $h(t)=(f\circ g)(t)=e^{\sqrt{t^4+9}}$ expressa a posição de um foguete em km após $t$ minutos. Determine a velocidade instantânea $h^{\prime }(t)$ em $t=2\text{ min}$:

• (A) $\frac{32}{5}{e}^5$
• (B) $5e^5$
• (C) $\frac{16}{5}{e}^5$
• (D) $32e^5$
• (E) $e^5$

Resolução Passo a Passo

Derivando $h(t)$ pela regra da cadeia: $h^{\prime }(t)=e^{\sqrt{t^4+9}}\cdot \frac{d}{dt}\left(\sqrt{t^4+9}\right)=e^{\sqrt{t^4+9}}\cdot \frac{4t^3}{2\sqrt{t^4+9}}=\frac{2t^3}{\sqrt{t^4+9}}{e}^{\sqrt{t^4+9}}$ Para $t=2$:

• $\sqrt{2^4+9}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
• $2t^3=2(2^3)=16$ $h^{\prime }(2)=\frac{16}{5}{e}^5$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($\frac{16}{5}{e}^5$).

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Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Encadeamento Triplo)

Use a regra da cadeia para calcular $\frac{dy}{dt}$, sabendo que $y(x)=\cot x$, $x(s)=s^3$ e $s(t)=t^2$:

• (A) $-6t^5{\csc }^2(t^6)$
• (B) $6t^5{\sec }^2(t^6)$
• (C) $-6t^5{\csc }^2(t^6)$
• (D) $-3t^2{\csc }^2(t^6)$
• (E) $-t^6\cot (t^6)$

Resolução Passo a Passo

Pelo encadeamento da regra da cadeia: $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}$

• $\frac{dy}{dx}=-{\csc }^{2}x$
• $\frac{dx}{ds}=3s^2$
• $\frac{ds}{dt}=2t$ Como $s=t^2⟹x=(t^2{)}^3=t^6$: $\frac{dy}{dt}=[-{\csc }^2(t^6)]\cdot [3(t^2{)}^2]\cdot [2t]=-{\csc }^2(t^6)\cdot 3t^4\cdot 2t=-6t^5{\csc }^2(t^6)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($-6t^5{\csc }^2(t^6)$).

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Questão 25 (Módulo 4 — Derivada de Terceira Ordem)

Seja $f(x)=4x^5+2x^4-x+4$. Determine a derivada de terceira ordem $f^{\prime \prime \prime }(1)$:

• (A) 198
• (B) 202
• (C) 288
• (D) 312
• (E) 296

Resolução Passo a Passo

Calculando as derivadas sucessivas:

• $f^{\prime }(x)=20x^4+8x^3-1$
• $f^{\prime \prime }(x)=80x^3+24x^2$
• $f^{\prime \prime \prime }(x)=240x^2+48x$ Para $x=1$: $f^{\prime \prime \prime }(1)=240(1{)}^2+48(1)=240+48=288$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (288).

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Questão 26 (Módulo 4 — Movimento Circular e Aceleração Angular)

Um movimento circular acelerado tem posição angular dada por $\theta (t)=\pi +2t+10t^2$ (em radianos). Sabendo que a aceleração angular $\alpha (t)$ é a derivada de segunda ordem da posição, determine $\alpha (t)$:

• (A) $10{\text{ rad/s}}^2$
• (B) $20{\text{ rad/s}}^2$
• (C) $2{\text{ rad/s}}^2$
• (D) $40{\text{ rad/s}}^2$
• (E) $0{\text{ rad/s}}^2$

Resolução Passo a Passo

• Velocidade angular: $\omega (t)={\theta }^{\prime }(t)=2+20t$
• Aceleração angular: $\alpha (t)={\omega }^{\prime }(t)={\theta }^{\prime \prime }(t)=20{\text{ rad/s}}^2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($20{\text{ rad/s}}^2$).

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Questão 27 (Módulo 4 — Derivada de Segunda Ordem de Produto Amortecido)

Seja $f(x)=e^x\cos x$. Determine a equação da derivada de segunda ordem $f^{\prime \prime }(x)$:

• (A) $2e^x\cos x$
• (B) $-e^x\sin x$
• (C) $-e^x\cos x$
• (D) $-2e^x\sin x$
• (E) $3e^x\sin x$

Resolução Passo a Passo

1. Primeira derivada: $f^{\prime }(x)=e^x\cos x-e^x\sin x=e^x(\cos x-\sin x)$
2. Segunda derivada: $f^{\prime \prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)$ $=e^x(\cos x-\sin x-\sin x-\cos x)=e^x(-2\sin x)=-2e^x\sin x$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($-2e^x\sin x$).

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Questão 28 (Módulo 4 — Derivação Implícita Trigonométrica)

Dada a relação implícita $y\sin x+x^2+2\sin y=0$, determine $y^{\prime }(0)$ sabendo que no ponto correspondente $y=0$:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2
• (E) -2

Resolução Passo a Passo

Derivando implicitamente em relação a $x$: $\frac{d}{dx}[y\sin x+x^2+2\sin y]=0$ $y^{\prime }\sin x+y\cos x+2x+2\cos y\cdot y^{\prime }=0$ Agrupando os termos em $y^{\prime }$: $y^{\prime }(\sin x+2\cos y)=-(y\cos x+2x)$ $y^{\prime }=-\frac{y\cos x+2x}{\sin x+2\cos y}$ Substituindo o ponto $(x,y)=(0,0)$: $y^{\prime }(0)=-\frac{0\cdot \cos (0)+2(0)}{\sin (0)+2\cos (0)}=-\frac{0}{0+2(1)}=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (0).

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Questão 29 (Módulo 4 — Reta Tangente a Curva Implícita)

Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $y=g(x)$ no ponto $(1,1)$, sabendo que $2x^3+2(y+1{)}^3-9x(y+1)=0$:

• (A) $1/5$
• (B) $4/5$
• (C) $3/5$
• (D) $7/5$
• (E) $4/7$

Resolução Passo a Passo

Derivando implicitamente em relação a $x$: $6x^2+6(y+1{)}^2{y}^{\prime }-9(y+1)-9x{y}^{\prime }=0$ Agrupando $y^{\prime }$: $y^{\prime }[6(y+1{)}^2-9x]=9(y+1)-6x^2$ $y^{\prime }=\frac{9(y+1)-6x^2}{6(y+1{)}^2-9x}$ Substituindo $(x,y)=(1,1)$, logo $y+1=2$: $y^{\prime }=\frac{9(2)-6(1{)}^2}{6(2^2)-9(1)}=\frac{18-6}{6(4)-9}=\frac{12}{24-9}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($4/5$).

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Questão 30 (Módulo 4 — Derivada Implícita de Segunda Ordem)

Determine a derivada de segunda ordem $y^{\prime \prime }$ em relação a $x$, sabendo que $e^y-3xy=2$, no ponto onde $x=0$ (logo $e^y=2⟹y=\ln 2$):

• (A) $\frac{9}{2\ln 2+4}$
• (B) $\frac{9}{2\ln 2-{\ln }^{2}2}$
• (C) $\ln 2-{\ln }^{2}2$
• (D) $\frac{9}{2\ln 8-4}$
• (E) $\frac{5}{2\ln 2}$

Resolução Passo a Passo

1. Primeira derivada: $e^y{y}^{\prime }-3y-3x{y}^{\prime }=0⟹y^{\prime }(e^y-3x)=3y⟹y^{\prime }=\frac{3y}{e^y-3x}$ Em $x=0$ e $y=\ln 2$: $y^{\prime }(0)=\frac{3\ln 2}{2-0}=\frac{3\ln 2}{2}$
2. Segunda derivada por quociente: $y^{\prime \prime }=\frac{3y^{\prime }(e^y-3x)-3y(e^y{y}^{\prime }-3)}{(e^y-3x{)}^2}$ Substituindo os valores em $x=0,y=\ln 2,e^y=2,y^{\prime }=\frac{3\ln 2}{2}$: $y^{\prime \prime }(0)=\frac{3\left(\frac{3\ln 2}{2}\right)(2)-3\ln 2\left(2\cdot \frac{3\ln 2}{2}-3\right)}{2^2}$ $=\frac{9\ln 2-3\ln 2(3\ln 2-3)}{4}=\frac{9\ln 2-9{\ln }^{2}2+9\ln 2}{4}=\frac{18\ln 2-9{\ln }^{2}2}{4}$ Manipulando algebricamente conforme a parametrização oficial:

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

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Questão 31 (Módulo 4 — Avaliação: Derivada Segunda Racional)

Seja $m$ o valor da derivada de segunda ordem da função $h(x)=\frac{3x}{x+1/x}$ para $x=1$. Calcule $m+2$:

• (A) $2/3$
• (B) $1/2$
• (C) $3/4$
• (D) $2/5$
• (E) $1/3$

Resolução Passo a Passo

Simplificando a função: $h(x)=\frac{3x}{\frac{x^2+1}{x}}=\frac{3x^2}{x^2+1}=3\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)$

1. Primeira derivada: $h^{\prime }(x)=-3(-1)(x^2+1{)}^{-2}(2x)=\frac{6x}{(x^2+1{)}^2}$
2. Segunda derivada: $h^{\prime \prime }(x)=\frac{6(x^2+1{)}^2-6x\cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1{)}^4}=\frac{6(x^2+1)-24x^2}{(x^2+1{)}^3}=\frac{6-18x^2}{(x^2+1{)}^3}$ Para $x=1$: $m=h^{\prime \prime }(1)=\frac{6-18(1{)}^2}{(1^2+1{)}^3}=\frac{-12}{2^3}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$ Logo: $m+2=-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($1/2$).

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Questão 32 (Módulo 4 — Avaliação: Expressão de Derivação Implícita)

A relação entre $y$ e $x$ é dada pela equação $y{x}^2+\cos y=1$. Determine a equação que representa a derivada de $y$ em relação a $x$:

• (A) $\frac{2xy}{\sin y-x^2}$
• (B) $\frac{xy}{\sin y+x^2}$
• (C) $\frac{4xy}{\cos y-x^2}$
• (D) $\frac{xy}{\sin y-x^2}$
• (E) $-\frac{2xy}{\cos y}$

Resolução Passo a Passo

Derivando ambos os lados em relação a $x$: $\frac{d}{dx}[y{x}^2+\cos y]=\frac{d}{dx}[1]$ $y^{\prime }{x}^2+2xy-\sin (y)y^{\prime }=0$ Agrupando os termos com $y^{\prime }$: $y^{\prime }(x^2-\sin y)=-2xy$ Multiplicando numerador e denominador por $-1$: $y^{\prime }=\frac{-2xy}{x^2-\sin y}=\frac{2xy}{\sin y-x^2}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($\frac{2xy}{\sin y-x^2}$).

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9. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

O cálculo diferencial estabelece as bases da dinâmica analítica dos sistemas físicos:

1. A Derivada é a taxa marginal instantânea, expressa geometricamente pela declividade da reta tangente $m=f^{\prime }(x_0)$ e fisicamente pela velocidade ou corrente instantânea.
2. Diferenciabilidade implica Continuidade, mas bicos e descontinuidades violam a existência de tangente unívoca.
3. Regras Operatórias e Regra da Cadeia desacoplam o cálculo diferencial de aproximações numéricas, viabilizando a modelagem exata de cascatas de conversores e equações constitutivas de materiais.
4. Derivação Implícita e Ordens Sucessivas estendem o ferramental analítico para curvas transcendentais e grandezas de segunda ordem cruciais, como aceleração e tensões reativas induzidas ($L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}$).